西北工业大学矩阵论PPT课件

矩阵论讲稿

讲稿编者：张凯院

使用教材：《矩阵论》（第2版）

西北工业大学出版社

程云鹏等编

辅助教材：《矩阵论导教导学导考》

《矩阵论典型题解析及自测试题》

西北工业大学出版社

张凯院等编

课时分配：第一章 17学时第四章8学时第二章5学时第五章8学时

第三章8学时第六章8学时

第一章 线性空间与线性变换

§1.1 线性空间 一、集合与映射

1．集合：能够作为整体看待的一堆东西． 列举法：},,,{321L a a a S =

性质法：}{所具有的性质a a S = 相等(：指下面二式同时成立

)21S S =2121,S S S a S a ?∈?∈?即 1212,S S S b S b ?∈?∈?即

交：}{2121S a S a a S S ∈∈=且I 并：}{2121S a S a a S S ∈∈=或U 和：},{22112121S a S a a a a S S ∈∈+==+

例1 R}0{2221111∈

==j i a a a a A S R}0

{221211

2∈

==j i a a a a

A S ，21S S ≠ R},00{22112211

21∈

==a a a a A S S I R},0{211222211211

21∈=

==j i a a a a a a a A S S U R}{2221

1211

21∈

==+j i a a a a a A S S 2．数域：关于四则运算封闭的数的集合．

例如：实数域R ，复数域C ，有理数域，等等．

Q 3．映射：设集合与，若对任意的1S 2S 1S a ∈，按照法则σ，对应唯一的

.)(,2b a S b =∈σ记作 称σ为由到的映射；称为的象， 1S 2S b a a 2为b 的象源．

变换：当1S S =时，称映射σ为上的变换． 1S 例2 )2(R})({≥∈==×n a a A S j i n

n j i ．

映射1σ：A A det )(1=σ (R)→S 变换2σ：n I A A )det ()(2=σ ()S S → 二、线性空间及其性质

1．线性空间：集合V 非空，给定数域K ，若在V 中

(Ⅰ) 定义的加法运算封闭, 即

V y x V y x ∈+∈?)(,,元素对应唯一, 且满足

(1) 结合律：)()()(V z z y x z y x ∈?++=++

(2) 交换律：x y y x +=+ (3) 有零元：)(,V x x

x V ∈?=+∈?θθ使得

(4) 有负元：θ=?+∈??∈?)(,)(,x x V x V x 使得.

(Ⅱ) 定义的数乘运算封闭, 即

V kx K k V x ∈∈?∈?)(,,元素对应唯一, 且满足

(5) 数对元素分配律：)()(V y ky kx y x k ∈?+=+ (6) 元素对数分配律：)()(K l lx kx x l k ∈?+=+

(7) 数因子结合律：)()()(K l x

kl lx k ∈?=

(8) 有单位数：单位数x x K =∈1,使得1. 则称V 为K 上的线性空间．

例3 R =K 时，n R —向量空间； n m ×R —矩阵空间

][t P n —多项式空间；—函数空间

],[b a C

C =K 时，—复向量空间； C —复矩阵空间

n C n m ×例4 集合}{是正实数m m =+R ，数域}{R 是实数k k =．

加法： mn n m n m =⊕∈+,R ,数乘： k m m k k m =?∈∈+R,,R 验证+R 是R 上的线性空间．

证 加法封闭，且(1)～(2)成立． (3) 1=?=?=⊕θθθm m m m

(4) m m m m m 1)(1)()(m =??=??=?⊕θ 数乘封闭，(5)～(8)成立．故+

R 是R 上的线性空间．

例5 集合R}),({212∈==i ξξξαR ，数域R ．设R ),,(21∈=k ηηβ．

运算方式1 加法： ),(2211ηξηξβα++=+

数乘： ),(21ξξαk k k =

运算方式2 加法： ),(112211ηξηξηξβα+++=⊕

数乘： ))1(2

1

,(2121ξξξα?+

=k k k k k o 可以验证与都是)(R 2?+)(R 2o ⊕R 上的线性空间．

[注] 在R 中, )(2o ⊕)0,0(=θ, ． ),(2121ξξξα+??=?Th1 线性空间V 中的零元素唯一，负元素也唯一．

证 设与2θ都是V 的零元素, 则212211θθθθθθ=+=+=

1θ设与都是的负元素, 则由1x 2x x θ=+1x x 及θ=+2x x 可得

212111)()(x x x x x x x x ++=++=+=θ 22221)(x x x x x x =+=+=++=θθ

例6 在线性空间V 中，下列结论成立．

θ=x 0：θ=?=+=+x x x x x 01)01(01

θθ=k ：θθθθ=?=+=+k kx x k k )(kx

)()1(x x ?=?：()()(]1)1[()]([)1()1x x x x x x x x ?=?++?=?++?=?

2．减法运算：线性空间V 中，)(y x y x ?+=?．

3．线性组合：K c V x x i i ∈∈若存在,,, 使m m x c x c x ++=L 11, 则称

x 是的线性组合，或者可由线性表示．

m x x ,,1L x m x x ,,1L 4．线性相关：若有不全为零，使得m c c ,,1L θ=++m m x c x c L 11，则称

m x x ,,1L 线性相关．

5．线性无关：仅当全为零时，才有m c c ,,1L θ=++m m x c x c L 11，则称

m x x ,,1L 线性无关．

[注] 在R 中, )(2o ⊕)1,1(1=α, )2,2(2=α线性无关；

)1,1(1=α, )3,2(2=α线性相关．（自证）

三、基与坐标

1．基与维数：线性空间V 中，若元素组满足 n x x ,,1L (1) 线性无关；

n x x ,,1L (2) V x ∈?都可由线性表示．

n x x ,,1L 称为n x x ,,1L V 的一个基, 为n V 的维数, 记作n V =dim ，或者V . n 例7 矩阵空间n m ×R 中, 易见

(1) ),,2,1;,,2,1(n j m i E j i L L ==线性无关；

(2) ．

∑∑==×==m

i n

j j i j i n m j i E a a A 11)(故),,2,1;,,2,1(n j m i E j i L L ==是n m ×R 的一个基, .

mn n m =×dimR

2．坐标：给定线性空间V 的基，当时，有

n n x x ,,1L n V x ∈n n x x x ξξ++=L 11．称n ξξ,,1L 为在给定基下的

x n x ,,1L x 2坐标，记作列向量．

Τ1),,(n ξξαL =例8 矩阵空间2R ×中，设22)(×=j i a A ．

(1) 取基 ，22211211,,,E E E E 2222212112121111E a E a E a E a A +++=

坐标为

Τ22211211),,,(a a a a =α(2) 取基 , , , =11111B =11102B =11003B

=10004B 422432132122111)()()(B a B B a B B a B B a A +?+?+?= 421223122121112111)()()(B a a B a a B a a B a ?+?+?+=

坐标为

Τ21221221111211),,,(a a a a a a a ???=β[注] 一个元素在两个不同的基下的坐标可能相同，也可能不同． 例如：在上述两个基下的坐标都是；

22n n E A =Τ)1,0,0,0(11E A =在上述两个基下的坐标不同．

Th2 线性空间V 中，元素在给定基下的坐标唯一． 证 设V 的基为，对于，若 n x x ,,1L n V x ∈ n n x x x ξξ++=L 11n n x x ηη++=L 11

则有 θηξηξ=?++?n n n x x )()(111L

因为线性无关, 所以n x x ,,1L 0=?i i ηξ, 即),,2,1(n i i i L ==ηξ.

