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三角函数和反三角函数图像性质、知识点总结

三角函数和反三角函数图像性质、知识点总结
三角函数和反三角函数图像性质、知识点总结

三角函数 1. 特殊锐角(0°,30°,45°,60°,90°)的三角函数值

2.

角度制与弧度制

设扇形的弧长为l ,圆心角为a (rad ),半径为R ,面积为S 角a 的弧度数公式 2π×(a /360°)

角度与弧度的换算

①360°=2π rad ②1°=π/180rad

③1 rad=180°/π=57° 18′≈57.3°

弧长公式 l a R =

扇形的面积公式 12

s lR =

3.

诱导公式:(奇变偶不变,符号看象限)

所谓奇偶指是整数k 的奇偶性(k ·π/2+a )

所谓符号看象限是看原函数的象限(将a 看做锐角,k ·π/2+a 之和所在象限) 注:

①:诱导公式应用原则:负化正、大化小,化到锐角为终了

4. 三角函数的图像和性质:(其中z k ∈)

①:

三角函数

x y sin = x y cos =

x y tan = cot y x

=

函 数 图 象

定义域 R R 2

x k π

π≠+

x k π

值域 [-1,1]

[-1,1]

R

R

周期 2π

π

π

奇偶性 奇

非奇非偶

单 调 性 2,222k k ππππ?

?-+↑????2,222k k ππππ??-+↑????

[]2,2k k πππ-↑ []2,2k k πππ+↓

,22k k ππππ?

?-+↑????

[],k k πππ+↓

对 称 性 :2

x k π

π=+

对称轴

对称中心:(,0)

k π

:x k π

=对称轴

:

对称中心(+

,0)

2k π

π

:

对称中心(

,0)2

k π

零值点 π

k x =

2

π

π+

=k x

πk x =

2

π

π+

=k x

最 值 点

2

π

π+

=k x ,1max

=y

2

π

π-

=k x ,1m in

-=y

πk x 2=,1max =y ;

2y k ππ=+,1m in -=y

②:函数)sin(?ω+=x A y 的图像与性质:

(1) 函数)sin(?ω+=x A y 和)cos(?ω+=x A y 的周期都是ω

π2=T

(2) 函数)tan(?ω+=x A y 和)cot(?ω+=x A y 的周期都是ω

π=T

5.三角函数尺度变换

sin y x =经过变换变为sin y x ??=+A ()

的步骤(先平移后伸缩): 1

sin sin sin sin y x y x y x y x ?

?

?

?????=???????→=?????→=+???????→=+横坐标变为原来的倍

向左或向右纵坐标不变

平移个单位

纵坐标变为原来的A 倍

横坐标不变

()A ()

6.三角函数的对称变换:

① )()(x f y x f y -=→=) 将)(x f y =图像绕y 轴翻折180°(整体翻折) (对三角函数来说:图像关于x 轴对称)

② )()(x f y x f y -=→=将)(x f y =图像绕x 轴翻折180°(整体翻折) (对三角函数来说:图像关于y 轴对称)

③ )()(x f y x f y =→= 将)(x f y =图像在y 轴右侧保留,并把右侧图像绕y 轴翻折到左侧(偶函数局部翻折)

④ )()(x f y x f y =→=保留)(x f y =在x 轴上方图像,x 轴下方图像绕x 轴翻折上去(局部翻动)

7.反三角函数的图像与性质:

名称y=arsinx y=arccosx y=arctanx y=arccotx

定义y=sinx

((,))

22

x

ππ

∈-的

反函数,叫做反

正弦函数

y=cosx

((0,))

∈的反

函数,叫做反余

弦函数

y=tanx

((,))

22

x

ππ

∈-的反

函数,叫做反正切

函数

y=cotx((0,))

的反函数,叫做反

余切函数

性质图像

定义域[-1,1][-1,1](-∞,+∞)(-∞,+∞)

值域[-

2

π,

2

π]

[0,π](-

2

π,

2

π) (0,π)

单调性[]

1,1

-增函数[]1,1

-减函数()

,

-∞+∞增函数()

,

-∞+∞减函数奇偶性arcsin()arcsin

θθ

-=-

arccos()arccos

θπθ

-=-

arctan()arctan

θθ

-=-

arccot()arccot

θπθ

-=-

周期性非周期函数非周期函数非周期函数非周期函数

7.三角函数公式:

(1)倒数关系: (2)平方关系:

tan cot 1

sin csc 1cos sec 1αααααα?=?=?= 22

2

2

22

sin cos 1

1tan sec 1cot csc αααααα

+=+=+=

(3)三角和与差公式:

sin()sin cos cos sin cos()cos cos sin sin tan tan tan()1tan tan αβαβαβ

αβαβαβαβ

αβαβ

+=++=-++=

- sin()sin cos cos sin cos()cos cos sin sin tan tan tan()1tan tan αβαβαβ

αβαβαβαβαβαβ-=--=+--=+

(4)二倍角公式:

()22222

sin 22sin cos cos 2cos sin 2cos 112sin 2tan tan 21tan ααα

αααααααα

==-=-=-=-升幂公式 22

2

21cos 2sin 1cos 22sin 2(1cos 21cos 22cos cos 2αααααααα-?

