(完整版)复变函数习题答案第2章习题详解
第二章习题详解
1． 利用导数定义推出： 1)
()1
-=n n nz
z '
（n 为正整数）
解： ()
()()()()z z z z z n n z nz z z z z z z n
n n n n z n n z n
????????-??????++-++=-+=--→→Λ2210
0121lim
lim '
()()1
1210121----→=?????
?++-+=
n n n n z nz z z z n n nz ???Λlim 2) 211z z -=??
?
??'
解： ()()2
0001111
11z z
z z z z z z z z z z z z z z z -=+-=+-=-
+=??? ??→→→?????????lim lim lim '
2． 下列函数何处可导？何处解析？ 1)
()iy x z f -=2
解：设()iv u z f +=，则2
x u =，y v -=
x x u 2=??，0=??y u ，0=??x
v
，1-=??y v 都是连续函数。 只有12-=x ，即2
1
-=x 时才满足柯西—黎曼方程。 ()iy x z f -=∴2在直线2
1
-=x 上可导，在复平面内处处不解析。
2)
()3332y i x z f +=
解：设()iv u z f +=，则3
2x u =，3
3y v =
26x x u =??，0=??y u ，0=??x
v ，29y y v =??都是连续函数。 只有2
296y x =，即032=±
y x 时才满足柯西—黎曼方程。
()3332y i x z f +=∴在直线032=±y x 上可导，在复平面内处处不解析。
3)
()y ix xy z f 22+=
解：设()iv u z f +=，则2
xy u =，y x v 2
=
2y x u =??，xy y u 2=??，xy x
v 2=??，2x y v =??都是连续函数。 只有2
2
x y =且xy xy 22-=，即0==y x 时才满足柯西—黎曼方程。
()iy x z f -=∴2在点()00,处可导，在复平面内处处不解析。
4)
()xshy i xchy z f cos sin +=
解：设()iv u z f +=，则xchy u sin =，xshy v cos =
xchy x u cos =??，xshy y u sin =??，xshy x
v
sin -=??，xchy y v cos =??都是连续函数。 完全满足柯西—黎曼方程。
()iy x z f -=∴2在复平面内处处可导，在复平面内处处解析。
3． 指出下列函数()z f 的解析性区域，并求出其导数。 1)
()51-z
解：()()415-=z z f
'
，()z f 在复平面内处处解析。
2) z i z 23
+ 解：()i z z f
232+='
，()z f 在复平面内处处解析。
3)
1
1
2-z 解：()()
2
2
12--
=z
z
z f
'
，1±≠z ，()z f 在复平面内除点1±≠z 外处处解析。
4)
d
cz b
az ++（c ，d 中至少有一个不为0）
解：()()()
2
2d cz bc
ad d cz b az c d cz a z f
+-=++-+=
'
当0≠c ，则当c d z -
≠时，()()
2
d cz bc ad z f +-='
，()z f 在复平面内除点c d z -≠外处处解析。 当0=c 时，则0≠d ，()d
a
z f =
'
，()z f 在复平面内处处解析。 4． 求下列函数的奇点：
1)
()
11
2
++z z z 解：令()
012
=+z z ，解得0=z ，i z ±=。故()()1
1
2
++=
z z z z f 有0、i 、i -三个奇点。 2)
()()
112
2
2++-z z z 解：令()()
0112
2
=++z z ，解得1-=z ，i z ±=。故()()()
112
2
2++-=
z z z z f 有1-、i 、i -三个奇点。 5． 复变函数的可导性与解析性有什么不同？判断函数的解析性有哪些方法？
解：复变函数的可导性是函数在某一点的局部性质，而解析性是函数在一个区域内的整体性质。判断函数的解析性有两种法。一是用定义，利用函数的可导性判断解析性；二是用定理：函数
()()()y x iv y x u z f ,,+=在其定义域D 内解析?()y x u ,和()y x v ,在D 内点iy x z +=可微，并且满
足柯西—黎曼方程。
6． 判断下列命题的真假，若真，请给以证明；若假，请举例说明。
1) 如果()z f 在0z 连续，那末()0z f '
存在；
解：假命题。例如，()yi x z f 2+=在复平面内任意一点0z 都连续，但不满足柯西—黎曼方程，故()
z f '
不存在。 2) 如果()z f
'
存在，那末()z f 在0z 解析；
解：假命题。例如，()y ix xy z f 2
2
+=，()z f 在点00=z 可导，但()yi x z f 2+=在0z 点不解析。 3) 如果0z 是()z f 的奇点，那末()z f 在0z 不可导；
解：假命题。例如，()i y x z f 3
3
+=在复平面内处处不解析，因此处处是奇点，但()z f 在0=±y x 上
的点均可导。
4) 如果0z 是()z f 和()z g 的一个奇点，那末0z 也是()()z g z f +和
()
()
z g z f 的奇点；
解：假命题。例如，()z z f =与()z z g -=在复平面内处处不解析，即复平面内任意一点0z 都是()z f 与
()z g 的奇点。但()()()
0=-+=+z z z g z f 在复平面内处处解析，即()()z g z f +在复平面内没有奇点。
5) 如果()y x u ,和()y x v ,可导（指偏导数存在），那末()iv u z f +=亦可导；
解：假命题。例如，设()yi x z f 2+=，则()x y x u =,，()y z v 2=均可导，但不满足柯西—黎曼方程，因此()z f 不可导。
6) 设()iv u z f +=在区域D 内是解析的。如果u 是实常数，那末()z f 在整个D 内是常数；如果v 是实
常数，那末()z f 在D 内也是常数。 解：真命题。下面证明：
因为()iv u z f +=在区域D 内解析，即满足柯西—黎曼方程：
y v x u ??=??，x v y
u ??-=??
如果u 是实常数，则
0=??=??y
v
x u ，0=??-=??x v y u ，即v 为实常数，故()z f 在D 内为常数。 如果v 是实常数，则
0=??=??y
v
x u ，0=??-=??x v y u ，即u 为实常数，故()z f 在D 内为常数。 7． 如果()iv u z f +=是z 的解析函数，证明：()()()22
2
z f z f y z f x '
=?
??
? ????+??? ????。 证明：()iv u z f +=Θ ()22v u z f +=
∴
()2
222
2221222??? ????+??+=??
???
???????+??+??=??? ????x v v x
u
u
v u v u x v v x u
u z f x ()2222
2221222???
? ????+??+=????
?
???????+??+??=???? ????y v v y u u v u v u y v v y u
u z f y ()iv u z f +=Θ在点z 处解析，y v x u ??=??∴
，x
v
y u ??-=?? ()()2
222
222
2
11???
? ????+??++??? ????+??+=???? ????
+??? ????y v v y u u v u x v v x u u v u z f y z f x
????
??????? ????+??-+??? ????+??+=???????????? ????+??+??? ????+??+=2222222
2
11
x u v x v u x v v x u u v u y v v y u u x v v x u u v u ???????
????
????+??? ??????-??? ????+??? ????+???
??????+??? ????+=2
222222222
221x u v x v x u uv x v u x v v x v x u uv x u u v u 2
222
2222222
2
1??
? ????+??? ????=??????????? ????+??? ????+??? ????+??? ????+=x v x u x u v x v u x v v x u u v u
()x v i x u z f ??+??='Θ ()2
22??
?
????+??? ????=∴x v x u z f ' ?
()()()22
2
z f z f y z f x '
=???
? ????+??? ????