故的坐标唯一．

x n 例9 设线性空间V 的基为, 元素在该基下的坐标为

n x x ,,1L j y ),,2,1(m j j L =α, 则元素组线性相关（线性无关）

m y y ,,1L ?向量组m αα,,1L 线性相关（线性无关）．

证 对于数组, 因为

m k k ,,1L θαα=++=++))(,,(11111m m n m m k k x x y k y k L L L 等价于θαα=++m m k L 11k , 所以结论成立. 四、基变换与坐标变换

1．基变换：设线性空间V 的基(Ⅰ)为, 基(Ⅱ)为, 则

n n x x ,,1L n y ,,1L y

+++=+++=+++=n nn n n n

n n n

n x c x c x c y x

c x c x c y x c x c x c y L L L L L L 22112222112212211111 C

=nn n n n n c c c c c c c c c L M M M L L 2

122221

112

11写成矩阵乘法形式为 (C x x y y n n ),,(),,11L L =

称上式为基变换公式，C 为由基(Ⅰ)改变为基(Ⅱ)的过渡矩阵.

[注] 过渡矩阵C 一定可逆. 否则C 的个列向量线性相关, 从而

n n y ,,1L y 1?线性相关（例9）．矛盾！由此可得

111),,(),,(?=C y y x x n n L L

称C 为由基(Ⅱ)改变为基(Ⅰ)的过渡矩阵．

2．坐标变换：设在两个基下的坐标分别为n V x ∈α和β,则有 =++=n n x x x ξξL 11α),,(1n x x L

n n y y x ηη++=L 11β),,(1n y y L =βC x x n ),,(1L =

由定理2可得βαC =，或者，称为坐标变换公式. αβ1?=C 例10 矩阵空间22R ×中，取基

(Ⅰ) , , ,

=10011A ?=10012A =01103A

?=01104A (Ⅱ) , , , =11111B =01112B =00113B

=00014B

(1) 求由基(Ⅰ)改变为基(Ⅱ)的过渡矩阵； (2) 求由基(Ⅱ)改变为基(Ⅰ)的坐标变换公式． 解 采用中介法求过渡矩阵.

基(0)：, , ,

=000111E =001012E =010021E

=100022E (0)→(Ⅰ)：1222112114321),,,(),,,(C E E E E A A A A = (0)→(Ⅱ)：2222112114321),,,(),,,(C E E E E B B B B =

，

??=00111100110

000

111C

=0001

001101111111

2C (Ⅰ)(Ⅱ)：→=),,,4321B B B B (

2114321),,,(C C A A A A ?

=

??==?0100

0122

11101112

2101100110100110

0121

2211C C C C

+++++++=

=

332143243214321432

122221ηηηηηηηηηηηηηηηξξξξC

五、线性子空间

1．定义：线性空间V 中，若子集V 非空，且对1V 中的线性运算封闭，即 (1) 11,V y x V y x ∈+?∈? (2) 11,V kx K k V x ∈?∈?∈?

称V 为1V 的线性子空间，简称为子空间．

1[注] (1) 子空间V 也是线性空间, 而且V V dim dim 1≤.

(2) }{θ是V 的线性子空间, 规定dim{0}=θ. (3) 子空间V 的零元素就是1V 的零元素. 例11 线性空间V 中，子集V 是1V 的子空间?

对11,,,,V ly kx K l k V y x ∈+∈?∈?．

有证 充分性. ：1==l k 11,V y x V y x ∈+?∈?

0=l ：110 ,V y kx kx K k V x ∈+=?∈?∈?

故V 是1V 的子空间.

必要性. 11 ,V kx K k V x ∈?∈?∈? （数乘封闭）

11 ,V ly K l V y ∈?∈?∈? （数乘封闭）

故 （加法封闭）

1V y l x k ∈+例12 在线性空间V 中，设),,2,1(m i V x i L =∈，则 }{111K k x k x k x i m

m ∈++==L V

是V 的子空间，称V 为由生成的子空间．

1m x x ,,1L 证 m m x k x k x V x ++=?∈L 111?

m m x l x l y V y ++=?∈?L 111

:1111)()(V x l l kk x l l kk y l kx m m m ,K l k ∈? ∈++++=+L

根据例11知，V 是1V 的子空间．

[注] (1) 将V 记作span 或者．

1},,{1m x x L ),,(1m x x L L (2) 元素组的最大无关组是的基； m x x ,,1L ),,(1m x x L L (3) 若线性空间V 的基为，则V ． n n x x ,,1L ),,(1n n x x L L = 2．矩阵的值域（列空间）：

划分（），

n m n n m j i a A ××∈==C ),,()(1ββL m j C ∈β称),,()(1n L A R ββL =为矩阵的值域（列空间）． A 易见A A R rank )(=dim ． 例13 矩阵A 的值域}C {)(n x Ax

A R ∈==β.

证 ∈?β左, 有 右∈= =++=Ax k k k k n n n n M L L 1111),,(βββββ∈?β右, 有

左∈++=

==n n n n k k k k Ax βββββL M L 1111),,( 3．矩阵的零空间：

设，称n m A ×∈C }C ,0{)(n x Ax x

A N ∈==为矩阵A 的零空间．

易见A n A N rank )(?=dim ．

Th3 线性空间V 中, 设子空间V 的基为n 1)(,,1n m x x m

n n m V x x ∈+,,1L , 使得为V 的基．

n m m x x x x ,,,,,11L L +n 证

线性表示不能由m n m x x V x n m ,,11L ∈??<+ ,,,11线性无关+?m m x x x L

若，则是V 的基;

n n m =+111,,,+m m x x x L n 否则，m

n <+1线性表示不能由112,,,++∈??m m n m x x x V x L ,,,,211线性无关++?m m m x x x x L

若，则是V 的基;

m =+2211,,,,++m m m x x x x L n 否则，m ． L L ?<+n 2依此类推, 即得所证．

六、子空间的交与和

1．子空间的交：}{2121V x V x x V ∈∈=且I V

Th4 设V 是线性空间21,V V 的子空间，则V 是21V I V 的子空间． 证 212121,V V V V V V I I ?∈?∈∈θθθ非空

∈+?∈∈+?∈?∈?221

121,,,V y x V y x V y x V y x V V y x I 21V V y x I ∈+?

