全国大学生数学竞赛预赛试题和答案(第一届~第九届)
第一届
第二届
第一届全国大学生数学竞赛预赛试题 一、填空题(每小题5分,共20分) 1.计算__ ,其中区域由直线与两坐标轴所围成三角形区域. 2.设是连续函数,且满足, 则____________. 3.曲面平行平面的切平面方程是__________. 4.设函数由方程确定,其中具有二阶导数,且,则_____. 二、(5分)求极限,其中是给定的正整数. 三、(15分)设函数连续,,且,为常数,求并讨论在处的连续性. 四、(15分)已知平面区域,为的正向边界,试证: (1);(2) . 五、(10分)已知,,是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解,试求此微分方程. 六、(10分)设抛物线过原点.当时,,又已知该 抛物线与轴及直线所围图形的面积为.试确定,使此图形绕轴旋转一周而成的旋转体的体积最小. 七、(15分)已知满足, 且, 求函 数项级数之和. 八、(10分)求时, 与等价的无穷大量.
第二届全国大学生数学竞赛预赛试题 一、(25分,每小题5分) (1)设其中求(2)求。 (3)设,求。 (4)设函数有二阶连续导数,,求。 (5)求直线与直线的距离。 二、(15分)设函数在上具有二阶导数,并且 且存在一点,使得,证明:方程在恰有两个实根。 三、(15分)设函数由参数方程所确定,其中具 有二阶导数,曲线与在出相切,求函数。 四、(15分)设证明:(1)当时,级数收敛; (2)当且时,级数发散。 五、(15分)设是过原点、方向为,(其中的直线,均 匀椭球,其中(密度为1)绕旋转。(1)求其转动惯量;(2)求其转动惯量关于方向的最大值和最小值。 六、(15分)设函数具有连续的导数,在围绕原点的任意光滑的简单闭曲线上,曲线积分的值为常数。(1)设为正向闭曲线
一、填空题(每小题5分,共20分) 1.计算=--++??y x y x x y y x D d d 1) 1ln()(__ ,其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域. 2.设)(x f 是连续函数,且满足?--=2 22d )(3)(x x f x x f , 则=)(x f ____________. 3.曲面22 22 -+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是__________. 4.设函数)(x y y =由方程29ln ) (y y f e xe =确定,其中f 具有二阶导数,且1≠'f ,则=22d d x y _____. 二、(5分)求极限x e nx x x x n e e e )(lim 20+++→ ,其中n 是给定的正整数. 三、(15分)设函数)(x f 连续,?=10d )()(t xt f x g ,且A x x f x =→) (lim 0,A 为常数,求)(x g '并讨论)(x g '在0=x 处的连续性. 四、(15分)已知平面区域}0,0|),{(ππ≤≤≤≤=y x y x D ,L 为D 的正向边界,试证: (1)??-=---L x y L x y x ye y xe x ye y xe d d d d sin sin sin sin ; (2)2sin sin 25 d d π?≥--L y y x y e y xe . 五、(10分)已知x x e xe y 21+=,x x e xe y -+=2,x x x e e xe y --+=23是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解,试求此微分方程. 六、(10分)设抛物线c bx ax y ln 22++=过原点.当10≤≤x 时,0≥y ,又已知该抛物线与x 轴及直线 1=x 所围图形的面积为3 1 .试确定c b a ,,,使此图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积最小. 七、(15分)已知)(x u n 满足),2,1()()(1 =+='-n e x x u x u x n n n , 且n e u n =)1(, 求函数项级数∑∞ =1 )(n n x u 之和. 八、(10分)求- →1x 时, 与∑∞ =0 2 n n x 等价的无穷大量.
