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有关一元二次方程问题的错解分析

有关一元二次方程问题的错解分析
有关一元二次方程问题的错解分析

有关一元二次方程问题的错解分析

江苏泰兴市分界镇湖头初中 丁建军

一元二次方程是初中数学的重要基础知识,它既是重点又是难点,更是中考热点之一。解题时稍有疏忽就会出现错误,下面就解题中的一些常见错误作一些剖析。

一、忽略一元二次方程二次项系数不为零的条件

例1、已知方程(m+2)x2+2x-1=0有两个实数根,求m 的取值范围。

错解:由题意得Δ=4-4(m+2)×(-1)≥0,解得m ≥-3.

剖析:当m=-2时,原方程为2x-1=0,有一个实数根x=0.5,与题意不合,根据题意原方程有两个实数根,就说明,原方程为一元二次方程,上述解法中忽视了一元二次方程的二次项系数不能为零这一隐含条件,因此正确答案应为m ≥-3且m ≠-2.

二、忽略一元二次方程有实根的条件

例2、已知方程2x 2-mx-2m+1=0的两实根的平方和为

429,求m 的值 错解:由题意得x 1+ x 2=21m, x 1x 2=2

12+-m ; 则x 12+x 22=(x 1+x 2)2-2x 1x 2=(2m )2-2×412+-m =4

29; 即m 2+8m-33=0,解得m 1=3,m 2=-11。

剖析:此方程虽有a=2≠0,由于题目中已明确有实数根,则必须有Δ≥0的先决条件。

即Δ=(-m)2-4×2×(-2m+1)=m 2+16m-8≥0,当m=3时, Δ>0;当m=-11时, Δ<0。

故正确答案为m=3.

三、受思维定势的影响,造成解题错误

例3、关于x 的方程mx 2-2x+3=0有实根,求m 的取值范围。

错解: 由题意得Δ=(-2)2-4m ×3≥0,解得m ≤

31 ∵二次项系数m ≠0

∴m 的取值范围是m ≤

31且m ≠0。 剖析:题意是方程mx 2-2x+3=0有实根,并没有明确指明是二次方程还是一次方程有实

根。上面的解法先入为主只讨论它为二次方程,而忽视了也可能为一次方程。当m=0时,原方程为2x-3=0,有实根x=23,因此,正确答案为m ≤3

1。 四、忽视隐含条件,造成解题错误

例4、已知方程4x 2-2(a+1)x+a=0的两实根恰好为一个直角三角形的两锐角的正弦,求a

的值。

错解:由题设可知:sinA+sinB=

21+a sinAsinB=4

a ∵∠A+∠B=900 则 sinB=cosA ∴ sin 2A+cos 2A=( sinA+ cosA)2-2 sinA cosA=(

21+a )2-2×2a =1 ∴a=±3

剖析:因为锐角三角函数均为正值,所以两根必须满足:sinA>0, sinB>0, 故

sinAsinB=4

a >0. 故正确答案为a=3

五、审题不慎,造成的解题错误

例5、若方程x 2+(m-6)x+(5-3m)=0的两根都比2大,求m 的取值范围。

错解:由题意可知:Δ=(m-6)2-4(5-3m)=m 2+16>0 即m 为任意值

x 1+ x 2=6-m>4 即m<2

x 1x 2=5-3m>4 即m<

31 ∴m<3

1 剖析:但是如果令m=-2时,方程x 2-8x+11=0,则x 1=4-5<2,不符合题意,错在何处

呢?错在审题不慎上。我们知道两个大于2的数之和与之积固然大于4;但若两数之和与之积都大于4,此二数未必都大于2。

故此题可这样考虑:Δ= m 2+16>0 即m 为任意值

x 1+ x 2=6-m>4 即m<2

(x 1-2)(x 2-2)= x 1x 2-2(x 1+ x 2)+4=5-3m-2(6-m)+4>0 即m<-3 ∴正确结果为m<-3

第一章一元二次方程复习测试(含答案)

一元二次方程 复习测试 一、选择题(共20分) 1. 如果关于x 的一元二次方程20x px q ++=的两根分别为12x =,21x =,那么p 、q 的 值分别是( ) A .-3,2 B. 3,-2 C. 2,-3 D. 2,3 2. 在一元二次方程20ax bx c ++=中,如果a 和c 异号,那么这个方程 ( ) A .无实数根 B. 有两个相等的实数根 C .有两个不相等的实数根 D. 不能确定 3. 若2x =-是关于x 的一元二次方程22502 x ax a -+=的一个根,则a 的值为 ( ) A .1 或 4 B. -1 或-4 C. -1或4 D. 1或4 4.某超市一月份的营业额为36万元,三月份的营业额为48万元.设每月的平均增长率为x ,则可列方程为( ) A. 248(1)36x -= B. 2 48(1)36x += B. C. 236(1)48x -= D. 236(1)48x += 5.已知关于x 的一元二次方程20x ax b ++=有一个非零根b -,则a b -的值为 ( ) A . 1 B. -1 C. 0 D. -2 6. 已知关于x 的一元二次方程22(2)(21)10k x k x -+++=有两个不相等的实数根,则k 的 取值范围是( ) A. 43k > 且2k ≠ B. 43 k ≥且2k ≠ B. C. 34k >且2k ≠ D. 34k ≥且2k ≠ 7. 下列一元二次方程中,没有实数根的是( ) A .4x 2﹣5x +2=0 B . x 2﹣6x +9=0 C . 5x 2﹣4x ﹣1=0 D .3x 2﹣4x +1=0 8. 某种品牌运动服经过两次降价,每件件零售价由560元降为315元,已知两次降价的百 分率相同,求每次降价的百分率.设每次降价的百分率为x ,下面所列的方程中正确的是 ( ) 9. 设x 1,x 2是方程x 2+5x ﹣3=0的两个根,则x 12+x 22的值是( ) A . 19 B . 25 C . 31 D . 30

一元二次方程(6)

一、教学目标: 1.经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程,体会方程与函数之间的联系. 2.理解抛物线交x轴的点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系,理解何时方程有两个不等的实根、两个相等的实数和没有实根. 3.能够利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根。 二、教学重点、难点: 教学重点: 1.体会方程与函数之间的联系。 2.能够利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根。 教学难点: 1.探索方程与函数之间关系的过程。 2.理解二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系。 三、教学方法:启发引导合作交流 四:教具、学具:课件 五、教学媒体:计算机、实物投影。 六、教学过程: [活动1] 检查预习引出课题 预习作业: 1.解方程:(1)x2+x-2=0; (2) x2-6x+9=0; (3) x2-x+1=0; (4) x2-2x-2=0.

