圆锥曲线抛物线教师版

抛物线

一、必会基础

1．抛物线的定义

满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线： (1)在平面内；

(2)动点到定点F 距离与到定直线l 的距离______； (3)定点______定直线上． 2．抛物线的标准方程和几何性质 标准方程

y 2＝2px (p ＞0)

y 2＝－2px (p ＞0)

x 2＝2py (p >0)

x 2＝－2py (p >0)

p 的几何意义：焦点F 到准线l 的距离

图形

顶点 O (0,0)

对称轴 y ＝0

x ＝0

焦点 F (p

2

，0) F (－p

2

，0)

F (0，p 2

)

F (0，－p

2

)

离心率 e ＝1

准线方程 x ＝－p 2

x ＝p 2 y ＝－p 2

y ＝p 2 范围 x ≥0，y ∈R

x ≤0，y ∈R

y ≥0，x ∈R

y ≤0，x ∈R

开口方向 向右 向左 向上 向下 焦半径(其中P (x 0，y 0)

|PF |＝x 0＋p

2

|PF |＝－x 0＋p

2

|PF |＝y 0＋p

2

|PF |＝－y 0＋p

2

二、易错点

1．抛物线的定义中易忽视“定点不在定直线上”这一条件，当定点在定直线上时，动点的轨迹是过定点且与直线垂直的直线．

2．抛物线标准方程中参数p 易忽视只有p ＞0，才能证明其几何意义是焦点F 到准线l 的距离，否则无几何意义．

[试一试]

1．抛物线y 2＝8x 的焦点到准线的距离是( ) A ．1 B ．2 C ．4 D ．8

解析：选C

2．动圆过点(1,0)，且与直线x ＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为________． 答案：y 2＝4x 三、两个方法

1．转化思想在定义中应用

抛物线上点到焦点距离常用定义转化为点到准线的距离． 2．与焦点弦有关的常用结论 (以下图为依据)

(1)y 1y 2＝－p 2

，x 1x 2＝p 2

4

.

(2)|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2p

sin 2θ(θ为AB 的倾斜角)．

(3)1|AF |＋1|BF |为定值2p

. (4)以AB 为直径的圆与准线相切． (5)以AF 或BF 为直径的圆与y 轴相切． [练一练]

1．若抛物线x 2＝ay 过点A ????1，1

4，则点A 到此抛物线的焦点的距离为________． 答案：5

4

2.已知过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点，O 是坐标原点，|AF |＝2，则|BF |＝________，△OAB 的面积是________．

答案：2 2

考点一

抛物线的标准方程及几何性质

1.已知双曲线x 2a 2－y 2

b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线与抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线分别交

于A, B 两点，O 为坐标原点. 若双曲线的离心率为2, △AOB 的面积为3， 则p ＝( )

A ．1 B.32 C ．2 D ．3

解析：选C

2．设抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点M 在C 上，|MF |＝5.若以MF 为直径的圆过点(0,2)，则C 的方程为( )

A ．y 2＝4x 或y 2＝8x

B ．y 2＝2x 或y 2＝8x

C ．y 2＝4x 或y 2＝16x

D ．y 2＝2x 或y 2＝16x

解析：选C

3．从抛物线x 2＝4y 上一点P 引抛物线准线的垂线，垂足为M ，且|PM |＝5，设抛物线的焦点为F ，则△MPF 的面积为________．

答案：10 [类题通法]

1．涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性．

2．求抛物线方程应注意的问题

(1)当坐标系已建立时，应根据条件确定抛物线方程属于四种类型中的哪一种； (2)要注意把握抛物线的顶点、对称轴、开口方向与方程之间的对应关系； (3)要注意参数p 的几何意义是焦点到准线的距离，利用它的几何意义来解决问题．

考点二

抛物线的定义应用

角度一 动弦中点到坐标轴距离最短问题

1．已知抛物线x 2＝4y 上有一条长为6的动弦AB ，则AB 的中点到x 轴的最短距离为( ) A.3

4 B.32 C ．1 D ．2

解析：选D

角度二 距离之和最小问题

2．已知抛物线方程为y 2＝4x ，直线l 的方程为x －y ＋5＝0，在抛物线上有一动点P 到y 轴的距离为d 1，到直线l 的距离为d 2，则d 1＋d 2的最小值为________．

答案：32－1

与抛物线定义相关的最值问题常涉及距离最短、距离和最小等等.归纳起来常见的命题角度有：

(1)动弦中点到坐标轴距离最短问题； (2)距离之和最小问题； (3)焦点弦中距离之和最小问题.

角度三焦点弦中距离之和最小问题

3．已知抛物线y2＝4x，过焦点F的直线与抛物线交于A、B两点，过A、B分别作y 轴垂线，垂足分别为C、D，则|AC|＋|BD|的最小值为________．

答案：2

[类题通法]

与抛物线有关的最值问题的解题策略

该类问题一般情况下都与抛物线的定义有关．实现由点到点的距离与点到直线的距离的转化．

(1)将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解．

(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决．

考点三直线与抛物线的位置关系

[典例]已知曲线y2＝2px(p＞0)在第一象限内与圆x2＋y2－4x＋1＝0交于不同的两点A，B.

(1)求p的取值范围；

(2)如果在x轴上只有一个点M，使MA⊥MB，求p的值及M的坐标．

[解](1)p的取值范围是(0,1)．

(2)p＝3－6M的坐标为(6－1,0)．

[类题通法]

求解直线与抛物线位置关系问题的方法

在解决直线与抛物线位置关系的问题时，其方法类似于直线与椭圆的位置关系．在解决此类问题时，除考虑代数法外，还应借助平面几何的知识，利用数形结合的思想求解．[针对训练]

已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1

(1)求该抛物线的方程；

(2)O为坐标原点，C为抛物线上一点，若OC＝OA＋λOB，求λ的值．

解(1)y2＝8x.

(2)λ＝0，或λ＝2.

[课堂练习]

1．已知m ，n ，m ＋n 成等差数列，则抛物线mx 2＝ny 的焦点坐标是( ) A.????0，1

2 B.????12，0 C.????0，14 D.????14，0

解析：选A

2．设抛物线y 2＝6x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，P A ⊥l ，垂足为A ，如果△APF 为正三角形，那么|PF |等于( )

A ．4 3

B ．6 3

C ．6

D ．12 解析：选C

3．过抛物线y 2＝8x 的焦点F 作倾斜角为135°的直线交抛物线于A ，B 两点，则弦AB 的长为( )

A ．4

B ．8

C ．12

D ．16 解析：选D

4．设抛物线x 2＝12y 的焦点为F ，经过点P (2,1)的直线l 与抛物线相交于A ，B 两点，又知点P 恰为AB 的中点，则|AF |＋|BF |＝________.

答案：8

5．如图所示，抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点，点P (1,2)，

A (x 1，y 1)，

B (x 2，y 2)均在抛物线上．

(1)写出该抛物线的方程及其准线方程；

(2)当P A 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求y 1＋y 2的值及直线AB 的斜率．

解：(1)抛物线的方程是y 2＝4x ，准线方程是x ＝－1. (2)y 1＋y 2＝－4. k AB ＝－1

[课下作业]

第Ⅰ卷：夯基保分卷

1．抛物线x 2＝1

2y 的焦点F 到其准线l 的距离是( )

A ．2

B ．1 C.12

D.14 解析：选D

2．已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线与曲线x 2＋y 2－6x －7＝0相切，则p 的值为( )

A ．2

B ．1 C.12

D.14

解析：选A

3．已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为( )

A ．x ＝1

B ．x ＝－1

C ．x ＝2

D ．x ＝－2 解析：选B

B.

