2018年四川省成都外国语学校自主招生数学试卷(直升卷)
2018年四川省成都外国语学校自主招生数学试卷（直升卷）
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）下列各数中比﹣大的数是（）
A．﹣3B．﹣2C．﹣D．﹣
2．（3分）下列各式正确的是（）
A．a6÷a2＝a3B．3x﹣2＝C．＝+2D．a＝﹣
3．（3分）“芯片”（chip）是半导体元件产品的统称，是集成电路的载体，是计算机或其他电子设备的核心部分．芯片的制造工艺非常复杂，目前我国使用的芯片大部分需要进口，其中2017年我国半导体芯片进口总额约为2600亿美元，接近同期原油进口总额的两倍，请用科学记数法表示2600亿为（）A．2600×108B．2.6×1010C．2.6×1011D．2.6×1012
4．（3分）下列各图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）
A．B．
C．D．
5．（3分）关于x的方程ax2﹣2（a+2）x+a＝0有实根，则实数a的取值范围是（）A．a≥﹣1B．a≥﹣1且a≠0C．a＞﹣1且a≠0D．a＞﹣1
6．（3分）如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE＝DG，△ADG和△AED的面积分别为50和39，则△EDF的面积为（）
A．11B．5.5C．7D．3.5
7．（3分）如图，DE是△ABC的中位线，F为DE上一点，且EF＝2DF，BF的延长线交AC于点H，CF 的延长线交AB于点G，则S四边形AGFH：S△BFC＝（）
A．1：10B．1：5C．3：10D．2：5
8．（3分）如图，四边形ABCD中∠DAB＝60°，∠B＝∠D＝90°，BC＝1，CD＝2，则对角线AC的长为（）
A．B．C．D．
9．（3分）如图，以O为圆心的圆与直线y＝﹣x+交于A、B两点，若△OAB恰为等边三角形，则弧AB 的长度为（）
A．πB．πC．πD．π
10．（3分）如图，抛物线y1＝（x+1）2+1与y2＝a（x﹣4）2﹣3交于点A（1，3），过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于B、C两点，且D、E分别为顶点．则下列结论：
①a＝；②AC＝AE；③△ABD是等腰直角三角形；④当x＞1时，y1＞y2
其中正确结论的个数是（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分）
11．（3分）分解因式：x2﹣4（y2+x﹣1）＝．
12．（3分）已知一组数据20，20，x，15的中位数与平均数相等，那么这组数据的中位数是．13．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，AB＝6，Rt△AB′C′可以看作是由Rt △ABC绕点A逆时针方向旋转60°得到的，则线段B′C的长为．
14．（3分）如图，在草地上有一个正六边形的围墙ABCDEF（不能进入），每边长6米，CD的延长线DG 也是围墙，长度是19米．今有一只羊拴在D处，绳长18米，则羊能吃到围墙外平方米的草．
15．（3分）如图，在矩形ABCD中，点O在对角线AC上，以OA的半径的⊙O与AD、AC分别交于点E、F，且∠ACB＝∠DCE．若tan∠ACB＝，BC＝2，则⊙O的半径为．
三、解答题（共5小题，共55分）
16．（18分）（1）计算：﹣22÷﹣|sin60°﹣1|+（π﹣3.14）0+（﹣）﹣1．
（2）先化简，再求值：（+2﹣x）÷，其中x满足x2﹣4x+3＝0．
（3）若关于x的不等式组有三个整数解，求a的取值范围．
17．（7分）测量底部不可以到达的物体的高度，可按下列步骤进行（如图）：
（1）在测点A处测得此时M的仰角∠MCE＝α；
（2）在测点B处测得此时M的仰角∠MDE＝β（A、B与N在一条直线上）；
（3）测倾器的高度AC＝BD＝a，测点A、B之间的距离为b．根据测量数据，请求物体的高度MN．