2. 回顾一次函数与一元一次方程的关系,利用函数的图象求方程3x-4=0的解. 师生行为:教师展示预习作业的内容,指名回答,师生共同回顾旧知,教师做出适当总结和评价。 教师重点关注:学生回答问题结论准确性,能否把前后知识联系起来,2题的格式要规范。 设计意图:这两道预习题目是对旧知识的回顾,为本课的教学起到铺垫的作用,1题中的三个方程是课本中观察栏目中的三个函数式的变式,这三个方程把二次方程的根的三种情况体现出来,让学生回顾二次方程的相关知识;2题是一次函数与一元一次方程的关系的问题,这题的设计是让学生用学过的熟悉的知识类比探究本课新知识。 [活动2] 创设情境探究新知 问题 1.课本P16问题. 2.结合图形指出,为什么有两个时间球的高度是15m或0m?为什么只在一个时间球的高度是20m? (结合预习题1,完成课本P16 观察中的题目。) 师生行为:教师提出问题1,给学生独立思考的时间,教师可适当引导,对学生的解题思路和格式进行梳理和规范;问题2学生独立思考指名回答,注重数形结合思想的渗透;问题3是由学生分组探究的,这个问题的探究稍有难度,活动中教师要深入到各个小组中进行点拨,引导学生总结归纳出正确结论。 二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系? 二次函数y=ax2+bx+c的图象和x 轴交点一元二次方程ax2+bx+c=0的根 一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式 Δ=b2-4ac 两个交点两个相异的实数根 b2-4ac > 0 一个交点两个相等的实数根 b2-4ac = 0 没有交点没有实数根 b2-4ac < 0 教师重点关注:

解一元二次方程--教学设计(张洁)

一、关联认知经验, 明确研究方向 问题(1)我们上节课已经学习了一元二次方程的概念,按照你以往的学习经验,接下来我们要研究什么呢? 活动(1)请每组同学写出一些一元二次方程,为了方便观察,我们统一都写成一元二次方程的一般形式. 活动(2)虽然同学们写的都是一般形式,但是我们还是发现大家能够写出看起来是各式各样的一元二次方程.当我们要研究一个比较复杂的情形时可以怎么办呢?对,分类.那么请同学试着将这些一元二次方程分分类吧. 活动(3)请每组同学领一张任务纸,讨论呈现方式后,将自己小组同学写出的所有一元二次方程进行归类。学生预案: 根据已有的学习一元一次方程和分式 方程的经验,我们是按照方程的概念、解 法和应用的顺序展开研究,下面应该研究 一元二次方程的解法了. 学生预案: 分类方法可能有: (1)按等号左边多项式所含的项数分; (2)按系数是否为零分等情况; 教师预案: 根据学生的分类情况及时回应,如果 学生分类范围比较大,追问还能细分么? 例子中若含有x2+1=0,x2+2x=0则引导学 生细分为两种情况,例子中若不含 x2+2x=0,教师不急于补充,在接下来的环 节中引导学生自主写出. 经过讨论,发现当a>0时,根据b、c 正、零、负的不同取值,一元二次方程共 有9种不同的类型;当a<0时,依据等式 的基本性质可将方程变为a>0的情形,因 此我们可以直接对b、c进行分类,对这9 类情形进行解法探究. 学生预案: 类别的呈现会出现直接罗列、树状 图、列表格等不同的形式。 教师预案: 用实物投影全班展示,比一比谁的呈 现方式更加直观简洁。 让学生有意识的 根据自己的学习经验, 总结代数学中研究方 程的一般顺序.自主提 出研究的内容和方向. 让学生自己写一 元二次方程,是对定义 的一次复习,同时也是 训练学生的发散思维, 提高同学的参与度和 研究兴趣的一种策略. 使学生在分类活 动中逐步认识一元二 次方程的各种形式,为 探究一元二次方程的 解法布好局,学生在接 下来的学习中探究每 个不同形式的方程解 法,也就完成了整个单 元中解法探索的整合 教学.使学生的学习是 连贯的、系统的,知识 的建构是完整的. “列表格”是数学中 常用的分析问题的方 法,既有直观简洁的特 征,又能体现分类者的 思维顺序。这里,通过 填表加深学生对一元 二次方程各项系数的 认识,以及方程不同类 型的理解,并为后续研

浙教版八年级下数学第二章一元二次方程练习(A)含答案

浙教新版八年级下第二章一元二次方程练习A 卷 姓名:__________班级:__________考号:__________ 一 、选择题(本大题共12小题) 1.下列方程中,一元二次方程共有( )个 ①x 2﹣2x ﹣1=0;②ax 2+bx+c=0;③ +3x ﹣5=0;④﹣x 2=0;⑤(x ﹣1)2+y 2=2;⑥(x ﹣1)(x ﹣3)=x 2. A .1 B .2 C .3 D .4 2.关于x 的一元二次方程(a ﹣1)x 2 +x+a 2 ﹣1=0的一个根是0,则a 的值是( ) A . ﹣1 B . 1 C . 1或﹣1 D . ﹣1或0 3.一元二次方程x 2﹣8x ﹣1=0配方后可变形为( ) A .(x+4)2=17 B .(x+4)2=15 C .(x ﹣4)2=17 D .(x ﹣4)2=15 4.关于x 的一元二次方程kx 2 ﹣6x+1=0有两个不相等的实数根,则k 的取值范围是( ) A . k ≥9 B . k <9 C . k ≤9且k ≠0 D . k <9且k ≠0 5.若关于x 的一元二次方程mx 2 ﹣2x+1=0无实数根,则一次函数y=(m ﹣1)x ﹣m 图象不经过( ) A . 第一象限 B . 第二象限 C . 第三象限 D . 第四象限 6.已知关于x 的方程 ()0112 =--+x k kx ,下列说法正确的是( ) A .当0=k 时,方程无解 B .当1=k 时,方程有一个实数解 C .当1-=k 时,方程有两个相等的实数解 D .当0≠k 时,方程总有两个不相等的实数解 7.已知关于x 的一元二次方程(k ﹣1)x 2 ﹣ x+=0有实数根,则k 的取值范围是( ) A . k 为任意实数 B . k ≠1 C . k ≥0 D . k ≥0且k ≠1 8.已知三角形两边的长分别是2和3,第三边的长是方程x 2 ﹣8x+12=0的根,则这个三角形的周长为 ( ) A . 7 B . 11 C . 7或11 D . 8或9

