【走向高考】2016届高三数学一轮阶段性测试题10 统计、统计案例(含解析)北师大版
阶段性测试题十(统计、统计案例)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟． 第Ⅰ卷(选择题 共50分)
一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．(2015·潍坊联考)某学校从高二甲、乙两个班中各选6名同学参加数学竞赛，他们取得的成绩(满分100分)的茎叶图如图，其中甲班学生成绩的众数是85，乙班学生成绩的平均分为81，则x ＋y 的值为( )
甲 乙 9 7 7 8 y 5 0 x 8 1 1 0 1
9
2
A ．6
B ．7
C ．8
D ．9 [答案] D
[解析] 由众数的定义知x ＝5，由乙班的平均分为81得78＋70＋y ＋81＋81＋80＋92
6＝81，解得y ＝4，故x ＋y ＝9.
2．(文)若M 个数的平均数是X ，N 个数的平均数是Y ，则这M ＋N 个数的平均数是( ) A ．X ＋Y 2 B ．X ＋Y M ＋N
C ．MX ＋NY M ＋N
D ．MX ＋NY X ＋Y
[答案] C
[解析] 该题考查平均数的概念及运算．共有M ＋N 个数，这M ＋N 个数的和为(MX ＋NY)，故这M ＋N 个数的平均数为
MX ＋NY
M ＋N
. (理)期中考试后，班长算出了全班40名同学的数学成绩的平均分为M.如果把M 当成一个同学的分数，与原来的40个分数加在一起，算出这41个分数的平均值为N ，那么M N 为( ) A ．40 41 B ．1 1 C ．41 40 D ．2 1 [答案] B
[解析] 设40个人的成绩依次为a1，a2，…，a40，则 M ＝a1＋a2＋…＋a4040
. 当把该平均分M 当成一个人的分数时，41个分数的平均值为N ＝a1＋a2＋…＋a40＋M
41
＝40M ＋M
41＝M ，
故M N ＝1 1.
3．某班78名同学已编号1,2，…，78，为了了解该班同学的作业情况，老师收取了编号能被5整除的15名同学的作业，这里运用的抽样方法是( )
A ．简单随机抽样
B ．系统抽样
C ．分层抽样
D ．抽签法 [答案] B
[解析] 由抽样方法知，应选B ．
4．一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了20000人，并根据所得数据画出了样本频率分布直方图(如图)．为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，按月收入用分层抽样方法抽样，若从月收入[3000,3500)(元)段中抽取了30人，则这20000人中共抽取的人数为( )
A ．200
B ．100
C ．20000
D ．40 [答案] A
[解析] 由题意得，月收入在[3000,3500)(元)段中的频率是0.0003×500＝0.15，该收入段的人数是20000×0.15＝3000(人)，从中抽取了30人，说明从每100人中抽取1个，故共抽取20000100＝200(人)．
5．四名同学根据各自的样本数据研究变量x ，y 之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论：
①y 与x 负相关且y ^
＝2.347x －6.423； ②y 与x 负相关且y ^
＝－3.476x ＋5.648； ③y 与x 正相关且y ^
＝5.437x ＋8.493； ④y 与x 正相关且y ^
＝－4.326x －4.578 其中一定不正确的结论的序号是( ) A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．①④ [答案] D
[解析] 若y 与x 负相关，则y ^
＝bx ＋a 中b<0，故①不正确，②正确； 若y 与x 正相关，则y ^
＝bx ＋a 中b>0，故③正确，④不正确；故选D ．