第二届(2010年)全国大学生数学竞赛预赛试卷及参考答案 (非数学类) (150分钟) 一、(25分,每小题5分) (1)设22(1)(1)(1),n n x a a a =+++ 其中||1,a <求lim .n n x →∞ (2)求2 1lim 1x x x e x -→∞??+ ???。 (3)设0s >,求0(1,2,)sx n I e x dx n ∞ -==? 。 (4)设函数()f t 有二阶连续导数,1(,)r g x y f r ??== ???,求2222g g x y ??+??。 (5)求直线10:0 x y l z -=??=?与直线2213:421x y z l ---==--的距离。 解:(1)22(1)(1)(1)n n x a a a =+++ =22(1)(1)(1)(1)/(1)n n x a a a a a =-+++- =222(1)(1)(1)/(1)n a a a a -++- = =1 2(1)/(1)n a a +-- 1 2lim lim(1)/(1)1/(1)n n n n x a a a +→∞→∞=--=-∴ (2) 22211ln (1)ln(1)1lim 1lim lim x x x e x x x x x x x x e e e x -++--→∞→∞→∞??+== ??? 令x=1/t,则 原式=1(ln(1)) 1/(1)112(1)220 00lim lim lim t t t t t t t t t e e e e +-+---+→→→=== (3)0000112021011()()[|](1)!!sx n n sx n sx sx n n sx n n n n n I e x dx x de x e e dx s s n n n n n n e x dx I I I s s s s s ∞∞∞---∞-∞----+==-=--=-=====???? (4)略(不难,难得写) (5 二、(15分)设函数()f x 在(,)-∞+∞上具有二阶导数,并且 ()0,lim ()0,lim ()0,x x f x f x f x αβ→+∞→-∞ ''''>=>=<且存在一点0x ,使得0()0f x <。
前三届高数竞赛预赛试题(非数学类) (参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识,适当看 一些辅导书及相关题目,主要是一些各大高校的试题。) 2009-2010年第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷 一、填空题(每小题5分) 1.计算=--++??y x y x x y y x D d d 1) 1ln()(16/15,其中区域D 由直线1=+y x 与 两坐标轴所围成三角形区域. 解:令v x u y x ==+,,则v u y v x -==,,v u v u y x d d d d 1110det d d =??? ? ??-=, ? -=10 2 d 1u u u (*) 令u t -=1,则21t u -= dt 2d t u -=,42221t t u +-=,)1)(1()1(2t t t u u +-=-, 2.设)(x f 是连续函数,且满足?--=2 022d )(3)(x x f x x f ,则 =)(x f ____________. 解:令?=2 0d )(x x f A ,则23)(2--=A x x f , A A x A x A 24)2(28d )23(20 2-=+-=--= ? , 解得3 4=A 。因此3 10 3)(2- =x x f 。 3.曲面22 22 -+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是 __________. 解:因平面022=-+z y x 的法向量为)1,2,2(-,而曲面 2 2 22-+=y x z 在 ) ,(00y x 处的法向量为 )1),,(),,((0000-y x z y x z y x ,故)1),,(),,((0000-y x z y x z y x 与)1,2,2(-平 行,因此,由 x z x =, y z y 2=知
1 x ? ? ? ? a ? 第四届全国大学生数学竞赛决赛试题标准答案 一、(本题15分): 设A 为正常数,直线?与双曲线x 2 ? y 2 = 2 (x > 0) 所围的有 限部分的面积为A . 证明: (i) 所有上述?与双曲线x 2 ? y 2 = 2 (x > 0) 的截线段的中点的轨迹为双曲线. (ii)?总是(i)中轨迹曲线的切线. 证明:将双曲线图形进行45度旋转,可以假定双曲线方程为y = 1 , x > 0. 设 直线?交双曲线于(a, 1/a )和(ta, 1/ta ), t > 1, 与双曲线所围的面积为A . 则有 1 1 ∫ ta 1 1 1 1 1 A = 2 (1 + t )(t ? 1) ? dx = + )(t 1) log t = t ) log t. x 2 t 2 t 令f (t ) = 1 (t ? 1 ) ? log t . 