8． 设(
)2
32
3lxy
x i y nx my +++为解析函数，试确定l 、m 、n 的值。
解：设()y nx my y x u 2
3
+=,，()2
3
lxy x y x v +=,，则
nxy x u 2=??，223nx my y u +=??，223ly x x v +=??，lxy y v 2=?? y
v
x u ??=??Θ
lxy nxy 22=∴ ? l n = x
v y u ??-=??Θ
()2
22233ly x nx my +-=+∴ ? ??
?-=-=l
m n 33
3-==∴l n ，1=m ，()2323lxy x i y nx my +++为解析函数
9． 证明柯西—黎曼方程的极坐标形式是：
???=??v r r u 1，?
??=
??v
r r u 1 证明：直角坐标与极坐标的转换公式为??
?==?
?
sin cos r y r x ，于是由复合函数求导得：
??sin cos y u x u r y y u r x x u r u ??+??=????+????=??
()()?θ???cos sin r y u r x u
y y u x x u u ??+-??=
????+????=??
??sin cos y v x v r y y v r x x v r v ??+??=????+????=??
()?????cos sin r y v r x v
y y v x x v v ??+-??=
????+????=?? y v x u ??=??Θ
，x
v
y u ??-=??
????sin cos sin cos x
u y u y v x v r v ??+??-=??+??=??
()???
? ????+??=??+-??=???????cos sin cos sin x u
y u r r y v r x v v ()()?????=
-??+??=??-u r x
u r y
u r
v r sin cos r
u x u y u v r ??=??+??=?????cos sin 1
即：
???=??v r r u 1，?
??=??v
r r u 1
10． 证明：如果函数()iv u z f +=在区域D 内解析，并满足下列条件之一，那末()z f 是常数。 1)
()z f 恒取实值；
证明：()z f 恒取实值，即()0=y x v ,。
()iv u z f +=Θ是解析函数，所以
0=??=??y
v
x u ，0=??-=??x v y u 0=??=???
y
u
x u 即()y x u ,为常数，故()z f 是常数。 2)
()z f 在D 内解析；
证明：因为()iv u z f +=在区域D 内解析，所以
y v x u ??=??，x v y
u ??-=??
又为()iv u z f -=在区域D 内解析，所以
()y v x u ?-?=??，()x
v y u ?-?-=??
0=??=??=??=??∴
y
v
x v y u x u ，故()z f 是常数。 3)
()z f 在D 内是一个常数；
证明：设c v u =+2
2 ? ???
????=??+??=??+??022022y v v y u u x v v x u
u ?
???
????=??+??=??+??0
0y v v y u u x v v x
u
u 0=????????∴y
v y
u x v
x u
同时
y v x u ??=??，x v y u ??-=?? 成立。所以02
2=??
? ????+??? ????x v x u 0=??=??∴
x
v
x u ?
0=??=??=??=??y v x v y u x u 即u ，v 均为常数，故()z f 是常数。 4) ()z f arg 在D 内是一个常数； 证明：设()z f arg =?，则π?π≤≤-。 ○1如果2
π
?±
=，则0=u ，从而
0=??=??y u x u ，又()z f 在D 内解析，0=??=??=??=??y
v
x v y u x u ， 所以v 为常数，故()z f 是常数。
○2如果22π?π≤<-，则u v arctg =?，于是有???
????=??+??-=??+??-00y v u y u v x v u x
u
v
0=????????∴y
v y
u x v
x u
同时
y v x u ??=??，x v y u ??-=?? 成立。所以02
2=??
? ????+??? ????x v x u 0=??=??∴
x
v
x u ?
0=??=??=??=??y v x v y u x u 即u ，v 均为常数，故()z f 是常数。 ○3如果
π?π
≤<2
，则u
v
arctg
+=π?； 如果2
π
?π-
≤≤-，则u
v
arctg
+-=π?，与○2的讨论一样，可得到()z f 是常数。 5) c bv au =+，其中a ，b 与c 为不全为零的实常数。
证明：因为c bv au =+，且b a ,与c 为不全为零，所以a 和b 不能同时为零。
假设0≠a ，则有()bv c a u -=
1
，于是x v a b x u ??-=??，y v a b y
u ??-=??
()iv u z f +=在区域D 内解析，
y v x u ??=??，x v y
u
??-=??，0=??=??=??=???
y v x v y u x u ， 所以v 为常数，故()z f 是常数。 11． 下列关系是否正确？ 1) z
z e e =
解：设iy x z +=，则z iy x iy x iy x iy
x z
e e e e e e e e =====--+
2) z z cos cos = 解：()()
()z e e e e e e z iz iz iz iz iz iz cos cos =+=+=+=
---2
1
2121 3) z z sin sin = 解：()()
()z e e i
e e i e e i z iz iz iz iz iz iz sin sin =--=--=-=
---212121 12． 找出下列方程的全部解：
1) 0=z sin
解：0=z sin Θ，0=-∴-iz
iz
e
e ? 12=iz e ，即πn z =()Λ3210±±±=,,,n
2) 0=z cos
解：0=z cos Θ，0=+∴-iz
iz
e e ? 12-=iz e ，即ππ
n z +=
2
()Λ3210±±±=,,,n
3) 01=+z
e
解：01=+z
e Θ，1-=∴z
e ，即()i n z π12+=()Λ3210±±±=,,,n
4) 0=+z z cos sin 解：0=+z z cos sin Θ，()()02
121=++-∴
--iz iz iz iz e e e e i ? i e iz -=2， 即ππ
n z +=
2
()Λ3210±±±=,,,n
13． 证明：
1) ()212121z z z z z z sin sin cos cos cos -=+，()212121z z z z z z sin cos cos sin sin +=+ 证明：()()()()
22
112211212121212121iz iz iz iz iz iz iz iz e e i
e e i e e e e z z z z ------+++=
-sin sin cos cos ()()()()[]()()()()[
]
212121212121212141
41z z i z z i z z i z z i z z i z z i z z i z z i e e e e e e e e +----++----++--++++= ()()[]
()2121212
1
z z e e z z i z z i +=+=+-+cos ()(
)()()
22
112211212121212121iz iz iz iz iz iz iz iz e e i
e e e e e e i z z z z -----+++-=-sin cos cos sin
()()()()[]()()()()[]
21212121212121214141z z i z z i z z i z z i z z i z z i z z i z z i e e e e i e e e e i +----++----+-+-+--+= ()()[]
()21212121z z e e i
z z i z z i +=-=+-+sin 2) 12
2=+z z cos sin
证明：()()2
2222121??
?
???++??????-=+--iz iz iz iz e e e e i z z cos sin
()()124
1
2412222=++++--
=--z i z i z i z i e e e e 3) z z z cos sin sin 22=
证明：()212121z z z z z z sin cos cos sin sin +=+Θ 令21z z z ==，则z z z cos sin sin 22= 4) z
tg tgz
z tg 2
122-=
证明：()212121z z z z z z sin sin cos cos cos -=+Θ，()212121z z z z z z sin cos cos sin sin +=+ 令21z z z ==，则z z z 2
2
2sin cos cos -=，z z z cos sin sin 22=
z
tg tgz z
z z z z z z z z z z tg 2222212122222-=-=
-==∴cos sin cos sin sin cos cos sin cos sin
5) z z cos sin =??
?
??-2π，()z z cos cos -=+π 证明：[]
z e e e e e e i e e i z iz iz iz i iz i z i z i cos sin =+=?????
