“拓展性课程研讨课教师技能竞赛”教案
分式的知识点及典型例题分析 1、分式的定义: 例:下列式子中,y x +15、8a 2 b 、-239a 、y x b a --25、4322b a -、2-a 2、m 1、65xy x 1、21、212+x 、πxy 3、 y x +3、m a 1 +中分式的个数为( ) (A ) 2 (B ) 3 (C ) 4 (D) 5 练习题:(1)下列式子中,是分式的有 . ⑴275x x -+; ⑵ 123 x -;⑶25a a -;⑷22x x π--;⑸22b b -;⑹22 2xy x y +. (2)下列式子,哪些是分式? 5a -; 234x +;3 y y ; 78x π+;2x xy x y +-;145b -+. 2、分式有,无意义,总有意义: 例1:当x 时,分式 51 -x 有意义; 例2:分式x x -+212中,当____=x 时,分式没有意义 例3:当x 时,分式112-x 有意义。 例4:当x 时,分式1 2+x x 有意义 例5:x ,y 满足关系 时,分式 x y x y -+无意义; 例6:无论x 取什么数时,总是有意义的分式是( ) A . 122+x x B.12+x x C.133+x x D.2 5 x x - 例7:使分式2 +x x 有意义的x 的取值范围为( )A .2≠x B .2-≠x C .2->x D .2 1.1 分式 1.1.1分式的概念 (第1课时) 教学目标 1 了解分式的概念。 2 通过具体情境感受分数的基本性质并类比得出分式的基本性质。 3理解分式有意义的条件。 教学重点、难点: 重点:分式的概念和性质难点:理解分式的性质。 教学过程 一创设情境,导入新课 探究: 1把三个一样的苹果分给4位小朋友,每位小朋友分到多少苹果?你怎么分给他们?(交流讨论) (1)每位小朋友分3 4 (2)分法: ①每个苹果切成四个相等的小块,共12块,每人分3块,这3块占一个苹果的3 4 ②为了每个小朋友吃起来方便,每个苹果切成8块,共24块,每人分6块,这 六块占一个苹果的6 8 。 想想这两种分法分得的是否一样多?(36 = 48 ,即: 3326 == 4428 ? ? )由此表明了什 么? 分数的分子和分母都乘以或除以一个不等于零的数,分数的值不变。 分数的分子与分母约去共因数,分数的值不变。 这就是分数的基本性质。 2 (1)把上面问题变为:把3个一样的苹果分给n(m>0)位小朋友,每位小朋友分到多少苹果? 用除法表示:3n ÷,用分数表示为:3 n , 3 3n n ÷、相等吗?( 3 3= n n ÷)这里的n 可以是实数吗?(n不能为0) (2) 33 4n 与有什么区别?(后者分母含有字母)我们把前者叫分数,后者叫分 式,什么叫分式呢?分式有没有和分数一样的性质? 这节课我们来学习-----分式的基本性质。(板书课题) 二合作交流,探究新知 1 分式的概念填空: (1 )如果小王用a元人民币买了b袋相同的瓜子,那么每袋瓜子的价格是______元。 (2)一个梯形木板的面积是6 2 m,如果梯形上底是am,下底是bm,那么这个梯形的高是________m. (3) 两块面积分别为a亩,b亩的稻田m kg,n kg,这两块稻田平均每亩产稻谷________kg. 观察多项式: 12 a m n b a b a b + ++ 、、这些代数式有什么共同点特点?(分子分母都是整 式,分母含有字母) 一般地,如果f、g分别表示两个整式,并且g中含有字母,那么代数式f g 叫分 式。 说明:分式的分子分母一般是多项式,单项式可以看成是只有一项的多项式。分母一定含有字母。 2 分式的基本性质 思考:33a 44a 与分式相等吗? 2 2 a b a ab b 分式与分式相等吗? 如果a≠0, 那么33a = 44a ,只要 2 2 a b a ab b 与都意义,那么 2 2 = a b a ab b 。 你认为分式和分数具有相同的性质吗? 分式的分子和分母都乘以或除以一个不等非零多项式,分式值不变。