专题六第3讲统计、统计案例
一、选择题(每小题4分,共24分)
1.(2012·淄博高三一模)某单位有青年职工160人,中年职工人数是老年职工人数的2倍,老、中、青职工共有430人,为了解职工身体状况,现采用分层抽样方法进行调查,在抽取的样本中有青年职工32人,则该样本中的老年职工人数为
A.16B.18
C.27D.36
解析设老年职工人数为x,则中年职工人数为2x,
∴x+2x+160=430,∴x=90,据题意得32
160
=
y
90
,∴y=18.
答案 B
2.(2012·惠州模拟)一个总体分为A,B,C三层,其个体数之比为5∶3∶2,若用分层抽样的方式抽取容量为200的样本,则应从B中抽取的个体数为
A.40 B.60 C.80 D.100
解析设从B中抽取的个体数为x,据题意得
x 3=
200
5+3+2
,∴x=60.
答案 B
3.(2012·福州模拟)某班有48名学生,在一次考试中统计出平均分为70分,方差为75,后来发现有2名同学的分数登错了,甲实得80分却记成了50分,乙实得70分却记成了100分,则更正后平均分和方差分别是
A.70,50 B.70,75 C.70,72.5 D.65,70
解析平均分不变.
原方差s=1
48
[(x1-70)2+…+(x46-70)2+202+302],
∴(x1-70)2+…+(x46-70)2=75×48-1 300,∴s2=1
48
[75×48-1 300+102]=50.
答案A
4.统计某校1 000名学生的数学测试成绩,得到样本频率分布直方图如图所示,若满分为100分,规定不低于60分为及格,则及格率是
A.20% B.25% C.6% D.80%
解析 根据频率分布直方图,得出不合格的频率为: (0.015+0.005)×10=0.2, 故及格率为(1-0.2)×100%=80%. 答案 D
5.(2012·杭州模拟)通过随机询问100名性别不同的大学生是否爱好踢毪子运动,得到如下的列联表:
男 女 总计 爱好 10 40 50 不爱好 20 30 50 总计
30
70
100
附表:
P(K 2≥k) 0.10 0.05 0.025 k
2.706
3.841
5.024
随机变量K2=n a d -bc 2
a
+b c +d a +c b +d ,经计算,统计量K2的观测值k ≈4.762,参考附表,得到的正确
结论是
A .犯错误的概率不超过5%的前提下,认为“爱好该项运动与性别有关”
B .在犯错误的概率不超过5%的前提下,认为“爱好该项运动与性别无关”
C .有97.5%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”
D .有97.5%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”
解析 由表可知,犯错误的概率不超过5%的前提下,认为“爱好该项运动与性别有关”,即有95%的把握认为“爱好该项运动与性别有关”.故选A. 答案 A
6.(2012·泰安模拟)下列说法:
①将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后,方差恒不变;
②设有一个回归方程y ∧
=3-5x ,变量x 增加一个单位时,y 平均增加5个单位; ③线性回归方程y ∧=bx +a 必过(x -,y -
);
④在一个2×2列联表中,由计算得K2=13.079,则有99%的把握确认这两个变量间有关系. 其中错误的个数是 A .0 B .1 C .2
D .3
本题可以参考独立性检验临界值表
P(K2≥k) 0.5 0.40 0.25 0.15 0.10 k 0.455
0.708
1.323
2.072
2.706
P(K2≥k) 0.05 0.25 0.10 0.005 0.001 k
3.841
5.024
6.535
7.879
10.828
解析 ①③④皆正确;②错误,原因为变量x 增加一个单位时,y 平均减少5个单位. 答案 B
二、填空题(每小题5分,共15分)
7.(2012·济南模拟)某企业3个分厂同时生产同一种电子产品,第一、二、三分厂的产量之比为1∶2∶1,用分层抽样方法(每个分厂的产品为一层)从3个分厂生产的电子产品中共取100件作使用寿命的测试,由所得的测试结果算得从第一、二、三分厂取出的产品的使用寿命的平均值分别为980 h,1 020 h,1 032 h ,则抽取的100件产品的使用寿命的平均值为________h. 解析 根据分层抽样原理,第一、二、三分厂抽取的产品数量分别为25,50,25, 所以所求100件产品的平均寿命为 980×25+1 020×50+1032×25
100=1 013 h.
