第二章 随机数据的数字特征
2.1.随机过程的描述
1.随机过程的概念
随机过程：考察各测量样本固定时刻0t
t 在0t时刻的值
)(01t x ，)(02t x ，……，)(0t x n 构成随机变量，具有自身的概率特性，记为)(0t X 。在数学上把所有已经得到的和未得到的而可能发生的样本总体)}({0t x i (t=1,2,3,……)称为随机过程，记为)(t X 。随机过程具有双向无穷特征，即在时间轴上无穷，又在样本数上无穷。
2. 随机过程的统计规律
(1). 一维概率分布特征
设一随机变量)(t X 在某一时刻i t 的随机变量)(i
t X 的取值小于等于给定值x ()(t X x ),这一事件发生的概率定义为：
])([Pr );(1x t X ob t x F i i ≤=,)(t X x ∈
)(t X 的一维概率密度函数);(1i t x f 定义为);(1i t x F 对x 的一阶偏导数，即：
x
t x F t x f i i ??=);();(11 (2). 多维概率分布特征
二维概率分布特征随机过程)(t X 在i t 时刻的随机变量
i i x t X ≤)(；而且在j t 时刻的随机变量j j x t X ≤)(，这两件事同时发生
的概率定义为二维概率分布特征：
])(,)([Pr ),;,(2j j i i j i j i x t X x t X ob t t x x F ≤≤=
二维概率密度函数为对j i x x ,的二阶偏导数，即：
j i j i j i j i j i x x t t x x F t t x x f ???=)
,;,(),;,(222
三维、四维，……直至n 维可以以此类推
实际应用中，要确定随机过程的各维概率分布函数及密度函数非常困难。
3. 随机过程的统计特征量
(1). 均值)(t m x
也就是随机过程的数学期望，度量过程随机变动的平均值
dx t x xf t X E t m i x ?∞
∞-==);()]([)(1 由于)(t X 在不同时刻的一维概率密度函数);(1t x f 是对时间t 的函数，故均值)(t m x 亦随时间而变。
(2). 方差)(2t x σ
是表征随机变量围绕均值变动的幅度
dx t x f t m x t m t X E t x x x );(])([)]()([)(122?∞
∞--=-=σ (3). 自相关函数是度量随机变动时，时刻j i t t ,之间数值上的相关
大数据的4V特征
大数据的4V特征 近几年很多领域都在讨论如何发展和运用大数据，那么什么是大数据？大数据的特征是什么？好多人不怎么了解，下文对这些方面进行简单的阐述。 （一）大数据（Big Data） 大数据是指那些超过传统数据库系统处理能力的数据。它的数据规模和转输速度要求很高，或者其结构不适合原本的数据库系统。为了获取大数据中的价值，我们必须选择另一种方式来处理它。数据中隐藏着有价值的模式和信息，在以往需要相当的时间和成本才能提取这些信息。如沃尔玛或谷歌这类领先企业都要付高昂的代价才能从大数据中挖掘信息。而当今的各种资源，如硬件、云架构和开源软件使得大数据的处理更为方便和廉价。即使是在车库中创业的公司也可以用较低的价格租用云服务时间了。对于企业组织来讲，大数据的价值体现在两个方面：分析使用和二次开发。对大数据进行分析能揭示隐藏其中的信息。例如零售业中对门店销售、地理和社会信息的分析能提升对客户的理解。对大数据的二次开发则是那些成功的网络公司的长项。例如Facebook通过结合大量用户信息，定制出高度个性化的用户体验，并创造出一种新的广告模式。这种通过大数据创造出新产品和服务的商业行为并非巧合，谷歌、雅虎、亚马逊和Facebook它们都是大数据时代的创新者。 （二）大数据的4V特征 大量化(V olume)：企业面临着数据量的大规模增长。例如，IDC最近的报告预测称，到2020年，全球数据量将扩大50倍。目前，大数据的规模尚是一个不断变化的指标，单一数据集的规模范围从几十TB到数PB不等。简而言之，存储1PB数据将需要两万台配备50GB硬盘的个人电脑。此外，各种意想不到的来源都能产生数据。 多样化(Variety)：一个普遍观点认为，人们使用互联网搜索是形成数据多样性的主要原因，这一看法部分正确。然而，数据多样性的增加主要是由于新型多结构数据，以及包括网络日志、社交媒体、互联网搜索、手机通话记录及传感器网络等数据类型造成。其中，部分传感器安装在火车、汽车和飞机上，每个传感器都增加了数据的多样性。 快速化(Velocity)：高速描述的是数据被创建和移动的速度。在高速网络时代，通过基于实现软件性能优化的高速电脑处理器和服务器，创建实时数据流已成为流行趋势。企业不仅需要了解如何快速创建数据，还必须知道如何快速处理、分析并返回给用户，以满足他们的实时需求。根据IMS Research关于数据创建速度的调查，据预测，到2020年全球将拥有220亿部互联网连接设备。 价值化（Value）：大量的不相关信息，浪里淘沙却又弥足珍贵。对未来趋势与模式的可预测分析，深度复杂分析（机器学习、人工智能Vs传统商务智能(咨询、报告等） 蚁坊软件在舆情大数据处理中注重大量化、多样化、快速化、价值化，凭借自身的大数据平台为客户提供舆情应用服务，其中鹰击提供微博舆情监测分析服务，正是基于这四个维度，其舆情“早发现”的能力显著领先竞争对手，为舆情早报告、早响应提供先机；而蚁坊软件旗下的另外一款典型产品，则是从多样性（全网）、快速性方面独有优势——鹰眼提供全网舆情监测分析服务，方便客户“速读网”，掌控舆情发展态势。
