(精心整理)二次函数与平行四边形
二次函数与平行四边形【二次函数与三角形练习】
1.如图，抛物线c
bx
ax
y+
+
=2（a0
≠）的图象过点M（﹣2，3），顶点坐标为N（﹣1，
33
4
），且与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P为抛物线对称轴上的动点，当△PBC为等腰三角形时，求点P的坐标；
（3）在直线AC上是否存在一点Q，使△QBM的周长最小？若存在，求出Q点坐标；若不存在，请说明理由．
2.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（m，m），点B的坐标为（n，﹣n），抛物线经
过A、O、B三点，连接OA、OB、AB，线段AB交y轴于点C．已知实数m、n（m＜n）分别是方程x2﹣2x﹣3=0的两根．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P为线段OB上的一个动点（不与点O、B重合），直线PC与抛物线交于D、E两点（点D在y轴右侧），连接OD、BD．
①当△OPC为等腰三角形时，求点P的坐标；
②求△BOD 面积的最大值，并写出此时点D 的坐标．
3. （拓展）将抛物线212x y =向右平移2个单位，得到如图抛物线2y 的图象，P 是抛物线2y 对
称轴上的一个动点，直线t x =平行于y 轴，分别与直线x y =、抛物线2y 交于点A 、B ．若△ABP 是以点A 或点B 为直角顶点的等腰直角三角形，求满足条件的t 的值，则
t = ．
【二次函数与平行四边形知识点整理】
? 已知平面直角坐标系中，点),(11y x A 与点),(22y x B 之间的距离是________，线段AB 的中点
坐标是_______.
? 已知平行四边形ABCD 的三个顶点坐标是是A （1x ，1y ），B （2x ，2y ），C （3x ，3y ），请问
D 点的坐标是_______________________________.
? 寻找一个动点使之与已知三点构成平行四边形的方法：
①平移法，首先将已知线段当做平行四边形进行平移，结合图象进行分析，同时要注意考虑已知线段是对角线的情况；
②万能法；根据平行四边形的对角线互相平分这一性质，利用中点模型进行分析，根据两组对角顶点的中点相等列出等量关系.
1. 已知抛物线的顶点为A(2，1)，且经过原点O ，与x 轴的另一交点为B 。
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点C 在抛物线的对称轴上，点D 在抛物线上，且以O 、C 、D 、B 四点为顶点的四边形
为平行四边形，求D 点的坐标；
2. 如图，在坐标系xOy 中，△ABC 是等腰直角三角形，∠BAC=90°，A （1，0），B （0，2），抛物线22
12-+=bx x y 的图象过C 点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）平移该抛物线的对称轴所在直线l ．当l 移动到何处时，恰好将△ABC 的面积分为相等的两部分？
（3）点P 是抛物线上一动点，是否存在点P ，使四边形PACB 为平行四边形？若存在，求出P 点坐标；若不存在，说明理由．
3. 如图，抛物线32++=bx ax y 与x 轴相交于点A （﹣1，0）、B （3，0），与y 轴相交于点C ，
点P 为线段OB 上的动点（不与O 、B 重合），过点P 垂直于x 轴的直线与抛物线及线段BC 分别交于点E 、F ，点D 在y 轴正半轴上，OD=2，连接DE 、OF ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当四边形ODEF是平行四边形时，求点P的坐标；
（3）过点A的直线将（2）中的平行四边形ODEF分成面积相等的两部分，求这条直线的解析式．（不必说明平分平行四边形面积的理由）
4. 如图，抛物线经过A )0,1(-,B )0,5(,C )2
5,0(-三点.
(1)求抛物线的解析式；
(2)在抛物线的对称轴上有一点P ，使PA+PC 的值最小，求点P 的坐标；
(3)点M 为x 轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N ，使以A,C,M,N 四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N 的坐标；若不存在，请说明理由.
5. 综合与探究：如图,抛物线423412--=x x y 与x 轴交于A,B 两点(点B 在点A 的右侧)与y 轴
交于点C,连接BC,以BC 为一边,点O 为对称中心作菱形BDEC,点P 是x 轴上的一个动点,设点P 的坐标为（m ，0），过点P 作x 轴的垂线l 交抛物线于点Q
（1）求点A,B,C 的坐标。
（2）当点P 在线段OB 上运动时，直线l 分别交BD ，BC 于点M,N 。试探究m 为何值时，四边形CQMD 是平行四边形，此时，请判断四边形CQBM 的形状，并说明理由。
（3）当点P 在线段EB 上运动时，是否存在点 Q ，使△BDQ 为直角三角形，若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由。
6.如图，抛物线c
-
+
=2与x轴交于A（1，0）、B（﹣4，0）两点，交y轴与C点．
bx
x
y+
（1）求该抛物线的解析式；
（2）在该抛物线位于第二象限的部分上是否存在点D，使得△DBC的面积S最大？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）设抛物线的顶点为点F，连接线段CF，连接直线BC，请问能否在直线BC上找到一个点M，在抛物线上找到一个点N，使得C、F、M、N四点组成的四边形为平行四边形？若存在，请写出点M和点N的坐标；若不存在，请说明理由．
7. 如图，已知直线33+-=x y 与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ，抛物线c bx ax y ++=2 经过
点A 和点C ，对称轴为直线l ：1-=x ，该抛物线与x 轴的另一个交点为点B ．点M 在此抛物线上，点N 在y 轴上，以A 、B 、M 、N 为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，直接写出所有满足要求的点M 的坐标；若不能，请说明理由．