北京四中九年级月考数学试题及答案
1
E D
C
B A
初三数学统练试卷
一、选择题（本题共30分，每小题3分）
1. 长城、故宫等是我国第一批成功入选世界遗产的文化古迹，长城总长约6700 000米.将6700 000用科学记数法表示应为（ ）
A. 610×67
B. 610×7.6
C. 710×7.6
D. 610×67.0
2. 如图，四个实数m ，n ，p ，q 在数轴上对应的点分别为M ，N ，P ，Q ，若n 与q 互为相反数，则m ，n ，p ，q 四个实数中，绝对值最大的一个是（ ）
A ．p
B ．q
C ．m
D ．n
3. 如左图是一个几何体的三视图，那么这几何体的展开图可以是（ ）
4. 如图，△ABC 中，∠A =90°，点D 在AC 边上，DE ∥BC ，
若∠1=35°，则∠B 的度数为（ ）
A . 25° B. 35° C. 55° D. 65° 5.已知y x =3,则2
2y
xy
x 的值为（ ） A.12 B.9 C.6 D.3 6. 在下列交通标志中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
7. 为了估计水塘中的鱼数，养鱼者首先从鱼塘中捕获30条鱼，在每条鱼身上做好记号后，把这些鱼放归鱼塘，再从鱼塘中打捞200条鱼，如果在这200条鱼中有5条鱼是有记号的，则鱼塘中鱼的可估计为（ ）
A ．3000条
B ．2200条
C ．1200条
D ．600条
8. 若正多边形的一个外角为60°，则这个正多边形的中心角的度数是（ ） A ．30° B ．60° C ．90° D ．120°
9. 李阿姨每天早晨从家慢跑到小区公园，锻炼一阵后，再慢跑回家．表示李阿姨离开家的距离y (单位：米)与时间t (单位：分)
的函数关系的图象大致如上图所示，则李阿姨跑步的路线可能是
A B C
D
正 视 图 左 视 图
俯 视 图
A ．
B ．
C ．
D ．
分
(用P 点表示李阿姨家的位置) （ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
10. 为了测量被池塘隔开的A , B 两点之间的距离, 根据实际情况, 作出如图图形, 其中AB ⊥BE , EF ⊥BE , AF 交BE 于D , C 在BD 上．有四位同学分别测量出以下四组数据：① BC , ∠ACB ； ② CD , ∠ACB , ∠ADB ； ③ EF ,
DE , BD ； ④ DE , DC , BC ．能根据所测数据, 求出A , B 间距离的有（ ） A ．1组
B ．2组
C ．3组
D ．4组
二、填空题（本题共18分，每小题3分） 11.分解因式：2 x 3-8 x = ． 12．分式
x?1x+1
有意义的条件是___________.
13．写出一个过点（1，-1），且当自变量0x >时y 随x 的增大而增大的函数表达式 _____．
14．如图，O 为跷跷板AB 的中点，支柱OC 与地面MN 垂直，垂足为点C ，且OC =50cm ，当跷跷板的一端B 着地时，另一端
A 离地面的高度为 cm.
15．居民用电计费实行“一户一表”政策，以年为周期执行
阶梯电价，即：一户居民全年不超过2880度的电量，执行第一档电价标准为0.48元/度；全年用电量在2880度到4800度之间（含4800），超过2880度的部分，执行第二档电价标准为0.53元/度；全年用电量超过4800度，超过4800度的部分，执行第三档电价标准为0.78元/度．小敏家2014年用电量为3000度，则2014年小敏家电费为 元． 16. 在数学课上，老师提出如下问题：
小云的作法如下：
老师说：“小云的作法正确．” 请回答：小云的作图依据是__ 三、解答题（本题共72 分，第17—26 题，每小题5 分，第27 题7 分，第28 题7 分，第29 题8 分）
17. 计算：10)21(345cos 2)5(-+--?+-π．
18．已知2410x x +-=，求代数式2
2(2)(2)(2)x x x x +-+-+的值.
