hypermesh几何清理的资料

几何清理

geometry

cleanup子面

板的菜单选

择：

cleanup tol

设置在几何清理操作时需要的容差。

visual options 设置曲面显示方式，选择不同类型＂edge＂和固定点的显示状态。

Geometry Cleanup面板的功能

Edges

Toggle

用鼠标器将单个的边从一种类型转化成另一种类型。

Replace 将两条明确定义的自由边合并成一条共用边。

(un)suppress 同时压缩或释放一系列所选的边。

equivalence 将自由边对合并成共用边。

Surfaces

find duplicates

查找并删除重合曲面。

organize by

feature

按特徵组织曲面。

move faces 移动曲面到另一个曲面（合并曲面）。

Fixed Points

add

在曲面上从已经存在的自由点或节点上生成固定点。

replace 将两个明确选定的自由点合并成一个。

suppress 从一个曲面上删除一个固定点。

Defeature 面板的

功能:

trim lines

取消曲面的裁剪操作。

pinholes 从曲面内查找并消除孔。

surf fillets 识别和删除相邻曲面的倒角。

edge fillets 识别和删除自由曲面边界的倒圆。

trim intersect 识别和删除自由曲面边界的倒圆，但可手工指定切点。Geom页面>geom cleanup

合并自由边

用equivalence功能合并自由边

Edges>equivalence>surfs(操作物件选择窗口中选择all)

>cleanup tol输入值>点击equivalence

用replace功能合并自由边

Edges>replace>retained edge>line(选取模型中同一边里有两条红线的) >cleanup tol输入值>replace

删除曲面倒角

用于选择要删除的倒角曲面。

defeature面板

>surf fillet>

surfs >菜单上选

择displayed>输入

min radius，max

radius>find

fillets(选曲面上

搜索设置范围内的

倒角)> 显示出

fillets to

remove，ignore

edge assoc和

fillet

ends>remove(用尖

角取代圆形的倒角

曲面)

Fillets to remove

Ignore edge assoc 用于确定那些计算相切时不考虑其相邻曲面的边。Fillet ends 确认倒角端部的选择。

生成填充曲面

同时按下SHIFT键和F9键，进入surf edit>filler surface>点击lines>retrieve(选辄要填充面周围的线)> create

压缩(Suppress)不必要的细节特徵

1.选择edges子面板。

2.选择toggle子菜单。

3.沿模型的中心缝隙选取多条共用边。

4.压缩其中一些边后，通过再次点击将它们改回共用边。

edges/toggle子菜单可以用来将一对红色的自由边合并成一条共用边。但是，自由边一旦被组合，就不能再改成自由边了。

edges/(un)suppress面板用于一次操作中压缩或释放多条线。多条线可以用高亮度显示，也可以使用扩展的操作物件选择窗口。

edges/equivalence面板用于将多对红色自由边合并成共用边。

用edges/(un)suppress面板来压缩线

用edges/toggle，edges/(un)suppress和surfaces/move faces的任何组合 操作来压缩模型的中心缝隙。

寻找和删除孔

识别和删除孔

2.按F2进入delete面板。

3.设置操作物件选择器为surfs。

4.选定两个较大孔之间定义孔壁的四个曲面。

5.点击delete entity删除它们。

6.点击return回到geom-cleanup面板的工作中。

测量孔径

1.按F4进入distance面板。

2.放大两个孔中较大的那个孔。

3.点击N1，按住鼠标器左键移动至这个孔的边的附近。

4.当鼠标器指针从一个+变为时，点中孔的一条边使这条边显示为高亮度，然后

再释放鼠标器左键。孔的边仍保持高亮度显示，同时一个节点会出现联机上。

5.重复这个过程，选取孔另一侧的边（直径对面）。

在点击鼠标器时，一个节点产生在高亮度显示的联机。生成了第二个节点后，会自动显示这两者之间的距离，在这个例子中为10.0个单位。

6.点击 return。

7.在Geom页面中选择defeature面板。

8.选择pinholes子面板。

9.点击surfs并在扩展的操作物件选择窗口中选择displayed。

10.点击diameter <并输入10.0

11.点击find识别曲面内的孔。

横梁曲面上的四个孔被用白色的xP标记。

12.点击delete删除这四个孔。

13.点击return

添加固定点(Fixed Points)

添加固定点(fixed points)

1.在Geom页面中选择geom cleanup面板。

2.选择fixed points子面板。

3.选择add子菜单。

4.放大较小圆柱所在的显示区域，如下图所示。

5.当surfs被启动时，选取较小圆柱的顶面和底面。

6.点击操作物件选择器开关并选择points。

7.当points被启动时，选择all。

8.设置cleanup tol =为.01。

9.点击add将这些固定点添加到曲面上。

Geometry Cleanup面板的功能

在geom cleanup面板内有三个子面板edges，surfaces和fixed points。每个子面板都有三到四个子菜单。

所有面板上都有cleanup tolerance和visual options选项。其中前者用于判断两个曲面的边或两个曲面的顶点是否可以被视为重合。在几何清理操作中，间距在容差(tolerance)范围内的任何两条曲面的边或两个曲面的顶点将被视为重合，随后被合并。

cleanup tol =的值可以在两个地方设置。一个是对其全局值，可以在options/modeling子面板中设置。另一个是局部值，可以在geom cleanup面板中设置，用于特定的几何清理操作。有时，按局部清理容差进行的操作可以被全局清理容差覆盖。

例如，在一个用局部清理容差形成的曲面上进行分离操作之后，因为surface edit面板仅采用全局清理容差，被分离曲面的所有的边都被用全局清理容差重新评估，重新确定它们的状态。

设置的几何清理容差最大值的合理性与单元大小有关。例如，单元尺寸为30，几何清理的容差应为0.3 (30/100)或0.15 (30/200)。

visual options面板设置曲面的显示方式，打开或关闭曲面的边和固定点的显示。曲面可以用线框或阴影方式来查看。自由边、共用边、非重合边和被压缩边

等不同类型的边的显示可以分别打开或关闭。

Edges子面板

edges子面板用于消除相邻曲面之间的间隙或重叠。如果曲面有共用边，自动划分网格的功能会在曲面边界上设置共用节点以保证单元的连续性。

子面板中有四个子菜单toggle，replace，(un)suppress和equivalence。

toggle

toggle菜单通过单击鼠标器左键可以将单条边从一种类型转换成另一种类型。可以将相邻的自由边合并成一条共用边。共用边可被压缩，这时它们对自动划分工具是透明的。被压缩的边能被恢复成共用边。

replace

replace菜单允许通过控制来合并自由边，可以选择某一条边被保留而另外一条边被删除。任何与被删除的边相关连的几何特徵被关连到被保留的边上。

(un)suppress

(un)suppress菜单允许同时压缩或释放多条边。共用边可以被压缩，而被压缩的边也可以被释放。

equivalence

equivalence菜单允许将相邻曲面间的多条自由边合并成共用边。使用这个功能可以利用扩展的操作物件选择窗口。

Surfaces子面板

surfaces子菜单用于查找和删除重合曲面并组织曲面。有三个子菜单find duplicates，organize by feature和move faces。

