高考数学填空压轴题专题复习

高考数学填空题的解题策略

特点：形态短小精悍、跨度大、知识覆盖面广、考查目标集中，形式灵活，答案简短、明确、具体，评分客观、公正、准确等.

解填空题时要做到：快——运算要快，力戒小题大作；稳——变形要稳，不可操之过急；全——答案要全，

力避残缺不齐；活——解题要活，不要生搬硬套；细——审题要细，不能粗心大意.

（一）数学填空题的解题方法

1、直接法：直接从题设条件出发，利用定义、性质、定理、公式等，经过变形、推理、计算、判断得到结论的，称为直接法.它是解填空题的最基本、最常用的方法.使用直接法解填空题，要善于通过现象看本质，自觉地、有意识地采取灵活、简捷的解法.

2、特殊化法：当填空题已知条件中含有某些不确定的量，但填空题的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时，可以将题中变化的不定量选取一些符合条件的恰当特殊值（或特殊函数，或特殊角，特殊数列，图形特殊位置，特殊点，特殊方程，特殊模型等）进行处理，从而得出探求的结论.这样可大大地简化推理、论证的过程.

3、数形结合法：对于一些含有几何背景的填空题，若能根据题目条件的特点，作出符合题意的图形，做到数中思形，以形助数，并通过对图形的直观分析、判断，则往往可以简捷地得出正确的结果.

4、等价转化法：通过“化复杂为简单、化陌生为熟悉”将问题等价转化成便于解决的问题，从而得到正确的结果.

5、构造法：根据题设条件与结论的特殊性，构造出一些新的数学形式，并借助于它认识和解决问题的一种方法.

6、分析法：根据题设条件的特征进行观察、分析，从而得出正确的结论.

（二）减少填空题失分的检验方法

1、回顾检验

2、赋值检验.若答案是无限的、一般性结论时，可赋予一个或几个特殊值进行检验，以避免知识性错误.

3、逆代检验.若答案是有限的、具体的数据时，可逐一代入进行检验，以避免因扩大自变量的允许值范围而产生增解致错.

4、估算检验.当解题过程是否等价变形难以把握时，可用估算的方法进行检验，以避免忽视充要条件而产生逻辑性错误.

5、作图检验.当问题具有几何背景时，可通过作图进行检验，以避免一些脱离事实而主观臆断致错.

6、变法检验.一种方法解答之后，再用其它方法解之，看它们的结果是否一致，从而可避免方法单一造成

的策略性错误

．．．．．.

7、极端检验.当难以确定端点处是否成立时，可直接取其端点进行检验，以避免考虑不周全的错误.

切记：解填空题应方法恰当，争取一步到位，答题形式标准，避免丢三落四，“一知半解”

最后：填空题的结果书写要规范

是指以下几个方面：①对于计算填空题，结果往往要化为最简形式，特殊角的三角函数要写出函数值，

近似计算要达到精确度要求．如：1

2

不能写成

2

4

或写出sin30°等；②所填结果要完整，如多选型填空题，

不能漏填；有条件限制的求反函数，不能缺少定义域；求三角函数的定义域、单调区间等，不能缺k ∈Z ，如：集合{x |x ＝k π，k ∈Z }不能写成{x |x ＝k π}等. ③要符合现行数学习惯书写格式，如分数书写常用分数线，而不用斜线形式；求不等式的解集、求函数定义域、值域，结果写成集合或区间形式．等 （2008江苏）13．若

，则ABC S ?的最大值 ▲ ．

【解析】解法一：本小题考查三角形面积公式、余弦定理以及函数思想．设BC ＝x ，则AC

， 根据面积公式得ABC S ?

=

1

sin 2

AB BC B = 2222242cos 24AB BC AC x x B AB BC x +-+-== 2

44x x

-=，代入上式得

ABC S ?

=

=

由三角形三边关系有2

2x x +>+

>??