第一章一元二次方程竞赛拔尖题

8、解方程:(y 4)( y 3)(y 2)( y 1) 1 0 第一章《一元二次方程》竞赛拔尖题 2 1、若关于x 的方程x 2ax A. 2 x 2ax 3a 2 0 B. 2 x 2ax 5a 6 0 C. 2 x 2ax 10a 21 D. 2 x 2ax 2a 3 0 7a 10 0没有实根,那么必有实根的方程是 2、若关于x 的一元二次方程(b c)x 2 (a b)x c a 0有两个相等的实数根, 则a 、b 、 c 之间的关系是( ) b c , a c —— B. b —— 2 2 a b , ---- D. a b c 2 A. a C. c 3、若 2是关于x 的方程x 2 0的一个根,则a 的值为 4、已知 2 x 2 5x 2016 2)3 (x 1)2 1 的值为 x 2 5、满足 / 2 # \ n 2 (n n 1) 1的整数n 有 6、设整数a 使得关于x 的一元二次方程5x 2 5ax 26a 143 0的两个根都是整数,则 a 的值是 2 7、设a 、b 是整数,方程x ax b 0的一根是 7^2/3 ,求a+b 的值

9、求方程x 2 12x 5 5j x 2 12x 9的实数根的和与积 个时,求实数a 的取值范围 11、设等腰三角形的一腰与底边长分别是方程 2 c x 6x a 0的量根,当这样的三角形只有 12、已知3个不同的实数 a 、 2 b 、c 满足a-b+c=3,方程x 2 ax 1 0 和 x bx c 0 有一 个相同的实根,方程 x 2 2 a 0和x cx b 0也有一个相同的实根.求a 、b 、c 的值 13、已知在关于x 的分式方程 k 一 1 --- 二2①和一元二次方程 (2 - k ) x 2 +3mx+ (3 - k ) n=0②中, X - 1 k 、m 、n 均为实数,方程①的根为非负数. (1 )求k 的取值范围; (2)当方程②有两个整数根 X 1、X 2, k 为整数,且k=m+2, n=1时,求方程②的整数根; (3)当方程②有两个实数根 X 1、X 2,满足 x 1 (x 1 - k ) +x 2 (x 2- k ) = (x 1 - k ) (x 2- k ),且 k 为负整数时,试判断 m| W 是否成立?请说明理由. 15支少一元,试求初三年级共有多少学生 ?并确 (2 )若按批发价每购 15支与按零售价每购 定m 的值 10、一个批发兼零售的文具店规定: 凡一次购买铅笔 301支以上(包括301支)可以按批发

《配方法》解一元二次方程案例

《配方法》解一元二次方程教学案例 教学目标 【知识与技能】 使学生会用配方法解数学系数的一元二次方程。 【过程与方法】 经历列方程解决实际问题的过程,体会配方法和推导过程,熟练地运用配方法解一元二次方程,渗透转化思想,掌握一些转化的技能。 【情感、态度与价值观】 通过配方法的探索活动,培养学生勇于探索的良好学习习惯,感受数学的严谨性以及数学结论的确定性。 教学重点难点 【重点】用配方法解一元二次方程 【难点】配方的过程 教学过程设计 (一)创设情境 导入新课 导语一(1)你能解哪些一元二次方程? (2)你会解下列一元二次方程吗?你是怎么做的? (3)解方程x 2 +12x-15=0的困难在哪里?你能将方程x 2 +12x-15=0转化为上面方程的形式吗? 导语二 1、用配方法解一元二次方程的一般步骤是什么? 2、将下列各式配成完全平方式。 (1)a 2 +12a+ 62 =(a+ 6 )2 ; (2)x 2- x +4 1=(x+ 2 1 )2 ; 3、若4x 2 -mx+9是一个完全平方式,那么m 的值是 ±12 。 导语三 为了响应国家“退耕还林”的号召,改变水土流失严重的状况,2007年某市退耕还林1600亩,计划2009年退耕还林1936亩,则这两种平均每年退耕还林的增长率是多少? 你能用所学过的一元二次方程知识解决这个问题? [设这两年的年平均增长率为x ,则1600(1+x)2 =1936,解得x=10%,x 2=-210%(舍),即平均每年退耕还林的增长率为10%] (二)合作交流 解读探究 1、配方法

[问题]要使一块矩形场地的长比宽多6m ,并且面积为16m 2 ,场地的长和宽应各是多少个?(注:这是一个比较简单的几何题,学生经过思考,不难得出答案,请一位同学回答,教师演示答案。) 即:设场地宽xm ,长(x+6)m 。根据矩形面积为16m 2 ,列方程x(x+6)=16,即x 2 +6x-16=0 (注:本题选择以解决问题作为本节课的开端,有益于培养学生的应用意识。) (思考)怎样解方程x 2 +6x-16=0? 对比这个方程与前面讨论过的方程x 2+6x+9=2,可以发现方程x 2 +6x+9=2的左边是含有x 的完全平方形式,右边是非负数,可以直接降次解方程;而方 程x 2+6x-16=0不具有上述形式,直接降次有困难,能设法把x 2 +6x-16=0化为具有上述形式的方程吗?(注:教师提出问题,学生思考、讨论发表意见,同 时教师要引导学生发现问题的关键;若要解方程x 2 +6x-16=0,只要将其符号左边转化为一个完全平方式——配方,而配方的关键是常数项的选择,学生找出常数项,教师演示配方的过程,完成方程由不可解到可解的转化,师生完成后续步骤。) 移 项 9(即(2 6)2)使左边配成 2的形式 像上面那样,通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法,叫做配方