∈?∈∈?∈?∈?∈?2

21

121,V kx V x V kx V x V V x K k I 21V V kx I ∈? 所以V 是21V I V 的子空间．

2．子空间的和： },{22112121V x V x x x x V V ∈∈+==+ Th5 设V 是线性空间21,V V 的子空间，则V 21V +是V 的子空间． 证 212121,V V V V V V +?+∈+=?∈∈θθθθθ非空

∈∈+=∈∈+=?+∈?2

211212

2112121,,,,,V y V y y y y V x V x x x x V V y x )()(2211y x y x y x +++=+?，222111,V y x V y x ∈+∈+ 21V V y x +∈+?

22112121,,,V x V x x x x V V x K k ∈∈+=?+∈?∈?

221121,,V kx V kx kx kx kx ∈∈+=? 21V V kx +∈?

所以V 是21V +V 的子空间． [注] 不一定是21V V U V 的子空间．

例如：在2R 中，V )()(2211e L V e L ==与的并集为

}R ,0),({212121∈=?==i V V ξξξξξαU

易见21212121)1,1(,,V V e e V V e e U U ?=+∈但, 故加法运算不封闭.

2Th6 设V 是线性空间1,V V 的有限维子空间，则

)(dim dim dim )(dim 212121V V V V V V I ?+=+ 证 记 ，dim 11dim n V =22n V =，m V V =21I dim 欲证 m n n V V ?+=+2121)(dim (1) ：(1n m =121121)V V V V V V =??I I

22121221)(V V V V V V V V =+????I

m n n n V V V ?+===+212221dim )(dim (2) ：(2n m =221221)V V V V V V =??I I

12112121)(V V V V V V V V =+????I

m n n n V V V ?+===+211121dim )(dim

(3) ：设V 的基为，那么

212L 1,n m n m <<21V I m x x ,,1L 扩充为V 的基： (Ⅰ) m n m y y x x ?1,,,,,11L L 扩充为V 的基： (Ⅱ) m n m z z x x ?2,,,,,11L L 考虑元素组： (Ⅲ)

m n m n m z z y y x x ??21,,,,,,,,111L L L 因为 (Ⅰ)，V (Ⅱ) ，所以 V V =1L =2L V =+21(Ⅲ) （自证）． 下面证明元素组(Ⅲ)线性无关：

设数组k 使得

m n m n m q q p p k ??21,,,,,,,,111L L L m n m n m m y p y p x k x k ??+++++111111L L θ=+++??m n m n z q z q 2211L

由 (*)

∈++?∈+++++=????2111

1111)(2

2

1

1

V z q z q V y p y p x k x k x m n m n m n m n m m L L L 得 m m x l x l x V V x ++=?∈L I 1121 结合(*)中第二式得

θ=+++++??m n m n m m z q z q x l x l 2

2

1111L L

(Ⅱ)线性无关0,0211======?m n m q q l l L L ?

结合(*)中第一式得

θ=+++++??m n m n m m y p y p x k x k 1

1

1111L L

(Ⅰ)线性无关0,0111======?m n m p p k k L L ?

故元素组(Ⅲ)线性无关，从而是V 21V +的一个基． 因此 m n n V V ?+=+2121)(dim ． 3．子空间的直和：

},{22112

121V x V x x x x V V ∈∈+==+唯一唯一

记作：V

2121V V V ⊕=+Th7 设V 是线性空间21,V V 的子空间，则V 21V +是直和?}{21θ=V I V ． 证 充分性．已知}{21θ=V I V ：对于21V V z +∈?，若

∈∈+=∈∈+=2

211212

21121,,,,V y V y y y z V x V x x x z 则有 2221112211,,)()(V y x V y x y x y x ∈?∈?=?+?θ

2

21122112

12211,,)(y x y x y x y x V V y x y x ==?=?=??∈??=??θ

θI 故的分解式唯一, 从而V 21V V z +∈2121V V V ⊕=+．

必要性．若}{21θ≠V I V ，则有21V V x I ∈≠θ．对于21V V +∈θ，有

2

12

1)(,),(,,V x V x x x V V ∈?∈?+=∈∈+=θθθθθθ

即21V V +∈θ有两种不同的分解式．这与V 21V +是直和矛盾． 故}{21θ=V I V ．

2推论1 V 是直和1V +2121dim dim )(dim V V V V +=+?

推论2 设V 是直和，V 的基为，V 的基为，

221V +1k x x ,,1L 2l y y ,,1L 则V 的基为．

1V +l k y y x x ,,,,,11L L 证 因为 ，且 2),,,,,(11l k y y x x L L L =1V V + l k V V V V +=+=+2121dim dim )(dim

所以线性无关, 故是V 的基． l k y y x x ,,,,,11L L l k y y x x ,,,,,11L L 21V +

§1.2 线性变换及其矩阵 一、线性变换

1．定义 线性空间V ，数域K ，T 是V 中的变换．若对V y x ∈?,，?，

K l k ∈,都有 )()()(Ty l Tx k ly kx T +=+， 称T 是V 中的线性变换． 性质 (1) θθ=+=+=)(0)(0)00(Ty Tx y x T T

(2) T )()(0))(1()0)1(()(Tx Ty Tx y x T x ?=+?=+?=? (3) 线性相关?线性相关

V x x m ∈,,1L m Tx Tx ,,1L (4) 线性无关时，不能推出Tx 线性无关．

V x x m ∈,,1L m Tx ,,1L (5) 是线性变换T y T Tx y x T +=+?)(,

)()(Tx k kx T =

(V y x ∈?,,K k ∈?)

例1 矩阵空间n

n ×R ，给定矩阵，则变换TX = BX +XB (n n B ×n n X ×∈?R )

是n n ×R 的线性变换．

2．线性变换的值域：},{)(V x Tx y y T R ∈==

3．线性变换的核： },{)(V x Tx x T N ∈==θ

Th8 设T 是线性空间V 的线性变换，则R (T )和N (T )都是V 的子空间． 证 (1)

V 非空?非空． )(T R 1111st ,)(Tx y V x T R y =∈??∈? 2222st ,)(Tx y V x T R y =∈??∈?