解得22x <<

，

故当x =

ABC S ?最大值解法二：坐标法，以

A

为原点，AB

为横轴，建立直角

坐标系则

≥()()()0,0,2,0,,A B

C x

y =()2

248x y -

+=

【答案】14.()331f x ax x =-+对于[]

1,1x ∈-总有()f x ≥0 成立，则a = ▲ ．

【解析】方法一分离参数法：本小题考查函数单调性的综合运用．若x ＝0，则不论a 取何值，()f x ≥0显然成立；当x ＞0 即[]

1,1x ∈-时，()3

31f x ax x =-+≥0可化为，23

31

a x x ≥

- 设()2331g x x x =-，则()()'

4312x g x x -=， 所以()g x 在区间10,2?? ???上单调递增，在区间1,12??????

上单调递减，因此()max 142g x g ??

== ???

，从而a ≥4；

当x ＜0 即[

)1,0-时，()3

31f x ax x =-+≥0可化为a ≤2331x x -，()()'

4

312x g x x

-=0> ()g x 在区间[)1,0-上单调递增，因此()()ma 14n g x g =-=，从而a ≤4，综上a ＝4

方法二整体法：()()

2

'31f x ax =-，[]20,11x a ∈∴≤ 时，2

10ax -<恒成立，即()f x 单调减函数。

由()1310,2f a a =-+≥≥，矛盾。当1a ≥时，

令2

10ax x -=?=

f 或()1f -，

由题意知()0,10.

f f ?≥???

-≥?所以4,4.a a ≥??≤?即4a =。

【答案】4

（2009江苏）13．如图，在平面直角坐标系xoy 中，1212,,,A A B B 为椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>的四个顶

点，F 为其右焦点，直线12A B 与直线1B F 相交于点T ，线段OT 与椭圆的交点M 恰为线段OT 的中点，则该椭圆的离心率为 ▲ .[解析] 考查椭圆的基本性质，如顶点、焦点坐标，离心率的计算等。以及直线的方程。 直线12A B 的方程为：1x y

a b

+=-； 直线1B F 的方程为：

1x y c b +=-。二者联立解得：2()(,)ac b a c T a c a c

+--， 则()

(,)2()

ac b a c M a c a c +--在椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上，

22

22222

()1,1030,1030()4()

c a c c ac a e e a c a c ++=+-=+-=--，

解得：5e =

14．设{}n a 是公比为q 的等比数列，||1q >，令1(1,2,)n n b a n =+= ，若数列{}n b 有连续四项在集合

{}53,23,19,37,82--中，则6q = ▲ .[解析] 考查等价转化能力和分析问题的能力。等比数列的通项。

{}n a 有连续四项在集合{}54,24,18,36,81--，四项24,36,54,81--成等比数列，公比为3

2q =-，6q = -9

（2010江苏）在锐角三角形ABC ，A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，b

+a =6cosC ，则tanC +tanC

=__▲

将边长为1的正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记S=(梯形的周长)2

梯形的面积,则

S 的最小值是_______▲_______

（2011江苏）13、设

127

1a a a

=≤≤≤

，其中

7

5

3

1

,

,

,a

a

a

a成公比为q的等比数列，

6

4

2

,

,a

a

a成公差为1的等差数列，则q的最小值是________

解析：由题意：23

1212121

112

a a a q a a q a a q

=≤≤≤+≤≤+≤，

2

2222

1,12

a q a a q a

∴≤≤++≤≤+

3

2

23

q a

≥+≥，而

21222

1,1,,1,2

a a a a a

≥=∴++

的最小值分别为1，2，3；

min

q

∴

14、设集合}

,

,

)2

(

2

|)

,

{(2

2

2R

y

x

m

y

x

m

y

x

A∈

≤

+

-

≤

=,

}

,

,1

2

2|)

,

{(R

y

x

m

y

x

m

y

x

B∈

+

≤

+

≤

=,

若,φ

≠

?B

A则实数m的取值范围是______________

解析：当0

m≤时，集合A是以（2，0）为圆心，以m为半径的圆，集合B是在两条平行线之间，(10

m m

+=>，因为,φ

≠

?B

A此时无解；当0

m>时，集合A是以（2，0）为圆心，m为半径的圆环，集合B是在两条平行线之间，必有

m11

2

m

≤≤.又因为2

m1

,1

22

m m

≤∴≤≤

（2012苏北四市二检）１３、平面直角坐标系中，已知点A（１，－２），B（４，０），Ｐ（ａ，１），Ｎ（ａ＋１，１），当四边形PABN的周长最小时，过三点A、P、N的圆的圆心坐标是

