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《 数学分析续论 》模拟试题（二）
一、 单项选择题（56?'）
（１）设{}
n a 为一数列，对它有．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．[ ] Ａ．若存在收敛子列，则{}n a 必收敛； Ｂ．虽存在发散子列，但{}
n a 仍可收敛； Ｃ．若所有子列都收敛，则{}
n a 必收敛；Ｄ．所有子列都收敛，但它们可有不同极限． （２）设)(x f 在),(∞+-∞上为一连续函数，则有 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．[ ]
Ａ．值域)),((b a f 必为一开区间； Ｂ．值域)],[(b a f 必为一闭区间； Ｃ．)(I f 为闭区间时，I 亦必为闭区间； Ｄ．以上Ａ、Ｂ、Ｃ都不一定成立． （３）若
0)(>'+
a f ，则0>δ?，使得当),(δ+∈a a x 时，必有．．．．．．．．．[ ] Ａ．)(x f 单调递増； Ｂ．)()(a f x f >； Ｃ．若
)(x f '存在，则 Ａ 成立； Ｄ．以上Ａ、Ｂ、Ｃ都不一定成立．
（４）设)(x f 在],[b a 上可导，则)(x f 在],[b a 上必定为．．．．．．．．．．．．．．[ ]
Ａ．既存在最大值，又存在最小值； Ｂ．不能同时存在最大值和最小值； Ｃ．在
0)(='x f 的点处必取极值； Ｄ．以上Ａ、Ｂ、Ｃ都不一定成立．
（５）已知
0)(>?b
a x x f d ，这时必有 ．
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．[ ] Ａ．在0)(],[≥x f b a 上； Ｂ．不能有无穷多个)(x f 取负值； C ．)(x f 取正值的x 要比取负值的x 多得多； Ｄ．不能只有有限多个)(x f 取正值．
二、计算题（401?'）
（１） 试求下列极限：
①??
?
??--+++∞→n n n n 4242lim ； ②3
22
sin lim x t t x x ?∞+→0
d ．
（２）设
???
?
????+=??
????-=??????=-y
x y u f u y x u e )x ln()(,12,220． 试求)()(0u f u f ''与．
（３）试求由曲线 x y ln =，直线e e 1
,=
=x x ，及x 轴所围曲边梯形的面积 S ．
（４）用条件极值方法（Lagrange 乘数法）求内接于椭圆 12
22
2=+
b
y a
x 的长方形的最
大面积．
三、证明题（301?'）
（１） 设)(x f 在],[b a 上连续．试证：
],[)],[(M m b a f =，
其中M m 与分别是)(x f 在],[b a 上的最小值与最大值．
（２） 利用凸函数方法（詹森不等式）证明：
)(3133
333c b a c b a ++≤??
?
?
?++,
其中 c b a ,,为任意正数；并讨论当c b a ,,为任意负数时，上述不等式应作怎样改变？
（３） 证明：
3
4
ln
3
)1()1(01
∑
∞
=+=+-n n n
n ． 提示：把上式中的级数看作
=???
? ??31S 3
10
1
1
)1(=∞
=+∑
+-x n n n n x ．
解 答
一、（１）Ｃ； （２）Ｂ； （３）Ｂ； （４）Ａ； （５）Ｄ． 二、（１）[ 解 ] ① 54
5lim 4242lim =-=???
??--+++∞→∞→n n n n n n n ；
②
.03sin 2lim
sin 2lim
sin lim
4
43
22
===∞
+→∞
+→∞
+→?x
x
x x x
t t x x x x 2
3x d
（２）［ 解 ］
?
???????-
='??
????
????????-++='--220222222525
4)(,122)(e e
e e u
f y x y y x y y x x u f y x y x ．
（３）［ 解 ］所围曲边梯形如右图
所示，其面积为
1
)
ln (1
1
)
ln (ln )ln (111
e
e
d d e
e
x x x x x x x
x x x S -+-=+-=??
e 2
2-=．
（４）［ 解 ］由题意，所求长方形的面积为y x S 4=)0,0(>>y x ，其中),(y x 需满足
12
22
2=+
b
y a
x ，
故此为一条件极大值问题．依据 Lagrange 乘数法，设
)1(
2
22
2-+
λ+=b
y a
x y x L ，
并令
???
?
??
?.
01,
02,022
22
222
=-+
=
=λ+==λ+=λb
y a
x L b y x L a x y L y x （Ｆ）
由方程组（Ｆ）容易解出：
2
,2
2
22
2b y a x b
y a
x =
=
?=
．
据题意，内接长方形的最小面积为零；故最大面积为b a y x S 24==．
三、（１）［ 证 ］由闭区间上连续函数的最大、小值定理，],[,21b a x x ∈?，使得
M x f m x f ==)(,)(21．
若)(,,21x f M m x x 于是则==恒为一常数，结论成立；现不妨设21x x <．再由连续 函数的介值性定理，y x f b a x x x M m y =?∈?∈?)(],,[),(,),(21使得，这说明值 域)],[(b a f 充满了整个闭区间],[M m ．
（２）［ 证 ］设3)(x x f =．由于
),0(,06)(,
13)(2∞+∈>=''+='x x x f x x f ，
所以)(x f 在),0(∞+上为一凸函数．根据詹森不等式，对任何正数c b a ,,，恒有
)(3133
333
c b a c b a ++≤??
? ??++．
而当)0,(-∞∈x 时，)(x f 为一凹函数，故对任何负数c b a ,,，恒有
)(3133333
c b a c b a ++≥??
? ??++．
（３）［ 证 ］由于较难直接求出该级数的部分和，因此无法利用部分和的极限来计算级数的和．此时可以考虑把所求级数的和看作幂级数=
)(x S ∑
∞
=++-0
1
1
)1(n n n n x
在3
1
=
x 处的值，于是问题转为计算)(x S ．
不难知道上述幂级数的收敛域为]1,1(-，经逐项求导得到
]1,1(,
)1()(0
-∈-=
'∑∞
=x x x S n n n ；
这已是一个几何级数，其和为
]1,1(,11
)()(0
-∈+=
-=
'∑∞
=x x
x x S n n ．
再通过两边求积分，还原得
??
+=+=
'=-x
x x t t
t t S S x S 0
,)1(ln 11
)()0()(d d 由于这里的0)0(=S ，于是求得
∑
∞
=+=+==+-0
1
3
4
ln )311(ln )31(
3
)1()1(n n n S n ．