由于 2 t 1 1 2 f (1) = 0, f (+∞) = +∞, f ′ (t ) = 2 (1 ? t ) > 0, (t > 1), 所以对常数A 存在唯一常数t 使得A = f (t ) (5分). ?与双曲线的截线段中点 坐标 为 1 1 1 1 x = 2 (1 + t )a, y = 2 (1 + t ) a . 于是,中点的轨迹曲线为 1 1 xy = 4 (1 + t )(1 + t ). (10分) 故中点轨迹为双曲线, 也就是函数y = 1 (1 + t )(1 + 1 ) 1 给出的曲线. 该 曲线在上述中点处的切线斜率 4 t x 1 1 1 1 k = ? 4 (1 + t )(1 + t ) x 2 = ? ta 2 , 它恰等于过两交点(a, 1/a )和(ta, 1/ta )直线?的斜率: 1 1 1 故?为轨迹曲线的切线. (15分) ta ? a ta ? a = . 二、(本题15分): 设函数f (x )满足条件: 1) ?∞ < a ≤ f (x ) ≤ b < +∞, a ≤ x ≤ b ; 2) 对于任意不同的x, y ∈ [a, b ]有|f (x ) ? f (y )| < L |x ? y |, 其中L 是大
全国大学生数学竞赛预赛试卷(非数学类) 2009年 第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷(非数学类) 一、填空题(每小题5分,共20分) 1. 计算()ln(1) d y x y x y ++=??,其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域. 2.设)(x f 是连续函数,且满足22 ()3()d 2f x x f x x =--? ,则()f x =. 3.曲面2 222 x z y =+-平行平面022=-+z y x 的切平面方程是. 4.设函数)(x y y =由方程29ln )(y y f e xe =确定,其中f 具有二阶导数,且 1≠'f ,则=22d d x y . 二、(5分)求极限x e nx x x x n e e e )(lim 20+++→Λ,其中n 是给定的正整数. 三、(15分)设函数)(x f 连续,10()() g x f xt dt =?,且A x x f x =→) (lim 0,A 为常数,求()g x '并讨论)(x g '在0=x 处的连续性. 四、(15分)已知平面区域}0,0|),{(ππ≤≤≤≤=y x y x D ,L 为D 的正向边界,试证: (1)??-=---L x y L x y x ye y xe x ye y xe d d d d sin sin sin sin ; (2)2sin sin 2 5d d π?≥--L y y x ye y xe . 五、(10分)已知x x e xe y 21+=,x x e xe y -+=2,x x x e e xe y --+=23是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解,试求此微分方程. 六、(10分)设抛物线c bx ax y ln 22++=过原点.当10≤≤x 时,0≥y ,又已知该抛物线与x 轴及直线1=x 所围图形的面积为3 1.试确定 c b a ,,,使此图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积V 最小. 七、(15分)已知)(x u n 满足1()()1,2,n x n n u x u x x e n -'=+=L ,且n e u n =)1(,求 函数项级数∑∞ =1 )(n n x u 之和.
第二届全国大学生数学竞赛(辽宁赛区)通知 根据全国大学数学竞赛委员会工作安排,第二届大学生数学竞赛分区预赛在2010年10月30日(星期六)上午9:00—11:30举行,决赛于2011年3月份的第三周周六上午在北京航空航天大学举行。 现将xx赛区竞赛的具体事宜通知如下: 一、参赛对象: 大学本科二年级或二年级以上的在校大学生。竞赛分为非数学专业组和数学专业组(含数学与应用数学、信息与计算科学专业的学生)。数学专业学生不得参加非数学专业组的竞赛。 二、竞赛内容: 非数学专业组竞赛内容为本科高等数学内容(高等数学内容为理工科本科教学大纲规定的高等数学的教学内容)。 数学专业组竞赛内容含数学分析、高等代数和解析几何(均为数学专业本科教学大纲规定的教学内容),所占比重分别为50%、35%及15%左右。 三、报名与收费 1、各个学校务必将参赛人数和参赛学生名单9月20日前用电子邮箱发给所在考点的负责人,各个考点的负责人9月25日前将本赛区的参赛名单发给韩友发(参赛名单统一按Excel格式,见附件); 2、报名费为每人60元,由各单位于10月20日前交齐。统一汇入如下帐号(收到款后开发票): 单位:xx师范大学 开户行:中国建设银行大连市分行,沙河口支行(辽) 四、考点设置
