四川省遂宁市2017届高三三诊考试数学(文)

遂宁市高中2017届三诊考试

数学（文科）试题

本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。总分150分。考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题，满分60分）

注意事项：

1．答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考号用0.5毫米的黑色墨水签字笔填写在答题卡上。并检查条形码粘贴

是否正确。

2．选择题使用2B 铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，非选择题用0.5毫米黑色墨水签字笔书写在答题卡对应

框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 3．考试结束后，将答题卡收回。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每个小题给出的四个选项中，只有一个

是符合题目要求的。

1．若集合{}2≤∈=x N x A ，{

}

032

≥-=x x x B ，则B A 为 A ．{}

20≤≤x x B ．{}2,1 C ．{}

20≤

sin 32cos

π

πi z +=在复平面内对应的点在 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限

3. 已知向量，的夹角为

3

π

，且)4,3(-=a 2==+ A ．212B ．7 C ．61D ．61

4．我国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造一种标准量器------商鞅铜方升，其三视图如下图所示（单位：寸），若π取3，且图中的x 为6.1（寸）．则其体积为

A ．4.114.0+π立方寸

B ．8.13立方寸

C ．6.12立方寸

D ．2.16立方寸

5．已知直线20ax y +-=与圆C ()()2

2

14x y a -+-=相交于B A , 两点，且线段AB 是圆C 的

所有弦中最长的一条弦，则实数a = A. 2 B. 1± C. 1或2 D. 1

6．表面积为24的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的体积为 A. π12 B. π34 C.

π38

D. π3

34 7．函数)sin(?ω+=x A y )2

,0,0(π

?ω<>>A 的部分图象如图所示，

则其在区间]2,3

[ππ

上的单调递减区间是

A ．],3[

ππ

和]2,611[ππ B ．]65,3[ππ和]611,34[π

π C ．]65,3[ππ和]2,611[ππ

D ．],3[ππ和]6

11,34[

π

π

8．某程序框图如图所示，若该程序运行

后输出的值是7

4

，则整数a 的值为 A ．3=a B ．4a = C ．5a = D ．6=a

9. 已知cos sin 65

παα??

-

+= ?

?

?， 则7sin 6πα?

?+ ??

?的值是

A ．

53 B ．54 C ．53- D ．5

4- 10．已知函数]3,3[,2)(2

-∈--=x x x x f ，在定义域内任取一点0x ，使()00f x ≤的概率是

A ．31

B ．23

C ．21

D ．61

11．已知直线l 过椭圆C ：2

212

x y +=的左焦点F 且交椭圆C 于A 、B 两点。O 为坐标原点，若

OA OB ⊥，则点O 到直线AB 的距离为

A B ．2 C D ．32

12. 已知函数()g x 的导函数()x

g x e '=,且(0)(1)g g e '=,（其中e 为自然对数的底数）．若

(0,)x ?∈+∞,使得不等式()g x

<

成立,则实数m 的取值范围是 A ．()1,∞- B ．()3,∞- C ．()+∞,3 D ．()e -∞-4,

第Ⅱ卷（非选择题，满分90分）

注意事项：

1．请用蓝黑钢笔或圆珠笔在第Ⅱ卷答题卡上作答，不能答在此试卷上。 2．试卷中横线及框内注有“▲”的地方，是需要你在第Ⅱ卷答题卡上作答。

本卷包括必考题和选考题两部分。第13题至第21题为必考题，每个试题考生都作答；第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分。 13. 函数(

)2f x x =+

的值域是 ▲

14. 已知实数,x y 满足???

?

???≥--≤-≤-04207021

y x x y x ，则23z x y =-的最小值为 ▲

15. 在△ABC 中，2,60BC B ==

，若△ABC

的面积等于

2

， 则AC 边长为 ▲

16. 已知函数()2,01

,0

x x a x f x x x ?++

=?->??

的图象上存在不同的两点,A B , 使得曲线()y f x =在这两点处的切线重合，则实数a 的取值范围 是 ▲

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（本小题满分12分）

等比数列{}n a 的各项均为正数，且2

12326231,9a a a a a +==.

（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设

31323log log ......log n n b a a a =+++，求数列?

?????

-

n b 1 的前n 项和n T .