18．（10分）已知关于x的分式方程+＝．
（1）若这个方程的解是负数，求m的取值范围；
（2）若这个方程无解，求m的值．
19．（10分）如图，已知直线l：y＝ax+b与反比例函数y＝﹣的图象交于A（﹣4，1）、B（m，﹣4），且直线l与y轴交于点C．
（1）求直线l的解析式；
（2）若不等式ax+b＞﹣成立，则x的取值范围是；
（3）若直线x＝n（n＜0）与y轴平行，且与双曲线交于点D，与直线l交于点H，连接OD、OH、OA，当△ODH的面积是△OAC面积的一半时，求n的值．
20．（10分）如图，△ABC内接于⊙O，弦AD⊥BC，垂足为H，连接OB．
（1）如图1，求证：∠DAC＝∠ABO；
（2）如图2，在弧AC上取点F，使∠CAF＝∠BAD，在弧AB取点G，使AG∥OB，若∠BAC＝60°，求证：GF＝GD；
（3）如图3，在（2）的条件下，AF、BC的延长线相交于点E，若AF：FE＝1：9，求sin∠ADG的值．
四、填空题（共5小题，每小题4分，共20分）
21．（4分）已知m、n是方程x2﹣2018x+2019＝0的两根，则（n2﹣2020n+2021）（m2﹣2020m+2021）的值为．
22．（4分）在一个口袋中有七个大小和形状完全相同的小球，分别标有数字﹣6，﹣5，﹣4．﹣3，﹣2，2，1．现从袋中抽出一个小球记上面的数字为a，则使得二次函数y＝（x+1）2+a+1的顶点落在第三象限且使得分式方程＝2﹣有整数解的概率是．
23．（4分）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝，两顶点A、B分别在平面直角坐标系的x轴、y轴的正半轴上滑动，点C在第一象限，连接OC，则当OC为最大值时，点C的坐标是．
24．（4分）如图，边长为1的菱形ABCD中，∠DAB＝60度．连接对角线AC，以AC为边作第二个菱形ACC1D1，使∠D1AC＝60°；连接AC1，再以AC1为边作第三个菱形AC1C2D2，使∠D2AC1＝60°；…，按此规律所作的第n个菱形的边长为．
25．（4分）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，且OA＝2，OC＝1，矩形对角线AC、OB相交于E，过点E的直线与边OA、BC分别相交于点G、H，以O为圆心，OC为半径的圆弧交OA于D，若直线GH与弧CD所在的圆相切于矩形内一点F，则下列结论：①AG＝CH；②GH＝；③直线GH的函数关系式y＝﹣；④梯形ABHG 的内部有一点P，当⊙P与HG、GA、AB都相切时，⊙P的半径为．其中正确的有．
五、解答题（共3小题，共30分）
26．（8分）某工程指挥部，要对某路段工程进行施工，现有甲、乙两个工程队，已知甲队单独完成这项工程所需天数是乙单独完成这项工程所需天数的；若由甲队先做20天，剩下的工程再由甲、乙两队合作24天可以完成．
（1）求甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？
（2）已知甲队每天的施工费用为0.8万元，乙队每天的施工费用为0.6万元，该工程的工程预算款不超
过50万元，工程期限要求不超过40天，在施工中，由于乙队先有其他任务需要完成，先由甲队独立施工了若干天，然后由甲、乙两队合作完成余下的工程，问此项工程能否在计划的工期和工程预算下顺利完工？若能求出甲先独立完成的天数，若不能说明理由．
27．（10分）在菱形ABCD中，∠BAD＝60°．
（1）如图1，点E为线段AB的中点，连接DE、CE、若AB＝4，求线段EC的长；
（2）如图2，M为线段AC上一点（不与A、C重合），以AM为边向上构造等边三角形AMN，线段MN 与AD交于点G，连接NC、DM，Q为线段NC的中点，连接DQ、MQ，判断DM与DQ的数量关系，并证明你的结论；
（3）在（2）的条件下，若AC＝，请你直接写出DM+CN的最小值．
