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第三章 瞬态动力学分析

§3.1瞬态动力学分析的定义 瞬态动力学分析(亦称时间历程分析)是用于确定承受任意的随时间变化载荷结构的动力学响应的一种方法。可以用瞬态动力学分析确定结构在稳态载荷、瞬态载荷和简谐载荷的随意组合作用下的随时间变化的位移、应变、应力及力。载荷和时间的相关性使得惯性力和阻尼作用比较重要。如果惯性力和阻尼作用不重要,就可以用静力学分析代替瞬态分析。 瞬态动力学的基本运动方程是: 其中: [M] =质量矩阵 [C] =阻尼矩阵 [K] =刚度矩阵 {}=节点加速度向量 {}=节点速度向量 {u} =节点位移向量 在任意给定的时间,这些方程可看作是一系列考虑了惯性力([M]{})和 阻尼力([C]{})的静力学平衡方程。ANSYS程序使用Newmark时间积分方法在离散的时间点上求解这些方程。两个连续时间点间的时间增量称为积分时间步长(integration time step)。 §3.2学习瞬态动力学的预备工作 瞬态动力学分析比静力学分析更复杂,因为按“工程”时间计算,瞬态动力学分析通常要占用更多的计算机资源和更多的人力。可以先做一些预备工作以理解问题的物理意义,从而节省大量资源。例如,可以做以下预备工作:

1.首先分析一个较简单模型。创建梁、质量体和弹簧组成的模型,以最小的代价深入的理解动力学认识,简单模型更有利于全面了解所有的动力学响应所需要的。 2.如果分析包括非线性特性,建议首先利用静力学分析掌握非线性特性对结构响应的影响规律。在某些场合,动力学分析中是没必要包括非线性特性的。 3.掌握结构动力学特性。通过做模态分析计算结构的固有频率和振型,了解这些模态被激活时结构的响应状态。同时,固有频率对计算正确的积分时间步长十分有用。 4.对于非线性问题,考虑将模型的线性部分子结构化以降低分析代价。<<高级技术分指南>>中将讲述子结构。 §3.3三种求解方法 瞬态动力学分析可采用三种方法:完全(Full)法、缩减(Reduced)法及模态叠加法。ANSYS/Professional产品中只允许用模态叠加法。在研究如何实现这些方法之前,让我们先探讨一下各种方法的优点和缺点。 §3.3.1完全法 完全法采用完整的系统矩阵计算瞬态响应(没有矩阵缩减)。它是三种方法中功能最强的,允许包括各类非线性特性(塑性、大变形、大应变等)。 注─如果并不想包括任何非线性,应当考虑使用另外两种方法中的一种。这是因为完全法是三种方法中开销最大的一种。 完全法的优点是: ·容易使用,不必关心选择主自由度或振型。 ·允许各种类型的非线性特性。 ·采用完整矩阵,不涉及质量矩阵近似。 ·在一次分析就能得到所有的位移和应力。 ·允许施加所有类型的载荷:节点力、外加的(非零)位移(不建议采用)和单元载荷(压力和温度),还允许通过TABLE数组参数指定表边界条件。 ·允许在实体模型上施加的载荷。 完全法的主要缺点是它比其它方法开销大。

欧拉方程的求解教材

欧拉方程的求解 1.引言 在数学研究领域,我们经常会看到以数学家名字命名的概念、公式、定理等等,让人敬佩跟羡慕.但是,迄今为止,哪位数学家的名字出现得最多呢?他就是数学史上与阿基米德、牛顿、高斯齐名的“四杰”之一,人称“分析学的化身”的盲人数学家欧拉(Leonhard Euler,1707--1783). 几乎在每一个数学领域都可以看到他的名字,譬如我们熟悉的“欧拉线”、“欧拉圆”、“欧拉公式”、“欧拉定理”、“欧拉函数”、“欧拉积分”、“欧拉变换”、“欧拉常数” 欧拉还是许多数学符号的发明者,例如用π表示 圆周率、e 表示自然对数的底、()f x 表示函数、∑表示求和、i 表示虚数单位 以欧拉命名的数学名词有很多,本文主要讲解以欧拉命名的方程即“欧拉方程”. 在文献[1]中,关于欧拉方程的求解通常采用的是变量变换的方法.变量变换法就是将所求的欧拉方程化为常系数齐次线性微分方程,然后再来求解这个常系数齐次线性微分方程的解,亦即求其形如K y x =的解,进而求得欧拉方程的解. 但有些欧拉方程在用变量变换法求解时比较困难.本文在所学的欧拉方程的求解的基础上,对欧拉方程进行了简单的分类,并针对不同阶的欧拉方程的求解给出了不同的定理.最后在每类欧拉方程后面给出了典型的例题加以说明. 2.几类欧拉方程的求解 定义1 形状为 ()1(1)110n n n n n n y a x y a xy a y x ---'++++= (1) 的方程称为欧拉方程. (其中1a ,2a , ,1n a -,n a 为常数)