答案 1 013
8.(2012·丰台二模)某地区恩格尔系数y(%)与年份x 的统计数据如下表:
年份x
2004 2005 2006 2007 恩格尔系数y(%)
47
45.5
43.5
41
从散点图可以看出y 与x 线性相关,且可得回归方程为y ∧
=bx +4 055.25,据此模型可预测2012年该地区的恩格尔系数(%)为________. 解析 由表可知x -=2 005.25,y -
=44.25. ∵y -=b x -
+4 055.25, 即44.25=2 005.5b +4 055.25,
∴b =-2,∴回归方程为y ∧
=-2x +4 055.25, 令x =2 012,得y ∧
=31.25. 答案 31.25
9.(2012·日照模拟)样本容量为1 000的频率分布直方图如图所示.根据样本的频率分布直方图,计算x 的值为________,样本数据落在[6,14)内的频数为________.
解析 4×(0.02+0.03×2+0.08+x)=1,∴x =0.09, 1 000×(4×0.08+4×0.09)=680. 答案 0.09 680
三、解答题(每小题12分,共36分)
10.某学生对其亲属30人的饮食习惯进行了一次调查,并用茎叶图表示30人的饮食指数,如图所示.(说明:图中饮食指数低于70的人,饮食以蔬菜为主;饮食指数高于70的人,饮食以肉类为主.)
(1)根据茎叶图,帮助这位同学说明其亲属30人的饮食习惯; (2)根据以上数据完成如表所示的2×2列联表;
主食蔬菜 主食肉类
合计 50岁以下 50岁以上 合计
(3)能否有99%的把握认为“其亲属的饮食习惯与年龄有关”?并写出简要分析. 附:K2=
n a d -bc 2
a
+b c +d a +c b +d
P(K2≥k0) 0.25 0.15 0.10 0.05 0.024 0.010 0.005 0.001 k0 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 解析 (1)30位亲属中50岁以上的人多以食蔬菜为主,50岁以下的人多以食肉为主. (2)列联表如表所示:
主食蔬菜 主食肉类 合计 50岁以下 4 8 12 50岁以上 16 2 18 合计
20
10
30
(3)K2=
30×8-128212×18×20×10=30×120×120
12×18×20×10
=10>6.635,
由附表知,有99%的把握认为“其亲属的饮食习惯与年龄有关”.
11.某研究机构对高三学生的记忆力x 和判断力y 进行统计分析,所得数据如表所示:
x 6 8 10 12 y 2 3 5 6
(1)请画出上表数据的散点图;
(2)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程y ∧
=bx +a ; (3)试根据(2)求出的线性回归方程,预测记忆力为9的学生的判断力. (相关公式:b =∑n i =1xiyi -n x -·y -∑n i =1x2i -n x -2,a =y --b x -
.)
解析 (1)如图所示.
(2)∑4
i =1xiyi =6×2+8×3+10×5+12×6=158, x -=6+8+10+124=9,y -=2+3+5+64=4,
∑4
i =1x2i =62+82+102+122=344, b =
158-4×9×4344-4×92=1420
=0.7,a =y -
-bx
=4-0.7×9=-2.3,
故线性回归方程为y ∧
=0.7x -2.3.
(3)由回归直线方程预测,记忆力为9的学生的判断力约为4.
12.以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数.乙组记录中有一个数据模糊,无法确认,在图中以X 表示.
甲组 乙组 9 9 0 X 8 9 1 1
1
(1)如果X =8,求乙组同学植树棵数的平均数和方差;
(2)如果X =9,分别从甲、乙两组中随机选取一名同学,求这两名同学的植树总棵数为19的概率.
(注:方差s2=1n [(x1-x -)2+(x2-x -)2+…+(xn -x -)2],其中x -
为x1,x2,…,xn 的平均数)
解析 (1)当X =8时,由茎叶图可知,乙组同学的植树棵数是8,8,9,10,所以平均数为x -
=8+8+9+104=35
4;
方差为s2=
14?? ????8-3542+???
?8-3542+????9-3542+
??????10-3542=1116
.
(2)记甲组四名同学为A1,A 2,A3,A4, 他们植树的棵数依次为9,9,11,11; 乙组四名同学为B1,B2,B3,B4, 他们植树的棵数依次为9,8,9,10.
分别从甲、乙两组中随机选取一名同学, 所有可能的结果有16个,它们是:
(A1,B1),(A1,B2),(A 1,B3),(A1,B4), (A2,B1),(A2,B2),(A 2,B3),(A2,B4), (A3,B1),(A3,B2),(A 3,B3),(A3,B4), (A4,B1),(A4,B2),(A 4,B3),(A4,B4),
用C 表示:“选出的两名同学的植树总棵数为19”这一事件,则C 中的结果有4个,它们是:(A1,B4),(A2,B4),(A 3,B2),(A4,B2), 故所求概率为P(C)=416=1
4
.
