广东省高二数学寒假作业(二)

一、选择题 1．设

分别是双曲线

的左,右焦点，若在双曲线右支上存在

点P ，满足,且到直线的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的离心

率等于（ ）

A ．2

B ．

C ．

D ．

2．设双曲线（a ＞0,b ＞0）的渐近线与抛物线y = x 2 +1相切，则该双曲线的离

心率等于( )

A ．

B ．2

C ．

D ．

3．已知抛物线

的焦点为F ，A, B 是该抛物线上的两点，弦AB 过焦点F ，且

，

则线段AB 的中点坐标是（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

4．设椭圆

22

22

1(00)

x y m n m n +=>>，的右焦点与抛物线28y x =的焦点相同，离心率为12，则此椭圆的方程为（ ）

A ．2

2

11216

x y += B ．2

2

11612

x y += C ．2

2

14864

x y += D ．2

2

16448

x y += 5．设

P 是椭圆2

21

2516

x y +=上的点．若12F F ，是椭圆的两个焦点，则12PF PF +等于（ ） A ．4

B ．5

C ．8

D ．10

6．已知双曲线2222

1(0b 0)

x

y a a b -=＞，＞的两条渐近线均和圆C:22

650x y x +-+=相切,且双曲线的右焦点为圆C 的圆心,则该双曲线的方程为( )

A ．2

2154

x

y -= B ．22

145x y -=

C ．22

136

x y -=

D ．22163

x y -=

7．已知抛物线方程为2

4y x =，直线l 的方程为40x y -+=，在抛物线上有一动点P 到y

轴的距离为1d ，P 到直线l 的距离为2d ，则12d d +的最小( )

A ．

52

22+

B ．

52

12+

C ．

52

22-

D ．

52

12

- 8．抛物线2

8

1x y -

=的焦点坐标是（ ） A ．(0,－4)

B ．()0,2-

C ．)0,2

1(-

D ． ??

?

??-

0,321 二、填空题

9．焦点在直线3x －4y －12=0上的抛物线的标准方程是________. 10．已知抛物线，则它的焦点坐标为 ．

11．若点

和点分别为双曲线的中心和左焦点，点为双曲

线右支上的任意一点，则的取值范围为__________

12．椭圆中，过焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的线段长为2，焦点到相应准线的 距离也为2，则该椭圆的离心率为 13．若直线y=kx －1与双曲线422

=-y x

只有一个公共点，则k=

14．方程2

2

sin cos 1x y αα+=表示焦点在y 轴上的双曲线，则角α在第 _____象限。

三、解答题

15．（本小题满分10分）河上有一抛物线型拱桥，当水面距拱顶5m 时，水面宽为8m ，一小船宽4m ，高2m ，载货后船露出水面上的部分高4

3m

，问水面上涨到与抛物线拱顶相距多少米时，小船恰好能通行。

16．(本小题满分13分)已知抛物线上一动点,抛物线内一点,

为焦点且的最小值为。

求抛物线方程以及使得|PA|+|PF|最小时的P点坐标;

过(1)中的P点作两条互相垂直的直线与抛物线分别交于C、D两点,直线CD是否过一定点? 若是,求出该定点坐标; 若不是,请说明理由。

17．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C为221

4

x

y

+=

(1）若一直线与椭圆C 交于两不同点M N 、，且线段MN 恰以点11,

4??

- ???

为中点，求直线MN 的方程；

(2）若过点(1,0)A 的直线l （非x 轴）与椭圆C 相交于两个不同点,P Q 、试问在x 轴上是否存在定点(,0)E m ，使PE QE ?恒为定值λ？若存在，求出点E 的坐标及实数λ的值；若不存在，请说明理由.

18．（本小题满分13分）设椭圆22

221(0,0)x y C a b a b

=++>>的左、右焦点分别为F 1、F 2，

上顶点为A ，在x 轴上有一点B ，满足2AB AF ⊥且F 1为BF 2的中点.

(Ⅰ）求椭圆 C 的离心率；

(Ⅱ）若过A 、B 、F 2三点的圆恰好与直线:330l x y --=相切，判断椭圆C 和直线l 的位置关系.