?-=????????-=??? ??----??? ??--??? ??-21212122222πππππ ()z z z z cos sin sin cos cos cos -=-=+πππ
6) y sh x z
222
+=cos cos ，y sh x z 222
+=sin sin
证明：()()()()
z i z i iz iz iz iz iz iz e e e e e e e e z z z z z
----++=??????+??????+===4
1
21212
cos cos cos cos cos
令iy x z +=，则iy x z -=
()()
z izi z izi z i iz z i iz z i iz z i iz z i iz z i iz e e e e e e e e e e e e +++=+++=
--------41
41 ()()()24
1
2414122222222-++++=+++=----y y x i x i x i y y x i e e e e e e e e
()()y sh x e e e e y y ix ix 222
22121+=??
?
???++??????+=--cos 同理可证：y sh x z
222
+=sin sin
()()
??
????-??????-===--z i z i iz iz e e i e e i z z z z z 21212sin sin sin sin sin
()()
z i iz z i iz z i iz z i iz z i iz z i iz z i iz z i iz e e e e e e e e e e e e ---+-+----+---=+---
=41
41 ()()()y y x i x i x i y y x i e e e e i e e e e 222222222241
24141----++++-=+---=
()()y sh x e e e e i y y ix ix 222
22121+=??
?
???++??????-=--sin 14． 说明：
1) 当∞→y 时，()iy x +sin 和()iy x +cos 趋于无穷大； 解：()y sh x iy x 22+=
+sin sin Θ，而+∞=∞
→y sh y 2lim ，()+∞=+∴∞
→iy x y sin lim
同理：()+∞=+∴∞
→iy x y cos lim
2) 当t 为复数时，1≤t sin 和1≤t cos 不成立。
解：由于t 为复数，可设()0≠=y iy t ，则112>+=
=y sh iy t cos cos
()+∞→+∞→-=
==-y e e shy iy t y
y 2
sin sin 故当t 为复数时，1≤t sin 和1≤t cos 不成立。 15． 求()i Ln -，()i Ln 43+-和它们的主值。
解：()()()[]??
?
??+-=+-+=-+-=-πππn i n i i i iArg i i Ln 2221arg ln ln Λ,,,210±±=n 主值为()i i 2
π
-
=-ln
()()??
?
?
?+-+=+-++-=+-ππn arctg
i i iArg i i Ln 2345434343ln ln Λ,,,210±±=n 主值为()??
? ??
-+=+-34543arctg i i πln ln 16． 证明对数的下列性质： 1) ()2121Lnz Lnz z z Ln +=
证明：()()()()()21212121212121z iArg z iArg z z z z iArg z z z z iArg z z z z Ln +++=+=+=ln ln ln ln 221121iArgz z iArgz z Lnz Lnz +++=+ln ln 所以：()2121Lnz Lnz z z Ln += 2) 2121
Lnz Lnz z z Ln -=???
?
?? 证明：()()2121212121
21Lnz Lnz z iArg z iArg z z z z iArg z z z z Ln -=-+-=???
? ??+=????
??ln ln ln 所以：212
1
Lnz Lnz z z Ln -=???
?
?? 17． 说明下列等式是否正确： 1) Lnz Lnz 22
= 解：设?i re z =
()()()()π?π???n i r n i r e r Ln re Ln Lnz i i 222222222
2++=++===ln ln Λ,,,210±±=n
(
)()()π?π??
m i r m i r re
Ln Lnz i 42222222++=++==ln ln Λ,,,210±±=m
所以 2Lnz 和Lnz 2的实部相同，但虚部不尽相同，故Lnz Lnz 22
=不正确。 2) Lnz z Ln 2
1
=
解：设?i re z =
??? ??++=??? ??++=???
? ??=π?π??n i r n i r e r Ln z Ln i 2221222ln ln Λ,,,210±±=n
()()??
?
??++=++==π?π??m i r m i r re Ln Lnz i 221221212121ln ln Λ,,,210±±=m 所以 z Ln 和
Lnz 2
1
的实部相同，但虚部不尽相同，故Lnz Lnz 22=不正确。 18． 求2
1πi
e -，4
1π
i e
+，i
3和()i
i +1的值。
解：ie i e e
e e
i
i
-=??? ?
?
-==--222
1
2
1πππ
π
sin cos
()i e i e e
e e
i i +=??? ?
?
+==+1224441
4
1
4
4
14
1ππππ
sin cos
()()()[]333232233
ln sin ln cos ln ln i e e e e e
n i n n i i iLn i
+====+πππ
()()
()()[]221242421ln sin ln cos ln i e
e
e i n n i i iLn i
+===+??
?
??+-?
?
?
??+-+ππππ Λ,,,210±±=n
19． 证明()1
-=a a
az
z '
，其中a 为实数。
证明：如果a 是整数，则()()()
11
-====a a aLnz
aLnz a az z
a
z aLnz e e z
'
'
'
如果a 不是整数，则()()()
11
-====a a z
a z a a az z
a
z z a e e z '
ln '
ln '
ln 20． 证明：
1) 12
2
=-z sh z ch ；
证明：()()()()1241241212122222
222=-+-++=??
?
???--??????+=-----z z z z z z z z e e e e e e e e z sh z ch
2) z ch z ch z sh 22
2
=+；
证明：()()()()241241212122222
22
2
+++-+=??
?
???++??????-=+----z z z z z z z z e e e e e e e e z ch z sh
()()z ch e e e e z z z z 22
1
22412222=+=+=
--
3) ()212121shz chz chz shz z z sh +=+，()212121shz shz chz chz z z ch +=+。 证明：()()()()
22
1122112
12121212121z z z z z z z z e e e e e e e e shz chz chz shz -----+++-=+ ()()
212121212121212141
41z z z z z z z z z z z z z z z z e e e e e e e e e e e e e e e e ----------++-+-= ()()
()2121212121212121214
1
41z z sh e e e e e e e e z z z z z z z z z z z z z z z z +=--++-+-=---+-+---+-+
()()()()
22
1122112
12121212121z z z z z z z z e e e e e e e e shz shz chz chz ------+++=+
()()
212121212121212141
41z z z z z z z z z z z z z z z z e e e e e e e e e e e e e e e e --------+--++++=
()
()
()2121212121212121214
1
41z z ch e e e e e e e e z z z z z z z z z z z z z z z z +=+--++++=---+-+---+-+ 21． 解下列方程：
1) 0=shz ；
解：0=shz Θ 0=-∴-z
z
e e 即02=z e ? πin z = Λ,,,210±±=n
2) 0=chz ；
解：0=chz Θ 0=+∴-z
z
e e 即12-=z e ? π??
?
??
+
=21n i z Λ,,,210±±=n 3) i shz =。
解：i shz =Θ i e
e z
z
2=-∴- 即0122=--z z ie e ? ()
02
=-i
e z
i e z
= ? ??
?
?
?+
=22ππn i z Λ,,,210±±=n 22． 证明()1932..与()2032..
()1932.. y chiy cos =，y i shiy sin =
证明：()()()[]y i y y i y e e chiy iy iy -+-++=+=-sin cos sin cos 2
1
21 []y y i y y i y cos sin cos sin cos =-++=
2
1
()()()[]y i y y i y e e shiy iy
iy ----+=-=-sin cos sin cos 2121
()y i y i y y i y sin sin cos sin cos =+-+=2
1
()2032.. ()()?