6．(2014·广东高考)为了解1000名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为40的样本，则分段的间隔为( ) A ．50 B ．40 C ．25 D ．20 [答案] C
[解析] 本题考查系统抽样．
从1000名学生中抽取40名，分成40组，每组25人，间隔为25.选C ．系统抽样又叫等距抽样．
7．某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验．根据收集到的数据(如下表)，由最小二乘法求得回归直线方程y ^
＝0.67x ＋54.9.表中一个数据模糊不清，请你推断出该数据的值为( )
零件数x(个) 10 20 30 40 50 加工时间y(min)
62
75
81
89
A ．75
B ．62
C ．68
D ．81 [答案] C
[解析]
设表中模糊看不清的数据为m ，由表中数据得：
x －＝30，y －＝m ＋3075，
由于由最小二乘法求得回归方程y ＝0.67x ＋54.9， 将x －＝30，y －＝m ＋307
5代入回归直线方程，
得m ＝68，故选C ． 8．(2014·安徽示范高中联考)给出下列五个命题：
①将A 、B 、C 三种个体按3 1 2的比例分层抽样调查，如果抽取的A 个体为9个，则样本容量为30；
②一组数据1,2,3,3,4,5的平均数、众数、中位数都相同；
③甲组数据的方差为5，乙组数据为5,6,9,10,5，那么这两组数据中比较稳定的是甲；
④已知具有相关关系的两个变量满足的回归直线方程为y ＝1－2x ，则x 每增加1个单位，y 平均减少2个单位；
⑤统计的10个样本数据为125,120,122,105,130,114,116,95,120,134，则样本数据落在[114.5,124.5)内的频率为0.4. 其中真命题为( ) A ．①②④ B ．②④⑤ C ．②③④ D ．③④⑤ [答案] B
[解析] ①样本容量为9÷36＝18，①是假命题；②数据1,2,3,34,5的平均数为1
5(1＋2＋3＋3＋4＋5)＝3，中位数为3，众数为3，都相同，②是真命题；③x －
乙＝5＋6＋9＋10＋55＝7，s2乙＝15[(5－7)2＋(6－7)2＋(9－7)2＋(10－7)2＋(5－7)2]＝15×(4＋1＋4＋9＋4)＝4.4，∵s2甲>s2乙，∴乙稳定，③是假命题；④是真命题；⑤数据落在[114.5,124.5)内的有：120,122,116,120共4个，故所求概率为4
10＝0.4，⑤是真命题．
9．(文)将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91.现场作的9个分数的茎叶图如图，后来有1个数据模糊，无法辨认，在图中以x 表示：
8 7 7 9 4 0 1 0 x 9 1
则7个剩余分数的方差为( ) A ．1169 B ．367 C ．36
D ．677
[答案] B
[解析] 去掉最高最低分后的数据为87,90,90,91,91,94,90＋x ，
由x －
＝91＝87＋90＋90＋91＋91＋94＋ 90＋x 7得x ＝4，则方差s2＝[(87－91)2＋(90－91)2＋(90－91)2＋(91－91)2＋(94－91)2＋(91－91)2＋(94－91)2]＝367.
(理)某班有48名学生，在一次考试中统计出平均分数为70，方差为75，后来发现有2名同学的成绩有误，甲实得80分却记为50分，乙实得70分却记为100分，更正后平均分和方差分别是( )
A ．70,25
B ．70,50
C ．70,1.04
D ．65, 25 [答案] B
[解析] 易得x 没有改变，x ＝70，
而s2＝1
48[(x21＋x22＋…＋502＋1002＋…＋x248)－48x 2]＝75， s ′2＝148[(x21＋x22＋…802＋702＋…＋x248)－48x 2] ＝1
48[(75×48＋48x 2－12500＋11300)－48x 2] ＝75－1200
48＝75－25＝50.