分式的分子与分母约去共因式,分式的值不变。 用式子表示为:设h≠0,则f f h g g h ?= ? 15 . 1分式 第 1 课时从分数到分式 教学目标 1.了解分式的概念,知道分式与整式的区别和联系. 2.了解分式有意义的含义,会根据具体的分式求出分式有意义时字母所满足的条件. 3.理解分式的值为零、为正、为负时,分子分母应具备的条件. 教学重点 分式的意义. 教学难点 准确理解分式的意义,明确分母不得为零. 教学设计一师一优课一课一名师( 设计者:) 教学过程设计 一、创设情景,明确目标 一艘轮船在静水中的最大航速是20 km/h,它沿江以最大船速顺流航行100 km所用时间, 与以最大航速逆流航行60 km 所用的时间相等.江水的流速是多少? 提示:顺流速度=水速+静水中的速度;逆流速度=静水中的速度-水速. ● 自主学习指向目标 1.自学教材第 127 至 128 页. 2.学习至此:请完成《学生用书》相应部分. 三、合作探究,达成目标 探究点一分式的概念 S V10060 活动一:阅读教材思考问题:式子a ,S以及式 子20+ v 和 20- v 有什么共同特点?它们与 分数有什么相同点和不同点? 展示点评:如果 A,B 表示两个 ________( 整式 ) ,并且 B 中含有 ________( 字母 ) ,那么式A 子B叫做分式. 小组讨论:如何判断一个式子是否为分式?分式与整式有什么区别? 反思小结: 判断一个式子是否为分式,可根据:①具有分数的形式;②分子、分母都是整式;③分母中含有字母,分式与整式的区别在于:分式的分母中含有字母,而整式的分母中不含字母. 针对训练: 见《学生用书》相应部分 探究点二 分式有意义的条件 活动二: (1) 当 x ≠0时,分式 2 有意义; 3x (2) 当 x ≠1时,分式 x 有意义;x - 1 5 1 (3) 当 b ≠3时,分式 5- 3b 有意义; x + y (4)x , y 满足 __x ≠y __时,分式 x - y 有意义. 展示点评: 教师示范解答的一般步骤,强调分母不为零. 小组讨论: 归纳分式有意义的条件. 反思小结: 对于任何分式,分母均不能为零,即当分母不为零时,分式有意义;反之,分母为零时,分式无意义. 针对训练: 见《学生用书》相应部分 四、总结梳理,内化目标 1.知识小结—— (1) 学习了分式, 知道了分式与分数的区别. (2) 知道了分式有意义和值 为零的条件. 2.思想方法小结——类比、转化等数学思想. 五、达标检测,反思目标 2 x + y 1 x 1.下列各式① x ,② 5 ,③ 2- a ,④ π- 1中,是分式的有 ( C ) A .①② B .③④ C .①③ D .①②③④ 2.当 x 为任意实数时,下列分式中,一定有意义的是( C ) x - 1 x + 1 x - 1 x - 1 A. x 2 B. x 2- 1 C. x 2+1 D. x + 2 3.某食堂有煤 m t ,原计划每天烧煤 a t ,现每天节约用煤 b(b 分式方程应用题 1、温(州)--福(州)铁路全长298千米.将于2009年6月通车,通车后,预计从福州直达温州的 火车行驶时间比目前高速公路上汽车的行驶时间缩短2小时.已知福州至温州的高速公路长331千米,火车的设计时速是现行高速公路上汽车行驶时速的2倍.求通车后火车从福州直达温州所用的时间(结果精确到0.01小时). 2、某商店在“端午节”到来之际,以2400元购进一批盒装粽子,节日期间每盒按进价增加20%作为 售价,售出了50盒;节日过后每盒以低于进价5元作为售价,售完余下的粽子,整个买卖过程共盈利350元,求每盒粽子的进价. 4、甲、乙两个清洁队共同参与了城中垃圾场的清运工作.甲队单独工作2天完成总量的三分之一, 这时增加了乙队,两队又共同工作了1天,总量全部完成.那么乙队单独完成总量需要( ) A.6天 B.4天 C.3天 D.2天 5、炎炎夏日,甲安装队为A 小区安装66台空调,乙安装队为B 小区安装60台空调,两队同时开工 且恰好同时完工,甲队比乙队每天多安装2台.