32．给出下列三角函数：①)3
4sin(ππ+n ； ②)6
2cos(π
π+
n ；③)3
2sin(π
π+
n ；
④]6
)12cos[(π
π-+n ；⑤)](3
)12sin[(Z n n ∈-
+π
π；其中函数值为3
sin
π
的是（C ）
A ．①②
B ．①③④
C ．②③⑤
D ．①③⑤
提示：根据诱导公式逐一检验得，或对于n 取一系列特殊值检验．
33．若θθπ,5
3)s i n (-=+是第二象限角，φφπ
,5
52)2
sin(
-
=+是第三象限的角，则)cos(φθ-的值是（B ） A ．5
5-
B ．
5
5
C ．
25
511
D ．5
提示：即5
3sin =θ，5
52cos -=φ，求得5
4cos -
=θ，5
5sin -
=φ．
34．设一个半径为10的水轮，水轮的圆心距水面为7，已知水轮每分钟旋转4圈，水轮上的点P 到水面的
距离y 与时间x （秒）之间满足函数关系7)sin(++=?ωx A y ，若0>ω，则其中的（A ） A ．10152==A ，πω B ．10215==A ，πω
C ．1715
22==
A ，ω
D ．1715
2==
A ，πω
提示：A=10，转动的频率为15
1=f （圈/秒），∴周期151==
f
T ，而ω
π
2=
T ，故得．
35．函数)0)(cos()sin()(>++=ωφωφωx x x f 以2为最小正周期，且能在x=2时取最大值，则φ的一个值
是（A ） A ．4
3π-
B ．4
5π-
C ．4
7π
D ．
2
π
提示：)22sin(21)(φω+=x x f ，且222=ω
π，∴2
π
ω=
，反代即得．
36．函数2
2sin =x 是1tan =x 成立的（D ）
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分又不必要条件
提示：注意角的取值范围变化．
37．函数2
5cos 32cos 2
1+
-=x x y 的最小值为（B ）
A ．2
B ．0
C ．
4
1 D ．4
1-
提示：2
5cos 3)1cos
2(212
+
--=x x y ，∴2cos 3cos 2+-=x x y ，且1|cos |≤x ．
38．将函数))(6
sin(R x x y ∈+
=π
的图像上所有的点向左平行移动4
π
个单位长度，再把图像上各点的横坐
标扩大到原来的2倍（纵坐标不变），则所得到的解析式为（B ） A ．)12
52sin(π+
=x y B ．)12
52sin(
π+=x y C ．)12
2sin(
π
-
=x y D ．)24
52
sin(
π+
=x y
提示：左移得)6
4
sin(π
π
+
+
=x y ，即)12
5sin(π+=x y ，再将x 变为2
x ．
39．函数44
()tan (cos sin
)2
2
x x f x x =-的最小正周期是（A ）
A ．2π
B ．π
C ．
2
π
D ．
4
π
提示：()tan cos sin (,)2
f x x x x x k k Z π
π==≠+
∈，选A ．
40．已知,1)cos(,3
1sin -=+=βαα则=+)2sin(βα _______．
[答案]3
1-
提示：)](sin[)2sin(βααβα++=+．
41．设x x t sin cos +=，若0cos sin 33<+x x ，则实数t 的取值范围是___________．
[答案]02<≤-
t
提示：对已知的第一式平方，变形得2
1cos sin 2
-=
t
x x ，且22≤
≤-
t ，而
第二式即0)cos sin 1)(cos (sin <-+x x x x ，∴0)2
11(2
<--
t
t ，即0)3(2
>-t
t ，∴03<<-t ，或
3>
t ；综合得02<≤-
t ．
42．函数x x y 2cos )23
cos(--=π
的最小正周期为 __________．
[答案]π
提示：)3
2cos(2sin 2
32cos 2
12cos 2sin 2
32cos 2
1π
-
=+
=
-+
=
x x x x x x y ．
43．关于三角函数的图像，有下列命题： ①x y sin =与x y sin =的图像关于y 轴对称；②)cos(x y -=与x y cos =的图像相同； ③x y sin = 与)sin(x y -=的图像关于y 轴对称；④ x y cos =与)cos(x y -=的图像关于轴对称；
其中正确命题的序号是 ___________．[答案]②④ 提示：逐一作图判断．
44．已知一扇形的中心角为α，其所在的圆的半径为R ．
（1）若0
60α=，R=10cm ，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积；
（2）若扇形的周长为定值p ，当α为多少弧度时，该扇形有最大的面积？这一最大面积是多少？
[解析]计算弧长和扇形面积都存在有由角度和弧度制表示的两种公式，显然，用弧度表示的相应公式易于记忆、便于使用，其核心公式是周长公式(2)C r π=和圆的面积公式2
1(2)2
S r π=
，对于一般扇
形，作相应的计算只需将两个核心公式中的2π换之以扇形的圆心角的弧度数α即可：
（1）设弧长为l ，弓形面积为S 弓，则∵0
603
πα==，R=10，∴10()3
l cm π=
，
2
11011010sin
2
3
2
3
S S S ππ
?=-=
??-?弓扇2
50(
)3
2
cm π
=-
；
（2）∵扇形周长22p R l R R α=+=+，∴2p R α
=
+，
∴2
22111()4
2222
4p p S R ααααα
===?
+++
扇
，
由4
4αα
+
≥，得2
16
p
S ≤
扇，∴当且仅当4
αα
=
，即2α=时，扇形取得最大面积
2
16
p
.
45．已知)
35tan(1)35tan(1)]104tan(31[sin )(0
---++
-+
=x x x x x f ，求)50(0f ．
[解答]0
00
015
tan 115tan 1)190tan 31(50sin )50(-++
+
=f
00
015
tan 45
tan 115
tan 45
tan )10tan 60
tan 1(50sin -++
+=
000
60tan )10
cos 60cos 10
sin 60sin 10
cos 60cos (
50sin ++=
=
31310
cos 50
cos 50
sin 2310
cos 2
150
cos 50sin 0
+
=+=
+．
46．已知函数)0(3cos >-=b x b a y 的最大值为
2
3，最小值为2
1-
，求函数bx a y 3sin 4-=的单调区间、最
大值和最小正周期．
[解答]由已知条件得???
????
-=-=+；
，212
3b a b a 解得?????==；，121b a ∴x y 3sin 2-=，
其最大值为2，最小正周期为32π，
在区间[3
26
326π
ππ
π
k k +
+
-，]（Z k ∈）上是增函数，
在区间[
3
22
326
πππ
π
k k ++
，]（Z k ∈）上是减函数．
47．已知,3
2
tan ,3
1tan -
==βα求
β
αβαβα2
2
cos
sin )
sin()sin(-+的值．
[解答]利用和角、差角公式展开，并借助分式的性质，
分子分母同除以βα22cos cos 可得
原式＝
α
β
αβ
αβαβα2
2
22
2
2
2
tan tan
tan cos
sin )
sin (cos )cos sin -=
-（＝1)2(1)3
1
32
(
1)
tan tan
(122
2
-=--=-
-=-α
β
．
48．已知βαtan ,tan 是方程0342=--mx x 的两个根． （1）证明对于任意实数m ，都有βαβαcos cos 4)cos(=+； （2）若32)tan(2-=+m βα，求实数m 的值． [解答]（1）3tan tan ,4tan tan -==+βαβαm ，
3cos sin cos sin ,
4cos sin cos sin -=?=+∴β
βα
αβ
βα
αm ，
即
βαβαβ
αα
ββαcos cos 3sin sin ,4cos cos cos sin cos sin -==+m ，
βαβαβαβαβαcos cos 4sin sin cos cos ,cos cos 4)sin(=-=+m ，
即βαβαcos cos 4)cos(=+；
（2）由（1）可得m =+)tan(βα，∴m m =-322，
即0322=--m m ，∴1-=m ，或2
3=
m ．
49．已知R a a x x x f ∈++=.(2sin 3cos 2)(2为常数）
（1）若，R x ∈求)(x f 的单调递增区间；
（2）若]2
0[π
，∈x 时，)(x f 最大值为4，求a 的值．
[解答]（1）1)6
2sin(22sin 32cos 1)(+++=+++=a x a x x x f π
，
当时，2
26
222π
ππ
π
π+
≤+
≤-
k x k 为单调增函数
)(x f ，
即当)(6
3
x f k x k 时，π
ππ
π+
≤≤-
为单调增函数， 同理，当为单调减函数
时，＋)(3
26
x f k x k πππ
π+≤≤；
（2）当1,412)(6
=∴=++=
a a x f x 有最大值时，π
．
50．如图扇形AOB 的半径为1，中心角为060，PQRS 是扇形的内接矩形，问P 在怎样位置时，矩形PQRS
的面积最大？并求出这个最大值． [解答]设∠)60,0((,00∈=x x AOP )，
则0
60cot sin cos ,sin x x RS x PS -==，
x x x x x S 2
sin
332sin 2
1sin )60cot sin (cos -
=-=∴
6
3
)2sin(3
32
2cos 1332sin 2
1-
+=
--
=φx x x ，
其中3
3tan =
φ，所以当,9020=+φx 即030=x 时S 有最大值
6
333-
．
51．判定函数?