10．一个频率分布表(样本容量为30)不小心被损坏了一部分(如图)，只记得样本中数据在[20,60)上的频率为0.8，则估计样本在[40,60)上的数据个数可能是( )
A ．7和6
B ．6和9
C ．8和9
D ．9和10 [答案] B
[解析] 因样本中数据在[20,60)上的频率为0.8，则样本中数据在[20,60)上的频数为30×0.8＝24.又因为样本中数据在[20,40)上的频数为4＋5＝9， 所以样本在[40,60)上的数据的个数为30×0.5＝15. 第Ⅱ卷(非选择题 共100分)
二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分，把正确答案填在题中横线上) 11．(文)(2014·湖北高考)甲、乙两套设备生产的同类型产品共4800件，采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80的样本进行质量检测．若样本中有50件产品由甲设备生产，则乙设备生产的产品总数为________件. [答案] 1800
[解析] 本题考查分层抽样．
设乙厂生产的总数为n 件，则80－50n ＝80
4800，
解得n ＝1800. (理)(2014·天津高考)某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查．已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4 5 5 6，则应从一年级本科生中抽取________名学生． [答案] 60
[解析] 本题考查分层抽样．
∵人数比4 5 5 6，设每份为x ，
则4x ＋5x ＋5x ＋6x ＝20x ＝300，∴x ＝15， ∴一年级抽15×4＝60人．
12．今年3月份，某报社做了一次关于“什么是新时代的雷锋精神？”的调查，在A 、B 、C 、D 四个单位回收的问卷数依次成等差数列，共回收1000份，因报道需要，再从回收的问卷中按单位分层抽取容量为150的样本，若在B 单位抽30份，则在D 单位抽取的问卷是________份． [答案] 60
[解析] 因为在A 、B 、C 、D 四个单位回收的问卷数依次成等差数列，所以从A 、B 、C 、D 按单位分层抽取的容量也成等差数列，设公差为d ，则(30－d)＋30＋(30＋d)＋(30＋2d)＝150，所以d ＝15，所以在D 单位抽取的问卷是30＋2d ＝60份．
13．我校高三(4)班共有56人，学生编号依次为1,2,3，…，56，现用系统抽样的方法抽取一个容易为4的样本，已知编号为6,34,48的同学在样本中，那么还有一位同学的编号应为________． [答案] 20
[解析] 系统抽样也是等距抽样，因为第三、第四两段中抽取的编号之差为14， 所以第二段中抽取的编号与第一段中抽取的编号之差也为14， 所以还有一位同学的编号应为20. 14. (2015·银川第一次质检)如图是甲、乙两名篮球运动员2014年赛季每场比赛得分的茎叶图，则甲、乙两人比赛得分的中位数之和是________.
甲 乙
7
1 2 6 2 8 2 3 1 9 6 4 5
3 1 2
[答案] 54
[解析] 甲得分为：17,22,28,34,35,26，其中位数为28＋34
2＝31；乙得分为：12,16,21,23,29,31,32，其中位数为23，故甲、乙两人比赛得分的中位数之和是54.
15．某高中共有学生2000名，已知在全校学生中随机抽取1名，抽到高三年级男生的概率是0.1，现用分层抽样的方法在全校抽取若干名学生参加社区服务，相关信息如下表：
年级 高一 高二 高三 男生(人数) a 310 b 女生(人数) c d 200 抽样人数
x
15
10
则x ＝________.
[答案] 25
[解析] 由抽到高三年级男生的概率是0.1，可得b ＝200，设在全样抽取n 名学生参加社区服务，
则有n 2000＝10200＋200，解得n ＝50，
∴x ＝50－15－10＝25.
三、解答题(本大题共6个小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
16．(本小题满分12分)某校从参加高三模拟考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩(均为整数)分成六段[90,100)，[100,110)，…，[140,150]后得到如下部分频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：
(1)求分数在[120,130)内的频率，并补全这个频率分布直方图；
(2)统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表，据此估计本次考试的平均分． [解析] (1)分数在[120,130)内的频率为：
1－(0.1＋0.15＋0.15＋0.25＋0.05)＝1－0.7＝0.3. 频率组距＝0.3
10
＝0.03，补全后的直方图如下：
(2)平均分为：
x －
＝95×0.1＋105×0.15＋115×0.15＋125×0.3＋135×0.25＋145×0.05＝121.
17．(本小题满分12分)对甲、乙两名自行车赛手在相同条件下进行了6次测试，测得他们的最大速度(m/s)的数据如下表.