)()(212121T R x x T Tx Tx y y ∈+=+=+ )21V x x ∈+Q ( )()()(111T R x k T Tx k y k ∈== (),1V kx K k ∈∈?Q 故R (T )是V 的子空间．

(2) )(,T N T V ∈?=∈θθθθ，即非空．

)(T N

θ=+=+?∈?Ty Tx y x T T N y x )()(,，即)(T N y x ∈+． θ==?∈?∈?)()(),(Tx k kx T K k T N x ，即kx )(T N ∈．

故N (T )是V 的子空间．

[注] 定义：T 的秩 =

dim R (T )，T 的亏 = dim N (T ) 例2 设线性空间V 的基为， T 是V 的线性变换，则 n n x x ,,1L n ，),,()(1n Tx Tx L T R L =n T N T R =+)(dim )(dim

证 (1) 先证：?),,()(1n Tx Tx L T R L ?Tx y V x T R y n =∈??∈st ,)(

∈++=?++=)()(1111n n n n Tx c Tx c y x c x c x L L L ),,(1n Tx Tx L 再证R ：

),,()(1n Tx Tx L T L ? )()(st ,,,),,( 1111n n n n Tx c Tx c y c c Tx Tx L y ++=??∈?L L L n )()()()(11T R Tx c Tx c y T R Tx n n i i V x ∈∈++=?∈?L

(2) 设dim , 且的基为, 扩充为V 的基：

m T N =)()(T N m y y ,,1L n n m m y y y y ,,,,,11L L +

则 ),,(),,,,,()(111n m n m m Ty Ty L Ty Ty Ty Ty L T R L L L ++==

设数组k 使得n m k ,,1L +θ=++++)()(11n n m m Ty k Ty k L , 则 θ=++++)(11n n m m y k y k T L

因为T 是线性变换, 所以)(11T N y k y k n n m m ∈++++L , 故

m m n n m m y l y l y k y k ++=++++L L 1111

即 θ=+++?++?++n n m m m m y k y k y l y l L L 1111)()( 因为线性无关, 所以n m m y y y y ,,,,,11L L +0,,01==+n m k k L ．因此 线性无关, 从而n m Ty Ty ,,1L +m n T R ?=)(dim , 即dim ． n m T R =+)( 例3 向量空间4R 中，),,,(4321ξξξξ=x ，线性变换T 为

)0,0,433,3(43214321ξξξξξξξξ+????+=Tx 求和的基与维数． )4(T R )(T N 解 (1) 取R 的简单基， 计算

4321,,,e e e e Te ，

)0,0,3,1(1=)0011(2，，，?=Te ，)0,0,3,3(3??=Te ，Te )0,0,4,1(4?= 该基象组的一个最大线性无关组为． 21,Te Te 故dim R (T ) = 2，且R (T )的一个基为Te ．

21,Te (2) 记， 则 ????=43131311A }0{}{)(41=

===ξξθM A x Tx x T N 的基础解系为，．

041=

ξξM A 0233

?4073 故dim N (T ) = 2，且N (T )的一个基为(3, 3, 2, 0)，(－3, 7, 0, 4)． 4．单位变换：线性空间V 中，定义变换T 为Tx )(V x x ∈?=， 则T 是线性变换，记作T ． e 5．零变换：线性空间V 中，定义变换T 为 )(V x Tx ∈?=θ，

则T 是线性变换，记作T ．

0 6．线性变换的运算：线性空间V ，数域K ，线性变换T 与T ． 12 (1) 相等：若T )(21V x x T x ∈?=，称T =T ． 12 (2) 加法：定义变换T 为 )(21V x x T x T Tx ∈?+=，

则T 是线性变换，记作T 21T T +=．

负变换：定义变换T 为 )()(1V x x T Tx ∈??=， 则T 是线性变换， 记作T 1T ?=．

(3) 数乘：给定，定义变换T 为 K k ∈)()(1V x x T k Tx ∈?=，

则T 是线性变换， 记作T 1kT =．

[注] 集合Hom(V ，V )}{def

的线性变换上的线性空间是数域V K T T =

按照线性运算(2)和(3)构成数域K 上的线性空间，称为V 的同态．

(4) 乘法：定义变换T 为 )()(21V x x T T Tx ∈?=，

则T 是线性变换， 记作T 21T T =．

7．逆变换：设T 是线性空间V 的线性变换，若V 的线性变换满足 S T n

)()()(V x x x TS x ST ∈?== 则称T 为可逆变换，且S 为T 的逆变换，记作 ． S =?1 8．幂变换：设T 是线性空间V 的线性变换， 则也是V 的线性变换．

),3,2(1def

L ==?m T T T

m m

9．多项式变换：设T 是线性空间V 的线性变换，多项式

)()(10K a t a t a a t f i m

m ∈+++=L 则也是V 的线性变换． m m e T a T a T a T f +++=L 10)(二、线性变换的矩阵表示

1．线性变换在给定基下的矩阵

设线性空间V 的基为，T 是V 的线性变换，则Tx ，且有

n x x ,,1L n n i V ∈

+++=+++=+++=n nn n n n

n

n n

n x a x a x a Tx x

a x a x a Tx x a x a x a Tx L L L L L 22112222112212211111

=nn n n n n a a a a a a a a a A L M M M L L 2

122221

11211 写成矩阵乘法形式 T

A x x Tx Tx x x n n n ),,(),,(),,(11def

1L L L ==

称A 为线性变换T 在基下的矩阵．

n x x ,,1L

n n [注] (1) 给定V 的基和线性变换T 时，矩阵A 唯一． n x x ,,1L (2) 给定V 的基和矩阵A 时，基象组Tx 确定．

n x x ,,1L n Tx ,,1L n V x ∈?n n x c x c x ++=?L 11，定义变换

()()n n Tx c Tx c Tx ++=L 11

则T 是线性变换．因此线性变换T 与方阵A 是一一对应关系．

例4 线性空间的线性变换为 ][t P n ()()

()()][t P t f t f t f T n ∈?′= ．

基(I)：!,,!2,,12210n t f t f t f f n

n ====L

基(II)：

n n t g t g t g g ====,,,,12210L 记T 在基(I)下的矩阵为，T 在基(II)下的矩阵为．因为 1A 2A 112010,,,,0?====n n f Tf f Tf f Tf Tf L 112010,,2,,0?====n n ng Tg g Tg g Tg Tg L 所以 ，

=010********M O O L L A

=0002000102n A M O O L L 易见．

21A A ≠)2(≥n 例5 线性空间V 中，设线性变换T 在基下的矩阵为A ，则

n n x x ,,1L dim R (T ) = rank A ，dim N (T ) = n - rank A ．

证 rank A = m ?A 的列向量组n ββ,,1L 中最大无关组含m 个向量

元素组Tx 中最大无关组含m 个向量 ?n Tx ,,1L dim R (T ) = dim ?m Tx Tx L n =),,(1L

由例2知另一结论成立．

2．线性运算的矩阵表示（将线性变换运算转化为矩阵运算）

T Th9 设线性空间V 的基为，线性变换T 与的矩阵n n x x ,,1L 12A 与，则 B (1) T 1+T 2在该基下的矩阵为B A +． (2) kT 1在该基下的矩阵为． kA (3) T 1T 2在该基下的矩阵为AB ． (4) T 在该基下的矩阵为11?1?A ．

证 ()()()()B x x x x T A x x x x n n n n ,,,,,,,,,112111L L L L T == (1) 略．(2) 略．

(3) 先证：()()[]()[]C x x T C x x T c C n n m n ij ,,,,,11L L ==×?

