高等数学(专升本)
高等数学（专升本）-学习指南
一、选择题
1．函数(
)22ln 2z x y =+- D 】
A ．222x y +≠
B ．224x y +≠
C ．222x y +≥
D ．2224x y <+≤ 解：z 的定义域为：
42 0
40
2222
222≤+-+y x y x y x ，故而选D 。
2．设)(x f 在0x x =处间断，则有【D 】 A ．)(x f 在0x x =处一定没有意义；
B ．)0()0(0+≠-x f x f ; (即)(lim )(lim 0
0x f x f x x x x +
-→→≠)； C ．)(lim 0x f x x →不存在，或∞=→)(lim 0
x f x x ； D ．若)(x f 在0x x =处有定义，则0x x →时，)()(0x f x f -不是无穷小
3．极限2222123
lim n n n n n n →∞??++++= ??? 【 B 】 A ．14B ．1
2
C ．1
D ． 0
解：有题意，设通项为：
222212112121122n Sn n n n n n n n n n =
+++?+???=? ???????+==+ 原极限等价于：22212111
lim lim 222n n n n n n n →∞→∞????+++=+=???????
?
4．设2tan y x =，则dy =【 A 】
A ．22tan sec x xdx
B ．22sin cos x xdx
C ．22sec tan x xdx
D ．22cos sin x xdx
解：对原式关于x 求导，并用导数乘以dx 项即可，注意三角函数求导规则。
()()22'tan tan 2tan 2tan sec y x d x x dx
x x '=== 所以，22tan sec dy
x x dx
=，即22tan sec dy x xdx =
5．函数2(2)y x =-在区间[0,4]上极小值是【 D 】 A ．-1 B ．1 C ．2 D ．0
解：对y 关于x 求一阶导，并令其为0，得到()220x -=； 解得x 有驻点：x=2，代入原方程验证0为其极小值点。
6．对于函数(),f x y 的每一个驻点()00,x y ，令()00,xx A f x y =，()00,xy B f x y =，
()00,yy C f x y =，若20AC B -<，则函数【C 】
A ．有极大值
B ．有极小值
C ．没有极值
D ．不定 7．多元函数(),f x y 在点()00,x y 处关于y 的偏导数()00,y f x y =【C 】 A ．()()00000
,,lim
x f x x y f x y x ?→+?-? B ．()()
00000,,lim x f x x y y f x y x ?→+?+?-?
C ．()()00000
,,lim
y f x y y f x y y ?→+?-? D ．()()
00000,,lim y f x x y y f x y y
?→+?+?-?
8．向量a 与向量b 平行，则条件：其向量积0?=a b 是【B 】
A ．充分非必要条件
B ．充分且必要条件
C ．必要非充分条件
D ．既非充分又非必要条件 9．向量a 、b 垂直，则条件：向量a 、b 的数量积0?=a b 是【B 】 A ．充分非必要条件 B ．充分且必要条件
C ．必要非充分条件
D ．既非充分又非必要条件
10．已知向量a 、b 、c 两两相互垂直，
且1=a ，2=b ，3=c ，求()()+?-=a b a b 【C 】
A ．1
B ．2
C ．4
D ．8
解：因为向量a 与b 垂直，所以()sin ,1=a b ，故而有：
()()
()22sin ,22114
a +?-=????=?=??=???=a
b a b a a -a b +b a -b b b a
b a b
11．下列函数中，不是基本初等函数的是【B 】
A ．1x
y e ??= ???
B ．2ln y x =
C ．sin cos x y x = D
．y = 解：因为2ln x y =是由u y ln =，2x u =复合组成的，所以它不是基本初等函数。
12．二重极限422
lim
y x xy y x +→→【D 】
A ．等于0
B ．等于1
C ．等于2
1
D ．不存在
解：2
22420
lim 1x ky y xy k x y k =→=++与k 相关，因此该极限不存在。
13．无穷大量减去无穷小量是【D 】
A ．无穷小量
B ．零
C ．常量
D ．未定式 解：所谓的无穷大量，或者无穷小量只是指的是相对而言，变量的一种变化趋势，而非具体的值。
所以，相对的无穷大量减去相对的无穷小量没有实际意义，是个未定式。
14．201cos 2lim
sin 3x x
x
→-=【C 】 A ．1 B ．13 C ．29 D ．1
9
解：根据原式有：
()
22
420
32sin 22
lim 16sin 24sin 994sin 3sin x x
x x x x →=
=
=
-+-+
15．设(sin cos )x y e x x x =-，则'y =【D 】 A ．(sin cos )x e x x x + B ．sin x xe x
C ．(cos sin )x e x x x -
D ．(sin cos )sin x x e x x x xe x -+ 解：对原式直接求导，注意乘积项的求导即可。
(sin cos )x
y e x x x ''??=-??
()()
(sin cos )(sin cos )(sin cos )(cos cos sin )sin sin cos x x x x x e x x x e x x x e x x x e x x x x e x x x x x ''=-+-=-+-+=+- (sin cos )sin x x y e x x x xe x '=-+
16．直线1L 上的一个方向向量()1111,,m n p =s ，直线2L 上的一个方向向量
()1222,,m n p =s ，若1L 与2L 平行，则【B 】 A ．1212121m m n n p p ++=B ．
111
222
m n p m n p ==
C ．1212120m m n n p p ++=
D ．
111
222
1m n p m n p ++= 17．平面1∏上的一个方向向量()1111,,A B C =n ，平面2∏上的一个方向向量
()2222,,A B C =n ，若1∏与2∏垂直，则【C 】 A ．1212121A A B B C C ++= B ．
111
222A B C A B C ==
C ．1212120A A B B C C ++=
D ．
111
222
1A B C A B C ++= 18．若无穷级数1
n n u ∞
=∑收敛，而1
n n u ∞
=∑发散，则称称无穷级数1
n n u ∞
=∑【C 】
A ．发散
B ．收敛
C ．条件收敛
D ．绝对收敛 19．下面哪个是二次曲面中抛物柱面的表达式【A 】 A ．2x ay = B ．22x ay =
C ．22221x y a b -=
D ．22
221x y a b
+=
20．设D 是矩形：0,0x a y b ≤≤≤≤，则D
dxdy =??【 A 】
A . ab B. 2ab C. ()k a b + D. kab
解：关于单位1对于一个矩形区域进行二重积分就是计算矩形区域的面积。 由题意知：0,0x a y b ≤≤≤≤，则：()()00D
dxdy a b ab =--=??
21．设()1f x x =+，则()()1f f x +=【D 】
A ．x
B ．1x +
C ．2x +
D ．3x +
解：由于1)(+=x x f ，得 )1)((+x f f 1)1)((++=x f ＝2)(+x f 将1)(+=x x f 代入，得)1)((+x f f =32)1(+=++x x
22．利用变量替换x
y
v x u ==,，一定可以把方程z y z y x z x =??+??化为新的方程【A 】 A ．z u z u
=?? B ．z v z v =?? C ．z v z u =?? D ．z u
z
v =?? 解：z 是x ，y 的函数，从u x =，y
v x
=可得x u =，y uv =，故z 是u ，v 的函数，又因为u x =，y v x
=。 所以z 是x,y 的复合函数，故
21z z z y x u v x
???-=?+????，1
0z z z y u v x ???=?+????，从而
左边=z
z
z
y z
y z
z
z
x y x x u x y u x v x v u u ???????+=-+==??????? 因此方程变为： z
u z u
?=?
23．曲线2x
y e =在点(0,1)处的切线斜率是【A 】
A ．12
B ．1
2
e C ．2 D ．12e
解：22
12
x x y e e '??'== ???。
所以，在点(0,1)处，切线的斜率是：2
0112
2
x x e
==
24．2lim 3
n
n n →∞=【 A 】
A ．0
B ．14
C ．13
D ．1
2
解：因为2
013
<<
22lim lim 33n
n n n n →∞→∞??= ???