?
? ?
?-+=x x y sin sin 1log
2
2
1的奇偶性，并求函数的最值．
[解析] 判断函数的奇偶性，先看定义域，然后考查f(x)同f(-x)是否具有相等或相反的关系，为方便运算，常常根据题目本身的特点而转化，为考查)()(x f x f -±是否为0，甚至也可考查)(x f 与)(x f -的比值，观察本题的特点是对数函数，不妨先考查)
()(x f x f +-,求最值时若注意到sin x 的有界性以及函数
的单调性，则最值易求：
函数?
?
? ?
?-+=x x x f sin sin 1log
)(2
2
1的定义域为R ,又?
?
? ?
?++=+
-x x x f x f sin sin 1log
)()(2
2
1＋
.01log
sin sin 1log
2
12
2
1==??
? ?
?-+x x
.)(),()(为奇函数即函数x f x f x f -=-∴令],1,1[sin -∈=x t
上是单调递减函数，
在是单调递减函数
]1,1[1,log
2
2
1--+=
=t t
u u y
??
? ??-+=t t y 2
2
11log
则在[-1,1]上是增函数．()(
)1
2log 12log 12
2
1
max +=-==∴y t
时，当,
(
)
(
)1
2log
12log
12
2
1min -=+=-=y t 时，当．
[点评] （1）函数定义域关于原点对称是判定函数奇偶性的必要条件；
（2）要掌握利用函数单调性求函数最值的方法．
52．已知函数()().,0,2
sin
22
5sin 2
1πθθ
θθ∈+-
=
f
（1）将()θf 表示为θcos 的多项式；
（2）求曲线k k y +=θcos 与()θf y =至少有一个公共点的实数k 的取值．（注)sin 4sin 33sin :3θθθ-=．
[解析] 这是一道带指令性的三角形问题，欲()θf 为关于θcos 的多项式，必须考虑去分母，这就需要在做出一定变换之后，能够约分，注意到
,22
2
5,
32
2
5,
2
2
θθ
θθθ
θθθ
θ
=-
=+
=+
有下列解法：
（1）
()θ
θθθθθθθ
θ
θsin 225sin 225sin 21212
cos
2sin 22cos 25sin 21????????? ??-+??? ??++
-=+-=f ()θθθsin 2sin 3sin 2121++-
θ
θθ
θ
θ
θθcos sin 22
32
1sin 2cos sin 2sin 4sin 32
12
3
+-+
-
=+-+
-
=?
()
;1cos cos 2cos cos 1212
2
-+=+--=θθθθ
（2）令()()1,1,,0,cos -∈∈=t t πθθ
.122
-+=+t t k kt
()()t k t k t
,01122
=+--+∴＝-1（舍），或.2
1+=
k t
则－1＜
2
1+k ＜1，－3＜k ＜1．
[点评]第（1）问的求解方程不止上面给出的一种，还可以尝试通分后用和差化积变分子的方法去做；而第（2）问也可以由一元二次方程的实根分布理论来指导求解．
53．如图，在矩形A B C D 中，1AB =
，BC =，此矩形沿地面上一直线滚动，在滚动过程中始终与地
面垂直，设直线B C 与地面所成角为θ，矩形周边上最高点离地面的距离为()f θ．求：
（1）θ的取值范围； （2）()f θ的解析式； （3）()f θ的值域．
[解答]（1）B C 与地面所成的角，就是直线与平面所成的角的范围为[0,]2π
．
（2）连B D ，则6
D B C π
∠=
，过D 作地面的垂线，垂足为E ， 在R t B D E ?中，6
D B
E π
θ∠=+
，2D B =，
()2sin()(0)6
2
f π
π
θθθ∴=+
≤≤
．
（3）()2sin()(0)6
2
f π
π
θθθ=+
≤≤
，26
6
3
π
π
πθ≤+
≤
，1sin()12
6
π
θ∴
≤+
≤，
即()f θ的值域为[1,2]．
54．已知奇函数()f x 的定义域为实数集R ，且()f x 在[)0,+∞上是增函数．是否存在这样的实数m ，使
()(
)()cos23
42cos
f f m m f θθ-+->对所有的0,
2πθ?
?
∈???
?
均成立？若存在，求出适合条件的实
数m 的值或范围；若不存在，说明理由． [解答]()f x 为奇函数，()00f ∴=． ()()()cos 2342cos 0f f m m f θθ-+-> ，
()()cos 2342cos f f m m θθ∴->--，即()()cos 232cos 4f f m m θθ->-．
()f x 在[)0,+∞上是增函数，且()f x 为奇函数， ()f
x ∴在(),-∞+∞上也为增函数．
cos 232cos 4m m θθ∴->-，即22cos 42cos 4m m θθ->-，
即2
cos cos 220m m θθ-+->．
[]0,
,cos 0,12
π
θθ??
∈∴∈????
．
令[]cos ,0,1t t θ=∈，则满足条件的m 应该使不等式2220t mt m -+->对任意的[]0,1t ∈均成立．
设()2
2
2
222224m m g t t m t m t m ?
?=-+-=--+- ??
?，
则()0,200,m g ??或01,20,2m m
g ?
≤≤??????> ????
?或()1,
210,
m g ?>???>?，
解之得42m -<≤，或2m >，
故满足条件的m
存在，取值范围是()
4-+∞．
55．在?ABC 中，0,,,C B AC a b c =
为角A,B,C 所对的三条边． （1）求t=sinA+sinB 时，t 的取值范围； （2）化简
()()()
2
22a
b c b c a c a b abc
+++++（用（1）中t 表示）．
[解答]（1）0,,C B AC C B AC ABC =∴⊥∴?
为直角三角形，2
A B π
∴∠+∠=,
又sin sin sin cos 4A B A A A π?
?+=+=
+ ??
?,
30,,12
4
4
4
4A A A π
π
π
ππ?
?<<
∴
<+
<
∴<
+≤
??
?
（2）cos ,sin ,b c A a c A ==
()()()
2
22a
b c b c a c a b abc
+++++∴
()()()
2
2
2
22
3
sin cos cos sin sin cos sin cos c A c A c c A c A c c
c A c A c A A
+++++=
2222
sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos A A A A A A A A
A A
+++++=
1sin cos sin cos sin cos A A A A A A
++=+
+
(
2
2
122,11
1
2
t t t t t t t t t +-+=+
=+
=
∈--- ．
56．等比数列{}n a 中，23sin cos ,1sin 2a a ααα=+=+，其中2
π
απ<<．
（1）问：132sin 2cos 42
2
αα-
+是数列{}n a 的第几项？
（2）若()4tan 3
πα-=
，求数列{}n a 的前n 项和n S ．
[解答]（1）设数列{}n a 的公比是q ，则有()
2
sin cos 1sin 2sin cos sin cos sin cos q α
α
ααααα
αα
++=
=
=+++所以
211a a q
=
=，
从而通项()
1
sin cos n n a αα-=+．
又()()2
1312sin 2cos 44sin 2cos 431sin 2222
ααααα-+=
-+=+()
4
5sin cos a αα=+=，
故132sin 2cos 42
2
αα-
+
是数列{}n a 的第5项．
（2）()44tan ,tan 3
3
παα-=
∴=- ，又
2
π
απ<<，可得43sin ,cos 5
5
αα=
=-
，
于是1
sin cos 5q αα=+=，即1
15n n a -??