根据辽宁省高校的分布情况,我们将在沈阳、大连、鞍山和锦州四个城市设立考点。每个考点要统一组织考试。其他城市的学校到就近的考点参加考试。 五、阅卷工作安排 考试结束后我们将统一阅卷。 1、阅卷时间:2010年11月6—7日。 2、阅卷地点:另行通知。 3、试卷统一印刷和分发。 4、推荐阅卷教师:每参赛50人推荐1名阅卷教师(不足50人按50计算);并注明阅卷科目,同一个学校阅卷教师要分布在不同科目(分析、代数、几何、高等数学);阅卷教师推荐名单10月20日前用电子邮箱发给韩友发(名单统一按Excel格式,见附件);由竞赛委员会确定阅卷教师。 六、评奖办法详见国家通知。 xx发联系方式 电话: 邮箱: (收到此通知后务请回复) xx数学会2010年8月23日 第二届全国大学生数学竞赛辽宁赛区竞赛委员会主任: xx(东北大学) 副主任: xx(大连理工大学)
中国大学生数学竞赛竞赛大纲 为了进一步推动高等学校数学课程的改革和建设,提高大学数学课程的教学水平,激励大学生学习数学的兴趣,发现和选拔数学创新人才,更好地实现“中国大学生数学竞赛”的目标,特制订本大纲。 一、竞赛的性质和参赛对象 “中国大学生数学竞赛”的目的是:激励大学生学习数学的兴趣,进一步推动高等学校数学课程的改革和建设,提高大学数学课程的教学水平,发现和选拔数学创新人才。 “中国大学生数学竞赛”的参赛对象为大学本科二年级及二年级以上的在校大学生。 二、竞赛的内容 “中国大学生数学竞赛”分为数学专业类竞赛题和非数学专业类竞赛题。 中国大学生数学竞赛(非数学专业类)竞赛内容为大学本科理工科专业高等数学课程的教学内容,具体内容如下: 一、函数、极限、连续 1.函数的概念及表示法、简单应用问题的函数关系的建立. 2.函数的性质:有界性、单调性、周期性和奇偶性. 3.复合函数、反函数、分段函数和隐函数、基本初等函数的性质及其图形、初等函数. 4.数列极限与函数极限的定义及其性质、函数的左极限与右极限. 5.无穷小和无穷大的概念及其关系、无穷小的性质及无穷小的比较. 6.极限的四则运算、极限存在的单调有界准则和夹逼准则、两个重要极限. 7.函数的连续性(含左连续与右连续)、函数间断点的类型. 8.连续函数的性质和初等函数的连续性. 9.闭区间上连续函数的性质(有界性、最大值和最小值定理、介值定理). 二、一元函数微分学 1. 导数和微分的概念、导数的几何意义和物理意义、函数的可导性与连续性之间的关系、平面曲线的切线和法线. 2. 基本初等函数的导数、导数和微分的四则运算、一阶微分形式的不变性. 3. 复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法. 4. 高阶导数的概念、分段函数的二阶导数、某些简单函数的n阶导数. 5. 微分中值定理,包括罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒定理. 6. 洛必达(L’Hospital)法则与求未定式极限. 7. 函数的极值、函数单调性、函数图形的凹凸性、拐点及渐近线(水平、铅直和斜渐近线)、函数图形的描绘. 8. 函数最大值和最小值及其简单应用. 9. 弧微分、曲率、曲率半径. 三、一元函数积分学 1.原函数和不定积分的概念. 2.不定积分的基本性质、基本积分公式. 3.定积分的概念和基本性质、定积分中值定理、变上限定积分确定的函数及其导数、
高数竞赛预赛试题(非数学类) (参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识,适当看一些辅导书 及相关题目,主要是一些各大高校的试题。) 2009年 第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷 一、填空题(每小题5分,共20分) 1.计算=--++??y x y x x y y x D d d 1) 1ln()(____________,其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域. 解: 令v x u y x ==+,,则v u y v x -==,,v u v u y x d d d d 11 10 det d d =??? ? ? ?-=, v u u v u u u y x y x x y y x D D d d 1ln ln d d 1) 1ln()(????--= --++ ????----=---=10 2 1 00 0d 1)ln (1ln d )d ln 1d 1ln ( u u u u u u u u u u v v u u v u u u u u ? -=1 2 d 1u u u (*) 令u t -=1,则21t u -= dt 2d t u -=,42221t t u +-=,)1)(1()1(2t t t u u +-=-, ?+--=0 1 42d )21(2(*)t t t ? +-=10 42d )21(2t t t 1516513 2 21 053= ??????+-=t t t 2.设)(x f 是连续函数,且满足? -- =20 22d )(3)(x x f x x f , 则=)(x f ____________. 解: 令? = 20 d )(x x f A ,则23)(2--=A x x f , A A x A x A 24)2(28d )23(20 2-=+-=--= ? , 解得34= A 。因此3 10 3)(2-=x x f 。 3.曲面22 22 -+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是__________.