28．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数y＝a（x﹣1）2+k的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），AB＝4，与y轴交于点C，E为抛物线的顶点，且tan∠ABE＝2．
（1）求此二次函数的表达式；
（2）已知P在第四象限的抛物线上，连接AE交y轴于点M，连接PE交x轴于点N，连接MN，若S△EAP＝3S△EMN，求点P的坐标；
（3）如图2，将原抛物线沿y轴翻折得到一个新抛物线，A点的对应点为点F，过点C作直线l与新抛物线交于另一点M，与原抛物线交于另一点N，是否存在这样一条直线，使得△FMN的内心在直线EF 上？若存在，求出直线l的解析式；若不存在，请说明理由．
参考答案
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．选：D．
2．选：D．
3．选：C．
4．选：B．
5．选：A．
6．选：B．
7．选：C．
8．选：C．
9．选：C．
10．选：B．
二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分）
11．答案为：（x﹣2+2y）（x﹣2﹣2y）．
12．答案为：20或17.5．
13．答案为：3．
14．答案为：84π．
15．答案为：．
三、解答题（共5小题，共55分）
16．（18分）（1）计算：﹣22÷﹣|sin60°﹣1|+（π﹣3.14）0+（﹣）﹣1．（2）先化简，再求值：（+2﹣x）÷，其中x满足x2﹣4x+3＝0．（3）若关于x的不等式组有三个整数解，求a的取值范围．【解答】解：（1）﹣22÷﹣|sin60°﹣1|+（π﹣3.14）0+（﹣）﹣1
＝﹣4÷（﹣2）﹣|﹣1|+1﹣
＝2﹣（1﹣）+1﹣
＝2﹣1++1﹣
＝2+；
（2）（+2﹣x）÷
＝
＝
＝
＝﹣，
∵x2﹣4x+3＝0，
解得，x1＝1，x2＝3，
∵当x＝1时原分式无意义，
∴x＝3，
当x＝3时，原式＝＝﹣；
（3），
由不等式①，得
x＞，
由不等式②，得
x＜2a，
故该不等式组的解集是﹣＜x＜2a，
∵关于x的不等式组有三个整数解，
∴2＜2a≤3，
解得，1＜a≤，
即a的取值范围是1＜a≤．
17．（7分）测量底部不可以到达的物体的高度，可按下列步骤进行（如图）：（1）在测点A处测得此时M的仰角∠MCE＝α；
（2）在测点B处测得此时M的仰角∠MDE＝β（A、B与N在一条直线上）；
（3）测倾器的高度AC＝BD＝a，测点A、B之间的距离为b．根据测量数据，请求物体的高度MN．
【解答】解：在Rt△MCE中，tan∠MCE＝，
则CE＝＝，
在Rt△MDE中，tan∠MDE＝，
则DE＝＝，
由题意得，CE﹣DE＝CD＝AB＝b，
∴﹣＝b，
解得，ME＝，
∴MN＝ME+EN＝a+．
18．（10分）已知关于x的分式方程+＝．
（1）若这个方程的解是负数，求m的取值范围；
（2）若这个方程无解，求m的值．
【解答】解：分式方程+＝，
去分母得：2（x+2）+mx＝3（x﹣2），即（m﹣1）x＝﹣10，
（1）∵方程的解是负数，且x≠±2，
∴m﹣1＞0，且m﹣1≠±5，
∴m＞1且m≠6；
（2）∵方程无解，
∴m﹣1＝0或m﹣1＝±5，
∴m＝1或m＝﹣4或m＝6．
19．（10分）如图，已知直线l：y＝ax+b与反比例函数y＝﹣的图象交于A（﹣4，1）、B（m，﹣4），且
直线l与y轴交于点C．
（1）求直线l的解析式；
（2）若不等式ax+b＞﹣成立，则x的取值范围是x＜﹣4或0＜x＜1；
（3）若直线x＝n（n＜0）与y轴平行，且与双曲线交于点D，与直线l交于点H，连接OD、OH、OA，当△ODH的面积是△OAC面积的一半时，求n的值．
【解答】解：（1）∵，
∴m＝1，
∴B（1，﹣4）．
∵y＝ax+b过A（﹣4，1），B（1，﹣4），
∴，
解得，
∴直线解析式为y＝﹣x﹣3；
（2）由函数图象可知，不等式ax+b＞﹣成立，则x的取值范围是x＜﹣4或0＜x＜1．
故答案是：x＜﹣4或0＜x＜1；
（3）∵直线与y轴交点为（0，﹣3），
∴
由直线x＝n可知
