1996年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)
(5)设A 是43?矩阵,且A 的秩()2,r =A 而102020,103??
??=??
??-??
B 则()r AB =_____________. 二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)
8 / 26
(5)四阶行列式
1
122
334
4
0000000
a b a b a b b a 的值等于
(A )12341234a a a a b b b b -
(B )12341234a a a a b b b b +
(C )12123434()()a a b b a a b b -- (D )23231414()()a a b b a a b b -- 八、（本题满分6分）
设,T A =-I ξξ其中I 是n 阶单位矩阵,ξ是n 维非零列向量,T ξ是ξ的转置.证明 (1)2=A A 的充分条件是 1.T =ξξ (2)当1T =ξξ时,A 是不可逆矩阵. 九、（本题满分8分）
已知二次型222
123123121323(,,)55266f x x x x x cx x x x x x x =++-+-的秩为2, (1)求参数c 及此二次型对应矩阵的特征值. (2)指出方程123(,,)1f x x x =表示何种二次曲面.
1997年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)
(4)设12243,311t -??
??=??
??-??
A B 为三阶非零矩阵,且,=AB O 则t =_____________. 二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)
(4)设111122232333,,,a b c a b c a b c ??????
??????===??????????????????ααα则三条直线1112223330,0,0a x b y c a x b y c a x b y c ++=++=++= (其中220,1,2,3i i a b i +≠=)交于一点的充要条件是
(A )123,,ααα线性相关 (B )123,,ααα线性无关
(C )秩123(,,)r =ααα秩12(,)r αα (D )123,,ααα线性相关12,,αα线性无关 七、(本题共2小题,第(1)小题5分,第(2)小题6分,满分11分)
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(1)设B 是秩为2的54?矩阵123,[1,1,2,3],[1,1,4,1],[5,1,8,9]T T T ==--=--ααα是齐次线性方程组x =B 0的解向量,求x =B 0的解空间的一个标准正交基.
(2)已知111??
??=??
??-??ξ是矩阵2125312a b -????=????--??A 的一个特征向量.
1)试确定,a b 参数及特征向量ξ所对应的特征值.
2)问A 能否相似于对角阵?说明理由. 八、（本题满分5分）
设A 是n 阶可逆方阵,将A 的第i 行和第j 行对换后得到的矩阵记为.B (1)证明B 可逆. (2)求1.-AB
1998年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)
(4)设A 为n 阶矩阵*,0,≠A A 为A 的伴随矩阵,E 为n 阶单位矩阵.若A 有特征值,λ则*2()+A E 必有特征值________.
二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (4)设矩阵 111222333a b c a b c a b c ??
????????
是满秩的,则直线333121212x a y b z c a a b b c c ---==---与直线111232323
x a y b z c a a b b c c ---==---
(A )相交于一点 (B )重合(C )平行但不重合（D )异面 十、（本题满分6分）
已知二次曲面方程2222224x ay z bxy xz yz +++++=可以经过正交变换x y z ξηζ????
????=????????????
P 化为椭圆柱面方程2244,ηξ+=求,a b 的值和正交矩阵.P 十一、（本题满分4分）设A 是n 阶矩阵,若存在正整数,k 使线性方程组k x =A 0有解向量,α且1.k -≠A α0证明:向量组1,,,k -αA αA αL 是线性无关的. 十二、（本题满分5分）
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已知方程组(Ⅰ)
1111221,222112222,221122,220
00
n n n n n n n n n a x a x a x a x a x a x a x a x a x +++=+++=+++=L L M
L
的一个基础解析为11121,221222,212,2(,,,),(,,,),,(,,,).T T T n n n n n n b b b b b b b b b L L L L 试写出线性方程组(Ⅱ)
1111221,222112222,221122,220
00
n n n n n n n n n b y b y b y b y b y b y b y b y b y +++=+++=+++=L L M
L
的通解,并说明理由.
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1999年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (4)设n 阶矩阵A 的元素全为1,则A 的n 个特征值是 _____________.
二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (4)设A 是m n ?矩阵,B 是n m ?矩阵,则
(A )当m n >时,必有行列式||0≠AB (B )当m n >时,必有行列式||0=AB
(C )当n m >时,必有行列式||0≠AB
(D )当n m >时,必有行列式||0=AB
十、(本题满分8分)
设矩阵153,10a c b c a -??
??=????--??
A 其行列式||1,=-A 又A 的伴随矩阵*
A 有一个特征值0λ,属于0λ的一个特征向量为(1,1,1),T
=--α求,,a b c 和0λ的值. 十一、(本题满分6分)
设A 为m 阶实对称矩阵且正定,B 为m n ?实矩阵,T B 为B 的转置矩阵,试证T B AB 为正定矩阵的充分必要条件是B 的秩().r n =B
2000年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)
(4)已知方程组12312
112323120x a x a x ????????????+=????????????-??????无解,则a
= _____. 二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.