??+=++=+y ichx y shx iy x sh y
ishx y chx iy x ch sin cos sin cos
证明：()()()iy x iy x iy x iy x e e e e e e iy x ch ----++=+=
+2
1
21
()()[]()()[]
y e e i y e e y i y e y i y e x x x x x x sin cos sin cos sin cos ----++=-++=
2
1
21 y ishx y chx sin cos +=
()()()iy x iy x iy x iy x e e e e e e iy x sh ----+-=-=
+2
1
21 ()()[]()()[]
y e e i y e e y i y e y i y e x x x x x x sin cos sin cos sin cos ---++-=--+=21
21 y ichx y shx sin cos +=
23． 证明：shz 的反函数(
)
12++=z z Ln Acshz 。
证明：设shw z =，则Arcshz w =。 ()w w
e e shw z -+=
=2
1 ? w w e e z -+=
2 ? 0122=--w w ze e ? 12++=z z e w ? ()12++=z z Ln w 即()
12++=z z Ln Acshz
24． 已知平面流速的复势()z f 为： 1)
()2i z +；
2) 3
z ； 3)
1
1
2
+z ； 求流动的速度以及流线和等势线的方程。
复变函数试题及答案
1、复数i 212--的指数形式是 2、函数w = z 1将Z S 上的曲线()1122 =+-y x 变成W S (iv u w +=)上 的曲线是 3.若01=+z e ,则z ＝ 4、()i i +1= 5、积分()?+--+i dz z 22 22= 6、积分 ?==1sin 21z dz z z i π 7、幂级数()∑∞ =+0 1n n n z i 的收敛半径R= 8、0=z 是函数 z e z 1 11--的 奇点 9、=??? ? ??-=1Re 21z e s z z 10、将点∞,i,0分别变成0,i,∞的分式线性变换=w 二、单选题（每小题2分） 1、设α为任意实数，则α1=（ ） A 无意义 B 等于1 C 是复数其实部等于1 D 是复数其模等于1 2、下列命题正确的是（ ） A i i 2< B 零的辐角是零 C 仅存在一个数z,使得 z z -=1 D iz z i =1 3、下列命题正确的是（ ） A 函数()z z f =在z 平面上处处连续 B 如果()a f '存在,那么()z f '在a 解析 C 每一个幂级数在它的收敛圆周上处处收敛 D 如果v 是u 的共轭调和函数,则u 也是v 的共轭调和函数
4、根式31-的值之一是（ ） A i 2321- B 2 23i - C 223i +- D i 2321+- 5、下列函数在0=z 的去心邻域内可展成洛朗级数的是（ ） A z 1sin 1 B z 1cos C z ctg e 1 D Lnz 6、下列积分之值不等于0的是( ) A ? =-12 3z z dz B ? =-1 2 1z z dz C ?=++1242z z z dz D ?=1 cos z z dz 7、函数()z z f arctan =在0=z 处的泰勒展式为（ ） A ()∑∞ =+-02121n n n n z （z <1） B ()∑∞ =+-0 1221n n n n z （z <1） C ()∑∞ =++-012121n n n n z （z <1） D ()∑∞=-0 221n n n n z （z <1） 8、幂级数n n n z 20 1)1(∑∞ =+-在1
复变函数试题与答案
第一章 复数与复变函数 一、 选择题 1．当i i z -+= 11时，5075100z z z ++的值等于（ ） （A ）i （B ）i - （C ）1 （D ）1- 2．设复数z 满足3 )2(π = +z arc ，6 5)2(π = -z arc ，那么=z （ ） （A ）i 31+- （B ）i +-3 （C ）i 2321+- （D ）i 2 123+- 3．复数)2 ( tan πθπ θ<<-=i z 的三角表示式是（ ） （A ）)]2 sin()2 [cos(sec θπ θπθ+++i （B ）)]2 3sin()23[cos(sec θπ θπθ+++i （C ）)]23sin()23[cos(sec θπθπθ+++-i （D ）)]2 sin()2[cos(sec θπ θπθ+++-i 4．若z 为非零复数，则2 2z z -与z z 2的关系是（ ） （A ）z z z z 222≥- （B ）z z z z 22 2=- （C ）z z z z 22 2≤- （D ）不能比较大小 ５．设y x ,为实数，yi x z yi x z +-=++=11,1121且有1221=+z z ，则动点),(y x 的轨迹是（ ） （A ）圆 （B ）椭圆 （C ）双曲线 （D ）抛物线 ６．一个向量顺时针旋转 3 π ，向右平移３个单位，再向下平移１个单位后对应的复数为 i 31-，则原向量对应的复数是（ ） （A ）2 （B ）i 31+ （C ）i -3 （D ）i +3
７．使得2 2 z z =成立的复数z 是（ ） （A ）不存在的 （B ）唯一的 （C ）纯虚数 （D ）实数 ８．设z 为复数，则方程i z z +=+2的解是（ ） （A ）i +- 43 （B ）i +43 （C ）i -4 3 （D ）i --43 ９．满足不等式 2≤+-i z i z 的所有点z 构成的集合是（ ） （A ）有界区域 （B ）无界区域 （C ）有界闭区域 （D ）无界闭区域 10．方程232= -+i z 所代表的曲线是（ ） （A ）中心为i 32-，半径为2的圆周 （B ）中心为i 32+-，半径为２的圆周 （C ）中心为i 32+-，半径为2的圆周 （D ）中心为i 32-，半径为２的圆周 11．下列方程所表示的曲线中，不是圆周的为（ ） （A ） 22 1 =+-z z （B ）433=--+z z （C ） )1(11<=--a az a z （D ）)0(0>=-+++c c a a z a z a z z 12．设,5,32,1)(21i z i z z z f -=+=-=，则=-)(21z z f （ ） （A ）i 44--（B ）i 44+（C ）i 44-（D ）i 44+- 13．0 0) Im()Im(lim 0z z z z x x --→（ ） （A ）等于i （B ）等于i -（C ）等于0（D ）不存在 14．函数),(),()(y x iv y x u z f +=在点000iy x z +=处连续的充要条件是（ ） （A ）),(y x u 在),(00y x 处连续（B ）),(y x v 在),(00y x 处连续 （C ）),(y x u 和),(y x v 在),(00y x 处连续（D ）),(),(y x v y x u +在),(00y x 处连续
复变函数经典例题
第一章例题 例1.1试问函数二-把」平面上的下列曲线分别变成 ].；平面上的何种曲线? (1) 以原点为心，2为半径，在第一象项里的圆弧； (2) 倾角 二的直线； (3) 双曲线''■='。 解 设Z = x + =r(cosfi + ι SiIl θ)7 = y + jv = Λ(cos
0 特别，取 - ，则由上面的不等式得 ∣∕(z)∣>l∕(z o )∣-^ = M>0 因此， f ② 在匚邻域 内就恒不为0。 例1.3 设 /⑵ 4C ri ) (3≠o) 试证一 在原点无极限，从而在原点不连续。
证令变点匚—…:弓仁门 1 F ,则 而沿第一象限的平分角线 故「匚在原点无确定的极限，从而在原点不连续。 第二章例题 例2.1 北）= 匚在二平面上处处不可微 证易知该函数在二平面上处处连续。但 Δ/ _ z+?z -z _ ?z ?z ?z ?z 零时，其极限为一1。故匚处处不可微。 证因UaJ ）二倆，呛J ） = C I 。故 但 /(?) - /(0) _ λj?j ?z ? + i?y 从而 （沿正实轴。一 H ） 当I: 「时，极限不存在。因 二取实数趋于O 时，起极限为1 ,二取纯虚数而趋于 例2.2 在了 — 1满足定理 2.1的条件，但在_ I.不可微。 M (ΔJ 7O)-?(O,O) = 0 = v∕0,0) (O f O) = Ii(Q i Ly)-Ii(Ofi) Ay