《一元二次方程》教材分析

第二十二章《一元二次方程》教材分析 北京八中刘颖 一. 本章的主要内容: 1. 主要内容: 一元二次方程及其有关概念, 一元二次方程的解法(配方法、公式法、因式分解法), 运用一元二次方程分析和实际问题. 2. 本章重点:一元二次方程的解法, 难点:一元二次方程的应用. 二. 中考考试要求: (2012年) 三. 课程学习目标 1. 以分析实际问题中的等量关系并求解其中的未知数为背景, 认识一元二次方程及其有关概念. 2. 根据化归的思想, 抓住―降次‖这一基本策略, 掌握配方法、公式法和因式分

解法等一元二次方程的基本解法.有条件时可选学―一元二次方程的根与系数的关系‖, 拓展对一元二次方程的认识. 3. 经历分析和解决实际问题的过程, 体会一元二次方程的数学模型作用, 进一步提高在实际问题中运用方程这种重要数学工具的基本能力. 四. 本章知识结构框图 五. 课时安排 本章教学时间约需13课时, 具体分配如下(仅供参考): 22.1一元二次方程………………(2课时) 22.2降次——解一元二次方程…(7课时) 22.3实际问题与一元二次方程…(2课时) 数学活动与小结…………………(2课时)

六. 内容安排 22.1 节以实际问题为背景, 引出一元二次方程的概念, 归纳出一元二次方程的一般形式, 给出一元二次方程的根的概念, 并提出一元二次方程的根会出现不唯一的情况. 这些概念是全章后续内容的基础. 22.2节讨论一元二次方程的基本解法, 其中包括直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法等, 这一节是全章的重点内容之一. 在本章之前的方程都是一次方程或可化为一次方程的分式方程, 一元二次方程是首次出现的高于一次的方程.解二次方程的基本策略是将其转化为一次方程, 这就是―降次‖. 本节首先通过解比较简单的一元二次方程, 引导学生认识直接开平方法解方程; 然后讨论比较复杂的一元二次方程, 通过对比一边为完全平方形式的方程, 使学生认识配方法的基本原理并掌握其具体方法; 有了配方法作基础, 再讨论如何用配方法解一元二次方程的一般形式20 a≠), 就得到一元二次方程 ++=(0 ax bx c 的求根公式, 于是有了直接利用公式的公式法, 并引出用判别式确定一元二次方程的根的情况. 本节在公式法后讨论因式分解法解一元二次方程, 这种解法要使方程的一边为两个一次因式相乘, 另一边为0, 再分别令每个一次因式为0. 这几种解法都是依降次的思想, 将二次方程转化为一次方程, 只是具体的降次手段有所不同. 本节最后增加了选学内容―一元二次方程的根与系数的关系‖. 学习这一内容可以进一步加深对一元二次方程及其根的认识, 为以后的学习做准备. 22.3节安排了3个探究内容, 结合实际问题, 分别讨论传播问题、增长率问题和几何图形面积问题. 一元二次方程与许多实际问题都有联系, 本节不是按照实际问题的类型分类和选材的, 而是选取几个具有一定代表性的实际问题来进一步讨论如何建立和利用方程模型, 重点在分析实际问题中的数量关系并以方程形式进行表示, 这种数学建模思想的体现与前面有关方程的各章是一致的, 只是在问题中数量关系的复杂程度上又有新的发展, 数学模型由一次方程或可

第二章 一元二次方程单元测试题及答案

4 13=+x x 一元二次方程单元检测 姓名 ___ 一、精心选一选(每题3分,共30分): 1、下列方程是一元二次方程的是( ) A 、12=+y x B 、()32122 +=-x x x C 、 D 、022=-x 2、关于x 的一元二次方程02 =+k x 有实数根,则( ) A 、k <0 B 、k >0 C 、k ≥0 D 、k ≤0 3、把方程2 830x x -+=化成()2 x m n +=的形式,则m 、n 的值是( ) A 、4,13 B 、-4,19 C 、-4,13 D 、4,19 4、已知直角三角形的两条边长分别是方程2 14480x x -+=的两个根,则此三角形的第三边是( ) 108 A B C D 、6或8 、 10或、 或、 5、若关于x 的一元二次方程 ()22110a x x a -++-=的一个根是0,则a 的值是( ) A 、 1 B 、 -1 C 、 1或-1 D 、1 2 6.方程x 2 =3x 的根是( ) A 、x = 3 B 、x = 0 C 、x 1 =-3, x 2 =0 D 、x 1 =3, x 2 = 0 7、若方程02 =++c bx ax )0(≠a 中,c b a ,,满足0=++c b a 和0=+-c b a ,则方程的根是( ) A 、1,0 B 、-1,0 C 、1,-1 D 、无法确定 8、已知0652 2=+-y xy x ,则x y :等于 ( ) A 、2131或 B 、32或 C 、16 1 或 D 、16或 9、方程x 2 -4│x │+3=0的解是( ) A 、x=±1或x=±3 B 、x=1和x=3 C 、x=-1或x=-3 D 、无实数根 10、使用墙的一边,再用13m 的铁丝网围成三边,围成一个面积为20m 2 的长方形,求这个长

