山东省泰安市2020年高二(下)数学期末综合测试试题含解析

山东省泰安市2020年高二(下)数学期末综合测试试题

一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．设

，则

的展开式中的常数项为

A ．20

B ．-20

C ．120

D ．-120

【答案】B 【解析】 【分析】

先利用微积分基本定理求出的值，然后利用二项式定理展开式通项，令的指数为零，解出相应的参数值，代入通项可得出常数项的值。 【详解】

，

二项式的展开式通项为，

令，得，因此，二项式的展开式中的常数项为，

故选：B. 【点睛】

本题考查定积分的计算和二项式指定项的系数，解题的关键就是微积分定理的应用以及二项式展开式通项的应用，考查计算能力，属于中等题。 2．已知函数()y f x =对于任意的(,)22

x ππ

∈-满足'()cos ()sin >0f x x f x x +（其中'()f x 是函数()

f x 的导函数），则下列不等式成立的是 A ．()>(0)3

f f π

-

B ．(0)>2()4

f π

C ．(1)>(1)f f -

D ．(1)>(0)cos1f f

【答案】D 【解析】 【分析】

根据题目条件，构造函数()()cos f x g x x =

，求出()g x 的导数，利用“任意的(,)22

x ππ

∈-满足'()cos ()sin >0f x x f x x +”得出()g x 的单调性，即可得出答案。

由题意知，构造函数()()cos f x g x x =

，则2

()cos ()sin ()cos f x x f x x

g x x

'+'=。 Q 当(,)22x ππ

∈-

时，'()cos ()sin >0f x x f x x +

∴当(,)22x ππ∈-时，2()cos ()sin ()0cos f x x f x x

g x x '+'=>恒成立

()g x ∴在(,)22

x ππ

∈-

单调递增，则

()

(0)3(0)()cos03cos()3f f g g π

ππ-=>-=

-，化简得(0)2()3f f π>-，无法判断A 选项是否成立； ()(0)4()(0)4cos(0)cos()4

f f

g g π

ππ=

>=

，化简得(0)()4f π<，故B 选项不成立； (1)(1)

(1)(1)cos(1)cos(1)f f g g -=

>-=-，化简得(1)(1)f f -<，故C 选项不成立；

(1)(0)

(1)(0)cos(1)cos(0)

f f

g g =

>=，化简得(1)>(0)cos1f f ，故D 选项成立；

综上所述，故选D 。 【点睛】

本题主要考查了构造函数法证明不等式，常利用导数研究函数的单调性，再由单调性证明不等式，是函数、导数、不等式综合中的一个难点。

3．某导弹发射的事故率为0.001，若发射10次，记出事故的次数为ξ，则D ξ=（ ） A ．0.0999 B ．0.001

C ．0.01

D ．0.00999

【答案】D 【解析】 【分析】

根据题意ξ服从二项分布，由公式()1D np p ξ=-可得求得。 【详解】

由于每次发射导弹是相互独立的，且重复了10次，所以可以认为是10次独立重复试验，故ξ服从二项分布()10,0.001B ，()1100.0010.9990.00999D np p ξ=-=??=.故选D. 【点睛】

本题考查离散型随机变量的方差，由服从二项分布的方差公式可直接求出。

4．在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点，如果函数f(x)的图象恰好通过n

①1()(x 0)f x x x

=+

> ②3()g x x = ③ 1

()()3x h x = ④()ln x x φ=

其中是一阶整点的是（ ） A ．①②③④ B ．①③④

C ．④

D ．①④

【答案】D 【解析】 【分析】

根据新定义的“一阶整点函数”的要求，对于四个函数一一加以分析，它们的图象是否通过一个整点，从而选出答案即可． 【详解】

对于函数()1

(0)f x x x x

=+

>，它只通过一个整点（1，2），故它是一阶整点函数； 对于函数()3

g x x =，当x∈Z 时，一定有g （x ）=x 3∈Z，即函数g （x ）=x 3通过无数个整点，它不是一阶整点函数；

对于函数()13x

h x ??= ???

，当x=0，-1，-2，时，h （x ）都是整数，故函数h （x ）通过无数个整点，它不是一阶整点函数；

对于函数()ln x x φ=，它只通过一个整点（1，0），故它是一阶整点函数． 故选D ． 【点睛】

本题主要考查函数模型的选择与应用，属于基础题，解决本题的关键是对于新定义的概念的理解，即什么叫做：“一阶整点函数”．

5．已知函数32()231f x mx x x =+--，若存在区间D ，使得该函数在区间D 上为增函数，则m 的取值范围为（ ） A ．4,9??

-

+∞????

B ．4,9??

-

+∞ ???

C ．()0,∞+

D ．()4,00,9??

-+∞ ???

