2015年江苏省南通市高三二模考试数学试题及答案

南通市2015届高三第二次调研测试

数学学科

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．命题“x ?∈R ，20x >”的否定是“ ▲ ”．

【答案】x ?∈R ，20x ≤

2．设1i i 1i

a b +=+-(i 为虚数单位，a ，b ∈R )，则ab 的值为 ▲ ．

【答案】0

3．设集合{}

11 0 3 2

A =-，

，，，{}

2 1B x x =≥，则A B =I ▲ ． 【答案】{}1 3-，

4．执行如图所示的伪代码，则输出的结果为 ▲ ．

【答案】11

5．一种水稻试验品种连续5年的平均单位面积产量(单位：t/hm 2)如下：9.8，9.9，10.1，10，10.2，则该组数据的方差为 ▲ ． 【答案】0.02

6．若函数()

π()2sin 3f x x ω=+(0)ω>的图象与x 轴相邻两个交点间的距离为2，则实数ω的值为

▲ ．

【答案】π2

7．在平面直角坐标系xOy 中，若曲线ln y x =在e x =(e 为自然对数的底数)处的切线与直线

30ax y -+=垂直，则实数a 的值为 ▲ ．

【答案】e -

8．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，AB =3 cm ，AD =2 cm ，1AA =1 cm ，则三棱锥11B ABD -的体积为 ▲ cm 3． 【答案】1

9．已知等差数列{}n a 的首项为4，公差为2，前n 项和为n S ． 若544k k S a +-=(k *∈N )，则k 的值为 ▲ ．

【答案】7

10．设32()4(3)f x x mx m x n =++-+(m n ∈R ，)是R 上的单调增函数，则m 的值为 ▲ ．

A

A 1

B

不

C

B 1

不

C 1

不

D 1

不

D

（第8题）

I ← 1

While I < 7 S ← 2 I + 1 I ← I + 2 End While Print S

（第4题）

【答案】6

11．在平行四边形ABCD 中，AC AD AC BD ?=?u u u r u u u r u u u r u u u r

3=，则线段AC 的长为 ▲ ．

解1：()3a b a +=r r g ，()()3a b a b +-=r r r r

g ，（1）×2-（2

．

解2：AC BD ?-u u u r u u u r 0AC AD ?=u u u r u u u r ，得()

0AC BD AD ?-=u u u r u u u r u u u r

，

即0AC BA ?=u u u r u u u r ，射影得AC AD ?u u u r u u u r =2

AC =u u u r 3

，AC =

12．如图，在△ABC 中，3AB =，2AC =，4BC =，点D

在边BC 上，BAD ∠=45°，则tan CAD ∠的值为 ▲ ．

13．设x ，y ，z 均为大于1的实数，且z 为x 和y 的等比中项，则

lg lg 4lg lg z z

x y

+

的最小值为 ▲ ． 【答案】98

14．在平面直角坐标系xOy 中，圆1C ：22(1)(6)25x y ++-=，圆2C ：222(17)(30)x y r -+-=．若

圆2C 上存在一点P ，使得过点P 可作一条射线与圆1C 交于点A ，B ，满足2PA AB =u u u r u u u r

，则半径

r 的取值范围是 ▲ ． 【答案】[]5 55，

设00(,)P x y ，11(,)A x y ，22(,)B x y ．

则由2PA AB =u u u r u u u r 得10232x x x -=，10

232

y y y -=．

将A ，B 坐标代入圆1C 的方程，

得222112220011(1)(6)5,21210()()().333x y x y x y ?++-=??-+-+-=??

此方程组有解等价于两方程对应的两圆有公共点，

于是10105533

-

≤≤+，

整理得525≤≤有解．

令d

=

525d ≤≤有解．

B

D

C

（第12题）

A

当点1C 在圆2C 外时，min 30d r =-，max 30d r =+； 当点1C 在圆2C 内时，min 30d r =-，max 30d r =+． 于是305r +≥，|30|25r -≤，解得555r ≤≤．