= ?
??
，1
1
1
15
11155445n n n S --??
??
∴=+++=- ?
???
??
．
57．已知函数sin cos y a x b x c =++的图像上有一个最低点11,16
π??
???
，如果图像上每点纵坐标不变，横
坐标缩短到原来的
3
π
倍，然后向左平移1个单位可得()y f x =的图像，又知()3f x =的所有正根依
次为一个公差为3的等差数列，求()f x 的解析式，最小正周期和单调减区间．
[解答
]()sin cos .y a x b x c x c ?=++=
++（其中?满足tan ,a b
??=
与点(),a b 同象限），
由于11,16π?? ???
是图像上最低点，所以1172,2.,6231. 1.
k k k Z c c ππ?π?ππ??
+=-=-∈?????==-?
所以()()71sin 21sin 3
3y c x k c c x c πππ???
?
=-+-
+=--
+ ? ??
?
?
?，
将上述函数图像上每点纵坐标不变，横坐标缩短到原来的
3
π
倍，然后向左平移1个单位可得
()()()21sin 11sin ,63333
y c x c c x c T π
ππππ??=-+-+=-+∴==????
．
由于()3f x =的所有正根依次成等差数列，即曲线()y f x =与直线3y =的相邻交点间的距离都相等，根据三角函数的图像和性质，直线3y =要么与曲线()y f x =相切，即过()f x 的最高点或最低
点，要么过曲线的拐点，又11,16
π??
???
是图像上的最低点，故3y =与曲线()y f x =在最高点相切．
当sin
13
x π
=时，()213f
x c =-=，所以2c =，此时周期应为公差3，这与上面已知周期6矛盾，
故舍去．
若过曲线的拐点，当sin
03
x π
=时，()3f
x c ==，此时周期6恰为公差3的2倍，符合题意．所以
()2sin
33
f
x x π
=
+，由322,2
3
2
k x k k Z π
π
πππ+
≤
≤+
∈得39662
2
k x k +
≤≤+
，
即函数()y f x =的减区间为396,6,2
2k k k Z ??
+
+
∈???
?
． 58．设函数=
)(x f )
4
(
sin )4
tan(
221
cos
2cos
22
2
4
x x x x +-+
-ππ，求函数)(x f 的最大值和最小正周期．
[解析]虽然本题并没有要求我们化简所给函数的解析式，但可以看出化简是解决问题的一条必由之路.
同样我们也不能预测化简的具体结果，但总的目标应该是相对清楚的，那就是设法不断地“化繁为简”.从函数解析式的结构看，首先可以想到的方法是“降低解析式的次数，减少所含的三角函数的名数”．
原式)
4
cos(
)4
sin(
4)
1cos 2()
4
(cos )
4
cos(
)
4
sin(2)
1cos 4cos 4(2
1
2
22
2
4
x x x x x x ---=-?--+-=
πππππ x x x 2cos 2
1)
22
sin(
22cos 2
=
-=
π
， 即最大值为
2
1，最小正周期为π．
59．证明：x 2
tan x
x x 4cos 1)4cos 3(2cot
2
-+=
+.
[解析]观察欲证等式两边，可以考虑遵循从左到右的“化切为弦”的证明路线，也可以考虑运用从右到左的“化倍角关系为单角关系”的证明思路.
方法一：左边x
x x
x x
x x
x 2
2
4
4
2
22
2cos
sin cos
sin sin
cos cos
sin +=
+
=
x
x
x x x 2sin
4
1cos sin 2)cos (sin 2
2
2
2
2
2
-+=
)
4cos 1(8
12sin
2
112sin 4
12sin
2
112
2
2
x x
x x
--=
-
=
x
x x
x 4c o s 12c o s 444c o s 12s i n 482
2
-+=
--=
=-+=
-++=
x
x x
x 4cos 1)4cos 3(24cos 1)
4cos 1(24右边；
方法二：右边x
x x
x 2sin
2)
2cos 22(22sin
2)
4cos 12(22
2
2
+=
++=
x
x x x x x x
x x 2
2
2
2
22
2
2
2
2
cos
sin 2)
sin
(cos
)cos
(sin
cos sin
4)
2cos 1(2--+=
+=
=+=+=
x x x
x x x 2
2
2
2
4
4
cot
tan
cos
sin 2)
cos
(sin
2左边．
60．已知函数2
2
2
2
)
2tan
1(8sin )
2tan 1(2tan 44sin 3sin
2)(x x x x x x x f +--
+=，求该函数的定义域、最小正周期和最
大、最小值．
[解答]x
x x x x x x f 2sec
8sin 4cos 2tan 44sin 34cos 1)(2
-
+
-=
)6
4sin(24sin 2cos 2sin 2)6
4sin(21ππ-
=-
-+=x x
x
x x ，
由sin 80x ≠和tan 2x 有意义知8()x k k Z π≠∈且2()2
x l l Z π
π≠+
∈，即函数的定义域为
{|,}8
k x R x k Z π∈≠∈，且)(x f 的最小正周期是
2
π
，最大值是2，最小值是2-．
61．设0≥a ，π20<≤x ，已知函数b x a x x f +-=sin cos )(2的最小值和最大值分别是4-和0，求
实数b a 、的值．
[解析]这是一道三角函数最值问题的逆问题，可以按照求函数最值的思路求解，用b a 、表示出所求函数的最大值和最小值后，对照已知条件建立方程组求解.
14
)2
(sin sin sin
1)(2
2
2
+++
+
-=+--=b a
a x
b x a x x f ,
令x t sin =，则11≤≤-t ，且02
≤-
a ，有14
)2
((2
2
+++
+
-=b a
a t y ，
10当02
1≤-
≤-a ，即20≤≤a 时，
014
2
2
max =++=
=-
=b a
y
y a t ，41min -=+-===b a y y t ，
此时解得2=a ，2-=b ；
20
当12
-<-
a ，即2>a 时，
01max =+==-=b a y y t ，41min -=+-===b a y y t ，此时的解应该舍去；
∴2=a ，2-=b 即为所求.
62．有一农民在自留地里建造了一个长10m ，深0.5m ，横
截面为等腰梯形的封闭式引水槽（如图所示）.已知该
引水槽侧面材料每m 2造价40元，底面材料每m 2造价50元，顶盖材料每m 2
造价10元.
（1）把建造引水槽的费用y （元）表示为引水槽的侧面与地面所成角∠DAE θ=的函数；
（2）引水槽的侧面与地面所成的角θ为多大时，其材料费最低？最低的材料费是多少（精确到0.01，且取732.13=）？
（3）按照题设条件，在引水槽的深度和横截面积及所用的材料不改变的情况下，将引水槽的横截面形状改变为正方形时的材料费与（2）中所求得的材料费相比较，哪一种设计所用的材料费更省？省多少？
D C
θ
E A B
62题图
[解析]利用角θ逐一表示出引水槽的底、侧、盖的面积，再乘以相应的单位费用数即能得到总费用y .
（1）作AH ⊥CD 于H ，则AH 2
1=
，且∠ADH θ=，
设AB x =，由AD=BC=
θ
sin 21，DH 2
cot θ=，
∴)(2
14
1CD AB AH S +?==，即12
cot 2=?++θx x ，
∴1010402105010?+??+?=CD AD AB y
2
cot 1100sin 14002
cot 1500θ
θθ
+++-=
θ
θθ
θ
sin cos 2200300)sin 42
cot 46(
100-?+=+-=，
即所求函数为θ
θθsin cos 2200300)(-?
+=f ；
（2）令θ
θsin cos 2-=u ，则2cos sin =+θθu ，
∴2)sin(12=++?θu ，由正弦函数的有界性得212
≥+u ，
∴412
≥+u ，故3≥
u ，从而3200
300min +=y ，
此时1)sin(=+?θ，由6
2
3arccos
1
arccos
2
π
?=
=+=u u ，
知∠EAD=3
π
θ=
时，所用材料费最低，最低费用为4.646元；
（3）若截面为正方形时，材料费7001002
15002
1400)2
12
1(
1=?+?+?+=y 元，
两相比较知横截面为等腰梯形时所用材料费比横截面为正方形时所用的材料费要省53.6元.