4．已知抛物线y 2

＝2px 的焦点F 与双曲线x 27－y 2

9＝1的右焦点重合，抛物线的准线与x

轴的交点为K ，点A 在抛物线上，且|AK |＝2|AF |，则△AFK 的面积为( )

A ．4

B ．8

C ．16

D ．32

解析：选D 由题可知抛物线焦点坐标为F (4,0)．过点A 作直线AA ′垂直于抛物线的准线，垂足为A ′，根据抛物线定义知，|AA ′|＝|AF |，在△AA ′K 中，|AK |＝2|AA ′|，故∠KAA ′＝45°，所以直线AK 的倾斜角为45°，直线AK 的方程为y ＝x ＋4，代入抛物线方程y 2＝16x 得y 2＝16(y －4)，即y 2－16y ＋64＝0，解得y ＝8.所以△AFK 为直角三角形，故△AFK 的面积为1

2

×8×8＝32.

5．已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点为F (1,0)，直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点．若AB 的中点的坐标为(2,2)，则直线l 的方程为________．

解析：由于抛物线的焦点坐标为(1,0)，所以抛物线的方程为y 2＝4x .显然当直线的斜率不存在或为零时不满足题意，故设直线l 的方程为y －2＝k (x －2)，其中k ≠0，联立方程得

?

????

y ＝kx ＋(2－2k )，y 2＝4x ，消去y 得k 2x 2＋[4k (1－k )－4]x ＋4(1－k )2＝0，显然4k 2－4k ＋42k 2＝2，解得

k ＝1.故直线l 的方程为y ＝x .

答案：y ＝x

6．抛物线x 2

＝2py (p >0)的焦点为F ，其准线与双曲线x 23－y 2

3

＝1相交于A ，B 两点，若

△ABF 为等边三角形，则p ＝________.

解析：由x 2＝2py (p >0)得焦点F ????0，p 2，准线l 为y ＝－p

2，所以可求得抛物线的准线与双曲线x 23－y 23＝1的交点A ? ????－12＋p 22，－p 2，B ? ????

12＋p 22，－p 2，所以|AB |＝ 12＋p 2，则

|AF |＝|AB |＝

12＋p 2，所以p |AF |＝sin π3，即p 12＋p 2＝3

2

，解得p ＝6.

答案：6

7．已知抛物线C ：x 2＝4y 的焦点为F ，过点K (0，－1)的直线l 与C 相交于A ，B 两点，点A 关于y 轴的对称点为D.

(1)证明：点F 在直线BD 上；

(2)设FA ·

FB ＝8

9，求∠DBK 的平分线与y 轴的交点坐标． 解：(1)证明：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，D (－x 1，y 1)，l 的方程为y ＝kx －1，

由?

????

y ＝kx －1，

x 2＝4y ，得x 2－4kx ＋4＝0， 从而x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝4.

直线BD 的方程为y －y 1＝y 2－y 1x 2＋x 1(x ＋x 1)，

即y －x 214＝x 2－x 1

4

(x ＋x 1)，

令x ＝0，得y ＝x 1x 2

4

＝1，所以点F 在直线BD 上．

(2)因为FA ·FB ＝(x 1，y 1－1)·(x 2，y 2－1)＝x 1x 2＋(y 1－1)·(y 2－1)＝8－4k 2，

故8－4k 2＝89，解得k ＝±4

3

，

所以l 的方程为4x －3y －3＝0,4x ＋3y ＋3＝0. 又由(1)得x 2－x 1＝±16k 2－16＝±47

3，

故直线BD 的斜率为x 2－x 14＝±7

3

，

因而直线BD 的方程为7x －3y ＋3＝0，7x ＋3y －3＝0. 设∠DBK 的平分线与y 轴的交点为M (0，t )， 则M (0，t )到l 及BD 的距离分别为3|t ＋1|5，3|t －1|

4，

由

3|t ＋1|5＝3|t －1|4，得t ＝1

9

或t ＝9(舍去)， 所以∠DBK 的平分线与y 轴的交点为M ???

?0，1

9. 8．已知过点A (－4,0)的动直线l 与抛物线G ：x 2＝2py (p ＞0)相交于B ，C 两点．当直线l 的斜率是1

2

时，AC ＝4AB .

(1)求抛物线G 的方程；

(2)设线段BC 的中垂线在y 轴上的截距为b ，求b 的取值范围．

解：(1)设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，当直线l 的斜率为12时，l 的方程为y ＝1

2(x ＋4)，即x ＝

2y －4.

由?????

x 2

＝2py ，x ＝2y －4，

得2y 2－(8＋p )y ＋8＝0， ∴?????

y 1y 2＝4， ①y 1＋y 2＝8＋p 2， ② 又∵AC ＝4AB ，∴y 2＝4y 1，③

由①②③及p ＞0得：y 1＝1，y 2＝4，p ＝2， 则抛物线G 的方程为x 2＝4y .

(2)设l ：y ＝k (x ＋4)，BC 的中点坐标为(x 0，y 0)，

由?

????

x 2＝4y ，y ＝k (x ＋4)，得x 2－4kx －16k ＝0，④ ∴x 0＝x 1＋x 22

＝2k ，y 0＝k (x 0＋4)＝2k 2＋4k .

∴线段BC 的中垂线方程为y －2k 2－4k ＝－1

k (x －2k )，

∴线段BC 的中垂线在y 轴上的截距为： b ＝2k 2＋4k ＋2＝2(k ＋1)2，

对于方程④，由Δ＝16k 2＋64k ＞0得k ＞0或k ＜－4. ∴b ∈(2，＋∞)．故b 的取值范围为(2，＋∞)． 第Ⅱ卷：提能增分卷

1．(2014·淄博模拟)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于不同的A ，B 两点．

(1)如果直线l 过抛物线的焦点，求OA ·

OB 的值； (2)如果OA ·

OB ＝－4，证明直线l 必过一定点，并求出该定点． 解：(1)由题意：抛物线焦点为(1,0)， 设l ：x ＝ty ＋1，代入抛物线y 2＝4x ， 消去x 得y 2－4ty －4＝0，

设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4t ，y 1y 2＝－4，

∴OA ·

OB ＝x 1x 2＋y 1y 2＝(ty 1＋1)(ty 2＋1)＋y 1y 2 ＝t 2y 1y 2＋t (y 1＋y 2)＋1＋y 1y 2 ＝－4t 2＋4t 2＋1－4＝－3.

(2)证明：设l ：x ＝ty ＋b 代入抛物线y 2＝4x ，消去x 得

y 2－4ty －4b ＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则y 1＋y 2＝4t ，y 1y 2＝－4b ，

∴OA ·

OB ＝x 1x 2＋y 1y 2＝(ty 1＋b )(ty 2＋b )＋y 1y 2 ＝t 2y 1y 2＋bt (y 1＋y 2)＋b 2＋y 1y 2 ＝－4bt 2＋4bt 2＋b 2－4b ＝b 2－4B.

