三角公式及推导(祥尽解释)
三角公式及推导（祥尽解释）
1-----诱导公式：
常用的诱导公式有以下几组：
公式一：
设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：
sin（2kπ＋α）＝sinα
cos（2kπ＋α）＝cosα
tan（2kπ＋α）＝tanα
cot（2kπ＋α）＝cotα
公式二：
设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：
sin（π＋α）＝－sinα
cos（π＋α）＝－cosα
tan（π＋α）＝tanα
cot（π＋α）＝cotα
公式三：
任意角α与 -α的三角函数值之间的关系：
sin（－α）＝－sinα
cos（－α）＝cosα
tan（－α）＝－tanα
公式四：
利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（π－α）＝sinα
cos（π－α）＝－cosα
tan（π－α）＝－tanα
cot（π－α）＝－cotα
公式五：
利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（2π－α）＝－sinα
cos（2π－α）＝cosα
tan（2π－α）＝－tanα
cot（2π－α）＝－cotα
公式六：
π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：
sin（π/2＋α）＝cosα
cos（π/2＋α）＝－sinα
tan（π/2＋α）＝－cotα
cot（π/2＋α）＝－tanα
sin（π/2－α）＝cosα
cos（π/2－α）＝sinα
cot（π/2－α）＝tanα
sin（3π/2＋α）＝－cosα
cos（3π/2＋α）＝sinα
tan（3π/2＋α）＝－cotα
cot（3π/2＋α）＝－tanα
sin（3π/2－α）＝－cosα
cos（3π/2－α）＝－sinα
tan（3π/2－α）＝cotα
cot（3π/2－α）＝tanα
(以上k∈z)
诱导公式记忆口诀
※规律总结※
上面这些诱导公式可以概括为：
对于k·π/2±α(k∈z)的个三角函数值，
①当k是偶数时，得到α的同名函数值，即函数名不改变；
②当k是奇数时，得到α相应的余函数值，即sin→cos;cos→sin;tan→cot,cot→tan. （奇变偶不变）
然后在前面加上把α看成锐角时原函数值的符号。
（符号看象限）
上述的记忆口诀是： 奇变偶不变，符号看象限。
公式右边的符号为把α视为锐角时，角k·360°+α（k∈z ），-α、180°±α，360°-α所在象限的原三角函数值的符号可记忆 水平诱导名不变；符号看象限。
各种三角函数在四个象限的符号如何判断，也可以记住口诀“一全正；二正弦；三为切；四余弦”．
这十二字口诀的意思就是说：
第一象限内任何一个角的四种三角函数值都是“＋”； 第二象限内只有正弦是“＋”，其余全部是“－”； 第三象限内切函数是“＋”，弦函数是“－”； 第四象限内只有余弦是“＋”，其余全部是“－”．
公式七：额外的定义
222222sin (sin )cos (cos )tan (tan )θθθθθθ===
2---同角三角函数基本关系
⒈同角三角函数的基本关系式 倒数关系: tan α ·cot α＝1 sin α ·csc α＝1 cos α ·sec α＝1
商的关系：
sin α/cos α＝tan α＝sec α/csc α cos α/sin α＝cot α＝csc α/sec α 平方关系：
sin^2(α)＋cos^2(α)＝1 1＋tan^2(α)＝sec^2(α) 1＋cot^2(α)＝csc^2(α) 证明：
22222
22222901sin sin 1sin cos 1ABC ABC a b c a b c c
B A θθ?∠=∴+=∴+=∴+=∴+
=在中,
同角三角函数关系六角形记忆法
六角形记忆法：（参看图片或参考资料链接）
构造以"上弦、中切、下割；左正、右余、中间1"的正六边形为模型。 （1）倒数关系：对角线上两个函数互为倒数；
（2）商数关系：六边形任意一顶点上的函数值等于与它相邻的两个顶点上函数值的乘积。（主要是两条虚线两端的三角函数值的乘积）。由此，可得商数关系式。
（3）平方关系：在带有阴影线的三角形中，上面两个顶点上的三角函数值的平方和等于下面顶点上的三角函数值的平方。
3---两角和差公式
⒉两角和与差的三角函数公式
sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβsin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβcos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβcos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ
tanα＋tanβtan（α＋β）＝——————--
1－tanα·tanβ
tanα－tanβtan（α－β）＝——————
1＋tanα ·tanβ
和差公式的证明：
(1) 两角差的余弦
AOC BOC AOB αβαβ∠=∠∠=∠∠=∠-∠
令AO=BO=r
点A 的横坐标为cos A x r α= 点A 的纵坐标为sin A y r α= 点B 的横坐标为cos B x r β= 点B 的纵坐标为sin B y r β=
()()
()()
()()
22
22
2
2222222222222222
2
2
2
2
2sin sin cos cos sin sin 2sin sin cos cos 2cos cos sin sin 2sin sin cos cos 2cos cos sin cos sin cos 2sin sin 2cos cos 112s A B A B AB y y x x r r r r r r r r r r r r r αββααβαβαβαβαβαβαβαβααββαβαβ=-+-=-+-=+-++-=+-++-=+++--=+-()()()22in sin cos cos 22sin sin cos cos 21sin sin cos cos r r αβαβαβαβαβαβ+????=-+????=-+????由余弦公式
可得：
()()()()2222222222cos 2cos 22cos 22cos 21cos AB AC BC AC BC ACB
r r r r r r r r αβαβαβαβ=+-?∠=++?-=+-=--????=--????