U

【答案】B 【解析】 【分析】

求出导函数()f x '

，由题意说明不等式()0f x '>有解。

由题意()2

3430f x mx x '=+>-有解.当0m >时，一定有解；当=0m 时，也一定有解.当0m <时，需要

1643(3)0m ???->=-，即409m -<<,综上所述，4

9

m -<，

故选：B 。 【点睛】

本题考查用导数研究函数的单调性。函数()f x 有单调增区间，则()0f x '>有解，这样可结合二次函数或一次函数的性质得出结论。

6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）

A ．

4

3

B ．

53

C ．

73

D ．

52

【答案】A 【解析】 【分析】

该空间几何体是由具有相同底面和高的三棱柱和三棱锥组合而成，分别求出体积即可. 【详解】

该空间几何体是由具有相同底面和高的三棱柱和三棱锥组合而成，底面三角形的面积为1

2112

S =??=，三棱柱和三棱锥的高为1，则三棱柱的体积1111V =?=，三棱锥的体积为211

1133

V =??=，故该几何体的体积为14

133

V =+=. 故选A. 【点睛】

本题考查了空间组合体的三视图，考查了学生的空间想象能力，属于基础题.

7．函数在区间上存在极值点，则实数a 的取值范围为

A ．

B ．

C ．

D ．

【答案】A 【解析】

求得

，函数在区间上存在极值点在区间上有

解，从而可得结果． 【详解】

，

函数在区间上存在极值点

在区间

上有解．

令

，解得

或

．

，或

， 解得：

，或

，

实数a 的取值范围为．故选A ． 【点睛】

本题考查了利用导数研究函数的极值，考查了推理能力与计算能力，意在考查转化与划归思想的应用以及综合所学知识解答问题的能力，属于中档题． 8．小明同学喜欢篮球，假设他每一次投篮投中的概率为23，则小明投篮四次，恰好两次投中的概率是（ ） A ．

4

81

B ．

881

C ．427

D ．827

【答案】D 【解析】

分析：利用二项分布的概率计算公式：概率22

24

22133P C ????=??- ? ?????

即可得出．

详解：：∵每次投篮命中的概率是

2

3

， ∴在连续四次投篮中，恰有两次投中的概率2

2

24

2281.3327P C ????=??-= ? ?????

． 故在连续四次投篮中，恰有两次投中的概率是8

27

． 故选D.

点睛：本题考查了二项分布的概率计算公式，属于基础题． 9．函数()[]cos sin ,,=-∈-f x x x x x ππ的大致图象为（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

【答案】D 【解析】 【分析】

判断函数的奇偶性和对称性，利用2f π??

???

的符号进行排除即可． 【详解】

()()()cos sin cos sin f x x x x x x x f x -=-+=--=-，

函数()f x 是奇函数，图象关于原点对称，排除,A C

cos sin 1022

22f ππ

ππ??=-=-< ???，排除B ，故选：D ．

【点睛】

本题考查函数的图象的判断与应用，考查函数的零点以及特殊值的计算，是中档题；已知函数解析式，选择其正确图象是高考中的高频考点，主要采用的是排除法，最常见的排出方式有根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等性质，同时还有在特殊点处所对应的函数值或其符号，其中包括

,,0,0x x x x +-→+∞→-∞→→等.

10． “0m <”是“函数2()log (1)f x m x x =+≥存在零点”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件

【答案】A 【解析】

显然由于21,log 0x x ≥≥，所以当m<0时，函数f( x)= m+log 2x （x≥1）存在零点;反之不成立，因为当m=0时，函数f(x)也存在零点，其零点为1，故应选A ．

则该点落在正六边形内的概率为（ ）

A ．

3π

B 3

C ．

32π

D ．

33

2π

【答案】D 【解析】 【分析】

由面积公式分别计算出正六边形与圆的面积，由几何概型的概率计算公式即可得到答案 【详解】

由图可知：

3

6334S P S ===

π正六边形

圆

， 故选D. 【点睛】

本题考查几何概型，属于基础题。

12．由数字0，1，2，3组成的无重复数字且能被3整除的非一位数的个数为（ ） A ．12 B ．20 C ．30 D ．31

【答案】D 【解析】 【分析】

分成两位数、三位数、四位数三种情况，利用所有数字之和是3的倍数，计算出每种情况下的方法数然后相加，求得所求的方法总数. 【详解】

两位数：含数字1，2的数有2

2A 个，或含数字3，0的数有1个. 三位数：含数字0，1，2的数有1

2

22C A 个，

含数字1，2，3有33A 个. 四位数：有13

33C A 个. 所以共有212313222333131A C A A C A ++++=个.故选D.

【点睛】

本小题主要考查分类加法计数原理，考查一个数能被3整除的数字特征，考查简单的排列组合计算，属于基础题.