二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．

内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）

如图，在四面体ABCD 中，平面BAD ⊥平面CAD ，BAD ∠

=90°．

M ，N ，Q 分别为棱AD ，BD ，AC 的中点．

（1）求证：//CD 平面MNQ ； （2）求证：平面MNQ ⊥平面CAD ．

证明：（1）因为M ，Q 分别为棱AD ，AC 的中点，所以//MQ CD ． ……2分 又CD ?平面MNQ ，MQ ?平面MNQ ，故//CD 平面MNQ ． ……6分 （2）因为M ，N 分别为棱AD ，BD 的中点，所以//MN AB ．

又90BAD ∠=°，故MN AD ⊥． ……8分 因为平面BAD ⊥平面CAD ，平面BAD I 平面CAD AD =，

且MN ?平面ABD ，所以MN ⊥平面ACD ． ……11分

又MN ?平面MNQ ，平面MNQ ⊥平面CAD ． ……14分

（注：若使用真命题“如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面”

证明“MN ⊥平面ACD ”，扣1分．）

16．（本小题满分14分）

体育测试成绩分为四个等级：优、良、中、不及格．某班50名学生参加测试的结果如下：

（1）从该班任意抽取1名学生，求这名学生的测试成绩为“良”或“中”的概率；

（2）测试成绩为“优”的3名男生记为1a ，2a ，3a ，2名女生记为1b ，2b ．现从这5人中任选2

人参加学校的某项体育比赛． ①写出所有等可能的基本事件；

A B

C

D

M

N

Q

（第15题）

②求参赛学生中恰有1名女生的概率．

解：（1）记“测试成绩为良或中”为事件A ，“测试成绩为良”为事件1A ，“测试成绩为中”为事件2A ，

事件1A ，2A 是互斥的. ……2分

由已知，有121923()()5050

P A P A ==，． ……4分

因为当事件1A ，2A 之一发生时，事件A 发生， 所以由互斥事件的概率公式，得

1212192321()()()()505025P A P A A P A P A =+=+=+=． ……6分

（2）①有10个基本事件：12()a a ，，13()a a ，，11()a b ，，12()a b ，，

23()a a ，，21()a b ，，22()a b ，，31()a b ，，32()a b ，，12()b b ，． ……9分

②记“参赛学生中恰好有1名女生”为事件B ．在上述等可能的10个基本事件中，事件B

包含了11()a b ，，12()a b ，，21()a b ，，22()a b ，，31()a b ，，32()a b ，．

故所求的概率为63()105

P B ==．

答：（1）这名学生的测试成绩为“良”或“中”的概率为2125

；

（2）参赛学生中恰有1名女生的概率为35． ……14分

（注：不指明互斥事件扣1分；不记事件扣1分，不重复扣分；不答扣1分．事件B 包含的6种

基本事件不枚举、运算结果未化简本次阅卷不扣分．）

17．（本小题满分14分）

在平面直角坐标系xOy 中，已知向量=a (1，0)，=b (0，2).设向量=+x a (1cos θ-)b ，k =-y a 1sin θ

+b ，其中0πθ<<．

（1）若4k =，π6

θ=，求x ?y 的值；

（2）若x //y ，求实数k 的最大值，并求取最大值时θ的值．

解：（1）（方法1）当4k =，π6

θ=时，(12=，x ，=y (44-，)， ……2分

则?=x y (1(4)244?-+?=- ……6分

（方法2）依题意，0?=a b ， ……2分

则?=x y (()(22142421??

+-?-+=-+????

?a b a b a b

(42144=-+??=- ……6分 （2）依题意，()122cos θ=-，x ，()

2sin k θ=-，y ，

因为x //y ，所以2(22cos )sin k θθ

=--，

整理得，()1sin cos 1k

θθ=-， ……9分

令()()sin cos 1f θθθ=-，

则()()cos cos 1sin (sin )f θθθθθ'=-+- 22cos cos 1θθ=--

()()2cos 1cos 1θθ=+-. ……11分

令()0f θ'=，得1cos 2

θ=-或cos 1θ=，

又0πθ<<，故2π3θ=．

列表：

故当2π3θ=时，min ()f θ=，此时实数k 取最大值 ……14分

（注：第（2）小问中，得到()122cos θ=-，x ，()

