6.2 稳定性 奇点 常微分方程课件 高教社ppt 王高雄教材.

§6.2 稳定性 奇点

d (,)((,))d (,)y Y x y X x y 0x X x y =≠d (,)((,))d (,)x X x y Y x y 0y Y x y =≠或d (,)d ()

d (,)d x X x y t 18y Y x y t ?=????=??

奇 点

驻定解奇点 d d ()d d x ax by t 21y cx dy t

?=+????=+??a b 0c d ≠

标准形式

11122122k x k y k x k y ξη=+??=+?,,,010000λλλαβμλλβα????????????????-????????a b 0c d λλ-=-,(),2p q 0p a d q ad bc λλ++==-+=-

情形Ⅰ同号相异实根

情形Ⅰ 同号相异实根 (),()12t t t Ae t Be λλξη==()()()()21t t B e 0t t A λληκξ-==→→∞当()()()()12

t 1t A e 0t t B λλξκη-==→→∞当d d ,d d 12t

t ξηλξλη==

情形Ⅰ同号相异实根图

结点稳定结点

不稳定结点

情形Ⅱ异号实根

情形Ⅱ 异号实根 鞍点不稳定(),()12

t t t Ae t Be

λλξη==d d ,d d 12t

t ξηλξλη==

情形Ⅱ异号实根图

情形Ⅲ重根(1)

情形Ⅲ 重根?(1) b ≠0或c ≠0 退化结点稳定退化结点 不稳定退化结点()(),()t t t At B e t Ae

λλξη=+=()()()t A 0t t At B ηξ=→→∞+当d d ()d d x ax by t 21y cx dy t

?=+????=+??d d ,d d t

t ξηλξηλη=+=

情形Ⅲ重根(1)图

情形Ⅲ重根(2)

?

(2) b =c =0奇结点稳定的不稳定的(),()t t x t Ae y t Be λλ==d d ,,d d x y x y a d t t

λλλ====

情形Ⅳ非零实部复根

?情形Ⅳ 非零实部复根

,t r Ae t B αθβ==-+d d ,d d t t

ξηαξβηβξαη=+=-+d d d d d d ,d d d d d d 2r r r t t t t t t

ξηηξθξηξη+=-=d d ,d d r r t t θαβ==-

情形Ⅳ非零实部复根图

情形Ⅴ纯虚根?情形Ⅴ纯虚根

中心零解稳定

线性奇点定理

定理6 ?(1) 结点鞍点?(2)退化结点奇结点?(3) 焦点()()

dx ax by a b dt 21022dy c d cx dy dt ?=+??≠??=+??,(),()2p q 0p a d q ad bc 24λλ++==-+=-

奇点类型图

p2-4q=0,(),()

2p q0p a d q ad bc24λλ

++==-+=-

例1 讨论二阶线性

微分方程的奇点：解

d d

d d

2

2

x x

32x0 t t

++=

d

d

d

d

x

y

t

y

2x3y

t

?

=

??

?

?=--

??

极限环例

例1 即轨线按顺时针方向从圆上走出圆外；,,,,0000r 0t t t t r 1t t t t θθ==-≥==-≥和d ()d d ()d 2222x x y x x y t y x y y x y t ?=+-+????=-+-+??d d (),d d 2r r 1r 1t t θ=-=-d d (),d d 1211r R r R 1R 010t

t θθθ*===->=-

===-<=-<

极限环

稳定不稳定半稳定极限环

d

(,)

d()

d

(,)

d

x

X x y

t18

y

Y x y

t

?

=

??

?

?=

??

环域定理 定理7 定理8 证 X Y x y ??+??:(),(),x x t y y t 0t T

Γ==≤≤d d (,)(,)18d d x y X x y Y x y t t

==，.（）()()d d d d d d d d d d T T D 00X Y y x x y X y Y x X Y t XY YX t 0x y t t Γ

Γ??????+=-=-=-= ? ????????????