二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）

13．某学校为了了解住校学生每天在校平均开销情况，随机抽取了500名学生，他们的每天在校平均开销

学生人数为_________．

【答案】1 【解析】

分析：由频率分布直方图，得每天在校平均开销在[50，60]元的学生所点的频率为0.3，由此能求出每天在校平均开销在[50，60]元的学生人数． 详解：由频率分布直方图，得：

每天在校平均开销在[50，60]元的学生所点的频率为：1﹣（0.01+0.024+0.036）×10=0.3 ∴每天在校平均开销在[50，60]元的学生人数为500×0.3=1． 故答案为1

点睛：本题考查频率分布直方图的应用，考查频数的求法，考查频率分布直方图等基础知识，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力.

14．期末考试结束后，某老师随机抽取了本班五位同学的数学成绩进行统计，五位同学平均每天学习数学的时间t （分钟）与数学成绩y 之间的一组数据如下表所示： 时间t （分钟） 30 40 70

90 120 数学成绩y

35

48

m

82

92

通过分析，发现数学成绩y 与学习数学的时间t 具有线性相关关系，其回归方程为0.715?y

t =+，则表格中的m 的值是___． 【答案】63 【解析】

30407090120

705

x ++++=

=

回归方程过样本中心点，则：0.7701564y =?+=， 即：

35488292

645

m ++++=，

解得：63m =.

点睛：(1)正确理解计算$,b

a $的公式和准确的计算是求线性回归方程的关键． (2)回归直线方程y bx a =+$$$必过样本点中心(),x y ．

【答案】0 【解析】

分析：根据集合包含关系得元素与集合属于关系，再结合元素互异性得结果.

详解：因为B A ?，所以22

11

0.m m m m m m m

=≠??∴=??≠=??或 点睛：注意元素的互异性.在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误. 16．在极坐标系中A(2,)3

π

-，2B(4,

)3

π

两点间的距离______. 【答案】6 【解析】 【分析】

求出BOA ∠的大小，得出A,O,B 三点共线，即可求解. 【详解】

设极点为O ，由题意可知2=3

3

BOA π

π

π∠+

= 即A,O,B 三点在一条直线上 所以246AB OA OB =+=+= 【点睛】

本题主要考查了极坐标的性质，要清楚极坐标(,)ρθ 的含义，属于基础题. 三、解答题（本题包括6个小题，共70分）

17．某服装超市举办了一次有奖促销活动,消费每超过600元(含600元),均可抽奖一次,抽奖方案有两种,顾客只能选择其中的一种.

方案一:从装有10个形状、大小完全相同的小球(其中红球3个,黑球7个)的抽奖盒中,一次性摸出3个球,其中奖规则为:若摸到3个红球,享受免单优惠；若摸到2个红球,则打6折；若摸到1个红球,则打7折；若没摸到红球,则不打折.

方案二:从装有10个形状、大小完全相同的小球(其中红球3个,黑球7个)的抽奖盒中,有放回每次摸取1球,连摸3次,每摸到1次红球,立减200元.

(1)若两个顾客均分别消费了600元,且均选择抽奖方案一,试求两位顾客均享受6折优惠的概率； (2)若某顾客消费恰好满1000元,试从概率的角度比较该顾客选择哪一种抽奖方案更合算. 【答案】（1）49

1600

（2）该顾客选择第一种抽奖方案更合算，详见解析 【解析】 【分析】

（2）选择方案一，计算出付款金额X 的分布列和数学期望值，选择方案二，计算出付款金额Z 数学期望值，比较大小可得出结论. 【详解】

（1）选择方案一：若享受到6折优惠，则需要摸出2个红球，

设顾客享受到6折优惠为事件A ，则21

373

107

()40

C C P A C ?==， 所以两位顾客均享受到6折优惠的概率为7749

()()40401600

P P A P A =?=

?=； （2）若选择方案一，设付款金额为X 元，则X 可能的取值为0,600,700,1000

333101(0)120C P X C ===，21373107(600)40C C P X C ?===，12373

1021

(700)40C C P X C ?===， 3

73107

(1000)24

C P X C ===

故X 的分布列为

所以()060070010001204040246

E X =?

+?+?+?=（元）； 若选择方案二，设摸到红球的个数为Y ，付款金额为Z 元，则1000200Z Y =-， 由已知可得，故3

(3,

)10Y B ~，39()31010

E Y =?=， 所以()1000200()820E Z E E Y ==-=（元），

因为()()E X E Z <，所以该顾客选择第一种抽奖方案更合算. 【点睛】

本题考查独立事件的概率乘法公式，考查随机变量分布列与数学期望，在列随机变量的分布列时，要弄清变量所满足的分布列类型，结合相关概率公式进行计算，考查计算能力，属于中等题．

18．已知a ，b R ∈，点()1,1P -在矩阵13a A b ??

=????

对应的变换下得到点()1,3Q .

（1）求a ，b 的值；

（2）求矩阵A 的特征值和特征向量；

（3）若向量59β??=????

u r

，求4

A βu r .