高中数学必修5第二章数列题组总训练答案

高中数学必修5第二章数列题组总训练答案

[一]

一、选择题 1.C 2.B 3.B 4.C 5.B 6.C 二、填空题 1.8 2.49 3.

12

65

4. 3375±

5. 2- 三、解答题 1. 2，5，8，11或11，8，5，2 2. 5.31

3. 原式=???????=-≠+---)

1(2

2)1(2

)

1(1)1(2

a n n a n n a a a n 4. 243-=q

[二]

一、选择题 1.B 2.A 3.D 4.D 5.B 6.A 二、填空题 1.38 2.)110(9

7

-=

n n a 3. 5 4.0 5. 18 三、解答题1. 15，20，25 2. 原式=???????=+≠---)1(2

)1()1(11x n n x nx x

x n n

3. ?????≥+-≤+-=)

6(,5010)

5(,1022

n n n n n n S n 4. 为偶数且n n ,8≥

[三]

一、选择题 1.B 2.A 3.D 4.C 5.C 6.B 二、填空题1.n

1

-

2. 100

3. )2(:1:4-

4. 10

5. 156 三、解答题1. ???≥==-)

2(,2)

1(,51n n a n n 2. ,2=q 项数为8 3. 10 4. 76-

[四、五]

1[答案] C

[解析] a n ＝3(2n －1)＝6n －3，由6n －3＝81，得n ＝14. 2[答案] A

[解析] ∵a n ＝－n ＋5，

∴a n ＋1－a n ＝[－(n ＋1)＋5]－(－n ＋5)＝－1， ∴{a n }是公差d ＝－1的等差数列． 3[答案] C

[解析] a 1＝1，d ＝－1－1＝－2，∴a n ＝1＋(n －1)·(－2)＝－2n ＋3，由－89＝－2n ＋3得：n ＝46.

4[答案] D

[解析] 由题意?????

a 10>1a 9≤1

，∴

???

1

25

＋9d >11

25＋8d ≤1

，

∴875

[解析] a 1＝13，a 2＋a 5＝2a 1＋5d ＝2

3

＋5d ＝4，

∴d ＝23，又a n ＝a 1＋(n －1)d ＝13＋2

3(n －1)＝33，∴n ＝50.

6[答案] D

[解析] 由?????

a 2·a 4＝12a 2＋a 4＝8d <0

，得?????

a 2＝6

a 4＝2，

∴?

???

?

a 1＝8d ＝－2，∴a n ＝－2n ＋10. 7[答案] 13

[解析] ∵a 5＝a 2＋6，∴3d ＝6， ∴a 6＝a 3＋3d ＝7＋6＝13. 8[答案] 12 2

[解析] 由条件知b 一定不是斜边，设c 为斜边，

则?????

2b ＝a ＋c

1

2ab ＝12a 2

＋b 2

＝c

2

解得：b ＝42，a ＝32，c ＝52，

∴a ＋b ＋c ＝12 2.

9[解析] 设首项为a 1，公差为d ，

由a 3＝7，a 11＝－1得，a 1＋2d ＝7，a 1＋10d ＝－1，所以a 1＝9，d ＝－1，则a 7＝3. [答案] 3

10[解析] 解法1：由?????

a 1＋(m －1)d ＝n a 1

＋(n －1)d ＝m ，

解得?

????

a 1＝m ＋n －1d ＝－1 ，

∴a m ＋n ＝a 1＋(m ＋n －1)d ＝(m ＋n －1)－(m ＋n －1)＝0.

解法2：设a m ＋n ＝y ，则由三点(m ，n )，(n ，m )，(m ＋n ，y )共线得：m －n n －m ＝y －m (m ＋n )－n ，

∴y ＝0，即a m ＋n ＝0.

11[答案] A

[解析] 设等差中项为x ，由等差中项的定义知，2x ＝a ＋b ＝13＋2＋1

3－2

＝(3－2)＋(3＋2)＝23，∴x ＝3，故选A. 12[答案] B

[解析] 设公差为d ，则a 1＋d ＋a 1＋2d ＝2a 1＋3d ＝4＋3d ＝13，解得d ＝3，所以a 4＋a 5

＋a 6＝(a 1＋3d )＋(a 1＋4d )＋(a 1＋5d )＝3a 1＋12d ＝42.

13[答案] C

[解析] 由题意可知：d 1＝b －a 3，d 2＝b －a

4，

∴d 1d 2＝4

3，故选C. 14[答案] C

[解析] 设x 2－2x ＋m ＝0的根为x 1，x 2且x 1

4

，

又x 1＋x 2＝2，∴x 2＝7

4

，

又x 3＋x 4＝2，且x 1，x 3，x 4，x 2成等差数列， ∴公差d ＝13(74－14)＝12，∴x 3＝34，x 4＝5

4.

∴|m －n |＝|14×74－34×54|＝1

2，故选C.

15[答案]

6766

[解析] 设此等差数列为{a n }，公差为d ，则

?