63．如图，ABCD 是一块边长为100m 正方形地皮，其中A TPS 是一半径为
90m 的扇形小山，P 是弧TS 上的一点，其余部分都是平地.现有一开发商
想有平地上建造一个有边落在BC 与CD 上的长方形停车场PQCR ，求长方形停车场的面积的最大值和最小值. [解答]连结AP ，设∠PAB=θ，(0)2
π
θ<<
，延长RP 交AB 于M ，
则AM θcos 90=，MP θsin 90=，PQ=MB=AB-AM θcos 90100-=，PR=MR-MP θsin 90100-=，故矩形面积
)cos 90100)(sin 90100()(θθθ--==f S θθθθcos sin 8100)cos (sin 900010000++-=，
令t =+θθcos sin ，由21≤
10(2
81002
+-
=
t S ，
∴当9
10=
t 时，)(9502min m S =，
而当2=
t 时，)(29000
140502
max m S -=．
三角函数高考题及练习题(含标准答案)
三角函数高考题及练习题(含答案)
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三角函数高考题及练习题（含答案） 1. 掌握正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质；会用“五点法”作出正弦函数及余弦函数的图象；掌握函数y ＝Asin (ωx ＋φ)的图象及性质． 2. 高考试题中，三角函数题相对比较传统，位置靠前，通常是以简单题形式出现，因此在本讲复习中要注重三角知识的基础性，特别是要熟练掌握三角函数的定义、三角函数图象的识别及其简单的性质(周期、单调性、奇偶、最值、对称、图象平移及变换等)． 3. 三角函数是每年高考的必考内容，多数为基础题，难度属中档偏易．这几年的高考加强了对三角函数定义、图象和性质的考查．在这一讲复习中要重视解三角函数题的一些特殊方法，如函数法、待定系数法、数形结合法等． 1. 函数y ＝2sin 2? ???x －π 4－1是最小正周期为________的________(填“奇”或“偶”) 函数． 答案：π 奇 解析：y ＝－cos ? ???2x －π 2＝－sin2x. 2. 函数f(x)＝lgx －sinx 的零点个数为________． 答案：3 解析：在(0，＋∞)内作出函数y ＝lgx 、y ＝sinx 的图象，即可得到答案．
3. 函数y ＝2sin(3x ＋φ)，? ???|φ|<π 2的一条对称轴为x ＝π12，则φ＝________． 答案：π4 解析：由已知可得3×π12＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，即φ＝k π＋π4，k ∈Z .因为|φ|<π 2 ，所 以φ＝π4 . 4. 若f(x)＝2sin ωx (0<ω<1)在区间? ???0，π 3上的最大值是2，则ω＝________． 答案：34 解析：由0≤x ≤π3，得0≤ωx ≤ωπ3<π3，则f(x)在? ???0，π 3上单调递增，且在这个区间 上的最大值是2，所以2sin ωπ3＝2，且0<ωπ3<π3，所以ωπ3＝π4，解得ω＝3 4 . 题型二 三角函数定义及应用问题 例1 设函数f(θ)＝3sin θ＋cos θ，其中角θ的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴非负半轴重合，终边经过点P(x ，y)，且0≤θ≤π. (1) 若点P 的坐标是??? ?12，3 2，求f(θ)的值； (2) 若点P(x ，y)为平面区域???? ?x ＋y ≥1， x ≤1， y ≤1 上的一个动点，试确定角θ的取值范围，并求 函数f(θ)的最小值和最大值． 解：(1) 根据三角函数定义得sin θ＝ 32，cos θ＝1 2 ，∴ f (θ)＝2.(本题也可以根据定义及角的范围得角θ＝π 3 ，从而求出 f(θ)＝2)． (2) 在直角坐标系中画出可行域知0≤θ≤π2，又f(θ)＝3sin θ＋cos θ＝2sin ? ???θ＋π 6， ∴ 当θ＝0，f (θ)min ＝1；当θ＝π 3 ，f (θ)max ＝2. (注： 注意条件，使用三角函数的定义， 一般情况下，研究三角函数的周期、最值、
三角函数经典例题
经典例题透析 类型一：锐角三角函数 本专题主要包括锐角三角函数的意义、锐角三角函数关系及锐角三角函数的增减性和特殊角三角函数值，都是中考中的热点．明确直角三角形中正弦、余弦、正切的意义，熟记30°、45°、60°角的三角函数值是基础，通过计算器计算知道正弦、正切随角度增大而增大，余弦随角度增大而减小． 1．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，已知，BC=2，那 么( ) A．B．C．D． 思路点拨：由于∠ABC在Rt△ABC和Rt△BCD中，又已知AC和BC，故只要求出AB或CD即可． 解析： 解法1：利用三角形面积公式，先用勾股定理求出 ，∴． ∴． 解法2：直接利用勾股定理求出， 在Rt△ABC中，．答案：A 总结升华：求直角三角形中某一锐角三角函数值，利用定义，求出对应两边的比即可． 2．计算：(1)________； (2)锐角A满足，则∠A=________． 答案：(1)；(2)75°. 解析：(1)把角转化为值．(2)把值转化为角即可． (1)．
(2)由，得， ∴．∴A=75°． 总结升华： 已知角的三角函数，应先求出其值，把角的关系转化为数的关系，再按要求进行运算．已知一个三角函数值求角，先看看哪一个角的三角函数值为此值，在锐角范围内一个角只对应着一个函数值，从而求出此角． 3．已知为锐角，，求． 思路点拨：作一直角三角形，使为其一锐角，把角的关系转化为边的关系，借助勾 股定理，表示出第三边，再利用三角函数定义便可求出，或利用求出 ，再利用，使可求出． 解析： 解法1：如图所示，Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=，由，可设，． 则， ∴． 解法2：由，得 ， ∴． 总结升华：知道一锐角三角函数值，构造满足条件的直角三角形，根据比的性质用一不为0的数表示其两边，再根据勾股定理求出第三边，然后用定义求出要求的三角函数值．或 利用，来求．
三角函数高考大题练习
ABC ?的面积是30，内角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ，12cos 13 A =。 (Ⅰ)求A B A C ； (Ⅱ)若1c b -=，求a 的值。 设函数()sin cos 1 , 02f x x x x x π=-++<<，求函数()f x 的单调区间与极值。 已知函数2 ()2cos 2sin f x x x =+ （Ⅰ）求()3 f π 的值； （Ⅱ）求()f x 的最大值和最小值 设函数()3sin 6f x x πω?? =+ ?? ? ，0ω＞，(),x ∈-∞+∞，且以 2 π 为最小正周期． （1）求()0f ；（2）求()f x 的解析式；（3）已知9 4125f απ??+= ?? ?，求sin α的值． 已知函数2 ()sin 22sin f x x x =- （I ）求函数()f x 的最小正周期。 (II) 求函数()f x 的最大值及()f x 取最大值时x 的集合。
在ABC 中，a b c 、、分别为内角A B C 、、的对边，且 2sin (2)sin (2)sin a A b c B c b C =+++ （Ⅰ）求A 的大小； （Ⅱ）若sin sin 1B C +=，是判断ABC 的形状。 (17)（本小题满分12分） 已知函数2()sin()cos cos f x x x x πωωω=-+（0ω>）的最小正周期为π， （Ⅰ）求ω的值； （Ⅱ）将函数()y f x =的图像上各点的横坐标缩短到原来的 1 2 ，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图像，求函数()y g x =在区间0,16π?? ???? 上的最小值. 在?ABC 中， cos cos AC B AB C = 。 （Ⅰ）证明B=C ： （Ⅱ）若cos A =-13，求sin 4B 3π? ?+ ?? ?的值。 ABC 中，D 为边BC 上的一点，33BD =，5sin 13B = ，3 cos 5 ADC ∠=，求AD 。 设△ABC 的内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，且222333b c a +-=.