=

??-=?????++=???=??降幂公式) (5)三角函数的和差化积公式 (6)三角函数的积化和差公式

sin sin 2sin cos

22sin sin 2cos sin

22cos cos 2cos cos

22cos cos 2sin sin

22

αβαβ

αβαβαβ

αβαβαβ

αβαβαβ

αβ+-+=?+--=?+-+=?+--=-? [][]

[]

[]

1

sin cos sin()sin()21

cos sin sin()sin()2

1

cos cos cos()cos()21

sin sin cos()cos()2

αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ?=

++-?=+--?=++-?=-+-- 六边形记忆法:图形结构“上弦中切下割,左正右余中间1”;记忆方法“对角线上两个函数的积为1;阴影三角形上两顶点的三角函数值的平方和等于下顶点的三角函数值的平方;任意一顶点的三角函数值等于相邻两个顶点的三角函数值的乘积。”

8.正、余弦定理: ①正弦定理: 在ABC ?中有:

2sin sin sin a b c

R A B C

===(R 为ABC ?外接圆半径) 2sin 2sin 2sin a R A b R B c R C =??=??=? ? sin 2sin 2sin 2a A R b B R c C R ?

=??

?

=??

?

=??

面积公式:1

11sin sin sin 222

ABC S abs C ac B bc A ?=== ②余弦定理: 在三角形ABC ?中有:

222222

2222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c a b ab C

?=+-?=+-??=+-? ? 222

222222

cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac a b c C ab ?+-=??

+-?=

???+-=

??

必修4三角函数所有知识点归纳归纳

《三角函数》【知识网络】 一、任意角的概念与弧度制 1、将沿x轴正向的射线,围绕原点旋转所形成的图形称作角.

逆时针旋转为正角,顺时针旋转为负角,不旋转为零角 2、同终边的角可表示为 {}()360k k Z ααβ? =+∈ x 轴上角:{}()180k k Z αα=∈ y 轴上角:{}()90180k k Z αα=+∈ 3、第一象限角:{}()0360 90360k k k Z αα? ?+<<+∈ 第二象限角:{}()90360180360k k k Z αα??+<<+∈ 第三象限角:{}()180360270360k k k Z αα? ?+<<+∈ 第四象限角: {}()270 360360360k k k Z αα??+<<+∈ 4、区分第一象限角、锐角以及小于90的角 第一象限角:{}()0360 90360k k k Z αα? ?+<<+∈ 锐角: {}090αα<< 小于90的角:{}90αα< 5、若α为第二象限角,那么 2 α 为第几象限角? ππαππ k k 222 +≤≤+ ππ α ππ k k +≤ ≤ +2 2 4 ,24,0παπ≤≤=k ,2345,1παπ≤≤=k 所以2 α 在第一、三象限 6、弧度制:弧长等于半径时,所对的圆心角为1弧度的圆心角,记作1rad . 7、角度与弧度的转化:01745.0180 1≈=?π 815730.571801'?=?≈? = π 8、角度与弧度对应表: 9、弧长与面积计算公式

弧长:l R α=?;面积:211 22 S l R R α=?=?,注意:这里的α均为弧度制. 二、任意角的三角函数 1、正弦:sin y r α=;余弦cos x r α=;正切tan y x α= 其中(),x y 为角α 终边上任意点坐标,r = 2、三角函数值对应表: 3、三角函数在各象限中的符号 口诀:一全正,二正弦,三正切,四余弦.(简记为“全s t c ”)

高中文科数学三角函数知识点总结

三角函数知识点 一.考纲要求 考试内容3 要求层次 A B C 三角函数、 三角恒等 变换、 解三角形 三角函数 任意角的概念和弧度制 √ △ 弧度与角度的互化◇ √ 任意角的正弦、余弦、正切的定义 √ 用单位圆中的三角函数线表示正弦、余弦和正切 √ 诱导公式 √ △ 同角三角函数的基本关系式 √ 周期函数的定义、三角函数的周期性 √ 函数sin y x =,cos y x =,tan y x =的图象 和性质 √ 函数sin()y A x ω?=+的图象 √ 用三角函数解决一些简单的实际问题◇ √ 三角 恒等 变换 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 √ 二倍角的正弦、余弦、正切公式 √ 简单的恒等变换 √ 解三角形 正弦定理、余弦定理 √ △ 解三角形 √ △ 二.知识点 1.角度制与弧度制的互化:,23600π= ,1800π= 1rad =π 180°≈57.30°=57°18ˊ. 1°= 180 π≈0.01745(rad ) 2.弧长及扇形面积公式 弧长公式:r l .α= 扇形面积公式:S=r l .2 1 α----是圆心角且为弧度制。 r-----是扇形半径 3.任意角的三角函数 设α是一个任意角,它的终边上一点p (x,y ), r=22y x +

(1)正弦sin α= r y 余弦cos α=r x 正切tan α=x y (2)各象限的符号: sin α cos α tan α 4、三角函数线 正弦线:MP; 余弦线:OM; 正切线: AT. 5.同角三角函数的基本关系: (1)平方关系:sin 2α+ cos 2α=1。 (2)商数关系: ααcos sin =tan α(z k k ∈+≠,2 ππ α) 6.诱导公式:奇变偶不变,符号看象限 ()()1sin 2sin k παα+=,()cos 2cos k παα+=,()()tan 2tan k k παα+=∈Z . ()()2sin sin παα+=-,()cos cos παα+=-,()tan tan παα+=. ()()3sin sin αα-=-,()cos cos αα-=,()tan tan αα-=-. ()()4sin sin παα-=,()cos cos παα-=-,()tan tan παα-=-. ()5sin cos 2π αα??-= ???,cos sin 2παα?? -= ??? . ()6sin cos 2παα??+= ???,cos sin 2παα??+=- ??? . x y +O — — + x y O — + + — + y O — + + — (3) 若 o|cosx| |cosx|>|sinx| |cosx|>|sinx| |sinx|>|cosx| sinx>cosx cosx>sinx 16. 几个重要结论:O O x y x y T M A O P x y