19． (本小题满分12分)

设A 1、A 2是双曲线13

42

2=-y x 的实轴两个端点，P 1P 2是双曲线的垂直于x 轴的弦， (Ⅰ）直线A 1P 1与A 2P 2交点P 的轨迹C 的方程；

(Ⅱ）过4x =与x 轴的交点Q 作直线与（1）中轨迹C 交于M 、N 两点，连接FN 、FM ，其中F )0,1(,求证：FM FN k k +为定值；

20．（12分）抛物线2

4y x =的焦点为F ，过点F 的直线交抛物线于A ，B 两点． ①O 为坐标原点，求证：3-=?OB OA ；

②设点M 在线段AB 上运动，原点O 关于点M 的对称点为C ，求四边形OACB 面积的最

小值．.

广东省2013-2014学年高二寒假作业（二）数学

一、选择题

1．D

【解析】依题意|PF2|=|F1F2|，可知三角形PF2F1是一个等腰三角形，F2在直线PF1的投影是

其中点，由勾股定理可知|PF 1|=2=4b

根据双曲定义可知4b －2c=2a ，整理得c=2b －a ，代入c 2

=a 2

+b 2

整理得3b 2

－4ab=0，求得

=；∴e===，故选D ．

2．C

【解析】易知双曲线（a ＞0,b ＞0）的渐近线方程为，因为渐近线与

抛物线y = x 2

+1相切，我们不妨设是渐近线

，由，因

为渐近线与抛物线y = x 2 +1相切，所以，所以该双曲线的离心

率。

3．C

【解析】抛物线y 2

=4x∴P=2，

设经过点F 的直线与抛物线相交于A 、B 两点， 其横坐标分别为x 1，x 2，利用抛物线定义，

AB 中点横坐标为x 0=(x 1+x 2)=(|AB|－P)=1，

故选C ． 4．B

【解析】因为抛物线的焦点为（2，0），椭圆焦点在x 轴上，排除A 、C ，由e=0.5,排除D ，故选B 5．D

【解析】本试题主要是考查了椭圆的概念和方程中参数的运用。

根据椭圆的方程可知，a=5,b=4,那么椭圆上任意一点到两个焦点的距离为2a=10,故

12

PF PF +=10，选D.

解决该试题的关键是理解椭圆中a,b 的值，分别是谁，同时能结合定义得到椭圆上任何一点

到两个焦点的距离和为定值2a 。

6．A

【解析】因为双曲线的焦点到其渐近线的距离等于虚半轴长b,由题意知b 等于圆C 的半径

2,所以b=2,又因为c=3,所以2

2

2

5,a c b =-=∴所求双曲线的方程为22

154

x y -=.

7．D 【解析】如图

点P 到准线的距离等于点P 到焦点F 的距离，从而P 到y 轴的距离等于点P 到焦点F 的距离减1．过焦点F 作直线x －y+4=0的垂线，此时d 1+d 2=|PF|+d 2－1最小，∵F（1，0），则利用点到直线的距离可知，|PF|+d 2=|104|552

2112

-+==

+,则d 1+d 2的最小值为522－1，故选D. 8．B

【解析】将抛物线方程化成2

8x y =-，所以焦点坐标为()0,2-.

二、填空题 9．

【解析】因为直线3x －4y －12=0与x 轴、y 轴分别交与（4,0），（0，－3）。 所以当抛物线的焦点在x 轴上时，p=8，所以抛物线的标准方程是；

当抛物线的焦点在y 轴上时，p=6，所以抛物线的标准方程是. 综上知：抛物线的标准方程为。

10．

【解析】 即，所以抛物线，则它的焦点坐标为（0,1）.

11．

【解析】 为双曲线的左焦点，所以

，所以双曲线方程为，设点，则

，因为

为双曲线右支上

的任意一点，所以

，所以

的最小值为

，所以取值范围为

.