第三章 随机变量的数字特征答案
第三章 随机变量的数字特征答案 一、1、35；2、 6175；;259,59,259, 563、σ σμ1 , =±=b a ； 4、()(),2 1212 1211 )(2 2 2 212111 2??? ? ??-- ---+-? = ? = = x x x x e e e x πππ ? ），（～所以2 1 1N ξ ，2 1 ,12 = ===σ ξμξD E 5、2 1-；6.a=2,b=0,或a=-2,b=2；32)(=ξE 或31 ； 7、()()125,01022===+=+=+=+a D a b a D b a b aE b a E ξξξξ 所以2,5 1 2,51=-=-== b a b a 或 8、()()6.2022,2=++=++=+ηξρηξηξηξηξξηD D D D Cov D D D ()()4.232,2=-+=-+=-ηξρηξηξηξηξξηD D D D Cov D D D 9、148，57； 10、()()()()n D a E D a E i i 2 2 ,,,σξ ξσξξ= ===所以 二、1、C 2、B 3、C 4、B 5、C 三、1、,2.03.023.004.02-=?+?+?-=ξE ()8.23.023.004.02222 2=?+?+?-=ξE ()() ()() ( )04.114,412,4.1353532 222=-==-=+=+ξξξξξξE E D D E E 2、ξ~[]10,0U ，()32512010,5210 02 =-==+=ξξD E ， 3 35=ξD 3、4)(,1)2 (==ξξ D D ，则 1)(,4)1(==-ξξ E D 所以0)1(=-ξE 所以 ()()()() 2 2 2111404E D E ξξξ-=-+-=+= 4、()()()()()()32323223,2D D D D Cov ξηξηξηξη-=+-=+-+- ()( )941225.6D D ξηρ=+-=
北师大版高中数学必修三§4 数据的数字特征
§4 数据的数字特征 4.1 平均数、中位数、众数、极差、方差 4.2标准差 双基达标(限时20分钟) 1．已知一组数据20，30，40，50，50，60，70，80，其中平均数、中位数和众数的大小关系是( )．A．平均数>中位数>众数
B．平均数<中位数<众数 C．中位数<众数<平均数 D．众数＝中位数＝平均数 解析中位数、平均数、众数都是50，从中看出一组数据的中位数、众数、平均数可以相同． 答案 D 2．一组数据中的每一个数据都减去80，得一组新数据，若求得新数据的平均数是1.2，方差是4.4，则原来数据的平均数和方差分别是( )．A．81.2，4.4 B．78.8，4.4 C．81.2，84.4 D．78.8，75.6 解析由题意得原来数据的平均数是80＋1.2＝81.2，方差为4.4. 答案 A 3．某商场买来一车苹果，从中随机抽取了10个苹果，其重量(单位：克)分别为150，152，153，149，148，146，151，150，152，147，由此估计这车苹果单个重量的平均值为( ) A．150.2克B．149.8克 C．149.4克D．147.8克 解析这车苹果单个重量的平均值为 x－＝150＋152＋…＋147 10 ＝149.8(克)．故选B. 答案 B 4．已知数据a，a，b，c，d，b，c，c，且a 第四章随机变量的数字特征试题答案 一、 选择（每小题2分） 1、设随机变量X 服从参数为2的泊松分布，则下列结论中正确的是（D ） A.E （X ）=0.5，D （X ）=0.5?B.E （X ）=0.5，D （X ）=0.25 C.E （X ）=2，D （X ）=4?D.E （X ）=2，D （X ）=2 2 Y X -=，则34） A C 5A 6、)1= （C ） A ．3 4?B ．3 7C ． 323?D ．3 26 7、设随机变量X 服从参数为3的泊松分布，)3 1 ,8(~B Y ，X 与Y 相互独立，则 )43(--Y X D =（C ） A ．-13? B ．15 C ．19? D ．23 8、已知1)(=X D ，25)(=Y D ，XY ρ=0.4，则)(Y X D -=（B ） A ．6? B ．22 C ．30? D ．