复变函数经典习题及答案
练习题 一、选择、填空题 1、下列正确的是（ A ）； A 1212()Arg z z Argz Argz =+； B 1212()arg z z argz argz =+； C 1212()ln z z lnz lnz =+； D 10z Ln Ln Lnz Lnz z ==-=. 2、下列说法不正确的是（ B ）； A 0()w f z z =函数在处连续是0()f z z 在可导的必要非充分条件； B lim 0n n z →∞=是级数1 n n z ∞=∑收敛的充分非必要条件； C 函数()f z 在点0z 处解析是函数()f z 在点0z 处可导的充分非必要条件； D 函数()f z 在区域D 内处处解析是函数()f z 在D 内可导的充要条件. 3、(34)Ln i -+=（ 45[(21)arctan ],0,1,2,3ln i k k π++-=±± ）， 主值为（ 4 5(arctan )3 ln i π+- ）. 4、2|2|1 cos z i z dz z -=? =（ 0 ）. 5、若幂级数0n n n c z ∞=∑ 在1(1)2z = +处收敛，那么该级数在45 z i =处的敛散性为（ 绝对收敛 ）. 6、 311z -的幂级数展开式为（ 30n n z ∞=∑ ），收敛域为（ 1z < ）； 7、 sin z z -在0z =处是（ 3 ）阶的零点； 8、函数221 (1)z z e -在0z =处是（ 4 ）阶的极点； 二、计算下列各值 1．3i e π+； 2．tan()4i π -； 3．(23)Ln i -+； 4 ． 5．1i 。 解：（略）见教科书中45页例2.11 - 2.13
复变函数习题及解答
第一章 复变函数习题及解答 写出下列复数的实部、虚部；模和辐角以及辐角的主值；并分别写成代数形式，三角形式和指数形式．(其中,,R αθ为实常数) （1）1-； （2） ππ2(cos isin )33-； （3）1cos isin αα-+； （4）1i e +； （5）i sin R e θ ； （6）i + 答案 （1）实部－1；虚部 2；辐角为 4π2π,0,1,2,3k k +=±±L ；主辐角为4π 3； 原题即为代数形式；三角形式为 4π4π2(cos isin )33+；指数形式为4π i 32e ． （2）略为 5π i 3 5π5π 2[cos sin ], 233i e + （3）略为 i arctan[tan(/2)][2sin()]2c e αα （4）略为 i ;(cos1isin1)ee e + （5）略为：cos(sin )isin(sin )R R θθ+ （6）该复数取两个值 略为 i i isin ),arctan(1isin ),πarctan(1θθ θθθθθθ+=+=+ 计算下列复数 1）() 10 3 i 1+-；2）()3 1i 1+-； 答案 1）3512i 512+-；2） ()13π/42k π i 6 3 2e 0,1,2k +=； 计算下列复数 （1 （2 答案 （1 （2）(/62/3) i n e ππ+ 已知x
【解】 令 i ,(,)p q p q R =+∈，即,p q 为实数域(Real).平方得到 2 2 12()2i x p q xy +=-+，根据复数相等，所以 即实部为 ,x ± 虚部为 说明 已考虑根式函数是两个值，即为±值． 如果 ||1,z =试证明对于任何复常数,a b 有| |1 az b bz a +=+ 【证明】 因为||1,11/z zz z z =∴=∴=，所以 如果复数b a i +是实系数方程 ()011 10=++++=--n n n n a z a z a z a z P Λ的根，则b a i -一定也是该方程的根． 证 因为0a ，1a ，… ，n a 均为实数，故00a a =，11a a =，… ，n n a a =．且()() k k z z =， 故由共轭复数性质有：()() z P z P =．则由已知()0i ≡+b a P ．两端取共轭得 即()0i ≡-b a P ．故b a i -也是()0=z P 之根． 注 此题仅通过共轭的运算的简单性质及实数的共轭为其本身即得证．此结论说明实系数多项式的复零点是成对出现的．这一点在代数学中早已被大家认识．特别地，奇次实系数多项式至少有一个实零点． 证明： 2222 121212||||2(||||)z z z z z z ++-=+,并说明其几何意义． 若 (1)(1)n n i i +=-，试求n 的值. 【解】 因为 22 2244444444(1)2(cos sin )2(cos sin ) (1)2(cos sin )2(cos sin )n n n n n n n n n n n n i i i i i i ππππππππ+=+=+-=-=- 所以 44sin sin n n ππ=- 即为4sin 0n π =所以 4 ,4,(0,1,2,)n k n k k ππ===±±L 将下列复数表为sin ,cos θθ的幂的形式 （1） cos5θ； （2）sin5θ 答案 53244235 (1) cos 10cos sin 5cos sin (2) 5cos sin 10cos sin sin θθθθθ θθθθθ-+-+ 证明：如果 w 是1的n 次方根中的一个复数根，但是1≠w 即不是主根，则必有 对于复数 ,k k αβ，证明复数形式的柯西(Cauchy)不等式：
复变函数试题及标准答案样本
二．判断题（每题3分，共30分） 1．n z z (在0=z解析。【】 f= z )
2．)(z f 在0z 点可微，则)(z f 在0z 解析。【 】 3．z e z f =)(是周期函数。【 】 4． 每一种幂函数在它收敛圆周上处处收敛。【 】 5． 设级数∑∞=0n n c 收敛，而||0∑∞=n n c 发散，则∑∞ =0n n n z c 收敛半径为1。【 】 6． 1tan()z 能在圆环域)0(||0+∞<<< 复变函数与积分变换(A)参照答案与评分原则 (.7.5) 一.填空(各3分) 1.3ln 2i k e +-π； 2. 三级极点 ； 3. 23z ； 4. 0 ； 5. 0 ； 6. e 1 ；7. 322)1(26+-s s ；8. 0； 9. 0 ；10. )]2()2()2(1)2(1[ 21++-+++-ωπδωπδωωj j 。 二.判断1.错；2.错；3.对的； 4. 错 ；5.对的 ；6.错； 7.错 ； 8. 错 ；9. 对的 ；10. 错 。 三(8分) 解：1)在2||1< 复变函数试题与答案 Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT- 第一章 复数与复变函数 一、 选择题 1．当i i z -+= 11时，5075100z z z ++的值等于（ ） （A ）i （B ）i - （C ）1 （D ）1- 2．设复数z 满足3 )2(π = +z arc ，6 5)2(π = -z arc ，那么=z （ ） （A ）i 31+- （B ）i +-3 （C ）i 2 321+- （D ）i 2 1 23+- 3．复数)2 (tan πθπθ<<-=i z 的三角表示式是（ ） （A ）)]2 sin()2 [cos(sec θπ θπθ+++i （B ） )]2 3sin()23[cos( sec θπ θπθ+++i （C ）)]23sin()23[cos( sec θπθπθ+++-i （D ）)]2 sin()2[cos(sec θπ θπθ+++-i 4．若z 为非零复数，则22z z -与z z 2的关系是（ ） （A ）z z z z 222≥- （B ）z z z z 222=- （C ）z z z z 222≤- （D ）不能比较大小 ５．设y x ,为实数，yi x z yi x z +-=++=11,1121且有1221=+z z ，则动点),(y x 的轨迹是（ ） （A ）圆 （B ）椭圆 （C ）双曲线 （D ）抛物线 ６．