令b 2－4b ＝－4，∴b 2－4b ＋4＝0，∴b ＝2. ∴直线l 过定点(2,0)．

∴若OA ·

OB ＝－4，则直线l 必过一定点(2,0)． 2．在平面直角坐标系xOy 中，设点F ????12，0，直线l ：x ＝－1

2，点P 在直线l 上移动，R 是线段PF 与y 轴的交点，RQ ⊥FP ，PQ ⊥l .

(1)求动点Q 的轨迹方程C ；

(2)设圆M 过A (1,0)，且圆心M 在曲线C 上，TS 是圆M 在y 轴上截得的弦，当M 运动时，弦长|TS |是否为定值？请说明理由．

解：(1)依题意知，点R 是线段FP 的中点，且RQ ⊥FP ， ∴RQ 是线段FP 的垂直平分线． ∵|PQ |是点Q 到直线l 的距离． 点Q 在线段FP 的垂直平分线上， ∴|PQ |＝|QF |.

故动点Q 的轨迹是以F 为焦点，l 为准线的抛物线， 其方程为y 2＝2x (x ＞0)．

(2)弦长|TS |为定值．理由如下：取曲线C 上一点M (x 0，y 0)，M 到y 轴的距离为d ＝|x 0|＝x 0，

圆的半径r ＝|MA |＝(x 0－1)2＋y 20， 则|TS |＝2r 2－d 2＝2y 20－2x 0＋1， 因为点M 在曲线C 上，所以x 0＝y 20

2

，

所以|TS |＝2y 20－y 2

0＋1＝2，是定值．

3. 在直角坐标系xOy 中，点M ????2，－1

2，点F 为抛物线C ：y ＝mx 2(m ＞0)的焦点，线段MF 恰被抛物线C 平分．

(1)求m 的值；

(2)过点M 作直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，设直线F A ，FM ，FB 的斜率分别为k 1，k 2，k 3，问k 1，k 2，k 3能否成公差不为零的等差数列？若能，求直线l 的方程；若不能，请说明理由．

解：(1)由题得抛物线C 的焦点F 的坐标为????0，14m ，线段MF 的中点N ????1，18m －14在抛物线C 上，

∴

18m －1

4

＝m,8m 2＋2m －1＝0， ∴m ＝14(m ＝－1

2

舍去)．

(2)由(1)知抛物线C ：x 2＝4y ，F (0,1)．

设直线l 的方程为y ＋1

2＝k (x －2)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，

由?????

y ＋12＝k (x －2)，x 2＝4y ，得x 2－4kx ＋8k ＋2＝0， Δ＝16k 2－4(8k ＋2)＞0， ∴k ＜2－62或k ＞2＋62

.

由根与系数的关系得?

????

x 1＋x 2＝4k ，

x 1x 2＝8k ＋2，

假设k 1，k 2，k 3能成公差不为零的等差数列，则k 1＋k 3＝2k 2.

而k 1＋k 3＝y 1－1x 1＋y 2－1x 2＝x 2y 1＋x 1y 2－x 2－x 1

x 1x 2＝x 2x 214＋x 1x 2

2

4－x 2－x 1x 1x 2＝????x 1x 24－1(x 1＋x 2)x 1x 2

＝

????8k ＋24－1·

4k 8k ＋2

＝4k 2－k

4k ＋1

，

k 2＝－1

2－12－0

＝－34，

∴4k 2－k 4k ＋1＝－32，8k 2＋10k ＋3＝0，解得k ＝－12(符合题意)或k ＝－3

4(不合题意，舍去)．

∴直线l 的方程为y ＋12＝－1

2

(x －2)，即x ＋2y －1＝0.

∴k 1，k 2，k 3能成公差不为零的等差数列，此时直线l 的方程为x ＋2y －1＝0.

高中数学双曲线抛物线知识点总结

双曲线 平面内到两个定点,的距离之差的绝对值是常数2ａ（2ａ< )的点的轨迹。 方程 22 22 1(0,0)x y a b a b -=>> 22 22 1(0,0)y x a b a b -=>> 简图 范围 ,x a x a y R ≥≤-∈或 ,y a y a x R ≥≤-∈或 顶点 (,0)a ± (0,)a ± 焦点 (,0)c ± (0,)c ± 渐近线 b y x a =± a y x b =± 离心率 (1)c e e a = > (1)c e e a = > 对称轴 关于x 轴、y 轴及原点对称 关于ｘ轴、y 轴及原点对称 准线方程 2 a x c =± 2 a y c =± a 、 b 、 c 的关 系 222c a b =+ 考点 题型一 求双曲线的标准方程 １、给出渐近线方程n y x m =±的双曲线方程可设为2222(0)x y m n λλ-=≠,与双曲线 22221x y a b -=共渐近线的方程可设为22 22(0)x y a b λλ-=≠。 2、注意:定义法、待定系数法、方程与数形结合。 【例1】求适合下列条件的双曲线标准方程。 （1） 虚轴长为12,离心率为 54 ; （2） 焦距为26,且经过点Ｍ（0,12）； （3） 与双曲线 22 1916 x y -=有公共渐进线，且经过点(3,23A -。 _x _ O _y _x _ O _y

解:（１)设双曲线的标准方程为22221x y a b -=或22 221y x a b -=(0,0)a b >>。 由题意知,2ｂ=１2，c e a ==54 。 ∴b=6,ｃ=10，a=8。 ∴标准方程为236164x -=或22 16436 y x -=。 （2)∵双曲线经过点M(0,１2）， ∴M （０，12）为双曲线的一个顶点，故焦点在y 轴上,且ａ=１２。 又2c ＝26，∴c ＝13。∴2 2 2 144b c a =-=。 ∴标准方程为 22 114425y x -=。 (３)设双曲线的方程为22 22x y a b λ -= (3,23A -在双曲线上 ∴(2 2 331916 -= 得1 4 λ= 所以双曲线方程为22 4194 x y -= 题型二 双曲线的几何性质 方法思路：解决双曲线的性质问题,关键是找好体重的等量关系,特别是ｅ、ａ、b 、ｃ四者的关系，构造出c e a = 和222 c a b =+的关系式。 【例2】双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的焦距为2c,直线ｌ过点（a,0)和（０,b ）,且点（1, ０）到直线ｌ的距离与点(-1,0）到直线l 的距离之和s ≥4 5 c 。求双曲线的离心率ｅ的取值范围。 解:直线l 的方程为 1x y a b -=，级bx ＋ay-ab=0。 由点到直线的距离公式，且a ＞1，得到点(1,０）到直线ｌ的距离12 2 d a b = +, 同理得到点(－1,0）到直线l 的距离22 2 d a b = +,

初中抛物线常见结论汇总(教师版)

初中抛物线常见结论汇总（教师版） 1. （唯一交点或最值） （1）已知抛物线y=x 2－2x －3，过点D （0,-4）求与抛物线有且只有一个公共点的直线的解析式。 (判别式) （2）已知抛物线y=x 2－2x －3，在第四象限的抛物线上求点P ，使四边形ACPB 的面积最大。 2. (焦点—准线：顶点上下14a 个单位)已知抛物线y ＝12 x 2－x ＋1，直线过点P （1，1）与抛物线交于A 、B 。过A 、B 分别作x 轴的垂线，垂足分别为M 、N 。 （1）连PM 、PN ，求证：△PMN 为直角三角形； （2）①求证：AB ＝AM+BN ；②求1AP ＋1BP 的值。 （3）已知点D （1，0），求证：DP 经过△AB D 的内心。 3. 如图，抛物线y ＝12x 2﹣x －32 顶点为D ，对称轴上有一点E （1，4），在抛物线上求点P ，使∠EPD=90°。 4. （定直角特殊点——特殊）已知抛物线y=12 x 2，过对称轴上P 点的任意一条直线与抛物线的两交点A 、B 和O 点构成以O 点为直角顶点的直角三角形，求P 点坐标。（定点：顶点向上平移1/a 个单位长度）