三角函数典型例题
第9课时 三角函数的最值 典型例题 例1. 求下列函数的最值． ⑴ y ＝ x x x cos 1sin 2sin -?；⑵ y ＝2 cos( 3 π ＋x)＋2cosx ；⑶ x x y cos 3sin 1++= ． 解：(1) y ＝x x x x x x cos 2cos 2cos 1sin cos sin 22 +=-??＝2 1)21(cos 22-+ x ∴ 当cosx ＝2 1-时，y min =2 1-∵ cosx ≠1∴ 函数y 没有最大值。 (2) y ＝2cos(x +3 π )+2cosx=2cos x x x cos 2sin 3 sin 2cos 3 +-π π =3cosx － 3 sinx=2 3 cos(6 π + x ) ∴当cos(6 π +x )＝－1时，y min ＝－3 2 当cos(6 π + x )＝1时，y max ＝3 2 (3) 由x x y cos 3sin 1++= 得sinx －ycosx ＝3y －1∴ ) sin(12 ?++x y ＝3y －1 (tan ?＝－y) ∵|sin(x ＋?)|≤1 ∴|3y －1|≤ 1 2 +y 解得0≤y≤4 3 故x x y cos 3sin 1++= 的值域为[0，43 ] 注：此题也可用其几何意义在求值域． 变式训练1：求下列函数的值域： （1）y= x x x cos 1sin 2sin -;（2）y=sinx+cosx+sinxcosx;（3）y=2cos ) 3 ( x +π +2cosx. 解 （1）y= x x x x cos 1sin cos sin 2-= x x x cos 1) cos 1(cos 22 --=2cos 2x+2cosx=22 ) 21(cos + x -2 1 . 于是当且仅当cosx=1时取得y max =4,但cosx≠1,∴y ＜4，且y min =-2 1,当且仅当cosx=-2 1 时取得. 故函数值域为? ? ? ???-4,21.（2）令t=sinx+cosx,则有t 2 =1+2sinxcosx,即sinxcosx= 2 12 -t . 有y=f(t)=t+2 12 -t = 1 )1(2 12 -+t .又t=sinx+cosx= 2 sin ) 4 (π + x ，∴- 2 ≤t≤ 2 . 故y=f(t)= 1 )1(2 12 -+t (- 2 ≤t≤2 ),从而知：f(-1)≤y≤f( 2 ),即-1≤y≤ 2 +2 1 .即函数的值域为?? ??? ?+ -212, 1. （3）y=2cos ) 3 ( x +π +2cosx=2cos 3 π cosx-2sin 3 π sinx+2cosx=3cosx- 3 sinx=23??? ? ??-x x sin 21cos 23=2 3 cos ) 6 (π + x . ∵ ) 6 cos(π +x ≤1∴该函数值域为［-2 3 ，2 3 ］. 例2. 试求函数y ＝sinx ＋cosx ＋2sinxcosx ＋2的最大值与最小值，又若] 2,0[π ∈x 呢？ 解： 令t ＝sinx ＋cosx 则t ∈[－ 2 ， 2 ]又2sinx ＋cosx ＝(sinx ＋cosx)2－1＝t 2－1 ∴y ＝t 2＋t ＋1＝(t ＋2 1 )2＋4 3，显然y max ＝3＋2 若x ∈[0， 2 π ] 则t ∈[1， 2 ] y ＝(t ＋2 1 )＋4 3 在[1， 2 ]单调递增．当t ＝1即x ＝0或x ＝ 2 π 时，y 取最小值3．当t ＝2 即x ＝ 4 π 时，y 取 最大值3＋ 2 ． 变式训练2：求函数3()co s (sin co s ) , 44f x x x x x x ππ?? =-+∈-???? 的最大值和最小值．
三角函数经典题目(带答案)
三角函数经典题目练习 1.已知α123 1、已知角 2、P (x ,5则sin 1、已知2、函数(f 3、已知 象限1. 已知π2 2.设0≤α是 . sin αtan x 若<0___. 5 3 sin +-= m m θ，524cos +-=m m θ（πθπ<<2），则 =θ________. 1tan tan αα，是关于x 的方程2230x kx k -+-=的 个实根，且παπ2 7 3<<，则ααsin cos +的值 . 0)13(22=++-m x x 的两根为 ()πθθθ2,0,cos ,sin ∈，求（1）m =_______ （2）θθθθtan 1cos cot 1sin -+-=________. α )4 15 tan(325cos ππ-+= . θθθθcos sin cos sin -+=2,则sin(θ-5π)·sin ?? ? ??-θπ23= α终边上P （－4，3）， ) 2 9sin()211cos() sin()2 cos(απαπαπαπ +---+= . 已知锐角α终边上一点P 的坐标是（2sin2,-2cos2)，α= . sin163°·sin223°+sin253°·sin313°= . =-+θ θtan 1tan 1_________ tan 20tan 4020tan 40?+????= α∈(0, 2π)，若sin α=5 3 ，则2cos(α+4π)= . 3 36 cos = ?? ? ??-απ，则?? ? ??+απ6 5cos =______，)6 5απ -- =_____．.
【知二求多】 1、已知cos ??? ??-2βα= -54,sin ??? ? ? -2αβ=135,且 0<β<2π<α<π,则cos 2 βα+=____. 2已知tan α=43,cos(α+β)=-14 11 , α、β为锐角， 则cos β=______. 【方法套路】 1、设2 1sin sin =+βα，31 cos cos =+βα，则 )cos(βα-=___ . 2.已知ββαcos 5)2cos(8++=0，则 αβαtan )tan(+= . 3,41)sin(,31)sin(=-=+βαβα则___tan tan =βα 【给值求角】 1tan α=7 1 ,tan β=3 1,α,β均为锐角，则 α+2β= . 2、若sinA= 55,sinB=10 10,且A,B 均为钝角, 则A+B= . 【半角公式】 1α是第三象限，2524 sin - =α，则tan 2 α= . 2、已知01342 =+++a ax x （a >1）的两根为αtan ， βtan ，且α,∈β ??-2 π,?? ? 2π, 则2 tan βα+=______ 3若 cos 22π2sin 4αα=- ? ?- ? ? ?，则cos sin αα+= . 4、若??????∈27,25ππα，则 ααsin 1sin 1-++= 5x 是第三象限角 x x x x x x x x cos sin 1cos sin 1cos sin 1cos sin 1-++++ ++-+=______ 【公式链】 1=+++οοοοΛ89sin 3sin 2sin 1sin 2222_______ 2sin10o sin30o sin50o sin70o=_______ 3（1+tan1o ）（1+tan2o ）…（1+tan45o ）=_______ 六、给值求角 已知3 1 sin - =x ，写出满足下列关系x 取值集合 ] 3,5[)3()2(]2,0[)1(πππ--∈∈∈x R x x 七、函数性质 【定义域问题】 1. x x y sin 162+-=定义域为_________ 2、1)3 2tan(-- =π x y 定义域为_________ 【值域】 1、函数y ＝2sin ???? πx 6－π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为__________ 2、若函数g (x )＝2a sin x ＋b 的最大值和最小值分别为6和2，则|a |＋b 的值为________ 3、函数x x y sin 2sin 1+-= 的值域 4、函数x x y cos 1sin 21+-=的值域 5、函数x x y sin 2cos -=的值域 【解析式】 1、已知函数f (x )＝3sin 2ωx －cos 2ωx 的图象关于直 线x ＝π 3 对称，其中ω∈????－12，52.函数f (x )的解析式为________． 2、已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π 2 ) 的图象在y 轴上的截距为1，在相邻两最值点(x 0， 2)，??? ?x 0＋32，－2(x 0＞0)上f (x )分别取得最大值和最小值．则所得图像的函数解析式是________ 3.将函数sin y x =的图像上所有的点右移 10 π 个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是___________ 4、()()sin f x A x h ω?=++(0,0,)2A π ω?>>< 的图象 如图所示，求函数)(x f 的解析式；