苏科版九年级数学上册《第一章 一元二次方程》教案

1 一元二次方程 一、情境创设 1、小区在每两幢楼之间,开辟面积为900平方米的一块长方形绿地,并且长比宽多10米,则绿地的长和宽各为多少? 2、学校图书馆去年年底有图书5万册,预计到明年年底增加到7.2万册,求这两年的年平均增长率? 3、一个正方形的面积的2倍等于15,这个正方形的边长是多少? 4、一个数比另一个数大3,且两个数之积为10,求这两个数。 二、探索活动 上述问题可用方程解决: 问题1中可设宽为x 米,则可列方程: x (x +10)= 900 问题2中可设这两年的平均增长率为x ,则可列方程: 5(1+x )2 = 7.2 问题3中可设这个正方形的连长为x ,则可列方程: 2x 2 = 15 问题4中可设较小的一个数为x ,则可列方程: x (x +3)= 10 观察上面列出的4个方程,它们有哪些相同点?(从方程的概念看) 归纳:像上述方程这样,只含有一个未知数,且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程。 注:符合一元二次方程即符合三个条件:①一个未知数;②未知数的最高次数为2;③整式方程 任何一个关于x 的一元二次方程都可以化成下面的形式:ax 2+bx +c = 0(a 、b 、c 是常数,且a ≠0) 这种形式叫做一元二次方程的一般形式,其中ax 2、bx 、c 分别叫做二次项、一次项和常数项,a 、b 分别叫二次项系数和一次项系数。 三、例题教学 例 1 根据题意,列出方程: (1)某学校图书馆去年年底有图书1万册,预计到明年年底增加到1.44万册。求这两年图书的年平均增长率。 (2)一块面积为600平方厘米的长方形纸片,把它的一边剪短10厘米,恰好得到一个正方形。求这个正方形的连长。 例 2 判断下列关于x 的方程是否为一元二次方程: ⑴ 2(x 2-1)= 3y ⑵ 32 12=-x x ⑶(x -3)2= (x +5)2 ⑷ mx 2+3x -2 = 0 ⑸ (a 2+1)x 2 +(2a -1)x +5―a = 0 例 3 把下列方程化成一般形式,并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项: ⑴ 2(x 2-1)= 3 x ⑵ 3(x -3)2=(x +2)2+7 四、课时作业: 1.下列方程中,属于一元二次方程的是( ). (A )x 2-1 x =1 (B )x 2+y=2 (C x 2=2 (D )x+5=(-7)2 2.方程3x 2=-4x 的一次项系数是( ). (A )3 (B )-4 (C )0 (D )4 3.把一元二次方程(x+2)(x -3)=4化成一般形式,得( ). (A )x 2+x -10=0 (B )x 2-x -6=4 (C )x 2-x -10=0 (D )x 2-x -6=0 4.一元二次方程3x 2x -2=0的一次项系数是________,常数项是_________. 5.x=a 是方程x 2-6x+5=0的一个根,那么a 2-6a=_________. 6.根据题意列出方程: (1)已知两个数的和为8,积为12,求这两个数.如果设一个数为x ,那么另一个数为________,

[初中数学]一元二次方程说课稿人教版

《一元二次方程》说课稿 一、教材分析: 1、教材的地位和作用 一元二次方程是中学数学的主要内容之一,在初中数学中占有重要地位。通过一元二次 方程的学习,可以对已学过实数、一元一次方程、因式分解、二次根式等知识加以巩固,同 时又是今后学习可化为一元二次方程的其它高元方程、一元二次不等式、二次函数等知识的 基础。此外,学习一元二次方程对其它学科有重要意义。本节课是一元二次方程的概念,是 通过丰富的实例,让学生建立一元二次方程,并通过观察归纳出一元二次方程的概念。 2、教学目标 根据大纲的要求、本节教材的内容和学生的好奇心、求知欲及已有的知识经验,本节课 的三维目标主要体现在: 知识与能力目标:要求学生会根据具体问题列出一元二次方程,体会方程的模型思想, 培养学生归纳、分析的能力。 过程与方法目标:引导学生分析实际问题中的数量关系,回顾一元一次方程的概念,组 织学生讨论,让学生自己抽象出一元二次方程的概念。 情感、态度与价值观:通过数学建模的分析、思考过程,激发学生学数学的兴趣,体会 做数学的快乐,培养用数学的意识。 3、教学重点与难点 要运用一元二次方程解决生活中的实际问题,首先必须了解一元二次方程的概念,而概 念的教学又要从大量的实例出发。所以,本节课的重点是:由实际问题列出一元二次方程和 一元二次方程的概念。鉴于学生比较缺乏社会生活经历,处理信息的能力也较弱,因此把由 实际问题转化成数学方程确定为本节课的难点。 二、教法、学法: 因为学生已经学习了一元一次方程及相关概念,所以本节课我主要采用启发式、类比法 教学。教学中力求体现“问题情景---数学模型-----概念归纳”的模式。但是由于学生将实践问题转化为数学方程的能力有限,所以,本节课借助多媒体辅助教学,指导学生通过直观形象的 观察与演示,从具体的问题情景中抽象出数学问题,建立数学方程,从而突破难点。同时学 生在现实的生活情景中,经历数学建模,经过自主探索和合作交流的学习过程,产生积极的 情感体验,进而创造性地解决问题,有效发挥学生的思维能力。 三、教学过程设计 1、创设情景,引入新课 因为数学来源与生活,所以以学生的实际生活背景为素材创设情景,易于被学生接受、感知。