一个向量顺时针旋转 3 π ，向右平移３个单位，再向下平移１个单位后对应的复数为i 31-，则原向量对应的复数是（ ） （A ）2 （B ）i 31+ （C ）i -3 （D ）i +3 ７．使得2 2z z =成立的复数z 是（ ） （A ）不存在的 （B ）唯一的 （C ）纯虚数 （D ）实数 ８．设z 为复数，则方程i z z +=+2的解是（ ） （A ）i +- 43 （B ）i +43 （C ）i -4 3 （D ）i -- 4 3 ９．满足不等式 2≤+-i z i z 的所有点z 构成的集合是（ ） （A ）有界区域 （B ）无界区域 （C ）有界闭区域 （D ）无 界闭区域 10．方程232=-+i z 所代表的曲线是（ ） 第一章 复 数与复变函数 一、 选择题 1．当i i z -+= 11时，5075100z z z ++的值等于（ ） （A ）z z z z 222≥- （B ）z z z z 222=- （C ）z z z z 222≤- （D ）不能比较大小 ５．设y x ,为实数，yi x z yi x z +-=++=11,1121且有1221=+z z ，则动点),(y x 的轨迹是（ ） （A ）圆 （B ）椭圆 （C ）双曲线 （D ）抛物线 ６．一个向量顺时针旋转 3 π ，向右平移３个单位，再向下平移１个单位后对应的复数为i 31-，则原向量对应的复数是（ ） （A ）2 （B ）i 31+ （C ）i -3 （D ）i +3 i （A ）中心为i 32-，半径为2的圆周 （B ）中心为i 32+-，半径为２的圆周 （C ）中心为i 32+-，半径为2的圆周 （D ）中心为i 32-，半径为２的圆周 11．下列方程所表示的曲线中，不是圆周的为（ ） （A ） 22 1 =+-z z （B ）433=--+z z （C ） )1(11<=--a az a z （D ）)0(0>=-+++c c a a z a z a z z 12．设,5,32,1)(21i z i z z z f -=+=-=，则=-)(21z z f （ ） （A ）i 44-- （B ）i 44+ （C ）i 44- （D ）i 44+- 0) Im()Im(z z -） 1 1．设) 2)(3() 3)(2)(1(i i i i i z ++--+= ，则=z 2．设)2)(32(i i z +--=，则=z arg 3．设4 3)arg(,5π = -=i z z ，则=z 习题一答案 1．求下列复数的实部、虚部、模、幅角主值及共轭复数： （1） 1 32i + （2） (1)(2) i i i -- （3）13 1 i i i - - （4）821 4 i i i -+- 解：（1） 132 3213 i z i - == + ， 因此： 32 Re, Im 1313 z z ==-， 232 arg arctan, 31313 z z z i ==-=+ （2） 3 (1)(2)1310 i i i z i i i -+ === --- ， 因此， 31 Re, Im 1010 z z =-=， 131 arg arctan, 31010 z z z i π ==-=-- （3） 133335 122 i i i z i i i -- =-=-+= - ， 因此， 35 Re, Im 32 z z ==-， 535 ,arg arctan, 232 i z z z + ==-= （4）821 41413 z i i i i i i =-+-=-+-=-+ 因此，Re1,Im3 z z =-=， arg arctan3,13 z z z i π ==-=-- 2．将下列复数化为三角表达式和指数表达式： （1）i（2 ）1 -+（3）(sin cos) r i θθ + （4）(cos sin) r i θθ -（5）1cos sin (02) i θθθπ -+≤≤解：（1）2 cos sin 22 i i i e π ππ =+= （2 ）1-+23 222(cos sin )233 i i e πππ=+= （3）(sin cos )r i θθ+()2 [cos()sin()]22 i r i re π θππ θθ-=-+-= （4）(cos sin )r i θ θ-[cos()sin()]i r i re θθθ-=-+-= （5）2 1cos sin 2sin 2sin cos 222 i i θ θθ θθ-+=+ 2 2sin [cos sin ]2sin 22 22 i i e πθ θπθ πθ θ ---=+= 3． 求下列各式的值： （1 ）5)i - （2）100100(1)(1)i i ++- （3 ）(1)(cos sin ) (1)(cos sin ) i i i θθθθ-+-- （4） 23(cos5sin 5)(cos3sin 3)i i ????+- （5 （6 解：（1 ）5)i -5[2(cos()sin())]66 i ππ =-+- 5 552(cos()sin()))66 i i ππ =-+-=-+ （2）100 100(1) (1)i i ++-50505051(2)(2)2(2)2i i =+-=-=- （3 ）(1)(cos sin ) (1)(cos sin )i i i θθθθ-+-- 2[cos()sin()](cos sin ) 33)sin()][cos()sin()]44 i i i i ππ θθππ θθ-+-+= -+--+- )sin()](cos2sin 2)12 12 i i π π θθ=- +- + (2)12 )sin(2)]12 12 i i π θπ π θθ- =- +- = 复变函数卷答案与评分标准 一、填空题： 1．叙述区域内解析函数的四个等价定理。 定理1 函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+在区域D 内解析的充要条件： （1）(,)u x y ，(,)v x y 在D 内可微， （2）(,)u x y ，(,)v x y 满足C R -条件。（3分） 定理2 函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+在区域D 内解析的充要条件： （1）,,,x y x y u u v v 在D 内连续， （2）(,)u x y ，(,)v x y 满足C R -条件。（3分） 定理3 函数()f z 在区域D 内解析的充要条件：()f z 在区域D 内连续，若闭曲线C 及内部包含于D ，则()0C f z dz =? 。 （3分） 定理4 函数()f z 在区域D 内解析的充要条件：()f z 在区域D 内每一点a ，都能展成x a -的幂级数。（3分） 2．叙述刘维尔定理：复平面上的有界整函数必为常数。（3分） 3、方程2z e i =+的解为：11ln 5arctan 222 i k i π++，其中k 为整数。（3分） 4、设()2010sin z f z z +=，则()0Re z s f z ==2010。（3分） 二、验证计算题（共16分）。 1、验证()22,2u x y x y x =-+为复平面上的调和函数，并求一满足条件()12f i i =-+的解析函数()()(),,f z u x y iv x y =+。（8分） 解：（1）22u x x ?=+?，222u x ?=?；2u y y ?=-?，222u y ?=-?。 由于22220u u y x ??+=??，所以(,)u x y 为复平面上的调和函数。（4分） （2）因为()f z 为解析函数，则(),u x y 与(),v x y 满足C.-R.方程，则有 22v u x y x ??==+??，所以(,)2222()v x y x dy xy y C x =+=++? 2,v u y x y ??=-=??又2()v y C x x ?'=+? ，所以 ()0C x '=，即()C x 为常数。 第一章 复变函数习题及解答 1.1 写出下列复数的实部、虚部；模和辐角以及辐角的主值；并分别写成代数形式，三角形式和指数形式．