三角和反三角函数图像

三角、反三角函数图像 六个三角函数值在每个象限的符号: sinα·cscα cosα·secα tanα·cotα 三角函数的图像和性质: 1-1y=sinx -3π2 -5π2 -7π2 7π2 5π 2 3π2 π2 -π2 -4π-3π -2π4π 3π 2ππ -π o y x 1-1y=cosx -3π 2 -5π2 -7π 2 7π2 5π2 3π2 π2 -π2 -4π-3π-2π4π 3π 2π π -π o y x y=tanx 3π2 π π2 - 3π2 -π - π2 o y x y=cotx 3π2 π π2 2π -π - π2 o y x

函数 y=sinx y=cosx y=tanx y=cotx 定义域R R {x|x∈R且x≠kπ+ 2 π ,k∈Z} {x|x∈R且x≠kπ,k∈Z}值域 [-1,1]x=2kπ+ 2 π 时y max=1 x=2kπ- 2 π 时y min=-1 [-1,1] x=2kπ时y max=1 x=2kπ+π时y min=-1 R 无最大值 无最小值 R 无最大值 无最小值 周期性周期为2π周期为2π周期为π周期为π 奇偶性奇函数偶函数奇函数奇函数 单调性 在[2kπ- 2 π ,2kπ+ 2 π ]上都是增函数;在 [2kπ+ 2 π ,2kπ+ 3 2 π]上都是减函数(k∈Z) 在[2kπ-π,2kπ]上都是增函数; 在[2kπ,2kπ+π]上都是减函 数(k∈Z) 在(kπ- 2 π ,kπ+ 2 π )内都是增函数 (k∈Z) 在(kπ,kπ+π)内都是减函数 (k∈Z)

反三角函数及性质

y=arcs inx. 函数y=sinx , x€ [- n /2 , n /2]的反函数叫做反正弦函数,记作x=arcsiny. 习惯上用x表示自变量,用y表示函数,所以反正弦函数写成y=arcsinx.的形式 请注意正弦函数y=sinx,x € R因为在整个定义域上没有一一对应关系,所以不存在反函数。 反正弦函数只对这样一个函数y=sinx , x€ [- n /2 , n /2]成立,这里截取的是正弦函数靠近原点的一个单调区间,叫做正弦函数的主值区间。 理解函数y=arcsinx中,y表示的是一个弧度制的角,自变量x是一个正弦值。这点必须牢记 性质 根据反函数的性质,易得函数y=arcsinx的,定义域[-1 , 1],值域[-n /2 , n /2],是单调递增函数 图像关于原点对称,是奇函数 所以有arcsin(-x)=-arcsinx ,注意x的取值范围:x € [-1 , 1] 导函数: arcsinx = (土匚(-1,1)) vl-x2,导函数不能取|x|=1 * / fim (arcsinx) =-oo lim {arcsinx) = +oo - . ,:T 1 反正弦恒等式 sin(arcsinx)=x , x € [-1 , 1] (arcsinx)'=1/ V (1-x A2) arcsin x=-arcs in(-x) arcs in ( sin x)=x , x 属于[0, n /2]

arccosx 反三角函数中的反余弦。意思为:余弦的反函数,函数为y=arccosx,函数图像如右下图。 就是已知余弦数值,反求角度,如cos(a) = b,贝U arccos(b) = a ; 它的值是以弧度表达的角度。定义域:【-1 , 1】。 由于是多值函数,往往取它的单值支,值域为【0, n ],记作y=arccosx,我们称它叫 做反三角函数中的反余弦函数的主值, arcta n x 反三角函数中的反正切。意思为:tan(a) = b;等价于arctan(b) = a fflil 定义域:{x lx € R},值域:y € (- n/2,冗/2) 计算性质: tan( arcta na)=a arcta n(-x)=-arcta nx arctan A + arctan B=arcta n(A+B)/(1-AB) arctan A - arctan B=arcta n(A-B)/(1+AB) 反三角函数在无穷小替换公式中的应用:当x T 0时,arctanx~x

高中数学三角函数知识点归纳总结

《三角函数》 【知识网络】 一、任意角的概念与弧度制 1、将沿x 轴正向的射线,围绕原点旋转所形成的图形称作角. 逆时针旋转为正角,顺时针旋转为负角,不旋转为零角 2、同终边的角可表示为 {}()360k k Z ααβ? =+∈g x 轴上角:{}()180k k Z αα=∈o g y 轴上角:{}()90180k k Z αα=+∈o o g 3、第一象限角:{}()036090360k k k Z αα? ?+<<+∈o g g 第二象限角:{}()90 360180360k k k Z αα??+<<+∈o o g g 第三象限角:{}()180360270360k k k Z αα? ?+<<+∈o o g g 第四象限角: {}()270 360360360k k k Z αα??+<<+∈o o g g 4、区分第一象限角、锐角以及小于90o 的角 第一象限角:{}()0360 90360k k k Z αα? ?+<<+∈o g g 锐角: {}090αα<

,2 4 , 0π απ ≤ ≤=k ,2 345, 1παπ≤≤=k 所以 2 α 在第一、三象限 6、弧度制:弧长等于半径时,所对的圆心角为1弧度的圆心角,记作1rad . 7、角度与弧度的转化:01745.0180 1≈=?π 815730.571801'?=?≈? = π 9、弧长与面积计算公式 弧长:l R α=?;面积:211 22 S l R R α=?=?,注意:这里的α均为弧度制. 二、任意角的三角函数 1、正弦:sin y r α=;余弦cos x r α=;正切tan y x α= 其中(),x y 为角α终边上任意点坐标,r = 2、三角函数值对应表: 3、三角函数在各象限中的符号