5. （定直角特殊点——半特殊）如图：抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴交于A 、B ，与y 轴交于C ，交点C 向上平移t 个单位长度到D ，过D 作EF ∥AB ，交抛物线于E 、F ，∠ECF＝90°。求t 与a 的关系。 6. （定直角特殊点——一般）如图：抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴交于A 、B ，与y 轴交于C ，点P （m,n ）为抛物线 上任意一点，过D （0，n+t ）作EF ∥AB ，交抛物线于E 、F ，∠EPF＝90°。求t 与a 的关系。 7. （纵向平分对称点——特殊）已知抛物线y=12 x 2，过对称轴上P 点的任意一条直线与抛物线的两交点为A 、B ，在对称轴负半轴上有点Q （0，-2），且∠AQB 被对称轴平分，求P 点坐标。 8. （纵向平分对称点——一般）如图，抛物线y ＝x 2-x －2与x 轴交于A 、B ，与y 轴交于C ，点D 和点C 关于对 称轴对称，MN ∥AD ，交抛物线于M 、N ，直线MD 、ND 分别交y 轴于E 、F 。求证：CF ＝CE 。

教师招聘圆锥曲线经典总结

圆锥曲线必背口诀(红字为口诀)-椭圆 一、椭圆定义 定点为焦点，定值为长轴.（定值=2a ） 椭圆.定点为焦点，定直线为准线，定值为离心率.（定值=e ） 定点为短轴顶点，定值为负值. （定值2k e 1=-） 二、椭圆的性质定理 长轴短轴与焦距，形似勾股弦定理① 准线方程准焦距，a 方、b 方除以c ② 通径等于 2 e p ，切线方程用代替③ 焦三角形计面积，半角正切连乘b ④ 注解： 1长轴2a =，短轴2b =，焦距2c =，则：222a b c =+ 2准线方程：2 a x c = （ a 方除以c ） 3椭圆的通径 d ：过焦点垂直于长轴的直线与椭圆的两交点之间的距

离称为椭圆的通径.（通径22 c b 2b 2a c a d 2ep =??==） 过椭圆上00x y (,)点的切线方程，用00x y (,)等效代替椭圆方程得到. 等效代替后的是切线方程是：0022x x y y 1a b += 4、焦三角形计面积，半角正切连乘b 焦三角形：以椭圆的两个焦点12F F ,为顶点，另一个顶点P 在椭圆上的三角形称为焦三角形.半角是指12F PF θ=∠的一半. 则焦三角形的面积为：2 S b 2 tan θ = 证明：设1PF m =，2PF n =，则m n 2a +=由余弦定理： 222m n 2mn 4c cos θ+-?= 22224a 4b m n 4b ()=-=+- 即：2 2mn 2mn 4b cos θ-?=-，即：22b 1mn (cos )θ=+. 即：2 122b mn PF PF 1||||cos θ==+ 故：12 F PF 1S m n 2sin θ=??△2 2 12b b 211sin sin cos cos θθθθ=? ?=?++ 又：22221222 sin cos sin tan cos cos θθ θ θ θθ = =+ 所以：椭圆的焦点三角形的面积为122 F PF S b 2tan θ ?=. 三、椭圆的相关公式 切线平分焦周角，称为弦切角定理① 1F 2F O x y P m n

高二数学教案：抛物线教案人教版

人教版抛物线教案 一．教学目的： １．掌握抛物线的概念． ２．掌握抛物线的标准方程及其应用． ３．理解并应用抛物线的几何性质． 二．重点难点： １．重点：抛物线的标准方程及其应用．抛物线的几何性质． ２．难点：抛物线的几何性质． 三．教学过程： 引入新课：与一定点的距离和一条定直线的距离比是常数ｅ的点的轨迹，当ｅ＜１时，是椭圆，当ｅ＞１时，是双曲线。当ｅ＝１时，是什么曲线呢？（让同学们看课件抛物线的定义部分，然后让学生回答，给出抛物线的定义。） 如图平面内与一个定点F 和一条定直线L 的距离 相等的点的轨迹叫做抛物线． 结合课件，让学生推导抛物线的标准方程． 取过焦点Ｆ且垂直与准线Ｌ的直线为ｘ轴，ｘ轴与Ｌ相交于点Ｋ，以线段KF 的垂直平分线为ｙ轴，如右图．设KF ＝ｐ，则焦点Ｆ的坐标为F(2 p ,0),准线L 的方程为:ｘ＝－ 2 p ． 设抛物线上的点Ｍ（ｘ，ｙ）到Ｌ的距离为ｄ．抛物线也就是集合Ｐ＝｛ＭMF ＝ｄ｝． ∵MF ＝2 2y p x +??? ?? - ， ｄ＝2 p x +， ∴2 2y p x +??? ?? - ＝2 p x + 将上式整理可得抛物线的标准方程：ｙ2 =2px(ｐ＞０) 让学生自己总结，写出抛物线标准方程的其他几种形式．教师总结如下表：

最后让学生看课件抛物线的标准方程部分,加深印象. 接着让学生看e与图线形状之间的关系.让学生对抛物线、椭圆、双曲线有一个整体认识,为后面综合应用打好基础. 例题1:求下列抛物线的焦点坐标和准线方程: ⑴ｘ２＝２ｙ： ⑵ｙ２－６ｘ＝０： 例题２：拱形桥洞是一段抛物线，宽７ｍ，高为０.７ｍ，求这条抛物线的方程．

圆锥曲线中的定点定值问题(教师版)

第四讲 圆锥曲线中的定点定值问题 一、直线恒过定点问题 例1. 已知动点E 在直线:2l y =-上，过点E 分别作曲线2 :4C x y =的切线,EA EB ， 切点为 A 、 B , 求证：直线AB 恒过一定点，并求出该定点的坐标； 解：设),2,(-a E )4,(),4,(2 22211x x B x x A ，x y x y 2 1 4'2=∴= , )(21 41121点切线过，的抛物线切线方程为过点E x x x x y A -=-),(2 1 421121x a x x -=--∴整理得：082121=--ax x 同理可得：2 22280x ax --= 8 ,2082,2121221-=?=+∴=--∴x x a x x ax x x x 的两根是方程 )2 4,(2+a a AB 中点为可得，又22 12 121212124442 AB x x y y x x a k x x x x - -+====-- 2(2)()22a a AB y x a ∴-+=-直线的方程为，2()2 a y x AB =+∴即过定点0,2. 例2、已知点00(,)P x y 是椭圆22:12x E y +=上任意一点，直线l 的方程为0012 x x y y +=， 直线0l 过P 点与直线l 垂直，点M （-1，0）关于直线0l 的对称点为N ，直线PN 恒 过一定点G ，求点G 的坐标。 解：直线0l 的方程为0000()2()x y y y x x -=-，即000020y x x y x y --= 设)0,1(-M 关于直线0l 的对称点N 的坐标为(,)N m n 则0000001 212022x n m y x n m y x y ?=-?+??-??--=??，解得3200020432 0000 2002344424482(4)x x x m x x x x x n y x ?+--=?-??+--?=?-? ∴ 直线PN 的斜率为4320000032 00004288 2(34) n y x x x x k m x y x x -++--==---+