， 所以2lim 03
n
n n →∞=
25．sin lim x x
x
→∞
=【 C 】 A ．cos x B ．tan x C ．0 D ．1 解：因为 1sin 1x -≤≤有界，
所以 sin lim 0x x
x
→∞=
26．已知向量{}3,5,8=m ，{}2,4,7=--n ，{}5,1,4=p ，求向量43=+-a m p n 在
y 轴上的投影及在z 轴上的分量【A 】
A ．27，51
B ．25，27
C ．25，51
D ．27，25 解：A
{}{}{}
()(){}{}
43,5,85,1,42,4,743352,45314,4834725,27,51=+---=?+?-?+?--?+?--=a 因此 Prj 27y =a ，51z =a k k
27．向量a 与x 轴与y 轴构成等角，与z 轴夹角是前者的2倍，下面哪一个代表的是a 的方向【C 】
A ．2πα=，2πβ=，4πγ=
B ．4πα=，4πβ=，8π
γ=
C ．4πα=，4πβ=，2πγ=
D ．απ=，2πβ=，2
π
γ=
解：C
设a 的方向角为α、β、γ，按题意有
α=β，γ=2α
由于 222cos cos cos 1αβγ++= 即 222cos cos cos 21ααα++= 化简得到()22cos 2cos 10αα-= 解得 cos 0α=
或cos 2
α=±
因为α、β、γ都在0到π的范围里，因此可以通过解反三角函数得到：
4
π
α=
，4
π
β=
，2
π
γ=
或者2
π
α=
，2
π
β=
，γπ=
28．已知向量a 垂直于向量23=-+b i j k 和23=-+c i j k ，且满足于
()2710?+-=a i j k ，求a =【B 】 A ．75---i j k B ．75i +j +k
C ．53---i j k
D ．5i +3j +k
解：B
因为a 垂直于向量b 和c ，故而a 必定与?b c 平行，因此
()()23175123
λλλ=?=-=----i
j
k
a b c i j k
又因为()2710?+-=a i j k
即：()()752710λ---?+-=i j k i j k 解得 1λ=-，所以 75=a i +j +k
29．若无穷级数1
n n u ∞
=∑收敛，且1
n n u ∞
=∑收敛，则称称无穷级数1
n n u ∞
=∑【D 】
A ．发散
B ．收敛
C ．条件收敛
D ．绝对收敛 30．设D 是方形域：01,01x y ≤≤≤≤，D
xyd σ=??【 D 】
A. 1
B.
12 C. 13D . 14
解：D
()()
1,1112200
0,011
44D xyd dx xydy x y σ===????
31．若()()1x e a
f x x x -=-，0x =为无穷间断点，1x =为可去间断点，则a =【 C 】
A ．1
B ．0
C ．e
D ．1e -
解：由于0=x 为无穷间断点，所以0)(0≠-=x x
a e ，故1≠a 。若0=a ，则1
=x 也是无穷间断点。由1=x 为可去间断点得e a =，故选C 。
32．设函数)(),(x g x f 是大于零的可导函数，且0)()()()(<'-'x g x f x g x f ， 则当b x a <<时，有【 A 】
A ．)()()()(x g b f b g x f >
B ．)()()()(x g a f a g x f >
C ．)()()()(b g b f x g x f >
D ．)()()()(a g a f x g x f > 解：考虑辅助函数,0)
()
()()()()(,)()()(2<'-'='=
x g x g x f x g x f x F x g x f x F 则 .)(严格单调减少函数则x F ,)
()
()()(,b g b f x g x f b x ><时当 ).().()()()(A b f x g b g x f 应选即有>
33．函数函数2
35y x =+可能存在极值的点是【 B 】
A ．5x =
B ．0x =
C ．1x =
D ．不存在
解：由作图知道，函数在第二象限是减函数，在第一象限是增函数。 当x=0时，函数取得最小值y=5。
34．tan 3sec y x x x =-，则'y =【 D 】 A ．tan 3sec tan x x x - B ．2tan sec x x x +
C ．2sec 3sec tan x x x x -
D ．2tan sec 3sec tan x x x x x +-
解：()()()2tan 3sec tan 3sec tan sec 3sec tan y x x x x x x x x x x x ''''=-=-=+-
35．设1
sin y x x
=，则dy =【 C 】
A ．111(sin cos )dx x x x +
B ．
111(cos sin )dx x x x - C ．111(sin cos )dx x x x - D ．111
(cos sin )dx x x x
+
解：对y 关于x 求一阶导有：
1111sin (sin cos )dy y x x x x x dx '?
?'==-= ???
所以，111(sin cos )dy dx x x x
=-
36．设直线
34
x y y
k ==与平面293100x y z -+-=平行，则k 等于【 A 】 A . 2 B. 6 C. 8 D. 10
解：直线的方向向量为()3,,4k ，平面的法向量为()2,9,3-。 因为直线和平面平行，所以两个向量的内积为0。
即：329340k ?-?+?= 得到：2k =
37．若2(,)2f x y x y =+，则'(1,0)x f =【 A 】
A . 4 B. 0 C. 2 D. 1- 解：因为()()2,24x x
f x y x y x ''=+=
所以()1,0414x f '=?=
38．'(,)x f x y 和'(,)y f x y 在点00(,)x y 连续是(,)f x y 在点00(,)x y 可微分的【A 】 A .充分条件 B.必要条件 C.充要条件 D.无关条件 解：由定理直接得到：如果函数(),z f x y =的偏导数,z z
x y
????在点(),x y 连续，则函数在该点的全微分存在。
39．在xoy 面上求一个垂直于向量{}5,3,4=-a ，且与a 等长的向量b =【D 】
A
．??? B
．?
??
C
．???D
．?
??
解：由题意设向量{},,0x y =b ，因为a 垂直于b 且a b =，所以有：
0?=?=b a 2253050x y x y -=??+=?
由以上方程解得x =
±
y =x ，y 同号
故而所求向量?=??
b
或者??=????b
40．微分方程3dy
x
y x dx
=+的通解是【 B 】 A. 34x c x + B. 32x cx + C. 32x c + D. 3
4
x cx +
解：32dy y
x
y x y x dx x
'=+?-= 令()1p x x
=-，()2
q x x =
由一阶线性非齐次微分方程的公式有：
()()()()23
12
p x dx p x dx p x dx
y Ce e q x e dx
Cx x x dx
x
x Cx ---???=+?=+?=+?
?
二、判断题
1．21,y y 是齐次线性方程的解，则1122C y C y +也是。（ ） 2．(),y f y y '''=（不显含有x ），令y p '=，则y p '''=。（ ）
解：根据微分方程解的性质得到dp
y p dy
''=。
3．对于无穷积分，有()()lim b
b
t
t f x dx f x dx -∞
→-∞=??。（
）
4．()f x 在0x 的邻域内可导，且()00f x '=，若：当0x x <时，()0f x '>；当0
x x >
时，()0f x '<。则0x 为极小值点。（
）
解：根据极值判定定理第一充分条件，0x 为极大值点。
5．()f x 在[],a b 上连续，在(),a b 上有一阶导数、二阶导数，若对于
()(),,0x a b f x ''?∈<,则()f x 在[],a b 上的图形是凸的。（ ）
6．二元函数222z x y =--的极大值点是()0,0。（
）
解：原式中20x ≥，当且仅当x=0时，取到极小值0 ； 同样，20y ≥，当且仅当y=0时，取到极小值0 。 所以，函数的极小值点位于（0，0）
7．设()arctan z xy =，其中x y e =，则dz
dx
=1。（ ）
解：直接求微计算： ()()()()()()
22
2
arctan 1
1111x x
d xy dz dxy dx dxy dx
dy y x dx xy y xe xy y xe xy =??
?=?+ ??
?+=?+++=
+
8．设V 由01x ≤≤，01y ≤≤，01z ≤≤所确定，则v
dv =???1。（
）
解：由题意得到积分区域V 为各向尺度为1的立方体，其体积即为1。
9．函数ln ln z x y =+的定义域是(){},|0,0x y x y >>。（ ）
解：由对数定义得到(){},|0,0x y x y >>。
10．设xy z xe =，则
z
x
?=?()1xy xy e +。（ ）
11．21,y y 是齐次线性方程的线性无关的特解，则1122C y C y +是方程的通解。(
)
12．齐次型微分方程
dx x dy y ???= ???