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第十一章统计、统计案例 第一部分六年高考荟萃 2013年高考题 1 .(2013年高考陕西卷(理))某单位有840名职工, 现采用系统抽样方法, 抽取 42人做问卷调查, 将840人按1, 2, , 840随机编号, 则抽取的42人中, 编号 落入区间[481, 720]的人数为()A.11 B.12 C.13 D.14 2 .(2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学(理)试题(纯WORD版))某班级有 50名学生,其中有30名男生和20名女生,随机询问了该班五名男生和五名 女生在某次数学测验中的成绩,五名男生的成绩分别为86,94,88,92,90,五名 女生的成绩分别为88,93,93,88,93.下列说法一定正确的是()A.这种抽样方法是一种分层抽样 B.这种抽样方法是一种系统抽样 C.这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差 D.该班级男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数 3 .(2013年普通高等学校招生统一考试福建数学(理)试题(纯WORD版))某校从高 一年级学生中随机抽取部分学生,将他们的模块测试成绩分为6组:[40,50), [50,60), [60,70), [70,80), [80,90), [90,100)加以统计,得到如图所示的频率分布 直方图,已知高一年级共有学生600名,据此估计,该模块测试成绩不少于60 分的学生人数为()A.588 B.480 C.450 D.120 4 .(2013年高考江西卷(理))总体有编号为01,02,…,19,20的20个个体组成。利用下 面的随机数表选取5个个体,选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字 7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198 3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481 )A.08 B.07 C.02 D.01 5.(2013年高考上海卷(理))盒子中装有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9的九个球,从中任意取出两个,则这两个球的编号之积为偶数的概率是 ___________(结果用最简分数表示)
高中数学《集合》测试题 学校:__________ 姓名:__________ 班级:__________ 考号:__________ 一、选择题 1.设集合{}{}{}1,2,3,4,5,|,,,A B M x x a b a A b B ====+∈∈则M 中的元素个数为 (A)3 (B)4 (C)5 (D)6(2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学(理)WORD 版含答案(已校对)) 2.设集合{|1A x =-≤x ≤2},B={x |0≤x ≤4},则A ∩B=A (A)[0,2] (B)[1,2] (C)[0,4] (D)[1,4](2006年高考浙江理) 3.设集合{1,2}A =,则满足{1,2,3}A B ?=的集合B 的个数是( ) (A)1 (B)3 (C)4 (D)8(2006辽宁理) 4.已知集合M ={x |x 2<4},N ={x |x 2-2x -3<0},则集合M ∩N 等于( ) A.{x |x <-2} B.{x |x >3} C.{x |-1<x <2} D.{x |2<x <3}(2004全国Ⅱ1) 5.若集合A={-1,1},B={0,2},则集合{z ︱z=x+y,x∈A,y∈B}中的元素的个数为 ( ) A .5 B .4 C .3 D .2(2012江西理) C 6.设集合A={x|1<x <4},集合B ={x|2x -2x-3≤0}, 则A ∩(C R B )= A .(1,4) B .(3,4) C.(1,3) D .(1,2)∪(3,4) 7.若关于x 的一元二次不等式20ax bx c ++<的解集为实数集R ,则a 、b 、c 应满足的条件为-----------------------------------------------------------------------( ) (A ) a >0,b 2―4ac >0 (B ) a >0,b 2 ―4ac <0 (C ) a <0,b 2―4ac >0 (D ) a <0,b 2―4ac <0 二、填空题 8.已知全集U ={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},集合{}321,,a a a A =,则满足