2.1二阶齐次欧拉方程的求解(求形如K y x =的解) 二阶齐次欧拉方程: 2120x y a xy a y '''++=. (2) (其中1a ,2a 为已知常数) 我们注意到,方程(2)的左边y ''、y '和y 的系数都是幂函数(分别是2x 、1a x 和02a x ) ,且其次依次降低一次.所以根据幂函数求导的性质,我们用幂函数K y x =来尝试,看能否选取适当的常数K ,使得K y x =满足方程(2). 对K y x =求一、二阶导数,并带入方程(2),得 212()0K K K K K x a Kx a x -++= 或 212[(1)]0K K a K a x +-+=, 消去K x ,有 212(1)0K a K a +-+=. (3) 定义2 以K 为未知数的一元二次方程(3)称为二阶齐次欧拉方程(2)的特征方程. 由此可见,只要常数K 满足特征方程(3),则幂函数K y x =就是方程(2)的解. 于是,对于方程(2)的通解,我们有如下结论: 定理1 方程(2)的通解为 (i) 1112ln K K y c x c x x =+, (12K K =是方程(3)的相等的实根) (ii)1212K K x c x y c +=, (12K K ≠是方程(3)的不等的实根) (iii)12cos(ln )sin(ln )x x c x x y c ααββ+=.(1,2K i αβ=±是方程(3)的一对共轭复根) (其中1c 、2c 为任意常数)

齿轮机械传动动力学研究文献综述完整版

基于齿轮传动的机械动力学研究文献综述 摘要:本文结合相关文献对机械动力学中齿轮传动动力学部分的研究进行了综述。综合文献对齿轮传动动力学研究现状和发展趋势有了整体把握。 关键词:动力学;齿轮传动;综述; The Literature Review of Mechanical Dynamics based on gear transmission Abstract:In this paper, the studies of mechanical dynamics of gear transmission were reviewed. On the whole, we grasp the studies status and development trend of gear transmission. Keywords: Dynamics;Gear transmission;Review 1.前言 随着机械向高效、高速、精密、多功能方向发展,对传动机械的功能和性能的要求也越来越高,机械的工作性能、使用寿命、能源消耗、振动噪声等在很大程度上取决于传动系统的性能。因此必须重视对传动系统的研究。机械系统中的传动主要分为机械传动、流体传动(液压传动、液力传动、气压传动、液体粘性传动和高等优点机械传动的形式也有多种,如各种齿轮传动、带(链)传动、摩擦传动等。 齿轮传动是机械传动中的主要形式之一。在机械传动中占有主导地位。由于它具有速比范围大、功率范围广、结构紧凑可靠等优点,已广泛应用于各种机械设备和仪器仪表中。成为现有机械产品中所占比重最大的一种传动。齿轮从发明到现在经历了无数次更新换代,主要向高速、重载、平稳性、体积小、低噪等方向发展。 2. 齿轮动力学的发展概述 齿轮的发展要追溯到公元前,迄今已有3000年的历史。虽然自古代人们就使用了齿轮传动,但由于动力限制了机器的速度。因此齿轮传动的研究迟迟未发展到动力学研究的阶段。 第一次工业革命推动了机器速度的提高,Euler提出的渐开线齿廓被广泛运用,这属于从齿轮机构的几何设计角度来适应速度的提高。

对于欧拉方程的理解

关于欧拉方程的理解 1755年,瑞士数学家L.欧拉在《流体运动的一般原理》一书中首先提出这个方程。 形如:)(1)1(11)(x f y x p y x p y x n n n n n ='+++--- (1) 的方程称为欧拉方程, 其中n p p p ,,,21 为常数。 欧拉方程的特点是: 方程中各项未知函数导数的阶数与其乘积因子自变量的幂次相同。 现阶段欧拉方程的应用领域很广,现只结合流体力学来探讨我对于欧拉方程的理解。 欧拉方程提出采用了连续介质的概念,把静力学中压力的概念推广到了运动流体中。 流体静力学着重研究流体在外力作用下处于平衡状态的规律及其在工程实际中的应用。 这里所指的静止包括绝对静止和相对静止两种。以地球作为惯性参考坐标系,当流体相对于惯性坐标系静止时,称流体处于绝对静止状态;当流体相对于非惯性参考坐标系静止时,称流体处于相对静止状态。 流体处于静止或相对静止状态,两者都表现不出黏性作用,即切向应力都等于零。所以,流体静力学中所得的结论,无论对实际流体还是理想流体都是适用的。 流体静压强的特性 1静压强的方向—沿作用面的内法线方向 2任一点的流体静压强的大小与作用面的方向无关,只与该点的位置有关

由上图可以推到出流体平衡微分方程式,即欧拉平衡方程 x y z p f x p f y p f z ρρρ??=?????=?????=??? 当流体处于平衡状态时,单位体积质量力在某一轴向上的分力,与压强沿该轴的递增率相平衡。 这里的fx 、fy 、fz 是流体质量力在x 、y 、z 轴上的投影,且质量力中包含以下两项:重力和惯性力。在这里如果假定fx 、fy 、fz 仅仅是重力在三个坐标轴上的投影,那么惯性力在x 、y 、z 轴上的投影分别为:-du/dt ,-dv/dt 和-dw/dt 。于是,上式便可写成 d d d d d d x y z u p f t x v p f t y w p f t z ρρρ????-= ???? ??????-=? ??? ??????-=? ??? ?? 上式整理后可得:

第一章 非线性动力学分析方法

第一章非线性动力学分析方法(6学时) 一、教学目标 1、理解动力系统、相空间、稳定性的概念; 2、掌握线性稳定性的分析方法; 3、掌握奇点的分类及判别条件; 4、理解结构稳定性及分支现象; 5、能分析简单动力系统的奇点类型及分支现象。 二、教学重点 1、线性稳定性的分析方法; 2、奇点的判别。 三、教学难点 线性稳定性的分析方法 四、教学方法 讲授并适当运用课件辅助教学 五、教学建议 学习本章内容之前,学生要复习常微分方程的内容。 六、教学过程

本章只介绍一些非常初步的动力学分析方法,但这些方法在应用上是十分有效的。 1.1相空间和稳定性 一、动力系统 在物理学中,首先根据我们面对要解决的问题划定系统,即系统由哪些要素组成。再根据研究对象和研究目的,按一定原则从众多的要素中选出最本质要素作为状态变量。然后再根据一些原理或定律建立控制这些状态变量的微分方程,这些微分方程构成的方程组通常称为动力系统。研究这些微分方程的解及其稳定性以及其他性质的学问称为动力学。 假定一个系统由n 个状态变量1x ,2x ,…n x 来描述。有时,每个状态变量不但是时间t 的函数而且也是空间位置r 的函数。如果状态变量与时空变量都有关,那么控制它们变化的方程组称为偏微分方程组。这里假定状态变量只与时间t 有关,即X i =X i (t),则控制它们的方程组为常微分方程组。 ),,,(2111 n X X X f dt dX ???=λ ),,,(2122 n X X X f dt dX ???=λ (1.1.1) … ),,,(21n n n X X X f dt dX ???=λ 其中λ代表某一控制参数。对于较复杂的问题来说,i f (i =l ,2,…n)一般是{}i X 的非线性函数,这时方程(1.1.1)就称为非线性动力系统。由于{}i f 不明显地依赖时间t ,故称方程组(1.1.1)为自治动力系统。若{}i f 明显地依赖时间t ,则称方程组(1.1.1)为非自治动力系统。非自治动力系统可化为自治动力系统。 对于非自治动力系统,总可以化成自治动力系统。 例如:)cos(t A x x ω=+

chapter15答案

Chapter 15 Managers and Communication 1) Formal communication can control behavior, but informal communication cannot. Answer: FALSE 2) A sender initiates a message by encoding a thought. Answer: TRUE 3) E-mail increases filtering because electronic communication is faster. Answer: FALSE 4) Communication that takes place among employees on the same organizational level is called lateral communication. Answer: TRUE 5) All electronic information is inadmissible in court. Answer: FALSE 6) In which of the following cases has communication occurred? A) Gary updates his blog regularly, even though no one reads it. B) Brian attends all the Algebra lectures, but is unable to understand the subject. C) Jen has sent an urgent e-mail to her Japanese colleague, but a translator is not yet available. D) Ana tells her manager that she needs a new computer, but he says that the company can't afford it. Answer: D 7) George prepares a memorandum explaining the objectives of a newly created work team that he is expected to manage, and makes sure it reaches each team member. He is involved in ________. A) deciphering the message B) organizational communication C) lateral communication D) decoding the message Answer: B 8) Complexity capacity refers to the degree to which the communication method ________. A) offers a reasonable assurance of confidentiality B) makes a simple message seem more complex C) effectively processes complicated messages D) offers quick and accurate feedback Answer: C 9) Which of the following methods of communication offers high scanability? A) publications B) face-to-face communication C) meetings D) voice mail Answer: A

ANSYS动力学分析

第5章动力学分析 结构动力学研究的是结构在随时间变化载荷下的响应问题,它与静力分析的主要区别是动力分析需要考虑惯性力以及运动阻力的影响。动力分析主要包括以下5个部分:模态分析:用于计算结构的固有频率和模态。 谐波分析(谐响应分析):用于确定结构在随时间正弦变化的载荷作用下的响应。 瞬态动力分析:用于计算结构在随时间任意变化的载荷作用下的响应,并且可涉及上述提到的静力分析中所有的非线性性质。 谱分析:是模态分析的应用拓广,用于计算由于响应谱或PSD输入(随机振动)引起的应力和应变。 显式动力分析:ANSYS/LS-DYNA可用于计算高度非线性动力学和复杂的接触问题。 本章重点介绍前三种。 【本章重点】 ?区分各种动力学问题; ?各种动力学问题ANSYS分析步骤与特点。 5.1 动力学分析的过程与步骤 模态分析与谐波分析两者密切相关,求解简谐力作用下的响应时要用到结构的模态和振型。瞬态动力分析可以通过施加载荷步模拟各种何载,进而求解结构响应。三者具体分析过程与步骤有明显区别。 5.1.1 模态分析 1.模态分析应用 用模态分析可以确定一个结构的固有频率利振型,固有频率和振型是承受动态载荷结构设计中的重要参数。如果要进行模态叠加法谐响应分析或瞬态动力学分析,固有频率和振型也是必要的。可以对有预应力的结构进行模态分析,例如旋转的涡轮叶片。另一个有用的分析功能是循环对称结构模态分析,该功能允许通过仅对循环对称结构的一部分进行建模,而分析产生整个结构的振型。 ANSYS产品家族的模态分析是线性分析,任何非线性特性,如塑性和接触(间隙)单元,即使定义也将被忽略。可选的模态提取方法有6种,即Block Lanczos(默认)、Subspace、Power Dynamics、Reduced、Unsymmetric、Damped及QR Damped,后两种方法允许结构中包含阻尼。 2.模态分析的步骤