find duplicates

find duplicates菜单用于识别和删除重合曲面。

organize by feature

organize by feature菜单在一系列不同参数基础上识别和压缩曲面的共用边。最终结果是对更大曲面的更合理地组合。

move faces

move faces 菜单可将多个面缝合到一个已有曲面上或缝合多个曲面形成一个新曲面。

Fixed Points子面板

fixed points子面板用于控制与一个曲面相关联的固定点。有Add，replace和suppress三个下级子菜单。

add

add菜单可以在一个曲面上从已有的自由点或节点上生成固定点。划分网格时，

自动划分一旦一对自由边合并成一条共用边，它们不能再变回自由状态。

的解算器会在任何固定点上面放置单元节点。

replace

使用replace菜单可以删除要被移动的点并将相关的几何资料重新定位到保留的点上。

suppress

suppress菜单可压缩不必要的固定点或将他们转换成自由点。

幾何定義所需的點不能被壓縮。

Defeature面板的功能

defeature面板有许多可以用于简化模型几何特徵的功能。这些不必要的特徵包括裁剪操作，螺栓或铆钉孔，位于不同平面的曲面之间用于圆滑过渡的倒圆，边之间的倒圆。要精确地捕捉这些细节，分析者通常不得不采用一个比需要的尺寸更小的单元。删除这些特徵通常能使用较大的单元获得更好的网格质量，而同时不影响求解的精度。该面板上有五个子面板：

trimlines

trimlines功能可以删除被剪切到曲面内的线。有两种方式可供选择。 Remove interior trimlines用于消除完全包含在“曲面边界内的＂裁剪线。这些线在曲面上通常显示成绿色的共用边。可以选择并删除单个的裁剪线。Remove all trim lines将回车到最初的未被裁剪的曲面。根据不同的CAD系统和曲面定义方法，操作的结果也会不同。

pinholes

pinholes功能用于查找和删除曲面内的孔。孔根据孔径来识别。一旦确定，孔可以被删除。孔可以是任何形状。所给定的直径确定孔跨度的最大距离。 surface fillets

surface fillet用于消除曲面倒圆或两个非共面曲面之间的过渡圆滑曲

面。曲面倒圆将被一个沿相邻曲面切向延伸的平面替代。通过选择倒圆

的轮廓线，或者指定曲面和倒圆半径的范围来确定倒圆曲面。

一旦确定了倒圆，会出现一个二级面板，在它上面能清楚地选择要删除的倒圆、相关联的边和倒圆端部。

Ignore edge association可以用于确定或修改对边的选择，当计算相切曲面时这些边的相邻曲面几何会被忽略。通常如果相邻曲面与倒圆相比有较大

的曲率，或者问题中的边是自由边，就会用到这个功能。

Fillet ends用于确定或者修改倒圆端部。除非一连串的倒圆本身构成了一个复杂的封闭圆环，否则应该至少有两个倒圆端部。

edge fillets

edge fillet用于删除曲面自由边上的任何倒圆。HyperMesh能确定给定圆角半径和最小圆弧角度范围内的倒圆。边的倒圆将被确定，标明那些投影出方角的切点。

一旦确定，边的倒圆在被删除前可以被解除选择。

trim-intersect

trim-intersect的功能与edge fillet的功能相似，只是需要通过点击边来确定切点。一旦两个点确定，功能会自动生效。

Surface Edit / Filler Surface子面板

surface edit / filler surface子面板用于从线、节点或固定点生成曲面来填充CAD模型中的孔。通过选择环绕某个区域的三个或更多的线、节点或点，可以创建一个曲面。

大多數面板中，曲面邊界按線來處理。

创建材料集(Material Collectors)

1.在任何菜单页面上选择collectors面板。

2.选择create子面板。

3.将collector的类型设置为mats。

4.点击name =并输入steel。

5.将creation method:设置为card image =。

6.点击card image =并选择MAT1。

OptiStruct範本支援四種材料類型MAT1、MAT2、MAT8和MAT9。这些材料

类型对应于相同的NASTRAN材料类型。如果需要更多信息，请参考联机帮助中的OptiStruct/Data Formats部分。

7.点击create/edit。

这一步就将MAT1这个card image赋给了这个新材料steel。如果某个块里没有值，表示当前相应的项是关闭的。只要点击其标题就可以打开。如果要在这个card image中为一个块输入一个值，点击相应的资料区域，然后输入数位。

8.点击E，单击资料登录区并输入2.0e5。

9.点击NU，单击资料登录区并输入0.30。

10.点击return。

因為只需要做一個靜態分析，所以沒有必要定義一個密度值。但是，在进行固有模态分析时，密度值就是必要的了。

创建和编辑组件集(Component Collectors)

1.在任何菜单页面上选择collectors面板。

2.选择create子面板。

3.将collector的类型设置为mats。

4.点击name =并输入steel。

5.将creation method:设置为card image =。

6.点击card image =并选择MAT1。

OptiStruct範本支援四種材料類型MAT1、MAT2、MAT8和MAT9。这些材料

类型对应于相同的NASTRAN材料类型。如果需要更多信息，请参考联机帮助中的OptiStruct/Data Formats部分。

7.点击create/edit。

这一步就将MAT1这个card image赋给了这个新材料steel。如果某个块里没有值，表示当前相应的项是关闭的。只要点击其标题就可以打开。如果要在这个card image中为一个块输入一个值，点击相应的资料区域，然后输入数位。

8.点击E，单击资料登录区并输入2.0e5。

9.点击NU，单击资料登录区并输入0.30。

10.点击return。

因為只需要做一個靜態分析，所以沒有必要定義一個密度值。但是，在进行固有模态分析时，密度值就是必要的了。

创建和编辑组件集(Component Collectors)

在这个练习中，要创建两个component collector。一个只是为了建模的目的，另一个则用来保存分析中用到的实体单元。通过将建模过程中使用的单元放到一个独立的collector中，当模型建完以后，可以很方便地删除这些单元。

为2维单元创建一个component collector

这些2维单元被用来构造这个管状模型的实体单元。

1.将collector type:设置为comps。

2.点击name =并输入shell_elems。

3.将creation method:设置为no card image。

在这个collector中的单元只是用来建模的。因为在分析中并不使用它们，所以没有必要为它们指定OptiStruct中component的card image。

4.点击material =并选择steel。

当创建一个component collector时，HyperMesh会要求指定一个材料collector。如果这时没有指定，则HyperMesh会自动创建一个与该component同名的“虚假的＂材料collector。为了避免随后不得不删除这个虚假的材料collector，现在就将材料指向现有的steel材料。