三角、反三角函数图像与性质与三角公式

三角、反三角函数图像 ( 附:资料全部来自网络, 仅对排版做了改动, 以方便打印及翻阅, 其中可能出现错误,阅者请自行注意。 ) 1. 六个三角函数值在每个象限的符号: sin α· csc α cos α· sec α tan α· cot α 2. 三角函数的图像和性质: y=sinx y -5 - 2 1 2 -7 o -4 -3 -2 -3 - 2 -1 2 3 7 2 5 2 2 3 4 2 2 x y=cosx y -5 - 2 1 -32 - -4 -7 -2 -3 o 2 2 -1 y y=tanx 3 3 7 2 2 2 5 4 2 2 y y=cotx x - 3 - - 2 2 o 3 2 2 x - - 2 o 3 2 x 2 2 函数 y=sinx y=cosx y=tanx { x | x ∈ R 且 定义域 R R x ≠ k π+,k ∈ Z } [ -1,1] 2 [ -1,1]x=2k π+ 时 x=2k π时 y max =1 2 R y max =1 x=2k π +π时 值域 无最大值 y min =-1 无最小值 x=2k π-时 y min =-1 2 y=cotx { x | x ∈ R 且 x ≠ k π∈,kZ } R 无最大值 无最小值 周期性 周期为 2π 周期为 2π 周期为 π 周期为 π 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 奇函数 1 / 5

在[ 2kπ-,2kπ+ ]在[ 2kπ-π,2kπ] 在 (k π- , 在 (k π,kπ+π)内上都是增函数;都是减函数 22 在[ 2kπ,2kπ+π]2 (k ∈ Z) 上都是增函数;在 单调性 2上都是减函数k π+ )内都是增 [ 2kπ+,2k(k ∈ Z)2 π+ π] 函数 (k ∈ Z) 23 上都是减函数(k ∈Z) 3.反三角函数的图像和性质: arcsinx arccosx arctanx 名称反正弦函数 y=sinx(x ∈ 〔- ,〕的反函 2 2 定义 数,叫做反正弦函 数,记作 x=arsiny arcsinx 表示属于 理解 [ -, ] 22 x 的 且正弦值等于 角 定义域[ -1, 1] 值域[ -,] 性 22 单调性 在〔 -1, 1〕上是增 质函数 奇偶性 arcsin(-x)=-arcsinx 周期性都不是周期函数反余弦函数 y=cosx(x ∈ 〔0, π〕)的反 函数,叫做反余 弦函数,记作 x=arccosy arccosx 表示属于 [ 0,π],且 余弦值等于 x 的 角 [-1, 1] [0,π] 在[ -1,1]上 是减函数 arccos(- x)= π- ar ccosx arccotx 反正切函数反余切函数 y=tanx(x ∈ (-, y=cotx(x ∈(0, π )) 的反函数,叫做 2 反余切函数,记 2 )的反函数,叫作 x=arccoty 做反正切函数,记作 x=arctany arctanx表示属于arccotx 表示属于 (-,),且正切值 (0,π)且余切值等 于 x 的角 22 等于 x 的角 (-∞,+∞)(-∞, +∞) (-,)(0,π) 2 2 在(-∞, +∞)上是增在(-∞,+∞)上是 数减函数 arctan(-x)=-arctanx arccot(- x)= π- arc cotx 2/ 5

初中三角函数知识点总结(中考复习)

初中三角函数知识点总结(中考复习)

锐角三角函数知识点总结 1、勾股定理:直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。 2、如下图,在Rt△ABC中,∠C为直角,则∠A的锐角三角函数为(∠A可换成∠B): 3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值;任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。 4、任意锐角的正切值等于它的余角的余切值;任意锐角的余 A 90 B 90 ∠ - ? = ∠ ? = ∠ + ∠ 得 由B A C

切值等于它的余角的正切值。 5、0°、30°、45°、60°、90°特殊角的三角函数值(重要) 6、正弦、余弦的增减性: 当0°≤α≤90°时,sin α随α的增大而增大,cos α随α的增大而减小。 7、正切、余切的增减性: 当0°<α<90°时,tan α随α的增大而增大,cot α随α的增大而减小。 1、解直角三角形的定义:已知边和角(两个,其中必有一边)→所有未知的边和角。 依据:①边的关系:2 2 2 c b a =+;②角的关系:A+B=90°;③边角关系:三角函数的定义。(注意:尽量避免使用中间数据和除法) 2、应用举例:

(1)仰角:视线在水平线上方的角;俯角:视线在水平线下方的角。 仰角铅垂线 水平线 视线 视线俯角 (2)坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度 (坡比)。用字 母i 表示,即h i l =。坡度一般写成1:m 的形式,如1:5i =等。 把坡面与水平面的夹角记作α(叫做坡角),那么tan h i l α==。 3、从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角,叫做方位角。如图3,OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是:45°、135°、225°。 4、指北或指南方向线与目标方向 线所成的小于90°的水平角,叫做方向角。如图4,OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是:北偏东30°(东北方向) , 南偏东45°(东南方向), 南偏西60°(西南方向), 北偏西60°(西北方向)。 反比例函数知识点整理 一、 反比例函数的概念 :i h l =h l α

高中数学三角函数知识点总结(珍藏版)

