分子的形状判断
分子的立体结构判断
正弦余弦定理判断三角形形状专题
例1：已知△ABC 中,bsinB=csinC,且C B A 2 22sin sin sin +=,试判断三角形的形状． 例２：在△ABC 中，若Ｂ= 60，２b=a+c,试判断△ABC 的形状. 例3：在△ABC 中，已知 22 tan tan b a B A =，试判断△ABC 的形状． 例4：在△ABC 中，（1）已知sinA=2cosBsinC ，试判断三角形的形状； （2）已知sinA= C B C B cos cos sin sin ++，试判断三角形的形状． 例5：在△ABC 中，（1）已知a －b=ccosB －ccosA ，判断△ABC 的形状． （2）若b=asinC,c=acosB,判断△ABC 的形状． 例6：已知△ABC 中，5 4 cos = A ，且3:2:1)2(::)2(=+-c b a ，判断三角形的形状． 例7、△ABC 的内角A 、 B 、 C 的对边abc,若abc 成等比数列，且c=2a ，则△ABC 的形状为（ ） ∴△ABC 为钝角三角形。 例8 △ABC 中，sinA=2sinBcosC,sin 2A=sin 2B+sin 2C,则△ABC 的形状为（ ） 例9△ABC 中A 、B 、C 的对边abc ，且满足（a 2+b 2）sin(A-B)=(a 2-b 2)sinC,试判断△ABC 的形状。 ∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形。 1、 在三角形ABC 中，三边a 、b 、c 满足::1)a b c =，试判断三角形的形状。 所以三角形为锐角三角形。 3、在△ABC 中，已知sin sin B C ＝cos 22A 试判断此三角形的类型.故此三角形是等腰三角形. 4、(06陕西卷) 已知非零向量AB →与AC →满足(AB →|AB →| +AC →|AC →| )·BC →=0且AB →|AB →| ·AC →|AC →| =12 , 则△ ABC 为( ) A 、三边均不相等的三角形 B 、直角三角形 C 、等腰非等边三角形 D 、等边三角形 5、在ABC ?中，设,,,BC a CA b AB c === 若,a b b c c a ?=?=? 判断ABC ?的形状。 6、在△ABC 中，cos cos b A a B =试判断三角形的形状 故此三角形是等腰三角形. 7、在ABC ?中，如果lg a lg c -=lgsin B =-B 为锐角判断此三角形的形状。 故此三角形是等腰直角三角形。 巩固练习：在ABC ?中，若 22 tan :tan :,A B a b =试判断ABC ?的形状。 ABC ∴?为等腰三角形或直角三角形。
常见构图形式形状
常见构图形式形状 对于设计来讲，纠正视差的活动在不断进行着，中文字体的宋体和英文字体的罗马字，不约而同的采取了横细竖粗的方式，这并非巧合。这道横线在人类心灵上刻下的印记是那么的明 显和具有影响力：它能给你带来平静、舒适和安祥的感觉。 对于风景来讲，低地平线多半是为了表现天空；而对于其他方面，低地平线是为了突出前景或中景中某个高大的对象。 光是一条直线，显然是很无趣的，若是在线上有些点缀，产生节奏或呼应，便显得生动多了。上图是Visa卡的广告，取了美国西部的一个景来说明在荒野之地亦可应用方便。 天空占了很大篇幅，云彩也有厚度，但是这些在构图上都不是主导的，所有的力量都被地平线所吸引着：天空≈空 横陈的云朵，有韵律感的树丛，令人惬意的田园交响。