5.点击color并从互动菜单中选择一个颜色。

6.点击create完成对这个component collector的创建。

为实体单元创建并编辑一个component collector

1.点击name =并输入solid_elems。

2.将creation method:设置为card image=。

3.点击card image =并从弹出菜单中选择PSOLID。

4.点击material =并选择steel。

5.点击color并从弹出菜单中选择一个颜色。

6.点击create来创建这个collector。

因为在PSOLID这个card中没有可以编辑的输入区域，就不用使用create/edit选项了。

7.点击return退出collectors面板。

将工作保存在一个hm二进位资料档里

1.点击files。

2.选择hm file子面板。

3.单击file =或者点击文件名的文本框使文本变亮。

4.输入需要的文件名，例如spring.ex2.03.hm。

5.点击save。

被保存的档存在于HyperMesh的起始目录中。

创建载荷集(Load Collectors)

在这一部分中，创建边界条件的载荷集。对这个模型，要建立两个载荷工况，一个正压力和一个侧向力。通过将这些力放到相应的载荷集里，可以更方便地定义载荷步的组合并创建载荷工况。

1.从任何菜单页面选择collectors面板。

2.选择create子面板。

3.将collector type设置为loadcols。

4.点击name =并输入constraints。

5.将creation method设置为no card image。

6.点击color并选择一个颜色。

7.点击create。

8.点击name =并输入compression。

9.点击color并选择一个颜色。

10.点击create。

11.重复上面8-10的步骤创建另一个名为lateral的载荷集。

12.点击return退出collectors面板。

对模型施加约束

设置当前的载荷集和视角

1.在global面板上将load col =设置为constraints。

2.点击return。

3.在永久菜单上选择view面板。

4.选择rear并将模型在y轴正方向的一端放大。

记住放大功能可以通过使用CTRL+鼠标器中键来实现。

5.点击return。

创建约束

1.在BCs页面上选择constraints面板。

2.选择create子面板。

3.点击nodes并选择on plane。

4.在弹簧这一端面上任意点中三个节点。

这些点将会被用于定义一个平面来寻找其他节点(N1, N2和N3)。

5.点击tolerance =并输入.01。

6.切换到plane选项。

7.点击select entities。

8.点击size =并输入30。

9.点击对应的核取方块启动label constraints选项。

10.启动自由度(dof)1、2和3。

因为这些单元是实体单元，所以自由度4、5和6是没有用的。

11.点击create就约束了选中的节点。

12.点击return退出constraints面板。

创建力

设置当前collector和视角

1.在global面板中将load col =设置为compression。

2.点击return。

3.在永久菜单上选择view面板。

4.选择front，然后将弹簧在y轴负方向的一端放大。

5.在永久菜单上或者在键盘上点击向上箭头3次，这样弹簧的这一端就差不多水

平了。

创建正压力

1.在BCs页面上选择forces面板。

2.选择create子面板。

3.点击nodes并选择by window。

4.环绕模型一端的节点画一个窗口，见下图。

要保证窗口选择项被设置为interior。

5.点击select entities。

6.点击nodes并选择save。

随后要在相同的节点上施加侧向力。这一步将当前的节点选择保存在一个缓存中，这样在接下来的步骤中调用这些节点。

7.点击最左端的切换键选中global system选项。

8.点击magnitude =并输入10000.0。

9.将方向设置为y-axis。

10.点击最右端的切换键选中magnitude % = 选项。

11.点击magnitude % =并输入1.0。

12.点击相应的核取方块启动label loads选项。

13.点击create。

创建侧向力

1.在global面板中将当前的loadcol设置为lateral。

2.点击return。

3.点击nodes并从扩展的选择菜单中选择retrieve。

这一步从剪切板缓存中提取先前选定的弹簧端面上的节点。

4.将方向设置为N1, N2, N3。这一步可以将力的方向定义成垂直于弹簧端面。

5.在弹簧的这个端面上任意选择三个节点。

6.点击create。

定义垂直于该弹簧端面的载荷。这些新的载荷的颜色与在lateral这个load

collector中定义的颜色是相同的。

7.点击return。

微分几何第四版习题答案解析梅向明

§1曲面的概念 1.求正螺面r r ={ u v cos ,u v sin , bv }的坐标曲线. 解 u-曲线为r r ={u 0cos v ,u 0sin v ,bv 0 }=｛0,0，bv 0｝＋u {0cos v ,0sin v ,0}，为曲线的直母线；v-曲线为r r ={0u v cos ,0u v sin ,bv }为圆柱螺线． ２．证明双曲抛物面r r ＝｛a （u+v ）, b （u-v ）,2uv ｝的坐标曲线就是它的直母线。

证 u-曲线为r r ={ a （u+0v ）, b （u-0v ）,2u 0v }={ a 0v , b 0v ,0}+ u{a,b,20v }表示过点{ a 0v , b 0v ,0}以{a,b,20v }为方向向量的直线; v-曲线为r r =｛a （0u +v ）, b （0u -v ）,20u v ｝=｛a 0u , b 0u ,0｝+v{a,-b,20u }表示过点(a 0u , b 0u ,0)以{a,-b,20u }为方向向量的直线。 3．求球面r r =}sin ,sin cos ,sin cos {?????a a a 上任意点的切平面和法线方程。 解 ?r ρ =}cos ,sin sin ,cos sin {?????a a a -- ，?r ρ=}0,cos cos ,sin cos {????a a - 任意点的切平面方程为00 cos cos sin cos cos sin sin cos sin sin sin cos cos cos =------? ?? ????? ??????a a a a a a z a y a x 即 xcos ?cos ? + ycos ?sin ? + zsin ? - a = 0 ； 法线方程为 ? ? ????????sin sin sin cos sin cos cos cos cos cos a z a y a x -=-=- 。 4．求椭圆柱面22 221x y a b +=在任意点的切平面方程，并证明沿每一条直母线，此 曲面只有一个切平面 。 解 椭圆柱面22 221x y a b +=的参数方程为x = cos ?, y = asin ?, z = t , }0,cos ,sin {??θb a r -=ρ , }1,0,0{=t r ρ 。所以切平面方程为： 01 0cos sin sin cos =----????b a t z b y a x ，即x bcos ? + y asin ? － a b = 0 此方程与t 无关，对于?的每一确定的值，确定唯一一个切平面，而?的每一数值对应一条直母线，说明沿每一条直母线，此曲面只有一个切平面 。

微分几何习题全解(梅向明高教版第四版)