，设x v y =，则dx dv v y dy dy =+。(
) 13．对于瑕积分，有()()lim b
b
a t
t a
f x dx f x dx +→=??，其中a 为瑕点。()
14．()f x 在0x 的邻域内可导，且()00f x '=，若：当0x x <时，()0f x '<，当0x x >时，()0f x '>。则0x 为极大值点。(
)
解：根据极值判定定理第一充分条件，0x 为极小值点。
15．设)(x f y =在区间I 上连续，0x 是()f x 的内点，如果曲线)(x f y =经过点()()00,x f x 时，曲线的凹凸性改变了，则称点()()00,x f x 为曲线的拐点。()
16．设D 是矩形区域(){},|01,03x y x y ≤≤≤≤，则D
dxdy =?? 1 （
）
解：显然该积分表示长为3，宽为1的矩形面积，值应为3。
17．若积分区域D 是2214x y ≤+≤，则D
dxdy =??3π。（
）
解：2214x y ≤+≤是一个外环半径为2，内环半径为1的圆环，积分式D
dxdy ??是
在圆环上单位1的二重积分，所以求的是圆环的面积。 原式=22413πππ?-?=
18．设V 是由22z x y ≥+，14z ≤≤所确定，函数()f z 在[]1,4上连续，那么
()v f z dxdydz =???()14e π
-。（ ） 解：()v
f z dxdydz =
???()2
1
2
14
r dt re dr e π
π
=
-?
?。
19．设不全为0的实数1λ，2λ，3λ使1230a b c λλλ++=v v
v v ，则三个向量,,a b c v v v 共面。（
）
20．二元函数()()2264z x x y y =--的极大值点是极大值()3,236f =。（
）
21．若*1122y C y C y y =++为非齐次方程的通解，其中21,y y 为对应齐次方程的
解，*
y 为非齐次方程的特解。(
)
解：根据齐次线性方程解的性质，1y 与2y 必须是线性无关的解，*y 是其特解。
22．若函数()f x 在区间[],a b 上连续，则[],a b ξ?∈，使得()()()b
a f x dx f
b a ξ=-?。
()
23．函数()f x 在0x 点可导()()00f x f x -+''?=。(
)
24．()f x 在0x 处二阶可导，且()00f x '=，()00f x ''≠。若()00f x ''<，则0x 为极大值点。(
)
25．若()lim x a
f x →=∞，则a x =为一条水平渐近线。()
解：根据函数渐近线的定义和概念可以得到，a x =为一条铅直渐近线。
26．设Ω表示域：2221x y z ++≤，则zdv Ω
=???1。（
）
解：由定义得知Ω表示以原点为中心，半径为1的正球体，故而z 轴方向关于球体的积分值为0。
27．微分方程x y y e '+=的通解为y =1
2x x e ce -+。（ ）
解：'x y y e +=对应的线性一阶齐次方程是：
0x dy dy y dx y Ce dx y
-+=?=-?= 结合原方程，等式右边项含x ，所以通项公式为：
()x y C x e -=
将通项公式带入原式，得到：
()()x x dy
C x e C x e dx --'=- 代入x dy
y e dx
+=，得到：
()()()()()21
2
x x x x x
x x x C x e C x e y e C x e e C x e e dx C C x e C
---'-+='?=?=?+?=+?
最后得到：21122x x x x y e C e e Ce --??
=+=+ ???
28．设3a =v ，5b =v ，4c =v
，且满足0a b c ++=v v v v ，则a b b c c a ?+?+?=v v v v v v 6。（
）
解：经计算向量积得到模值为36。
29．ln 2y z x x ?
?=+ ??
?,则z x ?=?2412x x y x ++。（
）
30．设D 为()0,0O ，()1,0A 与()0,1B 为顶点三角形区域，(),D
f x y dxdy =
??()10
,x
dx f x y dy ??。
（ ）
31．若*1122y C y C y y =++为非齐次方程的通解，其中21,y y 为对应齐次方程的
解，
*y 为非齐次方程的解。
（ ）
解：根据齐次线性方程解的性质，1y 与2y 必须是线性无关的解，*y 是其特解。
32．若()F x 为()f x 的一个原函数，则()()()b
a f x dx F
b F a =-?。（
）
33．函数可微?可导，且()()00dy f x x f x dx ''=?=。（
）
34．()f x 在0x 处二阶可导，且()00f x '=，()00f x ''≠。若()00f x ''>，则0x 为极小值点。（ ）
解：根据极值判定定理第二充分条件可以直接得到。
35．若()lim x f x b →∞
=，则b y =为一条铅直渐近线。（ ）
解：根据函数渐近线的定义和概念可以得到，b y =为一条水平渐近线。 36．二元函数()223z x y =++的最小值点是()0,0。（
）
解：因为原式中20x ≥，当且仅当x=0时，取到极小值0 ； 同样，20y ≥，当且仅当y=0时，取到极小值0 。 所以，函数的极小值点位于（0，0）
37．微分方程2sin y y x ''+=的一个特解应具有的形式是()()sin cos ax b x cx d x +++。
（ ）
解：原微分方程的特征函数是：210λ+=，1w =。 得到两个无理根：i λ=±。
即iw ±是特征根。
因此，特解的形式为：*()sin ()cos y ax b x cx d x =+++
38．设()ln z x x y =+，则2z x y ?=
??(
)2x
x y +（ ）
解：经计算得到微分表达式()
2
x
x y -+。
39．微分方程22x y y y e '''-+=的通解为y =()2x x a bx e cx e ++。（ ）
解：由微分方程通解求解准则直接得到。
40．设V 由x y z k ++≤，01x ≤≤，01y ≤≤，0z ≥所确定，且7
4v
xdxdydz =???，
则k =143
。（ ）
解：变换积分方程即可求得。
三、填空题
1．若???<≤+<<-=2
0102sin 2x x x x y ，则=)2(π
y 。
解：2
14
π+
1.572x π
=≈，因此2
2
11224y πππ????=+=+ ? ?????
。
2．求arcsin y x =的导数y '= 。 解：
2
1x
-此函数的反函数为，故则：
3．设1
arctan
y x
=，则dy = 。
解：2
1
1dy dx x =-
+ 22211
11arctan 111dy y x x x dx x '?
???
'==
?-=-= ? ?+?
???
??+ ???
所以，2
1
1dy dx x =-+
4．设,23,a i k b i j k =-=++
求a b ?= 。
解：333i j k -+
由101333.23
1
i j k
a b i j k ?=-=-+
5．将函数2
()2x
f x x x =
+-展开成x 的幂级数是 。
解：()011(1),
1132n n n n x x ∞=??---<
∑
2111111
()()(2)(1)32313112
n f x x x x x x x =
=-=--+-++-
因为：
()0
11,22212
n n n x x x ∞
==-<<-∑
而且：()0
1
(1),
111n n n x x x ∞
==--<<+∑
所以，()0001111()(1)(1),113232n n n n n n n n n n f x x x x x ∞∞∞===????=--=---<
6．极限 。
解：0
lim
sin sin x x x x
→=0
21
010sin lim 1sin lim )sin 1sin (lim sin 1
sin
lim
00020=?=?==→→→→x x x x x x x x x x x x x x x
7．求3232342
lim 753
x x x x x →∞-+=+- 。
解：37
8．2232sin lim 2cos x x x x
x x x
→∞-+=-- 。
解：1
原式：2232sin lim 2cos x x x x
x x x
→∞-+--
原式分子sin x 有界，分母cos x 有界，其余项均随着x 趋于无穷而趋于无穷。 这样，原式的极限取决于分子、分母高阶项的同阶系数之比。
9．设ABC ?的顶点为(3,0,2)A ,(5,3,1)B ,(0,1,3)C -，求三角形的面积是 。
由向量的模的几何意义知ABC ?的面积1||2
S AB AC =?
.