好像是toyota的广告，车类的广告以风光衬托比较常见，目的是把人和自然的接触联系起 来。看起来悠闲自得，宛如棋盘上一步大飞。 微倾的地平线能带来动感，这在现代感的构图中被广泛应用，让简单的横线添加了不是那么 强烈的纵深感，对于表现情节有益。画面上3个女人由孤岛奔向救生的直升机。 这个你绝想不到是windowsXP的广告画面，将视平线抬高给你看看干裂的土地，多么沧桑，多么XP（经验）啊。远处那道亮白线虽然很细小，但仍旧很能吸引你的视线：那是XP的工作台向你奔来，如飞车一般。 由于使用了广角镜头的关系，你可以看到地面有弧度：这种手法是在暗示你生存在球上，也用来表现宽广的地域。
这张也是来自一个车的广告，不过不是轿车，是皮卡——在这种时候，你需要它。 接近1/2的地平线是较常见的位置，给人更多的真实感和亲切感，只是注意要将上下二部分元素调整一下，不要如镜像般完全一致才可获生动。 子曰：“仁者乐山，智者乐水”，中国传统审美很早就说明了这个问题。在长期的审美积淀后 把这二种不同的自然形态对应起来：文天祥正气歌：“天地有正气杂然赋流形下则为河岳上则为日星” 若是从形态意义上来讲，山型，在孙子兵法中有：“不动如山”，并且在后期的“十二纹章”（见注一）中，也将山型作为“稳重”的象征。 学设计艺术，却是基于西方理念，故归纳到几何形态，曰：▲构图。其实天下大同，理意相通。 好吧好吧，换个西化的脑袋来一起看看下面的几幅图：
(完整版)解三角形三类经典题型
解三角形三类经典类型 类型一 类型二 类型三 判断三角形形状 求范围与最值 求值专题 类型一 判断三角形形状 2 2 2 例1已知△ ABC 中,bsinB=csinC,且sin A sin B sin C ,试判断三角形的形状. 解：T bsinB=csinC,由正弦定理得 sin 2 B=sin 2C ,「. sinB=sinC B=C 由sin 2A sin 2 B sin 2C 得a 2 b 2 c 2 三角形为等腰直角三角形. 例2:在厶ABC 中,若E =60 ,2 b=a+c,试判断△ ABC 的形状. 解：T2 b=a+c,由正弦定理得 2sinB=sinA+sinC,由 B=60 得 sinA+sinC= . 3 由三角形内角和定理知 sinA+sin( 120 A )= 3 ,整理得sin(A+ 30 )=1 二A+30 90，即A 60 ,所以三角形为等边三角形 2bc 整理得(a 2 b 2)(a 2 b 2 c 2) 0 ? a 2 b 2或a 2 b 2 c 2 即三角形为等腰三角形或直角三角形 例4：在厶ABC 中，(1)已知sinA=2cosBsinC ，试判断三角形的形状； (2)已知sinA= sin B sinC ，试判断三角形的形状. cosB cosC 解：⑴由三角形内角和定理得 sin(B+C)=2cosBsinC 整理得sinBcosC — cosBsinC=0即sin(B — C)=0 ? B=C 即三角形为等腰三角形 (2)由已知得sinAcosB+sinAcosC=sinB+sinC ，结合正、余弦定理得 例3:在厶ABC 中，已知 tan A tan B 2 ，试判断厶ABC 的形状. b 2 解：法1:由题意得 sin AcosB sin B cos A ■ 2 A sin A ■ 2 - sin B ,化简整理得 sinAcosA=sinBcosB 即 sin2A=sin2B ??? 2A=2B 或 2A+2B=n /? A=B 或 A a 2 a 2 ,2 c b 法2：由已知得sinAcosB sin B cos A 2 a 2 结合正、余弦定理得 b 2 2ac b b 2 2 2 c a a 2 b 2 B i ，?三角形的形状为等腰三角形或直角三角形.