左=[]()()[]∑∑∑∑=

i

im

i

i i im i i Tx c Tx c x c x c

,,,,1

1

L L T

=()=C Tx Tx n ,,1L 右

由此可得 ()()()[]()[]B x x T x x T T x x T T n n n ,,,,,,11121121L L L ==

()[]()AB x x B x x T n n ,,,,111L L ==

(4) 记T

，则 211

T =?()

131221?=?==?==A B I BA AB T T T T T e ．

3．象与原象坐标间的关系

Th10 线性空间V 的基为线性变换T 在该基下的矩阵为A ，

n ,,,1n x x L 的坐标为 ，T x 的坐标为

，则 ．

n

V x ∈

n ξξM 1

n ηηM 1 =

n n A ξξηηM M 11 证 n n x x x ξξ++=L 11

()()()() =

=++=n n n n n n A x x Tx Tx Tx Tx Tx ξξξξξξM L M L L 111111,,,,

西北工业大学毕业要求

附件一： 1、文科类各专业毕业论文的写作程序大体分为六个阶段：（1）确定导师；（2）与导师讨论并选题；（3）阅读文献、收集资料；（4）拟定写作提纲；（5）撰写和提交初稿，与导师讨论和修改；（6）定稿和导师审阅。 文科各专业的毕业论文要求论题明确、资料翔实、论证严谨、语言文字流畅简练、结构合理、理论联系实际、观点正确或有一定的独到见解；一律采用文内图表，引文出处和注释一律采用文尾注。毕业论文篇幅应不少于6000字（不含图表）。 2、理工科类各专业毕业论文的写作程序大体分为六个阶段：（1）确定导师；（2）与导师讨论并选题；（3）阅读文献、收集资料；（4）拟定设计或实验方案；（5）设计或实验；（6）理论分析和技术分析，撰写初稿，修改稿；（7）定稿和导师审阅。 理工科各专业的毕业论文要求设计方案合理、立论准确、理论分析和技术分析充分、实验和计算方法正确、数据准确可靠、图表规范清晰、文字表达准确、语言流畅简练；原则上采用文内图表，不能采用文内图表的制图、制表规格可根据实际需要而定，以附件的形式附在毕业论文正文后，引文出处和注释一律采用文尾注。毕业论文篇幅应不少于5000字（不含图表、程序和计算数字）。 3、学生的毕业论文格式采用学校教务处规定的统一格式：（1）题目；（2）学生（姓名、学院、系、专业、年级）；（3）指导教师（姓

名、职称）；（4）中文摘要、关键词；（5）目录；（6）引言；（7）正文；（8）结论；（9）致谢语；（10）英文题目、摘要、关键词；（11）参考文献；（12）附录。 4、毕业论文的内容要求： （1）题目：应简洁、明确、有概括性，字数不宜超过20个字。 （2）摘要：要有高度的概括，语言精炼、明确。同时有中、英文对照，字数在400字以内。 （3）关键词：从本文标题或正文中挑选3~5个最能表达主要内容的词或术语作为关键词，同时有中、英文对照。 （4）目录：目录作为论文提纲，是论文各组成部分的小标题，文字应简明扼要。目录按论文顺序分章、节二级编写，要标明页数，以便阅读。目录中的标题应与正文中的标题一致。 （5）引言：是毕业论文的开头部分，主要说明论文写作的目的、现实意义、对所研究问题的认识，并提出论文的中心论点等。引言要写得扼要，篇幅不要太长。 （6）正文：是毕业论文的主体，是对研究工作的详细表述，一般由标题、文字、图、表格和公式等部分组成。该部分要运用各方面实验结果、研究方法，分析问题、论证观点，尽量反映出学生的科研能力和学术水平。 （7）结论：结论是全文的思想精髓和文章价值的体现。应概括说明所进行工作的情况和价值，分析其优点和特色，指出创新所在，并应指出其中存在的问题和今后的改进方向，特别是对工作中遇到的重

吴莹莹矩阵论作业

本文首先给出Gerschgorin圆盘定理和Ostrowski圆盘定理，两者都是通过矩阵元素及简单运算给出特征值的包含区域。最后探讨了Gerschgorin圆盘定理和Ostrowski圆盘定理在矩阵论中的一些简单应用。本文重在论述Gerschgorin 圆盘定理和Ostrowski圆盘定理的应用方面，探讨了其在谱半径估计、矩阵可逆、二次型、扰动理论等典型问题中的应用。 关键词：特征值估计；Gerschgorin圆盘定理；Ostrowski圆盘定理

众所周知在矩阵理论中，特征值概念是矩阵最重要、最本质的性质之一。特征值不仅仅具有极其丰富的理论意义，在许多实际问题中也有着广泛的应用[1]。因此，对矩阵特征值的研究是矩阵理论中一个比较重要的领域。 但是，高阶矩阵特征值的计算过于繁杂、极其费力。一般来说，想要精确计算高阶矩阵特征值是不可能实现的。况且，在自然科学的许多分支中，并不一定需要精确计算出矩阵的特征值，而只需要给出一个大体的分布范围即可。所以，对矩阵特征值估计问题的研究-8]-[2显得格外重要与迫切，而且这也是矩阵分析中比较热门的领域，吸引着众多数学家及数学爱好者的目光。复数域上n 阶矩阵的特征值可以用复平面上的点来表示。因此，对这些点的位置的估计也就是对特征值的估计。 在矩阵特征值估计问题的研究当中，Gerschgorin 圆盘定理和Ostrowski 圆盘定理是最基本、最经典的两个结论。两个定理均从矩阵的元素出发，通过较为简单的运算便给出矩阵特征值的包含区域。因此，这两个定理在数学理论部分与实际应用中都有着十分重要的意义。 圆盘定理的优势在于方便、实用、计算简洁以及方法容易掌握，而其弊病在于其精确性。目前，许多数学家及数学爱好者都在致力于改进、完善圆盘定理，逐步缩小特征值的包含区域，力图提高矩阵特征值估计的准确性。 本文首先论述了Gerschgorin 圆盘定理和Ostrowski 圆盘定理的内容；后半部分详细探讨了这两个圆盘定理在矩阵论中的应用，主要是在诸如矩阵对角化、二次型、谱半径估计、矩阵可逆等典型问题中的一些应用，最后还将其引入到微分方程稳定性理论中，讨论微分方程组满足初值条件的解的稳定性问题。而且，从本文中也不难看出，将圆盘定理应用到判断矩阵是否对角化、正定、可逆以及估计谱半径等问题中是十分恰当的，其方便性与快捷性是通常判别法所无法比拟的。 2 Gerschgorin 圆盘定理和Ostrowski 圆盘定理 2.1 Gerschgorin 圆盘定理及其推论 Gerschgorin 圆盘定理从矩阵的元素出发，通过较为简单的运算给出矩阵特征值的包含区域，具有很强的实用性。 定义2.1[10]设n n n n ij C a A ??∈ =)(，称由不等式 )( A R a z i ii ≤-， (2.1) 在复平面上所确定的区域为矩阵A 的第i 个Gerschgorin 圆盘，并用记号i D 来表