微分几何主要习题解答 第一章 曲线论 §2 向量函数 5. 向量函数)(t r 具有固定方向的充要条件是)(t r × ) ('t r = 0 。 分析：一个向量函数)(t r 一般可以写成)(t r =)(t λ)(t e 的形式，其中)(t e 为单位向 量函数，)(t λ为数量函数，那么)(t r 具有固定方向的充要条件是)(t e 具有固定方向，即)(t e 为常向量，（因为)(t e 的长度固定）。 证 对于向量函数)(t r ，设)(t e 为其单位向量，则)(t r =)(t λ)(t e ，若)(t r 具有固 定方向，则)(t e 为常向量，那么)('t r =)('t λe ，所以 r ×'r =λ'λ（e ×e ）=0 。 反之，若r ×'r =0 ，对)(t r =)(t λ)(t e 求微商得'r ='λe +λ 'e ，于是r × 'r =2 λ（e ×'e ）=0 ，则有 λ = 0 或e ×'e =0 。当)(t λ= 0时，)(t r =0 可与任意方 向平行；当λ≠ 0时，有e ×'e =0 ，而（e ×'e 2)=22'e e -(e ·'e 2)＝2'e ，（因为e 具有固定长， e ·'e = 0） ，所以 'e =0 ，即e 为常向量。所以，)(t r 具有固定方向。 6．向量函数)(t r 平行于固定平面的充要条件是（r 'r ''r ）=0 。 分析：向量函数)(t r 平行于固定平面的充要条件是存在一个定向向量)(t n ，使 )(t r ·n = 0 ，所以我们要寻求这个向量n 及n 与'r ，''r 的关系。 证 若)(t r 平行于一固定平面π，设n 是平面π的一个单位法向量，则n 为常向 量，且)(t r ·n = 0 。两次求微商得'r ·n = 0 ，''r ·n = 0 ，即向量r ，'r ，''r 垂直 于同一非零向量n ，因而共面，即（r 'r ''r ）=0 。 反之, 若（r 'r ''r ）=0，则有r ×'r =0 或r ×'r ≠0 。若r ×'r =0 ，由上题知 )(t r 具有固定方向，自然平行于一固定平面，若r ×' r ≠ ，则存在数量函数)(t λ、 )(t μ，使''r = r λ +μ'r ①

微分几何试题库

微分几何 一、判断题 1 、两个向量函数之和的极限等于极限的和（√） 2、二阶微分方程22 u v du u v dudv u v dv ++=总表示曲面上两族曲A(,)2B(,)B(,)0 线. （?） 3、若() s t均在[a,b]连续，则他们的和也在该区间连续（√）r t和() 4、向量函数() s t具有固定长的充要条件是对于t的每一个值， s t平行（×） s t的微商与() () 5、等距变换一定是保角变换.（√） 6、连接曲面上两点的所有曲线段中，测地线一定是最短的.（?） 7、常向量的微商不等于零（×） 8、螺旋线x=cost,y=sint,z=t在点（1，0，0）的切线为X=Y=Z（×） 9、对于曲线s=() s t上一点（t=t0）,若其微商是零，则这一点为曲线的正常点（×） 10、曲线上的正常点的切向量是存在的（√） 11、曲线的法面垂直于过切点的切线（√） 12、单位切向量的模是1（√） 13、每一个保角变换一定是等距变换（×） 14、空间曲线的形状由曲率与挠率唯一确定.（√） F=，这里F是第一基本量.（√）15、坐标曲线网是正交网的充要条件是0

二、填空题 16、曲面上的一个坐标网，其中一族是测地线 17、螺旋线x=2cost,y=2sint,z=2t,在点（1，0，0）的法平面是___ y+z=0, . 18.设给出1 c 类曲线:)(t r r =,.b t a ≤≤则其弧长可表示为?'b a dt t r )( 19、已知33{cos ,sin ,cos 2}r x x x =，02x π << ，则α=1 {3cos ,3sin ,4}5 x x --， β= {sin ,cos ,0}x x ，γ=1{4cos ,4sin ,3}5x x --，κ= 625sin 2x ，τ=8 25sin 2x 。 20、曲面的在曲线，如果它上面每一点的切点方向都是渐近方向，则称为渐进曲线。 21、旋转面r ={()cos ,()sin ,()t t t ?θ?θψ},他的坐标网是否为正交的?____是_____(填“是”或“不是”). 22、过点平行于法方向的直线叫做曲面在该点的_____法线_____线. 23.任何两个向量q p ,的数量积=?q p )cos(～ pq q p 24、保持曲面上任意曲线的长度不便的变称为____等距(保长)变换__. 25、圆柱螺线的曲率和挠率都是_____常数____数(填“常数”或“非常数”). 26.若曲线(c)用自然参数表示)(t r r =,则曲线(c)在)(0s P 点的密切平面的方程是 0))(),(),((000=-s r s r s r R 27.曲线的基本三棱形由三个基本向量和密切平面、法平面、从切平面 28.杜邦指标线的方程为1222±=++Ny Mxy Lx 29、已知曲面{cos ,sin ,6}r u v u v v =，0u >，02 v π ≤<，则它的第一基本形式 为 222(36)du u dv ++ ，第二基本形式为 dv ，高斯曲率

Hypermesh几何清理总结

1、geometry clean中出现的黄色边界线表示什么意思？ 表示共享边，三个或者三个以上的面共同的边界 2、HM中有什么工具可以补面的？ edit surface->surface filler 除了edit surface->surface filler外，还可以用spline,drag,sweep 等命令补面，只要选surface only选项就可以了． 3、划好2d网格之后，用tool->edges->tolerance=0.01->equivalence->find edges, 最后发现220个free surfaces,我记得有一个快捷键保存这些自由面到内存中，然后可以删除刚刚保存的面，大侠，帮忙 用你的操作发现的是free edges，它会自动保存在一个叫做^edges的component里，然后隐藏掉其他的部分，再点击右侧 QA-->Find Attached 找到相邻单元,再进行处理。 4、出现黄线怎么几何清除？ GEOM CLEAN—SURFACE—FIND DUPLICATES试试 出现黄线大多是有重合面出现，结合隐藏（F5）仔细观察一下，找到重合的面（有的及其微小）删掉就是5、2d单元划分完毕，在Tool->check elems->connectivity中发现有这样的提示：”574 elements were found with questionable connectivity“,这时有些单元高亮，怎么解决这个问题，使得没有单元有连接问题，大侠们指教！ connectivity表示有重合单元存在，把重合单元删了就可以了。 具体操作如下：在Tool->check elems先点击duplicates,接着点击save failed;然后，按F2在elems下选retrieve,最后点击delete entity 6、体单元有什么优劣的评判指标； check elems/3-d面板中 QI/Tool>.. 7、两个同心圆之间怎么生成填充曲面呢，两个圆都是红色的自由边界。 2D->spline 8、建模完后, find edges 检查没有通过,如何处理. 谢谢.请大家帮忙,方法是不是很多? disp里面隐掉其他comp，只显示free edge,在macro菜单里，选QA,选find attached,找到与此相关的失效单元，手工修改之。 另外生成四面体还有检查T-connection ，是不是不检查三维单元的free edges 和T-connection？ 不用检查三维单元的T－connection，可以检查free edges 9、节点合并是哪个命令，在哪？ 单元的连续性是用这个吗？ 可以用F3合并节点，注：当你选中equivalence的时候，是将两个节点合并为一个，没选的话，它们只是位置