统计和统计案例 1.该部分常考内容:样本数字特征的计算、各种统计图表、线性回归方程、独立性检验等;有时也会在知识交汇点处命题,如概率和统计交汇等. 2.从考查形式上来看,大部分为选择题、填空题,重在考查基础知识、基本技能,有时在知识交汇点处命题,也会出现解答题,都属于中低档题. 1. 随机抽样 (1)简单随机抽样特点为从总体中逐个抽取,适用范围:总体中的个体较少. (2)系统抽样特点是将总体均分成几部分,按事先确定的规则在各部分中抽取,适用范围:总体中的个体数较多. (3)分层抽样特点是将总体分成几层,分层进行抽取,适用范围:总体由差异明显的几部分组成. 2. 常用的统计图表 (1)频率分布直方图 ①小长方形的面积=组距× 频率 组距 =频率; ②各小长方形的面积之和等于1; ③小长方形的高=频率组距,所有小长方形的高的和为1 组距. (2)茎叶图 在样本数据较少时,用茎叶图表示数据的效果较好. 3. 用样本的数字特征估计总体的数字特征 (1)众数、中位数、平均数 数字特征 样本数据 频率分布直方图 众数 出现次数最多的数据 取最高的小长方形底边中点的横坐标 中位数 将数据按大小依次排列,处在最 中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数) 把频率分布直方图划分左右两个面积相等的分界线和x 轴交点的横坐标 平均数 样本数据的算术平均数 每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和 (2)方差:s 2=n [(x 1-x )2+(x 2-x )2+…+(x n -x )2 ]. 标准差:
s = 1n [ x 1-x 2 +x 2-x 2 +…+x n -x 2 ]. 4. 变量的相关性和最小二乘法 (1)相关关系的概念、正相关和负相关、相关系数. (2)最小二乘法:对于给定的一组样本数据(x 1,y 1),(x 2,y 2),…,(x n ,y n ),通过求Q = i =1 n (y i -a -bx i )2 最小时,得到线性回归方程y ^ =b ^ x +a ^ 的方法叫做最小二乘法. 5. 独立性检验 对于取值分别是{x 1,x 2}和{y 1,y 2}的分类变量X 和Y ,其样本频数列联表是: y 1 y 2 总计 x 1 a b a +b x 2 c d c +d 总计 a +c b +d n 则K 2 = n ad -bc 2a +b c + d a +c b +d (其中n =a +b +c +d 为样本容量). 考点一 抽样方法 例1 (2012·山东)采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查,为此将他们随机编号为1,2,…,960,分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中,编号落入区间[1,450]的人做问卷A ,编号落入区间[451,750]的人做问卷B ,其余的人做问卷C .则抽到的人中,做问卷B 的人数为 ( ) A .7 B .9 C .10 D .15 答案 C 分析 由系统抽样的特点知:抽取号码的间隔为 960 32 =30,抽取的号码依次为9,39,69,…,939.落入区间[451,750]的有459,489,…,729,这些数构成首项为459,公差为30的等差数列,设有n 项,显然有729=459+(n -1)×30,解得n =10.所以做问卷B 的有10人. 在系统抽样的过程中,要注意分段间隔,需要抽取几个个体,样本就需要分 成几个组,则分段间隔即为N n (N 为样本容量),首先确定在第一组中抽取的个体的号码数,再从后面的每组中按规则抽取每个个体.解决此类题目的关键是深刻理解各种抽样
第一讲 坐标系 一?选择题:(本大题共6小题,每小题6分,共36分,将正确答案的代号填在题后的括号内.) 1.点M 的直角坐标为 ),则它的球坐标为( ) 5.2,,.2,,444453.2,,.2,,4444A B C D ππππππππ???? ? ????? ???? ? ????? 解析 :2,1,tan 0,tan 02,x 0. 4 11,,1 5.4 r y x ??θ?θπθππ θ=== === <-=-= <= =由≤≤得又≤所以 答案:B 2.在平面直角坐标系中,以(1,1)为圆心 为半径的圆在以直角坐标系的原点为极点,以Ox 为极轴的极坐标系中对应的极坐标方程为 ( ) () B.. C. D.44A ρθρθππρθρθ? ?=- ? ? ?? ?- ?? =- =?=- 解析:由题意知圆的直角坐标方程为 (x-1)2 +(y-1)2 =2. 化为极坐标方程为(ρcos θ-1)2 +(ρsin θ-1)2 =2.