因为{2,3,1},{3,1,1}AB AC =-=--
得 2 3 1273 1 2
i j k
AB AC i j k ?=-=++--
，所以
||AB AC ?===
S =
10．无穷级数的和是 。 解：
2227
先将级数分解：
第二个级数是几何级数，它的和已知
求第一个级数的和转化为幂级数求和，考察
230
111124
(1)(1)()1222427
(1)2
n
n n n n S ∞
=--===+∑ 因此原级数的和 422227327
A =+=
11．已知22lim 222=--++→x x b
ax x x ，则=a _____，=b _____。
解：2a =，8b =-
由所给极限存在知, 024=++b a , 得42--=a b ,
又由234
12lim 2lim 2222=+=+++=--++→→a x a x x x b ax x x x , 知8,2-==b a 。
12．已知
y =
y '=
。
2
1(1)(1)2
n
n n n n ∞
=--+∑2000
111(1)(1)(1)(1)().222n
n n n n n n n A n n n n ∞
∞∞
====--+=--+-∑∑∑0
112
().123
1()2
n n ∞
=-==--∑0
1
(1)1n n n x x
∞
=-=
+∑(1)x
30
012()(1)(1)(1)()1(1)n
n n n n n S x n n x
x x x ∞
∞-==''??''=--=-==??++??
∑∑?
11111234x x x x ?
+--?----?
先两边取对数
再两边求导
因为
所以
13．2
(2cos csc )x x dx -=? 。
解：2sin cot x x C ++ 直接积分就可以得到：
22
(2cos csc )2cos csc 2sin cot x x dx xdx xdx x x C -=-=++???
14．求平行于z 轴，且过点()11,0,1M 和()22,1,1M -的平面方程是 。 解：10x y +-=
由于平面平行于z 轴，因此可设这平面的方程为：
0A x
B y
D ++=
因为平面过1M 、2M 两点，所以有
20A D A B D +=??
-+=?
解得A D =-，B D =-，以此代入所设方程并约去()0D D ≠，便得到所求的平面方程：10x y +-=
15．无穷级数1
1
(1)!
n n n n ∞
+=+∑的收敛发散性是 。 解：收敛
因为：1122
(2)!(2)11
1()1(1)(1)!(1)(1)n n n n n u n n n n n u n n n e n
+++++=?=→<→∞++++
所以：无穷级数1
1
(1)!
n n n n ∞
+=+∑收敛 16．30tan sin lim tan 3x x x
x
→-= 。
解：
1
54
17．计算广义积分2
1
1dx x +∞
-∞=+? 。 解：π
18
．设cot )cos y x x x -，则'y = 。
解：1
4
2
1
1
23333341cos sin cot cos csc cos cos 33y x x x x x x x x x x x x -
'=--++
)
cot )cos y x x x ''=
-
2
2
14211
2
33333(cot )cos cot )cos cot )cos 1
(cot )cos csc )cos cot )sin 3
41cos sin cot cos csc cos cos 33
x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x --'''=
--+-=-++--=--++
2021年专升本高等数学公式全集
专升本高等数学公式（全） 常数项级数： 是发散的 调和级数：等差数列：等比数列：n n n n q q q q q n n 1 312112 )1(3211111 2 +++++= ++++--= ++++- 级数审敛法： 散。 存在，则收敛；否则发、定义法： 时，不确定 时，级数发散 时，级数收敛 ，则设：、比值审敛法： 时，不确定时，级数发散 时，级数收敛 ，则设：别法）：—根植审敛法（柯西判—、正项级数的审敛法n n n n n n n n n n s u u u s U U u ∞ →+∞→∞ →+++=?? ? ??=><=?? ? ??=><=lim ;3111lim 2111lim 1211 ρρρρρρρρ 。的绝对值其余项，那么级数收敛且其和 如果交错级数满足—莱布尼兹定理： —的审敛法或交错级数1113214321,0lim )0,(+∞→+≤≤?????=≥>+-+-+-+-n n n n n n n n u r r u s u u u u u u u u u u u 绝对收敛与条件收敛： ∑∑∑∑>≤-+++++++++时收敛 １时发散ｐ 级数： 收敛； 级数：收敛； 发散，而调和级数：为条件收敛级数。收敛，则称发散，而如果收敛级数；肯定收敛，且称为绝对收敛，则如果为任意实数；，其中11 1 )1(1)1()1()2()1()2()2()1(232121p n p n n n u u u u u u u u p n n n n
幂级数： 01 0)3(lim )3(111 1111 221032=+∞=+∞=== ≠==><+++++≥-<++++++++∞ →R R R a a a a R R x R x R x R x a x a x a a x x x x x x x n n n n n n n n 时，时，时，的系数，则是，，其中求收敛半径的方法：设称为收敛半径。 ，其中时不定 时发散时收敛 ，使在数轴上都收敛，则必存收敛，也不是在全 ，如果它不是仅在原点 对于级数时，发散 时，收敛于 ρρρ ρρ 函数展开成幂级数： +++''+'+===-+=+-++-''+-=∞→++n n n n n n n n n x n f x f x f f x f x R x f x x n f R x x n x f x x x f x x x f x f ! )0(!2)0()0()0()(00 lim )(,)()!1()()(! )()(!2)())(()()(2010)1(00)(2 0000时即为麦克劳林公式：充要条件是：可以展开成泰勒级数的余项：函数展开成泰勒级数：ξ 某些函数展开成幂级数： ) ()!12()1(!5!3sin )11(!)1()1(!2)1(1)1(121532+∞<<-∞+--+-+-=<<-++--++-+ +=+--x n x x x x x x x n n m m m x m m mx x n n n m 可降阶高阶微分方程 类型一：()()n y f x = 解法（多次积分法）：(1)()()n du u y f x f x dx -=?=?令多次积分求 类型二：''(,')y f x y =
高等数学 专升本考试 模拟题及答案
高等数学（专升本）-学习指南 一、选择题1．函数2 2 2 2 ln 2 4z x y x y 的定义域为【 D 】A ．2 2 2x y B ．2 2 4x y C ．2 2 2x y D ．2 2 24 x y 解：z 的定义域为： 420 4 022 2 2 2 2 2 y x y x y x ，故而选D 。 2．设)(x f 在0x x 处间断，则有【D 】A ．)(x f 在0x x 处一定没有意义；B ．)0() 0(0 x f x f ; (即)(lim )(lim 0 x f x f x x x x )； C ．)(lim 0 x f x x 不存在，或)(lim 0 x f x x ； D ．若)(x f 在0x x 处有定义，则0x x 时，)()(0x f x f 不是无穷小 3．极限2 2 2 2 123lim n n n n n n 【B 】 A ． 14 B ． 12 C ．1 D ． 0 解：有题意，设通项为： 2 2 2 2 12112 12112 2n Sn n n n n n n n n n 原极限等价于：2 2 2 12111lim lim 2 22 n n n n n n n 4．设2 tan y x ，则dy 【A 】