9

(3,)

8

-

【解析】求PABN周长最小，因为AB,PN长已经知道，只需求AP+NB长的最小值，AP+NB=根号[（a-1)^2+3^2AP]+根号[(a-3)^2+1^2],AP可以看成点（a，0）到（1,3）间距离，NB可以看成（a,0)到（3,1）间距离，求出（1,3）关于x轴对称点，三点共线可以求出a=5/2时周长最小，然后P,N点坐标可以求出，过APN的三点的圆圆心坐标就是AP,AN的中垂线交点，很容易求出圆心（3，-9/8)

１４、已知ABC ?的三边长,,a b c 成等差数列，且22284,a b c ++=则实数ｂ的取值范围是

【解析】a=b-d c=b+d a2+b2+c2=84 (b-d)2+b2+(b+d)2=84 b2-2bd+d2+b2+b2+2bd+d2=84

3b2+2d2=84 d=0时b 最大 3b2=84 b2=28

由于a,b,c 为三角形三边，所以a+b>c ，即b-d+b>b+d ，b>2d 。将b=2d 代人 3(2d)2+2d2=84 12d2+2d2=84 14d2=84 d2=6

b> 所以实数b 的取值范围是

（2012南京二检）13.在面积为2的ABC ?中，E,F 分别是AB ，AC 的中点，点P 在直线EF 上，则

2

+? 的最小值是______________

【答案】解法一：问题可转化为已知PBC ?的面积为1，求2

BC PB PC +?的最小值。 设PBC ?中点,,P B C 所对的边分别为,,p b c ， 由题设知sin 2bc P =，

∴2

2222cos (2cos )cos 2(2cos )2cos sin PC PB BC bc P b c bc P b c bc P P bc bc P P ?+=++-=+--≥-=

从而进一步转化为2cos sin P

P

-的最小值。（可数形结合，可用引入辅助角化一个三角函数的形式，可用万能

公式转化后换元等，下略）

解法二：建立坐标系，立即得目标函数。

由题设知，PBC ?的面积为1，以B 为原点，BC 所在直线为x 轴，过点B 与直线BC 垂直的直线为y 轴建立平面直角坐标系，设2

(,0),(,)(0)C a P t a a

>，

则22(,),(,),PB t PC a t a a

=--=--

∴222

222443()()024

a a PC PB BC t a t a t a a ?+=--++=-++

≥+

当且仅当,2a

t a ==2+?

的最小值是

解法三：设BC 的中点为D, 由

()()

22PB PC BC PD DB PD DC BC

?+=+?++ =

22212PD BC BC

??-+ ???

22

34

PD BC

=+ 2234PD BC =+.1sin 12PD BC PDC ??∠=

,BC ∴≥=?

≥说明：多变量函数求最值常需选定主变量，解法二学生易接受些。

14．已知关于x 的方程03)2(log 22222=-+++a x a x 有唯一解，则实数a 的值为________ 【答案】1

解：注意到函数2222()2log (2)3f x x a x a =+++-为偶函数， ∴方程03)2(log 22222=-+++a x a x 的唯一解为0x =， 由2230a a +-=解得1a =或3a =-，

当1a =时，222()2log (2)2f x x x =++-在[0,)+∞上为增函数，满足题设条件， 当3a =-时，令22log (2)(1)x t t +=≥，则函数2222()2log (2)3f x x a x a =+++-可化为

()264(1)t g t t t =-+≥，∵(2)40,(5)60g g =-

<=>，∴方程()0g t =在区间(2,5)上有解，∴不满足题设，故舍去，∴1a =。

另解：方程03)2(log 22222=-+++a x a x 可化为246t t +=然后数形结合，结合

1(24)|2ln 26t t ='+=<知函数24(1)t y t =+≥与函数6y t =的图像有两个交点。

说明：此类习题仅作为考试题无可厚非，作为复习训练题几乎没有价值。

（2012盐城二检）13．设)(x f 是定义在R 上的可导函数，且满足0)()('

>+x xf x f .则不等式

)1(1)1(2-->+x f x x f 的解集为 ．

【答案】{|12}x x ≤<；

解：令()()g x xf x =，则'()()()0g x f x xf x '=+>，∴()g x 为增函数， 不等式)1(1)1(2-->

+x f x x f

，

即g g >

，由1210

x x >≤<-≥??，

∴不等式)1(1)1(2-->

+x f x x f 的解集为{|12}x x ≤<；

说明：体会如何构造函数，又如已知'

()2()0f x xf x +>如何构造函数等。

14．在等差数列{}n a 中，52=a ，216=a ，记数列?