齿轮动力学

(一) 直齿圆柱齿轮传动的扭转振动模型 若忽略传动轴的扭转变形,只考虑齿轮副处的变形,则得到最简单的扭转振动模型,如图1所示。其中r b1、r b2为主从动齿轮的基圆直径,k v 为齿轮副的综合啮合刚度,并且考虑齿轮副的啮合阻尼系数c v 以及齿廓误差e 的作用,主动轮上作用与转动方向相同的驱动力矩T 1,从动轮上作用与转动方向相反的阻力矩T 2 图1 齿轮副的扭转振动模型 啮合线上的综合变形δi 可写为: 1122i b b i r r e δθθ=-- (1) 设重合度小于2,啮合齿对为i ,法向啮合力可以表示为: ()()() 11221122i vi i vi i vi b b i vi b b i i i i F F k c k r r e c r r e δδθθθθ??==+=--+--??∑∑∑&&&& (2) 式中:i 为参与啮合的齿对序号,i =1,2;k vi 、c vi 为齿对i 在啮合点位置的综合啮合刚度和阻尼系数。 主、从动齿轮的力矩平衡方程为: 12111222 b b J T r F J T r F θθ=-=-&&&& (3) 将(2)带入(1)中得到: ()() ()() 111112211221222112211222 b vi b b i vi b b i i b vi b b i vi b b i i J r k r r e c r r e T J r k r r e c r r e T θθθθθθθθθθ??+--+--=????---+--=-??∑∑&&&&&&&&&& (4)

由此式可看出,即使主动齿轮转速以及传动载荷恒定,由于时变综合刚度k v 的变化,也会使从动轮的转动出现波动,即造成齿轮的圆周振动。为了方便讨论时变综合刚度k v 对振动方程(4)的影响,定义啮合线上两齿轮的相对位移x 为: 1122b b x r r θθ=- (5) 不考虑齿轮传动的效率,齿轮的静态啮合力为: 12 01 2 b b T T F r r = = (6) 将式(5)、(6)带入方程(4)中,则可将其简化为一元微分方程: e v v d m x c x k x F ++=&&& (7) 式中,m e 称为系统的当量质量: 12 22 2112 e b b J J m J r J r = + (8) 激振力为: 0d vi i vi i i i F F c e k e =++∑∑& (9) 根据方程(9)可以将一对齿轮的振动视为单自由度系统的振动,如图2所示。可以看出时变综合刚度k v 和齿廓误差e i 都是随时间变化的量,也即是齿轮系统的刚度激励和误差激励。 图2 齿轮传动的单自由度模型 与方程(7)对应的系统的固有频率可以表示为: n f = = (10) (二) 直齿圆柱齿轮副啮合耦合型振动分析 在不考虑齿面摩擦的情况下,典型的直齿圆柱齿轮副的啮合耦合型动力学模型如图4所示。

ansys动力学分析全套讲解

第一章模态分析 §模态分析的定义及其应用 模态分析用于确定设计结构或机器部件的振动特性(固有频率和振型),即结构的固有频率和振型,它们是承受动态载荷结构设计中的重要参数。同时,也可以作为其它动力学分析问题的起点,例如瞬态动力学分析、谐响应分析和谱分析,其中模态分析也是进行谱分析或模态叠加法谐响应分析或瞬态动力学分析所必需的前期分析过程。 ANSYS的模态分析可以对有预应力的结构进行模态分析和循环对称结构模态分析。前者有旋转的涡轮叶片等的模态分析,后者则允许在建立一部分循环对称结构的模型来完成对整个结构的模态分析。 ANSYS产品家族中的模态分析是一个线性分析。任何非线性特性,如塑性和接触(间隙)单元,即使定义了也将被忽略。ANSYS提供了七种模态提取方法,它们分别是子空间法、分块Lanczos法、PowerDynamics法、缩减法、非对称法、阻尼法和QR阻尼法。阻尼法和QR阻尼法允许在结构中存在阻尼。后面将详细介绍模态提取方法。 §模态分析中用到的命令 模态分析使用所有其它分析类型相同的命令来建模和进行分析。同样,无论进行何种类型的分析,均可从用户图形界面(GUI)上选择等效于命令的菜单选项来建模和求解问题。 后面的“模态分析实例(命令流或批处理方式)”将给出进行该实例模态分析时要输入的命令(手工或以批处理方式运行ANSYS时)。而“模态分析实例(GUI方式)” 则给出了以从ANSYS GUI中选择菜单选项方式进行同一实例分析的步骤。(要想了解如何使用命令和GUI选项建模,请参阅<>)。<>中有更详细的按字母顺序列出的ANSYS命令说明。 §模态提取方法 典型的无阻尼模态分析求解的基本方程是经典的特征值问题: 其中: =刚度矩阵, =第阶模态的振型向量(特征向量), =第阶模态的固有频率(是特征值), =质量矩阵。 有许多数值方法可用于求解上面的方程。ANSYS提供了7种方法模态提取方法,下面分别进行讨论。 1.分块Lanczos法 2.子空间(Subspace)法 Dynamics法