浙江省首届高等数学竞赛试题(2002.12.7) 一. 计算题(每小题5分,共30分) 1 .求极限lim x →。 2.求积分 |1|D xy dxdy -??,11{(,)2,2}22D x y x y =≤≤≤≤。 3.设2x y x e =是方程hx y ay by ce '''++=的一个解,求常数,,,a b c h 。 4.设()f x 连续,且当1x >-时,20()[()1]2(1)x x xe f x f t dt x +=+? ,求()f x 。 5.设21 1arctan 2n n k S k ==∑,求lim n n S →∞。 6.求积分1 2121(1)x x x e dx x ++ -?。 2003年浙江省大学生高等数学竞赛试题(2003.12.6) 一.计算题 7.求20 50sin()lim x x xt dt x →?。 8.设31()sin x G x t t dt =?,求21()G x dx ?。 9.求2401x dx x ∞+?。 10. 求∑=∞→++n k n k n k n 12lim 。 浙江省大学生第三届高等数学竞赛试题 1.计算:( )()2 00cos 2lim tan 1x t x x e tdt x x x →----?。 2.计算:20cos 2004 x dx x x π ππ+-+?。
3.求函数()22,415f x y x y y =++在 (){}22,41x y x y Ω=+≤上的最大、小值。 4.计算:()3max ,D xy x d σ?? ,其中(){},11,01D x y x y =-≤≤≤≤。 5. 设()1tan 1x f x arc x -=+,求)0()(n f 。 天津市竞赛题 1.证明??+≤?+020220 21cos 1sin dx x x dx x x ππ. 2. 设函数)(x f 在闭区间]2,2[-上具有二阶导数,,1)(≤x f 且 ,4)]0([)]0([22='+f f 证明:存在一点),2,2(-∈ξ使得0)()(=''+ξξf f . 3. (1)证明:当x 充分小时,不等式422tan 0x x x ≤-≤成立. (2)设,1tan 12 k n x n k n +=∑=求.lim n x x ∞ → 4. 计算??????+-??? ??+-∞→61231e 2lim n n n n n n 。5. 设()x x x f +-=11arctan ,求()()05f 。 6. 对k 的不同取值,分别讨论方程01323=+-kx x 在区间()+∞,0内根的个数。 7. 设a ,b 均为常数且2->a ,0≠a ,问a ,b 为何值时,有 ()()??-=?? ????-+++∞ +10212d 1ln d 122x x x a x x a bx x 。 8.设121-≥a , ,,,n ,a a n n 321121=+=+,证明:n n a ∞ →lim 存在并求其值。 9.设()x f 是区间[]2+a,a 上的函数,且()1≤x f ,()1≤''x f ,证明:()2≤'x f ,[]2+∈a,a x 。 北京市竞赛试题(2008、2007、2006) .______,111,1.11 =-+++-→-m x x x m x m 则的等价无穷小是时设当 .________)1(,) ()2)(1()()2)(1()(.2='+++---=f n x x x n x x x x f 则设
第十九届北京市大学生数学竞赛本科甲、乙组试题解答 一、填空题(每小题3分,共30分) 1. ?? ????+-+-+∞→1)2(lim 61 23x e x x x x x = 1/6 . 2.设)(x f 连续,在1=x 处可导,且满足 ,0,)(8)sin 1(3)sin 1(→+=--+x x o x x f x f 则曲线)(x f y =在1=x 处的切线方程为 y =2x -2 . 3. 设243),(lim 2 20 =+-+→→y x y x y x f y x , 则 ='+')0,0()0,0(2y x f f -2 . 4.设函数()u ?可导且(0)1?=,二元函数()xy z x y e ?=+满足 0z z x y ??+=??,则()u ?=2 4u e - . 5. 设D 是由曲线x y sin = )22(π≤≤π- x 和直线2 π -=x , 1=y 所围成的区域, f 是连续函数, 则=++=??D dxdy y x f y x I )](1[223 -2 . 6. 123ln 1ln 1ln 1ln 1lim 123n n n n n n n n n n n n n n n →+∞??????????++++ ? ? ? ? ????????? ?++++= ?++++ ??? L 2ln 21- . 7. 数项级数 ∑∞ =--1 )! 2()! 2()1(n n n n n n 的和=S -1+cos1+ln2. 8. 计算积分???++π= 1 021 01 0)](6[cos dz z y x dy dx I = 1/2 . 9. 已知入射光线的路径为23 1 41-=-=-z y x , 则此光线经过平面01752=+++z y x 反射后的反射线 方程为 4 1537-= +=+z y x . 10. 设曲线2 2 2 :a y xy x C =++的长度为L , 则=++?C y x y x ds e e e b e a )sin()sin() sin()sin(L b a 2 + . 二、(10分) 设()f x 在[,)a +∞上二阶可导,且,0)(,0)(<'>a f a f 而当a x >时, ,0)(≤''x f 证明在(,)a +∞内,方程()0f x =有且仅有一个实根. 证明 由于当x a >时,,0)(≤''x f 因此'()f x 单调减,从而'()'()0f x f a ≤<,于是又有()f x 严格单调减.再由()0f a >知,()f x 最多只有一个实根. 下面证明()0f x =必有一实根.当x a >时,