?????n a 1的前n 项和为n

S ，若1512m

S S n n ≤-+对+∈N n 恒成立，则正整数m 的最小值为 ． 【答案】5

解：由题设得43n a n =-，∴1512m S S n n ≤-+可化为

11141458115

m

n n n +++≤+++ ， 令111

414581

n T n n n =

++++++ ， 则111111

4549818589

n T n n n n n +=++++++++++ ， ∴1111111

0858941828241

n n T T n n n n n n +-=

+-<+-=++++++， ∴当1n =时，n T 取得最大值1114

5945

+=，

由141545m ≥解得143

m ≥，∴正整数m 的最小值为5。 (2012苏南四市一检)13、如图，在正方形ABCD 中，E 为AB 的中点，P 为以A 为圆心、AB 为半径的圆弧

上的任意一点，设向量

，则λ+μ的最小值为

．

考点：平面向量的基本定理及其意义。 专题：计算题。

分析：建立坐标系，设正方形ABCD 的边长为1，求出向量

=（

，﹣λ+μsinθ ）

=（1，1），用cosθ，sinθ表示 λ和μ，根据cosθ，sinθ 的取值范围，求出λ+μ=

的最

小值．

解答：解：以A 为原点，以AB 所在的为x 轴，建立坐标系，设正方形ABCD 的边长为1， 则E （，0），C （1，1），D （0，1），A （0，0）． 设 P （cosθ，sinθ），∴=（1，1）． 再由向量=λ（，﹣1）+μ（cosθ，sinθ）=（

，﹣λ+μsinθ ）， ∴=1，﹣λ+μsinθ=1，∴λ=

，μ=

，

∴λ+μ=

．由题意得 0≤θ≤

，∴0≤cos θ≤1，0≤sinθ≤1， ∴当cosθ取最大值1时，λ+μ取最小值为=，

故答案为．

点评：本题考查两个向量坐标形式的运算，根据cosθ，sinθ 的取值范围求三角函数式的最值，用cosθ，sinθ

表示 λ和μ 是解题的难点． 14、设m ∈N ，若函数存在整数零点，则m 的取值集合为 {0，3，14，

30} ．

考点：函数零点的判定定理。 专题：计算题。 分析：由于函数存在整数零点，先令f （x ）=0得

，

即m=

再结合m ∈N ，x ∈Z ，求得x 的取值范围，最后依据m ∈N ，x ∈Z 一一验证即得m 的取值

集合．

解答：解：令f （x ）=0得：

即m=

∵m ∈N ，x ∈Z ， ∴

∴﹣5≤x≤10，且x ∈Z

∴x=﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，…，1，2，3，4，…，9，10 将它们代入m=

一一验证得：

m ∈{0，3，14，30}，

故答案为：{0，3，14，30}． （2012常州一模）

12．如图，已知二次函数c bx ax y ++=2（a ，b ，c 为实数，0≠a ）的图象过点)2,(t C ，且与x 轴交于A ，B 两点，若BC AC ⊥，则a 的值为 .