2.5常微分方程课后答案(第三版)王高雄

习题2.5 2．ydy x xdy ydx 2=- 。 解： 2x ，得： ydy x xdy ydx =-2 c y x y d +-=221 即c y x y =+2 2 1 4． xy x y dx dy -= 解：两边同除以x ，得 x y x y dx dy - =1 令u x y = 则dx du x u dx dy += 即 dx du x u dx dy +=u u -=1 得到 ()2ln 2 1 1y c u -=， 即2 ln 21?? ? ??-=y c y x 另外0=y 也是方程的解。 6．()01=-+xdy ydx xy 解：0=+-xydx xdy ydx x d x y x d y y d x -=-2 得到c x y x d +-=??? ? ??2 21

即 c x y x =+2 2 1 另外0=y 也是方程的解。 8. 32 x y x y dx dy += 解：令 u x y = 则： 21u x u dx du x u dx dy +=+= 即2 1u x dx du x = 得到22x dx u du = 故c x u +-=-11 即 21 1x x c y += 另外0=y 也是方程的解。 10． 2 1?? ? ??+=dx dy dx dy x 解：令 p dx dy = 即p p x 2 1+= 而 p dx dy =故两边积分得到 c p p y +-=ln 2 12 因此原方程的解为p p x 21+=，c p p y +-=ln 212 。 12.x y xe dx dy e =?? ? ??+-1 解： y x xe dx dy +=+1

常微分方程教案(王高雄)第二章

第二章目录 内容提要及其它 (1) 第二章一阶微分方程的初等解法（初等积分） (2) 第一节变量分离方程与变量变换 (2) 一、变量分离方程 (2) 二、可化为变量分离方程的类型 (6) 1、齐次方程 (6) 2、可化为变量分离方程 (7) 三、应用例题选讲 (10) 第二节线性方程与常数变易法 (11) 第三节恰当方程与积分因子 (15) 一、恰当方程 (15) 二、积分因子 (20) 第四节一阶隐含方程与参数表示 (23) 一、可以解出y（或x）的方程 (24) 二、不显含y（或x）的方程 (25) 本章小结及其它 (27)

内容提要及其它 授课题目 （章、节） 第二章：一阶微分方程的初等解法 教材及主要参考书（注明页数）教材：常微分方程（第三版），王高雄等，高等教育出版社，2006年,p30-74 主要参考书： [1]常微分方程，东北师范大学微分方程教研室编，高等教育出版社，2005， p1-70 [2]常微分方程教程，丁同仁等编，高等教育出版社，1991，p1-20 [3]偏微分方程数值解法（第2版），陆金甫关治，清华大学出版社，2004， p1-12 [4]常微分方程习题解，庄万主编，山东科学技术出版社，2003，p28-169 [5]微分方程模型与混沌，王树禾编著，中国科学技术大学出版社，1999， p15-158 [6]差分方程和常微分方程，阮炯编著，复旦大学出版社，2002，p38-124 目的与要求： 掌握变量分离方程、齐次方程、线性方程、伯努利方程和恰当方程的解法．理解变量变换思想方法和积分因子方法，并能应用于求解一些特殊的常微分方程．掌握四类典型的一阶隐方程的解法． 能熟练求解变量分离方程、齐次方程、线性方程、伯努利方程、恰当方程和四类典型的一阶隐方程．领会变量变换思想方法和积分因子方法，并能应用于求解一些特殊的常微分方程． 教学内容与时间安排、教学方法、教学手段： 教学内容： 第1节变量分离方程与变量变换； 第2节线性方程与常数变易法； 第3节恰当方程与积分因子； 第4节一阶隐方程与参数表示：可以解出（或 y x）的方程、不显含（或 y x）的方程．时间安排：8学时 教学方法：讲解方法 教学手段：传统教学方法与多媒体教学相结合。 教学重点分析： 熟悉各种类型方程的初等解法，并且能正确而又敏捷地判断方程的类型，从而用初等方法求解。 教学难点分析： 本章的教学难点是判断微分方程的类型，以及方程的转化（即把能转化为用初等方法求解的方程）。