46 9、设)3 1 ,10(~B X ，则)(X E =（C ） A ．31? B ．1 C ．3 10?D ．10 10、设)3,1(~2N X ，则下列选项中，不成立的是（B ） A.E （X ）=1? B.D （X ）=3? C.P （X=1）=0? D.P （X<1）=0.5 11 A ．C ．12、XY ρ= （D 13x =(B) A ． 14、（C ） A.-15、为（A ．C ．21)(,41)(== X D X E ?D ．4 1 )(,21)(==X D X E 16、设二维随机变量（X ，Y ）的分布律为 则)(XY E =（B ） A ．9 1-?B ．0 C ．9 1?D ．3 1 17、已知随机变量X 服从参数为2的泊松分布，则随机变量X 的方差为（D ） A 18，0.5)，则A 19，则X A 20， 则21（B A C 22、设n X X X ,,,21 是来自总体),(2σμN 的样本，对任意的ε>0，样本均值X 所满足的切比雪夫不等式为（B ） A ．{}2 2 εσεμn n X P ≥ <-?B ．{} 22 1ε σεμn X P -≥<- C ．{}2 2 1ε σεμn X P - ≤≥-?D ．{}2 2 εσεμn n X P ≤ ≥- 第四章 随机变量的数字特征试题答案 一、选择（每小题2分） 1、设随机变量X 服从参数为2的泊松分布，则下列结论中正确的是（D ） A. E （X ）=，D （X ）=? B. E （X ）=，D （X ）= C. E （X ）=2，D （X ）=4? D. E （X ）=2，D （X ）=2 2、设随机变量X 与Y 相互独立，且X~N （1，4），Y~N （0，1），令Y X Z -=，则D （Z ）=? （??C?） A. 1 ? B. 3 C. 5? D. 6? 3、已知D （X ）=4，D （Y ）=25，cov （X ，Y ）=4，则XY ρ =（C ） A. 0.004? B. ? C. ? D. 4 4、设X ，Y 是任意随机变量，C 为常数，则下列各式中正确的是（?D ） A ． D （X+Y ）=D （X ）+D （Y ） ?B ． D （X+C ）=D （X ）+C C ． D （X-Y ）=D （X ）-D （Y ） ?D ． D （X-C ）=D （X ） 5、设随机变量X 的分布函数为???? ???≥<≤-<=4, 14 2,12 2, 0)(x x x x x F ，则E(X)=（D ） A ． 31 ?B ． 21 C ．2 3 ?D ． 3 6、设随机变量X 与Y 相互独立，且)61,36(~B X ，)3 1 ,12(~B Y ，则)1(+-Y X D =（C ） A ． 34 ? B ． 37 C ． 323 ? D ． 3 26 7、设随机变量X 服从参数为3的泊松分布，)3 1 ,8(~B Y ， X 与Y 相互独立，则)43(--Y X D =（C ） A ． -13 ? B ． 15 C ． 19 ? D ． 23 8、已知1)(=X D ，25)(=Y D ，XY ρ=，则)(Y X D -=（B ） A ． 6 ?B ． 22 C ． 30 ?D ． 46 9、设)3 1,10(~B X ，则)(X E =（C ） A ． 31 ?B ． 1 C ． 3 10 ?D ． 10 10、设)3,1(~2 N X ，则下列选项中，不成立的是（B ） A. E （X ）=1? B. D （X ）=3? C. P （X=1）=0? D. P （X<1）= 11、设)(X E ，)(Y E ，)(X D ，)(Y D 及),cov(Y X 均存在，则)(Y X D -=（C ） A ． )(X D +)(Y D ?B ． )(X D -)(Y D 实验一 平稳随机过程的数字特征 一、实验目的 1、加深理解平稳随机过程数字特征的概念 2、掌握平稳随机序列期望、自相关序列的求解 3、分析平稳随机过程数字特征的特点 二、实验设备 计算机、Matlab 软件 三、实验内容和步骤 设随机电报信号X(n)(-∞ m k k e k m I m n X n X P λλ-∞ =+∑+==+0122 )!12()(})()({ m e I m n X n X E m R λ22)]()([)(-=+= 五、实验要求 1、写出求期望和自相关序列的步骤； 2、分析自相关序列的特点； 3、打印相关序列和相关系数的图形； 4、附上程序和必要的注解。 