西北工业大学 本科毕业设计论文参照

本科毕业设计论文 题 目 3号黑体 专业名称 4号宋体 学生姓名 指导教师 毕业时间 2008.7

毕业 任务书 一、题目 小4号宋体 二、指导思想和目的要求 三、主要技术指标 四、进度和要求 （进度:以周为时间单位，要求:应当明确具体） 五、主要参考书及参考资料 (请按照毕业论文参考文献格式打印) 学生___________ 指导教师___________ 系主任___________ （均须本人手书签名）

正文模板

目录 （空1行，小四） 第1章前言 ............................................................................... 错误！未定义书签。 1.1可听化技术概述................................................................ 错误！未定义书签。 1.2双耳听觉虚拟及其关键问题 ........................................... 错误！未定义书签。第2章双耳模型和听觉虚拟................................. 错误！未定义书签。 2.1人的双耳听音原理............................................................ 错误！未定义书签。 2.2听觉虚拟的原理与实现过程 ........................................... 错误！未定义书签。 2.2.1 听觉虚拟的原理......................................................... 错误！未定义书签。 2.2.2 实现过程..................................................................... 错误！未定义书签。…… （目录内容按1.5倍行距） …… …… 致谢 ............................................. 错误！未定义书签。参考文献 .......................................... 错误！未定义书签。毕业设计小结 ...................................... 错误！未定义书签。附录 ............................................. 错误！未定义书签。

(最新版)西工大本科毕业设计论文_写作范文(论文资料)

(最新版)西工大本科毕业设计论文_写作范文（论文资料）本科毕业论文 第3项加粗 专业名称第4号歌曲风格 1 学生名称 教师299 主要技术指标 4、进度和要求 (进度:以周为时间单位，要求:应明确具体) 5、主要参考书及参考资料 (请按毕业论文参考文件格式打印) 2 学生_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _讲师_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

文本模板 3部门负责人_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ (均须本人亲笔签名) (空行，(2) 256 (1) 1.1听觉技术概述.......................................................................................................1 1.2双耳听觉虚拟化及其关键问题...........................................................................2第2章双耳模型和听觉虚拟................................................5 2.1双耳听力原则.............................的原理和实现过程..........................................................5 2.2听觉虚拟................................................................6 2.2.1听觉虚拟原理....................................................................................6 2.2.2实施过程.............................................................................................6 ... (目录内容的间距是1.5倍)... 4…… 谢.......................................................41参考..........................................................42毕业设计总

矩阵论课程论文

西安理工大学 研究生课程论文报告 课程名称：矩阵论 课程代号： 任课教师： 论文报告题目：矩阵函数在线性定常系统 状态转移矩阵求解中的应用完成日期：2015 年10 月25 日学科：电力电子与电力传动 学号： 姓名： 成绩：

矩阵函数在线性定常系统状态转移矩阵 求解中的应用 摘 要 控制系统的运动是系统性能定量分析的重要内容。“运动”是物理学上的一个概念，它是通过求系统方程的解)(t x 、)(t y 来分析研究的。由于状态方程是矩阵微分（差分）方程，输出方程式为矩阵代数方程，因此求系统方程的解主要是求状态方程的解。而求状态方程的解的关键是求状态转移矩阵。本文主要介绍了矩阵对角化标准型，约当标准型，凯莱-哈密顿定理及矩阵函数知识在线性定常系统的齐次状态方程的状态转移矩阵求解中的应用。 关键词：状态转移矩阵，约当标准型，凯莱-哈密顿定理，矩阵函数. 1.问题提出 线性系统有线性定常系统和线性时变系统，最为基本的是线性定常系统。而线性定常系统根据有无初始输入，分为线性定常齐次方程，和线性定常非齐次方程。本文只给出线性定常系统的齐次状态方程的状态转移矩阵的求解。 线性定常系统齐次方程的解亦即系统的自由解，是指系统输入为零时，由初始状态引起的自由运动。 线性定常系统齐次状态方程为 ()()t Ax t x = ()1-1 其中，x 是n 维状态向量；A 为n n ?系数矩阵。设初始时刻00=t ，系统的初始状态()()00x t x =。仿照标量微分方程求解的方法求方程()1-1的解。 设方程()1-1的解为t 的向量幂级数形式，即 )(t x = ++++++k k t b t b t b t b b 332210 ()2-1 式中，() ,2,1,0=i b i 为n 维向量。 式()2-1代入方程()1-1得 () +++++=+++++-k k k k t b t b t b b b A t kb t b t b b 3322101232132 ()3-1 既然式()2-1是方程()1-1的解，则式()3-1对任意的t 都成立。因此，式()3-1的等式两边t 的同次幂项的系数应相等，有

2018年西北工业大学硕士论文格式模板

题目基于人工智能的 快论文排版系统研究 作者快论文 学科、专业计算机 指导教师***教授 申请学位日期2017年6月

西北工业大学 硕士学位论文 （学位研究生） 题目：基于人工智能的快论文排版系统研究 作者：快论文 学科专业：计算机 指导教师：***教授 2017年6月

Title: Research on Kuai65 Typesetting System Based on Artificial Intelligence By Kuai65 Under the Supervision of Professor *** A Dissertation Submitted to Northwestern Polytechnical University In partial fulfillment of the requirement For the degree of Master of *** Xi’an P. R. China Jun 2017

摘要 快论文（https://www.sodocs.net/doc/c23341836.html,）是一款专业的毕业论文在线排版系统，上传论文草稿，选定学校模板，点击一键排版，只需几分钟就可完成论文排版，免费下载预览，满意后付款。快论文平台现已汇集了全国617所高校权威毕业论文模板，均源自各校官方最新发布的毕业论文撰写规范，基本涵盖了各类高校毕业论文格式要求。 据统计，毕业论文排版涉及的几十项格式设置中，80%的操作都属于不常用操作，因此绝大多数同学以前没用过，以后用到的概率也很低，但为了达到排版的规范，却需要花费大量的时间去解读论文撰写规范和学习这些不常用的word操作。面对复杂的格式规范，大多数同学熬夜反复调整修改却还是存在各种各样的问题。 基于人工智能的快论文排版系统，剔除了人们手动排版时不可避免的误操作，和由于视觉疲劳导致的错漏等，较之传统的人工排版方式，质量更可靠，价格更优惠，速度更快捷。快论文平台秉持人性化的设计理念，在充分研究分析人们的操作习惯的基础上，针对应届毕业的大学生，充分考虑其个性需求，设计并开发完成了一个界面简洁、功能强大、操作便捷的毕业论文排版和编辑系统，帮助大学生提高毕业论文写作效率和提升毕业论文质量。 快论文根据各个高校官方的论文写作规范要求，分别构建了属于各高校自己的定制模板，更准确，更便捷，是国内最大的毕业论文排版平台。 关键词：快论文；专业排版；质量可靠；价格优惠；值得信赖