甲 27 38 30 37 35 31 乙
33
29
38
34
28
36
(1)画出茎叶图，由茎叶图你能获得哪些信息？
(2)分别求出甲、乙两名自行车赛手最大速度(m/s)数据的平均数、中位数、标准差，并判断选谁参加比赛更合适．
[解析] (1)画茎叶图，中间数为数据的十位数
甲 乙
7 2 8 9 8 7 5 1 0 3 3 4 6 8
从这个茎叶图上可以看出，甲、乙的得分情况都是分布均匀的，只是乙更好一些；乙的中位数是33.5，甲的中位数是33.因此乙发挥比较稳定，总体得分情况比甲好．
(2)根据公式得：x 甲＝33，x 乙＝33；s 甲＝3.96，s 乙＝3.35；甲的中位数是33，乙的中位数是33.5.综合比较，选乙参加比赛较为合适． 18．(本小题满分12分)(2014·北京高考)从某校随机抽取100名学生，获得了他们一周课外阅读时间(单位：小时)的数据，整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图：
组号 分组 频数 1 [0,2) 6 2 [2,4) 8 3 [4,6) 17 4 [6,8) 22 5 [8,10) 25 6 [10,12) 12 7 [12,14) 6 8 [14,16) 2 9 [16,18) 2 合计
100
(1)从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的概率； (2)求频率分布直方图中的a ，b 的值；
(3)假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计样本中的100名学生该周课外阅读时间的平均数在第几组．(只需写出结论)
[解析] 思路分析：(1)从频率分布表中读出阅读时间不少于12小时人数求概率． (2)利用频率比组距为小矩形的高求解． (3)由图作出估计应为第4组．
(1)根据频数分布表，100名学生中课外阅读时间不少于12小时的学生共有6＋2＋2＝10名，所以样本中的学生课外阅读时间少于12小时的频率是1－10
100＝0.9. 从该校随机选取一名学生，估计其课外阅读时间少于12小时的概率为0.9. (2)课外阅读时间落在组[4,6)的有17人，频率为0.17， 所以a ＝频率组距
＝0.17
2＝0.085.
课外阅读时间落在组[8,10)的有25人，频率为0.25， 所以b ＝频率组距
＝0.25
2＝0.125.
(3)样本中的100名学生课外阅读时间的平均数为
1×6＋3×8＋5×17＋7×22＋9×25＋11×12＋13×6＋15×2＋17×2
100
＝7.68
在第4组．
19．(本小题满分12分)地震、海啸、洪水、森林大火等自然灾害频繁出现，紧急避险常识越来越引起人们的重视．某校为了了解学生对紧急避险常识的了解情况，从七年级和八年级各选取100名同学进行紧急避险常识知识竞赛．图(1)和图(2)分别是对七年级和八年级参加竞赛的学生成绩按[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80]分组，得到的频率分布直方图．
(1)分别计算参加这次知识竞赛的两个年级学生的平均成绩；(注：统计方法中， 同一组数据常用该组区间的中点值作为代表)
(2)完成下面2×2列联表，并回答是否有99%的把握认为“两个年级学生对紧急避险常识的了解有差异”？
成绩小于60分人数 成绩不小于60分人数 合计
七年级 八年级 合计
附：K2＝n ad －bc 2
a ＋
b
c ＋
d a ＋c b ＋d
.临界值表：
P(K2≥k) 0.10 0.05 0.010 k
2.706
3.841
6.635
[解析] (1)七年级学生竞赛平均成绩为
(45×30＋55×40＋65×20＋75×10)÷100＝56(分)， 八年级学生竞赛平均成绩为
(45×15＋55×35＋65×35＋75×15)÷100＝60(分)． (2)2×2列联表如下：
成绩小于60分人数 成绩不小于60分人数 合计 七年级 70 30 100 八年级 50 50 100 合计
120
80
200
∴K2＝200× 50×30－50×70 2
100×100×120×80
≈8.333>6.635， ∴有99%的把握认为“两个年级学生对紧急避险常识的了解有差异”． 20．(本小题满分13分)某种产品的广告费支出x 与销售额(单位：百万元)之间有如下对应数据：
x 2 4 5 6 8
y 30 40 50 60
70
如果y 与x 之间具有线性相关关系． (1)作出这些数据的散点图； (2)求这些数据的线性回归方程；
(3)预测当广告费支出为9百万元时的销售额． [解析] (1)
(2)x －＝5，y －
＝50，∑i ＝15xiyi ＝1 390，∑i ＝1
5
x2i ＝145，
b ＝
∑i ＝1
5
xiyi －5x －·y
－
∑i ＝1
5
x2
i －5x －
2＝7，a ＝y －－b x －
＝15，
∴线性回归方程为y ＝7x ＋15. (3)当x ＝9时，y ＝78.