A ．22tan sec x xdx B ．2 2sin cos x xdx C ．2 2sec tan x xdx D ．2 2cos sin x xdx 解：对原式关于x 求导，并用导数乘以dx 项即可，注意三角函数求导规则。2 2' tan tan 2tan 2tan sec y x d x x dx x x 所以， 2 2tan sec dy x x dx ，即2 2tan sec dy x xdx 5．函数2 (2)y x 在区间[0,4]上极小值是【 D 】 A ．-1 B ．1 C ．2 D ．0 解：对y 关于x 求一阶导，并令其为0，得到220x ； 解得x 有驻点：x=2，代入原方程验证0为其极小值点。6．对于函数,f x y 的每一个驻点00,x y ，令00,xx A f x y ，00,xy B f x y ， 00,yy C f x y ，若2 0AC B ，则函数【C 】 A ．有极大值 B ．有极小值 C ．没有极值 D ．不定7．多元函数,f x y 在点00,x y 处关于y 的偏导数00,y f x y 【C 】A ．0 00 ,,lim x f x x y f x y x B ．0 00 ,,lim x f x x y y f x y x C ．00 000 ,,lim y f x y y f x y y D ．00 00 ,,lim y f x x y y f x y y 8．向量a 与向量b 平行，则条件：其向量积0a b 是【B 】A ．充分非必要条件B ．充分且必要条件C ．必要非充分条件 D ．既非充分又非必要条件9．向量a 、b 垂直，则条件：向量a 、b 的数量积0a b 是【B 】A ．充分非必要条件B ．充分且必要条件C ．必要非充分条件 D ．既非充分又非必要条件 10．已知向量a 、 b 、 c 两两相互垂直，且1a ，2b ，3c ，求a b a b 【C 】 A ．1 B ．2 C ．4 D ．8
专升本高数真题及答案
2005年河南省普通高等学校 选拔优秀专科生进入本科阶段学习考试 高等数学 试卷 一、单项选择题（每小题2分，共计60分） 在每小题的四个备选答案中选出一个正确答案，并将其代码写在题 干后面的括号内。不选、错选或多选者，该题无分. 1. 函 数 x x y --= 5)1ln(的定义域为为 （ ） A.1>x 5
解： ?-x e x ~12~12 x e x -,应选B. 4.=?? ? ??++∞ →1 21lim n n n （ ） A. e B.2e C.3e D.4e 解：2)1(2lim 2 )1(221 21lim 21lim 21lim e n n n n n n n n n n n n n n =? ?? ????? ??? ??+=?? ? ??+=?? ? ? ? + +∞→+?∞ →+∞ →∞→,应选B. 5.设 ?? ? ??=≠--=0,0,11)(x a x x x x f 在0=x 处连续，则 常数=a （ ） A. 1 B.-1 C.21 D.2 1 - 解：2 1 )11(1lim )11(lim 11lim )(lim 0000 =-+=-+=--=→→→→x x x x x x x f x x x x ,应选C. 6.设函数)(x f 在点1=x 处可导,且2 1 )1()21(lim 0 =--→h f h f h ,则=')1(f （ ） A. 1 B.21- C.41 D.4 1 - 解：4 1 )1(21)1(22)1()21(lim 2)1()21(lim 020-='?='-=----=--→-→f f h f h f h f h f h h , 应选D. 7.由方程y x e xy +=确定的隐函数)(y x 的导数dy dx 为 （ ） A. )1()1(x y y x -- B.)1()1(y x x y -- C.)1()1(-+y x x y D.) 1() 1(-+x y y x 解：对方程y x e xy +=两边微分得)(dy dx e ydx xdy y x +=++, 即dy x e dx e y y x y x )()(-=-++, dy x xy dx xy y )()(-=-,
专升本高数公式大全
高等数学公式 导数公式： 基本积分表： a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(2 2 = '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 π π
普通专升本高等数学试题及答案
高等数学试题及答案 一、单项选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分） 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1．设f(x)=lnx ，且函数?(x)的反函数1?-2(x+1) (x)=x-1 ，则 []?=f (x)（ ） ....A B C D x-2x+22-x x+2 ln ln ln ln x+2x-2x+22-x 2．()0 2lim 1cos t t x x e e dt x -→+-=-?（ ） A ．0 B ．1 C ．-1 D ．∞ 3．设00()()y f x x f x ?=+?-且函数()f x 在0x x =处可导，则必有（ ） .lim 0.0.0.x A y B y C dy D y dy ?→?=?==?= 4．设函数,1 31,1 x x x ?≤?->?22x f(x)=，则f(x)在点x=1处（ ） A.不连续 B.连续但左、右导数不存在 C.连续但 不可导 D. 可导 5．设C +?2 -x xf(x)dx=e ，则f(x)=（ ） 2 2 2 2 -x -x -x -x A.xe B.-xe C.2e D.-2e 二、填空题（本大题共10小题，每空3分，共30分） 请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 6.设函数f(x)在区间[0，1]上有定义，则函数f(x+14)+f(x-1 4 )的定义域是__________. 7．()()2lim 1_________n n a aq aq aq q →∞ +++ +<= 8．arctan lim _________x x x →∞ = 9.已知某产品产量为g 时，总成本是2 g C(g)=9+800 ，则生产100 件产品时的边际成本100__g ==MC 10.函数3()2f x x x =+在区间[0，1]上满足拉格朗日中值定理的点ξ是_________.
普通专升本高等数学真题汇总
. 2011年普通专升本高等数学真题一 一. 选择题（每个小题给出的选项中，只有一项符合要求：本题共有5个小题，每小题4分，共2０分） 1.函数()() x x x f cos 12 +=是（ ）. ()A 奇函数 ()B 偶函数 ()C 有界函数 ()D 周期函数 2.设函数()x x f =，则函数在0=x 处是（ ）. ()A 可导但不连续 ()B 不连续且不可导 ()C 连续且可导 ()D 连续但不可导 3.设函数()x f 在[]1,0上,02 2>dx f d ，则成立（ ）. ()A ()()010 1 f f dx df dx df x x ->> == () B ()()0 1 10==> ->x x dx df f f dx df ()C ()()0 1 01==> ->x x dx df f f dx df ()D ()()1 01==> > -x x dx df dx df f f 4.方程2 2y x z +=表示的二次曲面是（ ）. ()A 椭球面 ()B 柱面 ()C 圆锥面 ()D 抛物面 5.设()x f 在[]b a ,上连续,在()b a ,内可导,()()b f a f =, 则在()b a ,内，曲线()x f y =上平 行于x 轴的切线（ ）. ()A 至少有一条 ()B 仅有一条 ().C 不一定存在 ().D 不存在 二.填空题:(只须在横线上直接写出答案,不必写出计算过程,每小题4分,共40分) 1.计算_______ __________2sin 1lim 0=→x x x 报考学校：______________________报考专业：______________________姓名： 准考证号： ------------------------------------------------------------------------------------------密封线---------------------------------------------------------------------------------------------------
成人高考专升本高等数学公式大全
成人高考专升本高等数 学公式大全 文档编制序号：[KK8UY-LL9IO69-TTO6M3-MTOL89-FTT688]
2016年成人高考(专升本)高等数学公式大全 提高成绩的途径大致可以分为两种：一是提高数学整体的素质和能力，更好的驾驭考试;二是熟悉考试特点，掌握考试方法，将自己已有的潜能和水平发挥到极致。 如果说在复习中，上面两种方法那一种更能在最短的时间内提成人高考试的分数呢？对于前者，是需要我们在整个高中乃至以前的学习积累下来的综合能力，这个能力的提高需要时间和积累，在短期内的提高是有限的;对于后者能力的了解和掌握对短期内迅速提成人高考试成绩的成效是很明显的。而且，在一般的学校教育中，往往只重视前者而忽视后者。我们用以下几个等式可以很好的说明上述两者的关系和作用。 一流的数学能力 + 一流的考试方法和技巧 = 顶尖的成绩 一流的数学能力 + 二流的考试方法和技巧 = 二流的成绩 二流的数学能力 + 一流的考试方法和技巧 = 二流的成绩其实对于考试方法和技巧的掌握，大致包含以下几个方面： 一、熟悉考试题型，合理安排做题时间。 其实，不仅仅是数学考试，在参任何一门考试之前，你都要弄清楚或明确几个问题：考试一共有多长时间，总分多少，选择、填空和其他