北师大版九年级数学-第二章-一元二次方程知识点

北师大版九年级数学-第二章-一元二次方程知识点 知识点一:认识一元一次方程 (一)一元二次方程的定义:只含有一个未知数(一元)并且未知数的次数是2(二次)的整式方程;这样的方程叫一元二次方程. (注意:一元二次方程必须满足以下三个条件:是整式方程;一元;二次) (二) 一元二次方程的一般形式:把20ax bx c ++=(a 、b 、c 为常数;a ≠0)称为一元二次方程的一般形式.其中a 为二次项系数;b 为一次项系数;c 为常数项. 【例题】 1、一元二次方程3x 2=5x -1的一般形式是 ;二次项系数是 ;一次项系数是 ;常数项是 . 2、一元二次方程(x+1)(3x -2)=10的一般形式是 . 3、当m= 时;关于x 的方程5)3(7 2 =---x x m m 是一元二次方程. 4、下列方程中不一定是一元二次方程的是( ) A.(a-3)x 2=8 (a ≠3) B.ax 2+bx+c=0 23 2057 x +-= 知识点二:求解一元一次方程 (一)一元二次方程的根定义:使得方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解;一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根. 【例题】 例1、关于x 的一元二次方程()22110a x x a -++-=的一个根是0;则a 值为( ) A 、1 B 、1- C 、1或1- D 、1 2 (二)解一元二次方程的方法: 1.配方法 <即将其变为2()0x m +=的形式> 配方法解一元二次方程的基本步骤: ①把方程化成一元二次方程的一般形式; ②将二次项系数化成1; ③把常数项移到方程的右边; ④两边加上一次项系数的一半的平方; ⑤把方程转化成2()0x m +=的形式; ⑥两边开方求其根. 【例题】 例2 一元二次方程x 2-8x-1=0配方后可变形为( ) A .(x+4)2=17 B .(x+4)2=15 C .(x-4)2=17 D .(x-4)2=15 例3 用配方法解一元二次方程x 2-6x-4=0;下列变形正确的是( ) A .(x-6)2=-4+36 B .(x-6)2=4+36 C .(x-3)2=-4+9 D .(x-3)2=4+9 例4 x 2-6x-4=0; x 2-4x=1; x 2-2x-2=0 2. 公式法x = (注意在找abc 时须先把方程化为一般形式) 【例题】 例5若一元二次方程x 2+2x+a=0的有实数解;则a 的取值范围是( ) A .a <1 B .a≤4 C .a≤1 D .a≥1 例6 已知一元二次方程2x 2-5x+3=0;则该方程根的情况是( ) A .有两个不相等的实数根 B .有两个相等的实数根 C .两个根都是自然数 D .无实数根 例7 已知关于x 的方程x 2+2x+a-2=0. (1)若该方程有两个不相等的实数根;求实数a 的取值范围; (2)当该方程的一个根为1时;求a 的值及方程的另一根. 3.分解因式法 把方程的一边变成0;另一边变成两个一次因式的乘积来求解.(主要包括“提公因式”和“十字相乘”) 【例题】 例8 一元二次方程x 2-2x=0的解是( ) A .0 B .2 C .0;-2 D .0;2 例9 方程3(x-5)2=2(x-5)的根是 例10 x 2-3x+2=0; x 2+2x=3; (x-1)2+2x (x-1)=0 知识点三:一元二次方程的根与系数的关系 1.根与系数的关系:如果一元二次方程20ax bx c ++=的两根分别为x1、x2;则有:1212,b c x x x x a a +=-?= . 2.一元二次方程的根与系数的关系的作用: (1)已知方程的一根;求另一根; (2)不解方程;求二次方程的根x1、x2的对称式的值. (3)对比记忆以下公式:

第一章 一元二次方程单元测试卷(含答案)

2016年九年级质量检测 数 学 试 题 (时间 100分钟 满分150分) 温馨提示: 1.本试卷共6页,全卷满分150分,考试时间100分钟。考生答题全部答在答题纸上,在草稿纸、试卷上答题无效。 2.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域的答案无效。 3.答题卡上作答内容不得使用胶带纸和涂改液,答错的用黑笔涂掉并在上(下)方空白处添上。 4.保持答题纸清洁,不要折叠、不要弄破。 一、选择题(每小题4分,共32分) 1.一元二次方程32x =5x 的二次项系数和一次项系数分别是( ). A 3,5 B 3,-5 C 3,0 D 5,0 2.下列方程中,是关于x 的一元二次方程的是( ). A ()()2 3121x x +=+ B 211 x x +-2=0 C 20ax bx c ++= D 2221x x x -=+ 3. 关于x 一元二次方程225250x x p p -+-+=的一个根为1,p =( ) A .4 B .0或2 C .1 D .1- 4.方程()()1132=-+x x 的解的情况是( ) A .有两个不相等的实数根 B .没有实数根 C .有两个相等的实数根 D .有一个实数根 5.若关于x 的一元二次方程的两个根为11x =,22x =,则这个方程是( ) A 2320x x +-= B.2320x x -+=

C.2230x x -+= D.2320x x ++= 6.根据下列表格对应值: 判断关于x 的方程20(0)ax bx c a ++=≠的一个解x 的范围是( ) A.x <3.24 B.3.24<x <3.25 C.3.25<x <3.26 D.3.26<x <3.28 7..以3、4为两边长的三角形的第三边长是方程040132=+-x x 的根,则这个三角形的周长为( ) A.15或12 B.12 C.15 D.以上都不对 8.某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系,每盆植3株时,平均每株盈利4元;若每盆增加1株,平均每株盈利减少0.5元,要使每盆的盈利达到15元,每盆应多植多少株?设每盆多植x 株,可列出的方程是( ) A.340.515x x +-=)( ( ) B.340.515x x ++=()() C.430.515x x +-=()() D.140.515x x +-=()() 二.填空题(每小题4分,共32分) 9. 方程3(1)0x x +=的二次项系数是 ,一次项系数是 ,常数项是 . 10.x 的一元二次方程1 (1)(2)30n n x n x n +++-+=中,一次项系数 是 . 11.一元二次方程2 230x x --=的根是 . 12.若关于x 的一元二次方程()()2 2111x m x x x -++=+化成一般形式后 二次项的系数为1,一次项的系数为-1,则m 的值为 。

《一元二次方程》教学案例

《一元二次方程》教学案例 单元要点分析 教材内容 1.本单元教学的主要内容. 一元二次方程概念;解一元二次方程的方法;一元二次方程应用题. 2.本单元在教材中的地位与作用. 一元二次方程是在学习《一元一次方程》、《二元一次方程》、分式方程等基础之上学习的,它也是一种数学建模的方法.学好一元二次方程是学好二次函数不可或缺的,是学好高中数学的奠基工程.应该说,一元二次方程是本书的重点内容. 教学目标 1.知识与技能 了解一元二次方程及有关概念;掌握通过配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程;掌握依据实际问题建立一元二次方程的数学模型的方法;应用熟练掌握以上知识解决问题. 2.过程与方法 (1)通过丰富的实例,让学生合作探讨,老师点评分析,建立数学模型.?根据数学模型恰如其分地给出一元二次方程的概念. (2)结合八册上整式中的有关概念介绍一元二次方程的派生概念,如二次项等. (3)通过掌握缺一次项的一元二次方程的解法──直接开方法,?导入用配方法解一元二次方程,又通过大量的练习巩固配方法解一元二次方程.(4)通过用已学的配方法解ax2+bx+c=0(a≠0)导出解一元二次方程的求