第四版 微分几何 第二章课后习题答案

第二章 曲面论 §1曲面的概念 1.求正螺面r ={ u v cos ,u v sin , bv }的坐标曲线. 解 u-曲线为r ={u 0cos v ,u 0sin v ,bv 0 }=｛0,0，bv 0｝＋u {0cos v ,0sin v ,0}，为曲线的直母线；v-曲线为r ={0u v cos ,0u v sin ,bv }为圆柱螺线． ２．证明双曲抛物面r ＝｛a （u+v ）, b （u-v ）,2uv ｝的坐标曲线就是它的直母线。 证 u-曲线为r ={ a （u+0v ）, b （u-0v ）,2u 0v }={ a 0v , b 0v ,0}+ u{a,b,20v }表示过点{ a 0v , b 0v ,0}以{a,b,20v }为方向向量的直线; v-曲线为r =｛a （0u +v ）, b （0u -v ）,20u v ｝=｛a 0u , b 0u ,0｝+v{a,-b,20u }表示过点(a 0u , b 0u ,0)以{a,-b,20u }为方向向量的直线。 3．求球面r =}sin ,sin cos ,sin cos {?????a a a 上任意点的切平面和法线方程。

4．求椭圆柱面 222 2 1x y a b + =在任意点的切平面方程， 并证明沿每一条直母线，此曲面只有一个切平面 。 解 椭圆柱面 222 2 1x y a b + =的参数方程为x = cos ?, y = asin ?, z = t , }0,cos ,sin {??θb a r -= , }1,0,0{=t r 。所以切平面方程为： 01 0cos sin sin cos =----?? ??b a t z b y a x ，即x bcos ? + y asin ? － a b = 0 此方程与t 无关，对于?的每一确定的值，确定唯一一个切平面，而?的每一数值对应一条直母线，说明沿每一条直母线，此曲面只有一个切平面 。 5．证明曲面},,{3 uv a v u r = 的切平面和三个坐标平面所构成的四面体的体积是常 数。 证 },0,1{23 v u a r u -= ，},1,0{23 uv a r v -= 。切平面方程为：33=++z a uv v y u x 。 与三坐标轴的交点分别为(3u,0,0),(0,3v,0),(0,0, uv a 2 3)。于是，四面体的体积为： 3 3 2 9| |3| |3||36 1a uv a v u V = =是常数。

微分几何练习题库及参考答案(已修改)

《微分几何》复习题与参考答案 一、填空题 1．极限232 lim[(31)i j k]t t t →+-+=138i j k -+． 2．设f ()(sin )i j t t t =+，2g()(1)i j t t t e =++，求0 lim(()())t f t g t →?= 0 ． 3．已知{}42 r()d =1,2,3t t -?， {}6 4 r()d =2,1,2t t -?，{}2,1,1a =，{}1,1,0b =-，则 4 6 2 2 ()()a r t dt+b a r t dt=???? ?{}3,9,5-. 4．已知()r t a '=（a 为常向量），则()r t =ta c +． 5．已知()r t ta '=，（a 为常向量），则()r t = 2 12 t a c +． 6. 最“贴近”空间曲线的直线和平面分别是该曲线的___ 切线___和 密切平面____. 7. 曲率恒等于零的曲线是_____ 直线____________ . 8. 挠率恒等于零的曲线是_____ 平面曲线________ . 9. 切线（副法线）和固定方向成固定角的曲线称为 一般螺线 . 10. 曲线()r r t =在t = 2处有3αβ=，则曲线在t = 2处的曲率k = 3 . 11. 若在点00(,)u v 处v 0u r r ?≠，则00(,)u v 为曲面的_ 正常______点. 12． 已知()(2)(ln )f t t j t k =++，()(sin )(cos )g t t i t j =-，0t >，则4 ()d f g dt dt ?=?4cos 62-． 13．曲线{}3()2,,t r t t t e =在任意点的切向量为{}22,3,t t e ． 14．曲线{}()cosh ,sinh ,r t a t a t at =在0t =点的切向量为{}0,,a a ． 15．曲线{}()cos ,sin ,r t a t a t bt =在0t =点的切向量为{}0,,a b ． 16．设曲线2:,,t t C x e y e z t -===，当1t =时的切线方程为 2111 -=-- =-z e e y e e x ． 17．设曲线t t t e z t e y t e x ===,sin ,cos ，当0t =时的切线方程为11-==-z y x . 18. 曲面的曲纹坐标网是曲率线网的充要条件是____F =M =0_ ______________. 19. u －曲线（v －曲线）的正交轨线的微分方程是 _____ E d u +F d v ＝0（F d u +G d v ＝0）__. 20. 在欧拉公式2212cos sin n k k k θθ=+中，θ是 方向(d) 与u －曲线 的夹角. 21. 曲面的三个基本形式,,I II III 、高斯曲率K 、平均曲率H 之间的关系是20H K III -II +I = . 22．已知{}r(,),,u v u v u v uv =+-，其中2,sin u t v t ==，则dr d t ={}2cos ,2cos ,2cos t t t t vt u t +-+． 23．已知{}r(,)cos cos , cos sin ,sin a a a ?θ?θ?θ?=，其中t =?，2t =θ，则

微分几何第四版习题答案梅向明

§1曲面的概念 1.求正螺面r ={ u v cos ,u v sin , bv }的坐标曲线. 解 u-曲线为r ={u 0cos v ,u 0sin v ,bv 0 }=｛0,0，bv 0｝＋u {0cos v ,0sin v ,0}，为曲线的直母线；v-曲线为r ={0u v cos ,0u v sin ,bv }为圆柱螺线． ２．证明双曲抛物面r ＝｛a （u+v ）, b （u-v ）,2uv ｝的坐标曲线就是它的直母线。 证 u-曲线为r ={ a （u+0v ）, b （u-0v ）,2u 0v }={ a 0v , b 0v ,0}+ u{a,b,20v }表示过点{ a 0v , b 0v ,0}以{a,b,20v }为方向向量的直线; v-曲线为r =｛a （0u +v ）, b （0u -v ）,20u v ｝=｛a 0u , b 0u ,0｝+v{a,-b,20u }表示过点(a 0u , b 0u ,0)以{a,-b,20u }为方向向量的直线。 3．求球面r =}sin ,sin cos ,sin cos {?????a a a 上任意点的切平面和法线方程。 解 ?r =}cos ,sin sin ,cos sin {?????a a a -- ，?r =}0,cos cos ,sin cos {????a a - 任意点的切平面方程为00 cos cos sin cos cos sin sin cos sin sin sin cos cos cos =------? ?? ????? ??????a a a a a a z a y a x 即 xcos ?cos ? + ycos ?sin ? + zsin ? - a = 0 ； 法线方程为 ? ? ????????sin sin sin cos sin cos cos cos cos cos a z a y a x -=-=- 。 4．求椭圆柱面22 221x y a b +=在任意点的切平面方程，并证明沿每一条直母线，此曲面只 有一个切平面 。 解 椭圆柱面22 221x y a b +=的参数方程为x = cos ?, y = asin ?, z = t , }0,cos ,sin {??θb a r -= , }1,0,0{=t r 。所以切平面方程为： 01 0cos sin sin cos =----????b a t z b y a x ，即x bcos ? + y asin ? － a b = 0 此方程与t 无关，对于?的每一确定的值，确定唯一一个切平面，而?的每一数值对应一条