2sin k θ=-，y ，及k 与θ的等式，各1分）

18．（本小题满分16分）

如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222 1 ( 0 )y x a b a b

+=>>的左顶点为A ，右焦点为

(0)F c ，．00( )P x y ，为椭圆上一点，且PA PF ⊥．

（1）若3a =

，b 0x 的值； （2）若00x =，求椭圆的离心率；

（3）求证：以F 为圆心，FP 为半径的圆与椭圆的

右准线2

a x c

=相切． 解：（1）因为3a =

，b =2224c a b =-=，即2c =． 由PA PF ⊥得，

0000132

y y x x ?=-+-，即22

006y x x =--+． ……3分 又2200195

x y +=，所以2

04990x x +-=， 解得034x =或03x =-(舍去)． ……5分

（2）当00x =时，220y b =， 由PA PF ⊥得，

00

1y y a c

?=--，即2b ac =，故22a c ac -=， ……8分 所以210e e +-=

，解得e =

． ……10分 （3）依题意，椭圆右焦点到直线2a x c =的距离为2a c c -，且2200221x y a b

+=．① 由PA PF ⊥得，

00001y y x a x c

?=-+-，即22

00()y x c a x ca =-+-+． ② 由①②得，22

000()()()0x a b x a a x c ??+---=??，

解得()

2202

a a ac c x c --=-（0x a =-舍去）. ……13分

所以

PF

0c a x a =- ()22

2

a a ac c c a a c --=+?

2a c c =-，

所以以F 为圆心，FP 为半径的圆与右准线2

a x c

=相切． ……16分

（注：第（3）小问中，得到椭圆右焦点到直线2a x c =的距离为2

a c c

-，得1分；直接使用焦半径

（第18题）

公式扣1分）

19．（本小题满分16分）

设a ∈R ，函数()f x x x a a =--． （1）若()f x 为奇函数，求a 的值；

（2）若对任意的[2 3]x ∈，，()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围； （3）当4a >时，求函数()()y f f x a =+零点的个数．

解：（1）若()f x 为奇函数，则()()f x f x -=-， 令0x =得，(0)(0)f f =-，即(0)0f =，

所以0a =，此时()f x x x =为奇函数． ……4分

（2）因为对任意的[2 3]x ∈，，()0f x ≥恒成立，所以min ()0f x ≥．

当0a ≤时，对任意的[2 3]x ∈，，()0f x x x a a =--≥恒成立，所以0a ≤；……6分

当0a >时，易得2

2 () x ax a x a f x x ax a x a ?-+-

，，

≥在(

2a ?-∞??，上是单调增函数， 在 2a a ??????

，

上是单调减函数，在[) a +∞，上是单调增函数． 当02a <<时，min ()(2)2(2)0f x f a a ==--≥，解得43a ≤，所以43a ≤；

当23a ≤≤时，min ()()0f x f a a ==-≥，解得0a ≤，所以此时a 不存在； 当3a >时，{}{}min ()min (2)(3)min 2(2)3(3)0f x f f a a a a ==----，，

≥， 解得92a ≥，所以92

a ≥；

综上得，43a ≤或92

a ≥． ……10分

（3）设[]()()F x f f x a =+．

令()t f x a x x a =+=-，则()y f t ==t t a a --，4a >．

第一步，()0f t =t t a a ?-=，

所以，当t a <时，20t at a -+=，判别式(4)0a a ?=->，

解得1t =2t ；

当t a ≥时，由()0f t =得，即()t t a a -=，

解得3t =

第二步，易得12302

a t t a t <<<<<，且24a a <． ①若1x x a t -=，其中2

104

a t <<， 当x a <时，210x ax t -+=，记21()p x x ax t =-+，因为对称轴2a x a =<，

1()0p a t =>，且21140a t ?=->，所以方程210t at t -+=有2个不同的实根； 当x a ≥时，210x ax t --=，记21()q x x ax t =--，因为对称轴2a x a =<，

1()0q a t =-<，且22140a t ?=+>，所以方程210x ax t --=有1个实根， 从而方程1x x a t -=有3个不同的实根；

②若2x x a t -=，其中2

204

a t <<，

由①知，方程2x x a t -=有3个不同的实根；

③若3x x a t -=，

当x a >时，230x ax t --=，记23()r x x ax t =--，因为对称轴2a x a =<，

3()0r a t =-<，且23340a t ?=+>，所以方程230x ax t --=有1个实根； 当x a ≤时，230x ax t -+=，记23()s x x ax t =--，因为对称轴2a x a =<，