§5.2 常系数线性微分方程组 常微分方程课件 高教社 王高雄教材配套ppt

§5.2 常系数线性微分方程组 d d x Ax t

矩阵指数exp At 矩阵指数有性质(1) 证0exp ! 2!! k m A k A A A e A E A k m ∞=≡==+++ ++∑0exp ! k k At k A t e At k ∞=≡=∑ ! ! ! k k k k k k A t A c A t k k k ≤ ≤ ()0 ! k k A c k ∞ =∑ !k k k A t k ∞ =∑

矩阵指数性质(2) (2) 矩阵A 、B 可交换，即AB=BA 时有 exp(A+B )=exp A ·exp B ； 证000()exp()!!()!k l k l k k k l A B A B A B k l k l -∞ ∞===?? ++==?? -?? ∑∑∑0000exp exp !!!()!i j l k l k i j k l A A A B A B i j l k l -∞ ∞∞====?? ?=?=??? -?? ∑∑∑∑

矩阵指数性质(3)(4) (3)(exp A )-1存在且(exp A )-1=exp(-A )； 证(4) 如T 为非奇异矩阵，即det T ≠0，则exp(T -1AT )=T -1(exp A )T 。证exp exp()exp(())exp0A A A A E ?-=+-==()111 11 111 10()exp()!!exp !!k k k k k k k k T AT T A T T AT E E k k A A E T T T T T A T k k --∞ ∞-==∞∞---===+=+????=+== ? ? ? ????? ∑∑ ∑∑

常微分方程课后答案(第三版)王高雄

习题2.2 求下列方程的解。 1．dx dy =x y sin + 解： y=e ?dx (?x sin e ?-dx c dx +) =e x [- 2 1e x -(x x cos sin +)+c] =c e x -21 (x x cos sin +)是原方程的解。 2．dt dx +3x=e t 2 解：原方程可化为： dt dx =-3x+e t 2 所以：x=e ?-dt 3 (?e t 2 e -? -dt 3c dt +) =e t 3- (5 1e t 5+c) =c e t 3-+5 1e t 2 是原方程的解。 3．dt ds =-s t cos +21t 2sin 解：s=e ?-tdt cos (t 2sin 2 1?e dt dt ?3c + ) =e t sin -(?+c dt te t t sin cos sin ) = e t sin -(c e te t t +-sin sin sin ) =1sin sin -+-t ce t 是原方程的解。 4． dx dy n x x e y n x =- ， n 为常数. 解：原方程可化为：dx dy n x x e y n x += )(c dx e x e e y dx x n n x dx x n +??=?- )(c e x x n += 是原方程的解.

5． dx dy +1212--y x x =0 解：原方程可化为：dx dy =-1212+-y x x ?=-dx x x e y 1 2(c dx e dx x x +?-221) )21(ln 2+=x e )(1 ln 2?+--c dx e x x =)1(1 2 x ce x + 是原方程的解. 6． dx dy 234xy x x += 解：dx dy 234xy x x += =23y x +x y 令 x y u = 则 ux y = dx dy =u dx du x + 因此：dx du x u +=2u x 21u dx du = dx du u =2 c x u +=33 1 c x x u +=-33 （*） 将x y u =带入 （*）中 得：3433cx x y =-是原方程的解.

常微分方程王高雄第三版答案

习题2.2 求下列方程的解 1． dx dy =x y sin + 解： y=e ?dx (?x sin e ?-dx c dx +) =e x [- 21 e x -(x x cos sin +)+c] =c e x -2 1 (x x cos sin +)是原方程的解。 2． dt dx +3x=e t 2 解：原方程可化为： dt dx =-3x+e t 2 所以：x=e ? -dt 3 (?e t 2 e -?-dt 3c dt +) =e t 3- (5 1 e t 5+c) =c e t 3-+5 1 e t 2 是原方程的解。 3． dt ds =-s t cos + 21t 2sin 解：s=e ? -tdt cos (t 2sin 2 1 ?e dt dt ? 3c + ) =e t sin -(?+c dt te t t sin cos sin ) = e t sin -(c e te t t +-sin sin sin ) =1sin sin -+-t ce t 是原方程的解。 4． dx dy n x x e y n x =- ， n 为常数. 解：原方程可化为： dx dy n x x e y n x += )(c dx e x e e y dx x n n x dx x n +??=?- )(c e x x n += 是原方程的解.