三角函数典型例题剖析与规律总结00
学科: 数学任课教师：黄老师授课时间：2013年3月日(星期) 1 :00-1 :00 姓名年级：教学课题三角函数典型例题剖析与规律总结 阶段 基础（√）提高（）强化（）课时计划共次课第次课 课前 检查作业完成情况：__________________ 建议_________________________________________________________ 教学过程一：函数的定义域问题 1.求函数1 sin 2+ =x y的定义域。 分析：要求1 sin 2+ = y的定义域，只需求满足0 1 sin 2≥ + x的x集合，即只需求出满足 2 1 sin- ≥ x的x 值集合，由于正弦函数具有周期性，只需先根据问题要求，求出在一个周期上的适合条件的区间，然后两边加上πk2()Z k∈即可。 解：由题意知需0 1 sin 2≥ + x，也即需 2 1 sin- ≥ x①在一周期? ? ? ?? ? - 2 3 , 2 π π 上符合①的角为? ? ? ?? ? - 6 7 , 6 π π ,由此 可得到函数的定义域为? ? ? ?? ? + - 6 7 2, 6 2 π π π πk k()Z k∈ 小结:确定三角函数的定义域的依据：（1）正、余弦函数、正切函数的定义域。（2）若函数是分式函数，则分母不能为零。（3）若函数是偶函数，则被开方式不能为负。（4）若函数是形如()()1 ,0 log≠ > =a a x f y a 的函数，则其定义域由()x f确定。（5）当函数是有实际问题确定时，其定义域不仅要使解析式有意义同时还要使实际问题有意义。 二．函数值域及最大值，最小值 （1）求函数的值域 例。求下列函数的值域 （1）x y2 sin 2 3- =（2）2 sin 2 cos2- + =x y x 分析：利用1 cos≤ x与1 sin≤ x进行求解。 解：（1） 1 2 sin 1≤ ≤ -x∴[]5,1 5 1∈ ∴ ≤ ≤y y （2） ()[].0,4 ,1 sin 1 1 sin 1 sin 2 sin 2 sin 22 2 2 cos- ∈ ∴ ≤ ≤ - - - = - + - = - + =y x x x x x x y 评注：一般函数的值域求法有：观察法，配方法判别式法，反比例函数法等，而三角函数是函数的特殊形式，其一般方法也适用，只不过要结合三角函数本身的性质罢了。
三角函数高考大题练习.docx
ABC 的面积是30，内角A, B, C所对边长分别为 12 a, b, c ，cos A。 uuur uuur 13 ( Ⅰ ) 求ABgAC； ( Ⅱ ) 若c b 1，求 a 的值。 设函数 f x sin x cosx x 1 , 0 x 2，求函数 f x 的单调区间与极值。 已知函数 f ( x) 2cos 2x sin 2 x （Ⅰ）求 f () 的值； 3 （Ⅱ）求 f ( x) 的最大值和最小值 设函数 f x3sin x，＞0 ， x,，且以为最小正周期． 62 （ 1）求f0；（2）求f x 的解析式；（3）已知f 129 ，求 sin的值． 45 已知函数 f ( x) sin 2x2sin 2 x （ I ）求函数 f (x) 的最小正周期。 (II)求函数 f ( x) 的最大值及 f (x) 取最大值时x 的集合。
在 VABC 中， a、b、c 分别为内角A、B、C 的对边，且 2a sin A (2b c)sin B (2c b)sin C （Ⅰ）求 A 的大小； （Ⅱ）若 sin B sin C 1，是判断 VABC 的形状。 (17)（本小题满分 12 分） 已知函数 f ( x) sin(x)cos x cos2x （0）的最小正周期为，（Ⅰ）求的值； （Ⅱ）将函数 y f ( x) 的图像上各点的横坐标缩短到原来的1 ，纵坐标不变，得到2 函数 y g ( x) 的图像，求函数y g( x) 在区间 0, 16 上的最小值 . 在 ABC中，AC cos B 。AB cosC （Ⅰ）证明 B=C： （Ⅱ）若 cosA =-1 ，求 sin 4B的值。 33 53 VABC 中， D 为边 BC 上的一点， BD 33 ， sin B，cos ADC，求AD。 135 设△ ABC的内角 A、 B、 C 的对边长分别为a、 b、 c，且3b23c23a2 4 2bc .
三角函数大题综合训练
三角函数大题综合训练 1.已知函数 ()2sin()cos f x x x π=-.（Ⅰ）求()f x 的最小正周期； （Ⅱ）求()f x 在区间,62ππ?? -???? 上的最大值和最小值. 2.设函数f (x )=cos(2x + 3 π)+sin 2 x .（1）求函数f(x)的最大值和最小正周期.（2）设A ,B ,C 为?ABC 的三个内角，若cos B =31， 1 ()24 c f =-，且C 为锐角，求sin A . 3.已知函数2()sin cos cos 2.222 x x x f x =+- （Ⅰ）将函数()f x 化简成sin()(0,0,[0,2))A x B A ω?ω?π++>>∈的形式， 并指出()f x 的周期； （Ⅱ）求函数17()[,]12 f x π π在上的最大值和最小值 4.已知函数 ()2sin cos 442x x x f x =+． （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期及最值；（Ⅱ）令π()3g x f x ? ?=+ ?? ?，判断函数()g x 的奇偶性，并说明理由．
5.已知函数()cos(2)2sin()sin()3 4 4 f x x x x πππ=-+-+（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和图象的对称轴方程（Ⅱ）求函数()f x 在 区间[,]122 ππ-上的值域 6.设2()6cos 2f x x x =-．（Ⅰ）求()f x 的最大值及最小正周期；Ⅱ）若锐角α 满足 ()3f α=-4 tan 5 α的值． 7.已知0α βπ<<4，为()cos 2f x x π? ?=+ ?8??的最小正周期，1tan 14αβ????=+- ? ????? ，， a (cos 2)α=， b ，且m =·a b ．求22cos sin 2() cos sin ααβαα ++-的值． 8.设a ∈R ，f (x )＝cos x (a sin x －cos x )＋cos 2()π2－x 满足f ()－π3＝f (0)．求函数f (x )在[] π4，11π 24上的最大值和最小值．
三角函数的易错点以及典型例题与高考真题
三角函数的易错点以及典型例题与真题 1.三角公式记住了吗两角和与差的公式________________； 二倍角公式:_________________ 万能公式 ______________正切半角公式____________________；解题时本着“三看”的基本原则来进行:“看角,看函数,看特征”,基本的技巧有:巧变角,公式变形使用,化切割为弦,用倍角公式将高次降次。 万能公式： (1) (sinα)2 +(cosα)2 =1 (2)1+(tanα)2=(secα)2 (3)1+(cotα)2=(cscα)2 (4)对于任意非直角三角形,总有 tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC （证明：利用A+B=π-C ） 同理可得证,当x+y+z=n π(n ∈Z)时,该关系式也成立 由tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 可得出以下结论： (5)cotAcotB+cotAcotC+cotBcotC=1 (6)cot(A/2)+cot(B/2)+cot(C/2)=cot(A/2)cot(B/2)cot(C/2) (7)(cosA ）2+(cosB ）2+(cosC ）2=1-2cosAcosBcosC (8)（sinA ）2+（sinB ）2+（sinC ）2=2+2cosAcosBcosC (9)设tan(A/2)=t sinA=2t/(1+t^2) （A≠2kπ+π，k∈Z） tanA=2t/(1-t^2) （A≠2kπ+π，k∈Z） cosA=(1-t^2)/(1+t^2) （A≠2kπ+π，且A≠kπ+(π/2) k∈Z） 2.在解三角问题时，你注意到正切函数、余切函数的定义域了吗正切函数在整个定义域内是否为单调函数你注意到正弦函数、余弦函数的有界性了吗 3.在三角中，你知道1等于什么吗（x x x x 2222tan sec cos sin 1-=+=