∴0.40 4,04044 . . ρρθρθρρππππθρθρπθ? ? ??-- = ???? ?? ? ? ?-= ?? ??? ? -∴-∴?-- = ???? ??? ? ?-= ?? ?? ?- ?? ?= 也过极点与等价对应的极坐标方程为 答案:A 3.在极坐标系中,点(ρ,θ)与(-ρ,π-θ)的位置关系为( ) A.关于极轴所在直线对称 B.关于极点对称 C.重合 D.关于直线θ= 2 π (ρ∈R)对称 解析:点(ρ,θ)也可以表示为(-ρ,π+θ),而(-ρ,π+θ)与(-ρ,π-θ)关于极轴所在直线对称,故选A. 答案:A 4.在柱坐标系中,两点24,,04,,333M N π π???? ? ?? ??? 与的距离为( ) A.3 B.4 C.5 D.8 解析:解法一:由柱坐标可知M 在Oxy 平面上,N 在Oxy 平面上的射影坐标为 N |MN |4,24,,0MN 5.3. , C π'∴'===?? ??? 再由勾股定理得故选 解法二:可将M ?N 化为直角坐标 ,N(MN 5.. C =-∴=故选 答案:C
2013年普通高等学校招生全国统一考试 数学(文)(北京卷) 本试卷满分150分,考试时120分钟,考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效, 第一部分(选择题 共40分) 一、选择题(共8小题,每小题5分,共40分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项) 1.已知集合{}1,0,1A =-,{}|11B x x =-≤<,则A B = ( ) A .{}0 B .{}1,0- C .{}0,1 D .{}1,0,1- 2.设a ,b ,c R ∈,且a b >,则( ) A .ac bc > B . 11 a b < C .22a b > D .33a b > 3.下列函数中,既是偶函数又在区间(0,)+∞上单调递减的是( ) A .1y x = B .x y e -= C .2 1y x =-+ D .lg y x = 4.在复平面内,复数(2)i i -对应的点位于( ) A .第一象限 B .第二象限 C .第三象限 D .第四象限 5.在ABC ?中,3a =,5b =,1 sin 3 A = ,则sin B =( ) A . 15 B .5 9 C .3 D .1 6.执行如图所示的程序框图,输出的S 值为( ) A .1 B . 2 3 C .13 21 D .610987 7.双曲线2 2 1y x m -=的充分必要条件是 A .1 2 m > B .1m ≥ C .1m > D .2m > 8.如图,在正方体1111ABCD A B C D -中,P 为对角线1BD 的三等分点,则P 到各顶点的距离的不同取值有( )
A .3个 B .4个 C .5个 D .6个 第二部分(选择题 共110分) 二、填空题(共6小题,每小题5分,共30分) 9.若抛物线2 2y px =的焦点坐标为(1,0),则p = ,准线方程为 。 10.某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的体积为 。 11.若等比数列{}n a 满足2420a a +=,3540a a +=,则公比q = ;前n 项和n S = 。 12.设D 为不等式组0 2030x x y x y ≥?? -≤??+-≤? 所表示的平面区域,区域D 上的点与点(1,0)之间的距离的最小值 为 。 13.函数12 log ,1()2,1 x x x f x x ≥??=??
1.【2015·新课标II】某公司为了解用户对其产品的满意度,从A,B两地区分别随机调查了20个用户,得到用户对产品的满意度评分如下: A地区:62 73 81 92 95 85 74 64 53 76 78 86 95 66 97 78 88 82 76 89 B地区:73 83 62 51 91 46 53 73 64 82 93 48 65 81 74 56 54 76 65 79 (Ⅰ)根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图,并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值,得出结论即可); 价结果相互独立.根据所给数据,以事件发生的频率作为相应事件发生的概率,求C的概率. 2.【2015·福建】某银行规定,一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误,该银行卡将被锁定,小王到银行取钱时,发现自己忘记了银行卡的密码,但是可以确定该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一,小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试.若密码正确,则结束尝试;否则继续尝试,直至该银行卡被锁定. (Ⅰ)求当天小王的该银行卡被锁定的概率; (Ⅱ)设当天小王用该银行卡尝试密码次数为X,求X的分布列和数学期望.
3.【2015·山东】若n是一个三位正整数,且n的个位数字大于十位数字,十位数字大于百位数字,则称n为“三位递增数”(如137,359,567等).在某次数学趣味活动中,每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数,且只能抽取一次.得分规则如下:若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除,参加者得0分;若能被5整除,但不能被10 分;若能被10整除,得1分. 整除,得1 (I)写出所有个位数字是5的“三位递增数” ; (II)若甲参加活动,求甲得分X的分布列和数学期望EX. 4.【2015·安徽】已知2件次品和3件正品放在一起,现需要通过检测将其区分,每次随机检测一件产品,检测后不放回,直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束. (Ⅰ)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率; (Ⅱ)已知每检测一件产品需要费用100元,设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所 需要的检测费用(单位:元),求X的分布列和均值(数学期望).
§10.2统计及统计案例 考纲解读 分析解读
从近几年的高考试题来看,本部分在高考中的考查点如下:1.主要考查分层抽样的定义,频率分布直方图,平均数、方差的计算,识图能力及借助概率知识分析、解决问题的能力;2.在频率分布直方图中,注意小矩形的高=频率/组距,小矩形的面积为频率,所有小矩形的面积之和为1;3.分析两个变量间的相关关系,通过独立性检验判断两个变量是否相关.本节内容在高考中分值为17分左右,属中档题.