主观题各占多少分。这样，你才能够在考试中合理分配考试时间，一定要避免在不值得的地方浪费大量的时间，影响了其他题的解答。 拿安徽省的数学成人高考题为例，安徽省数学成人高考满分为150分，时间是2小时，其中选择题是12道，每题5分，共60分;填空题4道，每题是4分，共16分，解答题一共74分。所以在了解这些内容后，你一定要根据自己的情况，合理安排解题时间。 一般来说，选择题填空题最迟不宜超过40分钟，按照尚博学校的教学标准是让学生在30分钟之内高效的完成选择填空题。你必须留下一个多小时甚至更多的时间来处理后面的大题，因为大题意味着你不仅要想，还要写。 二、确保正确率，学会取舍，敢于放弃。 考试时，一定要根据自己的情况进行取舍，这样做的目的是：确保会做的题目一定能够拿分，部分会做或不太会做的题目尽量多拿分，一定不可能做出的题目，尽量少投入时间甚至压根就不去想。 对于基础较好的学生，如果感觉前面的选择填空题做的很顺利，时间很充裕，在前面几道大题稳步完成的情况下，可以冲击下最后的压轴题，向高分冲击。对于基础一般的学生，首先要保证的是前面的填空选择题大部分分值一定能够稳拿，甚至是拿满分。对于大题的前几题，也尽量多花点时间，一定不要在会做的题目上无谓失分，对于大题的后两
专升本高等数学知识点汇总
专升本高等数学知识点汇总 常用知识点： 一、常见函数的定义域总结如下： （1） c bx ax y b kx y ++=+=2 一般形式的定义域：x ∈R （2）x k y = 分式形式的定义域：x ≠0 （3）x y = 根式的形式定义域：x ≥0 （4）x y a log = 对数形式的定义域：x ＞0 二、函数的性质 1、函数的单调性 当21x x <时，恒有)()(21x f x f <，)(x f 在21x x ，所在的区间上是增加的。 当21x x <时，恒有)()(21x f x f >，)(x f 在21x x ，所在的区间上是减少的。 2、 函数的奇偶性 定义：设函数)(x f y =的定义区间D 关于坐标原点对称（即若D x ∈，则有D x ∈-） (1) 偶函数)(x f ——D x ∈?，恒有)()(x f x f =-。 (2) 奇函数)(x f ——D x ∈?，恒有)()(x f x f -=-。 三、基本初等函数 1、常数函数：c y =，定义域是),(+∞-∞，图形是一条平行于x 轴的直线。 2、幂函数：u x y =， (u 是常数)。它的定义域随着u 的不同而不同。图形过原点。 3、指数函数
定义: x a x f y ==)(， (a 是常数且0>a ，1≠a ).图形过（0,1）点。 4、对数函数 定义: x x f y a log )(==， (a 是常数且0>a ，1≠a )。图形过（1,0）点。 5、三角函数 (1) 正弦函数: x y sin = π2=T ， ),()(+∞-∞=f D ， ]1,1[)(-=D f 。 (2) 余弦函数: x y cos =. π2=T ， ),()(+∞-∞=f D ， ]1,1[)(-=D f 。 (3) 正切函数: x y tan =. π=T ， },2 ) 12(,|{)(Z R ∈+≠∈=k k x x x f D π ， ),()(+∞-∞=D f . (4) 余切函数: x y cot =. π=T ， },,|{)(Z R ∈≠∈=k k x x x f D π， ),()(+∞-∞=D f . 5、反三角函数 (1) 反正弦函数: x y sin arc =，]1,1[)(-=f D ，]2 ,2[)(π π- =D f 。 (2) 反余弦函数: x y arccos =，]1,1[)(-=f D ，],0[)(π=D f 。 (3) 反正切函数: x y arctan =，),()(+∞-∞=f D ，)2 ,2()(π π- =D f 。 (4) 反余切函数: x y arccot =，),()(+∞-∞=f D ，),0()(π=D f 。 极限 一、求极限的方法 1、代入法 代入法主要是利用了“初等函数在某点的极限，等于该点的函数值。”因此遇到大部分简单题目的时候，可以直接代入进行极限的求解。 2、传统求极限的方法 （1）利用极限的四则运算法则求极限。 （2）利用等价无穷小量代换求极限。 （3）利用两个重要极限求极限。 （4）利用罗比达法则就极限。
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上海第二工业大学专升本考试大纲 《高等数学一》 《高等数学》专升本入学考试注重考察学生基础知识、基本技能和思维能力、运算能力、以及分析问题和解决问题的能力，考试时间2小时，满分150分。 考试内容 一、函数、极限与连续 （一）考试内容 函数的概念与基本特性；数列、函数极限；极限的运算法则；两个重要极限；无穷小的 概念与阶的比较；函数的连续性和间断点；闭区间上连续函数的性质。 （二）考试要求 1．理解函数的概念，了解函数的奇偶性、单调性、周期性、有界性。了解反函数的概念；理解复合函数的概念。理解初等函数的概念。会建立简单实际问题的函数关系。 2．理解数列极限、函数极限的概念（不要求做给出，求N或的习题）；了解极限性质（唯一性、有界性、保号性）和极限的两个存在准则（夹逼准则和单调有界准则）。 3．掌握函数极限的运算法则；熟练掌握极限计算方法。掌握两个重要极限，并会用两个重要极限求极限。 4．了解无穷小、无穷大、高阶无穷小、等价无穷小的概念，会用等价无穷小求极限。 5．理解函数连续的概念；了解函数间断点的概念，会判别间断点的类型（第一类可去、跳跃 间断点与第二类间断点）。 6．了解初等函数的连续性；了解闭区间上连续函数的性质，会用性质证明一些简单结论。 二、导数与微分 （一）考试内容 导数概念及求导法则；隐函数与参数方程所确定函数的导数；高阶导数；微分的概念与 运算法则。 （二）考试要求 1．理解导数的概念及几何意义，了解函数可导与连续的关系，会求平面曲线的切、法线方程；
2．掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则；掌握基本初等函数的求导公式，会熟练 求函数的导数。 3．掌握隐函数与参数方程所确定函数的求导方法（一阶）；掌握取对数求导法。 4．了解高阶导数的概念，掌握初等函数的一阶、二阶导数的求法。会求简单函数的n 阶导数。5．理解微分的概念，了解微分的运算法则和一阶微分形式不变性，会求函数的微分。三、中值定理与导数应用（一）考试内容 罗尔中值定理、拉格朗日中值定理；洛必达法则；函数单调性与极值、曲线凹凸性与拐点。 （二）考试要求 1．理解罗尔中值定理、拉格朗日中值定理（对定理的分析证明不作要求）；会用中值定理证 明一些简单的结论。2．掌握用洛必达法则求 0， ，0，，1， ，0等不定式极限的方法。 3．理解函数极值概念，掌握用导数判定函数的单调性和求函数极值的方法；会利用函数单调 性证明不等式；会求较简单的最大值和最小值的应用问题。4．会用导数判断曲线的凹凸性，会求曲线的拐点。四、不定积分（一）考试内容 原函数与不定积分概念，不定积分换元法，不定积分分部积分法。（二）考试要求 1．理解原函数与不定积分的概念和性质 。 2．掌握不定积分的基本公式、换元积分法和分部积分法（淡化特殊积分技巧的训练，对于有 理函数积分的一般方法不作要求，对于一些简单有理函数可作为两类积分法的例题作适当训练）。 五、定积分及其应用（一）考试内容 定积分的概念和性质，积分变上限函数，牛顿－莱布尼兹公式，定积分的换元积分法和分部积分法，无穷区间上的广义积分；定积分的应用——求平面图形的面积与旋转体体积。（二）考试要求
专升本高等数学学习经验
任何一门学科的学习都需要付出艰苦的努力才会取得令人满意的结果。 第一天去听高数课，我信心满满的，并暗下决心我一定能学好这门课，可是事情并不如意，当老师在黑板上写下一堆我生平从未见到过的符号，说着一连串我听都没听过的术语的时候，我只觉内心伊真崩溃世界上最难受的精神折磨莫过于你想做好的一件事，近在眼前，你却根本无法完成甚至是无从拿起我的内心就如同煎锅上的生煎一样被煎熬了一节课。下课后我去和授课老师交流，我问老师：什么是绝对值？老师说：绝对值你都不知道你还听什么高数！面对这突如其来的打击,我缓缓的镇定了一下,继续给老师说了我的情况 :打从小学毕业后我就没再学过数学,老师喝了口茶,慢悠悠的说:回去找老师给你补补吧,我的课你不要再听了,听了也没用!完全是在浪费时间。毫不夸张的说，当时真的是万念俱灰，我垂头丧气的回到了学校。由于我们学校最后一年的后半学期要出去实习加上还是周末，所以宿舍只有我一个人，面对空荡荡的宿舍，看着窗外被萧瑟的秋风一片又一片剥落的枯叶，心里百感交集不知所措。夜色渐暗，天气转凉，我独自走在河边，思索着下一步怎么走突然想起了徐悲鸿大师的一句话：人不可有傲气但不可无傲骨。意思是在告诉我们：人在何时都要谦虚谨慎，但在失落无助的时候也要保持坚强不折不挠的性格。于是我决定自学数学，从小学数学开始自学。数学学科的学习可以提前预习，自己去学，这当然是有好处的，但是不要按照自己的思维去理解每一个章节的字面意思否则只会是自己坑自己把自己绕糊涂，比如不定积分和定积分这两个知识点，如果你按照自己的思维从字面意思去理解，你会误以为它们两个基本是一样的，无非就是定积分多了一个几何意义，多了一步原函数带入上下限做差的