初中三角函数知识点总结及典型习题)
锐角三角函数知识点总结及典型习题 1、勾股定理：直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。 2 5、30°、45°、 6 当0°≤α≤90°时，sin α随α的增大而增大，cos α随α的增大而减小。 7、正切、的增减性： 当0°<α<90°时，tan α随α的增大而增大， 1、解直角三角形的定义：已知边和角（两个，其中必有一边）→所有未知的边和角。 依据：①边的关系：222c b a =+；②角的关系：A+B=90°；③边角关系：三角函数的定义。(注意：尽量避免使用中间数据和除法) 2、应用举例： (1)仰角：视线在水平线上方的角；俯角：视线在水平线下方的角。 A 90 B 90∠-?=∠? =∠+∠得由B A 对边 邻边
仰角铅垂线 水平线 视线 视线 俯角 (2)坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度(坡比)。用字母i 表示，即h i l = 。坡度一般写成1:m 的形式，如1:5i =等。 把坡面与水平面的夹角记作α(叫做坡角)，那么tan h i l α= =。 3、从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角。如图3，OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是：45°、135°、225°。 4、指北或指南方向线与目标方向 线所成的小于90°的水平角，叫做方向角。如图4,OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是：北偏东30°（东北方向） ， 南偏东45°（东南方向）， 南偏西60°（西南方向）， 北偏西60°（西北方向）。 例1：已知在Rt ABC △中，3 90sin 5 C A ∠==°，，则tan B 的值为（ ）A ．43 B ．45 C ．54 D ．34 例2：104cos30sin 60(2)(20092008)-??+---=______． 1. 某人想沿着梯子爬上高4米的房顶，梯子的倾斜角（梯子与地面的夹角）不能大于60°，否则就有危险，那么梯子的长至少为（ ）A ．8米 B ．83米 C ． 83 3 米 D ． 43 3 米 2. 一架5米长的梯子斜靠在墙上，测得它与地面的夹角是40°，则梯子底端到墙的距离为（ ） A ．5sin 40° B ．5cos 40° C ．5tan 40° D ．5 cos 40° 3. 如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图．其中AB 、CD 分别表示一楼、二楼地面的水平线，∠ABC =150°，BC 的长是8m ，则乘电梯从点B 到点C 上升的高度h 是（ ） A ． 8 33 m B ．4 m C ．43m D ．8 m 4. 河堤横断面如图所示，堤高BC=5米，迎水坡AB 的坡比是1:3（坡比是坡面的铅直高度BC 与水平宽度AC 之比），则AC 的长是（ ） A ．53 米 B ． 10米 C ．15米 D ．103米 5．如图，在矩形ABCD 中，D E ⊥AC 于E ，∠EDC ∶∠EDA=1∶3，且AC=10，则 DE 的长度是（ ）A ．3 B ．5 C ．25 D ． 2 2 5 6. 如图所示,小明在家里楼顶上的点A 处，测量 建在与小明家楼房同一水平线上相邻的电梯楼的高，在点 :i h l =h l α A B C D 1 h B C A A B
高考三角函数大题专项练习集(一)
2019 年高考三角函数大题专项练习集（一） 1. 在平面四边形ABCD 中，∠ADC =90 °，∠A=45 °，AB=2 ，BD=5． （1）求cos∠ADB ； （2）若DC = 2 2 ，求BC． 2. 在△ABC 中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，已知c=2 且ccosA+bcosC=b. （1）判断△ ABC 的形状； （2）若C= ，求△ABC 的面积. 6 3. 在△ ABC 中，角A, B,C 的对边分别为a, b, c ，且2a b cosC c cosB . （1）求角C 的大小； （2）若c 2 ，△ABC 的面积为 3 ，求该三角形的周长. 4. ABC 的内角 （1）求C ； A, B,C 的对边分别为a,b, c .已知 a b sin A csin C bsin B ．（2）若ABC 的周长为 6 ，求ABC 的面积的最大值． 5. ABC 的内角A, B, C 所对的边分别为a, b, c ,已解 a b sin( A B) （1）求角A； c b sin A sin B （2）若a 3 ，c b1，求b 和c 的值 6. 已知函数 f x sin x cos x 3 cos2 x ．2 2 2 （1）求 f x 的最小正周期； （2）求 f x 在区间,0 上的最大值和最小值． 7. 在△ABC 中，角A、B、C 的对边分别是a、b、c，且3a cos C2b 3c cos A . （1）求角 A 的大小； （2）若a=2，求△ ABC 面积的最大值.
2 8. 在锐角 △ABC 中，角 A, B, C 的对边分别为 a,b, c ， BC 边上的中线 AD m ，且满足 a 2 2bc 4m 2 . （1） 求 BAC 的大小； （2） 若 a 2，求 ABC 的周长的取值范围 . 9. 已知a (1 cosx,2 sin x ), b 2 (1 cosx,2 cos x ) . 2 （1） 若 f ( x) 2 sin x 1 a b ,求 4 f ( x) 的表达式； （2） 若函数 f ( x) 和函数 g ( x) 的图象关于原点对称，求函数 g( x) 的解析式； （3） 若 h( x) g( x) f ( x) 1 在 , 上是增函数，求实数 的取值范围 . 2 2 10. 已知 a ( 3 sin x, m cos x) ， b (cos x, m cos x) , 且 f ( x) a b （1） 求函数 f (x) 的解析式 ; （2） 当 x x 的值 . , 时, 6 3 f ( x) 的最小值是－ 4 , 求此时函数 f ( x) 的最大值 , 并求出相应的 11. △ABC 的内角为 A ， B ，C 的对边分别为 a ，b ， c ，已知 a b c ． （1） 求 sin A B sin Acos A cos A B 的最大值； cos C sin B sin B cos C （2） 若 b 2 ，当 △ABC 的面积最大时， △ ABC 的周长； 12. 如图 ,某大型景区有两条直线型观光路线 AE ， AF , EAF 120 ,点 D 位于 EAF 的 平分线上，且与顶点 A 相距 1 公里 .现准备过点 D 安装一直线型隔离网 BC ( B, C 分别在 AE 和 AF 上)，围出三角形区域 ABC ，且 AB 和 AC 都不超过 5 公里 .设 AB x ， AC y (单位：公里 ). （1） 求 x, y 的关系式； （2） 景区需要对两个三角形区域 ABD ， ACD 进行绿化 .经 测算， ABD 区城每平方公里的绿化费用是 ACD 区域的两 倍，试确定 x, y 的值 ,使得所需的总费用最少 .