5． dx dy + 1212 --y x x =0 解：原方程可化为： dx dy =-1212 +-y x x ? =-dx x x e y 2 1 2(c dx e dx x x +? -2 21) ) 2 1(ln 2 + =x e )(1ln 2 ?+- -c dx e x x =)1(1 2 x ce x + 是原方程的解. 6． dx dy 2 3 4xy x x += 解： dx dy 2 3 4 xy x x += =2 3y x + x y 令 x y u = 则 ux y = dx dy =u dx du x + 因此：dx du x u += 2 u x 2 1u dx du = dx du u =2 c x u +=3 31 c x x u +=-33 （*） 将 x y u =带入 （*）中 得：3 4 3 3cx x y =-是原方程的解.

常微分方程(第三版)(王高雄周之铭朱思铭)高等教育出版社课后答案

常微分方程习题答案 2.1 1.xy dx dy 2=,并求满足初始条件：x=0,y=1的特解. 解：对原式进行变量分离得 。 故它的特解为代入得 把即两边同时积分得：e e x x y c y x x c y c y xdx dy y 2 2 ,11,0,ln ,21 2 =====+== , 0)1(.22 =++dy x dx y 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解. 解：对原式进行变量分离得： 。 故特解是 时，代入式子得。当时显然也是原方程的解当即时，两边同时积分得；当x y c y x y x c y c y x y dy dx x y ++=====++=+=+≠=+- 1ln 11 ,11,001ln 1,11ln 0,1112 3 y xy dx dy x y 32 1++ = 解：原式可化为： x x y x x y x y x y y x y c c c c x dx x dy y y x y dx dy 2 2 2 2 2 2 2 2 3 22 3 2 )1(1)1)(1(),0(ln 1ln 21ln 1ln 2 1 1 1,0111=++ =++ ≠++-=+ +=+≠+ ? + =+） 故原方程的解为（即两边积分得故分离变量得显然 .0;0;ln ,ln ,ln ln 0 110000 )1()1(4===-==-+=-++=-=+≠===-++x y c y x xy c y x xy c y y x x dy y y dx x x xy x y xdy y ydx x 故原方程的解为即两边积分时，变量分离是方程的解，当或解：由：

第四章 高阶微分方程 常微分方程课件 高教社 王高雄教材配套ppt

第四章高阶微分方程 ?§4.1 线性微分方程的一般理论 ?§4.2 常系数线性方程的解法 ?§4.3 高阶方程的降阶和幂级数解法

§4.1 线性微分方程的一般理论 ?基本概念 ?齐次线性方程基本性质 ?非齐次线性方程基本性质

基本概念n 阶线性微分方程 ? n 阶非齐次线性微分方程(非齐线性方程) ? 当f (t )=0时称为n 阶齐次线性微分方程(齐线性方程) 1 111d d d ()()()() d d d n n n n n n x x x a t a t a t x f t t t t ---++++=1111d d d ()()()0 d d d n n n n n n x x x a t a t a t x t t t ---++++=

基本概念伏朗斯基行列式 ? 设函数x i (t )(i =1,…,k )在区间a ≤x ≤b 可微k -1次 ? 伏朗斯基行列式 12' '' 1212(1)(1)(1) 12() () () () () () ()[(),(),,()]()() () k k k k k k k x t x t x t x t x t x t W t W x t x t x t x t x t x t ---= =

基本概念线性相关 ? 线性相关：对定义在区间a ≤t ≤b 上的函数x i (t )(i =1,…,k ),如存在不全为零的常数c i (i =1,…,k )，使得在整个区间a ≤t ≤b 上恒成立 ? 不是线性相关的函数x i (t )(i =1,…,k )称为在所给区间上线性无关。 ?例函数cos(t )和sin(t )在任何区间上均线性无关；?而函数cos 2(t )和sin 2(t )-1在任何区间上均线性相关。? 函数1,t,t 2,…,t n 在任何区间上均线性无关，因恒等式 当且仅当所有c i=0(i =0,1,…,n )时才成立。 1122()()()0 k k c x t c x t c x t +++≡1122()()()0 n n c x t c x t c x t +++≡