12．

2

1 【解析】本试题主要是考查了椭圆的离心率的求解的运用。

设出椭圆的方程22

22x y 1a b +=，因为过焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的线段长为

22b a ，2

2b 2a

∴

=因为焦点到相应准线的距离为2a c c -，故22a b c 2c c -==椭圆的离心率为

21，故答案为2

1

。 解决该试题的关键是设出方程，然后利用过焦点的垂直于长轴的直线被椭圆截得的线段长为

2

2b a

，得到离心率。 13．5

±

，1± 【解析】因为双曲线的渐近线为y x =±,所以当直线y=kx －1与渐近线平行时，也只有一个公共点，所以1k =±,由y=kx －1与422

=-y x

联立消去y 整理后得

2222(1)250,44(5)(1)0k x kx k k -+-=?=---=，所以5k =,所以k 的值有5±，1±.

14．四

【解析】因为方程2

2

sin cos 1x y αα+=表示焦点在y 轴上的双曲线，所以cos 0,α>且

sin 0,α<所以角α在第四象限.

三、解答题

15．2m 。

【解析】建立直角坐标系，设抛物线型拱桥方程为)0(22

>-=p py x ，过A （－4，－5）,B （4，－5），58=

p ，y x 5162-=，由于小船宽4m ，当2±=x 时，4

5

-=y ，即当船顶

距抛物线拱顶为

m 45时，小船恰好能通过。又载货后，船露出水面上的部分高m 4

3

。当水面距抛物线拱顶距离m d 24

5

43=-+=

时，小船恰好能通行。 答：当水面上涨到与抛物线拱顶相距2m 时，小船恰好能通行。 16．

(2,2).

过定点

。

【解析】 (1)过A,P 分别做准线的垂线,设垂足为

,则|PF|=|PH|,由图象可知,当

|PA|+|PF|取最小值即是点到准线的距离,此时P 点为AA 0与抛物线的交点.故,

此时抛物线方程为

, P 点坐标为(2,2).

(2)设,,直线即

即, 由PA⊥PB 有

得代入到中，有,

即即,故直线AB 过定点。

17．（1）4450x y -+=；（2）在x 轴上存在定点17(

,0)8E ，使PE QE ?恒为定值33

64

。 【解析】本试题主要是考查了直线与圆的位置关系综合运用。 （1）

点11,

4?

?

- ???

在椭圆内部，∴直线MN 与椭圆必有公共点 再利用点差法得到中点坐标与直线斜率的关系式， （2）假定存在定点(,0)E m ，使PE QE ?恒为定值λ 由于直线l 不可能为x 轴

于是可设直线l 的方程为1,x ky =+且设点3344(,)(,)P x y Q x y 、

将1x ky =+代入2

21,4

x y +=得到一元二次方程，进而利用向量的关系得到参数的值。 解：（1）

点11,

4?

?

- ???

在椭圆内部，∴直线MN 与椭圆必有公共点 设点1122(,)(,)M x y N x y 、，由已知12x x ≠，则有

2

2112

222

14

1

4

x y x y ?+=????+=??两式相减，得12121212()()()()4x x x x y y y y +-=--+ 而12121

2,,2

x x y y +=-+=

∴直线MN 的斜率为1MN k = ∴直线MN 的方程为4450x y -+=

（2） 假定存在定点(,0)E m ，使PE QE ?恒为定值λ 由于直线l 不可能为x 轴

于是可设直线l 的方程为1,x ky =+且设点3344(,)(,)P x y Q x y 、

将1x ky =+代入2

21,4x y +=得 22(4)230k y ky ++-=.

显然343422

23

0,,44

k y y y y k k ?>∴+=-

=-++ 3344(,),(,)EP x m y EQ x m y =-=-，

则2

343434()EP EQ x x m x x m y y ?=-+++

223434(1)(1)()21k y y k m y y m m =++-++-+

2222(4)481

4

m k m m k -+-+=+

若存在定点(,0)E m 使2222(4)481

4

m k m m k λ-+-+=+为定值（λ与k 值无关），则必有

2

2

44814m m m λλ

?-=??-+=??17,83364m λ?=?????=??