(1)根据频率分布直方图可知,样本中分数不小于70的频率为(0.02+0.04)×10=0.6, 所以样本中分数小于70的频率为1-0.6=0.4. 所以从总体的400名学生中随机抽取一人,其分数小于70的概率估计为0.4. (2)根据题意,样本中分数不小于50的频率为(0.01+0.02+0.04+0.02)×10=0.9, 分数在区间[40,50)内的人数为100-100×0.9-5=5. 所以总体中分数在区间[40,50)内的人数估计为400× =20. (3)由题意可知,样本中分数不小于70的学生人数为(0.02+0.04)×10×100=60, 所以样本中分数不小于70的男生人数为60× =30. 所以样本中的男生人数为30×2=60,女生人数为100-60=40,男生和女生人数的比例为60∶40=3∶2. 所以根据分层抽样原理,总体中男生和女生人数的比例估计为3∶2. 五年高考 考点一 抽样方法 1.(2015北京,4,5分)某校老年、中年和青年教师的人数见下表.采用分层抽样的方法调查教师的身体状况,在抽取的样本中,青年教师有320人,则该样本中的老年教师人数为( )
9.4两个平面平行 ●知识梳理 1.两个平面平行的判定定理:如果一个平面的两条相交直线都与另一个平面平行,那么这两个平面平行. 2.两个平面平行的性质定理:如果两个平行平面都与第三个平面相交,那么交线平行. ●点击双基 1.(2005年春季,3)下列命题中,正确的是 A.经过不同的三点有且只有一个平面 B.分别在两个平面的两条直线一定是异面直线 C.垂直于同一个平面的两条直线是平行直线 D.垂直于同一个平面的两个平面平行 答案:C 2.设a、b是两条互不垂直的异面直线,过a、b分别作平面α、β,对于下面四种情况:①b∥α,②b⊥α,③α∥β,④α⊥β.其中可能的情况有 A.1种 B.2种 C.3种 D.4种 解析:①③④都有可能,②不可能,否则有b⊥a与已知矛盾. 答案:C 3.α、β是两个不重合的平面,a、b是两条不同直线,在下列条件下,可判定α∥β的是 A.α、β都平行于直线a、b
B.α有三个不共线点到β的距离相等 C.a 、b 是α两条直线,且a ∥β,b ∥β D.a 、b 是两条异面直线且a ∥α,b ∥α,a ∥β,b ∥β 解析:A 错,若a ∥b ,则不能断定α∥β; B 错,若A 、B 、 C 三点不在β的同一侧,则不能断定α∥β; C 错,若a ∥b ,则不能断定α∥β; D 正确. 答案:D 4.a 、b 、c为三条不重合的直线,α、β、γ为三个不重合的平面,直线均不在平面,给出六个命题: .????;????????????????????αγγαβαγβγαααβαβαγγ∥∥∥⑥∥∥∥⑤∥∥∥④∥∥∥③∥∥∥②∥∥∥① a a a c a c c c b a b a b a c b c a ;;;; 其中正确的命题是________________.(将正确的序号都填上) 答案:①④⑤⑥ ●典例剖析 【例1】设平面α∥平面β,AB 、CD 是两条异面直线,M 、N 分别是AB 、CD 的中点,且A 、C ∈α,B 、D ∈β,求证:MN ∥平面α. 剖析:因为AB 与CD 是异面直线,故MN 与AC 、BD 不平行.在平面α、β中不易找到与MN 平行的直线,所以试图通过证线线平行达到线面平行这一思路受阻,于是转而考虑通过证面面平行达到线面平行,即需找一个过MN 且与α平行的平面.根据M 、N 是异面直
高考复习专题之:概率与统计 一、概率:随机事件A 的概率是频率的稳定值,反之,频率是概率的近似值. 1.随机事件A 的概率0()1P A ≤≤,其中当()1P A =时称为必然事件;当()0P A =时称为不可能事件P(A)=0; 注:求随机概率的三种方法: (一)枚举法 例1如图1所示,有一电路AB 是由图示的开关控制,闭合a ,b ,c , d , e 五个开关中的任意两个开关,使电路形成通路.则使电路形成通 路的概率是 . 分析:要计算使电路形成通路的概率,列举出闭合五个开关中的任意 两个可能出现的结果总数,从中找出能使电路形成通路的结果数,根据概率的意义计算即可。 解:闭合五个开关中的两个,可能出现的结果数有10种,分别是a b 、a c 、a d 、a e 、bc 、bd 、be 、cd 、ce 、de ,其中能形成通路的有6种,所以p(通路)= 106=5 3 评注:枚举法是求概率的一种重要方法,这种方法一般应用于可能出现的结果比较少的事件的概率计算. (二)树形图法 例2小刚和小明两位同学玩一种游戏.游戏规则为:两人各执“象、虎、鼠”三张牌,同时各出一张牌定胜负,其中象胜虎、虎胜鼠、鼠胜象,若两人所出牌相同,则为平局.例如,小刚出象牌,小明出虎牌,则小刚胜;又如, 两人同时出象牌,则两人平局.