常微分方程王高雄第三版答案3.1

习题3.1 1 求方程dx dy =x+y 2通过点(0,0)的第三次近似解； 解： 取0)(0=x ? 20020012 1)()(x xdx dx y x y x x x ==++=??? 522200210220 121])21([])([)(x x dx x x dx x x y x x x +=+=++=???? dx x x x y x x ])20 121([)(252003+++=?? = 118524400 1160120121x x x x +++ 2 求方程dx dy =x-y 2通过点(1,0)的第三次近似解； 解： 令0)(0=x ? 则 20020012 1)()(x xdx dx y x y x x x ==-+=??? 522200210220 121])21([])([)(x x dx x x dx x x y x x x -=-=-+=???? dx x x x y x x ])20 121([)(252003--+=?? =118524400 1160120121x x x x -+- 3 题 求初值问题： ?????=--=0 )1(22y y x dx dy R ：1+x ≤1，y ≤1 的解的存在区间，并求解第二次近似解，给出在解的存在空间的误差估计； 解： 因为 M=max{22y x -}=4 则h=min(a,M b )=4 1 则解的存在区间为0x x -=)1(--x =1+x ≤4 1 令 )(0X ψ=0 ; )(1x ψ=y 0+?-x x x 0)0(2dx=31x 3+31;

)(2x ψ =y 0+])3131([2132?-+-x x x dx=31x 3-9x -184x -637x +4211 又 y y x f ??),(2≤=L 则：误差估计为：)()(2x x ψ-ψ≤32 2 )12(*h L M +=2411 4 题 讨论方程：31 23y dx dy =在怎样的区域中满足解的存在唯一性定理的条件， 并求通过点（0，0）的一切解； 解：因为y y x f ??),(=3221-y 在y 0≠上存在且连续； 而312 3y 在y 0 σ≥上连续 由 3123y dx dy =有：y =（x+c ）23 又 因为y(0)=0 所以：y =x 2 3 另外 y=0也是方程的解； 故 方程的解为：y =?????≥00023 x x x 或 y=0; 6题 证明格朗瓦耳不等式： 设K 为非负整数，f(t)和g(t)为区间βα≤≤t 上的连续非负函数，

§3.4数值解常微分方程课件高教社王高雄教材配套ppt(精)

§3.4 数值解 00d (,),()d y f x y y x y x ==

欧拉方法 ?欧拉方法00 d (,),()d y f x y y x y x ==10(,),.n n n n n y y h f x y x x n h +=+?=+?21()()()'()()n n n n y x y x h y x h y x O h +=+=+?+21()()(,)()n n n n y x y x h f x y O h +=+?+

改进的欧拉方法 23()'()''()(),228n n n n h h h y x y x y x y x O h ??+=+?+?+ ???1111(,),((,)(,))2n n n n n n n n n n h y y h f x y y y f x y f x y ++++=+?=++33111()()()()().2n n n n n h y x y x f f O h y O h +++=++?+=+23 1111()'()''()(),228n n n n h h h y x y x y x y x O h ++++??-=-?+?+ ???1''()''()''()'''(). n n n y x y x h y x hy η+=+=+

梯形公式 1 1111((,)(,))d 2 n n x n n n n n n x y y f x y f x y s ++++≈++?0()(,())d x x y x f x y x x =?11(,())d n n x n n x y y f s y s s ++=+?11111((,)(,))()2 n n n n n n n n y y f x y f x y x x ++++≈++-