3()0s a t =>，且2334a t ?=-，

2340a t ->?324160a a -->， ……14分

记32()416m a a a =--，则()(38)0m a a a '=->，

故()m a 为(4 )+∞，上增函数，且(4)160m =-<，(5)90m =>， 所以()0m a =有唯一解，不妨记为0a ，且0(45)a ∈，， 若04a a <<，即30?<，方程230x ax t -+=有0个实根； 若0a a =，即30?=，方程230x ax t -+=有1个实根； 若0a a >，即30?>，方程230x ax t -+=有2个实根．

所以，当04a a <<时，方程3x x a t -=有1个实根； 当0a a =时，方程3x x a t -=有2个实根； 当0a a >时，方程3x x a t -=有3个实根．

综上，当04a a <<时，函数[]()y f f x a =+的零点个数为7； 当0a a =时，函数[]()y f f x a =+的零点个数为8；

当0a a >时，函数[]()y f f x a =+的零点个数为9． ……16分 （注：第（1）小问中，求得0a =后不验证()f x 为奇函数，不扣分；第（2）小问中利用分离参

数法参照参考答案给分；第（3）小问中使用数形结合，但缺少代数过程的只给结果分）

20．（本小题满分16分）

设{}n a 是公差为d 的等差数列，{}n b 是公比为q (1q ≠)的等比数列．记n n n c a b =+． （1）求证：数列{}1n n c c d +--为等比数列； （2）已知数列{}n c 的前4项分别为4，10，19，34． ①求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；

②是否存在元素均为正整数的集合A ={1n ，2n ，…，} k n (4k ≥，k *∈N )，使得数列1n c ，

2n c ，…，k n c 为等差数列？证明你的结论．

解：（1）依题意，()()111n n n n n n c c d a b a b d +++--=+-+-

()()11n n n n a a d b b ++=--+-(1)0n b q =-≠， ……3分 从而

2111(1)

(1)

n n n n n n c c d b q q c c d b q ++++---==---，

所以{}1n n c c d +--是首项为1(1)b q -，公比为q 的等比数列． ……5分

（2）①法1：因数列{}n c 的前4项分别为4，10，19，34，

故{}1n n c c d +--的前3项为6d -，9d -，15d -， 由（1）得，{}1n n c c d +--是等比数列，

则()2

9d -=()()615d d --，解得3d =，从而2q =， ……7分 且1111

4 3210 a b a b +=??++=?，

，解得11a =，13b =，

所以32n a n =-，132n n b -=?． ……10分

法2：依题意，得11112

1

1311

410219334a b a d b q a d b q a d b q +=??

++=??++=??++=?，

，

，， ……7分

消去1a ，得1121132

116915d b q b d b q b q d b q b q +-=??

+-=??+-=?，，，

消去d ，得211132

1112326b q b q b b q b q b q ?-+=??-+=??，

，

消去1b ，得2q =，从而可解得，11a =，13b =，3d =，

所以32n a n =-，132n n b -=?． ……10分 ②假设存在满足题意的集合A ，不妨设l ，m ，p ，r A ∈()l m p r <<<， 且l c ，m c ，p c ，r c 成等差数列，则2m p l c c c =+， 因为0l c >，所以2m p c c >， （*） 若1p m >+，则2p m +≥，

结合（*）得，11

2(32)32(32)32m p m p --??-+?>-+???

13(2)232m m ++-+?≥， 化简得，8203

m m -<-<， （**）

因为2m ≥，m *∈N ，不难知20m m ->，这与（**）矛盾， 所以只能1p m =+． 同理，1r p =+．

所以m c ，p c ，r c 为数列{}n c 的连续三项，从而122m m m c c c ++=+， 即()11222m m m m m m a b a b a b +++++=+++，故122m m m b b b ++=+， 由132n n b -=?得45=，矛盾，所以假设不成立，

从而不存在满足题意的集合A ． ……16分

（注：第（2）小问②中，在正确解答①的基础上，写出结论“不存在”，就给1分）