????

a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝3，

a 7＋a 8＋a 9＝4， ∴?????

4a 1＋6d ＝3，3a 1

＋21d ＝4，解得???

a 1＝1322

，

d ＝766，

∴a 5＝a 1＋4d ＝1322＋4×766＝67

66.

16[答案] 9

[解析] a 1＝70，d ＝－9，∴a n ＝70－9(n －1)＝79－9n ，由????? a n ≥0a n ＋1<0，即?

????

79－9n ≥0

79－9(n ＋1)<0，

得709

9

， ∵n ∈N *，∴n ＝8，

由于a 8＝7，a 9＝－2，∴绝对值最小的一项是第9项． 17[解析] 解法1：设首项为a 1，公差为d ，则a n ＝a 1＋(n －1)d

由已知????? a 1＋(15－1)d ＝33a 1＋(61－1)d ＝217解得?????

a 1＝－23

d ＝4

， ∴a n ＝－23＋(n －1)×4＝4n －27， 令a n ＝153即4n －27＝153得n ＝45∈N *， ∴153是所给数列的第45项．

解法2：假设153是数列{a n }的第n 项，则(15、33)，(61、217)，(n 、153)三点共线， ∴

217－3361－15＝153－33n －15

，

∴n ＝45，

∵n ∈N *∴153是这个数列的第45项． 18[证明] ∵1a ，1b ，1

c 成等差数列，

∴2b ＝1a ＋1

c

化简得：2ac ＝b (a ＋c )， 又∵b ＋c a ＋a ＋b c ＝bc ＋c 2＋a 2＋ab ac ＝b (a ＋c )＋a 2＋c 2

ac

＝2ac ＋a 2＋c 2ac ＝(a ＋c )2ac ＝(a ＋c )2b (a ＋c )

2＝2·a ＋c b ，

∴

b ＋

c a ，c ＋a b ，a ＋b

c

也成等差数列． [六、七]

1[答案] D

[解析] 由题设a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 101＝101a 51＝0， ∴a 51＝0. 2[答案] D

[解析] 解法1：∵????? a 6＋a 9＝16a 4＝1，∴?????

2a 1＋13d ＝16a 1＋3d ＝1， ∴?

????

a 1＝－5

d ＝2，∴a 11＝a 1＋10d ＝15. 解法2：∵6＋9＝4＋11， ∴a 4＋a 11＝a 6＋a 9＝16，∴a 11＝15.

[点评] 解法2比解法1简便的多，由此可见等差数列性质的作用，因此在解题过程中要不断归纳总结，掌握规律，提升解题能力．

3[答案] B

[解析] ∵a 1＋a 2＋a 3＝3a 2＝15，∴a 2＝5， 又∵a 1a 2a 3＝80，∴a 1a 3＝16， 即(a 2－d )(a 2＋d )＝16， ∵d >0，∴d ＝3.

则a 11＋a 12＋a 13＝3a 12＝3(a 2＋10d )＝105. 4[答案] C

[解析] ∵a 1＝a ，a n ＋2＝b ， ∴公差d ＝a n ＋2－a 1(n ＋2)－1＝b －a n ＋1.

5[答案] A [解析] 令b n ＝

1a n ＋1，则b 2＝1a 2＋1＝13，b 6＝1a 6＋1

＝1， 由条件知{b n }是等差数列， ∴b 6－b 2＝(6－2)d ＝4d ＝2

3，

∴d ＝16

，

∴b 4＝b 2＋2d ＝13＋2×16＝2

3，

∵b 4＝1a 4＋1，∴a 4＝1

2.

6[答案] B

[解析] ∵{a n }是等差数列， ∴a 1＋a 3＋a 5＝3a 3＝105，∴a 3＝35， a 2＋a 4＋a 6＝3a 4＝99，∴a 4＝33， ∴d ＝a 4－a 3＝－2， a 20＝a 4＋16d ＝33－32＝1.

[点评] 考查等差(等比)数列的性质是高考主要命题方式之一，解答此类题目，一定要注意充分观察所给条件中项的下标构成规律，依据规律构造新数列或利用性质解决．本题中观察下标(1,3,5)，(2,4,6)，设b 1＝a 1＋a 3＋a 5，b 2＝a 2＋a 4＋a 6，则b 18＝a 18＋a 20＋a 22＝b 1＋17×(b 2－b 1)＝3＝3a 20，∴a 20＝1，请再练习下题：

等差数列{a n }中，a 1＋a 4＋a 7＝39，a 2＋a 5＋a 8＝33，则a 3＋a 6＋a 9的值为( ) A ．30 B ．27 C ．24 D ．21 [答案] B

[解析] b 1＝a 1＋a 4＋a 7＝39，b 2＝a 2＋a 5＋a 8＝33，b 3＝a 3＋a 6＋a 9，∵{a n }成等差数列，∴b 1，b 2，b 3成等差数列，∴a 3＋a 6＋a 9＝b 3＝b 2＋(b 2－b 1)＝2b 2－b 1＝27.

