B 的盖尔圆为
123413231143
:,:,:,:44552277
B B B B G z G z G z G z -≤-≤-≤-≤
B 的盖尔圆如下图所示
由B 的盖尔圆的分布可知B 的特征值模均小于等于1，即()1ρ≤B ，而B 有特征向量()1,1,1,1T
，对应特征值为1，故()1ρ=B 。
8．证明矩阵00101
40110620
11
8?? ?
?
= ? ???
A 至少有两个实特征值。 证明：盖尔圆盘为：1234:1,:42,:63,:82G z G z G z G z ≤-≤-≤-≤，注意到1G 与234,,G G G 互不相交，故1G 包含一个实特征值，另外3个特征值包含在
234G G G ??中，又因复特征值总成对出现，故这3个特征值必包含一个实特征值，从而A 至少有两个实特征值。
10．由盖尔定理隔离9121221015111101,104082201001-??
-?? ?
?
?=-= ? ?- ? ?????
A B 的特征值（画图表示），并由实矩阵特征值的性质改进结果。
解法一：对A ，123:23,:102,:2010G z G z G z -≤-≤-≤
对T A ，123:29,:104,:202G z G z G z '''-≤-≤-≤
如下图所示，综合考虑可知，在123
,,G G G '中各有一个特征值，且必为实数。
对B ，1234:94,:152,:41,:11G z G z G z G z -≤-≤-≤-≤ 对T B ，1234:92,:151,:43,:12G z G z G z G z ''''-≤-≤-≤-≤
如下图所示，综合考虑可知，在1234,,,G G G G ''中各有一个特征值，且必为实数。
解法二： A 的盖尔圆为
123:23,:102,:2010A A A G z G z G z -≤-≤-≤ A 的盖尔圆如下图所示
取200010001?? ?= ? ?
??
D 令
124
2110124220--?? ? ?==- ? ??
?C DAD C 的盖尔圆为
1233
:26,:10,:20
62
C C C G z G z G z -≤-≤-≤
C 的盖尔圆如下图所示
可见C 的盖尔圆两两不相交，即C 的特征值都为实数，由于A 的特征值与C 的特征值相等，所以A 的特征值都为实数且两两不等。
B 的盖尔圆为
1234:94,:152,:41,:11B B B B G z G z G z G z -≤-≤-≤-≤
B 的盖尔圆如下图所示
取10000100'00100002?? ?
?= ? ???
D 令1'-=F DBD 则F 的盖尔圆为
123473
:9,:15,:41,:1222
F F F F
G z G z G z G z -≤-≤-≤-≤
F 的盖尔圆如下图所示
由于F的盖尔圆两两不相交，所以B的特征值是4个不相等的实数。