解法一：

设12(,0),(,0)A x B x ，则121212,,(,2),(,2),b c x x x x AC t x BC t x a a

+=-

==-=-

∵BC AC ⊥，∴12()()40t x t x --+=，整理得21212()40t x x t x x -+++=，

∴2

240,40b c

t t at bt c a a a

+

++=∴+++=， 又函数c bx ax y ++=2的图象过点)2,(t C ，∴22at bt c ++=， 比较上述两式得142,2

a a =-∴=-。 解法二：

将二次函数c bx ax y ++=2

的图像向右平移到点C 落在y 轴上，此时得二次函数的表达式为

22y ax dx =++，然后设12(,0),(,0)A x B x ，∵BC AC ⊥，∴1240x x +=，又122

x x a

=

，∴214,2

a a =-∴=-。

说明：解法一由于字母多，因此对运算的要求高，但关键是代数变形能力，形式的对比，及整体代换的思想；虽然字母多，但没有繁杂的计算，是训练运算能力的好题。

解法二看似简单，但学生几乎不可能想到平移不改变a 的值，甚至告知学生这一结论，很多人都不能理解，教师应尽量少讲此类所谓的巧法。 解法二建议如下讲解：求a 的值，意味着a 为定值，那么可以考虑特殊值法。然后设法证明确实与变量,,b c t 无关，这样从知识和方法上得到升华。

13、已知函数()2()x f x x R =∈，且()()()f x g x h x =+，其中()g x 为奇函数，()h x 为偶函数。若不等式2()(2)0a g x h x ?+≥对任意[1,2]x ∈恒成立，则实数a 的取值范围是 17

12

a ≥-

。 简解：[]()222221,222x x

x x

a x --+≥-

∈-()2

222

22x x x x

---+=-

-

14．将函数3322-++-=

x x y （[]2,0∈x ）的图象绕坐标原点逆时针旋转θ（θ为锐角）

，若所得曲线仍是一个函数的图象，则θ的最大值为 .

解：数形结合 作出函数3322-++-=x x y （[]2,0∈x

）的图象（圆22(1)(4x y -+=的一部分，落在x 轴

及其上方）

考虑圆22(1)(4x y -+=在点（0，0）处的切线y kx =

23

k =?=

θ的最大值为切线y kx =逆时针旋转到与y 轴重合时所转过的角，∴θ的最大值为

3

π。 说明：（1）将函数图形旋转转化为直线旋转是简化的关键。

（2）此题学生在临考时猜想：所填角为特殊角300，450，600之一。可见能力题往往是命题人的一厢情愿。 （3）将条件θ为锐角改为钝角，求转过的最小钝角，则难度增加（转化为圆心与切点连线的旋转问题）。 （2009上海高考）14.将函数2642--+=

x x y [])60(，

∈x 的图像绕坐标原点逆时针方向旋转角θ)0(αθ≤≤，得到曲线C .若对于每一个旋转角θ，曲线C 都是一个函数的图像，则α的最大值为

__________.

14．【答案】2

arctan 3

【解析】由2642--+=

x x y 得：

（x －3）2＋（y ＋2）2＝13，[])60(，∈x ，它的图象是以（3，－2）为圆心，13为半径的一段圆弧， 设过原点且与曲线C 相切的直线为y ＝kx ，当θ＝0时，k ＝－

OC

k 1

＝23，此时直线的倾斜角为β，即tan β＝

2

3

，当切线与y 轴重合时，曲线上的点满足函数的定义，即是一个函数的图象，再逆时针旋转时，曲线不再是一个函数的图象，旋转角为90°－β，则tan （90°－β）＝23

，即θ＝2arctan 3

（2012镇江一模）13.方程

1

2sin()1

x x π=-在区间[-2010，2012]所有根之和等于 4 020 。 14.不等式228()a b b a b λ+≥+对于任意的,a b R ∈恒成立，则实数λ的取值范围为 []8,4- 。

简解：方法一利用二次函数的思想，当0b =时，R λ∈;当0b ≠时，2

80a a b b λλ????

-+-= ? ?????

由0≤ 知。

方法二：()228a b ab λλ+-≥

?ab λ

≥，λ∴下略。

（2012苏北四市一检）13、定义在R 上的()f x ，满足22()()2[()],,,f m n f m f n m n R +=+∈且(1)0f ≠，则(2012)f 的值为 1006 ▲ ． 解：①()00f =；()1

12

f =

；②令1n =，则()()112f m f m +=+

14、已知函数11

1,[0,)22

()12,[,2)

2

x x x f x x -?+∈??=??∈??若存在12,x x ，当1202x x ≤<<时，12()()f x f x =，则12()

x f x 的取值范围是 ▲

1

)2

解：正确画出函数的图像，则21,12x ??∈????