毕业设计(论文)成绩评定标准(西北工业大学)

附件1：毕业设计（论文）成绩评定标准 毕业设计（论文）的成绩评定。是一项十分严肃的工作。为了做好毕业设计（论文）成绩的评定工作，特拟定毕业设计（论文）成绩评定标准，供参照执行。 一、达到下列标准的可得90-100分（占学生人数的10％左右） ⑴.能优异完成毕业设计（论文）各项工作。设计质量高或对原设计（例如：结构设计、 工艺设计、线路设计、计算分析等）有明显改进，软硬件设计合理，并有创新性和实用性。论文（例如：实验方案、数据处理、理论分析深入等）结论正确，并有理论创新。毕业设计（论文）、说明书的语句流畅、文字精练、书写工整规范。 ⑵.在毕业设计（论文）过程中，工作态度严肃认真、积极主动、肯于钻研、刻苦踏实。 具有很强的独立思考和独立工作能力以及实验研究和查阅科技资料能力。 ⑶.在答辩中，基本概念清楚，基础知识和专业知识扎实。对毕业设计（论文）中的问 题回答熟练正确。 二、达到下列标准的可得80-90分（占学生人数的40％－50％左右） ⑴.能完成毕业设计（论文）各项工作。设计质量高或对原设计（例如：结构设计、工 艺设计、线路设计、计算分析等）有一定程度的改进。论文（例如：实验方案、数据处理、理论分析比较深入等）结论正确。毕业设计（论文）说明书表达清楚、语句通顺、书写工整。 ⑵.在毕业设计（论文）过程中，工作态度严肃认真、积极主动、肯于钻研、刻苦踏实。 具有较强的独立思考和独立工作能力以及实验研究和查阅科技资料能力。 ⑶.在答辩中，基本概念清楚，基础知识和专业知识扎实。对毕业设计（论文）中的问 题回答熟练正确。 三、达到下列标准的可得70-79分（占学生人数的30％－40％左右） ⑴.基本上完成毕业设计（论文）各项工作。设计质量较高或对原设计（例如：结构设 计、工艺设计、线路设计、计算分析等）有局部的改进，图面质量较高。论文（例

研究生矩阵论课后习题答案(全)习题三

习题三 1．证明下列问题： （1）若矩阵序列{}m A 收敛于A ，则{}T m A 收敛于T A ，{} m A 收敛于A ； （2）若方阵级数∑∞ =0m m m A c 收敛，则∑∑∞ =∞==?? ? ??00)(m m T m T m m m A c A c . 证明：（1）设矩阵 ,,2,1,)() ( ==?m a A n n m ij m 则 ,)()(n n m ji T m a A ?=,)()(n n m ij m a A ?=,,2,1 =m 设 ,)(n n ij a A ?= 则 n n ji T a A ?=)(，,)(n n ij a A ?= 若矩阵序列{}m A 收敛于A ，即对任意的n j i ,,2,1, =，有 ij m ij m a a =∞ →) (lim ， 则 ji m ji m a a =∞ →)(lim ，ij m ij m a a =∞ →)(lim ，n j i ,,2,1, =， 故{} T m A 收敛于T A ，{} m A 收敛于A . (2)设方阵级数 ∑∞ =0 m m m A c 的部分和序列为 ,,,,21m S S S ， 其中m m m A c A c c S +++= 10.

若 ∑∞ =0 m m m A c 收敛，设其和为S ，即 S A c m m m =∑∞ =0 ，或S S m m =∞ →lim ， 则 T T m m S S =∞ →lim . 而级数∑∞ =0 )(m m T m A c 的部分和即为T m S ，故级数∑∞ =0 )(m m T m A c 收敛，且其和为T S ， 即 ∑∑∞ =∞==?? ? ??00)(m m T m T m m m A c A c . 2.已知方阵序列{}m A 收敛于A ，且{} 1-m A ，1 -A 都存在，证明： （1）A A m m =∞ →lim ；（2）{}1 1 lim --∞ →=A A m m . 证明：设矩阵 ,,2,1,)() ( ==?m a A n n m ij m ,)(n n ij a A ?= 若矩阵序列{}m A 收敛于A ，即对任意的n j i ,,2,1, =，有 ij m ij m a a =∞ →) (lim . (1) 由于对任意的n j j j ,,,21 ，有 ,lim ) (k k kj m kj m a a =∞ → n k ,,2,1 =， 故 ∑-∞ →n n n j j j m nj m j m j j j j m a a a 2121)()(2)(1) ()1(lim τ ＝ ∑-n n n j j j nj j j j j j a a a 21212121) ()1(τ ， 而 ∑-= n n n j j j m nj m j m j j j j m a a a A 2121) ()(2)(1)()1(τ，

矩阵论论文

研究生课程论文/研究报告 课程名称：矩阵论 任课教师： 论文/研究报告题目：矩阵论的应用—线性定常系统建模和线性定常系统状态方程求解完成日期：年月日 学科： 学号： 姓名： 成绩：

矩阵论的应用—线性定常系统建模和线性定常系统状 态方程求解 摘要 我们知道在进行系统的分析和设计时，首先要建立数学模型然后再进行求解分析。根据系统分析、设计所用方法不同，或所要解决的问题不同，描述同一系统的数学模型亦有所不同。本文先介绍描述系统内部特性和端部特性的状态空间表达式及其在s 域分析得到传递函数，然后再利用系统状态转移矩阵求线性定常系统状态方程的解。 关键词：数学模型、状态空间表达式、传递函数、线性定常系统状态方程的解 一、线性定常系统的状态空间表达式及其传递函数 如下图1所示电路图，电压u(t)为电路的输入量，电容上的电压uc(t)为电路的输出量。R 、L 、C 分别为电路的电阻、电感、电容。由电路知识可知，回路中的电流i(t)和电容上电压uc(t)的变化规律满足如下方程： ()()()()di t L Ri t uc t u t dt ++= 1 ()()i t dt uc t C =? 其中i(t)和uc(t)为该电路系统的状态变量（状态变量就是确定系统状态的最小一组变量）。 状态空间：以选择的一组状态变量为坐标轴而构成的正交空间，成为正交空间。系统在任意时刻的状态可以用状态空间中的一个点来表示。 图1 将上式方程组改写成状态空间表达式为： ()11()()1 ()()00di t R i t dt L L u t L duc t uc t C dt --???? ?? ???????=+ ????? ?? ????? ??????? ??① 如将电容上的电压uc 作为电路的输出量，则 []()()01()i t uc t uc t ?? =?? ?? ②