判断三角形形状的常用方法
判断三角形形状的常用方法 判定三角形的形状，在数学竞赛中经常出现，这类试题灵活多变，解决这类问题，要根据题目的特点，选用恰当的方法，它往往将代数、几何、三角等知识之间的联系，用到的数学思想方法较多，具有一定的技巧，本文结合近几年的各类数学竞赛题，介绍判定三角形形状的一些常用技法，供读者参考。 一、配方法 例 1. （2001年初二“希望杯”第二试）若?ABC 的三边长是a 、b 、c ，且满足 a b c b c b c a c a c a b a b 444224442244422=+-=+-=+-，，，则?ABC 是（ ） A. 钝角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形 解：由条件a b c b c b c a c a c a b a b 444224442244422=+-=+-=+-，，，三式相加得 a b c a b b c c a 4442222220++---= 配方得： 12 022*******[()()()]a b b c c a -+-+-= 因为a 、b 、c 是三角形的边长，所以 a b b c c a 222222000-=-=-=，， 得a b c BC ==，?A 为等边三角形，故选D 。 例 2. （2002年河南省初二数学竞赛）?ABC 的三边为a 、b 、c ，且满足a b c a b c 222325215++=?+..，则?ABC 是（ ） A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等边三角形 D. 以上答案都不对 解析：初看本题很难入手，先化简条件等式，即去分母化简整理得： 44138120222a b c ac bc ++--= 到此思路已经明朗，配方得 423022()()a c b c -+-= 所以a c -=0且230b c -= 得c a b a ==，32 所以?ABC 是等腰三角形，故选B 。 二、因式分解 例 3. （2002年太原市初中数学竞赛）已知a 、b 、c 为三角形的三边，且满足a ab ac bc b bc ba ca 2200+--=+--=，，则?ABC 是（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形
三角形的形状的判定
三角形的形状的判定 浙江奉化江口中学（315504）毛显勇 在三角函数及向量应用中,有关三角形的形状的判定，在教材中既没有直接的例题，也没有相应的练习题和习题，而此类型的题又是经常碰到的，所以教师不能只作一些范例的讲解，而应对知识作一种较全面的归纳和分析,再分不同的类型选择例题作专题讲解。这样，既把所学知识连成一片，又巩固了知识，使所学的内容前后联系，扩大应用范围，达到融会贯通。 1、复习三角形中有关知识： 1.1角的关系：A+B+C=ππ=?C -(A+B)、 2 22B A C +-=π 或A+B=π-C 、2 22C B A -=+π 1.2边的关系：任两边之和大于第三边，任两边之差小于第三边。 1.3边角关系：同一个三角形中，大边对大角，小边对小角。 正弦定理： R C c B b A a 2sin sin sin ===。 余弦定理：A bc c b a cos 2222-+=， B ac c a b cos 2222-+=， C ab b a c cos 2222-+=。 三角形面积：S=21C ab sin =21A bc sin =21B ca sin 1.4三角形的分类：按角分：锐角Δ，直角Δ，钝角Δ。 按边分：等腰Δ，等边Δ。 其它：斜三角形，等腰直角三角形，等等。 2、三角形形状的判定： 在ΔABC 中，三内角A 、B 、C 所对的三边长为a 、b 、c 。 2.1若 a=b 或cosA=cosB 、tanA=tanB 、sinA=sinB ? A=B 则三角形是等腰三角形； 2.2若2 22c b a =+ 则C 是直角，三角形是直角三角形； 22b a +<2c 则C 是钝角，三角形是钝角三角形； 222c b a >+ 则C 是锐角，若a 、b 、c 中c 最大，则三角形是锐角三角形。 2.3若 cosAcosBcosC>0, 则A 、B 、C 都是锐角，三角形是锐角三角形； cosAcosBcosC=0, 则A 、B 、C 中必有一个是直角，三角形是直角三角形； cosAcosBcosC<0, 则A 、B 、C 中必有一个是钝角，三角形是钝角三角形。 2.4若a ?b =0?a ⊥b ，则三角形是直角三角形。 3、举例应用：