六、实验过程 input('王斌欢迎您') I=input('输入I 的值'); a=0.5; %a 的值为P{X(n)=+I} b=0.5; %b 的值为P{X(n)=-I} EX=I*a+(-I)*b %EX 为期望的输出值 xuehao=21; %学号为21 k=1/xuehao; Ex=I*0.5+(-I)*0.5; m=-64:1:64; Rx=I*I*exp(-2*k*abs(m)); Cx=Rx-Ex*Ex; Cx0=I*I*exp(-2*k*abs(0))-Ex*Ex; rx=Cx/Cx0; figure(1); subplot(211);stem(EX);title('期望') %输出图像 subplot(212);stem(m,Rx);title('自相关序列'); figure(2); stem(m,rx);title('相关系数'); 七、实验结果及分析 §1.4《数据的数字特征》教学案 一、教学背景分析 在义务教育阶段，学生已经通过实例，学习了平均数、中位数、众数、极差、方差等，并能解决简单的实际问题。(由于义务教育阶段《大纲》中对统计部分的要求与《标准》的要求相差较大，若是承接现行《大纲》的话，建议先补充《标准》中第三学段相应部分的内容。)在这个基础上高中阶段还将进一步学习标准差，并在学习中不断地体会它们各自的特点，在具体的问题中根据情况有针对性地选择一些合适的数字特征。 二、教学目标 1、能结合具体情境理解不同数字特征的意义，并能根据问题的需要选择适当的数字特征来表达数据的信息，培养学生解决问题的能力。 2、通过实例理解数据标准差的意义和作用，学会计算数据的标准差，提高学生的运算能力。 三、教学重、难点 教学重点：平均数、中位数、众数、极差、方差、标准差的计算、意义和作用。 教学难点：根据问题的需要选择适当的数字特征来表达数据的信息。 四、设计思路 (1)、教法构想 本节教学设计依据课程标准，在义务教育阶段的基础上，进一步掌握平均数、中位数、众数、极差、方差、标准差的计算、意义和作用。通过具体的实例，让学生理解数字特征的意义，并能选择适当的数字特征来表达数据的信息。 (2)学法指导 学生自主探究，交流合作，教师归纳总结相结合。 五、教学实施 导入新课 提出问题：小明开设了一个生产玩具的小工厂，管理人员由小明、他的弟弟和六个亲戚组成。工作人员由五个领工和十个工人组成。工厂经营的很顺利，需增加一个新工人，小亮需要一份工作，应征而来与小明交谈。小明说：“我们这里报酬不错，平均薪金是每周3 00元。你在学徒期每周75元，不过很快就可以加工资了。”小亮工作几天后找到小明说：“你欺骗了我，我已经找其他工人核对过了，没有一个人的工资超过每周100元，平均工资怎么可能是一周300元呢？”小名说：“小亮啊，不要激动，平均工资是300元，你看，这是一张工资表。”工资表如下： 平稳随机过程及其数字特征 平稳随机过程 粗略的说——随机过程的统计特征不随时间的推移而变化。一.严平稳随机过程 1. 定义设有随机过程{ X(t) , t ∈T}，若对于任意n 和任意t1 因此：严平稳过程的二维数字特征仅是（时间差τ）的函数 综上所述：要按上述严平稳过程的定义来判断一个过程是否平稳?是很困难的。 a)：一般在实用中，只要产生随机过程的主要物理条件，在时间 进程中不变化。则此过程就可以认为是平稳的。 例如：在电子管中由器件的颗粒效应引起的“散弹噪声”，由于产生此噪声的主要物理条件与时间无关，所以此噪声可以认为是平稳过程。 12121212 12 1 21212 2 2 2 (,)(,;)() (,)()()(,;)()()(0)(0)[()] X X X X X X X X X X X X X X R t t x x f x x dx dx R C t t x m x m f x x dx dx C R m C R m D X t τττττσ=?==??==?=?==∫∫∫∫ ∞<)]([2 t X E b)：另一方面，对有些非平稳过程，可以根据需要，如果它在所观测的时间段内是平稳的，就可以视作这一时间段上的平稳过程来处理。即在观测的有限时间段内，认为是平稳过程。 因此，工程中平稳过程的定义如下： 二、宽平稳过程1、定义 若二阶矩过程( )X(t) 满足: E[X(t)]=m x ←常数 R x (t 1,t 2)=R x (τ) ←只与时间间隔(τ=t 2-t 1)有关 则称过程X(t)为“宽平稳随机过程”（广义平稳过程）。 可见：一个均方值有限的严平稳过程，一定是宽平稳过程。反之：一个宽平稳过程，则不一定是严平稳过程。 c)：一般在工程中，通常只在相关理论的范围内讨论过程的平稳问题。即：讨论与过程的一、二阶矩有关的问题。 2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征 整体设计 教学分析 教科书结合实例展示了频率分布的众数、中位数和平均数.对于众数、中位数和平均数的概念,重点放在比较它们的特点,以及它们的适用场合上,使学生能够发现,在日常生活中某些人通过混用这些（描述平均位置的）统计术语进行误导.另一方面,教科书通过思考栏目让学生注意到,直接通过样本计算所得到的中位数与通过频率直方图估计得到的中位数不同.在得到这个结论后,教师可以举一反三,使学生思考对于众数和平均数,是否也有类似的结论.进一步,可以解释对总体众数、总体中位数和总体平均数的两种不同估计方法的特点.