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复变函数第2章

By 宋朝红

2.1 复变函数的极限2.2 复变函数的连续性

2.3 导数 2.4 解析函数2.5 调和函数Math HZAU

第二章导数

z

z f z z f z Δ)()Δ(lim 000Δ?+→1 导数与微分

定义:设函数w=f(z)在包含z 0的某邻域D 内有定义,点z 0+⊿z ∈D. 如果极限

存在, 则称f (z )在z 0可导, 此极限值就称为f (z )在z 0的导数, 记作

0000Δ0(Δ)()d ()lim .d Δ|z z z f z z f z w f z z z

=→+?′==如果f (z )在区域D 内处处可导, 则称f(z)在D内可导

.

例1求f (z )=z 2的导数

例3讨论函数f (z )=|z|2的可导性

函数可导一定连续,但连续却不一定可导

例2问:函数f (z )=x +2yi 是否可导?

求导公式与法则

①常数的导数c ′=(a+ib )′=0.

②(z n )′=nz n-1(n 是自然数).

③设函数f (z ),g (z ) 均可导,则

[f (z )±g (z )]′=f ′(z )±g ′(z ),

[f (z )g (z )]′= f ′(z )g (z )+ f (z )g ′(z )

----实函数中求导法则的推广

)0)((,)()(')()()('')()(2≠?=??

????z g z g z g z f z g z f z g z f

④复合函数的导数( f [g (z )])′=f ′(w )g ′(z ),其中w=g (z )。

.0)

()()()(10处可导点外)处在复平面上(除分母为导;

在整个复平面上处处可由以上讨论z Q z P z R z a z a a z P n

n =+++=?

"⑤反函数的导数,其中: w=f (z )与z=?(w )互为单值的反函数,且?′(w )≠0。

)

('1)('w z f ?=

例3求f (z )=Arcsinz=-iLn (iz+ )的导数。例2计算函数w=Lnz 导数

2

1z -)('11)5()(2

2z f z z z z f ,求已知??+=例1

微分的概念

定义:若函数w=f(z)在满足

0z z

z z z f z f z z f w ΔΔ+Δ′=?Δ+=Δ)()()()(000ρ0

)(lim 0

=Δ→Δz z ρ且z z f Δ′)(0)(z f w =z

z f dw Δ′=)(0称为函数

在点0z 的微分,记作若函数w=f(z)在区域D内处处可微,则称函数w=f(z)在D内可微。

u v u v x y y x

????==?????定理:函数f (z )=u (x ,y )+iv (x ,y )在定义域内一点z =x +iy 可导的充要条件是u (x ,y )和

v (x ,y )在点(x ,y )处可微,并且在该点满

足柯西-黎曼方程

f (z )的求导公式为'

()u v v u f z i i x x y y ????=+=?????3.函数可导的充分必要条件

例1.讨论函数f (z )=x 2-y 2+i2xy 在复平面上的可导性,若可导,求出其导数

例2.判定下列函数在何处可导

例3如果f '(z)在区域D 处处为零, 则f(z)在D 内为一常数.

(1)

()||(2)()(3)()4()Re()

z

f z z f z e f z z

f z z z ====()

1.解析函数的概念

如果f (z )在点z 0不解析,就称z 0是f (z)的奇点。

如果f(z)在区域D 内每一点解析, 则称f(z)在D 内解析, 或称f(z)是D 内的一个解析函数(全纯函数或正则函数)

定义如果函数f(z)不仅在z 0可导,而且在z 0的某个邻域内的任一点都可导, 则称f(z)在z 0解析。

(3)函数在区域D 内的点z 处解析,则z 一定是D 的内点。

(1) w =f (z ) 在D 内解析等价于在D 内可导.

(2) 函数f (z )在z 0点可导,未必在z 0解析。

例1.判断题

1)若f '(z)在z 0存在,则f(z)在z 0处解析

2)若z 0是f (z)的奇点,则f(z)在z 0处不可导

3)若u (x ,y )和v (x ,y )在点(x ,y )处偏导数存在,则函数f (z )=u (x ,y )+iv (x ,y )在点z =x +iy 可导

2

()||f z z =2

()||f z z =2(,)(,)u x y x v x y xy

==

例2 讨论下列函数的解析性

(1)w=z2

在整个复平面处处可导,故是整个复平面上的解析函数

(2) w=1/z,

除去z=0点外,是整个复平面上的解析函数;

(3) w=z Re z

在整个复平面上处处不解析

定理1设w =f (z )及w =g (z )是区域D 内的解析函数,则f (z)±g (z),f (z )g (z ) 及f (z ) ?g (z ) (g (z )≠0时)均是D 内的解析函数。

.)0()()()()(10的解析函数点外除分母为是复平面上函数;

是整个复平面上的解析由以上讨论z Q z P z R z a z a a z P n

n =+++=?

"2.复变函数解析的定理

定理2设w=f (h ) 在h 平面上的区域G 内解析,

h =g(z ) 在z 平面上的区域D 内解析, h =g(z )的函数值集合G ,则复合函数w=f [g(z )]在D 内处处解析。?例1考虑函数f (z )=e z (z-2)的解析性

例2函数

在定义域内解析,证明复合函数g(z 2+1)在四分之一z 平面x>0,y>0内解析

2()(0,)i g z re r θ

πθπ=>?<<

定理函数f (z )=u (x ,y )+iv (x ,y )在其定义域D 内解析的充要条件是u (x ,y )与v (x ,y )在D 内可微, 并满足柯西-黎曼方程

3.函数解析的充分必要条件

y

u x v y v x u ???=????=??

例1.讨论函数的解析性

22

f z x y i x y y

=?+?+

()2(1)(2)

例2 设函数f(z)=x2+axy+by2+i(cx2+dxy+y2). 问常数a,b,c,d取何值时, f(z)在复平面内处处解析?

例3. 已知下面的函数,求解析函数f(z)=u+iv

=?=?

u x y f i

2(1)(2)

1.指数函数

(cos sin )

z x iy x e e

e y i y +==+性质:1121212211222(1)0(cos sin )(2)||()2(0,1,2)

(3)(4)z n n z x z z z z z z z z z z k i z

k k e e e i n n

e e Arg e y k k e e e e

e e e e ππππ+?+≠=+==+=±±===

"

2.对数函数

若(0,)

w

z e z

=≠∞w z

是的

w Lnz

=

则称对数函数记为

ln||

ln||arg2

w Lnz

z iArgz

z i z k iπ

=

=+

=++

定义:

性质:

(1)0ln2

0ln(21)0,12 z x Lnz x k i

z x Lnz x k i k

π

π

=>=+

=?<=++=±±"

当时,

当时,,

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