18.（本小题满分12分）

如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1

中，AB=BC=BB 1， 11AB A B E = ， D 为AC 上的点，B 1C ∥平面A 1BD ； （1）求证：BD ⊥平面11ACC A ；

（2）若1,AB =且1AC AD =?，求三棱锥A-BCB 1的体积．

19.（本小题满分12分）

某公司为了解广告投入对销售收益的影响，在若干地区

各投入4万元广告费用，并将各地的销售收益绘制成频率分布直方图(如图所示).由于工作人员操作失误，横轴的数据丢失，但可以确定横轴是从0开始计数的. [附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估

计公式分别为1

2

2

1

???,n

i i

i n

i

i x y nx y

b

a

y bx x

nx ==-==--∑∑.] （1）根据频率分布直方图计算图中各小长方形的宽度;

（2）试估计该公司投入4万元广告费用之后，对应销售收益的平均值(以各组的区间中点值代表该组的取值);

（3）该公司按照类似的研究方法,测得另外一些数据,并整理得到下表:

由表中的数据显示,x 与y 之间存在着线性相关关系,请将（2）的结果填入空白栏,并求出y 关于x 的回归直线方程.

20．（本小题满分12分）

已知点F 是拋物线()2

:20C y px p =>的焦点, 若点()0,1M x 在C 上, 且0

54

x MF =

. （1）求拋物线C 的方程;

（2）若直线l 经过点()3,1Q -且与C 交于,A B (异于M )两点, 证明: 直线AM 与直线BM 的斜率之积为常数.

21.（本小题满分12分）

已知0t >，设函数2)(+-=m xe x x ?

（1）当2=m 时，求)(x ?的极值点； （2）讨论)(x f 在区间()2,0上的单调性；

（3）)()(x x f ?≤对任意[0,)x ∈+∞恒成立时，m 的最大值为1，求t 的取值范围.

请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。

22.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐

标系，已知直线l 的参数方程为?

??+==2t y t

x ，（t 为参数），曲线C 的普通方程为

02422=-+-y y x x ，点P 的极坐标为74π?

? ???

．

（1）求直线l 的普通方程和曲线C 的极坐标方程；

（2）若将直线l 向右平移2个单位得到直线l '，设l '与C 相交于,A B 两点，求PAB ?的面积．

23.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲

设b x b x x f ++-=)(.

（1）当1=b 时，求2)(+≤x x f 的解集； （2）当1=x 时，若不等式|

||

12||1|)(a a a x f --+≥

对任意实数

0≠a 恒成立，求实数b 的取值范围.

遂宁市高中2017届三诊考试

数学（文科）试题参考答案及评分意见

一、选择题（12×5=60分）

二、填空题（4?5=20分）

13. [)2,+∞12,4??- ???

三、解答题：本大题共6小题，共70分． 17．（本小题满分12分）

【解析】（1）设数列{}n a 的公比为q ，由2

423622399a a a a a =?=，所以9

1

2=

q ，由条件可知0>n a ，故3

1

=

q ； ………………2分 由1321321121=+?=+q a a a a ，所以3

1

1=a ， ………………4分

故数列{}n a 的通项公式为)(3

1*

∈=N n a n n ………………6分

（2）2

)

1()21(log log log 32313+-

=+++-=+++=n n n a a a b n n )1

11(21+-=-

n n b n ………………9分 ∴1

2)1113121211(2)1()1()1(21+=+-++-+-=-++-+-

=n n n n b b b T n n ∴数列?

?????-n b 1的前n 项和n T 12+=

n n

………………12分 18．（本小题满分12分）

解：（1）连结ED ，………………1分

∵平面AB 1C ∩平面A 1BD=ED ，B 1C ∥平面A 1BD ， ∴B 1C ∥ED ，………………3分

E

D

B 1

C 1

A 1

B

C

A

∵E 为AB 1中点，∴D 为AC 中点， ∵AB=BC ，∴BD ⊥AC ①，………………4分

【法一】：由A 1A ⊥平面ABC ，?BD 平面ABC ，得A 1A ⊥BD ②， 由①②及A 1A 、AC 是平面11ACC A 内的两条相交直线， 得BD ⊥平面11ACC A . ………………6分 【法二】:由A 1A ⊥平面ABC ，A 1A ?平面11ACC A

∴平面11A C C A ⊥平面ABC ，又平面11ACC A 平面ABC=AC ，得BD ⊥平面

11A C C A .………………6分

（2）由1AB =得BC=BB 1=1， 由（1）知AC DA 2

1

=

，又1=?DA AC 得22AC =, ………………8分 ∵2222BC AB AC +==，∴BC AB ⊥，………………10分 ∴11111

326

A BC

B V AB B

C BB -=????=………………12分

19．（本小题满分12分）

解：（1）设各小长方形的宽度为m ,由频率分布直方图中各小长方形的面积总和为1,可知

(0.080.10.140.120.040.02)0.51m m +++++?==,故2m =，即图中各小长方形的宽度为

2.……………3分

（2）由（1）知各小组依次是[0,2),[2,4),[4,6),[6,8),[8,10),[10,12], 其中点分别为1,3,5,7,9,11,

对应的频率分别为0.16,0.20,0.28,0.24,0.08,0.04,

故可估计平均值为10.1630.250.2870.2490.08110.045?+?+?+?+?+?=.