在知道样本数据的具体数值时,通常通过样本计算中位数、平均值和众数,并用它们估计总体的中位数、均值和众数.但有时我们得到的数据是整理过的数据,比如在媒体中见到的频数表或频率表,用教科书中的方法也可以得到总体的中位数、均值和众数的估计. 教科书通过几个现实生活的例子,引导学生认识到：只描述平均位置的特征是不够的,还需要描述样本数据离散程度的特征.通过对如何描述数据离散程度的探索,使学生体验创造性思维的过程.教科书通过例题向学生展示如何用样本数字特征解决实际问题,通过阅读与思考栏目“生产过程中的质量控制图”,让学生进一步体会分布的数字特征在实际中的应用. 三维目标 1.能利用频率分布直方图估计总体的众数、中位数、平均数；能用样本的众数、中位数、平均数估计总体的众数、中位数、平均数,并结合实际,对问题作出合理判断,制定解决问题的有效方法；初步体会、领悟“用数据说话”的统计思想方法；通过对有关数据的搜集、整理、分析、判断，培养学生“实事求是”的科学态度和严谨的工作作风. 2.正确理解样本数据标准差的意义和作用,学会计算数据的标准差；能根据实际问题的需要合理地选取样本,从样本数据中提取基本的数字特征（如平均数、标准差）,并作出合理的解释；会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征，形成对数据处理过程进行初步评价的意识. 3.在解决统计问题的过程中,进一步体会用样本估计总体的思想,理解数形结合的数学思想和逻辑推理的数学方法；会用随机抽样的方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题,认识统计的作用,能够辨证地理解数学知识与现实世界的联系. 重点难点 教学重点：根据实际问题对样本数据中提取基本的数据特征并作出合理解释,估计总体的基本数字特征；体会样本数字特征具有随机性. 教学难点：用样本平均数和标准差估计总体的平均数与标准差；能应用相关知识解决简单的实际问题. 课时安排 2课时 教学过程 第1课时众数、中位数、平均数 导入新课 思路1 在一次射击比赛中,甲、乙两名运动员各射击10次,命中环数如下﹕ 甲运动员:7,8,6,8,6,5,8,10,7,4； 乙运动员:9,5,7,8,7,6,8,6,7,7. 观察上述样本数据,你能判断哪个运动员发挥得更稳定些吗？为了从整体上更好地把握总体的规律,我们要通过样本的数据对总体的数字特征进行研究.——用样本的数字特征估计总体 数据的数字特征同步练习思路导引 1.在8个试验点对两个早稻品种进行栽培对比试验，它们在各试验点的单位面积产量如下（单位：kg）： 甲402 492 495 409 460 420 456 501 乙428 466 465 428 436 455 449 459 在这些试验点中哪种水稻的产量比较稳定？ 解：比较甲、乙两组数据标准差的大小.S甲=37.5，S乙=14.7.S 乙 课时教案4 课题：数据的数字特征 一、教学分析 在初中阶段，学生已经学习了平均数、中位数、众数、极差、方差与标准差等概念，它们都是一些统计量，反映了数据的集中趋势与离散程度。在这个基础上高中阶段还将进一步学习标准差，并在学习中不断地体会它们各自的特点，在具体的问题中根据情况有针对性地选择一些合适的数字特征。 二、教学建议 1、本节开始，可结合上一节茎叶图的相关内容，让学生计算初中已经学习过的统计量，让学生复习初中学习的统计量的内容，并能在这个过程中体会用不同的统计量刻画数据集中趋势的不同。 2、在选择适当的数来分别表示这两组数据的离散程度时，学生会很自然地想到义务教育阶段时学习过的极差和方差。在教学时，可以先让学生自主思考，选择适当的数来表示，在此基础上，再鼓励他们积极交流，并认真观察、比较不同刻画方式之间的异同。 3、作为本节的结束，可安排教材的“动手实践”活动，让学生经历收集数据、整理数据、分析数据、作出推断的过程，进一步体会统计对决策的作用。 三、教学目标 1、知识与技能 （1）能结合具体情境理解不同数字特征的意义，并能根据问题的需要选择适当的数字特征来表达数据的信息。 （2）通过实例理解数据标准差的意义和作用，学会计算数据的标准差。 2、过程与方法 在分析和解决具体实际问题的过程中，学会用恰当的统计量表示数据的方法，并能结合统计量对所给数据的分布情况作出合理的解释。2 3、情感态度价值观 通过对现实生活和其他学科中统计问题的分析和解决，体会用数学知识解决现实生活及各学科问题的方法，认识数学的重要性。 四、教学重点、难点 教学重点：理解各个统计量的意义和作用，学会计算数据的标准差。 教学难点: 根据给定的数据，合理地选择统计量表示数据。 （一）课题引入 数据的信息除了通过前面介绍的各种统计图表来加以整理和表达之外，还可以通过一些统计量来表述，也就是将多个数据“加工”为一个数值，使这个数值能够反映这组数据的某些重要的整体特征。 （二）探求新知 请大家思考，初中时我们学习了几个统计量？它们在刻画数据时，各有什么样的优点和缺点？