由平面向量的数量积判断三角形形状
由平面向量的数量积判断三角形形状 河北 张军红 由平面向量的数量积定义及其几何意义可知数量积是数与形的结合点，利用平面向量的数量积可以处理有关长度，角度和垂直的问题，从而较容易判断三角形的形状。本文总结如下： 例1：在△ABC 中，AB a =，BC b =，且0a b ?>，则△ABC 是什么三角形（ ） A.锐角三角形 B.直角三角形 C. 钝角三角形 D.等腰直角三角形 解：0AB BC ?>，即│AB │·│BC │cos(π－B)>0，∴cosB<0∴△ABC 是钝角三角形 例2：以O(0,0)，A(a,b)，B(b+a,b －a)为顶点的三角形的形状是（ ） A 直角三角形 B 等腰三角形 C 等边三角形 D 等腰直角三角形 解∵OA =(a,b)，AB =(b,－a),∴()0OA AB ab b a ?=+-=∴OA ⊥AB 又∵│AB │=22b a +，│OA │=22b a +，∴│AB │=│OA │所以△ABC 为等腰直角三角形 说明：向量如果用坐标表示，应用数量积的坐标运算，先看AB 、BC 、AC 是否有一对垂直。 例3：若O 为△ABC 所在平面内一点，且满足()(2)0OB OC OB OC OA -+-=则△ABC 的形状为（ ） A.等腰三角形 B.直角三角形 C. 等边三角形 D.等腰直角三角形 解：原式可化为()0CB OB OA OC OA -+-=即()0CB AB AC += 结合图可知平行四边形ABCD 为菱形, 所以△ABC 为等腰三角形 例4：若O 为△ABC 所在平面内一点，且满足0OB OC CO CO OA BC ++=，则△ABC 的形状为（ ） A.等腰三角形 B.直角三角形 C. 等边三角形 D.等腰直角三角形 解：原式可变为()0OC OB OC OA BC -+=∴0OC CB OA BC += 即()00CB OC OA CB AC -=∴=∴CB AC ⊥∴△ABC 为直角三角形 说明：以上两例式子中都含与三角形无关的O ，应先通过向量知识使式子中不含有O ，再通过数量积求解。 例5：已知AB 、AC 是非零向量且满足(AB －2AC ) ⊥AB ，(AC －2AB ) ⊥AC ，则△ABC 的形状是（ ） A.等腰三角形 B.直角三角形 C. 等边三角形 D.等腰直角三角形 解：(AB －2AC ) ⊥AB (AB －2AC ) ·AB =0即AB ·AB －2AC ·AB =0 AB AC +C B A
判断三角形形状
判断三角形形状 解三角形是高考考察的重要内容，借助三角变换、正余弦定理和向量解与三角形有关的问题是高考命题的新趋势。而判断三角形形状也是高考命题的重点． 一、运用三角函数的公式判断三角形形状 例1．在△ABC中，sinBsinC＝cos2 ，则此三角形是（）． A.等边三角形 B.三边不等的三角形 C.等腰三角形 D.以上答案都不对 解析：利用倍角公式和两角和（差）公式化简判断． 解：选C．∵sinBsinC＝cos2 ，∴sinBsinC＝， ∴2sinBsinC＝1+cosA，∵在△ABC中，A＋B＋C＝π，∴2＝1-cos（B+C），∴2sinBsinC＝1- cosB cosC+ sinBsinC，∴sinBsinC +cosB cosC=1，∴cos（B-C）=1，∴在△ABC中，B-C=0，∴B=C，∴△ABC是等腰三角形． 2.设A、B、C是△ABC的三个内角，且tanA、tanB是方程3x2-5x+1=0的两个实根，那么△ABC是 A.