N
M
B
C
A
O
尺规作图：过直线外一点作已知直线的平行线．
已知：直线l 及其外一点A ．
求作：l 的平行线，使它经过点A ． （1）在直线l 上任取一点B ，以点B 为圆心，AB 长为半径作弧，交直线l 于点C ；
（2）分别以A ，C 为圆心，以AB 长为半径作弧，两弧相交于点D ； （3）作直线AD ． 所以直线AD 即为所求． l
D
C A
B
E
D B O
C
A
19．已知：如图，在△ABC 中，∠ACB =90?，点D 在BC 上，且BD =AC ，过点D 作DE ⊥AB 于点
E ，过点B 作CB 的垂线，交DE 的延长线于点
F ．求证：AB =DF ．
20．已知关于x 的方程04
332
=+
+m
x x 有两个不相等的实数根. （1）求m 的取值范围；
（2）若m 为符合条件的最大整数，求此时方程的根. 21.如图，一次函数y 1=﹣x +2的图象与反比例函数y 2=x
k
的图象相交于A ，B 两点，点B 的坐标为（2m ，-m ）．
（1）求出m 值并确定反比例函数的表达式； （2）请直接写出当x ＜m 时，y 2的取值范围． 22. 列方程（组）解应用题：
为了把通州区打造成宜居的北京城市副中心，区政府对
地下污水排放设施进
行改造．某施工队承担铺设地下排污管道任务共2200米，为了减少施工对周边交通环境的影响，施工队进行技术革新，使实际平均每天铺设管道的长度比原计划多10%，结果提前两天完成任务．求原计划平均每天铺设排污管道的长度．
23.如图，菱形ABCD 的对角线AC 和BD 交于点O ，分别过点C 、D 作CE ∥BD ，
DE ∥AC ，CE 和DE 交于点E . （1）求证：四边形ODEC 是矩形；
（2）当∠ADB =60°，AD =3时，求tan ∠EAD 的值.
24. “世界那么大，我想去看看”是现代很多人追求的生活方式之一．根据北京市旅游发展委员会发布的信息显示， 2012——2015年连续四年，我市国内旅游市场保持了稳定向好的态势.2012年，旅游总人数约2.31亿人次，同比增长8.1%；2013年，旅游总人数约 2.52亿人次，同比增长9%；2014年，旅游总人数约 2.61亿人次，同比增长3.8%；2015年，旅游总人数2.73亿人次，同比增长4.3%；预计2016年旅游总人数与2015年同比增长5%.
旅游不仅是亲近自然的好时机，同时也是和家人朋友沟通的好时机，调查显示，中秋国庆黄金假期成为人们选择旅游最佳时期，《2015年中秋国庆长假出游趋势报告》显示，人们出行的方式可以归纳为四种，即乘火车、乘汽车、坐飞机、其他.其中选择乘火车出行的人数约占47%，选择乘汽车出行的人数约占28%，选择坐飞机出行的人数约占17%. 根据以上信息解答下列问题：
（1）预计2016年北京市旅游总人数约 亿人次（保留两位小数）； （2）选择其他出行方式的人数约占 ；
（3）请用统计图或统计表，将2012——2015年北京市旅游总人数表示出来.