第十九届北京市大学生数学竞赛本科丙组试题及解答 一、填空题(每小题3分,共30分) 1.?? ????+-+-+∞→1)2(lim 6 1 23x e x x x x x = 1/6 . 2.设)(x f 连续,在1=x 处可导,且满足 )0(,)(8)sin 1(3)sin 1(→+=--+x x o x x f x f 则曲线)(x f y =在1=x 处的切线方程为 y =2x -2 . 3.设)(x y y =是由0sin ) ln(2 =- ? +-y y x t dt e y 所确定的函数,则 ==0 y dx dy -1 . 4. 设243),(lim 2 20 0=+-+→→y x y x y x f y x , 则='+')0,0()0,0(2y x f f -2 . 5. 1sin 1cos x x e dx x +=+?tan 2 x x e C + . 6.设函数()u ?可导且(0)1?=,二元函数()xy z x y e ?=+满足 0z z x y ??+=??,则()u ?=24 u e - . 7. = += +≤+??D dxdy y x I y x y x D )32(,:22则设π4 5 . 8. 数项级数 ∑∞ =--1 )! 2()! 2()1(n n n n n n 的和=S -1+cos1+ln2. 9. 123ln 1ln 1ln 1ln 1lim 123n n n n n n n n n n n n n n n →+∞?? ????????++++ ? ? ? ? ? ???????? ? ++++= ?++++ ??? 2ln21- . 10.= ='==+'+''? ∞+0 )(1)0(,0)0(044)(dx x y y y y y y x y 则,,且满足方程函数设4 1 .
第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷(非数学类) 一、填空题(每小题5分,共20分) 1.计算____________,其中区域由直线与两坐标轴所 围成三角形区域. 解 令,则,, (*) 令,则,,,, 2.设 是连续函数,且满足, 则____________. 解 令,则, , 解得。因此。 3.曲面平行平面的切平面方程是__________. 解 因平面的法向量为,而曲面在处的法向量为,故与平行,因此,由 =--++??y x y x x y y x D d d 1) 1ln()(D 1=+y x v x u y x ==+ ,v u y v x -==,v u v u y x d d d d 1110det d d =??? ? ??-=v u u v u u u y x y x x y y x D D d d 1ln ln d d 1) 1ln()(????--= --++????----=---=10 2 1 00 0d 1)ln (1ln d )d ln 1d 1ln ( u u u u u u u u u u v v u u v u u u u u ? -=1 2 d 1u u u u t -=121t u -=dt 2d t u -=42221t t u +-=)1)(1()1(2t t t u u +-=-?+--=01 42d )21(2(*)t t t ? +-=10 4 2 d )21(2t t t 1516513 2 21 053=??????+-=t t t )(x f ?--=2 2 2d )(3)(x x f x x f =)(x f ? = 2 d )(x x f A 23)(2--=A x x f A A x A x A 24)2(28d )23(2 2-=+-=--=?3 4= A 3103)(2 - =x x f 22 22 -+=y x z 022=-+z y x 022=-+z y x )1,2,2(-22 22 -+=y x z ),(00y x )1),,(),,((0000-y x z y x z y x )1),,(),,((0000-y x z y x z y x )1,2,2(-
2009年 第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷 一、填空题(每小题5分,共20分) 1.计算=--++??y x y x x y y x D d d 1) 1ln()(____________,其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域. 2.设)(x f 是连续函数,且满足? -- =20 22d )(3)(x x f x x f , 则=)(x f ____________. 3.曲面22 22 -+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是__________. 4.设函数)(x y y =由方程29ln )(y y f e xe =确定,其中f 具有二阶导数,且1≠'f ,则 =2 2d d x y ________________. 二、(5分)求极限x e nx x x x n e e e )( lim 20+++→ ,其中n 是给定的正整数.
三、(15分)设函数)(x f 连续,? =10 d )()(t xt f x g ,且A x x f x =→) (lim ,A 为常数, 求)(x g '并讨论)(x g '在0=x 处的连续性. 四、(15分)已知平面区域}0,0|),{(ππ≤≤≤≤=y x y x D ,L 为D 的正向边界,试证: (1)?? -=---L x y L x y x ye y xe x ye y xe d d d d sin sin sin sin ; (2)2sin sin 2 5 d d π? ≥--L y y x ye y xe . 五、(10分)已知x x e xe y 21+=,x x e xe y -+=2,x x x e e xe y --+=23是某二阶常系数 线性非齐次微分方程的三个解,试求此微分方程.