(其中,,R αθ为实常数) （1）1-； （2） ππ2(cos isin )33-； （3）1cos isin αα-+； （4）1i e +； （5）i sin R e θ ； （6）i + 答案 （1）实部－1；虚部 2；辐角为 4π 2π,0,1,2,3k k +=±±；主辐角为4π 3； 原题即为代数形式；三角形式为 4π4π2(cos isin )33+；指数形式为4π i 32e ． （2）略为 5π i 3 5π5π 2[cos sin ], 233i e + （3）略为 i arctan[tan(/2)][2sin()]2c e αα （4）略为 i ;(cos1isin1)ee e + （5）略为：cos(sin )isin(sin )R R θθ+ （6）该复数取两个值 略为 i i isin ),arctan(1isin ),πarctan(1θθ θθθθθθ+=+=+ 1.2 计算下列复数 1）() 10 3 i 1+-；2）()3 1i 1+-； 答案 1）3512i 512+-；2） ()13π/42k π i 6 3 2e 0,1,2k +=； 1.3计算下列复数 （1 （2 答案 （1） （2）(/62/3) i n e ππ+ 1.4 已知x 的实部和虚部． 【解】 令 i ,(,)p q p q R =+∈，即,p q 为实数域(Real).平方得到 2 2 12()2i x p q xy +=-+，根据复数相等，所以 22 1,(p q pq p x q x ?-=??=??=±==±+ 即实部为 ,x ± 虚部为 说明 已考虑根式函数是两个值，即为±值． 1.5 如果 ||1,z =试证明对于任何复常数,a b 有| |1 az b bz a +=+ 【证明】 因为||1,11/z zz z z =∴=∴=，所以 1() ()1||||| |||||||1()az b az b az b z az b az b z bz a bz a z z bzz az b az b az +++++=====+++++ 1.6 如果复数b a i +是实系数方程 ()011 10=++++=--n n n n a z a z a z a z P 的根，则b a i -一定也是该方程的根． 证 因为0a ，1a ，… ，n a 均为实数，故00a a =，11a a =，… ，n n a a =．且()() k k z z =， 故由共轭复数性质有：()()z P z P =．则由已知()0i ≡+b a P ．两端取共轭得 ()( ) 00i i =≡+=+b a P b a P 即()0i ≡-b a P ．故b a i -也是()0=z P 之根． 注 此题仅通过共轭的运算的简单性质及实数的共轭为其本身即得证．此结论说明实系数多项式的复零点是成对出现的．这一点在代数学中早已被大家认识．特别地，奇次实系数多项式至少有一个实零点． 1.7 证明： 2222 121212||||2(||||)z z z z z z ++-=+,并说明其几何意义． 1.8 若 (1)(1)n n i i +=-，试求n 的值. 第一章 复数与复变函数 一、选择题： 1．当i i z -+= 11时，5075100z z z ++的值等于（ ） （A ）i （B ）i - （C ）1 （D ）1- 2．设复数z 满足3 )2(π = +z arc ，6 5)2(π= -z arc ，那么=z （ ） （A ）i 31+- （B ）i +-3 （C ）i 2 32 1+ - （D ）i 2 12 3+ - 3．复数z -3(cos -isin )5 5 π π =的三角表示式为（ ） A ．44-3(cos isin )5 5 ππ＋ B ． 443(cos isin )55ππ－ C ． 443(cos isin )5 5 ππ＋ D ．44-3(cos isin )5 5 ππ－ 4．函数),(),()(y x iv y x u z f +=在点000iy x z +=处连续的充要条件是（ ） （A ）),(y x u 在),(00y x 处连续 （B ）),(y x v 在),(00y x 处连续 （C ）),(y x u 和),(y x v 在),(00y x 处连续（D ）),(),(y x v y x u +在),(00y x 处连续 二、填空题 1．设) 2)(3()3)(2)(1(i i i i i z ++--+= ，则=z 2．设)2)(32(i i z +--=，则=z arg 3．设4 3)arg(,5π=-=i z z ，则=z 4．方程i z i z +-=-+221所表示的曲线是连续点 和 的线段的垂直平分线. 5．=+++→)21(lim 4 2 1z z i z 三.求方程z 3+8=0的所有复根. 第二章 解析函数 一、选择题： 《复变函数论》试题库 《复变函数》考试试题（一） 一、 判断题（20分）： 1.若f(z)在z 0的某个邻域内可导，则函数f(z)在z 0解析. ( ) 2.有界整函数必在整个复平面为常数. ( ) 3.若 } {n z 收敛，则 } {Re n z 与 } {Im n z 都收敛. ( ) 4.若f(z)在区域D 内解析，且 0)('≡z f ，则C z f ≡)(（常数）. ( ) 5.若函数f(z)在z 0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. ( ) 6.若z 0是)(z f 的m 阶零点，则z 0是1/)(z f 的m 阶极点. ( ) 7.若 ) (lim 0 z f z z →存在且有限，则z 0是函数f(z)的可去奇点. ( ) 8.若函数f(z)在是区域D 内的单叶函数，则)(0)('D z z f ∈?≠. ( ) 9. 若f (z )在区域D 内解析, 则对D 内任一简单闭曲线C 0)(=? C dz z f . ( ) 10.若函数f(z)在区域D 内的某个圆内恒等于常数，则f(z)在区域D 内恒等于常数.（ ） 二.填空题（20分） 1、 =-?=-1||0 0)(z z n z z dz __________.（n 为自然数） 2. =+z z 2 2cos sin _________. 3.函数z sin 的周期为___________. 4.设 11 )(2+= z z f ，则)(z f 的孤立奇点有__________. 5.幂级数 n n nz ∞ =∑的收敛半径为__________. 6.若函数f(z)在整个平面上处处解析，则称它是__________. 7.若ξ=∞→n n z lim ，则=+++∞→n z z z n n (i) 21______________. 8.= )0,(Re n z z e s ________，其中n 为自然数. 第一套 第一套 一、选择题（每小题3分，共21分） 1. 若（ ），则复函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+是区域D 内的连续函数。 A. (,)u x y 、(,)v x y 在区域D 内连续； B. (,)u x y 在区域D 内连续； C. (,)u x y 、(,)v x y 至少有一个在区域D 内连续； D. 以上都不对。 2. 解析函数()f z 的实部为sin x u e y =，根据柯西-黎曼方程求出其虚部为（ ）。 A.cos x e y C -+； B cos x e y C -+； C sin x e y C -+； D cos x e y C + 3. 2|2|1(2)z dz z -==-?（ ） 。 A. i π2； B. 0； C. i π4； D. 以上都不对. 4. 函数()f z 以0z 为中心的洛朗展开系数公式为（ ）。 A. 1 01 ()2()n n f d c i z ξξ πξ+= -? B. 0()!n n f z c n = C. 2 01()2n k f d c i z ξξπξ= -? D. 210! ()2()n n k n f d c i z ξξ πξ+= -? 5. z=0是函数z z sin 2 的（ ）。 A.本性奇点 B.极点 C. 连续点 D.可去奇点 6. 将点∞，0，1分别映射成点0，1，∞的分式线性映射是（ ）。 A.1 z z w -= B. z 1z w -= C. z z 1w -= D. z 11 w -= 7. sin kt =（）L （ ），（()Re 0s >）。 A. 22k s k +； B.22k s s +； C. k s -1； D. k s 1 . 二、填空题（每小题3分，共18分） 1. 