25．如图，CE 是⊙O 的直径，D 为⊙O 上一点，过点D 作⊙O 的切线，交CE 延长线于点A ，连接DE ，过点O 作OB ED ∥，交AD 的延长线于点B ，连接BC ．
（1）求证：直线BC 是⊙O 的切线；
（2）若2=AE ，tan ∠DEO 2，求AO 的长．
26．探究活动：
利用函数(1)(2)y x x =--的图象(如图1)和性质，探究函数(1)(2)y x x =--的图象与性质．
下面是小东的探究过程，请补充完整：
（1）函数(1)(2)y x x =--x 的取值范围是___________；
（2）如图2，小东列表描出了函数(1)(2)y x x =--
（31
(1)(2)04
x x x b ---=的两根为1x 、2x ，且12x x <，方程
21
324
x x x b -+=+的两根为3x 、4x ，且34x x <．若12b <<则1x 、2x 、3x 、4x 的大小关
系为 （用“<”连接）．
27．已知关于x 的一元二次方程22410x x k ++-=有实数根，k 为正整数．
（1）求k 的值；
（2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于x 的二次函数
2241y x x k =++-的图象向下平移8个单位，求平移后的
图象的解析式；
（3）在（2）的条件下，将平移后的二次函数的图象在
x 轴下方的部分沿x 轴翻折，图象的其余部分保持 不变，得到一个新的图象．请你结合这个新的图 象回答：当直线1
(2
y x b b k =+＜)与此图象有两个公共点时，b 的取值范围．
28.在Rt △ACB 和Rt △AEF 中，∠ACB ＝∠AEF ＝90°，若点P 是BF 的中点，连接PC 、PE ． 如图1，若点E 、F 分别落在边AB 、AC 上，则结论：PC ＝PE 成立（不要求证明）．
E D
O
A
把图1中的△AEF 绕点A 顺时针旋转．
（1）如图2，若点E 落在边CA 的延长线上，则上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；
（2）如图3，若点F 落在边AB 上，则上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；
（3）记
AC
BC ＝k ，当k 为何值时，△CPE 总是等边三角形？（请直接写出k 的值，不必说明理
由）
29. 我们规定：平面内点A 到图形G 上各个点的距离的最小值称为该点到这个图形的最小距离d ，点A 到图形G 上各个点的距离的最大值称为该点到这个图形的最大距离D ，定义点A 到图形G 的距离跨度为R =D ?d 。
（1）①如图1，在平面直角坐标系xOy 中，图形G 1为以O 为圆心，2为半径的圆，直接写出以下各点到图形G 1的距离跨度：
(1,0)A -的距离跨度 ； 13,22B ??
- ? ??
?的距离跨度 ； (3,2)C -的距离跨度 ；
②根据①中的结果，猜想到图形G 1的距离跨度为2的
所有的点组成的图形的形状是 。
（2）如图2，在平面直角坐标系xOy 中，图形G 2为以C (1,0)为圆心，2为半径的圆，直线y =k （x +1）上存在到G 2的距离跨度为2的点，求k 的取值范围。
（3）如图3，在平面直角坐标系xOy 中，射线
3:OA y x
=(x ≥0)，
圆C 是以3为半径的圆，且圆心C 在x 轴上运动，若射线OA 上存在点到圆C 的距离跨度为2，直接写出圆心C 的横坐标x C 的取值范围 图3
参 考 答 案
一、选择题 BAACA CCBDC
图1
图2
二、填空题11． 2x (x +2)(x ?2) 12. x ≠?1 13. 答案不唯一 14. 80 15. 1446 16. 四条边都相等的四边形是菱形；菱形的对边平行 三、解答题
17. 解：原式=232
2
21+-?
+ ………………………4分 =2311+-+
=1． ………………………5分 18．原式= x 2+4x +8…………………4分
∵2410x x +-=
∴2
41x x +=
∴原式=9……………5分
19．证明：∵ AB DE BC BF ⊥⊥,，90ACB ∠=?， ∴90DBF BEF ACB ∠=∠=∠=?．
∴ ?=∠+∠?=∠+∠9029021F ，． ∴ F ∠=∠1．.………………………2分 在中和△△DFB ABC ，
∴ ABC △≌DFB △.………………………4分 ∴DF AB =．.………………………5分
20．解：（1）∵关于x 的方程04
332
=+
+m
x x 有两个不相等的实数根， ∴?930m =->. …………………………1分 ∴3m <. .…………………………2分 （2）∵m 为符合条件的最大整数， ∴2m =. .…………………………3分
∴2
3
302
x x ++
=.. 233()24
x +=.
2331-=
x ，2
3
32--=x .
∴方程的根为2331-=
x ，2
3
32--=x . 21.解：（1）∵据题意，点B 的坐标为（2m ，-m ）且在一次函数y 1=﹣x +2的图象上，代入得-m=-2m+2.
∴m=2. ……………………………………………………… 1分 ∴B 点坐标为（4，-2）………………………………………… 2分 把B （4，﹣2）代入y 2=
x
k
得k =4×（﹣2）=﹣8， ∴反比例函数表达式为y 2=﹣
x
8
；…………………………………………………… （2）当x ＜4，y 2的取值范围为y 2＞0或y 2＜﹣2．……………………………… 5分 22. 解：设原计划平均每天铺设排污管道x 米，依题意得
2%)101(2200
2200=+-x
x ………………………………..(2分) 解这个方程得：x ＝100（米） …………………………..(3分)
经检验，x ＝100是这个分式方程的解， ………………..(4分) ∴这个方程的解是x ＝100
答：原计划平均每天修绿道100米． ………………..(5分) 23（1）证明：∵ CE ∥BD ，DE ∥AC ，
∴ 四边形ODEC 是平行四边形. ……………………………………1分 又 ∵菱形ABCD ，
∴ AC ⊥BD ，∴ ∠DOC =90°.