高中数学三角函数知识点总结 1.特殊角的三角函数值: 2.角度制与弧度制的互化: ,23600π= ,1800 π= 1rad =π 180°≈57.30°=57°18ˊ 1°= 180 π≈0.01745(rad ) 3.弧长及扇形面积公式 (1)弧长公式:r l .α= α----是圆心角且为弧度制 (2)扇形面积公式:S=r l .2 1 r-----是扇形半径 4.任意角的三角函数 设α是一个任意角,它的终边上一点p (x,y ), r=22y x + (1)正弦sin α= r y 余弦cos α=r x 正切tan α=x y (2)各象限的符号: 记忆口诀:一全正,二正弦,三两切,四余弦

sin α cos α tan α 5.同角三角函数的基本关系: (1)平方关系:s in 2α+ cos 2α=1 (2)商数关系:ααcos sin =tan α(z k k ∈+≠,2 ππ α) 6.诱导公式: 记忆口诀:把2 k π α±的三角函数化为α的三角函数,概括为:奇变偶不变,符号看象限。 ()()1sin 2sin k παα+=,()cos 2cos k παα+=,()()tan 2tan k k παα+=∈Z . ()()2sin sin παα+=-,()cos cos παα+=-,()tan tan παα+=. ()()3sin sin αα-=-,()cos cos αα-=,()tan tan αα-=-. ()()4sin sin παα-=,()cos cos παα-=-,()tan tan παα-=-. 口诀:函数名称不变,符号看象限. ()5sin cos 2π αα??-= ???,cos sin 2παα?? -= ??? . ()6sin cos 2π αα??+= ???,cos sin 2παα?? +=- ??? . 口诀:正弦与余弦互换,符号看象限. x y O — + + — + y O — + + —

三角函数和反三角函数图像性质、知识点总结

三角函数 1. 特殊锐角(0°,30°,45°,60°,90°)的三角函数值 2. 角度制与弧度制 设扇形的弧长为l ,圆心角为a (rad ),半径为R ,面积为S 角a 的弧度数公式 2π×(a /360°) 角度与弧度的换算 ①360°=2π r ad ②1°=π/180rad ③1 rad=180°/π=57° 18′≈57.3° 弧长公式 l a R = 扇形的面积公式 12 s lR = 3. 诱导公式:(奇变偶不变,符号看象限) 所谓奇偶指是整数k 的奇偶性(k ·π/2+a ) 所谓符号看象限是看原函数的象限(将a 看做锐角,k ·π/2+a 之和所在象限) 注: ①:诱导公式应用原则:负化正、大化小,化到锐角为终了

4. 三角函数的图像和性质:(其中z k ∈) ①: 三角函数 x y sin = x y cos = x y tan = cot y x = 函 数 图 象 定义域 R R 2 x k π π≠+ x k π ≠ 值域 [-1,1] [-1,1] R R 周期 2π 2π π π 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 单 调 性 2,222k k ππππ? ?-+↑????2,222k k ππππ??-+↑???? []2,2k k πππ-↑ []2,2k k πππ+↓ ,22k k ππππ? ?-+↑???? [],k k πππ+↓ 对 称 性 :2 x k π π=+ 对称轴 对称中心:(,0)k π :x k π =对称轴 : 对称中心(+ ,0) 2k π π : 对称中心( ,0)2 k π 零值点 πk x = 2 π π+ =k x πk x = 2 π π+ =k x 最 值 点 2 π π+ =k x ,1max =y 2 π π- =k x ,1min -=y πk x 2=,1max =y ; 2y k ππ=+,1min -=y

高一三角函数知识点梳理总结

高一三角函数知识 §1.1任意角和弧度制 ?? ? ??零角负角:顺时针防线旋转正角:逆时针方向旋转 任意角..1 2.象限角:在直角坐标系中,使角的顶点与原点重合,角的始边与x 轴的非负半轴重合,角的终边在第几象限,就说这个角是第几象限的角。如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何象限。 3.. ①与α(0°≤α<360°)终边相同的角的集合:{} Z k k ∈+?=,360|αββ ②终边在x 轴上的角的集合: {} Z k k ∈?=,180| ββ ③终边在y 轴上的角的集合:{} Z k k ∈+?=,90180| ββ ④终边在坐标轴上的角的集合:{} Z k k ∈?=,90| ββ ⑤终边在y =x 轴上的角的集合:{ } Z k k ∈+?=,45180| ββ ⑥终边在x y -=轴上的角的集合:{} Z k k ∈-?=,45180| ββ ⑦若角α与角β的终边关于x 轴对称,则角α与角β的关系:Z k k ∈-=,βα 360 ⑧若角α与角β的终边关于y 轴对称,则α与角β的关系:Z k k ∈-+=,βα 180360 ⑨若角α与角β的终边在一条直线上,则α与角β的关系:Z k k ∈+=,βα 180 ⑩角α与角β的终边互相垂直,则α与角β的关系:Z k k ∈++=, 90180βα 4. 弧度制:把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做一弧度。360度=2π弧度。若圆心角所对 的弧长为l ,则其弧度数的绝对值|r l = α,其中r 是圆的半径。 5. 弧度与角度互换公式: 1rad =(π 180)°≈57.30° 1°=180 π 注意:正角的弧度数为正数,负角的弧度数为负数,零角的弧度数为零. 6.. 第一象限的角:? ?? ? ??∈+<

三角和反三角函数图像性质总结

反三角函数的图像和性质 yx,arccos yx,arctanyx,arcsin ,1,1,1,1,,,,R 定义域 ,,,,,,,, ,,,,值域 [0,π] ,,,,2222,,,, 在上单调递增在上单调递减 ,1,1,1,1,,,,在R上单调递增单调性 无减区间无减区间无增区间 3奇偶性奇函数非奇非偶函数奇函数 32, 32,,21212,-1 图象 -22468-224682O11 -1,-1-,2-2 -22468-1 -1O2-2 -1 arcsin()arcsin,,,xxarccos()arccos,,,xx,arctan()arctan,,,xx 运算公x,,[1,1]x,,[1,1] xR,式1 运算公,,,, arccos(cos),[0,]xxx,,, arctan(tan),(,)xxx,,,arcsin(sin),[,]xxx,,,2222式2 运算公 sin(arcsin),[1,1]xxx,,,cos(arccos),[1,1]xxx,,,tan(arctan),xxxR,, 式3 , arctancotxarcx,,运算公,2 arcsinarccos,[1,1]xxx,,,,2式4 xR, 三角函数的图像和性质 4 yx,cosy,tanx yx,sin kZ,343 3222 1一个周11(((113,,2,,,期的图-22468,-22468(-4-2246823,,O,2,O2O--12-12-1-1-1 22像 -2-2 -2