23 (1)i += [1] ； ---------------------------------------- 装 --------------------------------------订 ------------------------------------- 线 ---------------------------------------------------- 第一章例题 例1.1试问函数把平面上的下列曲线分别变成平面上的何种曲线？ （1）以原点为心，2为半径，在第一象项里的圆弧； （2）倾角的直线； （3）双曲线。 解设，则 因此 （1）在平面上对应的图形为：以原点为心，4为半径，在上半平面的半圆周。（2）在平面上对应的图形为：射线。 （3）因，故，在平面上对应的图形为：直线 。 例1.2设在点连续，且，则在点的某以邻域内恒不为0. 证因在点连续，则，只要，就有 特别，取，则由上面的不等式得 因此，在邻域内就恒不为0。 例1.3设 试证在原点无极限，从而在原点不连续。 证令变点，则 从而（沿正实轴） 而沿第一象限的平分角线，时，。 故在原点无确定的极限，从而在原点不连续。 第二章例题 例2.1在平面上处处不可微 证易知该函数在平面上处处连续。但 当时，极限不存在。因取实数趋于0时，起极限为1，取纯虚数而趋于零时，其极限为－1。故处处不可微。 例 2.2函数在满足定理2.1的条件，但在不可微。 证因。故 但 在时无极限，这是因让沿射线随 而趋于零，即知上式趋于一个与有关的值。 例2.3讨论的解析性 解因, 故 要使条件成立，必有，故只在可微，从而，处处不解析。例2.4讨论的可微性和解析性 解因, 故 要使条件成立，必有，故只在直线上可微，从而，处处不解析。 例2.5讨论的可微性和解析性，并求。 解因, 而 在复平面上处处连续且满足条件，从而在平面上处处可微，也处处解析。且 。 例2.6设确定在从原点起沿负实轴割破了的平面上且，试求 之值。 解设，则 由代入得 解得：，从而 。 例2.7设则 且的主值为。 例2.8考查下列二函数有哪些支点 (a) (b) 解（a）作一条内部含0但不含1的简单闭曲线, 当沿正方向绕行一周时,的辐角得到增量,的辐角没有改变, 即 从而 故的终值较初值增加了一个因子，发生了变化，可见0是的支点。同理1 也是其支点。 任何异于0，1的有限点都不可能是支点。因若设是含但不含0，1的简 一、填空题（每小题2分） 1、复数i 212-- 的指数形式是 2、函数w =z 1将Z S 上的曲线()1122=+-y x 变成W S (iv u w +=)上 的曲线是 3.若01=+z e ,则z ＝ 4、()i i +1= 5、积分()?+--+i dz z 2222= 6、积分 ?==1sin 21z dz z z i π 7、幂级数()∑∞ =+0 1n n n z i 的收敛半径R= 8、0=z 是函数 z e z 1 11- -的 奇点 9、=??? ? ??-=1Re 21z e s z z 10、将点∞,i,0分别变成0,i,∞的分式线性变换=w 二、单选题（每小题2分） 1、设α为任意实数，则α1=（ ） A 无意义 B 等于1 C 是复数其实部等于1 D 是复数其模等于1 2、下列命题正确的是（ ） A i i 2< B 零的辐角是零 C 仅存在一个数z,使得z z -=1 D iz z i =1 3、下列命题正确的是（ ） A 函数()z z f =在z 平面上处处连续 B 如果()a f '存在,那么()z f '在a 解析 C 每一个幂级数在它的收敛圆周上处处收敛 D 如果v 是u 的共轭调和函数,则u 也是v 的共轭调和函数 4、根式31-的值之一是（ ） A i 232 1- B 2 23i - C 223i +- D i 2 3 21+ - 5、下列函数在0=z 的去心邻域内可展成洛朗级数的是（ ） A z 1sin 1 B z 1 cos C z ctg e 1 D Lnz 6、下列积分之值不等于0的是( ) A ? =- 1 2 3 z z dz B ?=- 1 2 1 z z dz C ?=++12 42z z z dz D ?=1 cos z z dz 7、函数()z z f arctan =在0=z 处的泰勒展式为（ ） A ()∑∞ =+-0 2121n n n n z （z <1） B () ∑∞ =+-0 1 221n n n n z （z <1） C ()∑∞ =++-0 1 2121n n n n z （z <1） D () ∑∞ =-0 221n n n n z （z <1） 8、幂级数n n n z 20 1)1(∑∞ =+-在1 复变函数与积分变换试题与答案 1.（5）复数z与点(,) x y对应,请依次写出z的代数、几何、三角、指数表达式和z的3次方根。 2.（6）请指出指数函数z e w=、对数函数z w ln =、正切函数=的解析域，并说明它们的解析域是哪类点集。 z w tan 3.（9）讨论函数2 2i =的可导性，并求出函数)(z z f+ ) (y x f在可导点的导数。另外，函数) f在可导点解析吗？是或否请说明 (z 理由。 4.（7）已知解析函数v u z f i )(+=的实部y x y u 233-=，求函数 v u z f i )(+=的表达式，并使0)0(=f 。 5.（6×2）计算积分： （1）?+-C n z z z 1 0) (d , 其中C 为以0z 为圆心,r 为半径的正向圆周, n 为正整数； （2）?=+-3||2d ) 2()1(e z z z z z 。 6.（5×2）分别在圆环 （1）1||0< 7.（12）求下列各函数在其孤立奇点的留数。 (1) 3 sin )(z z z z f -=; (2) z z z f sin 1)(2=; (3) 11 e )(-=z z z f . 8.（7）分式线性函数、指数函数、幂函数的映照特点各是什么。 9.（6分）求将上半平面 0)Im( z 保形映照成单位圆 1|| w 的分式线性函数。 10.（5×2）（1）己知 F )()]([ωF t f =，求函数)52(-t f 的傅里叶变换； （2）求函数) i 5)(i 3(2 )(ωωω++= F 的傅里叶逆变换。 基本要求 1． 正确理解复变函数积分的概念；01()lim ()n k k C k f z dz f z λζ→==?∑? 2． 掌握复变函数积分的一般计算法；()()()(())()C C f z dz u iv dx idy f z t z t dt βα '=++=??? 3． 掌握并能运用柯西—古萨基本定理和牛顿—莱布尼茨公式来计算积分； ()0C f z d z =? ，10 10()()()z z f z dz G z G z =-? 4． 掌握闭路变形定理、复合闭路定理，并能运用其计算积分； 1()()C C f z dz f z dz =?? ，1()()k n C C k f z dz f z dz ==∑?? 5． 掌握并能熟练运用柯西积分公式；00 ()2()C f z dz if z z z π=-? 6． 掌握解析函数的高阶导数公式，理解解析函数的导数仍是解析函数，会用高阶导数公式计算积分。 0102()()()! n C if z f z dz z z n π+=-? 一、填空题 1．2||122z dz z z ==++? （ ） ； 2．22|1|111z z dz z -=+=-? （ ） ； 3．2||1cos ()z z dz z π==-? （ ） ； 4．设()f z 在单连通域D 内解析且不为零，C 为D 内任一条简单闭曲线，则()2()1() C f z f z dz f z '''++=? （ ）； 5．解析函数()f z 的导函数仍为（ ），且()()n f z =（ ）。 二、计算下列各题 1．计算积分2(2)C iz dz +?，C 是由(1,0)A 到(0,1)B 的直线段； 111.33 i -+ 2．计算积分22z C e dz z z +? ，:||2C z =； 22(1).i e π--复变函数试题与答案
复变函数测试题及答案
复变函数课后习题答案全
复变函数练习题及答案
第一章复变函数习题及解答
复变函数习题集(1-4)
复变函数题库(包含好多试卷,后面都有答案)
复变函数及积分变换试题及答案
复变函数经典例题
复变函数试题及答案
复变函数与积分变换试题及答案(2)
复变函数积分(练习题)