常微分方程(第三版)王高雄著课后习题答案.doc

\ 习题 1． dx dy =2xy,并满足初始条件：x=0,y=1的特解。 解： y dy =2xdx 两边积分有：ln|y|=x 2+c y=e 2 x +e c =cex 2 另外y=0也是原方程的解，c=0时，y=0 原方程的通解为y= cex 2,x=0 y=1时 c=1 特解为y= e 2 x . 2. y 2 dx+(x+1)dy=0 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解。 & 解：y 2 dx=-(x+1)dy 2y dy dy=-1 1+x dx 两边积分: - y 1 =-ln|x+1|+ln|c| y=|)1(|ln 1+x c 另外y=0,x=-1也是原方程的解 x=0,y=1时 c=e 特解：y= | )1(|ln 1 +x c 3．dx dy =y x xy y 321++ 解：原方程为：dx dy =y y 21+3 1 x x + y y 21+dy=3 1 x x +dx 两边积分：x(1+x 2)(1+y 2)=cx 2 、 4. (1+x)ydx+(1-y)xdy=0 解：原方程为： y y -1dy=-x x 1 +dx 两边积分：ln|xy|+x-y=c 另外 x=0,y=0也是原方程的解。 5．（y+x ）dy+(x-y)dx=0

解：原方程为： dx dy =-y x y x +- { 令 x y =u 则dx dy =u+x dx du 代入有： -1 12++u u du=x 1dx ln(u 2+1)x 2=c-2arctgu 即 ln(y 2+x 2)=c-2arctg 2x y . 6. x dx dy -y+2 2y x -=0 解：原方程为： dx dy =x y +x x | |-2)(1x y - 则令 x y =u dx dy =u+ x dx du 2 11u - du=sgnx x 1 dx } arcsin x y =sgnx ln|x|+c 7. tgydx-ctgxdy=0 解:原方程为： tgy dy =ctgx dx 两边积分：ln|siny|=-ln|cosx|-ln|c| siny= x c cos 1=x c cos 另外y=0也是原方程的解，而c=0时，y=0. 所以原方程的通解为sinycosx=c. 8 dx dy +y e x y 32 +=0 解：原方程为：dx dy =y e y 2 e x 3 ` 2 e x 3-3e 2 y -=c. (lnx-lny)dy-ydx=0

2019年安徽大学[数学科学学院]F39近世代数与常微分方程考研复试精品资料

2019年安徽大学[数学科学学院]F39近世代数与常微分方程考研复试精品资料 说明：本套考研复试资料由本机构多位高分研究生潜心整理编写，2019年考研复试首选资料。 一、考研复试仿真模拟题 1．①本套考研复试资料没有收集到历年复试真题。请参考本套资料复试题库中的复试仿真模拟题。 说明：复试仿真模拟题严格按照本校复试命题风格、复试题型、复试范围和复试高频考点精心整理编写，复试首选资料。 二、2019年安徽大学[数学科学学院]F39近世代数与常微分方程考研复试资料 2．王高雄《常微分方程》考研复试相关资料 （1）王高雄《常微分方程》[笔记+课件+提纲] ①王高雄《常微分方程》考研复试笔记。 说明：本书重点复习笔记，条理清晰，重难点突出，提高复试复习效率，考研复试首选资料。 ②王高雄《常微分方程》本科生课件。 说明：参考书配套授课PPT课件，条理清晰，内容详尽，版权归属制作教师，本项免费赠送。 ③王高雄《常微分方程》复试复习提纲。 说明：该科目复习重难点提纲，提炼出重难点，有的放矢，提高复试复习针对性。 （2）王高雄《常微分方程》考研复试核心题库（含答案） ①安徽大学[数学科学学院]F39近世代数与常微分方程考研复试核心题库之名词解释精编。 ②安徽大学[数学科学学院]F39近世代数与常微分方程考研复试核心题库之解答题精编。 说明：本题库涵盖了该复试科目常考题型及重点题型，根据复试考试要求进行了分类整理汇编并给出了详细答案解析，针对性强，是考研复试首选资料。 （3）王高雄《常微分方程》考研题库[仿真+强化+冲刺] ①2019年安徽大学[数学科学学院]F39近世代数与常微分方程考研复试六套仿真模拟题。 说明：严格按照本科目最新复试题型和难度出题，共六套全仿真模拟试题含答案解析，复试首选。 ②2019年安徽大学[数学科学学院]F39近世代数与常微分方程考研复试终极预测六套题及详细答案解析。说明：复试复习效果检测使用。共六套核心题库，均含有详细答案解析，考研复试复习首选。 ③2019年安徽大学[数学科学学院]F39近世代数与常微分方程考研复试冲刺狂背六套题及详细答案解析。说明：考研复试冲刺预测。共六套冲刺预测试题，均有详细答案解析，最后冲刺首选资料。 三、复试资料全国统一零售价 3．本套考研复试资料包含以上一、二部分（不含教材），全国统一零售价：[￥268.00] 特别说明： ①本套复试资料由本机构编写组按照考研复试大纲、复试真题（回忆）、指定参考书等公开信息整理收集编写，仅供考研复试复习参考，与目标学校及研究生院官方无关，如有侵权、请联系我们将立即处理。 ②复试资料中若含有真题及课件为免费赠送，仅供参考，版权归属学校及制作老师，在此对版权所有者表示感谢，如有异议及不妥，请联系我们，我们将无条件立即处理！资料若有更新，免费赠送电子版。 四、2019年研究生入学考试复试指定/推荐参考书目（资料不包括教材） 4．安徽大学F39近世代数与常微分方程考研复试参考书 王高雄《常微分方程》