∴在x 轴上存在定点17(,0)8E ，使PE QE ?恒为定值3364

18．（Ⅰ）椭圆的离心率2

1

==

a c e ． （Ⅱ）直线和椭圆相交．

【解析】（I ）求出左、右焦点分别为F 1、F 2，上顶点为A 的坐标，通过112||||BF F F =，且AB ⊥AF 2，推出a ，b ，c 的关系，结合a 2

=b 2

+c 2

，即可求椭圆C 的离心率；

（II ）利用（I ）求出过A 、B 、F 2

三点的圆的圆心与半径，利用圆与直线30x -=相切圆心到直线的距离等于半径，求出a ，b ，即可求椭圆C 的方程． （Ⅰ）由题意知)0,(1c F -，)0,(2c F ，),0(b A ．

因为2AF AB ⊥，所以在2ABF Rt ?中，2

2222AF AB BF +=． ……2分 又因为1F 为2BF 的中点，所以22222)9()4(a b c c ++=， ……4分 又222c b a +=，所以c a 2=．故椭圆的离心率2

1

==

a c e ． ……6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知a c 21=，于是)0,2(2a F ，)0,2

3

(a B -，

2ABF Rt ?的外接圆圆心为)0,2

1

(1a F -，半径a r =． ……8分

所以

a a =--232

1

，解得2=a ，所以1=c ，3=b ．

……11分

19．（Ⅰ）13

42

2=+y x （)0≠y ；（Ⅱ）见解析。 【解析】（Ⅰ）利用交轨法来求直线P 1A 1和P 2A 2的交点的轨迹方程，先根据已知条件求出A 1、A 2点的坐标，设P （x 0，y 0），则N （x 0，－y 0），求出直线PA 1和NA 2的方程，联立方程，方程组的解为直线PA 1和NA 2交点的坐标，再把P 点坐标（x 0，y 0）用x ，y 表示，代入双曲线方程，化简即得轨迹C 的方程．

（Ⅱ）设MN 的方程为)4(-=x k y ，),(),,(2211y x N y x M ，直线MN 的方程与曲线C 的方程联立消y 可得关于x 的一元二次方程，解出M ，N

点横坐标之和与之积代入下式

FM FN k k +为定值．

（Ⅰ）设),(),,(002001y x P y x P -,则11P A 的方程为)2(2

00

++=

x x y y ① 22P A 的方程为)2(200

---=x x y y ② 将①×②，得)4(4

2202

02---=x x y y

又),(001y x P 在双曲线上，1342

020=-∴y x ，即)4(4

3202

-=x y ， 代入上式 ，得13

42

2=+y x （)0≠y ………5分 （Ⅱ）法一：设MN 的方程为)4(-=x k y ，),(),,(2211y x N y x M

联立，得?????=+-=134)4(2

2y x x k y 消y ，得0126432)43(2

222=-+-+k x k x k 则???

????+-=+=+22

2122

214312644332k k x x k k x x 0)

1)(1(8)(52)1)(1()1()1(111221211221121122=--++-=---+-=-+-=

+x x k

x x k x kx x x x y x y x y x y k k FM FN ..12分 20．（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）0m =时，四边形OACB 的面积最小，最小值是4． 【解析】（1）先利用已知条件设出直线AB 的方程，与抛物线联立方程组，然后结合韦达定理表示出向量的数量积，进而证明。

（2）根据由点C 与原点O 关于点M 对称，得M 是线段OC 的中点，从而点O 与点C 到直线AB 的距离相等，得到四边形OACB 的面积等于2AOB S ?，结合三角形面积公式得到。 （Ⅰ）解：依题意(1,0)F ，设直线AB 方程为1x my =+． …………1分 将直线AB 的方程与抛物线的方程联立，消去x 得2

440y my --=．……3分 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，所以 124y y m +=，124y y =-．

1)y (y m 1)1)(m y (m y 212122121+++=++=m y y x x =1，

故3-2121=+=?y y x x OB OA ．………………6分

（Ⅱ）解：由点C 与原点O 关于点M 对称，得M 是线段OC 的中点，从而点O 与点C 到直线AB 的距离相等，所以四边形OACB 的面积等于2AOB S ?．……8分 因为 121

22||||2

AOB S OF y y ?=???- ……………9分

==，…………11分

m 时，四边形OACB的面积最小，最小值是4．……12分所以0