如果用A 、B 、C 分别表示小刚的象、虎、鼠三张牌,用A 1、B 1、C 1分别表示小明 的象、虎、鼠三张牌,那么一次出牌小刚胜小明的概率是多少? 分析:为了清楚地看出小亮胜小刚的概率,可用树状图列出所有可能出现的结果,并从中找出小刚胜小明可能出现的结果数。 解:画树状图如图树状图。由树状图(树形图)或列表可知,可能出现的结果有9种,而且每种结果出现的可能性相同,其中小刚胜小明的结果有3种.所以P (一次出牌小刚胜小明)= 31 点评:当一事件要涉及两个或更多的因素时,为了不重不漏地列出所有可能的结果,通过画树形图的方法来计算概率 (三)列表法 例3将图中的三张扑克牌背面朝上放在桌面上,从中随机摸出两张,并用这两张扑克牌上的数字组成一个两位数.请你用画树形(状)图或列表的方法求:(1)组成的两位数是偶数的概率;(2)组成的两位数是6的倍数的概率. 分析:本题可通过列表的方法,列出所有可能组成的两位数的可能情况,然后再找出组成的两位数是偶数的可能情况和组成两位数
一、考情分析 集合是高考数学必考内容,一般作为容易题.给定集合来判定集合间的关系、集合的交、并、补运算是考查的主要形式,常与函数的定义域、值域、不等式(方程)的解集相结合,在知识交汇处命题,以选择题为主,多出现在试卷的前3题中. 二、经验分享 (1)用描述法表示集合,首先要搞清楚集合中代表元素的含义,再看元素的限制条件,明白集合的类型,是数集、点集还是其他类型的集合;如下面几个集合请注意其区别: ①{}220x x x -=;②{}22x y x x =-;③{}22y y x x =-;④(){} 2,2x y y x x =-. (2)二元方程的解集可以用点集形式表示,如二元方程2xy =的整数解集可表示为()()()(){}1,2,2,1,1,2,2,1----. (3)集合中元素的互异性常常容易忽略,求解问题时要特别注意.分类讨论的思想方法常用于解决集合问题. (4)空集是任何集合的子集,在涉及集合关系时,必须优先考虑空集的情况,否则会造成漏解.(2)已知两个集合间的关系求参数时,关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系,进而转化为参数所满足的关系. (5)一般来讲,集合中的元素若是离散的,则用Venn 图表示;集合中的元素若是连续的实数,则用数轴表示,此时要注意端点的情况. (6)解决以集合为背景的新定义问题,要抓住两点:①紧扣新定义.首先分析新定义的特点,把新定义所叙述的问题的本质弄清楚,并能够应用到具体的解题过程之中,这是破解新定义型集合问题难点的关键所在;②用好集合的性质.解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素,在关键之处用好集合的运算与性质. 三、知识拓展 1.若有限集A 中有n 个元素,则集合A 的子集个数为2n ,真子集的个数为2n -1. 2.A ?B ?A ∩B =A ?A ∪B =B ()()U U A B A B U ?=??=痧 . 3.奇数集:{}{}{} 21,21,4 1.x x n n x x n n x x n n =+∈==-∈==±∈Z Z Z . 4. 数集运算的封闭性,高考多次考查,基础知识如下:若从某个非空数集中任选两个元素(同一元素可重复选出),选出的这两个元素通过某种(或几种)运算后的得数仍是该数集中的元素,那么,就说该集合对于这种(或几种)运算是封闭的.自然数集N 对加法运算是封闭的;整数集Z 对加、减、乘法运算是封闭的.有理数集、复数
2013年普通高考数学科一轮复习精品学案 第36讲空间向量及其应用 一.课标要求: (1)空间向量及其运算 ①经历向量及其运算由平面向空间推广的过程; ②了解空间向量的概念,了解空间向量的基本定理及其意义,掌握空间向量的正交分解及其坐标表示; ③掌握空间向量的线性运算及其坐标表示; ④掌握空间向量的数量积及其坐标表示,能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直。 (2)空间向量的应用 ①理解直线的方向向量与平面的法向量; ②能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系; ③能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理(包括三垂线定理); ④能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题,体会向量方法在研究几何问题中的作用。 二.命题走向 本讲内容主要涉及空间向量的坐标及运算、空间向量的应用。本讲是立体几何的核心内容,高考对本讲的考察形式为:以客观题形式考察空间向量的概念和运算,结合主观题借助空间向量求夹角和距离。 预测2013年高考对本讲内容的考查将侧重于向量的应用,尤其是求夹角、求距离,教材上淡化了利用空间关系找角、找距离这方面的讲解,加大了向量的应用,因此作为立体几何解答题,用向量法处理角和距离将是主要方法,在复习时应加大这方面的训练力度。 三.要点精讲 1.空间向量的概念 向量:在空间,我们把具有大小和方向的量叫做向量。如位移、