山东省高等数学专升本考试大纲
附件 5 山东省2018年普通高等教育专升本 高等数学（公共课）考试要求 一、总体要求 考生应了解或理解“高等数学”中函数、极限和连续、一元函数微分学、一元函数积分学、向量代数与空间解析几何、多元函数微积分学、无穷级数、常微分方程的基本概念与基本理论；学会、掌握或熟练掌握上述各部分的基本方法。应注意各部分知识的结构及知识的内在联系；应具有一定的抽象思维能力、逻辑推理能力、运算能力、空间想象能力；有运用基本概念、基本理论和基本方法正确地推理证明，准确地计算的能力；能综合运用所学知识分析并解决简单的实际问题。 二、内容范围和要求 （一）函数、极限和连续 1.函数 （1）理解函数的概念：函数的定义，函数的表示法，分段函数。 （2）理解和掌握函数的简单性质：单调性，奇偶性，有界性，周期性。 （3）了解反函数：反函数的定义，反函数的图象。 （4）掌握函数的四则运算与复合运算。
（5）理解和掌握基本初等函数：幂函数，指数函数，对数函数，三角函数，反三角函数。 （6）了解初等函数的概念。 2.极限 （1）理解数列极限的概念：数列，数列极限的定义，能根据极限概念分析函数的变化趋势。会求函数在一点处的左极限与右极限，了解函数在一点处极限存在的充分必要条件。 （2）了解数列极限的性质：唯一性，有界性，四则运算定理，夹逼定理，单调有界数列，极限存在定理，掌握极限的四则运算法则。 （3）理解函数极限的概念：函数在一点处极限的定义，左、右极限及其与极限的关系，x趋于无穷（x→∞，x→+∞，x→-∞）时函数的极限。 （4）掌握函数极限的定理：唯一性定理，夹逼定理，四则运算定理。 （5）理解无穷小量和无穷大量：无穷小量与无穷大量的定义，无穷小量与无穷大量的关系，无穷小量与无穷大量的性质，两个无穷小量阶的比较。 （6）熟练掌握用两个重要极限求极限的方法。 3.连续
专升本高等数学知识点汇总
------------------- 时需Sr彳-------- ---- --- -- 专升本高等数学知识点汇总 常用知识点： 一、常见函数的定义域总结如下： y kx b (1) 2 —般形式的定义域：x € R y ax bx c k (2)y 分式形式的定义域：x丰0 x (3)y 、、x根式的形式定义域：x > 0 (4)y log a x对数形式的定义域：X>0 二、函数的性质 1、函数的单调性 当洛X2时，恒有f(xj f(X2), f(x)在x1?X2所在的区间上是增加的。 当x1 x2时，恒有f (x1) f (x2) , f (x)在x1?x2所在的区间上是减少的。 2、函数的奇偶性 定义：设函数y f(x)的定义区间D关于坐标原点对称(即若x D，则有x D ) (1)偶函数f (x)——x D，恒有f ( x) f (x)。 ⑵奇函数f (x)——x D，恒有f( x) f (x)。 三、基本初等函数 1、常数函数：y c，定义域是(，)，图形是一条平行于x轴的直线。 2、幕函数：y x u, (u是常数)。它的定义域随着u的不同而不同。图形过原点。 3、指数函数
定义：y f（x）x a，I （a是常数且a 0，a 1）.图形过（0,1）点。 4 、 对数函数 定义：y f （x）lOg a X，（a是常数且a 0，a1）。图形过（1,0 )点。5 、 三角函数 (1)正弦函数：y sin x T 2 ，D(f)(,)，f (D) [ 1,1]。 ⑵余弦函数：y cosx. T 2 ，D(f)(,)，f (D) [ 1,1]。 ⑶正切函数：y tan x T，D(f) {x | x R,x (2k 1)-,k Z}，f(D)(,). ⑷余切函数：y cotx T，D(f) {x | x R,x k ,k Z}，f(D)(,). 5、反三角函数 （1）反正弦函数：y arcsinx，D( f) [ 1,1]，f (D)[,]。 2 2 （2）反余弦函 数： y arccosx，D(f) [ 1,1]，f(D) [0,]。 （3）反正切函数：y arctanx，D(f) ( , )，f (D)(-,- 2 2 （4）反余切函 数： y arccotx，D(f) ( , )，f(D) (0,)。 极限 一、求极限的方法 1代入法 代入法主要是利用了“初等函数在某点的极限，等于该点的函数值。”因此遇到大部分简单题目的时候，可以直接代入进行极限的求解。 2、传统求极限的方法 （1）利用极限的四则运算法则求极限。 （2）利用等价无穷小量代换求极限。 （3）利用两个重要极限求极限。 （4）利用罗比达法则就极限。
高等数学教材(专升本)
目录 一、函数与极限 (2) 1、集合的概念 (2) 2、常量与变量 (3) 2、函数 (4) 3、函数的简单性态 (4) 4、反函数 (5) 5、复合函数 (6) 6、初等函数 (6) 7、双曲函数及反双曲函数 (7) 8、数列的极限 (8) 9、函数的极限 (9) 10、函数极限的运算规则 (11)
一、函数与极限 1、集合的概念 一般地我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合（简称集）。集合具有确定性（给定集合的元素必须是确定的）和互异性（给定集合中的元素是互不相同的）。比如“身材较高的人”不能构成集合，因为它的元素不是确定的。 我们通常用大字拉丁字母A、B、C、……表示集合，用小写拉丁字母a、b、c……表示集合中的元素。如果a是集合A中的元素，就说a属于A，记作：a∈A，否则就说a不属于A，记作：a?A。 ⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。记作N ⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。记作N+或N+。 ⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。记作Z。 ⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。记作Q。 ⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。记作R。 集合的表示方法 ⑴、列举法：把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合 ⑵、描述法：用集合所有元素的共同特征来表示集合。 集合间的基本关系 ⑴、子集：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，我们就说A、B有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A?B（或B?A）。。 ⑵相等：如何集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，此时集合A中的元素与集合B中的元素完全一样，因此集合A与集合B相等，记作A＝B。 ⑶、真子集：如何集合A是集合B的子集，但存在一个元素属于B但不属于A，我们称集合A是集合B的真子集。 ⑷、空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集。记作?，并规定，空集是任何集合的子集。 ⑸、由上述集合之间的基本关系，可以得到下面的结论： ①、任何一个集合是它本身的子集。即A?A ②、对于集合A、B、C，如果A是B的子集，B是C的子集，则A是C的子集。 ③、我们可以把相等的集合叫做“等集”，这样的话子集包括“真子集”和“等集”。 集合的基本运算 ⑴、并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合称为A与B的并集。记作A ∪B。（在求并集时，它们的公共元素在并集中只能出现一次。） 即A∪B＝｛x|x∈A，或x∈B｝。 ⑵、交集：一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合称为A与B的交集。记作A ∩B。 即A∩B＝｛x|x∈A，且x∈B｝。 ⑶、补集： ①全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集。通常记作U。
高等数学专升本考试大纲