欧拉方程的求解

欧拉方程的求解 1、引言 在数学研究领域,我们经常会瞧到以数学家名字命名的概念、公式、定理等等,让人敬佩跟羡慕、但就是,迄今为止,哪位数学家的名字出现得最多呢?她就就是数学史上与阿基米德、牛顿、高斯齐名的“四杰”之一,人称“分析学的化身”的盲人数学家欧拉(Leonhard Euler,1707--1783)、 几乎在每一个数学领域都可以瞧到她的名字,譬如我们熟悉的“欧拉线”、“欧拉圆”、“欧拉公式”、“欧拉定理”、“欧拉函数”、“欧拉积分”、“欧拉变换”、“欧拉常数”L L 欧拉还就是许多数学符号的发明者,例如用π表示圆周率、e 表示自然对数的底、()f x 表示函数、∑表示求与、i 表示虚数单位L L 以欧拉命名的数学名词有很多,本文主要讲解以欧拉命名的方程即“欧拉方程”、 在文献[1]中,关于欧拉方程的求解通常采用的就是变量变换的方法、变量变换法就就是将所求的欧拉方程化为常系数齐次线性微分方程,然后再来求解这个常系数齐次线性微分方程的解,亦即求其形如K y x =的解,进而求得欧拉方程的解、 但有些欧拉方程在用变量变换法求解时比较困难、本文在所学的欧拉方程的求解的基础上,对欧拉方程进行了简单的分类,并针对不同阶的欧拉方程的求解给出了不同的定理、最后在每类欧拉方程后面给出了典型的例题加以说明、 2、几类欧拉方程的求解 定义1 形状为 ()1(1)110n n n n n n y a x y a xy a y x ---'++++=L (1) 的方程称为欧拉方程、 (其中1a ,2a ,L ,1n a -,n a 为常数)

2、1二阶齐次欧拉方程的求解(求形如K y x =的解) 二阶齐次欧拉方程: 2120x y a xy a y '''++=、 (2) (其中1a ,2a 为已知常数) 我们注意到,方程(2)的左边y ''、y '与y 的系数都就是幂函数(分别就是 2x 、1a x 与02a x ),且其次依次降低一次、 所以根据幂函数求导的性质,我们用幂函数K y x =来尝试,瞧能否选取适当的常数K ,使得K y x =满足方程(2)、 对K y x =求一、二阶导数,并带入方程(2),得 212()0K K K K K x a Kx a x -++= 或 212[(1)]0K K a K a x +-+=, 消去K x ,有 212(1)0K a K a +-+=、 (3) 定义 2 以K 为未知数的一元二次方程(3)称为二阶齐次欧拉方程(2)的特征方程、 由此可见,只要常数K 满足特征方程(3),则幂函数K y x =就就是方程(2)的解、 于就是,对于方程(2)的通解,我们有如下结论: 定理1 方程(2)的通解为 (i) 1112ln K K y c x c x x =+, (12K K =就是方程(3)的相等的实根) (ii)1212K K x c x y c +=, (12K K ≠就是方程(3)的不等的实根) (iii)12cos(ln )sin(ln )x x c x x y c ααββ+=、(1,2K i αβ=±就是方程(3)的一对

欧拉方程的求解

欧拉方程的求解 1. 引言 在数学研究领域,我们经常会看到以数学家名字命名的概念、公式、定理等等,让人敬佩跟羡慕. 但是,迄今为止,哪位数学家的名字出现得最多呢?他就是数学史上与阿基米德、牛顿、高斯齐名的“四杰”之一,人称“分析学的化身”的盲人数学家欧拉( Leonhard Euler,1707--1783 ) . 几乎在每一个数学领域都可以看到他的名字,譬如我们熟悉的“欧拉线”、“欧拉圆”、“欧拉公式”、“欧拉定理”、“欧拉函数”、“欧拉积分”、“欧拉变换”、“欧拉常数” L L 欧拉还是许多数学符号的发明者,例如用表示圆周率、e表示自然对数的底、f(x)表示函数、表示求和、i表示虚数单位L L 以欧拉命名的数学名词有很多,本文主要讲解以欧拉命名的方程即“欧拉方程”. 在文献[1] 中,关于欧拉方程的求解通常采用的是变量变换的方法. 变量变换法就是将所求的欧拉方程化为常系数齐次线性微分方程,然后再来求解这个常系数齐次线性微分方程的解,亦即求其形如y x K的解,进而求得欧拉方程的解. 但有些欧拉方程在用变量变换法求解时比较困难. 本文在所学的欧拉方程的求解的基础上,对欧拉方程进行了简单的分类,并针对不同阶的欧拉方程的求解给出了不同的定理. 最后在每类欧拉方程后面给出了典型的例题加以说明. 2. 几类欧拉方程的求解 定义 1 形状为 n (n) n 1 ( n 1) n y(n)a1x n 1y(n 1)L a n 1xy a n y 0 (1) x 的方程称为欧拉方程. (其中a i, a2, L , a ni, a.为常数)