高中数学三角函数经典练习题专题训练(含答案)
高中数高中数学三角函数经典练习题专题训练 姓名班级学号得分 说明： １、本试卷包括第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。满分100分。考试时间90分钟。 ２、考生请将第Ⅰ卷选择题的正确选项填在答题框内，第Ⅱ卷直接答在试卷上。考试结束后，只收第Ⅱ卷 第Ⅰ卷（选择题） 一．单选题（每题3分，共60分） 1．已知函数y=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别为（） A．2，-B．2，-C．4，-D．4， 2．下列说法正确的个数是（） ①小于90°的角是锐角；
②钝角一定大于第一象限角； ③第二象限的角一定大于第一象限的角； ④始边与终边重合的角为0°． A．0B．1C．2D．3 3．若0＜y＜x＜，且tan2x=3tan（x-y），则x+y的可能取值是（）A．B．C．D． 4．已知函数y=tan（ωx）（ω＞0）的最小正周期为2π，则函数y=ωcosx的值域是（）A．[-2，2]B．[-1，1]C．[-，]D．[-，] 5．在△ABC中，sin2=（a、b、c分别为角A、B、C的对应边），则△ABC的形状为（） A．正三角形B．直角三角形 C．等腰直角三角形D．等腰三角形 6．已知函数f（x）=cosxsin2x，下列结论中错误的是（） A．f（x）既是偶函数又是周期函数 B．f（x）最大值是1 C．f（x）的图象关于点（，0）对称 D．f（x）的图象关于直线x=π对称 7．sin55°sin65°-cos55°cos65°值为（） A．B．C．-D．- 8．若角α终边上一点的坐标为（1，-1），则角α为（） A．2kπ+B．2kπ-C．kπ+D．kπ-，其中k∈Z
初中三角函数知识点总结及典型习题(含答案)
初三下学期锐角三角函数知识点总结及典型习题 1、勾股定理：直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。 2、如下图，在Rt △ABC 中，∠C 为直角，则∠A 的锐角三角函数为(∠A 可换成∠B)： 3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。 5、30°、45°、60°特殊角的三角函数值(重要) 6、正弦、余弦的增减性： 当0°≤α≤90°时，sin α随α的增大而增大，cos α随α的增大而减小。 7、正切、的增减性： 当0°<α<90°时，tan α随α的增大而增大， 1、解直角三角形的定义：已知边和角（两个，其中必有一边）→所有未知的边和角。 依据：①边的关系：222c b a =+；②角的关系：A+B=90°；③边角关系：三角函数的定义。(注意：尽量避免使用中间数据和除法) A 90B 90∠-?=∠?=∠+∠得由B A 邻边 A
2、应用举例： (1)仰角：视线在水平线上方的角；俯角：视线在水平线下方的角。 仰角 铅垂线 水平线 视线 视线 俯角 (2)坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡度(坡比)。用字母i表示，即 h i l =。坡度一般写成1:m 的形式，如1:5 i=等。 把坡面与水平面的夹角记作α(叫做坡角)，那么tan h i l α ==。 3、从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角。如图3，OA、OB、OC、OD的方向角分别是：45°、135°、225°。 4、指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角。如图4,OA、OB、OC、OD的方向角分别是：北偏东30°（东北方向），南偏东45°（东南方向）， 南偏西60°（西南方向），北偏西60°（西北方向）。 例1：已知在Rt ABC △中， 3 90sin 5 C A ∠== °，，则tan B的值为（） A． 4 3 B． 4 5 C． 5 4 D． 3 4 【解析】本题考查三角函数的定义和勾股定理，在RTΔABC中，∠C=90°，则sin a A c =，tan b B a = 和222 a b c +=；由 3 sin 5 A=知，如果设3 a x =，则5 c x =，结合222 a b c +=得4 b x =；∴ 44 tan 33 b x B a x ===，所以选A． 例2：10 4cos30sin60(2)(20092008) - ??+--=______． 【解析】本题考查特殊角的三角函数值．零指数幂．负整数指数幂的有关运算， 10 4cos30sin60(2)20092008) - ??+--= 3313 41 2222 ?? ??+--= ? ??， 故填 3 2． : i h l = h l α
九年级《三角函数》知识点、经典例题
九年级《三角函数》知识点、例题、中考真题 1、勾股定理：直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。 2 22c b a =+ 2、如下图，在Rt △ABC 中，∠C 为直角，则∠A 的锐角三角函数为(∠A 可换成∠B)： 3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。 4、任意锐角的正切值等于它的余角的余切值；任意锐角的余切值等于它的余角的正切值。 5、0°、30°、45°、60°、90 °特殊角的三角函数值(重要) 6 当0°≤α≤90°时，sin α随α的增大而增大，cos α随α的增大而减小。 7、正切、余切的增减性： 当0°<α<90°时，tan α随α的增大而增大，cot α随α的增大而减小。 8、解直角三角形的定义：已知边和角（两个，其中必有一边）→所有未知的边和角。 A 90B 90∠-?=∠? =∠+∠得由B A 对边 邻边 A C A 90B 90∠-?=∠? =∠+∠得由B A
依据：①边的关系：222c b a =+；②角的关系：A+B=90°；③边角关系：三角函数的定义。(注意：尽量避免使用中间数据和除法) 9、应用举例： (1)仰角：视线在水平线上方的角；俯角：视线在水平线下方的角。 仰角铅垂线 水平线 视线 视线俯角 (2)坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度(坡比)。用字母i 表示，即h i l =。坡度一般写成1:m 的形式，如1:5i =等。 把坡面与水平面的夹角记作α(叫做坡角)，那么tan h i l α= =。 10、从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角。如图3，OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是：45°、135°、225°。 11、指北或指南方向线与目标方向 线所成的小于90°的水平角，叫做方向角。如图4,OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是：北偏东30°（东北方向） ， 南偏东45°（东南方向）， 南偏西60°（西南方向）， 北偏西60°（西北方向）。 12、解斜三角形所根据的定理 (在△ABC 中) ① 正弦定理： SinC c SinB b SinA a ===2R. (R 是△ABC 外接圆半径). ② 余弦定理： c 2=a 2+b 2－2abCosC ； b 2=c 2+a 2－2ca CosB ； a 2=c 2+b 2－2cbCosA. ③ 互补的两个角的三角函数的关系： Sin(180ο －A)= sinA ， Cos(180ο －A)= － cosA ， tan(180ο －A)=－cotA ， cotA(180ο －A)=－tanA. ④ S △ABC ＝21absinC=21bcsinA=2 1 casinB. 三角函数中考试题分类例题解说 一、三角函数的定义 :i h l =h l α 图1
三角函数与三角恒等变换-经典测试题-附答案
三角函数与三角恒等变换(A) 一、填空题(本大题共14小题，每题5分，共70分.不需写出解答过程，请把答案写在指定位置上) 1. 半径是r，圆心角是α(弧度)的扇形的面积为________. 2. 若 ，则tan(π＋α)＝________. 3. 若α是第四象限的角，则π－α是第________象限的角. 4. 适合 的实数m的取值范围是_________. 5. 若tanα＝3，则cos2α＋3sin2α＝__________. 6. 函数 的图象的一个对称轴方程是___________.(答案不唯一) 7. 把函数 的图象向左平移 个单位，所得的图象对应的函数为偶函数，则 的最小正值为___________. 8. 若方程sin2x＋cosx＋k＝0有解，则常数k的取值范围是__________.
9. 1－sin10°·sin 30°·sin 50°·sin 70°＝__________. 10. 角α的终边过点(4，3)，角β的终边过点(－7，1)，则sin(α＋β)＝__________. 11. 函数 的递减区间是___________. 12. 已知函数f(x)是以4为周期的奇函数，且f(－1)＝1，那么 __________. 13. 若函数y＝sin(x＋ )＋cos(x＋ )是偶函数，则满足条件的 为_______. 14. tan3、tan4、tan5的大小顺序是________. 二、解答题(本大题共6小题，共90分.解答后写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15. (本小题满分14分)已知 ，求
的值. 16. (本小题满分14分)已知函数f(x)＝2sinx(sinx＋cosx). (1) 求函数f(x)的最小正周期和最大值； (2) 在给出的直角坐标系中，画出函数y＝f(x)在区间 上的图象. 17. (本小题满分14分)求函数y＝4sin2x＋6cosx－6( )的值域. 18. (本小题满分16分)已知函数 的图象如图所示. (1) 求该函数的解析式； (2) 求该函数的单调递增区间. 19. (本小题满分16分)设函数
高中三角函数公式大全及经典习题解答
高中三角函数公式大全及经典习题解答 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
用心辅导中心 高二数学 三角函数 知识点梳理: ⒈L 弧长=αR=nπR 180 S 扇=21L R=2 1R 2 α=3602R n ?π ⒉正弦定理： A a sin =B b sin =C c sin = 2R （R 为三角形外接圆半径） ⒊余弦定理：a 2=b 2+c 2-2bc A cos b 2=a 2+c 2-2ac B cos c 2 =a 2 +b 2 -2ab C cos bc a c b A 2cos 2 22-+= ⒋S ⊿=2 1a a h ?=2 1ab C sin =2 1bc A sin =2 1ac B sin =R abc 4=2R 2A sin B sin C sin =A C B a sin 2sin sin 2=B C A b sin 2sin sin 2=C B A c sin 2sin sin 2=pr =))()((c p b p a p p --- (其中)(2 1c b a p ++=, r 为三角形内切圆半径) ⒌同角关系： ⑴商的关系：①θtg =x y =θ θ cos sin =θθsec sin ? ② θθθ θθcsc cos sin cos ?=== y x ctg ③θθθtg r y ?== cos sin ④θθθθcsc cos 1sec ?== =tg x r ⑤θθθctg r x ?== sin cos ⑥θθθθsec sin 1csc ?== =ctg y r ⑵倒数关系：1sec cos csc sin =?=?=?θθθθθθctg tg ⑶平方关系：1csc sec cos sin 222222=-=-=+θθθθθθctg tg ⑷)sin(cos sin 22?θθθ++= +b a b a （其中辅助角?与点（a,b ） 在同一象限，且a b tg =?） ⒍函数y=++?)sin(?ωx A k 的图象及性质：（0,0>>A ω）