(4)设n 维列向量组1,,()m m n <ααL 线性无关,则n 维列向量组1,,m ββL 线性无关的充分必要条件为
(A )向量组1,,m ααL 可由向量组1,,m ββL 线性表示 (B )向量组1,,m ββL 可由向量组1,,m ααL 线性表示
(C )向量组1,,m ααL 与向量组1,,m ββL 等价(D )矩阵1(,,)m =A ααL 与矩阵1(,,)m =B ββL 等价 十、(本题满分6分)
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设矩阵A 的伴随矩阵*10000100,10
100308?????
?=???
?-??
A 且11
3--=+ABA BA E ,其中E 为4阶单位矩阵,求矩阵B .
十一、(本题满分8分)
某适应性生产线每年1月份进行熟练工与非熟练工的人数统计,然后将16
熟练工支援其他生产部门,其缺额由招收新的非熟练工补齐.新、老非熟练
工经过培训及实践至年终考核有25成为熟练工.设第n 年1月份统计的熟练工与非熟练工所占百分比分别为n x 和,n y 记成向量.n n x y ?? ???
(1)求11n n x y ++?? ???与n n x y ??
???
的关系式并写成矩阵形式:11.n n n n x x y y ++????= ? ?????A
(2)验证1241,11-????== ? ?????ηη是A 的两个线性无关的特征向量,并求出相应的特征值.(3)当111212x y ??
?
??= ? ? ?
?? ???
时,求11.n n x y ++?? ???2001年全国硕士研究生入学统一
考试数学(一)试卷
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)
(4)设24+-=A A E O ,则1(2)--A E = _____________.
二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)
(4)设11114
0001
1110
000,111100001
1110
0????
?
?
?
?== ? ? ?
?????
A B ,则A 与B (A )合同且相似 (B )合同但不相似 (C )不合同但相似
(D )不合同且不相似
九、(本题满分6分)
设12,,,s αααL 为线性方程组=AX O 的一个基础解系,1112221223121,,,s s t t t t t t =+=+=+βααβααβααL ,其中21,t t 为实常数,试问21,t t 满足什么条件时12,,,s βββL 也为=AX O 的一个基础解系?
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十、(本题满分8分)
已知三阶矩阵A 和三维向量x ,使得2,,A A x x x 线性无关,且满足3232=-A A A x x x . (1)记2(,,),=P A A x x x 求B 使1-=A PBP .
(2)计算行列式+A E .
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2002年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)
(4)已知实二次型3231212
32221321444)(),,(x x x x x x x x x a x x x f +++++=经正交变换可化为标准型216y f =,则a =_____________.
二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)
(4)设有三张不同平面,其方程为i i i i d z c y b x a =++(3,2,1=i )它们所组成的线性方程组的系数矩阵与增广矩阵的秩都为2,则这三张平面可能的位置关系为
九、(本题满分6分)
已知四阶方阵1234(,,,)=A αααα, 1234,,,αααα均为四维列向量,其中234,,ααα线性无关,1232=-ααα.若1234=+++βαααα,求线性方程组x =A β的通解.
十、(本题满分8分)
设,A B 为同阶方阵,
(1)若,A B 相似,证明,A B 的特征多项式相等.
(2)举一个二阶方阵的例子说明(1)的逆命题不成立. (3)当,A B 为实对称矩阵时,证明(1)的逆命题成立.
2003年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷
一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上)
(4)从2
R 的基1211,01????== ? ?-????αα到基1211,12????== ? ?????
ββ的过渡矩阵为 .
二、选择题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)
(4)设向量组I :12,,,r αααL 可由向量组II :12,,,s βββL 线性表示,则
(A )当s r <时,向量组II 必线性相关 (B )当s r >时,向量组II 必线性相关 (C )当s r <时,向量组I 必线性相关 (D )当s r >时,向量组I 必线性相关 (5)设有齐次线性方程组0x =A 和0x =B ,其中,A B 均为n m ?矩阵,现有4个命题:
①若0x =A 的解均是0x =B 的解,则秩()≥A 秩()B ②若秩()≥A 秩()B ,则0x =A 的解均是0x =B 的解 ③若0x =A 与0x =B 同解,则秩()=A 秩()B ④若秩()=A 秩()B , 则0x =A 与0x =B 同解 以上命题中正确的是
(A )①② (B )①③ (C )②④ (D )③④ 九、(本题满分10分)
设矩阵322232223????=??????A ,010101001??
??=??????P ,1*-=B P A P ,求2+B E 的特征值与特征向量,其中*
A 为A 的伴随矩阵,E 为3阶单位矩阵.