中考压轴大题--抛物线+三角形 教师版

001如图，关于x 的二次函数y=x 2+bx+c 的图象与x 轴交于点A （1，0）和点B ，与y 轴交于点C （0，3），抛物线的对称轴与x 轴交于点D ． （1）求二次函数的表达式； （2）在y 轴上是否存在一点P ，使△PBC 为等腰三角形？若存在．请求出点P 的坐标； 解：（1）把A （1，0）和C （0，3）代入y=x 2+bx+c ， 解得：b=﹣4，c=3， ∴二次函数的表达式为：y=x 2﹣4x+3； （2）令y=0，则x 2﹣4x+3=0， 解得：x=1或x=3， ∴B （3，0）， ∴BC=3 ， 点P 在y 轴上，当△PBC 为等腰三角形时分三种情况进行讨论：如图1， ①当CP=CB 时，PC=3，∴OP=OC+PC=3+3 或OP=PC ﹣ OC=3 ﹣3 ∴P 1（0，3+3 ），P 2（0，3﹣3 ）； ②当BP=BC 时，OP=OB=3， ∴P 3（0，﹣3）； ③当PB=PC 时， ∵OC=OB=3 ∴此时P 与O 重合， ∴P 4（0，0）；

综上所述，点P的坐标为：（0，3+3）或（0，3﹣3）或（0，﹣3）或（0，0）； 002如图，在矩形OABC中，点O为原点，点A的坐标为（0，8），点C的坐标为 （6，0）．抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A、C，与AB交于点D． （1）求抛物线的函数解析式； （2）点P为线段BC上一个动点（不与点C重合），点Q为线段AC上一个动点，AQ=CP，连接PQ，设CP=m，△CPQ的面积为S． ①求S关于m的函数表达式； ②当S最大时，在抛物线y=﹣x2+bx+c的对称轴l上，若存在点F，使△DFQ 为直角三角形，请直接写出所有符合条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由． 解：（1）将A、C两点坐标代入抛物线，得 ， 解得：， ∴抛物线的解析式为y=﹣x2+x+8； （2）①∵OA=8，OC=6， ∴AC==10， 过点Q作QE⊥BC与E点，则sin∠ACB===，

椭圆、双曲线、抛物线的标准方程与几何性质

一、知识要点: 椭圆、双曲线、抛物线的标准方程与几何性质

第一种定义:平面内与两个定点F 1、F 2的距离之和等于常数(大于｜F 1F 2｜)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距. 第二种定义:平面内一个动点到一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是小于1的正常数,这个动点的轨迹叫椭圆,定点是椭圆的焦点,定直线叫做椭圆的准线. 2.椭圆的标准方程: (1))0(122 22>>=+b a b y a x ,焦点:F 1(-c,0),F 2(c,0),其中 c=2 2b a -. (2))0(122 22>>=+b a a y b x ,焦 点 :F 1(0,-c),F 2(0,c), 其 中 c= 2 2b a -. 3.椭圆的参数方程:? ??==θθ sin cos b y a x ,(参数θ是椭圆上任意一点的离心率). 4.椭圆的几何性质:以标准方程)0(12222>>=+b a b y a x 为例: ①范围:|x|≤a,|y|≤b; ②对称性:对称轴x=0,y=0,对称中心为O(0,0); ③顶点A(a,0),A ′(-a,0),B(0,b),B ′(0,-b);长轴|AA ′|=2a,短轴|BB ′|=2b; ④离心率:e=a c ,0

⑤准线x=±c a 2 ;⑥焦半径:|PF 1|=a+ex,|PF 2|=a-ex,其中P(x,y)是椭圆上任 意一点. 二、基本训练 1．设一动点 P 到直线3x =的距离与它到点A （1，0）的距离之比为 3， 则动点P 的轨迹方程是 （ ） () A 22 132 x y += ()B 22 132 x y -= ()C 2 2 (1)132 x y ++= ()D 22 123 x y += 2．曲线 192522=+y x 与曲线)9(19252 2<=-+-k k y k x 之间具有的等量关系 （ ） ()A ()C 3且过点(3,0)A 4．底面直径为12cm 30的平面所截， ， 短轴长 ，离心率5．已知椭圆22 221(x y a b +=的离心率为5，若将这个椭圆绕着它的右

高考数学 考前30天冲刺押题系列 专题05 圆锥曲线(下)理(教师版)

【名师备考建议】 鉴于圆锥问题具有综合性强、区分度高的特点，名师给出以下四点备考建议： 1、主观形成圆锥的知识结构；椭圆、双曲线、抛物线，在这三类曲线身上是有很多的基本性质具 有相关性，因此，在复习备考的过程中，应当主观的形成对三类圆锥曲线方程以及性质的认识，形成一张深刻记忆的知识列表；同时对基本的题型也要有一定的把握； 2、认真研究三年高考的各种题型；由于圆锥曲线的难度系数较高，不易把握，但仍然有理可循； 复习备考的过程中，无论是老师还是学生都应当认真研究近三年文理科的出题方向，至于从何研究，可以从近三年的质检卷、名校卷以及高考卷中得到启示，努力理清每一道问题的思路、做法，这样可以有效的培养解题意识； 3、熟练掌握部分题型的解题模式；三轮复习中，由于做题的经验得到一定的积累，多多少少对题 目的解题方法和手段有了一定的认识，比如，直线与圆锥曲线的问题，大部分是必须联立直线与圆锥曲线的方程进行解题，这是一种模式；再比如，圆锥曲线的探究性问题，可以先采用一些特殊值进行计算，得到结论以后加以证明；这都是必须熟练掌握的解题模式； 4、调整对待圆锥曲线的心理状态；由于圆锥曲线问题的综合性较强，并且经常作为倒二题出现， 这就要求学生合理的分配自己的时间；如果实在无法求解，无须在此问题上进行逗留，以免失去了做压轴题和检查的时间；对于优等生来说，必须精益求精；对于中等生来说，只需尽其所能；对于差等生来说，一定不必强求. 【高考冲刺押题】 e=，椭圆上的点到焦点【押题6】已知椭圆C的中心为坐标原点O，焦点在y轴上，离心率 2 M m，且与椭圆C交于相异两点,A B，且的最短距离为2，直线l经过y轴上一点(0,) =． 3 AM MB

考点52 抛物线(教师版) 备战2020年高考理科数学必刷题集

考点52 抛物线 1．（山东省烟台市2019届高三5月适应性练习二）已知过抛物线2 :4C y x =焦点的直线交抛物线C 于P ,Q 两点,交圆2 2 20x y x +-=于M ,N 两点,其中P , M 位于第一象限,则14 |||| PM QN +的值不可能为（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 【答案】A 【解析】 作图如下：可以作出下图， 由图可得，可设PF m =，QF n =，则1PM m =-，1QN n =-， 24y x =，2p ∴=，根据抛物线的常用结论，有 112 1m n p +==， 1m n mn +∴ =，则m n mn +=， 14||||PM QN ∴ +14 11m n =+ --4545()1m n m n mn m n +-==+--++ 又 11(4)1(4)( )m n m n m n +?=+?+441m n n m =+++452m n n m ≥+? 得49m n +≥，454m n ∴+-≥ 则 14 |||| PM QN +的值不可能为3，