当﹣4＜n＜0时，，
∵，
∴，
整理得n2+3n+2＝0，
解得：n1＝﹣1，n2＝﹣2；
当n＜﹣4时，，
∵，
∴，
整理得n2+3n﹣10＝0，
解得：n1＝﹣5，n2＝2（不合题意，舍去）．
综上可知n的值为﹣1，﹣2，﹣5．
20．（10分）如图，△ABC内接于⊙O，弦AD⊥BC，垂足为H，连接OB．
（1）如图1，求证：∠DAC＝∠ABO；
（2）如图2，在弧AC上取点F，使∠CAF＝∠BAD，在弧AB取点G，使AG∥OB，若∠BAC＝60°，求证：GF＝GD；
（3）如图3，在（2）的条件下，AF、BC的延长线相交于点E，若AF：FE＝1：9，求sin∠ADG的值．
【解答】（1）证明：如图1，延长BO交⊙O于点Q，连接AQ．
∵BQ是⊙O直径，
∴∠QAB＝90°．
∵AD⊥BC，
∴∠AHC＝90°．
∵弧AB＝弧AB，
∴∠AQB＝∠ACB，
∵∠AQB+∠ABO＝90°，
∠ACB+∠CAD＝90°
∴∠ABO＝∠CAD．
（2）证明：如图2，
∵AG∥OB，
∴∠ABO＝∠BAG，
∵∠ABO＝∠CAD，
∴∠CAD＝∠BAG，
∵∠BAC＝60°，
∴∠BAD+∠CAD＝∠BAD+∠BAG＝60°，
∵∠BAD＝∠CAF，
∴∠CAF+∠CAD＝60°，
∴∠GAD＝∠DAF＝60°，∠GAF＝120°，
∵四边形AGDF内接于⊙O，
∴∠GDF＝60°，
∵弧GD＝弧GD，
∴∠GAD＝∠GFD＝60°，
∴∠GDF＝∠GFD＝60°，
∴GD＝GF．
（3）解：如图3，延长GA，作FQ⊥AG，垂足为Q，作ON⊥AD，垂足为N，作OM⊥BC，垂足为M，延长AO交⊙O于点R，连接GR．作DP⊥AG，DK⊥AE，垂足为P、K．
∵AF：FE＝1：9，
∴设AF＝k，则FE＝9k，AE＝10k，在△AHE中，∠E＝30°，
∴AH＝5k．
设NH＝x，则AN＝5k﹣x，∵ON⊥AD，
∴AD＝2AN＝10k﹣2x
又在△AQF中，∵∠GAF＝120°，
∴∠QAF＝60°，AF＝k，
∴AQ＝，FQ＝k，
由（2）知：∠GDF＝∠DAF＝60°，
∴△GDF是等边三角形，
∴GD＝GF＝DF，
∵∠GAD＝∠DAF＝60°，
∴DP＝DK，
∴△GPD≌△FKD，△APD≌△AKD
∴FK＝GP，AP＝AK，∠ADK＝30°，
∴AD＝2AK＝AP+AK＝AF+AG
∴AG＝10k﹣2x﹣k＝9k﹣2x，
∵作OM⊥BC，ON⊥AD，
∴OM＝NH＝x，∵∠BOM＝∠BOC＝∠BAC＝60°
∴BC＝2BM＝2x，
∵∠BOC＝∠GOF，
∴GF＝BC＝2x
在△GQF中，GQ＝AG+AQ＝k﹣2x，QF＝k，GF＝2x，
∵GQ2+FQ2＝GF2，
∴（k﹣2x）2+（k）2＝（2x）2，
∴x1＝k，x2＝﹣k（舍弃），
∴AG＝9k﹣2x＝k，AR＝2OB＝4OM＝4x＝7k，
在△GAR中，∠RGA＝90°，
∴sin∠ADG＝sin∠R＝＝．
四、填空题（共5小题，每小题4分，共20分）
21．（4分）已知m、n是方程x2﹣2018x+2019＝0的两根，则（n2﹣2020n+2021）（m2﹣2020m+2021）的值为8．
【解答】解：∵m、n是方程x2﹣2018x+2019＝0的两根，
∴m2﹣2018m+2019＝0，n2﹣2018n+2019＝0，即m2﹣2018m＝﹣2019，n2﹣2018n＝﹣2019，
∴（n2﹣2020n+2021）（m2﹣2020m+2021）
＝（﹣2n+2）（﹣2m+2）
＝4mn﹣4（m+n）+4，
∵m、n是方程x2﹣2018x+2019＝0的两根，
∴m+n＝2018，mn＝2019，
∴原式＝4×2019﹣4×2018+4
＝8．
故答案为8．
22．（4分）在一个口袋中有七个大小和形状完全相同的小球，分别标有数字﹣6，﹣5，﹣4．﹣3，﹣2，2，1．现从袋中抽出一个小球记上面的数字为a，则使得二次函数y＝（x+1）2+a+1的顶点落在第三象限且使得分式方程＝2﹣有整数解的概率是．
【解答】解：二次函数y＝（x+1）2+a+1的顶点坐标为：（﹣1，a+1），