2.1 二阶齐次欧拉方程的求解(求形如 y x K 的解) 二阶齐次欧拉方程: x 2y a i xy a 2y 0. ( 其中 a 1, a 2 为已知常数) 我们注意到,方程(2)的左边y 、y 和y 的系数都是幕函数(分别是x 2 a i x 和a 2X °),且其次依次降低一次.所以根据幕函数求导的性质,我们用幕 函数y x K 来尝试,看能否选取适当的常数 K ,使得y x K 满足方程(2). x K 求一、二阶导数,并带入方程(2),得 由此可见,只要常数K 满足特征方程(3),则幕函数y x K 就是方程(2) 共轭复根) (其中C i 、c 为任意常数) 证明(i )若特征方程(3)有两个相等的实根:? K 2,贝U 2) 消去 x K ,有 (K 2 [K 2 K 2 定义 2 以 K 为未知数的 的特征方程. K)X K (a 1 (a 1 KK a i Kx a 2 x 0 K i)K a 2]x K 0, 1)K a 2 0. 3) 元二次方程( 3)称为二阶齐次欧拉方程( 2) 的解. 于是,对于方程( 2)的通解, 定理 i 方程( 2)的通解为 y c i x Ki 我们有如下结论: (i) c 2X K1 ln X , (K i K 2是方程(3)的相等的实根) (ii) K 1 y c 1X 1 c2X K2 K i K 2是方程(3)的不等的实根) (iii) y c 1 X cos( ln X) c 2X sin( ln X). (K 1,2 i 是方程( 3)的一对

齿轮动力学国内外研究现状

1.2.1 齿轮系统动力学研究 从齿轮动力学的研究发展来看,先后进行了基于解析方法的非线性齿轮动力学研究、基于数值方法的齿轮非线性动力学研究、基于实验方法的齿轮系统的非线性动力学研究和考虑齿面摩擦及齿轮故障的齿轮系统的非线性动力学研究。其中,解析方法包括谐波平衡法、分段技术法和增量谐波平衡法等;数值方法则不胜枚举,包括Ritz法、Parametric Continuation Technique方法等。[1]齿轮系统间隙非线性动力学的研究起始于1967年K.Nakamura的研究。[2]在1987年,H. Nevzat ?zgüven等人对齿轮系统动力学的数学建模方法进行了详细的总结。他分别从简化的动力学因子模型、轮齿柔性模型、齿轮动力学模型、扭转振动模型等几个方面分类,详细总述了齿轮动力学的发展进程。[3]1990年,A. Kaharman等人分析了一对含间隙直齿轮副的非线性动态特性,考虑了啮合刚度、齿侧间隙和静态传递误差等内部激励的影响,考察了啮合刚度与齿侧间隙对动力学的共同影响。[4] 1997年,Kaharaman和Blankenship对具有时变啮合刚度、齿侧间隙和外部激励的齿轮系统进行了实验研究,利用时域图、频域图、相位图和彭家莱曲线等揭示了齿轮系统的各种非线性现象。[5]同年,M. Amabili和A. Rivola研究了低重合度单自由度的直齿轮系统的稳态响应及其系统的稳定性。 [6]2004年,A. Al-shyyab等人用集中质量参数法建立了含齿侧间隙的直齿齿轮副的非线性动力学模型,利用谐波平衡阀求解了方程组的稳态响应,并研究了啮合刚度、啮合阻尼、静态力矩和啮合频率对齿轮系统振动的影响。[7]2008年,Lassaad Walha等人建立了两级齿轮系统的非线性动力学模型,考虑了时变刚度、齿侧间隙和轴承刚度对动力学的影响。对非线性系统分段线性化并用Newmark迭代法进行求解,研究了齿轮脱啮造成的齿轮运动的不连续性。[8]2010年,T. Osman 和Ph. Velex在齿轮轻微磨损的情况下,建立了动力学模型,通过数值模拟揭示了齿轮磨损的非对称性。[9]2011年,Marcello Faggioni等人通过分析直齿轮的非线性动力学特性及其响应,建立了以齿轮振动幅值的目标函数,利用Random–Simplex优化算法优化了齿廓形状。[10]2013年,Omar D. Mohammed等人对时变啮合刚度的齿轮系统动力学进行了研究,对于裂纹过长所带来的有限元误差问题,提出了一种新的时变啮合刚度模型。通过时域方面的故障诊断数据和FEM结果对比,证明了新模型能够更好地解长裂纹问题。[11] 国内研究齿轮系统动力学也进行了大量的研究。2001年,李润芳等人建立了具有误差激励和时变刚度激励的齿轮系统非线性微分方程,利用有限元法求得齿轮的时变啮合刚度和啮合冲击力,研究了齿轮系统在激励作用下的动态响应。 [12]2006年,杨绍普等人研究了考虑时变刚度、齿轮侧隙、啮合阻尼和静态传递误差影响下的直齿轮副的非线性动力学特性,利用增量谐波平衡法对系统方程进行了求解,研究了系统的分岔特性以及阻尼比和外激励大小对系统幅频曲线的影响。[13]2010年,刘国华等人建立了考虑齿轮轴的弹性、齿侧间隙、油膜挤压刚度和时变啮合刚度等因素的多体弹性非线性动力学模型,研究了齿廓修形和轴的扭转刚度对动力学特性的影响。[14] 2013年,王晓笋,巫世晶等人建立了含有非线性齿侧间隙、内部误差激励和含磨损故障的时变啮合刚度的三自由度齿轮传动系统平移—扭转耦合动力学方程。采用变步长Gill积分、GRAM—SCHMIDT方法,得到了系统对应的分岔图和李雅普诺夫指数谱,研究发现了系统内部丰富的非线性现象,而系统进入混沌运动的途径也是多样的。[15]