请大家结合下面问题的解决，对这个问题进行思考。 1、平均数、中位数、众数 某公司的33名职工的月工资（单位：元）如下： （1）求该公司职工月工资的平均数、中位数、众数； （2）假设副董事长的工资从5000元提升到20000元，董事长的工资从 5500元提升到30000元，那么新的平均数、中位数、众数又是什么？ （3）你认为哪个统计量更能反映这个公司员工的工资水平？为什么？ （4）公司经理会选取上面哪个数据来代表该公司员工的月工资情况？ 税务官呢？工会领导呢？ 通过这个问题的解决，我们应该认识到，各个不同的统计量适用于刻画不同的统计数据，并且有着各自的特点。 平均数：一般地，对于N 个数N x x x ,,,21 ，我们把 N x x x N +++ 21叫做这 N 个数的算术平均数，简称平均数。平均数是数据的重心，它是反映数据集中 趋势的一项指标。它的优点在于：对变量的每一个观察值都加以利用，比起众数与中位数，它会获得更多的信息；但是平均数对个别的极端值敏感，当数据有极端值时，最好不要用均值刻画数据。 众数：一组数据中出现次数最多的数据。众数着眼于对各数据出现的次数的 概率论与数理统计练习题 系 专业 班 姓名 学号 第四章 随机变量的数字特征（一） 一、选择题： 1．设随机变量X ，且()E X 存在，则()E X 是 [ B ] （A ）X 的函数 （B ）确定常数 （C ）随机变量 （D ）x 的函数 2．设X 的概率密度为910()9 00 x e x f x x -?≥?=?? 教案数据的数字特征 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】 课时教案4 课题：数据的数字特征 一、教学分析 在初中阶段，学生已经学习了平均数、中位数、众数、极差、方差与标准差等概念，它们都是一些统计量，反映了数据的集中趋势与离散程度。在这个基础上高中阶段还将进一步学习标准差，并在学习中不断地体会它们各自的特点，在具体的问题中根据情况有针对性地选择一些合适的数字特征。 二、教学建议 1、本节开始，可结合上一节茎叶图的相关内容，让学生计算初中已经学习过的统计量，让学生复习初中学习的统计量的内容，并能在这个过程中体会用不同的统计量刻画数据集中趋势的不同。 2、在选择适当的数来分别表示这两组数据的离散程度时，学生会很自然地想到义务教育阶段时学习过的极差和方差。在教学时，可以先让学生自主思考，选择适当的数来表示，在此基础上，再鼓励他们积极交流，并认真观察、比较不同刻画方式之间的异同。 3、作为本节的结束，可安排教材的“动手实践”活动，让学生经历收集数据、整理数据、分析数据、作出推断的过程，进一步体会统计对决策的作用。 三、教学目标 1、知识与技能 （1）能结合具体情境理解不同数字特征的意义，并能根据问题的需要选择适当的数字特征来表达数据的信息。 （2）通过实例理解数据标准差的意义和作用，学会计算数据的标准差。 2、过程与方法 在分析和解决具体实际问题的过程中，学会用恰当的统计量表示数据的方法，并能结合统计量对所给数据的分布情况作出合理的解释。2 3、情感态度价值观 通过对现实生活和其他学科中统计问题的分析和解决，体会用数学知识解决现实生活及各学科问题的方法，认识数学的重要性。 四、教学重点、难点 教学重点：理解各个统计量的意义和作用，学会计算数据的标准差。 教学难点: 根据给定的数据，合理地选择统计量表示数据。 （一）课题引入 数据的信息除了通过前面介绍的各种统计图表来加以整理和表达之外，还可以通过一些统计量来表述，也就是将多个数据“加工”为一个数值，使这个数值能够反映这组数据的某些重要的整体特征。 （二）探求新知 请大家思考，初中时我们学习了几个统计量它们在刻画数据时，各有什么样的优点和缺点请大家结合下面问题的解决，对这个问题进行思考。 1、平均数、中位数、众数 某公司的33名职工的月工资（单位：元）如下： （1）求该公司职工月工资的平均数、中位数、众数； （2）假设副董事长的工资从5000元提升到20000元，董事长的工资从 实验二随机过程的模拟与数字特征 一、实验目的 1. 学习利用MATLAB模拟产生随机过程的方法。 2. 熟悉和掌握特征估计的基本方法及其MATLAB 实现。 二、实验原理 1.正态分布白噪声序列的产生 MATLAB提供了许多产生各种分布白噪声序列的函数，其中产生正态分布白噪声序列的函数为randn。 函数：randn 用法：x = randn(m,n) 功能：产生m×n 的标准正态分布随机数矩阵。 如果要产生服从N (,) 分布的随机序列，则可以由标准正态随机序列产生。如果X ~ N(0,1)，则N (,)。 2.相关函数估计 MATLAB提供了函数xcorr用于自相关函数的估计。 函数：xcorr 用法：c= xcorr (x,y) c= xcorr (x) c= xcorr (x,y ,'opition') c= xcorr (x, ,'opition') 功能：xcorr(x,y) 计算X (n ) 与Y (n)的互相关，xcorr(x)计算X (n )的自相关。 