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数列大题专题训练1
1.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且. *1
1()2n n S a n N +=∈
(1)求数列{}n a 的通项公式;
(2)设*
3log (1)()n n b S n N =-∈,求满足方程
2334111125
51
n n b b b b b b ++++=L 的n 值.
【方法点睛】将数列的通项分成两个式子的代数和的形式,然后通过累加抵消中间若干项的方法,裂项相消法适用于形如??
?
?
??
c a n a n +1(其中{a n }是各项均不为零的等差数列,c 为常数)的数列. 裂项相消法求和,常见的有相邻两项的裂项求和(如本例),还有一类隔一项的裂项求和,如1(n -1)(n +1)(n≥2)或1
n (n +2).
2.已知数列是等比数列,首项,公比,其前项和为,且,成等差数列.
(1)求
的通项公式;
(2)若数列满足为数列前项和,若恒成立,求的最大值.
{}n a 11a =0q >n n S 113322,,S a S a S a +++{}n a {}n b 11,2n n
a b n n a T +??
= ?
??
{}n b n n T m ≥m
【方法点晴】本题考查等差数列、等比数列、数列的前项和、数列与不等式,涉及特殊与一般思想、方程思想思想和转化化归思想,考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力,综合性较强,属于较难题型.第二小题首
先由
再由错位相减法求得为递增数列当时,
.再利用特殊与一般思想和转化化归思想将原命题可转化的最大值为.
3.已知数列中,,其前项和满足,其中. (1)求证:数列为等差数列,并求其通项公式;
(2)设,n T 为数列{}n b 的前n 项和.
①求n T 的表达式;
②求使2>n T 的n 的取值范围.
4.为等差数列的前项和,且,,记.其中表示不超过的最大整数,如
,.
(1)求;
(2)求数列的前1000项和.
n 1111222n n
n n
a b n
a b n n a b +??
????=?=?= ?
? ???
????
12n n -?g 2112232...n T =?+?+?+12n n -+g ()112n n T n =+-1n n T T +?-=()120n n +>g {}n T ??1n =()min 1n T =()min n T m ≥1m m ?≤?1{}n a 3,221==a a n n S 1211+=+-+n n n S S S *∈≥N n n ,2{}n a n
n n a b -?=2n S {}n a n 11a =728S =[lg ]n n b a =[]x x [0.9]0=[lg99]1=111101b b b ,,{}n b
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【技巧点睛】解答新颖的数学题时,一是通过转化,化“新”为“旧”;二是通过深入分析,多方联想,以“旧”攻“新”;三是创造性地运用数学思想方法,以“新”制“新”,应特别关注创新题型的切入点和生长点.
5.已知数列的前项和为,且(),数列满足().
(1)求,;
(2)求数列的前项和.
6.已知等比数列
{}n a 的公比11,1q a >=,且132,,14a a a +成等差数列,数列{}n b 满足:
()()*1122131n n n a b a b a b n n N +++=-+∈L g .
(1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式;
(2)若8n n ma b ≥-恒成立,求实数m 的最小值.
}{n a n n S n n S n +=22*∈N n }{n b 3log 42+=n n b a *
∈N n n a n b }{n n b a ?n n T
7.已知数列{}n a ,0n a >,其前n 项和n S 满足1
22n n n S a +=-,其中*n N ∈.
(1)设2n
n n
a b =
,证明:数列{}n b 是等差数列; (2)设2n
n n c b -=?,n T 为数列{}n c 的前n 项和,求证:3n T <;
(3)设1
4(1)2n b
n n n d λ-=+-?(λ为非零整数,*n N ∈),试确定λ的值,使得对任意*n N ∈,都有1n n
d d +>成立.
【易错点晴】本题以数列的前n 项和与通项之间的关系等有关知识为背景,其目的是考查等差数列等比数列等有关知识的综合运用,及推理论证能力、运算求解能力、运用所学知识去分析问题和解决问题的能力的综合问题.求解时
充分借助题设条件中的有效信息1
22n n n S a +=-,借助数列前n 项和n S 与通项n a 之间的关系
)2(1≥-=-n S S a n n n 进行推证和求解.本题的第一问,利用等差数列的定义证明数列}2{
n
n
a 是等差数列;第二问中则借助错位相减的求和方法先求出213333222
n n n n n n T ++=--=-<;第三问是依据不等式成立分类推得参数λ的取值范围.
8.设数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知11a =()
*121N n n S S n n +=++∈. (1)求数列{}n a 的通项公式; (2)若1n n n
n
b a a +=-,求数列{}n b 的前项和n T .
.
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考点:数列的求和;数列的递推关系式. 9.已知数列的首项,且满足,.
(1)设,判断数列是否为等差数列或等比数列,并证明你的结论; (2)求数列的前项和
.
10.n S 为数列的前n 项和,已知0n a >,2
241n n n a a S +=-.
(1)求{}n a 的通项公式; (2)设1
1
n n n b a a +=,求数列{}n b 的前n 项和n T .
11.已知数列{}n a 是等比数列,满足143,24a a ==,数列{}n b 满足144,22b b ==,且{}n n b a -是等差数列. (I )求数列{}n a 和{}n b 的通项公式; (II )求数列{}n b 的前n 项和。
12.设数列{}n a 的前n 和为n S ,()21
1,22n n
a S na n n n N *
==-+∈. (1)求证:数列
{}n a 为等差数列, 并分别写出n a 和n S 关于n 的表达式;
(2)是否存在自然数n ,使得3
21...2112423n n S S S S n +
++++=?若存在,求出n 的值; 若不存在, 请说明理由;
(3)设()()()1232,...7n n n n c n N T c c c c n N n a **=
∈=++++∈+,若不等式()32
n m
T m Z >∈,对n N *∈恒成立, 求m 的最大值.
13.设数列{}n a 满足3
21212222
n n a a a a n -+
+++=L ,*n N ∈. (1)求数列{}n a 的通项公式; (2)设1(1)(1)
n
n n n a b a a +=--,求数列{}n b 的前n 项和n S .
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考点:(1)数列递推式;(2)数列求和. 14.已知函数2
32)(+=
x x
x f ,数列{a n }满足a 1=1,a n+1=f (a n ).
(1)求数列{a n }的通项公式;
(2)设b n =a n a n+1,数列{b n }的前n 项和为S n ,若S n <
2
2016
-m 对一切正整数n 都成立,求最小的正整数m 的值.
考点:1、数列的递推公式及通项公式;2、利用“裂项相消法”求数列前n 项和.
15.设数列{a n }的前n 项和为S n ,且首项a 1≠3,a n +1=S n +3n (n ∈N *). (1)求证:数列{S n -3n }是等比数列;
(2)若{a n }为递增数列,求a 1的取值范围.
【方法点晴】本题主要考查了利用等比数列的定义判定和证明数列为等比数列、等比数列的性质的应用和数列的递推关系式的化简与运算,解答中得数列{}
3n n S -是公比为2,首项为13a -的等比数列和化简出
211(3)223n n n a a --=-?+?是解答本题的关键,着重考查了学生分析问题和解答问题的能力,以及学生的推理与
运算能力,属于中档试题.