，211122x x -+=，()()22121

2124

x x x f x ?=-是关于22x 的单调减函数。

2011检测题选：

1.已知ABC 的三边长,,a b c ，满足3,23b c a c a b +≤+≤，则

b

a

的取值范围是 。(3/4,5/3) 法一：由a b c a b -<<+退开去。法二：利用线性规划23,23,.b c a c a b a b c a b ?+≤?

+≤??-<<+?

①为什么可以省略第3式，

②换成a c b a c -<<+可以吗？

2.，则该三角形的面积的最大值是 。

如下图所示,设等腰三角形腰腰长为2a,面积为S. ∵ BD 为中线,长为L, ∴ S=2△ABD 的面积.由余弦定理L2=a2(5-4cosα),△ABD 的面积

=a2sinα, ∴ S=2L2sin α/(5-4cos α)---->2L2sin α+4Scosα=5S, √[4(L2)2+16S2]sin(α+φ)=5S,其中tanφ=2S/L2. ∵ sin(α+φ)=5S/√[4(L2)2+16S2]≤1,, ∴ 9S 2≤4(L2)2,

S ≤4L2/3,当且仅当sin(α+φ)=1,即α+φ=90°时,"="号成立,S 有最大值4L2/3.此时,φ=90°-α, ∴ cot

α=tan φ=4/3, α=arccot(4/3).

3.已知函数()234201112342011x x x x f x x =+-+-++ ，()2342011

12342011

x x x x g x x =-+-+-+-

，设()()()33F x f x f x =+?-，且()4f x 函数()F x 的零点均在区间[],a b (),,a b a b Z <∈内，则b a -的

最小值为 。9

变式：设函数()()23411,234n

n n x x x x f x x n N n

*=-+

-+-++-∈ ①试确定()3f x 和()4f x 的单调区间及相应区间上的单调性；（利用导数知识前实数集上单调递减，后者在(),1-∞减，()1,∞增）

②说明方程()4f x =0是否有解；()

()

()4min

5

1012

f x f ==

>无解。 ③对于自然数n ，给出关于x 的方程()0n f x =无解的一个一般性结论，并证明。n 偶数时无解 拓展：n 为奇数时有唯一解。

14. （苏北四市2011届高三第二次调研）

已知函数()122011122011f x x x x x x x =+++++++-+-++- ()x ∈R ，

且2(32)(1)f a a f a -+=-，则满足条件的所有整数a 的和是 ▲ ．6关键：函数是偶函数

14. （泰州市2011届高三第一次模拟考试）已知O 是锐角ABC ?的外接圆的圆心，且θ=∠A ，若

m B

C

C B 2sin cos sin cos =+,则=m 。；sin θ（用θ表示） 类题：已知O 为ABC 的外心，2AB AC ==,若(0)AO xAB yAC xy =+≠

，且21x y +=，则ABC

的面积是 。13

x y ==

方法一：22AC

AO xAB yAC xAB y =+=+

，由于21x y +=，所以,,B O D 三点共线；

方法二：对(0)AO xAB yAC xy =+≠

同乘以AB 或AC 可得到AB 乘AC =2424x y y x

--= 14. （苏北四市2011届高三第一次调研考试）已知数列{}n a ，{}n b 满足11a =，22a =，12b =，且对任意的正整数,,,i j k l ，当i j k l +=+时，都有i j k l a b a b +=+，则2010

1

1()2010i i i a b =+∑的值是 ▲ ．2012

讲评建议：遇到这样一个新问题，学生首先应是先去归纳，找规律，这就是一种数学意识，解题意识，教学中要注意培养，如什么时候类比，什么时候归纳。

14. （苏州市2011届高三调研测试）在平面直角坐标系xOy 中，点P 是第一象限内曲线3

1y x =-+上的

一个动点，点P 处的切线与两个坐标轴交于,A B 两点,则AOB △的面积的最小值为 ▲

.

【解析】设切点为(

)

3

00,1x x -+，则切线的斜率203k x =-，切线方程为23

00321y x x x =-++，()33002021,0,0,213x A B x x ??++ ???，所以()33

002

02112123AOB x S x x ?+=?+?

2

2

2

3

2000002111111266226x x x x x ?????+=?=++≥?= ? ? ?????