11-12(1)线代卷A及参考答案
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密封线内不要答题 密封线内不要答题
2011－2012学年第一学期
《线性代数》课程试题卷（A ）
一、单项选择题（本题共18分，其中每题3分）
1．设B A ,均为n 阶方阵，且满足0=AB ，则有（ ）
A ．0==
B A B ．0=+B A
C ．0=A 或0=B
D ．0=+B A 2．设n 阶矩阵A 的秩为)4(3≥-n n ，则=*)(A R （ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3 3．已知向量T
T k )2,,1(,)2,1,3(-=-=βα正交，则=k （ ）
A ．2-
B ．1-
C ．0
D ．1 4．已知矩阵B A ,等价，则（ ）
A ．)()(
B R A R = B ．B A =
C ．11
--=B A
D ．存在可逆矩阵P ，使得B A P =-1
5．线性方程组???
??=+-=+=++0
020232
121321x x x kx x x x kx 仅有零解的充分必要条件为（ ）
A ．23-==k k 或
B ．23-==k k 且
C ．23-≠≠k k 且
D ．23-≠≠k k 或
6．已知向量1231111,0,311a a a t ?????? ? ? ?
=-== ? ? ? ? ? ?-??????
线性相关，则=t （ ）
A ．0
B ．1-
C ．5-
D ．7-
二、填空题（本题共18分，其中每题3分）
1．排列124395867的逆序数为 _________________________________________。 2．已知三阶行列式D 中第二行的元素分别为3,2,1，对应的余子式依次为4,3,2，则=D ___________________________。
3.已知三阶矩阵A 的特征值为1,2,1-，则=+-A A A 522
3_______________。
4．设矩阵方程为???
?
??--=???? ??--13222513X ，则=X ______________________。
5．若三阶矩阵A 的伴随矩阵为*
A ，已知2
1=
A ，则=-*
-A A 3)2(1_________。 6．已知二次型3231212
322213216422),,(x x x x x x kx x x x x x f +++++=是正定的，
则k 满足___________________________________。
三、计算下列各题（本题共16分，其中每题8分）
1．计算行列式1
301
31101201
4112-=
D 。
2．设???
?
? ??---=????? ??---=????? ??---=211132
,141132102,123120211C B A ，求C B A T )2(+。
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四、解答题（本题共18分，其中每题9分）
1．已知矩阵????
? ??--=111201111A ，求1
-A 。
2．求向量组的一个极大无关组，并将其余向量用此极大无关组线性表示：
??????? ??=12011α，??????? ??=10212α，??????? ??=03123α，??????? ??-=41524α，??????
? ??--=13115α。
五、（本题共16分，其中每题8分）
1．求方程组???
??=+++=+++=+++4
3877532
3224321
43214321x x x x x x x x x x x x 的通解。
2．若向量组321,,ααα线性无关，证明：向量组13322134,5,2αααααα+++
线性无关。
六、设????
? ??=633312321A ，求一个正交矩阵P ，使Λ=-AP P 1
为对角阵。
（本题14分）
2011-2012学年第一学期《线性代数》
试题卷A 参考答案及评分标准
一、选择题（每小题3分，共18分）
1. C ；
2. A ；
3. B ；
4. A
5. C
6. D 二、填空题（每小题3分，共18分）
1. 7
2. 8-
3. 320-
4. ???
?
??--7131 5. 2- 6. 5>k
三、计算下列各题（本题共16分，其中每题8分）
1 解： 2
5
01
3110
001
651221413-++c c c c D
................................... 2分 2
503116
51)1)(1(12+--= .................................. 2分
2
503113
402
1--c c .......................................... 2分 72
53
4)1(1
2=-=+ ......................................... 2分 2．解：???
?
? ??---+????? ??---=+T 2822642041122213012B A .............. 3分
????
? ??--=374083503 .................................. 2分
则 ????
? ??----=????? ??---????? ??--=+91113261811211132374083503)2(C B A T
........ 3分
四、解答题（本题共18分，其中每题9分）
1．解： 6=A ............................................................. 2分
211-=A ， 312=A ， 113=A ，
221=A ， 022=A ， 223=A ，
231=A ， 332=A ， 133-=A ， ............................. 3分
则 ???
?
? ??--=*121303222A ................................................ 2分
所以 ??
?????
? ??--==
*-61316
121021313
13
1
11
A A
A .................................. 2分
2．解： ??
?
?
?
?
?
?
?---=1401
131********
12211
A ................................... 1分
????
??? ??------2220015120151201221
1~ .................................... 1分
??
?
?
?
?
?
?
?--0000
01110015120
12211~ ....................................... 1分
??
?
?
?
??
??---00000111001301023212301
~ ....................................... 1分
??
??
?
?
?
?
?--0000
0111001301001001~ ......................................... 1分 所以极大无关组为 321,,ααα .................................. 2分 且有 32143αααα-+= ， 235ααα-= ....................... 2分
五、（本题共16分，其中每题8分）
1．解：????? ??=443118775323221B ???
?
?
??---000002211061401~r ............ 3分
由42)~
()(<==A R A R ，知方程组有无穷多解，..........................１分
得 ???--=++-=2
26
4432431x x x x x x ................................ 2分
令 2413,C x C x ==，
得通解 ????
??
? ??-+??????? ??-+??????? ??-=00261021011421c c x ........................... ２分
２．证明：设存在321,,k k k ，使得
0)34()5()2(133322211=+++++ααααααk k k ........................ 2分 即 0)45()()32(332221131=+++++αααk k k k k k ................ １分 因为 321,,ααα线性无关，所以
???
??=+=+=+0
4500
3232
2131k k k k k k ................................... 2分 又 04500113
02≠，所以 0321===k k k ............................... 2分
故13322134,5,2αααααα+++线性无关。............................... １分 六、（本题14分）
解： λ
λ
λ
λ---=
-63
3
3123
21E A .................................. 2分 0)9)(1(=-+-=λλλ ............................. 2分
得 11-=λ，02=λ，93=λ ................................２分 当11-=λ，由 0)(=+x E A ，得基础解系
T -=)0,1,1(1ξ ............................................. 1分
当02=λ，由 0=Ax ，得基础解系
T -=)1,1,1(2ξ ............................................ １分
当93=λ，由 0)9(=-x E A ，得基础解系
T =)2,1,1(3ξ .................................................. 1分
单位化得
,)0,1,1(2
11T -=
p 231),p p T T =
-=........ 3分 取 ?????
?
?
?--=62
31061312
161
312
1P 得 ???
?
?
??-=-9000000011AP P ...............................1分