综上得：()cos sin sin cos cos αβαβαβ-=+ (2) 两角和的余弦
()()()()cos cos sin sin cos cos sin sin cos cos cos cos sin sin αβαβαβαβαβαβ
αβαβ
+=--????
=-+-=-+=-
(3) 两角和的正弦
()()()()()sin cos 90cos 90sin 90sin cos 90cos cos sin sin cos αβαβαβαβαβαβαβ
+=?-+????
=?--????
=?-+?-=+
(4) 两角差的正弦
()()()()sin sin cos sin sin cos cos sin sin cos sin cos cos sin αβαβαβαβαβαβ
αβαβ
-=+-????
=-+-=-+=-
(5) 两角和的正切
()()()
sin tan cos cos sin sin cos cos cos sin sin cos sin sin cos cos cos cos cos sin sin cos cos sin sin cos cos sin sin 1cos cos tan tan 1tan tan αβαβαβαβαβαβαβαβαβ
αβ
αβαβ
αββα
βααβαβαβαβ++=
++=
-+=
-+
=
-
+=
-
(6) 两角差的正切
()()()
()tan tan tan tan 1tan tan tan tan 1tan tan αβαβαβαβαβαβ
-=+-????
+-=---=
+
4---二倍角公式
二倍角的正弦、余弦和正切公式（升幂缩角公式）表示一：sin2α＝2sinαcosα
证明：因为sin(α +β)=sinα?cosβ+cosα?sinβ，令α=β=θ，
表示二：（以正切表示二倍角）
證明：
sin2θ=2sinθcosθ=2sinθ
cosθcos2θ =2tanθ(
1
sec2θ
) =
2tanθ
1+tan2θ
余弦二倍角公式：
表示一：
cos2α＝cos^2(α)－sin^2(α)＝2cos^2(α)－1＝1－2sin^2(α) 证明：因为由和角公式：cos(α +β)=cosα?cosβ-sinα?sinβ，令α=β=θ，所以，可得：
表示二：
證明：
cos2θ=2cos2θ-1 =2
sec2θ-1 =
2
1+tan2θ
-1 =
1-tan2θ
1+tan2θ
1-tan2θ
2tanθ
1+tan2θ
2θ
2tan α tan2α＝————— 1－tan^2(α) 证明：因为由和角公式：tan(α +β)=
tan α+tan β
1-tan α?tan β
，令α=β=θ ，
所以，可得：
結論：利用tan θ可以將sin2θ，cos2θ，tan2θ表示出來， 整理如下：
(a) sin2θ= 2tan θ1+tan 2θ (b) cos2θ= 1-tan 2θ1+tan 2θ (c) tan2θ
= 2tan θ
1-tan 2θ
用三角形直观表示如下：（图）
6---半角公式
半角的正弦、余弦和正切公式（降幂扩角公式）
1
1-tan 2θ
2tan θ
1+tan 2θ
2θ
1－cosα
或：sin^2(α/2)＝—————
2
1＋cosα
cos^2(α/2)＝—————
2
1－cosα
tan^2(α/2)＝—————
1＋cosα
7---万能公式
万能公式推导
附推导：
sin2α=2sinαcosα=2sinαcosα/(cos^2(α)+sin^2(α))......*，
（因为cos^2(α)+sin^2(α)=1）
再把*分式上下同除cos^2(α)，可得sin2α＝tan2α/(1＋tan^2(α)) 然后用α/2代替α即可。
同理可推导余弦的万能公式。正切的万能公式可通过正弦比余弦得到。
8---三倍角公式
三倍角的正弦、余弦和正切公式
(a)sin3θ= 3sinθ-4sin3θ
證明：
sin3θ=sin(θ+2θ)=sinθcos2θ+cosθsin2θ
=sinθ(1-2sin2θ)+cosθ(2sinθcosθ)
= sinθ(1-2sin2θ)+2sinθcos2θ
= sinθ(1-2sin2θ)+2sinθ(1-sin2θ)
= 3sinθ-4sin3θ
(b)cos3θ=4cos3θ-3cosθ
證明：
cos3θ=cos(θ+2θ)=cosθcos2θ-sinθsin2θ
=cosθ(2cos2θ-1)-sinθ(2sinθ cosθ)
= cosθ(2cos2θ-1)-2sin2θcosθ
= cosθ(2cos2θ-1)-2(1-cos2θ)cosθ
=4cos3θ-3cosθ
sin3α＝3sinα－4sin^3(α)
cos3α＝4cos^3(α)－3cosα
3tanα－tan^3(α)
tan3α＝——————
1－3tan^2(α)
三倍角公式推导
附推导：
tan3α＝sin3α/cos3α
＝(sin2αcosα＋cos2αsinα)/(cos2αcosα-sin2αsinα)
