函数的奇偶性的经典总结
函数的奇偶性
一、函数奇偶性的基本概念
1 .偶函数：一般地，如果对于函数 f x的定义域内任意一个x，都有f X f x , f( x) f (x) 0,那么函数f x就叫做偶函数。
2.奇函数：一般地，如果对于函数 f x的定义域内任一个x，都有f x f x，
f( x) f (x) 0,那么函数f x就叫做奇函数。
注意：(1)判断函数的奇偶性，首先看定义域是否关于原点对称，不关于原点对称是非奇非偶函数，若函数的定义域是关于原点对称的，再判断 f x f x之一是否成立。
(2)在判断f X与f x的关系时，只需验证可来确定函数的奇偶性。x f x 0及
f(
x) = 1是否成立即
f (x)
题型一判断下列函数的奇偶性。
f(x) x -
x
⑴ f(x) x2x ，( 2 ) f(x) x3 x
G x f x f x,xR(4)
f(x)
x
x2 1 x x
⑸ f (x) xcosx (6) f (x) xs inx (7) f (x) 2 2 ，(8)
提示: 上述函数是用函数奇偶性的定义和一些性质来判断
(1) 判断上述函数的奇偶性的方法就是用定
义。
f(x)-
x
(2) 常见的奇函数有: f(x) x, f(x)x3, f (x)sin x ,
(3) 常见的奇函数有: 2
f(x) x , f (x)x , f(x)cosx
(4) 若f X、g x都是偶函数，那么在f x与g x的公共定义域上， f x +g x 为
偶函数，f x g x为偶函数。当g x工0时，上^ 为偶函数。g(x)—
(5)若f x , g x都是奇函数，那么在f x与g x的公共定义域上， f x + g x是奇函
数，f x g x是奇函数，f x g x是偶函数，当g x工0时，丄凶是偶函数。
g(x)
(6) 常函数fx cc 为常数 是偶函数，f x 0既是偶函数又是奇函数。 (7)
在公共定义域内偶函数的和、差、积、商 (分母不
为零)仍为偶函数；奇函数和、差仍为奇 函数；奇(偶)数个奇函数积、商(分母不为零)为奇(偶)函数；一个奇函数与一个偶函数的积为奇 函数.(8)对于复合函数F x f g x ；若g x 为偶函数，f x 为奇(偶)函数，则F x 都为偶函数；若g x 为奇函数，f x 为奇函数，则F x 为奇函数；若g x 为奇函数，f x 为 偶函数，则F x 为偶函数. 题型二三次函数奇偶性的判断
已知函数f (x) ax 3 bx 2 cx d ，证明：(1)当
(2)当b d 0时，f (x)是奇函数
是偶函数；当a c 0，f (x)是奇函数。
题型三利用函数奇偶性的定义来确定函数中的参数值
f (x) sinxln(x x 2 a)是偶函数，则a 的值为
因为是填空题，所以还可以用 f( 1) f(1), f ( 1) f (1)。
还可以用奇偶性的性质，如奇函数乘以奇函数是偶函数，奇函数乘以偶函数是奇函数等。
题型四 利用函数奇偶性的对称
1下列函数中为偶函数的是(B ) .下载可编辑.
c 0时，f (x)是偶函数
提示：通过定义来确定三次函数奇偶性中的常见题型,
2
f(x) ax
bx c ,当 b 0，
f(x)
1函数f x 2
ax bx 3a b 是偶函数，定义域为 a 1，2a ，则 a
2 设 f(x)
2
ax
bx 2是定义在1 a,2上的偶函数，则
f (x)的值域是
10,2
3已知 sin x
f(x) (x 1)( x a)
是奇函数，则a 的值为 1
4已知 提示:
(1)上述题型的思路是用函数奇偶性的定义,
f( x) f (x), f( x) f (x)。
(2)
(3)
A . y x 2sinx y x
B . y x 2 cosx
2下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是
⑵ 奇函数关于原点对称，偶函数的图像关于
y 轴对称。
⑶在原点有定义的奇函数必有
f (0) 0。
(4)已知函数f (x t)是R 上的奇函数，贝y f (x)关于点 ⑸已知f(x t)是偶函数，则f(x)关于直线x t 对称。
题型五 奇偶函数中的分段问题
f (x) xx 2
提示：(1)已知奇函数f (x)，当x 0, f (x) g(x)，则当x 0时，f(x) g( x)。
.下载可编辑.