………………7分

（3）由（2）可知空白栏中填5.

由题意可知, 1234523257

3, 3.855

x y ++++++++=

===，

5

1122332455769i i

i x y

=?+?+?+?+?==∑,

5

2

222221

1234555i

i x

==++++=∑,

根据公式,可求得26953 3.812

1.2,555?310

b

-??===-?………………10分

3.8 1.230?.2a

=-?=,………………11分 所以所求的回归直线方程为 1.20.2y x =+.………………12分 20．（本小题满分12分）

解：（1）由抛物线定义知02p MF x =+,则005

24p x x +=,解得02x p =,又点()0,1M x 在C 上, 代入2:2C y px =,得021px =,解得01

1,2

x p ==

所以2:=C y x ………………4分 （2）由（1）得()1,1M ,

当直线l 经过点()3,1Q -且垂直于x 轴时,

此时(

(,3,A B ,

则直线AM

的斜率AM k =

,直线BM

的斜率BM k =所以

1

2

AM BM k k ==- . ………………6分 当直线l 不垂直于x 轴时, ,设直线l 的斜率为()0k k ≠,且经过Q(3,-1），则直线l 方程为：1(3)+=-y k x ，带入2=y x ，得：2310---=ky y k ，………………7分

设()()1122,,,A x y B x y ,121211,-3-+==y y y y k k

………………9分

则直线AM 的斜率111211111111

AM y y k x y y --=

==--+,

同理直线BM 的斜率21

1

=

+BM k y ， 1212121111111111231∴=

===-+++++--+ AM BM k k y y y y y y k k

综上, 直线AM 与直线BM 的斜率之积为1

2

-………………12分

21．（本小题满分12分）

【解析】（1）当2=m 时，x xe x =)(?，∴)1()(/+=x e x x ?，令0)(/=x ?，则1-=x ，当1-x 时，0)(/>x ?，所以1-=x 是)(x ?的极小值点，无极大值点。………………3分

（2）2()33(1)33(1)()f x x t x t x x t '=-++=--，………………4分 ①当01t <<时，()f x 在(0,)t ，(1,2)上单调递增；在(,1)t 上单调递减， ②当1t =时，()f x 在()2,0上单调递增.

③当12t <<时，()f x 在(0,1)，(,2)t 上单调递增；在(1,)t 上单调递减 ④当2t ≥时，()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减. ………………8分

2)(+-=m xe x x ?。由)()(x x f ?≤得 对任意[0,)x ∈+∞恒成立，即 32

e 31x m x x x tx ≤-+-+

对任意[0,)x ∈+∞恒成立.

[0,)x ∈+∞，根据题意，可以知道m 的最大值为1，则2()e x g x x =-2

x +30t -≥恒成立. ………………10分 由于(0)130g t =-≥，则

3(1)()e 22

x t h x x +=-+，则()e 2x h x '=-，令()e 20x h x '=-=，得ln 2x =，则()h x 在(0,ln 2)上单调递减，在(ln 2,)+∞上单调递增，则

，∴()g x 在[0,)+∞上单调递增. 从而()(0)130g x g t ≥=-≥，满足条件，故t 的取值范围是……………12分

请考生在第22、23、二题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分。

22．（本小题满分10分）

【解析】（1）根据题意，直线l 的普通方程为2y x =+，………………2分 曲线C 的极坐标方程为4cos 2sin ρθθ=+ ………………5分 （2）l '的普通方程为y x =，所以其极坐标方程为4

π

θ=

)(R ∈ρ

，所以ρ=

AB =7分

因为OP l '⊥，所以点P 到直线l '

的距离为

1

62

PAB S ?=?= ………………10分 23．（本小题满分12分）

【解析】（1）当1=b 时，|1||1|)(++-=x x x f ，所以由2)(+≤x x f 得：

?????+≤----≤≥+2111

02x x x x x 或?????+≤++-<<-≥+2111102x x x x x 或??

?

??+≤++-≥≥+211102x x x x x 解得20≤≤x

∴2)(+≤x x f 的解集为}20|{≤≤x x . ………………5分

（2）

31

2111211|||12||1|=-++≤--+=--+a

a a a a a a

当且仅当0)1

2)(11(≤-+a

a 时，取等号. ………………7分

由不等式|

||

12||1|)(a a a x f --+≥

对任意实数0≠a 恒成立，由于1=x ，可得

31-1≥++b b ，解得：2

3-≤b 或23≥

b . 故实数b 的取值范围是33

(,][,)22

-∞-+∞U ………………10分