答案选A 2．（江西省新八校2019届高三第二次联考理）如图，过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线l 交抛物线于点,A B ，交其准线于点C ，若4BC BF =，且6AF =，则p 为（ ） A ． 9 4 B ． 92 C ．9 D ．18 【答案】B 【解析】 设准线与x 轴交于点P ，作BH 垂直于准线，垂足为H 由4BC BF =，得： 4 5 BH BC PF CF == 由抛物线定义可知：BF BH =，设直线l 倾斜角为θ 由抛物线焦半径公式可得：41cos 5 p BF BF PF p p θ+===，解得：1cos 4 θ= 4 6131cos 3 144 p p p AF p θ∴= ====--，解得：9 2 p = 本题正确选项：B 3．（陕西省2019届高三年级第三次联考理）已知双曲线，若抛物线（为 双曲线半焦距）的准线被双曲线截得的弦长为（为双曲线的离心率），则双曲线的渐近线方程为（ ） A ． B ．

圆锥曲线经典结论总结(教师版)

椭圆与双曲线的对偶性质--（必背的经典结论） 高三数学备课组 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角. 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直 径的圆，除去长轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=. 6. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切 点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b +=. 7. 椭圆22 221x y a b += (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点 12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan 2 F PF S b γ ?=. 8. 椭圆22 221x y a b +=（a ＞b ＞0）的焦半径公式： 10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c -,2(,0)F c 00(,)M x y ). 9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF. 10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和 A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF. 11. AB 是椭圆22 221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则 2 2OM AB b k k a ?=-， 即020 2y a x b K AB -=。 12. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是 22 00002222x x y y x y a b a b +=+.

双曲线及抛物线(作业及答案)

5 5 13 双曲线及抛物线（作业） 例 1： 已知双曲线 x 4 y 2 - = 1 的右焦点与抛物线 y 2 b 2 = 12x 的焦点 重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于（ ） A ． 【思路分析】 B ． 4 C.3 D ．5 先求出抛物线的焦点坐标，代入求出双曲线的渐近线方程，然后利用点到直线的距离公式求解． 【过程示范】 ∵抛物线 y 2 = 12x 的焦点坐标为(3，0) ， ∴双曲线 x 4 y 2 - = 1的右焦点坐标为(3，0) ，即 c =3， b 2 ∴ 4 + b 2 = 9 ，即b = ， ∴双曲线的渐近线方程为 y = ± 5 x ，即 5x ± 2 y = 0 ， 2 ∴双曲线的焦点到其渐近线的距离d = | 3? 3 5 | = ．故选 A ． x 2 y 2 例 2： 如图， F 1 ， F 2 是双曲线 C ： a 2 - b 2 = 1(a > 0，b > 0) 的左、 右焦点，过点 F 1 的直线与C 的左、右两支分别交于A ，B 两点．若 | AB |:| BF 2 |:| AF 2 |= 3 : 4 : 5 ，则双曲线的离心率为（ ） A. B ． 【思路分析】 C ．2 D ． 利用三角形的边长比例关系，研究三角形的性质，再结合双曲线的定义，求出实轴长与焦距的比例关系． 设| AB |= 3t ，则| BF 2 |= 4t ，| AF 2 |= 5t ，可得△ ABF 2 是以 B 为直角顶点的直角三角形； 5 2 15 3 2 2

13 根据双曲线的定义，得| AF 2 | - | AF 1 |=| BF 1 | - | BF 2 | ， 根据| BF 1 |=| AB | + | AF 1 | ，得 5t - | AF 1 |=| AF 1 | +3t - 4t ，解得| AF 1 |= 3t ， ∴| AF 2 | - | AF 1 |= 2t = 2a ，即a = t ， ∵∠ F 1BF 2 = 90? ， ∴| F 1F 2 | = = 2 13t ，即c = 13t ， ∴离心率e = c = ．故选 A ． a 例 3： 过抛物线 y 2 = 2 px ( p > 0) 的焦点 F 且垂直于对称轴的直线 交抛物线于 A ，B 两点，若线段 AB 的长为 8，则 p 的值为 ． 【思路分析】 利用抛物线的几何定义，将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离． 【过程示范】如图所示： ∵AB ⊥OF ，| AB |= 8 ， ∴| AF |= 4 ， ∴点 A 到准线 x = - p 的距离d = 4 ， 2 ∵点 A 到准线 x = - p 的距离为 p ， 2 ∴ p = 4 ． | BF |2 + | BF |2 1 2

智行数学-圆锥曲线(带答案,教师专用)

智行数学-圆锥曲线（带答案，教师专用） 一、单选题(注释) 1、已知双曲线的左、右焦点分别为，以为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为，则此双曲线的方程为（）A．B．C．D． 2、F1，F2是双曲线的左、右焦点，过左焦点F1的直线 与双曲线C的左、右两支分别交于A，B两点，若，则双曲线的离心率是（） A．B．C．2 D． 3、在平面直角坐标系中，直线与圆相交于两点，则弦的长等于( ) A．B．C．D． 4、已知圆M经过双曲线的两个顶点，且与直线相切，则圆M方程为（） A．B． C．D． 5、已知椭圆的焦点，，是椭圆上一点，且是， 的等差中项，则椭圆的方程是（） A．B． C．D． 6、以的顶点为焦点,长半轴长为4的椭圆方程为 A．B．C．D． 7、若 k 可以取任意实数，则方程 x 2 + k y 2 =" 1" 所表示的曲线不可能是（）A．直线B．圆C．椭圆或双曲线D．抛物线 8、方程的两个根可分别作为的离心率。 A．椭圆和双曲线B．两条抛物线C．椭圆和抛物线D．两个椭圆

评卷人得分 二、填空题(注释) 10、若一条抛物线以原点为顶点，准线为，则此抛物线的方程为 . 11、双曲线的渐近线方程是_▲____ 13、中心在坐标原点，焦点在轴上的双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为 . 14、椭圆的左焦点为，直线与椭圆相交于点、，当 的周长最大时，的面积是． 17、若点是以为焦点的双曲线上一点，满足，且 ，则此双曲线的离心率为▲ . 评卷人得分 三、解答题() 与直线相切，是 抛物线上两个动点，为抛物线的焦点，的垂直平分线与轴交于点，且. （1）求的值; （2）求点的坐标; （3）求直线的斜率的取值范围. 19、已知抛物线，为抛物线的焦点，椭圆；（1）若是与在第一象限的交点，且，求实数的值； （2）设直线与抛物线交于两个不同的点，与椭圆交于两个 不同点，中点为，中点为，若在以为直径的圆上，且 ，求实数 的取值范围. 20、（本小题满分12分） 已知定直线l:x=1和定点M(t,0)(t∈R),动点P到M的距离等于点P到直线l距离的2倍。（1）求动点P的轨迹方程，并讨论它表示什么曲线； （2）当t=4时，设点P的轨迹为曲线C，过点M作倾斜角为θ(θ>0)的直线交曲线C

圆锥曲线中离心率及其范围地求解专题(教师版)