当顶点落在第三象限时，a+1＜0，即a＜﹣1，
则符合条件的a的值为﹣6，﹣5，﹣4．﹣3，﹣2，
＝2﹣，
去分母，得ax＝2（x﹣2）﹣（3x+2），
去括号，得ax＝2x﹣4﹣3x﹣2，
移项、合并同类项，得（a+1）x＝﹣6，
系数化为1，得x＝﹣，
当a＝﹣4时，x＝2是增根，
则a＝﹣3，﹣2，2，1时，分式方程有整数解，
综上所述，当a═﹣3，﹣2时，二次函数y＝（x+1）2+a+1的顶点落在第三象限且使得分式方程＝2﹣有整数解，
所以使得二次函数y＝（x+1）2+a+1的顶点落在第三象限且使得分式方程＝2﹣有整数解的概率是，
故答案为：．
23．（4分）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝，两顶点A、B分别在平面直角坐标系的x轴、y轴的正半轴上滑动，点C在第一象限，连接OC，则当OC为最大值时，点C的坐标是（，）．
【解答】解：E为AB的中点，当O，E及C共线时，OC最大，过C作CF⊥x轴于F，则∠CFO＝90°，
此时OE＝BE＝AB＝1，由勾股定理得：CE＝＝2，
OC＝1+2＝3，
即BE＝CE，
∵∠CBE＝90°，
∴∠ECB＝30°，∠BEC＝60°，
∴∠AEO＝60°，
∵在Rt△AOB中，E为斜边AB中点，
∴AE＝OE，
∴△AOE等边三角形，
∴∠AOE＝60°，
∴∠COB＝90°﹣60°＝30°，
∴CF＝OC＝＝，
由勾股定理得：OF＝＝＝，
所以点C的坐标是（，）．
故答案为：（，）．
24．（4分）如图，边长为1的菱形ABCD中，∠DAB＝60度．连接对角线AC，以AC为边作第二个菱形ACC1D1，使∠D1AC＝60°；连接AC1，再以AC1为边作第三个菱形AC1C2D2，使∠D2AC1＝60°；…，按此规律所作的第n个菱形的边长为（）n﹣1．
【解答】解：连接DB，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝AB．AC⊥DB，
∵∠DAB＝60°，
∴△ADB是等边三角形，
∴DB＝AD＝1，
∴BM＝，
∴AM＝＝，
∴AC＝，
同理可得AC1＝AC＝（）2，AC2＝AC1＝3＝（）3，
按此规律所作的第n个菱形的边长为（）n﹣1
故答案为（）n﹣1．
25．（4分）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，且OA＝2，OC＝1，矩形对角线AC、OB相交于E，过点E的直线与边OA、BC分别相交于点G、H，以O为圆心，OC为半径的圆弧交OA于D，若直线GH与弧CD所在的圆相切于矩形内一点F，则下列结论：①AG＝CH；②GH＝；③直线GH的函数关系式y＝﹣；④梯形ABHG 的内部有一点P，当⊙P与HG、GA、AB都相切时，⊙P的半径为．其中正确的有①②③④．
【解答】解：①∵四边形OABC是矩形，
∴OE＝BE，BC∥OA，OA＝BC，
∴∠HBE＝∠GOE，
∵在△BHE和△OGE中，∠HBE＝∠GOE，OE＝BE，∠HEB＝∠GEO，
∴△BHE≌△OGE（ASA），
∴BH＝OG，
∴AG＝CH．
②如图1，连接DE并延长DE交CB于M，连接AC，则由矩形的性质，点E在AC上．
∵DD＝OC＝1＝OA，
∴D是OA的中点，
∵在△CME和△ADE中，
∠MCE＝∠DAE，CE＝AE，∠MEC＝∠DEA，
∴△CME≌△ADE（ASA），
∴CM＝AD＝2﹣1＝1，
∵BC∥OA，∠COD＝90°，
∴四边形CMDO是矩形，
∴MD⊥OD，MD⊥CB，
∴MD切⊙O于D，
∵HG切⊙O于F，E（1，），
∴可设CH＝HF＝x，FE＝ED＝＝ME，
在Rt△MHE中，有MH2+ME2＝HE2，
即（1﹣x）2+（）2＝（+x）2，解得x＝．
∴H（，1），OG＝2﹣＝，
∴G（，0）．
∴GH2＝（﹣）2+（0﹣1）2＝，
∴GH＝，
③设直线GH的解析式是：y＝kx+b，
把G、H的坐标代入得，解得：，∴直线GH的函数关系式为y＝﹣x+，