-3,,,x|x,k,,k,Z ,定义域 R R ,,2,, [1,1],[1,1], 值域 R 奇偶性奇函数偶函数奇函数 , 2,2,周期 对 ,直线xk,kZ, ,,,称直线,无 xk,,kZ,2 轴对 称对 性称k,,(,0)k,,kZ, 点,kZ, 点(,0)k,(,0)点,kZ, ,22中 心 ,,,,,在上 [2,2]kk,,[2,22]kk,,,,,,,,,上在,上在(,)kk,,,,2222单调性 ,,3,在上,,[2,2]kk,,,,,[2,2]kk,,在上无减区间 22

三角函数知识点总结

高中数学第四章-三角函数 考试内容: 角的概念的推广.弧度制. 任意角的三角函数.单位圆中的三角函数线.同角三角函数的基本关系式.正弦、余弦的诱导公式. 两角和与差的正弦、余弦、正切.二倍角的正弦、余弦、正切. 正弦函数、余弦函数的图像和性质.周期函数.函数y=Asin(ωx+φ)的图像.正切函数的图像和性质.已知三角函数值求角. 正弦定理.余弦定理.斜三角形解法. 考试要求: (1)理解任意角的概念、弧度的意义能正确地进行弧度与角度的换算. (2)掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义;了解余切、正割、余割的定义;掌握同角三角函数的基本关系式;掌握正弦、余弦的诱导公式;了解周期函数与最小正周期的意义. (3)掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式;掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式. (4)能正确运用三角公式,进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明. (5)理解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质,会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数y=Asin(ωx+φ)的简图,理解A.ω、φ的物理意义. (6)会由已知三角函数值求角,并会用符号arcsinx\arc-cosx\arctanx 表示. (7)掌握正弦定理、余弦定理,并能初步运用它们解斜三角形. (8)“同角三角函数基本关系式:sin2α+cos2α=1,sin α/cos α=tan α,tan α?cos α=1”. §04. 三角函数 知识要点 1. ①与α(0°≤α<360°)终边相同的角的集合(角α与角β的终边重合):{} Z k k ∈+?=,360|αββ ②终边在x 轴上的角的集合: { } Z k k ∈?=,180| ββ ③终边在y 轴上的角的集合:{ } Z k k ∈+?=,90180| ββ ④终边在坐标轴上的角的集合:{} Z k k ∈?=,90| ββ ⑤终边在y =x 轴上的角的集合:{} Z k k ∈+?=,45180| ββ ⑥终边在x y -=轴上的角的集合:{} Z k k ∈-?=,45180| ββ ⑦若角α与角β的终边关于x 轴对称,则角α与角β的关系:βα-=k 360 ⑧若角α与角β的终边关于y 轴对称,则角α与角β的关系:βα-+= 180360k ⑨若角α与角β的终边在一条直线上,则角α与角β的关系:βα+=k 180 ⑩角α与角β的终边互相垂直,则角α与角β的关系: 90360±+=βαk 2. 角度与弧度的互换关系:360°=2π 180°=π 1°=0.01745 1=57.30°=57°18′ 注意:正角的弧度数为正数,负角的弧度数为负数,零角的弧度数为零. SIN \COS 1、2、3、4表示第一、二、三、四象限一半所在区域

三角函数知识点归纳

三角函数 一、任意角、弧度制及任意角的三角函数 1.任意角 (1)角的概念的推广 ①按旋转方向不同分为正角、负角、零角. ?? ??? 正角:按逆时针方向旋转形成的角任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角 ②按终边位置不同分为象限角和轴线角. 角α的顶点与原点重合,角的始边与x 轴的非负半轴重合,终边落在第几象限,则称α为第几象限角. 第一象限角的集合为{} 36036090,k k k αα?<

大学高数 函数与反三角函数图像

三角函数公式和图象总结 1.与角α终边相同的角,连同角α在内,都可以表示为S={β|β=α+k ×360,k ∈Z} 2.弧长公式:α?=r l 扇形面积公式lR S 21 = 其中l 是扇形弧长,R 是圆的半径。 3.三角函数定义: sin ,cos ,tan y x y r r x ααα===,其中P (,)x y 是α终边上一点,||r OP = 4.同角三角函数的两个基本关系式 22 sin sin cos 1 tan cos ααααα +== sin sin αsin β tan tan α

sin cos), a x b x x? +=+其中tan b a ?=,?所在的象限与点(,) a b所在的象限一 致。

12.①sin()(0)y A x b A ω?=++>、cos()(0)y A x b A ω?=++>的最小正周期为 || ω,最大值为A+b ,最小值为-A+b. ②tan()(0)y A x b A ω?=++>的最小正周期为|| π ω 13.正弦定理: A a sin = B b sin =C c sin = 2R (R 为三角形外接圆半径) 14.余弦定理:2 2 2 2cos a b c bc A =+- bc a c b A 2cos 2 22-+= 15.S ⊿= 21a a h ?=21ab C sin =21bc A sin =2 1ac B sin =R abc 4=2R 2 A sin B sin C sin =))()((c p b p a p p ---(其中)(2 1 c b a p ++=, r 为三角形内切圆半径) 反三角函数图像与反三角函数特征 反正弦曲线 反余弦曲线 拐点(同曲线对称中心):,该点切线斜率为1 拐点