圆锥曲线中离心率及其围的求解专题 【高考要求】 1．熟练掌握三种圆锥曲线的定义、标准方程、几何性质，并灵活运用它们解决相关的问题。 2．掌握解析几何中有关离心率及其围等问题的求解策略； 3．灵活运用教学中的一些重要的思想方法（如数形结合的思想、函数和方程的思想、分类讨论思想、等价转化的思想学）解决问题。 【热点透析】 与圆锥曲线离心率及其围有关的问题的讨论常用以下方法解决： （1）结合定义利用图形中几何量之间的大小关系； （2）不等式（组）求解法：利用题意结合图形（如点在曲线等）列出所讨论的离心率（a,b,c ）适合的不等式（组），通过解不等式组得出离心率的变化围； （3）函数值域求解法：把所讨论的离心率作为一个函数、一个适当的参数作为自变量来表示这个函数，通过讨论函数的值域来求离心率的变化围。 （4）利用代数基本不等式。代数基本不等式的应用，往往需要创造条件，并进行巧妙的构思； （5）结合参数方程，利用三角函数的有界性。直线、圆或椭圆的参数方程，它们的一个共同特点是均含有三角式。因此，它们的应用价值在于： ① 通过参数θ简明地表示曲线上点的坐标； ② 利用三角函数的有界性及其变形公式来帮助求解围等问题； （6）构造一个二次方程，利用判别式?≥0。 2.解题时所使用的数学思想方法。 （1）数形结合的思想方法。一是要注意画图，草图虽不要求精确，但必须正确，特别是其中各种量之间的大小和位置关系不能倒置；二是要会把几何图形的特征用代数方法表示出来，反之应由代数量确定几何特征，三要注意用几何方法直观解题。 （2）转化的思想方汉。如方程与图形间的转化、求曲线交点问题与解方程组之间的转化，实际问题向数学问题的转化，动点与不动点间的转化。 （3）函数与方程的思想，如解二元二次方程组、方程的根及根与系数的关系、求最值中的一元二次函数知识等。 （4）分类讨论的思想方法，如对椭圆、双曲线定义的讨论、对三条曲线的标准方程的讨论等。 【题型分析】 1. 已知双曲线22 122:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，抛物线2C 的顶点在原点， 准线与双曲线1C 的左准线重合，若双曲线1C 与抛物线2C 的交点P 满足212PF F F ⊥，则双曲线1C 的离 心率为（ ） A ． B C D ． 解：由已知可得抛物线的准线为直线2 a x c =- ，∴ 方程为2 2 4a y x c =；

高中数学双曲线及抛物线

双曲线及抛物线（讲义） 知识点睛 一、双曲线 1. 双曲线的标准方程 我们把平面内与两个定点1F ，2F 的距离的差的绝对值等于常数(小于12||F F )的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距． 设()M x y ，是双曲线上任意一点，双曲线的焦距为2(0)c c >， 那么焦点1F ，2F 的坐标分别为(0)c -，，(0)c ，． 又设M 与1F ，2F 的距离的差的绝对值等于常数2a ． 12{|||||||2}P M MF MF a =-=． 因为12|| ||MF MF == 所以 2a =±． ① 类比建立椭圆标准方程的化简过程，化简①，得 22222222()()c a x a y a c a --=-， 两边同除以222()a c a -，得 22 2221x y a c a -=-． 由双曲线的定义可知，22220c a c a c a >>->，即，所以． 类比椭圆标准方程的建立过程，我们令222c a b -=，其中0b >，代入上式，得 22 221(00)x y a b a b -=>>，． 双曲线的标准方程：22 221(0 0)x y a b a b ， -=>>．

2.双曲线的几何性质 二、抛物线 1.抛物线的标准方程 我们把平面内与一个定点F和一条定直线l（l不经过点F）距离相等的点的

轨迹叫做抛物线． 点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线． 设||(0)KF p p =>，那么焦点F 的坐标为(0)2p ，，准线l 的方程为2 p x =-． 设()M x y ，d ． 由抛物线的定义，抛物线就是点的集合 {|||}P M MF d ==． 因为||||2 p MF d x == +，所以 ||2 p x =+． 将上式两边平方并化简，得 22(0)y px p =>． 抛物线的标准方程：22(0)y px p =>． 2. 抛物线的几何性质

人教版高中数学选修2-1第二章圆锥曲线与方程2.4抛物线(教师版)【个性化辅导含答案】

抛物线 __________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ 1. 了解抛物线的实际背景，了解抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用； 2. 掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质. 1．抛物线的定义 (1)平面内与一个定点F 和一条定直线l (F ?l )的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线． (2)其数学表达式：|MF |＝d (其中d 为点M 到准线的距离)． 2．抛物线的标准方程与几何性质 图形 标准方程 y 2＝2px (p >0) y 2＝－2px (p >0) x 2＝2py (p >0) x 2＝－2py (p >0) p 的几何意义：焦点F 到准线l 的距离 性 质 顶点 O (0，0) 对称轴 y ＝0 x ＝0 焦点 F ? ????p 2，0 F ? ????－p 2，0 F ? ?? ??0，p 2 F ? ?? ??0，－p 2 离心率 e ＝1 准线方程 x ＝－p 2 x ＝p 2 y ＝－p 2 y ＝p 2 范围 x ≥0，y ∈R x ≤0，y ∈R y ≥0，x ∈R y ≤0，x ∈R 开口方向 向右 向左 向上 向下 例1：过点(0，－2)的直线与抛物线y 2 ＝8x 交于A 、B 两点，若线段AB 中点的横坐标为2，则|AB|等于( ) A ．217 B .17 C ．215 D .15 【解析】设直线方程为y ＝kx －2，A(x 1，y 1)、B(x 2，y 2)． 由????? y ＝kx －2，y 2 ＝8x ， 得k 2x 2 －4(k ＋2)x ＋4＝0. ∵直线与抛物线交于A 、B 两点，

圆锥曲线的方程(教师版)

圆锥曲线的方程 一、单选题 1．（2020·全国课时练习）一动圆P 过定点(4,0)M -，且与已知圆22:(4)16N x y -+=相切，则动圆圆心 P 的轨迹方程是（ ） A ．22 1(2)412x y x -= B ．221(2)412 x y x -=- C ．22 1412 x y -= D ．221412 y x -= 【答案】C 【解析】 【分析】 分两圆内切和外切两种情况进行讨论可得4PN PM -=，结合双曲线的定义可求出其圆心的轨迹方程. 【详解】 由已知得(4,0)N ，当两圆内切时，定圆N 在动圆P 的内部，有||||4PN PM =-； 当两圆外切时有||||4PN PM =+，故4PN PM -=，由双曲线的定义知， 点P 的轨迹是以M ，N 为焦点的双曲线，且24,4a c ==，所以224,12a b ==， 故圆心P 的轨迹方程为22 1412 x y -=. 故选：C 【点睛】 本题考查了双曲线的定义，考查了双曲线轨迹方程的求解，考查了两圆相切问题，属于基础题. 2．（2020·全国课时练习）已知点(,)P x y =P 的轨迹是（ ） A ．椭圆 B ．双曲线 C ．两条射线 D ．双曲线的一支 【答案】B 【解析】 【分析】