根公式,接着讨论求根公式的条件:b2-4ac>0,b2-4ac=0,b2-4ac<0.(5)通过复习八年级上册《整式》的第5节因式分解进行知识迁移,解决用因式分解法解一元二次方程,并用练习巩固它. (6)提出问题、分析问题,建立一元二次方程的数学模型,?并用该模型解决实际问题. 3.情感、态度与价值观 经历由事实问题中抽象出一元二次方程等有关概念的过程,使同学们体会到通过一元二次方程也是刻画现实世界中的数量关系的一个有效数学模型;经历用配方法、公式法、分解因式法解一元一次方程的过程,使同学们体会到转化等数学思想;经历设置丰富的问题情景,使学生体会到建立数学模型解决实际问题的过程,从而更好地理解方程的意义和作用,激发学生的学习兴趣.教学重点 1.一元二次方程及其它有关的概念. 2.用配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程. 3.利用实际问题建立一元二次方程的数学模型,并解决这个问题.教学难点 1.一元二次方程配方法解题. 2.用公式法解一元二次方程时的讨论. 3.建立一元二次方程实际问题的数学模型;方程解与实际问题解的区别.教学关键 1.分析实际问题如何建立一元二次方程的数学模型. 2.用配方法解一元二次方程的步骤. 3.解一元二次方程公式法的推导. 课时划分

配方法解一元二次方程教案

配方法解一元二次方程(一) 一、教材分析 方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效数学模型,应用比较广泛,而从实际问题中抽象出方程,并求出方程的解是解决问题的关键。配方法既是解一元二次方程的一种重要方法,同时也是推导公式法的基础。配方法又是初中数学的重要内容,在二次根式、代数式的变形及二次函数中都有广泛应用。 二、教学目标 1.知识与技能: 理解配方法的意义,会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程; 2.过程与方法: 通过探索配方法的过程,让学生体会转化的数学思想方法; 3.情感态度价值观: 学生在独立思考和合作探究中感受成功的喜悦,并体验数学的应用价值,增强学生学习数学的兴趣。 三、教学重点 运用配方法解二次项系数为1的一元二次方程。 四、教学难点 发现并理解配方的方法。 五、学情分析 学生的知识基础:学生会解一元一次方程,了解平方根的概念、平方根的性质以及完全平方公式,并刚刚学习了一元二次方程的概念和直接开平方法解一元二次方程; 学生的技能基础:学生在之前的学习中已经学习过“转化”“整体”等数学思想方法,具备了学习本课时内容的较好基础; 学生活动经验基础:以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的过程,具备了一定的合作学习的经验和能力。 本节课中研究的方程不具备直接开平方法的结构特点,需要合理添加条件进行转化,即“配方”,而学生在以前的学习中没有类似经验,理解起来会有一定的困难,同时完全平方公式的理解对学生来说也是一个难点,所以在教学过程中要注意难点的突破。 六、教具准备 教学课件 七、教学过程设计

环节一:创设情境,引出新知 如图,一个长为10m 的梯子斜靠在墙上,梯子的顶端距地面的垂直距离为8m .如果梯子的顶端下滑1m ,那么梯子的底端滑动多少米? 在知识引入阶段,创设了一个实际问题的情境,将学生放置在实际问题的背 景下,既让学生感受到生活中处处有数学,又有利于激发学生的主动性和求 知欲。 环节二:对比研究,探索新知 本节课力求在学生已有知识和经验的基础之上,让学生通过观察、比较、转化、探究,自主发现解决问题的方法和规律,理解并掌握配方法。因此,我以问题为引导,由浅入深,层层递进地设置了4个问题: 问题1:我们会解什么样的一元二次方程?举例说明 用问题唤起学生的回忆,明确我们现在会解的方程的特点是:等号左边是一个完全平方式,右边是一个非负常数,即)0()(2≥=+n n m x ,根据平方根的定义,运用直接开平方法可以解。这是后面配方转化的目标,也是对比研究的基础。 问题2:你会用直接开平方法解下列方程吗? 设置四道方程:(x+6)2=51→x 2+12x+36=51→x 2+12x=15→x 2+12x-15=0,启发学生逆向思考问题的思维方式,将方程x 2+12x-15=0转化成(x+6)2=51的形式,从而求得方程的解。 通过这一过程,学生发现能用直接开平方法求解的方程都可以转化成一般形式,一般形式的方程也能逆向转化为可以直接开平方的形式,所以总结出解一元二次方程的基本思路是将02=++q px x 形式转化为)0()(2≥=+n n m x 的形式,而怎样转化就成为探索的方向,如何进行合理的转化则是下一步探究活动的核心。 问题3:探索一元二次方程x 2+8x-9=0的求解过程和方法 首先复习因式分解中的完全平方公式222)(2m x m mx x ±=+± 接下来做一做:22)6(12+=++x x x 通过做一做引发学生思考,在二次项系数为1的完全平方公式左边,常数项与一次项系数具有怎样的关系。以启发学生进行探究的形式展开,以小组合作探究的方式总结,目的是使学生能够体会并理解完全平方公式的特点,从而达到对配方法的完全理解,实现教学重点的理解和教学难点的突破。