钝角三角形 B.锐角三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形 解析：利用二次函数的韦达定理和正切的两角和公式化简判断． 解：选A. ∵tanA、tanB是方程3x2-5x+1=0的两个实根，∴，∵tan（A+B）= = = ，∴tanC=- tan（A+B）=-，∴△ABC是钝角三角形． 点评：1．运用三角函数公式进行化简，其中往往用三角形内角和定理A＋B＋C＝π通过诱导公式转化为一个角．然后通过这个角的值判断三角形的形状． 2．而三角形内角和定理A＋B＋C＝π一方面可转化角， 如sinA=sin（B+C），cosA=-cos（B+C），sin =cos ，cos =sin ，另一方面可判断三个内角的范围不能超出（0，）。 二、运用正弦定理和余弦定理判断三角形形状
判定三角形形状的十种方法
判定三角形形状的十种方法 数学考试和数学竞赛中，常有判断三角形形状的题目，这类题目涉及的知识面广，综合性强，它沟通了代数、几何、三角等方面的知识联系。解题思路不外是从边与边、边与角之间的关系考虑，从而达到解题的目的。 1、若有a=b或(a-b)(b-c)(c-a)=0, 则△ABC为等腰三角形。 2、若有(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2=0, 则△ABC为等边三角形。 3、若有a2+b2＞c2，则△ABC为锐角三角形； 若有a2+b2＝c2，则△ABC为直角三角形； 若有a2+b2＜c2，则△ABC为钝角三角形。 4、若有（a2-b2）（a2+b2-c2）=0， 则△ABC为等腰三角形或直角三角形。 5、若有a=b且a2+b2=c2， 则△ABC为等腰直角三角形。 以上是从三角形的边与边之间的关系考虑的。 6、若有sin2A+sin2B=sin2C或sinA=sinB, 则△ABC为直角三角形或等腰三角形。 7、若有cosA＞0，或tanA＞0,(其中∠A为△ABC中的最大角) 则△ABC为锐角三角形。
8、若有cosA＜0，或tanA＜0,(其中∠A为△ABC中 的最大角), 则△ABC为钝角三角形。 9、若有两个（或三个）同名三角函数值相等（如 tanA=tanB）,则△ABC为等腰三角形（或等边三角形）。 10、若有特殊的三角函数值，则按特殊角来判断，如 cosA=，b=c,则△ABC为等边三角形。 以下就一些具体实例进行分析解答： 一、利用方程根的性质： 例1：若方程x2+2ax+b2=0与x2+2cx-b2=0有一 个相同的根，且a、b、c为一个三角形的三条边，则此三 角形为（） （A）锐角三角形；（B）钝角三角形； （C）以c为斜边的直角三角形；（D）以a为斜边的直角 三角形； (“缙云杯”初中数学邀请赛) 解：将两个方程相减，得：2ax-2cx+2b2=0,显然a≠c，否则b=0，与题设矛盾，故x= ,将两个方程相加， 得2ax+2cx+2b2=0，∵x≠0,否则b=0，与题设矛盾， ∴x=-（a+c），∵两个方程有一个相同的根， ∴ =-（a+c），即b2+c2=a2，故△ABC是以a为斜边 的直角三角形，故应选（D） 二、利用根的判别式
利用平面向量判断三角形形状练习题专题
利用平面向量判断三角形形状 1．三角形ABC 中，5BC =，G ，O 分别为三角形ABC 的重心和外心，且5GO BC ?=，则三角形ABC 的形状是（ ） A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形 D ．上述均不是 【答案】B 【解析】 【分析】 取BC 中点D ，利用GO GD DO =+代入计算，再利用向量的线性运算求解． 【详解】 如图，取BC 中点D ，连接,OD AD ， 则G 在AD 上，13 GD AD =，OD BC ， ()GO BC GD DO BC GD BC DO BC ?=+?=?+? 221111()()()53326 GD BC AD BC AB AC AC AB AC AB =?=?=?+?-=-=， ∴2223025AC AB BC -=>=，∴2220AB BC AC +-<， 由余弦定理得cos 0B <，即B 为钝角，三角形为钝角三角形． 故选：B ． 2．若O 为ABC ?所在平面内任一点，且满足()()0OB OC OC OA CA AB -?-++=，则ABC ?的形状为（ ） A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等腰直角三角形 D ．等边三角形