.y lnx
3下列函数中, A . y x 1 4函数f(x) A . y 轴对称 x D
1
e B . y x —
x
为偶函数的是(C ) 1 y - x
x 的图像关于(C
B.直线y
x 对称
5已知函数f (x 1)是R 上的奇函数，且 f ( 1) 6已知函数f(x
2)是R 上的偶函数，贝U f ( 3)
提示：(1)上述题型的思路是用函数奇偶性的定义,
2x
坐标原点对称
4，贝U f(3) =-4 3，则 f(7) =-3 f( x) f (x), f (
直线 x)
y x 对称
f (x)。
(t,0)对称。
1设f(x)为定义在R 上的奇函数，当x 0时，f(x) 2 2x b ( b 为常数) ，则 f ( 1) -3
2已知f X 是奇函数，且当 x 0时，f X
x x 2，求 x 0时，f
的表达式。
3已知函数f (x)是定义在R 上的奇函数，当 x 0时，f (x)
2x 3 x 2，则 f(
3) =-45
4已知f x 是偶函数，当x 0时，f(x) x 2 2x
，求 f( 4)
24
5设偶函数f (x)满足f (x)
2x 4(x 0)，则
0 ={x | x 0或x
4}
(2)已知偶函数f (x)，当x 0 , f(x) g(x)，则当x 0时，f (x) g( x)。
类型六奇函数的特殊和性质
1已知函数f(x) ax32，求f( 2) f (2)的和为4
2已知f (x) x 了bx5ex3 dx 6，且f ( 3) 12，则f (3) =0
3已知f (x) x5ax3bx 8， f ( 2) 10，f (2) =_-26__
x2 x 1 2 4
4已知函数f(x) =「——，若f(a)—,则f( a)(—) x 1 3 3
提示：已知f (x)满足，f(x) g(x) t,其中g(x)是奇函数，则有f (a) f( a) 2t。
题型七函数奇偶性的结合性质
1设f(x)、g(x)是R上的函数，且f (x)是奇函数，g(x)是偶函数，则结论正确的是
A. f(x) g(x)是偶函数
B.| f(x) | g(x)是奇函数
C.f(x)|g(x)|是奇函数
D.| f (x) g(x) |是奇函数
2设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是
A. f (x) g(x)是偶函B . f (x) g(x)是奇函数
C. f (x) g(x) |是偶函数D . f (x) g(x) |是奇函数
3设函数f(x)与g(x)的定义域是x R且x 1 , f (x)是偶函数,g(x)是奇函数,且
1 1 x
f (x)
g (x)——,求f (x)和g (x)的解析式，f(x) —2- , g(x) —2-。
x 1 x 1 x 1 提示：(1)已知f (x)是奇函数，则f (x)是偶函数。
(2)已知h(x)是R上的函数，且f(x)也是R上的偶函数和g(x)也是R上的奇函数，满足
h(x) f(x) g(x)，则有g(x)吐晋凶，f(x) 叫S。
2 2
题型八函数的奇偶性与单调性
(B ) y log 2 x , x R 且 x 丰 0
x x
e e
,x R
2
3 设 f(x) x sin x ，贝y f (x)
( B )
A 既是奇函数又是减函数
B 既是奇函数又是增函数
C 有零点的减函数
D 没有零点的奇函数
4设奇函数f (x)在(0,)上为增函数，且 f(1) 0，则不等式
f (x )
f (
x) 0的解集为
x
((1,0)U(01)) 5已知偶函数 f x 在0,
单调递减，f 2
0，若f x 1
0，则x 的取值范围是
(1,3).
1
1 2 6已知偶函数f (x)在区间0,)单调增加，则满足 f(2x 1) v f(Q 的x 取值范围是(丄，)
3
3 3
提示：(1)已知f (x)是奇函数，且在(，0)上是增(减)函数，则在 (0,)上也是增(减)
函数。
(2) 已知f(x)是偶函数，且在(，0)上是增(减)函数，则在 (0,)上也是减(增)函数。 (3) 已知f (x)是偶函数，必有f( x) f (x) f (x)。 题型九函数的奇偶性的综合问题
1已知函数f x ,当x, y R 时，恒f (x y) f (x) f ( y)，且x 0时，f x 0 ,又
1
f 1
(1)求证：f x 是奇函数；(2)求证：f (x)在R 上是减函数；(3)求f (x)在
区间 2,6上的最值。最大值 1,最小值-3。
A
1 x
A . y
B . y e C
x
2下列函数中，既是偶函数，又在区间( y x 2
1 D . y Ig x
1,2 )内是增函数的为
(A ) y cos2x ，x R
(C ) y
3
(D ) y x 1 , x R
2设f (x)在R上是偶函数，在区间，0上递增，且有f 2a2 a 1 f 2a2 2a 3，求a
、判断下列函数的奇偶性
⑺ f(X)
x 3 x (8) f (x) sinx tanx ( 9) f (x)
2
x
1，(10) f (x)
x 1，
(11) f(x) x
e x 2
e ，(12) f(x) xsinx (13) f(x) x
x ，(14) f (x)
2
x cos x ，
(15)
f(x) 2x|
，(16) f (x) xln( 一 x 2
1 x) ,(17) f (x)
ln(1 1
|x|)
2
1 x 2
二、利用函数的奇偶性求参数的值
1若函数f x (m 1)x 2 2mx 3是偶函数，求 m 的值。o
2
若函数f (x) x 3 (a 1)x 2 bx c 4是奇函数，求(a c)2
5的值。4
3函数f(x ) ax 3 (b 1)x 2 x 是奇函数，定义域为(b 1,a)，则(a b 2)2的值是 9
5若函数f (x) x 2 x a 为偶函数，则实数 a _0 ________________ 6设函数f(x) x(e x ae x )(x R)是偶函数，则实数 a -1 _______
卄 (x 2)( x m) 8若f (x) -------------- --------- 为奇函数，则实数m __-2
x
9
若函数f (x) xln(x a x 2)为偶函数，则a _A
3
10若f x ln e 3x 1
ax 是偶函数，则a ______ 一
2'
一 2 的取值范围。(
2
,)
练习题
(1) f(x)
(4) f(x)
x x 2
1
f(x)
一 x 2
1 x 1 x ，x (1,1)
1, x R (5) f (x) 0,x [2,2] (6) f (x) In x
e
4 若 f(x)
厂a 是奇函数，则a
7若函数f (x)
(2)
(5) f(x) lOg a (x
2
2a )是奇函数，则
2