即当广告费支出为9百万元时，销售额为78百万元．
21．(本小题满分14分)(文)某单位N 名员工参加“社区低碳你我他”活动．他们的年龄在25岁至50岁之间．按年龄分组：第1组[25,30)，第2组[30,35)，第3组[35,40)，第4组[40,45)，第5组[45,50]，由统计的数据得到的频率分布直方图如图所示，下表是年龄的频率分布表．
区间 [25,30) [30,35) [35,40) [40,45) [45,50] 人数
25
a
b
(1)求正整数a ，b ，N 的值；
(2)现要从年龄较小的第1,2,3组中用分层抽样的方法抽取6人，则年龄在第1,2,3组中抽取的人数分别是多少？
(3)在(2)的条件下，从这6人中随机抽取2人参加社区宣传交流活动，求恰有1人在第3组的
概率．
[解析] (1)由频率分布直方图可知，[25,30)与[30,35)两组的人数相同， 所以a ＝25人． 且b ＝25×0.08
0.02＝100人． 总人数N ＝25
0.02×5＝250人．
(2)因为第1,2,3组共有25＋25＋100＝150人，利用分层抽样在150名员工中抽取6人，每组抽取的人数分别为： 第1组的人数为6×25
150＝1， 第2组的人数为6×25
150＝1， 第3组的人数为6×100
150＝4，
所以第1,2,3组分别抽取1人，1人，4人．
(3)由(2)可设第1组的1人为A ，第2组的1人为B ，第3组的4人分别为C1，C2，C3，C4，则从6人中抽取2人的所有可能结果为：(A ，B)，(A ，C1)，(A ，C2)，(A ，C3)，(A ，C4)，(B ，C1)，(B ，C2)，(B ，C3)，(B ，C4)，(C1，C2)，(C1，C3)，(C1，C4)，(C2，C3)，(C2，C4)，(C3，C4)，共有15种．
其中恰有1人年龄在第3组的所有结果为：(A ，C1)，(A ，C2)，(A ，C3)，(A ，C4)，(B ，C1)，(B ，C2)，(B ，C3)，(B ，C4)，共有8种． 所以恰有1人年龄在第3组的概率为8
15.
(理)已知某单位有50名职工，现要从中抽取10名职工，将全体职工随机按1～50编号，并按编号顺序平均分成10组，按各组内抽取的编号依次增加5进行系统抽样.
8 1 7 0 3 6 8 9 6 2 5 7 5 9 (1)若第5组抽出的号码为22，写出所有被抽出职工的号码；
(2)分别统计这10名职工的体重(单位：公斤)，获得体重数据的茎叶图如图所示，求该样本的方差；
(3)在(2) 的条件下，从这10名职工中随机抽取两名体重不轻于73公斤(≥73公斤)的职工，求体重为76公斤的职工被抽取到的概率． [解析] (1)由题意，第5组抽出的号码为22.
因为2＋5×(5－1)＝22，所以第1组抽出的号码应该为2， 抽出的10名职工的号码分别为2,7,12,17,22,27,32,37,42,47. (2)因为10名职工的平均体重为
x －＝1
10(81＋70＋73＋76＋78＋79＋62＋65＋67＋59)＝71，
所以样本方差为s2＝1
10(102＋(－1)2＋22＋52＋72＋82＋(－9)2＋(－6)2＋(－4)2＋(－12)2)＝52.
(3)从10名职工中随机抽取两名体重不轻于73公斤的职工，共有10种不同的取法：(73,76)，(73,78)，(73,79)，(73,81)，(76,78)，(76,99)，(76,81)，(78,79)，(78,81)，(79,81)． 记“体重为76公斤的职工被抽取”为事件A ，故所求概率为P(A)＝410＝2
5.