十、(本题满分8分)
已知平面上三条不同直线的方程分别为:1l 032=++c by ax ,:2l 032=++a cy bx ,:3l 032=++b ay cx .试证这三条直线交于一点的充分必要条件为.0=++c b a
2004年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷
一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上)
(5)设矩阵210120001??
??=??
????
A ,矩阵
B 满足**2=+ABA BA E ,其中*A 为A 的伴随矩阵,E 是单位矩阵,则B =__________ . 二、选择题(本题共8小题,每小题4分,满分32分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)
(11)设A 是3阶方阵,将A 的第1列与第2列交换得B ,再把B 的第2列加到第3列得C ,则满足=AQ C 的可逆矩阵Q 为
(A )??????????101001010 (B )??????????100101010 (C )??????????110001010 (D )??
???
?????100001110 (12)设,A B 为满足=AB O 的任意两个非零矩阵,则必有
(A )A 的列向量组线性相关,B 的行向量组线性相关(B )A 的列向量组线性相关,B 的列向量组线性相关 (C )A 的行向量组线性相关,B 的行向量组线性相关(D )A 的行向量组线性相关,B 的列向量组线性相关 (20)(本题满分9分)
设有齐次线性方程组121212(1)0,2(2)20,(2),()0,
n n
n a x x x x a x x n nx nx n a x ++++=??++++=?≥??
?++++=?L L L L L L L L L
试问a 取何值时,该方程组有非零解,并求出其通解.
(21)(本题满分9分)
设矩阵12314315a -??
??=--??
????
A 的特征方程有一个二重根,求a 的值,并讨论A 是否可相似对角化. 2005年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷
一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上)
(5)设123,,ααα均为3维列向量,记矩阵
123(,,)=A ααα,123123123(,24,39)=++++++B ααααααααα, 如果1=A ,那么=B .
二、选择题(本题共8小题,每小题4分,满分32分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)
(11)设21,λλ是矩阵A 的两个不同的特征值,对应的特征向量分别为12,αα,则1α,12()+A αα线性无关的充分必要条件是
(A )01≠λ (B )02≠λ (C )01=λ (D )02=λ
(12)设A 为(2)n n ≥阶可逆矩阵,交换A 的第1行与第2行得矩阵**.,B A B 分别为,A B 的伴随矩阵,则 (A )交换*A 的第1列与第2列得*B (B )交换*A 的第1行与第2行得*B
(C )交换*A 的第1列与第2列得*-B (D )交换*A 的第1行与第2行得*-B
(20)(本题满分9分)
已知二次型212322
21321)1(22)1()1(),,(x x a x x a x a x x x f +++-+-=的秩为2. (1)求a 的值；
(2)求正交变换x y =Q ,把),,(321x x x f 化成标准形. (3)求方程),,(321x x x f =0的解.
(21)(本题满分9分)
已知3阶矩阵A 的第一行是c b a c b a ,,),,,(不全为零,矩阵12324636k ??
??=??
????
B (k 为常数),且=AB O ,求线性方程组0x =A 的通解. 2006年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷
一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上)
(5)设矩阵2112??
= ?-??
A ,E 为2阶单位矩阵,矩阵
B 满足2=+BA B E ,则B =.
(6)设随机变量X 与Y 相互独立,且均服从区间[0,3]上的均匀分布,则{}max{,}1P X Y ≤=.
二、选择题(本题共8小题,每小题4分,满分32分. 每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)
(11)设12,,,,s αααL 均为n 维列向量,A 是m n ?矩阵,下列选项正确的是 (A )若12,,,,s αααL 线性相关,则12,,,,s A αA αA αL 线性相关 (B )若12,,,,s αααL 线性相关,则12,,,,s A αA αA αL 线性无关
(C )若12,,,,s αααL 线性无关,则12,,,,s A αA αA αL 线性相关(D )若12,,,,s αααL 线性无关,则12,,,,s A αA αA αL 线性无关.
(12)设A 为3阶矩阵,将A 的第2行加到第1行得B ,再将B 的第1列的-1倍加到第2列得C ,记1100
10001??
?
= ? ??
?
P ,则 (A )1-=C P AP (B )1-=C PAP (C )T =C P AP (D )T =C PAP
(20)(本题满分9分)
已知非齐次线性方程组1234123412
341435131
x x x x x x x x ax x x bx +++=-??
++-=-??++-=?有3个线性无关的解,
(1)证明方程组系数矩阵A 的秩()2r =A .
(2)求,a b 的值及方程组的通解.
(21)(本题满分9分)
设3阶实对称矩阵A 的各行元素之和均为3,向量()()121,2,1,0,1,1T
T
=--=-αα是线性方程组0x =A 的两个解. (1)求A 的特征值与特征向量.
(2)求正交矩阵Q 和对角矩阵A ,使得T =Q AQ A .