常微分方程课后答案(第三版)王高雄

常微分方程课后答案(第三版)王高雄

习题 3.4 (一)、解下列方程，并求奇解（如果存在的话）：。 1、4 22? ? ? ??+=dx dy x dx dy x y 解：令 p dx dy =，则422p x xp y +=， 两边对x 求导，得dx dp p x xp dx dp x p p 3 244222+++= ()02213 =?? ? ? ?++p dx dp x xp 从0213=+xp 得 0≠p 时，2 343,21p y p x -=-=； 从02=+p dx dp x 得 222,c p c y p c x +==， 0≠p 为参数，0≠c 为任意常数. 经检验得331234x p y p ? =-?? ? ?=-?? ，是方程奇解. 2、2 ? ? ? ??-=dx dy y x 解：令 p dx dy =，则2p x y +=， 两边对x 求导，得dx dp p p 21+= p p dx dp 21-=， 解之得 ()c p p x +-+=2 1ln 2， 所以()c p p p y +-++=221ln 2， 且y=x+1也是方程的解，但不是奇解.

3、2 1? ? ? ??++=dx dy dx dy x y 解：这是克莱洛方程，因此它的通解为21c cx y ++=， 从?? ???=+-++=0112 2 c c x c cx y 中消去c, 得到奇解21x y -=. 4、02 =-+?? ? ??y dx dy x dx dy 解：这是克莱洛方程，因此它的通解为 2c cx y +=， 从???=++=0 22 c x c cx y 中消去c, 得到奇解 2 40y x +=. 5、022 =-+?? ? ??y dx dy x dx dy 解：令 p dx dy =，则22p xp y +=， 两边对x 求导，得 dx dp p dx dp x p p 222++= 22 --=x p dp dx ， 解之得 23 2 -+-=cp p x ， 所以 123 1 -+-=cp p y ， 可知此方程没有奇解. 6、012 3 =-?? ? ??-??? ??dx dy y dx dy x 解：原方程可化为2 1?? ? ??- =dx dy dx dy x y ，

§6.3 混沌 常微分方程课件 高教社ppt 王高雄教材配套课件

* §6.3 混沌 ()x a y x y cx xz y z xy bz =-??=--??=-?

Lorenz 方程性质 ? 对称性?z 轴是不变集? 耗散性和吸引性耗散系统保守系统 扩张系统 ()x a y x y cx xz y z xy bz =-??=--??=-?

容积变化率 1d d i i i f U div f U t x α?≡==?∑(1)0x y z a b x y z α???=++=-++

Lorenz 方程轨线的性态0

叉式分支 分支212,31 ,[(1)(1)4(1)]2b a a a c λλ=-=+±+--()x a y x y cx xz y z xy bz =-??=--??=-? ((1),(1),1),((1),(1),1)S b c b c c S b c b c c +-=---=-----

Hopf 分支 Hopf 分支00(3)1111,1a a b a b c a b c c c a b ++<+<>+<<=--、或、其中32(1)()2(1)0 a b b a c ab c λλλ++++++-=