∫ n = 2 全国大学Th 数学竞赛预赛 (非数学类,2016 年 10 月) 绝密 ? 启用前 (14 金融工程-白兔兔) 考试形式: 闭卷 考试时间: 120 分钟 满分: 100 分 注意:1.所有答题都须写在试卷密封线右边, 写在其他纸上一律无效. 2.密封线左边请勿答题, 密封线外不得有姓名及相关标记. 3.如答题空白不够, 可写在当页背面, 并标明题号. 一 (填空题, 本题满分 30 分, 共 5 小题, 每小题 6 分) (f (a + 1 ))n 2. 若 f (1) = 0, f ′(1) 存在, 则极限 lim x →0 f (sin 2 x + cos x ) tan 3x (e x 2 ? 1) sin x 3. 设 f (x ) 有连续导数, 且 f (1) = 2 . 记 z = f (e x y 2), 若 ?z ?x = z , 则当 x > 0 , f (x ) = 4. 设 f (x ) = e x sin 2x , 则 f (4)(0) = 5. 曲面 z = x + y 2 2 平行于平面 2x + 2y ? z = 0 的切平面方程为 二 (本题满分 14 分) 设 f (x ) 在 [0, 1] 可导, f (0) = 0, 且当 x ∈ (0, 1) , 0 < f ′(x ) < 1 . 试证当 a ∈ (0, 1) , (∫ a 2 f (x ) d x a > f 3(x ) d x . 0 第1 页, 共 4 页 f (a ) f (a ) 0 ? 1. 若 f (x ) 在点 x = a 可导, 且 f (a ) = 0, 则 lim →+∞ 姓 名 身 份 证 号 所 在 院 校 年 级 专 业 请在所附答题纸上空出密封位置。并填写姓名、身份证号、所在院校、年级和专业 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 密. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 封. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 线. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . = )
第 1 页 ( 共 13页 ) 2 √ ? 第三届中国大学生数学竞赛赛区赛 试题参考答案 (数学类, 2011) 一、 (本题 15 分) 已知四点 A (1, 2, 7), B (4, 3, 3), (5, ?1, 6), (√ 7, √ 7, 0). 试求过这 四点的球面方程. 解答: 设所求球面的球心为 (x ˉ, y ˉ, z ˉ), 则 (x ˉ ? 1)2 + (y ˉ ? 2)2 + (z ˉ ? 7)2 = (x ˉ ? 4)2 + (y ˉ ? 3)2 + (z ˉ ? 3)2 = (x ˉ ? 5)2 + (y ˉ + 1)2 + (z ˉ ? 6)2 = (x ˉ ? √ 7) + (y ˉ ? 7)2 + z ˉ2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (8 分) 即 3x ˉ + y ˉ ? 4z ˉ = ?10, 4x ˉ ? 3y ˉ ? z ˉ = 4, (√7 1)x ˉ + (√7 ? 2)y ˉ ? 7z ˉ = ?20. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (10 分) 解得 (x ˉ, y ˉ, z ˉ) = (1, ?1, 3). 而 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (14 分) 于是所求球面方程为 (x ˉ ? 1)2 + (y ˉ ? 2)2 + (z ˉ ? 7)2 = 25. (x ? 1)2 + (y + 1)2 + (z ? 3)2 = 25. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (15 分)
第十届全国大学生数学竞赛(非数学类)预赛试题及 一、填空题(本题满分24分, 共4小题, 每小题6分) (1)设(0,1),α∈则() lim (1)n n n αα→+∞ +-=_______. (2)若曲线()y y x =由+cos +sin 1 y x t t e ty t =?? +=?确定,则此曲线在0t =对应点处的切线方程为 (3)23/2 ln((1) x dx x ++?= (4)2 01-cos lim x x →=_______. f t ()0t ≠(1)0f =二 (本题满分8分) 设函数在时一阶连续可导,且,求函数f x -y 22(),使得曲线积分 2222 L ?y (2-f (x -y ))???? dx +xf (x -y )dy 与路径无关,其中L 为任一不与直=±y x 线相交的分段光滑闭曲线.
f x ()0,11)3(f x ≤≤三 (本题满分14分) 设 在区间[ ]上连续,且 .证明: 11 14 1) 3f (x )dx dx (f x ?≤≤? . 四 (本题满分12分)计算三重积分 22 ??? x +y ()dV (V ) (V ),其中是由222x +y +(z -2)≥4,222x +y +(z -1)≤9,0z ≥所围成的空心立体.