2007年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷
一、选择题(本题共10小题,每小题4分,满分40分,在每小题给的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后括号内)
(7)设向量组123,,ααα线性无关,则下列向量组线形相关的是
(A ),,122331---αααααα (B ),,122331+++αααααα(C )1223312,2,2---αααααα (D )1223312,2,2+++αααααα
(8)设矩阵211121112--?? ?=-- ? ?--??A ,100010000?? ?
= ? ???
B ,则A 与B
(A )合同,且相似 (B )合同,但不相似(C )不合同,但相似 (D )既不合同,也不相似 二、填空题(11－16小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上)
(15)设矩阵0100001000010000?? ?
?= ? ???
A ,则3A 的秩为________. (21)(本题满分11分)
设线性方程组12312321
23020,40
x x x x x ax x x a x ++=??
++=??++=?与方程 12321,x x x a ++=-有公共解,求a 的值及所有公共解.
(22)(本题满分11分)
设3阶实对称矩阵A 的特征向量值12311,2, 2.(1,1,1)T λλλ===-=-α是A 的属于特征值1λ的一个特征向量,记534,=-+B A A E 其中E 为3阶单
位矩阵.
(1)验证1α是矩阵B 的特征向量,并求B 的全部特征值与特征向量. (2)求矩阵B .
2008年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷
一、选择题(1-8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.) (5)设A 为n 阶非零矩阵,E 为n 阶单位矩阵. 若30=A ,则
(A )-E A 不可逆,+E A 不可逆 (B )-E A 不可逆,+E A 可逆 (C )-E A 可逆,+E A 可逆 (D )-E A 可逆,+E A 不可逆
二、填空题(9-14小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上.)
(13)设A 为2阶矩阵,12,αα为线性无关的2维列向量,12120,2==+A αA ααα,则A 的非零特征值为 . (20)(本题满分11分)
T T =+A ααββ,T α为α的转置,T β为β的转置.证明: (1)()2r ≤A .(2)若,αβ线性相关,则()2r (21)(本题满分11分)
设矩阵22
21212n n
a a a a a ??? ? ?= ? ???A O O O ,现矩阵A 满足方程=AX B ,其中()1,,T n x x =X L ,()1,0,,0=B L , (1)求证()1n n a =+A .
(2)a 为何值,方程组有唯一解,求1x .
(3)a 为何值,方程组有无穷多解,求通解.
2009年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷
一、选择题(1-8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)
(5)设123,,ααα是3维向量空间3R 的一组基,则由基12311
,,23
ααα到基122331,,+++αααααα的过渡矩阵为
(A )101220033?? ? ? ??? (B )120023103?? ? ? ??? (C )1112461112461112
46??- ? ? ?-
? ? ?- ??? (D )1
11222111444111666??- ? ?
?- ? ? ?- ??? (6)设,A B 均为2阶矩阵,**,A B 分别为,A B 的伴随矩阵,若2,3==A B ,则分块矩阵O A B O ??
???
的伴随矩阵为
(A )**32O B A O ?? ??? (B )**23O B A O ?? ???(C )**32O A B O ?? ??? (D )**
23O A B O ??
???
二、填空题(9-14小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上.) (13)若3维列向量,αβ满足2T =αβ,其中T α为α的转置,则矩阵T βα的非零特征值为. (20)(本题满分11分)
设111111042--?? ?
=- ? ?
--??A ,1112-??
?= ? ?-??ξ
(1)求满足21=A ξξ的2ξ.231=A ξξ的所有向量2ξ,3ξ.(2)对(1)中的任意向量2ξ,3ξ证明123,,ξξξ无关.
(21)(本题满分11分)
设二次型()()222
1231231323,,122f x x x ax ax a x x x x x =++-+-.
(1)求二次型f 的矩阵的所有特征值;(2)若二次型f 的规范形为2212y y +,求a 的值.
2010年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷
一、选择题(1-8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)
(5)设A 为m n ?型矩阵,B 为n m ?型矩阵,若,=AB E 则
(A )秩(),m =A 秩()m =B (B )秩(),m =A 秩()n =B (C )秩(),n =A 秩()m =B (D )秩(),n =A 秩()n =B (6)设A 为4阶对称矩阵,且20,+=A A 若A 的秩为3,则A 相似于
(A )1110?? ?
? ? ??? (B )1110?? ? ? ?- ??? (C )1110?? ?- ? ?- ??? (D )1110-?? ?
- ? ?- ?
??
二、填空题(9-14小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上.)
(13)设123(1,2,1,0),(1,1,0,2),(2,1,1,),T T T α=-==ααα若由123,,ααα形成的向量空间的维数是2,则α=.
(20)(本题满分11分)
设11010,1,111a λλλ???? ? ?
=-= ? ? ? ?????A b 已知线性方程组=A x b 存在两个不同的解.
(1)求,.a λ