∴ 四边形ODEC 是矩形.………………………………………………2分
（2）如图，过点E 作EF ⊥AD ，交AD 的延长线于F .
∵ AC ⊥BD ，∠ADB =60°，AD
=，
∴ OD
AO =OC =3.……………3分 ∵ 四边形ODEC 是矩形， ∴ DE =OC =3，∠ODE =90°. 又∵ ∠ADO +∠ODE +∠EDF =180°， ∴ ∠EDF =30°.
F
E
D
B
O
C
A
在Rt △DEF 中，∠F =90°，∠EDF =30°. ∴ EF =132
2
DE =. ∴ D F
=
.……………………………………………………………4分 在Rt△AFE 中，∠DFE =90°， ∴t a n ∠E A D
=
32
3EF EF AF AD DF ===+............................5分 24．解：（1）2.87； (1)
（2）8%；.............................................................................................2 （3）统计表如下图所示 (5)
25．（1） 证明：连结OD .
∵DE ∥BO ，∴∠2=∠3，∠1=∠4. ∵OD OE =，∴∠3=∠4 . ∴∠1=∠2. ∵OD OC =
，∠1=∠2，OB OB =，
∴△BDO ≌△BCO
∴BDO BCO ∠=∠ ……….1分 ∵BD 为切线，∴OD ⊥AB ∴90BDO ∠
=? ∴90BCO ∠=?.
又∵点C 在圆上，∴直线
BC 是⊙O 的切线 ..……. 2分 （
2）∵∠2=∠3 ，tan ∠DEO
∴tan ∠2.
∵t R OBC 在△中，∠C =90°，tan ∠2，
∴可设OC k =， BC =，得OB = …… 3分 由切线长定理得BD BC ==，
B
∵DE ∥BO ∴AD AE
DB EO =
.
即2
2AD k k =
∴22AD = …………4分
在Rt △ADO 中由勾股定理得：222(22)(2)k k +=+
解方程得：1k = ∴OA =3 …………5分
26．解：（1）1x ≤或2x ≥； （2）如图所示：
1342x x x x <<<（3）.
27. 解：（1）由题意得，．
∴．
∵为正整数，
∴．
（2）当时，方程有一个根为零；
当时，方程无整数根；
当时，方程有两个非零的整数根．
综上所述，和不合题意，舍去；符合题意．
当时，二次函数为
，把它的图象向下平移8个单位得到的图象的解析式为
．
（3）设二次函数的图象与轴交于
两点，则，．
依题意翻折后的图象如图所示．
当直线经过点时，可得；
当直线经过点时，可得．
由图象可知，符合题意的的取值范围为．
28. （1）PC＝PE成立
作PM⊥CE于M
∵EF⊥AE，BC⊥AC，∴EF∥MP∥CB
∴EM
MC＝
FP
PB
∵P为FB中点，∴EM＝MC
∴PC＝PE
（2）作FG⊥BC于G，FH⊥AC于H，连接GP 则四边形FGCH是矩形，∴FH＝CG
由旋转知，∠1＝∠2，∴AF平分∠CAE
∴FH＝EF，∴EF＝CG
∵P是Rt△FGB的斜边BF的中点
∴GP＝FP＝BP，∴∠B＝∠4
∵∠3＝∠B，∴∠3＝∠4
∴∠EFP＝∠CGP，∴△EFP≌△CGP
∴PC＝PE
（3）k＝
3 3
29. （1）①2,2,4
②圆
（2）所有跨度为2的点的集合是以C(1,0)为圆心，1为半径的圆当直线y=k(x+1)与该圆相交即可
过点(?1,0)向圆作切线，可求出两切线与x轴的夹角为30°
所以，?√3
3≤k≤√3
3
（3）?1≤x C≤2