＝(2sinαcos^2(α)＋cos^2(α)sinα－sin^3(α))/(cos^3(α)－cosαsin^2(α)－2sin^2(α)cosα)
上下同除以cos^3(α)，得：
tan3α＝(3tanα－tan^3(α))/(1-3tan^2(α))
sin3α＝sin(2α＋α)＝sin2αcosα＋cos2αsinα
＝2sinαcos^2(α)＋(1－2sin^2(α))sinα
＝2sinα－2sin^3(α)＋sinα－2sin^2(α)
＝3sinα－4sin^3(α)
cos3α＝cos(2α＋α)＝cos2αcosα－sin2αsinα
＝(2cos^2(α)－1)cosα－2cosαsin^2(α)
＝2cos^3(α)－cosα＋(2cosα－2cos^3(α))
＝4cos^3(α)－3cosα
即
sin3α＝3sinα－4sin^3(α)
cos3α＝4cos^3(α)－3cosα
三倍角公式联想记忆
记忆方法：谐音、联想
正弦三倍角：3元减 4元3角（欠债了(被减成负数)，所以要“挣钱”(音似“正弦”)）余弦三倍角：4元3角减 3元（减完之后还有“余”）
☆☆注意函数名，即正弦的三倍角都用正弦表示，余弦的三倍角都用余弦表示。
9---积化和差公式
积化和差公式推导
附推导：
首先,我们知道sin(a+b)=sina*cosb+cosa*sinb,sin(a-b)=sina*cosb-cosa*sinb
我们把两式相加就得到sin(a+b)+sin(a-b)=2sina*cosb
所以,sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2
同理,若把两式相减,就得到cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2
同样的,我们还知道cos(a+b)=cosa*cosb-sina*sinb,cos(a-b)=cosa*cosb+sina*sinb 所以,把两式相加,我们就可以得到cos(a+b)+cos(a-b)=2cosa*cosb
所以我们就得到,cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))/2
同理,两式相减我们就得到sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))/2
这样,我们就得到了积化和差的四个公式:
sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2
cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2
cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))/2
sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))/2
也可以这样证：
10---和差化积公式
和差化积的公式推导：
好,有了积化和差的四个公式以后,我们只需一个变形,就可以得到和差化积的四个公式.我们把上述四个公式中的a+b设为x,a-b设为y,那么a=(x+y)/2,b=(x-y)/2
把a,b分别用x,y表示就可以得到和差化积的四个公式:
sinx+siny=2sin((x+y)/2)*cos((x-y)/2)
sinx-siny=2cos((x+y)/2)*sin((x-y)/2)
cosx+cosy=2cos((x+y)/2)*cos((x-y)/2)
cosx-cosy=-2sin((x+y)/2)*sin((x-y)/2)
11---辅助角公式
sin cos )a b ααα?+=+，其中tan b
a
?=
，?的象限由,a b 的符号确定。
12---任意三角形面积公式：
1
2
1
sin 21
sin ()2
ABC
S ah ab C ac B ?==
=两边和其夹角正弦的乘积
13---余弦定理：
任意三角形一角的余弦等于两邻边的平方和减对边的平方之差与两邻边积的两倍之比。 证明：
如Figure II,
C
a b
h
d
A
222
22
22222222222222222
(cos )(sin )2cos cos sin =2cos (cos sin )2cos cos 22b d h a c B c B a ac B c B c B
a ac B c B B a c ac B
b a
c a c b B ac ac
=+=-+=-++-++=+---+-?==
-
（证完）
14---正弦定理
如 Figure III ,
c 为ΔABC 外接圆的直径,
sin 2 sin a A c
a c r r ABC A
=∴=
=?（为的外接圆半径）
同理：
, sin sin 2sin sin sin b c c c B C
a b c r A B C =
=∴
===
15---海伦公式（任意三角形已知三边求面积）
证明
A
C
1
sin 2
1
2
1
21212ABC S ab C
?=
=======
=
2
ABC a b c s S ?===++=设：
16---特殊的三角函数值（表）