option 选项可以设定为： 'biased' 有偏估计。 'unbiased' 无偏估计。 'coeff' m = 0 时的相关函数值归一化为1。 'none' 不做归一化处理。 3.功率谱估计 对于平稳随机序列X(n)，如果它的相关函数满足 (2.1) 那么它的功率谱定义为自相关函数R X(m)的傅里叶变换： (2.2) 功率谱表示随机信号频域的统计特性，有着重要的物理意义。我们实际所能得到的随机信号的长度总是有限的，用有限长度的信号所得的功率谱只是真实功率谱的估计，称为谱估计或谱分析。功率谱估计的方法有很多种，这里我们介绍基于傅里叶分析的两种通用谱估计方法。 （1）自相关法 先求自相关函数的估计X(m)，然后对自相关函数做傅里叶变换 (2.3) 其中N 表示用于估计样本序列的样本个数。 （2）周期图法 第四章 随机变量的数字特征 ㈠ 数学期望 表征随机变量取值的平均水平、“中心”位置或“集中”位置． 1、数学期望的定义 (1) 定义 离散型和连续型随机变量X 的数学期望定义为 {}?????==?∑∞ ∞ - d )( )()( ， ， 连续型离散型x x xf x X x X k k k P E 其中Σ表示对X 的一切可能值求和．对于离散型变量，若可能值个数无限，则要求级数绝对收敛；对于连续型变量，要求定义中的积分绝对收敛；否则认为数学期望不存在． ①常见的离散型随机变量的数学期望 1、离散型随机变量的数学期望 设离散型随机变量的概率分布为 ，若，则称级数为随 机变量 的数学期望（或称为均值），记为 , 即 2、两点分布的数学期望 设 服从0—1分布，则有 ，根据定义， 的数学期望为 . 3、二项分布的数学期望 设 服从以 为参数的二项分布， ，则 。 4、泊松分布的数学期望 设随机变量 服从参数为的泊松分布，即，从而有 。 ①常见的连续型随机变量的数学期望 1)均匀分布 设随机变量ξ服从均匀分布，ξ～U [a，b] (a §4 数据的数字特征 【自主探讨学习】 【自主归纳】 1、平均数：一组数据的和与这组数据的个数的商，数据 , , ……，的平均数 = n x x x n +++ 21 2、中位数：一组数据按从小到大的顺序排成一列，处于中间位置的数成为这组数据的中位数。若个数为偶数，中位数为位于中间的数的平均数，若个数为奇数，位于中间的数为中位数。 3、（1）众数：一组数据中出现次数最多的数为这组数据的众数。 （2）众数特征：一组数据中的众数可能不止一个，也可能没有。反应该数据的集中趋势 4、极差 一组数据的最大值与最小值的差成为这组数据的极差，表示该组数据之间的差异情况。 5、标准差：样本数据到平均数的一种平均距离。 S= n x x x x x x n 2 2 22 1) ()()( -++-+- 6、方差，即标准差的平方 = 【问题研讨】 疑点一：中位数，众数和平均数的作用及区别 ①中位数，众数及平均数都是描述一组数据集中趋势的量 ②平均是的大小与一组数据里的每个数的大小均有关系，任何一个数据的变动都会引起平均数的变动。 ③众数考察各数出现的频率，其大小与这组数据中部分数据又关，当一组数据中有不少数据重复出现时，其众数往往能反映问题。 ④中位数仅与数据的排列位置有关，某些数据的变动对中位数没有影响，中位数可能出现在所给数据中，也可能不再所给数据中，当一组数据中个别数据较大时，可用中位数描述其中集中趋势。 【问题研讨】： 1、已知一组数据为10，20，80，40，30，90，50，40，50，40.这组数据的众数是40，中位数是40 平均数是_____。 2、某鞋厂为了了解中学生穿鞋的鞋号情况，对某中学初二某班的20名男生所穿鞋号的统计如右表： 那么这20名男生鞋号数据的平均数是24.55，中位数是24.5，众数是25，在平均数、中位 实验二 随机过程的模拟与数字特征 实验目的 1. 学习利用MATLAB 模拟产生随机过程的方法。 2. 熟悉和掌握特征估计的基本方法及其MATLAB 实现。 实验原理 1.正态分布白噪声序列的产生 MATLAB 提供了许多产生各种分布白噪声序列的函数，其中产生正态分布白噪声序列的函数为randn 。 函数：randn 用法：x = randn(m,n) 功能：产生m ×n 的标准正态分布随机数矩阵。 如果要产生服从),(2 σμN 分布的随机序列，则可以由标准正态随机序列产生。如果 )1,0(~N X ，则),(~σμσμN X +。 2.相关函数估计 MATLAB 提供了函数xcorr 用于自相关函数的估计。 函数：xcorr 用法：c = xcorr(x,y) c = xcorr(x) c = xcorr(x,y,'opition') c = xcorr(x,'opition') 功能：xcorr(x,y)计算)(n X 与)(n Y 的互相关，xcorr(x)计算)(n X 的自相关。 