设乙队每天安装x 台,根据题意,下面所列方程中正确的是( ) A .66602x x =- B .66602x x =- C .66602x x =+ D .66602x x =+ 6、张明与李强共同清点一批图书,已知张明清点完200本图书所用的时间与李强清点完300本图书 所用的时间相同,且李强平均每分钟比张明多清点10本,求张明平均每分钟清点图书的数量. 7、有两块面积相同的试验田,分别收获蔬菜900kg 和1500kg ,已知第一块试验田每亩收获蔬菜比第 二块少300kg ,求第一块试验田每亩收获蔬菜多少千克.设一块试验田每亩收获蔬菜x kg ,根据题意,可得方程( ) A .9001500300x x =+ B .9001500300 x x =- C .9001500300x x =+ D .9001500300x x =- 8、进入防汛期后,某地对河堤进行了加固.该地驻军在河堤加固的工程中出色完成了任务.这是记 者与驻军工程指挥官的一段对话: 通过这段对话,请你求出该地驻军原来每天加固的米数. 8 2 2 一、选择题 1. (广东珠海)若分式 2a a +b 的 a 、b 的值同时扩大到原来的 10 倍,则此分式的值 ( ) A. 是原来的 20 倍 B .是原来的 10 倍 C . 是原来的 1 倍 D .不变 10 2. 计算-22+(-2)2-(- 12)-1 的正确结果是( ) A 、2 B 、-2 C 、6 D 、10 3. (四川遂宁)下列分式是最简分式的( ) A. 2a 3a 2b B. a a 2 - 3a C. a + b a 2 + b 2 D. a 2 - ab a 2 - b 2 2 4. (广东湛江)化简 a - b 的结果是( ) a - b a - b A 、a+b B 、a-b C 、a 2-b 2 D 、1 5.(丽江)计算 1 -1 + (1- 2)0 = . ( ) 2 6. (江苏徐州) 30 - 2-1 = . 7. (江苏镇江常州)计算:-(- 1 )= ;︱- 1 ︱= ; (- 1 )0 = ; (- 1 )-1 = . 8. (云南保山)计算( 1 )-1 + (1- 2 2 2 2 2 2)0 = . 9. (北京)计算: ( 1 )-1 - 2 cos 30? + 2 + (2 - )?. 10. 计 算:|-3|+20110- × +6×2-1. 11. (重庆江津区)下列式子是分式的是( ) A 、 x 2 B 、 x x + 1 C 、 x + y 2 D 、 x 12. (四川眉山)化简(- n ) ÷ m n m 2 - m 的结果是( ) A. ﹣m ﹣1 B .﹣m+1 C .﹣mn+m D .﹣mn ﹣n 13.(南充)若分式 x -1 的值为零,则 x 的值是( ) x + 2 A 、0 B 、1 C 、﹣1 D 、﹣2 27 分式 一 下列各有理式中,哪些是整式,哪些是分式。 1x , 2x π, 23a b , 20.5xy y +, b c a +, 32y -+, 5x z y -, 18- 二 x 等于什么数时,分式的值为零。 (1) 3289x x -+ (2) 26412x x x -+- (3) 33x x -+ 三 当x 满足什么条件时,分式 211x x +-满足 (1)分式的值为零 (2)分式没有意义 (3)分式的值是1 四 不改变分式的值,把下列各式分子和分母中各项的系数都化为整数,并且使各项系数 最小。 (1)11231134 a b a b +- (2) 0.3 1.20.051 x x +- (3)22230.41010.64x y x y + - 五 不改变分式的值,使下列各式的分子与分母的最高次项的系数为正数。 (1)2 2311a a a a --+- (2)211x x -- (3)3 211 a a a ---+ 六 约分 (1)322222x x y x y xy -- (2)()()()()32 247474x y a b x y a b -+-+ (3)33222 y y y y y +-+- 分式的计算 一 先化简再求值 (1)2 232712 x x x x +--+ 其中13x =- (2)22 26362x xy y x x y xy ----+ 其中9x =-, 13y =- (3)22222222a b c bc c a b ab --+--+ 其中3a =, 7b =,2c =- 二 计算 (1)232231049x y a b ab xy ? (2)22346b a a b -? (3)322243x z xz y y ÷- (4)3 4224189xy x y x y ÷- (5)22212221 a a a a a a -+-+?+- (6)222233a b a a b a b a b ++÷-- (7)()22 22 4442x xy y x y x y -+-÷- (8)23222222x y x x x y x xy y x y x xy y -+÷?++--+ 一、选择题 1. (广东珠海)若分式 b a a +2的a 、b 的值同时扩大到原来的10倍,则此分式的值 ( ) A .是原来的20倍 B .是原来的10倍 C . 是原来的10 1 倍 D .不变 2. 计算-22+(-2)2-(- 12)-1的正确结果是( ) A 、2 B 、-2 C 、6 D 、10 3. (四川遂宁)下列分式是最简分式的( ) A. a 22 B . a 2 C . 2 2b a + D . 2 22ab a - 5.(丽江)计算10 ()(12 -+= . 6. (江苏徐州)0132--= . 7. (江苏镇江常州)计算:-(- 12)= ;︱-12︱= ; 01()2-= ;11 ()2 --= . 8. (云南保山)计算101 ()(12 -+= . 9. (北京)计算:?-++?--)2(2730cos 2)2 1(1π. 10. 计算:|-3|+20110×2-1. 11. (重庆江津区)下列式子是分式的是( ) A 、 2 x B 、 1x x + C 、2x y + D 、x π 12. (四川眉山)化简m m n m n -÷-2)(的结果是( ) A .﹣m ﹣1 B .﹣m+1 C .﹣mn+m D .﹣mn ﹣n 13.(南充)若分式1 2 x x -+的值为零,则x 的值是( ) A 、0 B 、1 C 、﹣1 D 、﹣2 14. (四川遂宁)下列分式是最简分式的( ) A. b a a 232 B . a a a 32- C . 2 2b a b a ++ D . 2 22b a ab a -- 15. (浙江丽水)计算111 a a a - --的结果为( ) A 、 1 1 a a +- B 、1 a a - C 、﹣1 D 、2 17. (天津)若分式21 1 x x -+的值为0,则x 的值等于 . 18. (郴州)当x= 时,分式 的值为0. 20. (北京)若分式 x 的值为0,则x 的值等于 . 21. (福建省漳州市)分式方程 2 11 x =+的解是( ) A 、﹣1 B 、0 C 、1 D 、3 2 22. (黑龙江省黑河)分式方程 11x x --= ()() 12m x x -+有增根,则m 的值为( ) A 、0和3 B 、1 C 、1和﹣2 D 、3 23. (新疆建设兵团)方程2x +1 1-x =4的解为 . 24. (天水)如图,点A 、B 在数轴上,它们所对应的数分别是﹣4与 22 35 x x +-,且点A 、B 到原点的距离相等.则x = . 25. (海南)方程 2 +x x =3的解是 . (2)解分式方程一定注意要验根. 26. (湖北潜江、天门、仙桃、江汉油田)化简)2()24 2( 2+÷-+-m m m m 的结果是 A .0 B .1 C .—1 D .(m +2)2 第十七章 分式 §17.1 分式及其基本性质 一. 知识点: 1.分式的概念:形如 B A (A 、B 是整式,且B 中含有字母(未知数),B ≠0)的式子,叫做分式(fraction ).