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各种三角形有关线段

几何

1.中线概念
连接一个顶点与它对边中点的线段,叫做三角形的中线。
中线的交点为重心,重心分中线2:1(顶点到重心:重心到对边中点)。
中线:三角形中,连结一个顶点和它所对边的中点的连线段叫做三角形的中线。
中线也是线段 ,一个三角形有3条中线。
在一个角为30°直角三角形中。60°角所对应的边上的中线为斜边的一半。
在一个三角形中,其一短边为斜边的一半,且这个三角形为30°的直角三角形,那么,60°角所对的边上的中线在此三角形中有三个等量。


1.中位线概念
(1)三角形中位线定义:连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
(2)梯形中位线定义:连结梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线。
(1)要把三角形的中位线与三角形的中线区分开。三角形中线是连结一顶点和它对边的中点,而三角形中位线是连结三角形两边中点的线段。
(2)梯形的中位线是连结两腰中点的线段而不是连结两底中点的线段。
(3)两个中位线定义间的联系:可以把三角形看成是上底为零时的梯形,这时梯形的中位线就变成三角形的中位线。
2.中位线定理
(1)三角形中位线定理:三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半.
(2)梯形中位线定理:梯形的中位线平行于两底,并且等于两底和的一半.
中位线是三角形与梯形中的一条重要线段,由于它的性质与线段的中点及平行线紧密相连,
因此,它在几何图形的计算及证明中有着广泛的应用.


1.垂直平分线概念
经过某一条线段的中点,并且垂直于这条线段的直线,叫做这条线段的垂直平分线(中垂线)(英文:perpendicular bisector)。
垂直平分线,简称“中垂线”,是初中几何学科中占有绝大部分的非常重要的一部分。
2.垂直平分线的性质
1.垂直平分线垂直且平分其所在线段。
2.垂直平分线上任意一点,到线段两端点的距离相等。
3.三角形三条边的垂直平分线相交于一点,该点叫外心(circumcenter),并且这一点到三个顶点的距离相等。
3.垂直平分线的逆定理
到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上。
注意:要证明一条线为一个线段的垂直平分线,应证明两个点到这条线段的距离相等且这两个点都在要求证的直线上才可以证明 通常来说,垂直平分线会与全等三角形来使用。 垂直平分线的性质:线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等。 巧计方法:点到线段两端距离

相等。 可以通过全等三角形证明。编辑本段垂直平分线的尺规作法
方法之一:(用圆规作图)
1、在线段的中心找到这条线段的中点通过这个点做这条线段的垂线段。
2、分别以线段的两个端点为圆心,以大于线段的二分之一长度为半径画弧线。得到一个交点。
3、连接这两个交点。 原理:等腰三角形的高垂直等分底边。
方法之二: 1、连接这两个交点。原理:两点成一线。
4.等腰三角形的性质:
1、三线合一( 等腰三角形底边上的高线、底边上的中线、顶角平分线相互重合。 )
2、等角对等边
3、等边对等角

1.三线合一定义
等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角平分线相互重合。
前提:在等腰三角形中!
2.证明
已知:三角形ABC为等腰三角形,AD为中线,等腰三角形ABC(AB=AC)。求证:AD垂直平分BC,BD=DC。

∵三角形ABC为等腰三角形 (已知)
∴AB=AC(等腰三角形的性质)
∴∠B=∠C(等边对等角)
∵AD为中线(已知)
∴BD=DC(等腰三角形中线为垂直平分线)
∵AD为公共边
∴△ADB≌△ADC(S.A.S)
可得∠BAD=∠CAD,∠ADB=∠ADC(全等三角形对应角相等)
∵∠ADB+∠ADC=∠BDC(已证),且∠BDC=180度(平角定义)
∴∠ADB=∠ADC=90度,AD垂直于BC。
3.逆定理
① 如果三角形中任一角的角平分线和它所对边的中线重合,那么这个三角形是等腰三角形。
② 如果三角形中任一角的角平分线和它所对边的高重合,那么这个三角形是等腰三角形。
③ 如果三角形中任一边的中线和这条边上的高重合,那么这个三角形是等腰三角形。
总而言之:在一个三角形中,一边上的高线与此边上的中线,及此边对角角平分线中任意两线重合可推知此三角形为等腰三角形。
(注意:其中一边上的中线与此边对角角平分线重合推证等腰三角形,可应用正弦定理,或过此边中点作另外两边垂线。)















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