欧拉方程的求解

精心整理 欧拉方程的求解 1.引言 在数学研究领域,我们经常会看到以数学家名字命名的概念、公式、定理等等,让人敬佩跟羡慕.但是,迄今为止,哪位数学家的名字出现得最多呢?他就是数学史上与阿基米德、牛顿、高斯齐名的“四杰”之一,人称“分析学的化身”的盲人数学家欧拉(LeonhardEuler,1707--1783). 式”、i 表示形如2.2.1二阶齐次欧拉方程:2120x y a xy a y '''++=.(2) (其中1a ,2a 为已知常数) 我们注意到,方程(2)的左边y ''、y '和y 的系数都是幂函数(分别是2x 、1a x 和02a x ),且其次依次降低一次.所以根据幂函数求导的性质,我们用幂函数K y x =来尝试,看能否选取适当的常数K ,使得K y x =满足方程(2).

对K y x =求一、二阶导数,并带入方程(2),得 或 212[(1)]0K K a K a x +-+=, 消去K x ,有212(1)0K a K a +-+=.(3) 定义2以K 为未知数的一元二次方程(3)称为二阶齐次欧拉方程(2)的特征方程. 由此可见,只要常数K 满足特征方程(3),则幂函数K y x =就是方程(2)的解. (i)y (ii)(iii)证明1x y =且设,2y 线约去由于1K 是特征方程(3)的二重根, 因此 或 112(1)0K a +-=, 于是,得 或 0xu u '''+=,

即()0xu ''=, 故12()ln u x c x c =+. 不妨取()ln u x x =,可得方程(2)的另一个特解 12ln K y x x =, 所以,方程(2)的通解为 1112ln K K y c x c x x =+. (ii 1x y =又21y y (iii 1x y =和 是方程(2)的两个线性无关的实函数解. 所以,方程(2)的通解为 12cos(ln )sin(ln )x x x x y c c ααββ=+. (其中1c ,2c 为任意常数) 例1求方程20x y xy y '''-+=的通解.

动力学分析方法

1 动力学分析方法 结构动力学的研究方法可分为分析方法(结构动力分析)和试验方法(结构动力试验)两大类。[7-10] 分析方法的主要任务是建模(modeling),建模的过程是对问题的去粗取精、去伪存真的过程。在结构动力学中,着重研究力学模型(物理模型)和数学模型。建模方法很多,一般可分为正问题建模方法和反问题建模方法。正问题建模方法所建立的模型称为分析模型(或机理模型)。因为在正问题中,对所研究的结构(系统)有足够的了解,这种系统成为白箱系统。我们可以把一个实际系统分为若干个元素或元件(element),对每个元素或元件直接应用力学原理建立方程(如平衡方程、本构方程、汉密尔顿原理等),再考虑几何约束条件综合建立系统的数学模型。如果所取的元素是一无限小的单元,则建立的是连续模型;如果是有限的单元或元件,则建立的是离散模型。这是传统的建模方法,也称为理论建模方法。反问题建模方法适用于对系统了解(称黑箱系统——black box system)或不完全了解(称灰箱系统——grey box system)的情况,它必须对系统进行动力学实验,利用系统的输入(载荷)和输出(响应——response)数据,然后根据一定的准则建立系统的数学模型,这种方法称为试验建模方法,所建立的模型称为统计模型。 在动力平衡方程中,为了方便起见一般将惯性力一项隔离出来,单独列出,因此通常表达式为: +P M (2) u I - = 其中M为质量矩阵,通常是一个不随时间改变的产量;I和P是与位移和速度有关的向量,而与对时间的更高阶导数无关。因此系统是一个关于时间二级导数的平衡系统,而阻尼和耗能的影响将在I和P中体现。可以定义: + = (3) I Ku C u 如果其中的刚度矩阵K和阻尼矩阵C为常数,系统的求解将是一个线性的问题;否则将需要求解非线性系统。可见线性动力问题的前提是假设I是与节点位移和速度是线性相关的。 将公式(2)代入(1)中,则有 (4) + M= + u P Ku C u

一类含对数函数的欧拉方程的解法

一类含对数函数的欧拉方程的解法 车茂林 (内江师范学院 数学与信息科学学院,四川 内江 641112)1 摘 要:利用变量代换,将一类含对数函数的欧拉方程转化成可求解的常系数非齐次微分方程,从而可以得到所讨论的方程的通解. 关键词:对数函数;欧拉方程;特殊解. 引言与引理说明 在文献[1] 中,论述了六类初等函数的基本形式.而且在解决某些问题时,通常用到如下的变量代换: t e x =,x t ln =,0>x 在文献[2] 中,讨论了常系数齐次线性微分方程 A x a dt dx a dt x d a dt x d a dt x d n n n n n n n n 01222111=+++++----- 与对应的常系数非齐次线性微分方程 B t f x a dt dx a dt x d a dt x d a dt x d n n n n n n n n )(1222111=+++++----- 的通解的求法问题.其中)(t f 满足下列两种形式: t m m m m k e b t b t b t b t t f λ)()(1110++++=-- t k e t t B t t A t t f βαα]sin )(cos )([)(+= )(t A ,)(t B 为带实系数的t 的多项式.且为次数为有限次. 由文献[3]中,有非齐次线性微分方程的叠加原理:设)(1t x ,)(2t x 分别是非齐次线性微分方程 )()()()()(11222111t f x t a dt dx t a dt x d t a dt x d t a dt x d n n n n n n n n =+++++----- , )()()()()(21222111t f x t a dt dx t a dt x d t a dt x d t a dt x d n n n n n n n n =+++++----- 的解,则)()(21t x t x +是方程 1 车茂林(1989-),男,汉,四川达州人,内江师范学院数学与信息科学学院本科生.