其中A 叫做分式的分子(numerator ),B 叫做分式的分母(denominator ).整式和分式统称有理式(rational expression ). 注意:在分式中,分母的值不能是零.如果分母的值是零,则分式没有意义。(分式有意义的条件) 2.分式的基本性质:分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式,分式的值不变.与分数类似,根据分式的基本性,可以对分式进行约分和通分. 3.分式值为零的条件:分子等于零且分母不等于零。 二.学习过程: 1.先由分数,整数,有理数的概念引入分式,有理式。(单项式和多项式统称为整式。代数式中的一种有理式.不含除法运算或分数,以及虽有除法运算及分数,但除式或分母中不含变数者,则称为整式) 再按教材的思路讲解,并归纳相关的知识点。 2. 和学生一起完成课后习题。 三.例题及习题: 教材中的题目。 典型例题 1.23m m 是一个分式么? 答:是。虽然可以化成3m 的整式形式,但在化简的过程中正是运用了分式的基 本性质化简的,另外2 3m m 与3m 中的字母的取值也不同. 习题一 (1).当x 取什么值时,下列分式有意义?(1)12+a a ;(2) 3252 -a a (2). 要使分式)5)(32(23-+-x x x 有意义,则.( ) (A )x ≠23- (B)x ≠5 (C)x ≠23-且x ≠5 (D)x ≠23 - 或x ≠5 (3). 当a 为任意有理数时,下列分式一定有意义的是.( ) (A )112++a a (B )12+a a (C )112++a a (D )2 1 a a + (4). 当x 是什么数时,分式25 2++x x 的值是零? 解:由分子x+2=0得x=-2 而当x=-2时,分母2x-5≠0 所以,当x=-2时,分式的值是零 习题二 一、填空题 1.约简公式 = . 2.a 取整数 时,分式(1-114++a a )·a 1 的值为正整数. 3.如果x+x 1=3,则1x x x 2 42 ++的值为 . 4.已知x=1+a 2,y=1-a 1 .用x 的代数式表示y ,得y= ;用y 的代数式表 示x ,得x= . 5.要使代数式3a 2a 3 a 2 ---的值为零,只须 . 6.已知s=) y s (q 1yq x ≠--,用x 、y 、s 表示q 的式子是 . 7.两个容积相等的瓶子中装满了酒精和水的溶液,其中一个瓶子中酒精与水的容积之比是p ∶1,另一个瓶子中是q ∶1.若把这两瓶溶液混合在一起,混合液中酒精与水的容积之比为 . 15.1 分 式 第1课时 从分数到分式 教学目标 1.了解分式的概念,知道分式与整式的区别和联系. 2.了解分式有意义的含义,会根据具体的分式求出分式有意义时字母所满足的条件. 3.理解分式的值为零、为正、为负时,分子分母应具备的条件. 教学重点 分式的意义. 教学难点 准确理解分式的意义,明确分母不得为零. 教学设计一师一优课 一课一名师 (设计者: ) 教学过程设计 一、创设情景,明确目标 一艘轮船在静水中的最大航速是20 km/h ,它沿江以最大船速顺流航行100 km 所用时间,与以最大航速逆流航行60 km 所用的时间相等.江水的流速是多少? 提示:顺流速度=水速+静水中的速度;逆流速度=静水中的速度-水速. ●自主学习 指向目标 1.自学教材第127至128页. 2.学习至此:请完成《学生用书》相应部分. 三、合作探究,达成目标 探究点一 分式的概念 活动一:阅读教材思考问题:式子S a ,V S 以及式子10020+v 和6020-v 有什么共同特点?它们与分数有什么相同点和不同点? 展示点评:如果A ,B 表示两个________(整式),并且B 中含有________(字母),那么式子A B 叫做分式. 小组讨论:如何判断一个式子是否为分式?分式与整式有什么区别?八年级上册数学-分式的概念
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