option 选项可以设定为： 'biased' 有偏估计。 'unbiased' 无偏估计。 'coeff' m = 0时的相关函数值归一化为1。 'none' 不做归一化处理。 3.功率谱估计 对于平稳随机序列)(n X ，如果它的相关函数满足 ∞<∑+∞ -∞ =m X m R )( （2.1） 那么它的功率谱定义为自相关函数)(m R X 的傅里叶变换： ∑+∞ -∞ =-= m jm X X e m R S ωω)()( （2.2） 功率谱表示随机信号频域的统计特性，有着重要的物理意义。我们实际所能得到的随机信号的长度总是有限的，用有限长度的信号所得的功率谱只是真实功率谱的估计，称为谱估计或谱分析。功率谱估计的方法有很多种，这里我们介绍基于傅里叶分析的两种通用谱估计方法。 （1）自相关法 先求自相关函数的估计)(?m R X ，然后对自相关函数做傅里叶变换 ∑---=-=1 ) 1()(?)(?N N m jm X X e m R S ωω （2.3） 其中N 表示用于估计样本序列的样本个数。 （2）周期图法 先对样本序列)(n x 做傅里叶变换 ∑-=-=1 )()(N n n j e n x X ωω （2.4） 其中10-≤≤N n ，则功率谱估计为 2)(1)(?ωωX N S = （2.5） MATLAB 函数periodogram 实现了周期图法的功率谱估计。 函数：periodogram 用法：[Pxx,w] = periodogram(x) [Pxx,w] = periodogram(x,window) [Pxx,w] = periodogram(x,window,nfft) [Pxx,f] = periodogram(x,window,nfft,fs) periodogram(...) 功能：实现周期图法的功率谱估计。其中： Pxx 为输出的功率谱估计值； f 为频率向量； w 为归一化的频率向量； 随机变量的数字特征历年真题 数学一： 1（87，2分） 已知连续型随机变量X 的概率密度为 1 22 1 )(-+-= x x e x f π 则EX = ，DX = 。 2（89，6分） 设随机变量X 与Y 独立，且X~N （1，2），Y~N （0，1），试求随机变量Z =2X -Y +3的概率密度函数。 3（90，2分） 已知随机变量X 服从参数为2的泊松分布，且胡机变量Z =3X -2，则EZ = 。 4（90，6分） 设二维随机变量（X ，Y ）在区域D ：0 【成才之路】2014-2015学年高中数学 1.4数据的数字特征检测试题 北师大版必修3 一、选择题 1．一个样本数据按从小到大的顺序排列为13,14,19，x,23,27,28,31，其中位数为22，则x 为( ) A ．21 B ．22 C ．20 D ．23 [答案] A [解析] 由x ＋232＝22得x ＝21. 2．下列说法正确的是( ) A ．在两组数据中，平均值较大的一组方差较大 B ．平均数反映数据的集中趋势，标准差则反映数据离平均值的波动大小 C ．方差的求法是求出各个数据与平均值的差的平方后再求和 D ．在记录两个人射击环数的两组数据中，方差大的表示射击水平高 [答案] B [解析] 平均数、中位数、众数都是反映一组数据的“集中趋势”的统计量，方差、标准差、极差都是反映数据的离散程度的统计量，故选B. 3．在一次歌声大奖赛上，七位评委为歌手打出的分数如下： 9．4 8.4 9.4 9.9 9.6 9.4 9.7 去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为( ) A ．9.4 0.484 B ．9.4 0.016 C ．9.5 0.04 D ．9.5 0.016 [答案] D [解析] 去掉一个最高分和一个最低分后剩余分数为9.4，9.4，9.6,9.4,9.7. 其平均数为x ＝3×9.4＋9.6＋9.75 ＝9.5. 方差s 2＝15 (0.12＋0.12＋0.12＋0.12＋0.22) ＝15 ×0.08＝0.016. 4．在某次测量中得到的A 样本数据如下：82,84,84,86,86,86,88,88,88,88.若B 样本数据恰好是A 样本数据每个都加2后所得数据，则A ，B 两样本的下列数字特征对应相同的第四章 随机变量的数字特征试题答案
随机变量的数字特征试题答案
实验一平稳随机过程的数字特征
1.4《数据的数字特征》教学案
平稳随机过程及其数字特征
样本数值特征估计总体数字特征
教学参考高一北师大数学必修3同步作业：第1章 第4节 数据的数字特征3 含答案
教案《数据的数字特征》
随机变量的数字特征(答案)
教案数据的数字特征
随机过程的模拟与数字特征
随机变量的数字特征归纳
数据的数字特征
随机信号分析报告实验：随机过程的模拟与数字特征
随机变量的数字特征历年真题数学
高中数学 1.4数据的数字特征检测试题 北师大版必修3(3)