速度、力等。 相等向量:长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。 表示方法:用有向线段表示,并且同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量。 说明:①由相等向量的概念可知,一个向量在空间平移到任何位置,仍与原来的向量相等,用同向且等长的有向线段表示;②平面向量仅限于研究同一平面内的平移,而空间向量研究的是空间的平移。 2.向量运算和运算率 加法交换率: 加法结合率: 数乘分配率: 说明:①引导学生利用右图验证加法交换率,然后推广到首尾相接的若干向量之和;②向量加法的平行四边形法则在空间仍成立。 3.平行向量(共线向量):如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合,则这些向量叫做共线向量或平行向量。平行于记作∥。 注意:当我们说、共线时,对应的有向线段所在直线可能是同一直线,也可能是平行直线;当我们说、平行时,也具有同样的意义。 共线向量定理:对空间任意两个向量(≠)、,∥的
专题10.2 统计与统计案例 一、填空题:请把答案直接填写在答题卡相应的位置........ 上(共10题,每小题6分,共计60分). 1.交通部门对某路段公路上行驶的汽车速度实施监控,从速度在 的汽车中抽取150辆进行分析,得到数据的频率分布直方图如图所示,则速度在 以下的汽车有辆. ) 【答案】75 2.某校高一年级有学生人,高二年级有学生人,现采用分层抽样的方法从全校学生中抽出人,其中从高一年级学生中抽出人,则从高三年级学生中抽取的人数为 ▲ . 【答案】17 【解析】高一高二人数之比为10:9,因此高二抽出的人数为18人,高三抽出的人数为55-20-18=17人 3.若一组样本数据9,8,x ,10,11的平均数为10,则该组样本数据的方差为▲. 【答案】2 【解析】由题意得,因此方差为 4.某校共有教师200人,男学生800人,女学生600人,现用分层抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为的样本,已知从男学生中抽取的人数为100人,那么 ▲ . 【答案】200 【解析】男学生占全校总人数,那么 5.从某校高三年级随机抽取一个班,对该班50名学生的高校招生体检表中的视力情况进行统计,其频率分布直方图如图所示。若某高校A 专业对视力的要求在0.9以上,则该班学生中能报A 专业的人数为.
【答案】20 【解析】根据频率分布直方图,得视力在0.9以上的频率为(1.00+0.75+0.25)×0.2=0.4, ∴该班学生中能报A专业的人数为50×0.4=20. 6.某单位200名职工的年龄分布情况如图,现要从中抽取40名职工作样本.用系统抽样法,将全体职工随机按1~200编号,并按编号顺序平均分为40组(1~5号,6~10号,…,196~200号).若第5组抽出的号码为22,则第8组抽出的号码应是________.若用分层抽样方法,则40岁以下年龄段应抽取________人. 【答案】37,20 7.下图是2014年在怀化市举行的演讲比赛,七位评委为第一位演讲者打出的分数的茎叶统计图,去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的平均数与方差分别为. 【答案】, 【解析】去掉一个最高分和一个最低分之后,剩余的五个数据依次是、、、、,平均数为
高考数学统计与统计案例1.小吴一星期的总开支分布如图 1 所示,一星期的食品开支如图 2 所示,则小吴一星期的鸡蛋开支占总开支的百分比为() A.1%B.2%C.3%D.5% C[ 由图 1 所示,食品开支占总开支的 30%,由图 2 所示,鸡蛋开支占食 品开支的30 = 1 , 30+40+100+80+ 50 10 1 ∴鸡蛋开支占总开支的百分比为30%×10=3%.故选 C.] 2.(2019 德·州模拟 )某人到甲、乙两市各7 个小区调查空置房情况,调查得到的小区空置房的套数绘成了如图所示的茎叶图,则调查中甲市空置房套数的中位数与乙市空置房套数的中位数之差为() A.4B. 3C.2D.1 B[ 由茎叶图可以看出甲、乙两市的空置房的套数的中位数分别是79,76,因此其差是 79- 76=3,故选 B.] 3.某工厂对一批新产品的长度(单位: mm)进行检测,如图是检测结果的频