根据两点间距离公式化简条件，再根据双曲线定义判断，即可选择. 【详解】 设(1,0),(1,0)A B -，则由已知得||PA PB -=‖∣P 到两个定点A ?B 的距离之差的绝对值等于常 ，又||2AB =2<，所以根据双曲线的定义知，动点P 的轨迹是双曲线. 故选：B 【点睛】 本题考查双曲线的定义，考查基本分析判断能力，属基础题. 3．（2020·全国课时练习）已知平面上的定点12,F F 及动点M ，甲：12MF MF m -=(m 为常数)，乙：点M 的轨迹是以12,F F 为焦点的双曲线，则甲是乙的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】 根据双曲线的定义以及必要不充分条件的定义可得答案. 【详解】 根据双曲线的定义，乙?甲，但甲乙，只有当120m F F <<时，点M 的轨迹才是双曲线. 故选：B. 【点睛】 本题考查了双曲线的定义，考查了必要不充分条件，属于基础题. 4．（2020·全国课时练习）若方程22 141 y x m -=+表示双曲线，则实数m 的取值范围是（ ） A ．13m -<< B ．1m >- C ．3m > D ．1m <- 【答案】B 【解析】 【分析】 根据双曲线的标准方程列式可得结果. 【详解】

解析几何(直线与圆、椭圆、双曲线和抛物线)

2012届数学二轮复习专题十 考试范围：解析几何（直线与圆、椭圆、双曲线和抛物线） 一、选择题（本大题共10小题；每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．直线07 tan =+y x π 的倾斜角是 （ ） A ．7 π - B ． 7π C ．75π D ．7 6π 2．直线01:1=+-y x l 关于直线2:=x l 对称的直线2l 方程为 （ ） A ．012=--y x B ．072=-+y x C ．042=--y x D ．05=-+y x 3．“2-=a ”是直线()021:1=-++y x a l 与直线()0122:2=+++y a ax l 互相垂直的 （ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 4．直线0=+++b a by ax 与圆222=+y x 的位置关系为 （ ） A ．相交 B ．相切 C ．相离 D ．相交或相切 5．已知点P 在圆074422=+--+y x y x 上，点Q 在直线上kx y =上，若PQ 的最小值为122-，则k = （ ） A ．1 B ．1- C ．0 D ．2 6．若椭圆122=+my x 的离心率??? ? ??∈22, 33e ，则m 的取值范围是 （ ） A ．?? ? ??32,21 B ．()2,1 C ．()2,132,21 ?? ? ?? D ．??? ??2,21 7．已知中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线的一条渐近线方程为03=-y x ，则该双曲线的离心率为 （ ） A ． 3 3 2 B ． 3 C ．2或3 3 2 D ． 3 3 2或3 8．M 是抛物线x y 42 =上一点，且在x 轴上方，F 是抛物线的焦点，以x 轴的正半轴为始边，FM 为终边构成的最 小的角为60°，则=FM （ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．6 9．设抛物线x y 82 =的准线经过中心在原点，焦点在坐标轴上且离心率为 2 1 的椭圆的一个顶点，则此椭圆的方程为 （ ） A ．1161222=+y x 或112 1622=+y x B ．1644822=+y x 或1486422=+y x C ．112 162 2=+y x 或 143 1622=+x y D ．13 422=+y x 或143 1622=+x y 10．已知定点()0,21-F 、()0,22F ，动点N 满足1=ON （O 为坐标原点），NM M F 21=，()R MF MP ∈=λλ2，01=?PN M F ， 则点P 的轨迹是 （ ） A ．椭圆 B ．双曲线 C ．抛物线 D ．圆 二、填空题（本大题共5小题；每小题5分，共25分.将答案填在题中的横线上） 11．以点()2,1-为圆心且与直线1-=x y 相切的圆的标准方程是 ． 12．圆06442 2=++-+y x y x 上到直线05=--y x 的距离等于 2 2 的点有 个． 13．若点P 在直线03:1=++my x l 上，过点P 的直线2l 与曲线()165:2 2=+-y x C 只有一个公共点M ，且PM 的最小值为4，则=m ．

抛物线的参数方程(教师版)

14?抛物线的参数方程 主备5 审核J 学习目标:L r 解椭圆的参数方程的推导过程及参数的意义： 2.掌握椭圆的参数方程，并能解决一些简单的问题. 学习臺点：椭圆参数方程的应用， 学习难点：椭圆参数方程中参数的意义. 学习过程： 一、课前准备： 阅读教材P33-P34的内容，理解抛物线的参数方程的推导过程，井复习以下问题: 1?将下列参数方程化为普通方程： X = 2-1 x = f-- (1) y = 2x-，其中A = f-y (f 为参数人答「 (2) 3y-=4x ，其中x = t (f>0为参数人 答：? 二. 新课导学, (-)新知： 抛物线的参数方程的推导过程： 如图：设M (儿刃为抛物线上除顶点外的任意一点，以 射线OM 为终边的角记为a ,当住在内变化时, 2 2 点M 在抛物线上运动，并且对于住的毎一个值，在抛物 线上都 有唯一的M 点与对应?因此，可以取为参数探求 抛物线的参数 方程. 根据三角函数的定义得，tana =上，KP y = xtan

84《圆锥曲线-双曲线》基础知识--教师版

二.双曲线 注意:牢记双曲线的两种定义,在解题时,要善于应用几何上或代数上的意义。

一.过焦点弦长公式的推导(注意分类,不要求记忆,但要熟练推导过程) ㈠焦点在x 轴上: 1.过左焦点且相交于同一支: 过双曲线22 221x y a b -=左焦点)0,(1c F -的直线交双曲线的左支分别于点),(),,(2211y x B y x A ,则: ;11a ex AF --=;21a ex BF --=焦点弦a x x e AB 2)(21-+-= 2.过左焦点且相交于两支 过双曲线22 221x y a b -=左焦点)0,(1c F -的直线交双曲线的左右支分别于点),(),,(2211y x B y x A ,则: ;11a ex AF --=;21a ex BF +=焦点弦a x x e AB 2)(21++= 3.过右焦点且相交于同一支 过双曲线22 221x y a b -=右焦点)0,(2c F 的直线交双曲线的右支分别于点),(),,(2211y x B y x A ,则: ;12a ex AF -=;22a ex BF -=焦点弦a x x e AB 2)(21-+= 4.过右焦点且相交于两支 过双曲线22 221x y a b -=右焦点)0,(2c F 的直线交双曲线的左右支分别于点),(),,(2211y x B y x A ,则: ;12ex a AF -=;22a ex BF -=焦点弦a x x e AB 2)(21++-= ㈡焦点在y 轴上:分别同上面的情况 1.过下焦点且相交于同一支 2.过下焦点且相交于两支 3.过上焦点且相交于同一支 4.过上焦点且相交于两支 二.焦点三角形:如图 设若双曲线方程为22 221x y a b -=,21,F F 分别为它的左右焦点,),(00y x P 为双曲线上任意一点,则有: 性质1.若12F PF ,∠=θ则2 cot .2 21θ b S F PF =?;特别地,当12F PF 90∠=时,有2 21b S F PF =? 021y c S PF F ?=? 性质2.双曲线焦点三角形的内切圆与21,F F 相切于实轴顶点；且当P 点在双曲线左支时,切点为左顶点,且当P 点在双曲线右支时,切点为右顶点。 性质3.双曲线的焦点21F PF ?中,1221PFF ,PF F ,∠=α∠=β