湖南工学院“专升本”基础课考试大纲 《高等数学》考试大纲 总要求 考生应按本大纲的要求，了解或理解“高等数学”中函数、极限和连续、一元函数微分学、一元函数积分学、无穷级数、常微分方程的基本概念与基本理论；学会、掌握或熟练掌握上述各部分的基本方法。应注意各部分知识的结构及知识的内在联系；应具有一定的抽象思维能力、逻辑推理能力、运算能力、空间想象能力；有运用基本概念、基本理论和基本方法正确地推理证明，准确地计算；能综合运用所学知识分析并解决简单的实际问题。 本大纲对内容的要求由低到高，对概念和理论分为“了解”和“理解”两个层次；对方法和运算分为“会”、“掌握”和“熟练掌握”三个层次。 内容 一、函数、极限和连续 （一）函数 1.考试范围 （1）函数的概念：函数的定义函数的表示法分段函数 （2）函数的简单性质：单调性奇偶性有界性周期性 （3）反函数：反函数的定义反函数的图象 （4）函数的四则运算与复合运算 （5）基本初等函数：幂函数指数函数对数函数三角函数反三角函数 （6）初等函数 2. 要求 （1）理解函数的概念，会求函数的定义域、表达式及函数值。会求分段函数的定义域、函数值，并会作出简单的分段函数图像。 （2）理解和掌握函数的单调性、奇偶性、有界性和周期性，会判断所给函数的类别。 （3）了解函数y=?（x）与其反函数y=?-1（x）之间的关系（定义域、值域、图象），会求单调函数的反函数。 （4）理解和掌握函数的四则运算与复合运算，熟练掌握复合函数的复合过程。 （5）掌握基本初等函数的简单性质及其图象。 （6）了解初等函数的概念。 （7）会建立简单实际问题的函数关系式。 （二）极限 1. 考试范围 （1）数列极限的概念：数列数列极限的定义
最新专升本高等数学(一)汇总
2013专升本高等数学 (一)
全国各类成人高等学校专升本招生复习考试大纲 高等数学（一） 本大纲适用于工学、理学(生物科学类、地理科学类、环境科学类、心理学类等四个一级学科除外)专业的考生。 总要求 考生应按本大纲的要求，了解或理解“高等数学”中极限和连续、一元函数微分学、一元函数积分学、空间解析几何、多元函数微积分学、无穷级数、常微分方程的基本概念与基本理论；学会、掌握或熟练掌握上述各部分的基本方法．应注意各部分知识的结构及知识的内在联系；应具有一定的抽象思维能力、逻辑推理能力、运算能力、空间想像能力；能运用基本概念、基本理论和基本方法正确地推理证明，准确地计算；能综合运用所学知识分析并解决简单的实际问题。 本大纲对内容的要求由低到高，对概念和理论分为“了解”和“理解”两个层次；对方法和运算分为“会”、“掌握”和“熟练掌握”三个层次。 复习考试内容 一、极限和连续 (一)极限 1．知识范围 (1)数列极限的概念与性质 数列极限的定义 唯一性有界性四则运算法则夹逼定理单调有界数列极限存在定理 (2)函数极限的概念与性质
函数在一点处极限的定义左、右极限及其与极限的关系 x趋于无穷 (x→∞，x→+∞，x→-∞)时函数的极限唯一性四则运算法则夹逼定理 (3)无穷小量与无穷大量 无穷小量与无穷大量的定义无穷小量与无穷大量的关系无穷小量的性质无穷小量的比较 (4)两个重要极限 , 2．要求 (1) 理解极限的概念(对极限定义中“”、“”、“”等形式的描述不 作要求)。会求函数在一点处的左极限与右极限，了解函数在一点处极 限存在的充分必要条件． (2)了解极限的有关性质，掌握极限的四则运算法则． (3)理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的性质、无穷小量与尤穷大量的关系．会进行无穷小量阶的比较(高阶、低阶、同阶和等价)．会运用等价无穷小量代换求极限． (4)熟练掌握用两个重要极限求极限的方法． (二)连续 1．知识范围 (1)函数连续的概念 函数在一点处连续的定义左连续和右连续函数在一点连续的充分必要条件函数的间断点 (2)函数在一点处连续的性质 连续函数的四则运算复合函数的连续性反函数的连续性
专升本高等数学题模板
（专科起点升本科） 高等数学备考试题库 2011年 一、选择题 1. 设)(x f 的定义域为[]1,0，则)12(-x f 的定义域为（ ）. A: ??????1,21 B: 1,12?? ??? C: 1,12?????? D: 1,12 ?? ??? 2. 函数()()a r c s i n s i n f x x =的定义域为（ ）. A: (),-∞+∞ B: ,22ππ ??- ??? C: ,22ππ??-???? D: []1,1- 3.下列说法正确的为（ ）. A: 单调数列必收敛； B: 有界数列必收敛； C: 收敛数列必单调； D: 收敛数列必有界. 4.函数x x f sin )( =不是（ ）函数. A: 有界 B: 单调 C: 周期 D: 奇 5.函数1 23sin + =x e y 的复合过程为（ ）. A: 1 2,,sin 3+===x v e u u y v
B: 12,sin ,3+===x v e u u y v C: 123,sin ,+===x e v v u u y D: 1 2,,sin ,3+====x w e v v u u y w 6.设?????=≠=001 4sin )(x x x x x f ，则下面说法不正确的为( ). A: 函数)(x f 在0=x 有定义； B: 极限)(lim 0 x f x →存在； C: 函数)(x f 在0=x 连续； D: 函数)(x f 在0=x 间断。 7. 极限x x x 4sin lim 0→= ( ). A: 1 B: 2 C: 3 D: 4 8.5 1lim(1) n n n -→∞ +=（ ）. A: 1 B: e C: 5 e - D: ∞ 9.函数)cos 1(3 x x y +=的图形对称于（ ）. A: ox 轴； B: 直线y=x ； C: 坐标原点; D: oy 轴 10.函数x x x f sin )(3 =是（ ）. A: 奇函数； B: 偶函数； C: 有界函数； D: 周期函数. 11.下列函数中，表达式为基本初等函数的为（ ）.
成人高考专升本高数一考试试题及答案
成人高考专升本高数一考试试题及答案 一、选择题（每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，把所选项前的字母填写在题后的括号中） 1． 220sin lim x mx x →等于 A ：0 B ：∞ C ：m D ：2 m 【注释】 本题考察的知识点是重要极限公式 2．设)(x f 在0x 处连续，则：下列命题正确的是 A ：)(lim 0 x f x x →可能不存在 B ：)(lim 0 x f x x →比存在，但不一定等于)(0x f C ：)(lim 0 x f x x →必定存在，且等于)(0x f D ：)(0x f 在点0x 必定可导 【注释】 本题考察的知识点是连续性与极限的关系；连续性与可导的关系 3．设x y -=2，则：y '等于 A ：x -2 B ：x --2 C ：2ln 2 x - D ：2ln 2 x -- 【注释】 本题考察的知识点是复合函数求导法则 4．下列关系中正确的是 A ：)()(x f dx x f dx d b a ?= B ：)()(x f dt t f dx d x a ?= C ： )()(x f dx x f b a ? =' D ： C x f dx x f b a +='? )()( 5．设)(x f 为连续的奇函数，则：? -a a dx x f )(等于 A ：)(2x af B ：? a dx x f 0 )(2 C ：0 D ：)()(a f a f -- 【注释】 本题考察的知识点是定积分的对称性 6．设)(x f 在]1,0[上连续，在)1,0(内可导，且)1()0(f f =，则：在)1,0(内曲线)(x f y =的所有
成人高考专升本高等数学一考试真题及参考答案#(精选.)
2014年成人高考专升本高等数学一考试真题及参考答案一、选择题：每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求。 第1题 参考答案：D 第2题 参考答案：A 第3题 参考答案：B 第4题设函数f(x)在[a,b]连续，在(a，b)可导，f’(x)>0.若f(a)·f(b)<0，则y=f(x)在(a，b)( )
A.不存在零点 B.存在唯一零点 C.存在极大值点 D.存在极小值点参考答案：B 第5题 参考答案：C 第6题 参考答案：D 第7题
参考答案：C 第8题 参考答案：A 第9题 参考答案：A 第10题设球面方程为(x一1)2+(y+2)2+(z一3)2=4，则该球的球心坐标与半径分别为( ) A.(一1，2，一3);2
B.(一1，2，-3);4 C.(1，一2，3);2 D.(1，一2，3);4 参考答案：C 二、填空题：本大题共10小题。每小题4分，共40分，将答案填在题中横线上。第11题 参考答案：2/3 第12题 第13题 第14题 参考答案：3
第15题曲线y=x+cosx在点(0，1)处的切线的斜率k=_______． 参考答案：1 第16题 参考答案：1/2 第17题 参考答案：1 第18题设二元函数z=x2+2xy，则dz=_________． 参考答案：2(x+y)dx-2xdy 第19题过原点(0，0，0)且垂直于向量(1，1，1)的平面方程为________．参考答案：z+y+z=0 第20题微分方程y’-2xy=0的通解为y=________． 三、解答题：本大翘共8个小题，共70分。解答应写出推理，演算步骤。第21题