Chapter15语法教案

Chapter 15(2)Predicative clause and object clause Teaching goals: 1. Make students have a general understanding of predicative clause and object clause. 2. Improve students’ ability to use predicative clause and object clause Teaching contents: 1. brief introduction of predicative clause and object clause 2. Leading words of predicative clause and object clause. Teaching focus: Understanding and using predicative clause and object clause. Teaching difficulty: Usage of Predicative clause and object clause. Teaching methods: 1. The teacher gives students enough examples, and students understand and study the usage of predicative clause and object clause from these examples. 2. The teacher explains the examples to help students understand and grasp the usage of predicative clause and object clause. Teaching aid: multimedia Teaching period: 2 classes Teaching procedure:

齿轮动力学国内外研究现状资料

1.2.1齿轮系统动力学研究 从齿轮动力学的研究发展来看,先后进行了基于解析方法的非线性齿轮动力学研究、基于数值方法的齿轮非线性动力学研究、基于实验方法的齿轮系统的非线性动力学研究和考虑齿面摩擦及齿轮故障的齿轮系统的非线性动力学研究。其中,解析方法包括谐波平衡法、分段技术法和增量谐波平衡法等;数值方法则不胜枚举,包括Ritz 法、Parametric Continuation Technique方法等。⑴ 齿轮系统间隙非线性动力学的研究起始于1967年K.Nakamura的研究。⑵ 在1987年,H. Nevzat ?zg u ven等人对齿轮系统动力学的数学建模方法进行了详细的总结。他分别从简化的动力学因子模型、轮齿柔性模型、齿轮动力学模型、扭转振动模型等几个方面分类,详细总述了齿轮动力学的发展进程。[3] 1990年,A. Kaharman等人分析了一对含间隙直齿轮副的非线性动态特性,考虑了啮合刚度、齿侧间隙和静态传递误差等内部激励的影响,考察了啮合刚度与齿侧间隙对 动力学的共同影响。⑷1997年,Kaharaman和Biankenship对具有时变啮合刚度、 齿侧间隙和外部激励的齿轮系统进行了实验研究,利用时域图、频域图、相位图 和彭家莱曲线等揭示了齿轮系统的各种非线性现象。[5]同年,M. Amabili和A. Rivola研究了低重合度单自由度的直齿轮系统的稳态响应及其系统的稳定性。⑹2004年,A. Al-shyyab等人用集中质量参数法建立了含齿侧间隙的直齿齿轮副的非线性动力学模型,利用谐波平衡阀求解了方程组的稳态响应,并研究了啮合 刚度、啮合阻尼、静态力矩和啮合频率对齿轮系统振动的影响。⑺2008年, Lassaad Walha等人建立了两级齿轮系统的非线性动力学模型,考虑了时变刚度、齿侧间隙和轴承刚度对动力学的影响。对非线性系统分段线性化并用Newmark迭代法 进行求解,研究了齿轮脱啮造成的齿轮运动的不连续性。⑹2010年,T. Osman 和Ph. Velex在齿轮轻微磨损的情况下,建立了动力学模型,通过数值模拟揭示了齿轮磨损的非对称性。[9]2011年,Marcello Faggioni等人通过分析直齿轮的非线性动力学特性及其响应,建立了以齿轮振动幅值的目标函数,利用Random-Simplex 优化算法优化了齿廓形状。[10]2013 年,Omar D. Mohammed等人对时变啮合刚度的齿轮系统动力学进行了研究,对于裂纹过长所带来的有限元 误差问题,提出了一种新的时变啮合刚度模型。通过时域方面的故障诊断数据和FEM 结果对比,证明了新模型能够更好地解长裂纹问题。[11] 国内研究齿轮系统动力学也进行了大量的研究。2001年,李润芳等人建立 了具有误差激励和时变刚度激励的齿轮系统非线性微分方程,利用有限元法求得 齿轮的时变啮合刚度和啮合冲击力,研究了齿轮系统在激励作用下的动态响应。[12]2006年,杨绍普等人研究了考虑时变刚度、齿轮侧隙、啮合阻尼和静态传递误差影响下的直齿轮副的非线性动力学特性,利用增量谐波平衡法对系统方程进行了求解,研究了系统的分岔特性以及阻尼比和外激励大小对系统幅频曲线的影响。[13]2010年,刘国华等人建立了考虑齿轮轴的弹性、齿侧间隙、油膜挤压刚度和时变啮合刚度等因素的多体弹性非线性动力学模型,研究了齿廓修形和轴的扭转刚度对动力学特性的影响。[14] 2013年,王晓笋,巫世晶等人建立了含有非线性齿侧间隙、内部误差激励和含磨损故障的时变啮合刚度的三自由度齿轮传动 系统平移一扭转耦合动力学方程。采用变步长Gill积分、GRAM —SCHMIDT方 法,得到了系统对应的分岔图和李雅普诺夫指数谱,研究发现了系统内部丰富的 非线性现象,而系统进入混沌运动的途径也是多样的。[15]

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