HYPERMESH 几何清理

几何清理 geometry cleanup子面 板的菜单选 择： cleanup tol 设置在几何清理操作时需要的容差。 visual options 设置曲面显示方式，选择不同类型＂edge＂和固定点的显示状态。 Geometry Cleanup面板的功能 Edges Toggle 用鼠标器将单个的边从一种类型转化成另一种类型。 Replace 将两条明确定义的自由边合并成一条共用边。 (un)suppress 同时压缩或释放一系列所选的边。 equivalence 将自由边对合并成共用边。 Surfaces find duplicates 查找并删除重合曲面。 organize by feature 按特徵组织曲面。 move faces 移动曲面到另一个曲面（合并曲面）。 Fixed Points add 在曲面上从已经存在的自由点或节点上生成固定点。 replace 将两个明确选定的自由点合并成一个。 suppress 从一个曲面上删除一个固定点。 Defeature 面板的 功能: trim lines 取消曲面的裁剪操作。 pinholes 从曲面内查找并消除孔。 surf fillets 识别和删除相邻曲面的倒角。 edge fillets 识别和删除自由曲面边界的倒圆。 trim intersect 识别和删除自由曲面边界的倒圆，但可手工指定切点。Geom页面>geom cleanup 合并自由边

用equivalence功能合并自由边 Edges>equivalence>surfs(操作物件选择窗口中选择all) >cleanup tol输入值>点击equivalence 用replace功能合并自由边 Edges>replace>retained edge>line(选取模型中同一边里有两条红线的) >cleanup tol输入值>replace 删除曲面倒角 用于选择要删除的倒角曲面。 defeature面板 >surf fillet> surfs >菜单上选 择displayed>输入 min radius，max radius>find fillets(选曲面上 搜索设置范围内的 倒角)> 显示出 fillets to remove，ignore edge assoc和 fillet ends>remove(用尖 角取代圆形的倒角 曲面) Fillets to remove Ignore edge assoc 用于确定那些计算相切时不考虑其相邻曲面的边。Fillet ends 确认倒角端部的选择。 生成填充曲面 同时按下SHIFT键和F9键，进入surf edit>filler surface>点击lines>retrieve(选辄要填充面周围的线)> create 压缩(Suppress)不必要的细节特徵 1.选择edges子面板。 2.选择toggle子菜单。 3.沿模型的中心缝隙选取多条共用边。 4.压缩其中一些边后，通过再次点击将它们改回共用边。

微分几何试题库

微分几何 一、判断题 1、两个向量函数之和的极限等于极限的和（√） 2、二阶微分方程22A(,)2B(,)B(,)0u v du u v dudv u v dv ++=总表示曲面上两族曲线.（?） 3、若4 ()s t 的微商与()s t 平行（5、等距变换一定是保角变换678910、曲线上的正常点的切向量是存在的（1112131415二、16、曲面上的一个坐标网，其中一族是测地线 17、螺旋线x=2cost,y=2sint,z=2t,在点（1，0，0）的法平面是___y+z=0,. 18.设给出1c 类曲线:)(t r r =,.b t a ≤≤则其弧长可表示为?'b a dt t r )( 19、已知33{cos ,sin ,cos 2}r x x x =，02x π << ，则α=1 {3cos ,3sin ,4}5 x x --，β={sin ,cos ,0}x x ，

γ=1{4cos ,4sin ,3}5x x --，κ= 625sin 2x ，τ=8 25sin 2x 。 20、曲面的在曲线，如果它上面每一点的切点方向都是渐近方向，则称为渐进曲线。 21、旋转面r ={()cos ,()sin ,()t t t ?θ?θψ},他的坐标网是否为正交的?____是_____(填“是”或“不是”). 22、过点平行于法方向的直线叫做曲面在该点的_____法线_____线. 23.242526.27.28.29第二基本形式为 21236 u -+:du 30同或对称。3132.一个曲面为可展曲面的充分必要条件为此曲面为单参数平面族的包络 三、综合题 33．求曲线t te z t t y t t x ===,cos ,sin 在原点的密切平面，法平面，切线方程。 解：},,cos ,sin {t te t t t t r = 在原点处0=t 在原点处切平面的方程为:

HyperMesh知识总结

Hypermesh知识总结 1.如何从体单元提取面单元 TOOL->faces->find faces 2.在Hypermesh中使用OptiStruct求解器的重力、离心力、旋转惯性力施加方法 在HyperMesh中采用定义loadcols组件（colletors）的方式定义重力、离心力以及惯性力。 （1）重力 重力的施加方式在的card image中选择GRAV，然后create/edit，在CID中输入重力参考的坐标系，在G中输入重力加速度，在N1、N2、N3中输入重力方向向量在重力参考坐标系中的单位分量，然后返回即可。 （2）离心力 离心力的施加方式在的card image中选择RFROCE，然后create/edit，在G 中输入旋转中所在节点编号，在CID中输入离心力所参考的坐标系，在A中输入旋转速度，在N1、N2、N3中输入离心 力方向向量在离心力所参考坐标系中的单位分量，返回即可创建离心力；如果需要定义旋转惯性力，在RACC中输入旋转加速度即可，二者可以同时创建，也可单独创建。 如果在一个结构分析中，需要同时考虑结构自身的重力和外界施加的外载荷，那么可以建立重力load collector，但是外部载荷的load collector怎么建立？是同时建立在重力的load collector中吗？如果是，那边有一个十分混淆的问题：在你建立重力的load collector的时候，你选择了GRAV卡片，那么你凡是建立的该重力load collector之中的力都带有GRAV卡片属性，这显然是不对的。但是，如果你重新建立一个新的load collecotr，然后把外部载荷建立在其中，那么就有重力和外部载荷两个load collectors，但是在你建立subcase 的时候你只能选择一个load collector，那么你无论选择哪一个都必将失去另外一个，这就与我们的本意相矛盾了，我们是希望同时考虑结构自重和外部载荷的联合作用下进行分析的，这个时候应该怎么办？怎么获得结构同时在自身重力和外部载荷作用下的变形和应力？ 方法1：工况组合；使用"LOAD"卡片叠加重力载荷和其他载荷；创建一个 load collector;card image选LOAD；点击create/edit;把下面的load_num_set 改成你所要组合的载荷的数目；然后在

微分几何 陈维桓 习题答案

习题答案2 p. 58 习题3.1 2. 在球面2222{(,,)|1}S x y z x y z =++=上，命(0,0,1)N =，(0,0,1)S =-. 对于赤道平面上的任意一点(,,0)p u v =，可以作为一的一条直线经过,N p 两点，它与球面有唯一的交点，记为p '. (1) 证明：点p '的坐标是 2 221u x u v =++，2221 v y u v =++，222211u v z u v +-=++， 并且它给出了球面上去掉北极N 的剩余部分的正则参数表示； (2) 求球面上去掉南极S 的剩余部分的类似的正则参数表示； (3) 求上面两种正则参数表示在公共部分的参数变换； (4) 证明球面是可定向曲面. 证明. (1) 设(,)r u v Op '=v . 如图，,,N p p '三点共线，故有t ∈R 使得 (1)Op tOp t ON '=+-u u u v u u v u u u v . (1) 由于21Op ON =='u u u v u u u v ，222 u v Op =+u u v ，0Op ON '?=u u u v u u u v ，0t ≠，取上式两边的模长平方， 得222/(1)t u v =++. 从而 22222221 (,,)(,,0)(0,0,1)11u v x y z Op u v u v u v +-'==+++++u u u v 22222222 221,,111u v u v u v u v u v ??+-= ?++++++?? ，2 (,)u v ∈R . (2) 由(1)可知 (,,1)(0,0,1)(,,1)r Op tNp ON t u v tu tv t '==+=-+=-u u u v u u u v u u u v v ， 又2()dt t udu vdv =-+，所以 2(,,1)(1,0,0)u r t u u v t =--+v ，2(,,1)(0,1,0)v r t v u v t =--+v ，