第二章一元二次方程培优奥赛讲义

九上第二章一元二次方程培优讲义一.填空题(共15小题) 1.已知a是方程x2﹣2013x+1=0一个根,求a2﹣2012a+的值为.2.附加题:已知m,n都是方程x2+2007x﹣2009=0的根,则(m2+2007m﹣2008)(n2+2007n﹣2010)的值为. 3.若m为实数,方程x2﹣3x+m=0的一个根的相反数是方程x2+3x﹣3=0的一个根,则x2﹣3x+m=0的根是. 4.已知x=﹣1是方程ax2+bx+c=0根,那么的值是. 5.已知a,b是等腰三角形ABC的两边长,且a、b满足a2+b2+29=10a+4b,则这个等腰三角形的周长为. 6.若实数a、b、c满足a2+b2+c2+4≤ab+3b+2c,则200a+9b+c=. 7.已知关于x的方程x2+(a﹣6)x+a=0的两根都是整数,则a的值等于.8.若方程x2﹣4|x|+5=m有4个互不相等的实数根,则m应满足.9.已知:a2+b2=1,a+b=,且b<0,那么a:b=. 10.方程(x2+3x﹣4)2+(2x2﹣7x+6)2=(3x2﹣4x+2)2的解是.11.对于一切正整数n,关于x的一元二次方程x2﹣(n+3)x﹣3n2=0的两个根记为a n、b n,则++…+=.12.已知关于x的方程x2+2kx+k2+k+3=0的两根分别是x1、x2,则(x1﹣1)2+(x2﹣1)2的最小值是. 13.α,β为关于x的一元二次方程x2﹣x+2=0的两个根,则代数式2α2+β2+β﹣3的值为. 14.中新网4月26日电,据法新社26日最新消息,墨西哥卫生部长称,可能已有81人死于猪流感(又称甲型H1N1流感).若有一人患某种流感,经过两轮传染后共有81人患流感,则每轮传染中平均一人传染了人,若不加以控制,以这样的速度传播下去,经三轮传播,将有人被感染. 15.一个两位数,个位数字比十位数字的平方大3,而这个两位数字等于其数字之和的3倍,如果这个两位数的十位数字为x,则方程可列为.

九年级数学上册 第一章 一元二次方程(第1讲-第14讲)讲义 (新版)苏科版

第1讲一元二次方程 新知新讲 题一:下列方程中哪些是一元二次方程?试说明理由. (1)3x+2=5x3;(2)x2 = 4;(3)x2 4=(x+2)2. 题二:将下列方程化为一般形式,并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项:(1)6y2 = y;(2)(x2)(x+3)=8;(3)(x+3)(3x4)=(x+2)2. 金题精讲 题一:关于x的方程mx m+1+3x=6是一元二次方程,求m的值. 题二:已知关于x的方程(a+8)x2 +2x+3+a=0是一元二次方程,则a_______. 题三:关于x的方程(m3)x2 +nx+m=0,在什么条件下是一元二次方程?在什么条件下是一元一次方程? 第2讲一元二次方程的根 新知新讲 题一:下面哪些数是方程2x2 +10x+12=0的根? -4,3,2,1,0,1,2,3,4. 金题精讲 题一:已知方程5x2 +mx6=0的一个根是x=3,则m的值为________. 题二:如果x=2是方程x2-m=0的一个根,求m的值和方程的另一个根. 题三:你能用以前所学的知识求出下列方程的根吗? (1)x264=0;(2)3-27x2 =0;(3)4(1-x)2-9=0.

题四:若x=1是关于x的一元二次方程a x2+bx+c=0(a≠0)的一个根,求代数式xx(a+b+c)的值.

第3讲 解一元二次方程——直接开方法 新知新讲 题一:用直接开方法解下列方程. (1)x 2-16=0;(2)4x 2-25=0. 题二:解下列方程. (1)(2x 3)2 = 49;(2)3(x 1)2 6=0. 金题精讲 题一:解下列方程. (1)(x +2)(x 2)=5;(2)x 2 +6x +9=2;(3)x 2 +2x +1=0;(4)4x 2 12x +9=0. 第4讲 解一元二次方程——配方法 新知新讲 配方法: 通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法称为配方法. 题一:(1)x 2+8x +_____=(x +_____)2 (2)x 2-10x +_____=(x -_____)2 (3)x 232-x +_____=(x -_____)2 配方法的步骤: (1)化二次项系数为 (2)移项:使方程左边为二次项和一次项,右边为常数项 (3)方程两边各加上 的平方,使方程变形为2()(0)x m n n +=≥的形式 (4)用直接开方法求方程的解 题二:解下列方程. (1)x 2 2x 2=0;(2)3x 2 6x +4=0.

2021年数学《一元二次方程》教案案例

数学《一元二次方程》教案案例 只含有一个未知数(一元),并且未知数项的最高次数是2(二次)的整式方程叫做一元二次方程。下面就是笔者给大家带来的数学《一元二次方程》教案设计,希望能帮助到大家! 数学《一元二次方程》教案一 一、教材分析 1、教材的地位和作用 一元二次方程是中学教学的主要内容,在初中代数中占有重要的地位,在一元二次方程的前面,学生学了实数与代数式的运算,一元一次方程(包括可化为一元一次方程的分式方程)和一次方程组,上述内容都是学习一元二次方程的基础,通过一元二次方程的学习,就可以对上述内容加以巩固,一元二次方程也是以后学习(?指数方式,对数方程,三角方程以及不等式,函数,二次曲线等内容)的基础,此外,学习一元二次方程对其他学科也有重要的意义。 2、教学目标及确立目标的依据 九年义务教育大纲对这部分的要求是:“使学生了解一元二次方程的概念”,依据教学大纲的要求及教材的内容,针对学生的理解和接受知识的实际情况,以提高学生的素质为主要目的而制定如下教学

目标。 知识目标:使学生进一步理解和掌握一元二次方程的概念及一元二次方程的一般形式。 能力目标:通过一元二次方程概念的教学,培养学生善于观察,发现,探索,归纳问题的能力,培养学生创造性思维和逻辑推理的能力。 德育目标:培养学生把感性认识上升到理性认识的辩证唯物主义的观点。 3、重点,难点及确定重难点的依据 “一元二次方程”有着承上启下的作用,在今后的学习中有广泛的应用,因此本节课做为起始课的重点是一元二次方程的概念,一元二次方程(特别是含有字母系数的)化成一般形式是本节课的难点。 二、教材处理 在教学中,我发现有的学生对概念背得很熟,但在准确和熟练应用方面较差,缺乏应变能力,针对学生中存在的这些问题,本节课突出对教学概念形成过程的教学,采用探索发现的方法研究概念,并引导学生进行创造性学习。 三、教学方法和学法

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