五 (本题满分14分) 设(,)f x y 在区域D M ≤,11(,)A x y ,22(,)B x y 是D 内两点,线段AB 包含在D 内。证明:1122|(,)(,)|||f x y f x y M AB -≤,其 AB ||AB 中表示线段的长度. )0(f x >六(本题满分14分) 证明:对于连续函数,有1 1 ln f (x )dx ≥? ?ln f (x )dx .
? . . 首届全国大学生数学竞赛赛区赛试卷参考答案 (数学类,2009) 一、求经过三平行直线 L 1 : x = y = z ,L 2 : x ?1 = y = z +1 ,L 3 : x = y +1 = z ?1的圆 柱面的方程. 解: 先求圆柱面的轴 L 0 的方程. 由已知条件易知,圆柱面母线的方向 . . 是 n = (1,1,1) , 且圆柱面经过点O (0, 0, 0) , 过点O (0, 0, 0) 且垂直于 n = (1,1,1) 的平面π 的方程为: x + y + z = 0 . π 与三已知直线的交点分别为O (0, 0, 0), P (1, 0, ?1), Q (0, ?1,1) 圆柱面的轴 L 0 是到这三点等距离的点的轨迹, 即 ??x 2 + y 2 + z 2 = ( x ?1)2 + y 2 + ( z +1)2 ? , ??x 2 + y 2 + z 2 = x 2 + ( y +1)2 + ( z ?1)2 即 将 L 0 的方程改为标准方程 ?x ? z = 1 ? y ? z = ?1 , x ?1 = y +1 = z . 圆柱面的半径即为平行直线 x = y = z 和 x ?1 = y +1 = z 之间的距离. P 0 (1, ?1, 0) 为 L 0 上的点. . . . 对圆柱面上任意一点 S ( x , y , z ) , 有 | n × P 0 S | = | n × P 0O | , 即 | n | | n | (? y + z ?1)2 + ( x ? z ?1)2 + (?x + y + 2)2 = 6 , 所以,所求圆柱面的方程为: x 2 + y 2 + z 2 ? xy ? xz ? yz ? 3x + 3 y = 0 . 二、设C n ×n 是 n × n 复矩阵全体在通常的运算下所构成的复数域C 上的线性空间,
第二届全国大学生数学竞赛(辽宁赛区)通知根据全国大学数学竞赛委员会工作安排,第二届大学生数学竞赛分区预赛在2010 年10 月30日(星期六)上午9:00—11:30 举行,决赛于2011 年3 月份的第三周周六上午在北京航空航天大学举行。现将辽宁省赛区竞赛的具体事宜通知如下: 一、参赛对象: 大学本科二年级或二年级以上的在校大学生。竞赛分为非数学专业组和数学专业组(含数学与应用数学、信息与计算科学专业的学生)。数学专业学生不得参加非数学专业组的竞赛。 二、竞赛内容: 非数学专业组竞赛内容为本科高等数学内容(高等数学内容为理工科本科教学大纲规定的高等数学的教学内容)。 数学专业组竞赛内容含数学分析、高等代数和解析几何(均为数学专业本科教学大纲规定的教学内容),所占比重分别为50%、35%及15%左右。 三、报名与收费 1、各个学校务必将参赛人数和参赛学生名单9月20日前用电子邮箱发给所在考点的负责人,各个考点的负责人9月25日前将本赛区的参赛名单发给韩友发(参赛名单统一按Excel格式,见附件); 2、报名费为每人60元,由各单位于10月20日前交齐。统一汇入如下帐号(收到款后开发票): 单位: 辽宁师范大学
开户行:中国建设银行大连市分行,沙河口支行(辽) 帐号: 四、考点设置 根据辽宁省高校的分布情况,我们将在沈阳、大连、鞍山和锦州四个城市设立考点。每个考点要统一组织考试。其他城市的学校到就近的考点参加考试。 五、阅卷工作安排 考试结束后我们将统一阅卷。 1、阅卷时间:2010年11月6—7日。 2、阅卷地点:另行通知。 3、试卷统一印刷和分发。 4、推荐阅卷教师:每参赛50人推荐1名阅卷教师(不足50人按50计算);并注明阅卷科目,同一个学校阅卷教师要分布在不同科目(分析、代数、几何、高等数学);阅卷教师推荐名单10月20日前用电子邮箱发给韩友发(名单统一按Excel格式,见附件);由竞赛委员会确定阅卷教师。 六、评奖办法详见国家通知。 韩友发联系方式 电话: 邮箱: (收到此通知后务请回复) 辽宁省数学会