微分几何期终试题

《微分几何》 期终考试题（A） 班级：____ 学号：______ 姓名：_______ 成绩：_____ 一、 填空题（每空1分, 共20分） 1. 半径为R 的球面的高斯曲率为 ；平面的平均曲率为 . 2. 若的曲率为，挠率为)(t r )(t k )(t τ，则关于原点的对称曲线的曲率为 )(t r ；挠率为 . 3. 法曲率的最大值和最小值正好是曲面的 曲率, 使法曲率达到最大值和最小值的方向是曲面的 方向. 4. 距离单位球面球心距离为)10(<

二、 单项选择题（每题2分，共20分） 1. 等距等价的两曲面上，对应曲线在对应点具有相同的 【 】 A. 曲率 B. 挠率 C. 法曲率 D. 测地曲率 2. 下面各对曲面中，能建立局部等距对应的是 【 】 A. 球面与柱面 B. 柱面与平面 C. 平面与伪球面 D. 伪球面与可展曲面 3. 过空间曲线C 上点P （非逗留点）的切线和P 点的邻近点Q 的平面π，当Q 沿曲线趋于点C P 时，平面π的极限位置称为曲线C 在P 点的 【 】 A. 法平面 B. 密切平面 C. 从切平面 D. 不存在 4. 曲率和挠率均为非零常数的曲线是 【 】 A. 直线 B. 圆 C. 圆柱螺线 D. 平面曲线 5. 下列关于测地线，不正确的说法是 【 】 A. 测地线一定是连接其上两点的最短曲线 B. 测地线具有等距不变性 C. 通过曲面上一点，且具有相同切线的一切曲线中，测地线的曲率最小 D. 平面上测地线必是直线 6. 设曲面的第一、第二基本型分别是,则曲面的两个主曲率分别是 【 】 2222,Ndv Ldu II Gdv Edu I +=+= A．G N k E L k ==21, B. N G k L E k ==21, C. v E G k k ???==ln 21 21 D. u G E k k ??==ln 2121 7. 曲面上曲线的曲率，测地曲率，法曲率之间的关系是 【 】 k g k n k

最新微分几何答案

微分几何答案

第二章曲面论 §1曲面的概念 1.求正螺面={ u ,u , bv }的坐标曲线. 解 u-曲线为={u ,u ,bv }=｛0,0，bv｝＋u {,,0}，为曲线的直母线；v-曲线为={,,bv }为圆柱螺线． ２．证明双曲抛物面＝｛a（u+v）, b（u-v）,2uv｝的坐标曲线就是它的直母线。 证 u-曲线为={ a（u+）, b（u-）,2u}={ a, b,0}+ u{a,b,2}表示过点{ a, b,0}以{a,b,2}为方向向量的直线; v-曲线为=｛a（+v）, b（-v）,2v｝=｛a, b,0｝+v{a,-b,2}表示过点(a, b,0)以{a,-b,2}为方向向量的直线。 3．求球面=上任意点的切平面和法线方程。 解 = ，= 任意点的切平面方程为 即 xcoscos + ycossin + zsin - a = 0 ； 法线方程为。 4．求椭圆柱面在任意点的切平面方程，并证明沿每一条直母线，此曲面只有一个切平面。 解椭圆柱面的参数方程为x = cos, y = asin, z = t , , 。所以切平面方程为： ，即x bcos + y asin － a b = 0 此方程与t无关，对于的每一确定的值，确定唯一一个切平面，而的每一数值对应一条直母线，说明沿每一条直母线，此曲面只有一个切平面。 5．证明曲面的切平面和三个坐标平面所构成的四面体的体积是常数。 证，。切平面方程为：。 与三坐标轴的交点分别为(3u,0,0),(0,3v,0),(0,0,)。于是，四面体的体积为： 是常数。 §２曲面的第一基本形式 1.求双曲抛物面＝｛a（u+v）, b（u-v）,2uv｝的第一基本形式. 解 , ∴ I = 2。 ２．求正螺面={ u ,u , bv }的第一基本形式，并证明坐标曲线互相垂直。 解，，，，∴I =，∵Ｆ＝０，∴坐标曲线互相垂直。 ３．在第一基本形式为I =的曲面上，求方程为u = v的曲线的弧长。

微分几何第四版习题答案梅向明

微分几何第四版习题答 案梅向明 Document number：NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-1986UT

§1曲面的概念 1.求正螺面r ={ u v cos ,u v sin , bv }的坐标曲线. 解 u-曲线为r ={u 0cos v ,u 0sin v ,bv 0 }=｛0,0，bv 0｝＋u {0cos v ,0sin v ,0}，为曲线的直母线；v-曲线为r ={0u v cos ,0u v sin ,bv }为圆柱螺线． ２．证明双曲抛物面r ＝｛a （u+v ）, b （u-v ）,2uv ｝的坐标曲线就是它的直母线。 证 u-曲线为r ={ a （u+0v ）, b （u-0v ）,2u 0v }={ a 0v , b 0v ,0}+ u{a,b,20v }表示过点{ a 0v , b 0v ,0}以{a,b,20v }为方向向量的直线; v-曲线为r =｛a （0u +v ）, b （0u -v ）,20u v ｝=｛a 0u , b 0u ,0｝+v{a,-b,20u }表示过点(a 0u , b 0u ,0)以{a,-b,20u }为方向向量的直线。 3．求球面r =}sin ,sin cos ,sin cos {?????a a a 上任意点的切平面和法线方程。 解 ?r =}cos ,sin sin ,cos sin {?????a a a -- ，?r =}0,cos cos ,sin cos {????a a - 任意点的切平面方程为00 cos cos sin cos cos sin sin cos sin sin sin cos cos cos =------? ?? ????? ??????a a a a a a z a y a x 即 xcos ?cos ? + ycos ?sin ? + zsin ? - a = 0 ； 法线方程为 ? ? ????????sin sin sin cos sin cos cos cos cos cos a z a y a x -=-=- 。 4．求椭圆柱面22 221x y a b +=在任意点的切平面方程，并证明沿每一条直母线，此曲面只有一个 切平面 。 解 椭圆柱面22 221x y a b +=的参数方程为x = cos ?, y = asin ?, z = t , }0,cos ,sin {??θb a r -= , }1,0,0{=t r 。所以切平面方程为： 01 0cos sin sin cos =----????b a t z b y a x ，即x bcos ? + y asin ? － a b = 0

(整理)《微分几何》陈维桓第六章习题及答案.