三角函数与反三角函数图像性质、知识点总结

三角函数 1.特殊锐角( 0°, 30°, 45°, 60°, 90°)的三角函数值 2.角度制与弧度制 设扇形的弧长为l ,圆心角为 a (rad ), 半径为 R,面积为 S 角a 的弧度数公式2π×(a /360 °) ①360°=2π rad 角度与弧度的换算②1°=π/180rad ③1 rad= 180°/π=57° 18′≈ 57.3 ° 弧长公式l a R 扇形的面积公式s1lR 2 3.诱导公式:(奇变偶不变,符号看象限)所谓 奇偶指是整数 k 的奇偶性( k· /2+ a) 所谓符号看象限是看原函数的象限(将a 看做锐角, k· /2+ a 之和所在象限)注: ①:诱导公式应用原则:负化正、大化小,化到锐角为终了 学习指导参考

4. 三角函数的图像和性质: (其中 k z ) ①: 三角 函数 函 数 图 象 定义域 值域 周期 奇偶性 单 调 性 对 称 y sin x R [-1,1] 2 奇 2k , 2k 2 2 2k , 2k 2 2 对称轴 : x k 2 y cosx R [-1,1] 2 偶 2k ,2 k 2k ,2 k 对称轴 : x k y tanx y cotx x k x k 2 R R 奇 非奇非偶 k , k k , k 2 2 对称中心: ( k 2 , 0) 性 对称中心 : ( k , 0) 对称中心 : ( k + 2 , 0) 零值点 x k x k 2 最 x k , y max 1 x 2k , y max 1 ; 2 值 x k , y min 1 y 2k , y min 1 x k x 2 k

高中三角函数知识点总结(人教版)

高中三角函数总结 1.任意角的三角函数定义: 设α为任意一个角,点),(y x P 是该角终边上的任意一点(异于原点),),(y x P 到原点的距离为22y x r += ,则: )(tan ),(cos ),(sin y x x y x r x y r y ?=== 正负看正负看正负看ααα 2.特殊角三角函数值: 3.同角三角函数公式: αααααααααα αtan 1 cot ,sin 1csc ,cos 1sec 1cos sin ,cos sin tan 22= ===+= 4.三角函数诱导公式: (1))(;tan )2tan(,cos )2cos( ,sin )2sin(Z k k k k ∈=+=+=+απααπααπα (2);tan )tan(,cos )cos(,sin )sin(απααπααπα=+-=+-=+ (3);tan )tan(,cos )cos(,sin )sin(αααααα-=-=--=- (函数名称不变,符号看象限) (4);cot )2 tan(,sin )2cos(,cos )2sin(απ ααπααπ α-=+-=+=+ (5);cot )2 tan(,sin )2cos(,cos )2sin( ααπ ααπααπ =-=-=- (正余互换,符号看象限) 注意:tan 的值,总为sin/cos ,便于记忆; 5.三角函数两角诱导公式:

(1)和差公式 βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=±βαβαβαsin sin cos cos )cos( =± β αβ αβαtan tan 1tan tan )tan( ±= ± (2)倍角公式 令上面的βα=可得:αααcos sin 2)2sin(= α αααα2222sin 211cos 2sin cos )2cos(-=-=-= α α α2tan 1tan 2)2tan(-= 6.正弦定理: △ABC 中三边分别为c b a ,,,外接圆半径为R ,则有: R C c B b A a 2sin sin sin === 7.余弦定理: △ABC 中三边分别为c b a ,,,则有:ab c b a C 2cos 2 22-+= 8.面积公式: △ABC 中三边分别为c b a ,,,面积为S ,则有:)(sin 2 1 两边与夹角正弦值C ab S = 9.三角函数图象:

反三角函数的概念和性质

反三角函数的概念和性质 . 一.基础知识自测题: 1.函数y=arcsin x的定义域是 [-1, 1] ,值域是. 2.函数y=arccos x的定义域是 [-1, 1] ,值域是 [0, π] . 3.函数y=arctg x的定义域是R,值域是. 4.函数y=arcctg x的定义域是R,值域是 (0, π) . 5.arcsin(-)=; arccos(-)=; arctg(-1)=; arcctg(-)=. 6.sin(arccos)=; ctg[arcsin(-)]=; tg(arctg)=; cos(arcctg)=. 7.若cos x=-, x∈(, π),则x=. 8.若sin x=-, x∈(-, 0),则x=. 9.若3ctg x+1=0, x∈(0, π),则x=. 二.基本要求: 1.正确理解反三角函数的定义,把握三角函数与反三角函数的之间的反函数关系;

2.掌握反三角函数的定义域和值域,y=arcsin x, x∈[-1, 1], y∈[-,], y= arccos x, x∈[-1, 1], y∈[0, π], 在反三角函数中,定义域和值域的作用更为明显,在研究问题时,一定要先看清楚变量的取值范围; 3.符号arcsin x可以理解为[-,]上的一个角或弧,也可以理解为区间[-,] 上的一个实数;同样符号arccos x可以理解为[0,π]上的一个角或弧,也可以理解为区间[0,π]上的一个实数; 4.y=arcsin x等价于sin y=x, y∈[-,], y=arccos x等价于cos y=x, x∈[0, π], 这两个等价关系是解反三角函数问题的主要依据; 5.注意恒等式sin(arcsin x)=x, x∈[-1, 1] , cos(arccos x)=x, x∈[-1, 1], arcsin(sin x)=x, x∈[-,], arccos(cos x)=x, x∈[0, π]的运用的条件; 6.掌握反三角函数的奇偶性、增减性的判断,大多数情况下,可以与相应的三角函数的图象及性质结合起来理解和应用; 7.注意恒等式arcsin x+arccos x=, arctg x+arcctg x=的应用。 例一.下列各式中成立的是(C)。 (A)arcctg(-1)=-(B)arccos(-)=- (C)sin[arcsin(-)]=-(D)arctg(tgπ)=π 解:(A)(B)中都是值域出现了问题,即arcctg(-1)∈(0, π), arccos(-)∈[0, π], (D)中,arctg(tgπ)∈[-, ], 而π[-,], ∴ (A)(B)(D)都不正确。