【答案】A 【解析】 【分析】 利用平面向量加法和减法的三角形法则以及向量数量积的性质即可进行判断. 【详解】 由()()0OB OC OC OA CA AB -?-++=，即()0CB AC CB CB AB ?+=?=， 所以，CB AB ⊥，即2B π∠= ，故ABC ?为直角三角形. 故选：A. 【点睛】 本题主要考查了平面向量加法和减法的三角形法则以及向量数量积的性质的简单应用，属于基础题. 3．已知非零向量AB ，AC 满足0||||AB AC BC AB AC ??+= ? ???，且1||||2AB AC AB AC =，则ABC ?的形状是( ) A ．三边均不相等的三角形 B ．直角三角形 C ．等腰（非等边）三角形 D ．等边三角形 【答案】D 【解析】 【分析】 先根据0||||AB AC BC AB AC ??+= ? ???，判断出A ∠的角平分线与BC 垂直，进而推断三角形为等腰三角形进而根据向量的数量积公式求得C ，判断出三角形的形状． 【详解】 解：0||||AB AC BC AB AC ??+= ? ??? ，||AB AB ，||AC AC 分别为单位向量， A ∴∠的角平分线与BC 垂直，
构图的方式分为以下几种
构图的方式分为以下几种: （1）井字构图 这种构图形式，是假设把画面的长宽各分为三等分，把相交的各点用直线连接，形成“井”字形。被摄主体不是位于画面的正中，而是被安置在组成井字的纵横线条的交叉点上，整幅画面显得既庄重，又不拘谨，而且主体形象格外醒目。 （2）正三角形构图 构图中三角形一向是比较稳重的形式，而采用正三角形构图，除了画面上给人以坚强、镇静的感觉外，在表现力上也具有很好的烘托效果。对于需要表现一定气氛的画面，正三角形构图可以说是最恰当的形式之一。 （3）倒三角形构图 和正三角形构图的稳重相反，倒三角这种构图方式具有一种动态的活力。给人一种明快、动态的感觉。但是需要注意的是在构图时，
一定要注意它的左右两边最好要有些不同的变化或者比较，这样才能打破两边的绝对平衡，使画面更活泼。 （4）斜三角形构图 斜三角形是介于正三角形和倒三角形之间的一种构图方式，其表现力也介于正三角形和倒三角形构图之间，可以使主体和辅助背景对比更加鲜明，属于一种比较常用的构图方式。 （5）垂直式构图 垂直式构图主要是用在高山、建筑物、瀑布等景物的拍摄上。它的整个画面主要由垂直线条组成，能将被摄景物表现得巍峨高大和富有气势。 （6）斜线式构图 斜线式构图可以表示物体运动、变化的动态感，能使画面产生动感。其动感的程度与角度有关，角度越大，其前进的动感越强烈，但角度不能大于45度，否则会产生下倾感。 （7）水平式构图
采用这种构图，常能给人以一种平静、舒坦的感觉，用于表现自然风光，则更能使景色显得辽阔、浩瀚。水平构图照片中的景物显得安静而稳重，突出一种平静的感觉。 （8）曲线式构图 和其它构图方式相比，曲线式构图的线条最美，感染力最强，用曲线式构图可以渲染被摄景物，使其更加美丽动人 （9）渐进式构图 渐进式构图主要是用在道路等场景中，它利用逐渐过度的手法，表现出更强的视觉效果。渐进式构图中经常使用的就是以一条蜿蜒的小道是为引导，产生不错的视觉效果。 （1）九宫格构图 九宫格构图有的也称井字构图，前面已讲过，实际上属于黄金分割式的一种形式。就是把画面平均分成九块，在中心块上四个角的点，用任意一点的位置来安排主体位置。实际上这几个点都符合“黄金分割定律”，是最佳的位置，当然还应考虑平衡、对比等因素。这种构图能呈现变化与动感，画面富有活力。这四