§ 6.1 测地曲率 1. 证明：旋转面上纬线的测地曲率是常数。 证明： 设旋转面方程为{()cos ,()sin ,()} r f v u f v u g v =， 22222 ()()(()())()f v du f v g v dv ''I =++， 222(),()() E f v G f v g v ''==+ 纬线即u —曲线：0 v v =（常数）， 其测地曲率为2 u g k == =为常数。 2、 证明：在球面S (cos cos ,cos sin ,sin )r a u v a u v a u =， ,0222 u v ππ π- <<<< 上，曲线 C 的测地曲率可表示成 ()()sin(())g d s dv s k u s ds ds θ=- ， 其中((),())u s v s 是球面S 上曲线C 的参数方程， s 是曲线C 的弧长参数， ()s θ是曲线C 与球面上经线（即u -曲

线）之间的夹角。 证明 易求出2 E a =, 0 F =,2 2 cos G a u =, 因此 g d k ds θθθ= 221ln(cos )sin 2d a u ds a u θθ?=+? sin sin cos d u ds a u θθ= -， 而1sin cos dv ds a u θθ ==， 故 sin g d dv k u ds ds θ= -。 3、证明：在曲面S 的一般参数系(,)u v 下，曲线:(),()C u u s v v s ==的测地曲率是 ()()()()()())g k Bu s Av s u s v s v s u s ''''''''=-+-， 其中s 是曲线C 的弧长参数，2 g EG F =-， 并且 12 112 11 12 22 (())2()()(())A u s u s v s v s ''''=Γ+Γ+Γ， 2222 2111222(())2()()(())B u s u s v s v s ''''=Γ+Γ+Γ 特别是，参数曲线的测地曲率分别为 2 3 11(())u g k u s '，1322(()) v g k v s '= 。 证明 设曲面S 参数方程为12(,)r r u u =，1122:(),()C u u s u u s ==

微分几何习题及答案解析

第一章 曲线论 §2 向量函数 5. 向量函数)(t r 具有固定方向的充要条件是)(t r × )('t r = 0 。 分析：一个向量函数)(t r 一般可以写成)(t r =)(t λ)(t e 的形式，其中)(t e 为单位向 量函数，)(t λ为数量函数，那么)(t r 具有固定方向的充要条件是)(t e 具有固定方向，即)(t e 为常向量，（因为)(t e 的长度固定）。 证 对于向量函数)(t r ，设)(t e 为其单位向量，则)(t r =)(t λ)(t e ，若)(t r 具有固 定方向，则)(t e 为常向量，那么)('t r =)('t λe ，所以 r ×'r =λ'λ（e ×e ）=0 。 反之，若r ×'r =0 ，对)(t r =)(t λ)(t e 求微商得'r ='λe +λ'e ，于是r × 'r =2 λ（e ×'e ）=0 ，则有 λ = 0 或e ×'e =0 。当)(t λ= 0时，)(t r =0 可与任意 方向平行；当λ≠0时，有e ×'e =0 ，而（e ×'e 2)=22'e e -(e ·'e 2)＝2'e ，（因 为e 具有固定长， e ·'e = 0） ，所以 'e =0 ，即e 为常向量。所以，)(t r 具有固 定方向。 6．向量函数)(t r 平行于固定平面的充要条件是（r 'r ''r ）=0 。 分析：向量函数)(t r 平行于固定平面的充要条件是存在一个定向向量)(t n ，使)(t r ·n = 0 ，所以我们要寻求这个向量n 及n 与'r ，''r 的关系。 证 若)(t r 平行于一固定平面π，设n 是平面π的一个单位法向量，则n 为常向 量，且)(t r ·n = 0 。两次求微商得'r ·n = 0 ，''r ·n = 0 ，即向量r ，'r ，' 'r 垂直于同一非零向量n ，因而共面，即（r 'r ''r ）=0 。 反之, 若（r 'r ''r ）=0，则有r ×'r =0 或r ×'r ≠0 。若r ×'r =0 ，由上题知 )(t r 具有固定方向，自然平行于一固定平面，若r ×' r ≠ ，则存在数量函数)(t λ、

微分几何练习题库及参考答案(已修改)

> 《微分几何》复习题与参考答案 一、填空题 1．极限232 lim[(31)i j k]t t t →+-+=138i j k -+． 2．设f ()(sin )i j t t t =+，2g()(1)i j t t t e =++，求0 lim(()())t f t g t →?= 0 ． 3．已知{}42 r()d =1,2,3t t -?， {}6 4 r()d =2,1,2t t -?，{}2,1,1a =，{}1,1,0b =-，则 4 6 2 2 ()()a r t dt+b a r t dt=???? ?{}3,9,5-. 4．已知()r t a '=（a 为常向量），则()r t =ta c +． 5．已知()r t ta '=，（a 为常向量），则()r t = 212 t a c +． 6. 最“贴近”空间曲线的直线和平面分别是该曲线的___ 切线___和 密切平面____. 【 7. 曲率恒等于零的曲线是_____ 直线____________ . 8. 挠率恒等于零的曲线是_____ 平面曲线________ . 9. 切线（副法线）和固定方向成固定角的曲线称为 一般螺线 . 10. 曲线()r r t =在t = 2处有3αβ=，则曲线在t = 2处的曲率k = 3 . 11. 若在点00(,)u v 处v 0u r r ?≠，则00(,)u v 为曲面的_ 正常______点. 12． 已知()(2)(ln )f t t j t k =++，()(sin )(cos )g t t i t j =-，0t >，则4 ()d f g dt dt ?=?4cos 62-． 13．曲线{}3()2,,t r t t t e =在任意点的切向量为{}22,3,t t e ． 14．曲线{}()cosh ,sinh ,r t a t a t at =在0t =点的切向量为{}0,,a a ． \ 15．曲线{}()cos ,sin ,r t a t a t bt =在0t =点的切向量为{}0,,a b ． 16．设曲线2:,,t t C x e y e z t -===，当1t =时的切线方程为 2111 -=-- =-z e e y e e x ． 17．设曲线t t t e z t e y t e x ===,sin ,cos ，当0t =时的切线方程为11-==-z y x . 18. 曲面的曲纹坐标网是曲率线网的充要条件是____F =M =0_ ______________. 19. u －曲线（v －曲线）的正交轨线的微分方程是 _____ E d u +F d v ＝0（F d u +G d v ＝0）__. 20. 在欧拉公式2212cos sin n k k k θθ=+中，θ是 方向(d) 与u －曲线 的夹角. 21. 曲面的三个基本形式,,I II III 、高斯曲率K 、平均曲率H 之间的关系是20H K III -II +I = . 22．已知{}r(,),,u v u v u v uv =+-，其中2,sin u t v t ==，则 dr d t ={}2cos ,2cos ,2cos t t t t vt u t +-+．