5.6三角函数的图像和性质

【课题】5.6三角函数的图像和性质 【教学目标】 知识目标: (1) 理解正弦函数的图像和性质; (2) 理解用“五点法”画正弦函数的简图的方法; (3) 了解余弦函数的图像和性质. 能力目标: (1) 认识周期现象,以正弦函数、余弦函数为载体,理解周期函数; (2) 会用“五点法”作出正弦函数、余弦函数的简图; (3) 通过对照学习研究,使学生体验类比的方法,从而培养数学思维能力. 情感目标: (1)经历利用“图像法”分析三角函数的性质的探究过程,体验“数形结合”的探究方法,享受成功的喜悦。 (2)体验三角函数的性质,特别经历对周期现象的研究,感受科学思维方法。 (3)结识正弦、余弦曲线,感受数学图形的曲线美、对称美、和谐美 【教学重点】 (1)正弦函数的图像及性质; (2)用“五点法”作出函数y=sin x在[] 0,2π上的简图. 【教学难点】 周期性的理解. 【教学设计】 (1)结合生活实例,认识周期现象,介绍周期函数; (2)利用诱导公式,认识正弦函数的周期; (3)利用“描点法”及“周期性”作出正弦函数图像; 【教学备品】 课件,实物投影仪,三角板,常规教具. 【课时安排】 2课时.(90分钟) 【教学过程】

过 程 行为 行为 意图 间 观察发现,正弦函数x y sin =在[]0,2π上的图像中有五个关键点:(0,0), ,12π?? ???, (),0π, 3,12π?? - ??? , ()2,0π. 描出这五个点后,正弦函数x y sin =,[]0,2π在上的图像的形状就基本上确定了.因此,在精确度要求不高时,经常首先描出这关键的五个点,然后用光滑的曲线把它们联结起来,从而得到正弦函数在[]0,2π上的简图.这种作图方法叫做“五点法”. 质疑 引领 总结 观察 思考 体会 五点 可以 教给 学生 自我 发现 总结 35 *巩固知识 典型例题 例1 利用“五点法”作函数x y sin 1+=在[]0,2π上的图像. 分析 x y sin =图像中的五个关键点的横坐标分别是0,2 π ,π,23π ,2π,这里要求出x y sin 1+=在五个相应的函数值, 从而得到五个点的坐标,最后用光滑的曲线联结这五个点,得到图像. 解 列表 x 0 π 2 π 3π2 2π x sin 0 1 0 ?1 0 x y sin 1+= 1 2 1 1 以表5-6中每组对应的x ,y 值为坐标,描出点),(y x ,用光滑的曲线顺次联结各点,得到函数 x y sin 1+=在[]0,2π上的图像. 例2 已知sin 4x a =-, 求a 的取值范围. 解 因为x sin ≤1,所以4a -≤1,即 141a --剟, 解得 35a 剟. 说明 讲解 引领 质疑 分析 归纳 观察 思考 主动 求解 理解 讨论 求解 思考 安排 与知 识点 对应 例题 巩固 新知 注重 画图 时对 细节 的强 调和 引领 不等 式的 求解 过程 可以 教给

高中数学三角函数知识点总结实用版

三角函数 1. ①与α(0°≤α<360°)终边相同的角的集合(角α与角β的终边重合): {}Z k k ∈+?=,360|αββ ②终边在x 轴上的角的集合: {} Z k k ∈?=,180| ββ ③终边在y 轴上的角的集合:{ } Z k k ∈+?=,90180| ββ ④终边在坐标轴上的角的集合:{} Z k k ∈?=,90| ββ ⑤终边在y =x 轴上的角的集合:{} Z k k ∈+?=,45180| ββ ⑥终边在x y -=轴上的角的集合:{} Z k k ∈-?=,45180| ββ ⑦若角α与角β的终边关于x 轴对称,则角α与角β的关系:βα-=k 360 ⑧若角α与角β的终边关于y 轴对称,则角α与角β的关系:βα-+= 180360k ⑨若角α与角β的终边在一条直线上,则角α与角β的关系:βα+=k 180 ⑩角α与角β的终边互相垂直,则角α与角β的关系: 90360±+=βαk 2. 角度与弧度的互换关系:360°=2π 180°=π 1°=0.01745 1=57.30°=57°18′ 注意:正角的弧度数为正数,负角的弧度数为负数,零角的弧度数为零. 、弧度与角度互换公式: 1rad =π 180°≈57.30°=57°18ˊ. 1°=180 π≈0.01745(rad ) 3、弧长公式:r l ?=||α. 扇形面积公式:2 11||22 s lr r α==?扇形 4、三角函数:设α是一个任意角,在α的终边上任取(异于原点的)一点P (x,y )P 与原点的距离为r ,则 =αsin r x =αcos ; x y = αtan ; y x =αcot ; x r =αsec ;. αcsc 5、三角函数在各象限的符号: 正切、余切 余弦、正割 正弦、余割 6、三角函数线 正弦线:MP; 余弦线:OM; 正切线: AT. SIN \COS 1、2、3、4表示第一、二、三、四象限一半所在区域 (3) 若 o

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