西北工业大学研究生矩阵论试题2006

矩阵论试题（06，12） 一. (18分)填空：设.1111,0910?? ? ??=??? ??=B A 1. A-B 的Jordan 标准形为J = 2. 是否可将A 看作线性空间V 2中某两个基之间的过渡矩阵（ ）。 3. 是否可将B 看作欧式空间V 2中某个基的度量矩阵。（ ） 4. =p B c e v ) (（ ） ，其中+∞<≤p 1。 5. 若常数k 使得kA 为收敛矩阵，则k 应满足的条件是（ ）。 6. A ?B 的全体特征值是（ ）。 7. =?2B A （ ） 。 8. B 的两个不同秩的{1}-逆为?? ? ??=??? ?? =)1() 1(,B B 。 二.(10分)设n m C A ?∈,对于矩阵的2-范数 2A 和F-范数F A ， 定义实数 2 22F A A A += （任意n m C A ?∈） 验证 A 是n m C ?中的矩阵范数，且与向量的2-范数相容。 三.(15分)已知? ?? ?? ??=???? ? ??=????? ??--=011)0(,0)(,111202 11133x e e t b A t t 。 1. 求At e ； 2. 用矩阵函数方法求微分方程)()()(t b t Ax t x dt d +=满足初始条 件x (0) 的解。

四.(10分)用Householder 变换求矩阵?? ?? ? ? ? ? ?=40210301 4301 0021A 的QR 分解。 五.（10分）用Gerschgorin 定理隔离矩阵??? ? ? ??=i A 116864120的特征 值。（要求画图表示） 六. (15分)已知???? ? ? ? ??=??????? ??=3131,12120101 2121 1010 b A 。 1. 求A 的满秩分解； 2. 求A +； 3. 用广义逆矩阵方法判断线性方程组 Ax =b 是否有解； 4. 求线性方程组Ax =b 的极小范数解，或者极小范数最小二乘解x 0。（要求指出所求的是哪种解） 七.(15分)已知欧式空间R 2?2 的子空间 ,0032414321 ? ?? ? ??=-=-???? ??==x x x x x x x x X V R 2?2 中的内积为,,),(222112112 12 1? ?? ? ??==∑∑==a a a a A b a B A ij i j ij

西北工业大学矩阵论PPT课件

矩阵论讲稿 讲稿编者：张凯院 使用教材：《矩阵论》（第2版） 西北工业大学出版社 程云鹏等编 辅助教材：《矩阵论导教导学导考》 《矩阵论典型题解析及自测试题》 西北工业大学出版社 张凯院等编 课时分配：第一章 17学时第四章8学时第二章5学时第五章8学时 第三章8学时第六章8学时

第一章 线性空间与线性变换 §1.1 线性空间 一、集合与映射 1．集合：能够作为整体看待的一堆东西． 列举法：},,,{321L a a a S = 性质法：}{所具有的性质a a S = 相等(：指下面二式同时成立 )21S S =2121,S S S a S a ?∈?∈?即 1212,S S S b S b ?∈?∈?即 交：}{2121S a S a a S S ∈∈=且I 并：}{2121S a S a a S S ∈∈=或U 和：},{22112121S a S a a a a S S ∈∈+==+ 例1 R}0{2221111∈ ==j i a a a a A S R}0 {221211 2∈ ==j i a a a a A S ，21S S ≠ R},00{22112211 21∈ ==a a a a A S S I R},0{211222211211 21∈= ==j i a a a a a a a A S S U R}{2221 1211 21∈ ==+j i a a a a a A S S 2．数域：关于四则运算封闭的数的集合． 例如：实数域R ，复数域C ，有理数域，等等． Q 3．映射：设集合与，若对任意的1S 2S 1S a ∈，按照法则σ，对应唯一的

西工大试题

西工大试题 笔试部分 I. 语言知识（共10小题，计10分） 本题共有10个小题，请从每个小题的四个选项中，选出最佳答案。 21. ---Who will be ____ duty tomorrow? ---Susan will. A. at B. on C. for D. in 22. Lao She is the____________of Tea House(茶馆). A. doctor B. actor C. scientist D. writer 23. The teacher ____ his students to hand in their compositions before Frid ay. A. said B. told C. had D. kept 24. You'll do much better _________ you' re more careful with your spellin g. A. if B. before C. although D. unless 25. You have already tried your best, so you _________ worry about the matt er. A. can't B. needn't C. mustn't D. couldn't 26. Every year many foreigners __________ to China to learn Chinese. A. have come B. comes C. came D. come 27. The window ____ ten minutes ago, and the room is bright now.

矩阵论课程学习指南

《矩阵论》课程学习指南 The theory of matrices 任课教师 课程基本信息：选修课程 课程编码： 课程名称：矩阵论（The theory of matrices） 授课教师： 授课对象：计算数学研究生 授课地点： 授课时间：第三学期 授课形式：课堂讲授与课堂讨论 联系方式： 课程教材： 1.程云鹏张凯院徐仲，《矩阵论（第3版）》，西北工业大学出版社，2006年 课程简介： 矩阵理论在数学及其他科学技术领域如数值分析、最优化理论、多元统计分析、运筹学、控制、力学、电学、管理科学与工程等学科中都有十分重要的作用，越来越引起人们的重视。矩阵不仅表述简洁，易于理解，而且具有适合计算机数值计算的特点。因此，矩阵理论是从事科学研究和工程设计的科技人员必备的数学基础。通过本课程的学习，掌握矩阵论的基本概念，基本理论和基本运算，全面了解若干特殊矩阵的标准形及其基本性质。通过学习使学生能将向量空间及其变换的问题化为矩阵问题,用矩阵运算加以解决. 课程说明： 1. 教学方式：课堂讲授＋课堂讨论+课后实践 2．考核方式：期末考试+课堂讨论+出勤情况 学期总评成绩（100%）=出勤（10%）+课堂讨论（30%）+期末考试（60%） 3.实验、实习、作业要求: 每次课后安排阅读作业，提交学习笔记；课堂发言与小组讨论。

教学进度与教学内容概览 主要内容及学时安排： 第一章：线性空间与线性变换(4学时) ·重点内容：特征值和特征向量、正交矩阵 ·第一节线性空间 ·第二节线性变换及其矩阵 ·第三节两个特殊的线性空间 第二章：范数理论及其应用(6学时) ·重点内容：矩阵范数 ·第一节向量范数及其性质 ·第二节矩阵的范数 ·第三节范数的一些应用 第三章：矩阵分析及其应用(8学时) ·重点内容：矩阵级数、矩阵函数 ·第一节矩阵序列 ·第二节矩阵级数 ·第三节矩阵函数 ·第四节矩阵的微分和积分 ·第五节矩阵函数的一些应用 第四章：矩阵分解(16学时) ·重点内容：矩阵的QR分解、矩阵的奇异值分解 ·第一节Gauss消去法与矩阵的三角分解 ·第二节矩阵的QR分解 ·第三节矩阵的满秩分解 ·第四节矩阵的奇异值分解 第五章：特征值的估计及对称矩阵的极性(10学时) ·重点内容：特征值的估计、广义特征值问题 ·第一节特征值的估计 ·第二节广义特征值问题 ·第三节对称矩阵特征值的极性 第六章：广义逆矩阵（12学时）