7[答案] 18

[分析] 利用等差数列的性质求解，或整体考虑问题，求出2a 1＋11d 的值． [解析] 解法1：根据题意，有

(a 1＋d )＋(a 1＋2d )＋(a 1＋9d )＋(a 1＋10d )＝36， ∴4a 1＋22d ＝36，则2a 1＋11d ＝18.

∴a 5＋a 8＝(a 1＋4d )＋(a 1＋7d )＝2a 1＋11d ＝18. 解法2：根据等差数列性质，可得 a 5＋a 8＝a 3＋a 10＝a 2＋a 11＝36÷2＝18.

[点评] 解法1设出了a 1、d ，但并没有求出a 1、d ，事实上也求不出来，这种“设而不求”的方法在数学中常用，它体现了整体的思想．解法2实际上运用了等差数列的性质：若p ＋q ＝m ＋n ，p ，q ，m ，n ∈N *，则a p ＋a q ＝a m ＋a n .

8[答案] 15

[解析] ∵a 3＋a 15＝6，又a 7＋a 11＝a 8＋a 10＝2a 9＝a 3＋a 15，∴a 7＋a 8＋a 9＋a 10＋a 11＝(2＋12)(a 3＋a 15)＝5

2

×6＝15. 9[答案] 1

2

(A ＋B )

[解析] ∵m －n ，m ，m ＋n 成等差数列，又{a n }是等差数列．∴a m －n ，a m ，a m ＋n 成等差数列，

∴2a m ＝a m －n ＋a m ＋n ＝A ＋B ，∴a m ＝1

2

(A ＋B )．

10[解析] 设四个数为a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d ，据题意得， (a －3d )2＋(a －d )2＋(a ＋d )2＋(a ＋3d )2＝94 ?2a 2＋10d 2＝47.①

又(a －3d )(a ＋3d )＝(a －d )(a ＋d )－18?8d 2＝18?d ＝±32代入①得a ＝±7

2，故所求四数为

8,5,2，－1或1，－2，－5，－8或－1,2,5,8或－8，－5，－2，1.

11[答案] A

[解析] 过圆(x －5)2＋y 2＝25内点(5,3)的最大弦长为10，最小弦长为8.由题意a 1＝8，a k ＝10，则a k ＝a 1＋(k －1)d ，得d ＝2

k －1

，

∵d ∈[13，12]，∴.13≤2k －1≤12，∴5≤k ≤7，故选A.

12[答案] B

[解析] ∵S △ABC ＝12ac sin B ＝14ac ＝3

2，∴ac ＝6，

∵a 、b 、c 成等差数列，∴2b ＝a ＋c ，

由余弦定理得，b 2＝a 2＋c 2－2ac ·cos B ＝(a ＋c )2－(2＋3)ac ＝4b 2－6(2＋3)， ∴b 2＝4＋23，∵b >0，∴b ＝3＋1，故选B. 13[答案] A

[解析] 依题意得a n ＋1－a n ＝ln

n ＋1

n

， 则有a 2－a 1＝ln 21，a 3－a 2＝ln 3

2，

a 4－a 3＝ln 43，…，a n －a n －1＝ln n

n －1，

累加得a n －a 1＝ln ????21·

32·43·…·n

n －1＝ln n ， 故a n ＝2＋ln n ，选A. 14[答案] A

[解析] ∵2012÷4＝503，

∴从1开始，每4个数一组，4在第一组尾，8在第2组尾，故2012在第503组尾，应为201220132014，故选A.

15[答案] 4,6,8

[解析] 设这三个数为a －d ，a ，a ＋d ，

则?????

(a －d )＋a ＋(a ＋d )＝18(a －d )2＋a 2＋(a ＋d )2

＝116， ∴?

????

a ＝6d ＝±2，∴三数为4,6,8. 16[答案] 5030

[解析] 由前四组可以推知a n ＝n (n ＋1)2，b 1＝a 4＝10，b 2＝a 5＝15，b 3＝a 9＝45，b 4＝a 10

＝55，依次可知，当n ＝4,5,9,10,14,15,19,20,24,25，…时，a n 能被5整除，由此可得，b 2k ＝a 5k (k ∈N *)，∴b 2012＝a 5×1006＝a 5030.

17[证明] ∵a ＋c ＝2b ，平方得a ＋c ＋2ac ＝4b ，又∵a ＋c ＝2b ，∴ac ＝b ，故(a －c )2＝0，

∴a ＝b ＝c .故△ABC 为正三角形．

18[解析] ∵b 1b 2b 3＝18，又b n ＝(12)a n ，∴(12)a 1·(12)a 2·(12)a 3＝1

8.

∴(12)a 1＋a 2＋a 3＝1

8，∴a 1＋a 2＋a 3＝3， 又{a n }成等差数列∴a 2＝1，a 1＋a 3＝2， ∴b 1b 3＝14，b 1＋b 3＝178

，

∴????? b 1＝2b 3＝18或???

??

b 1＝18b 3＝2

，即????? a 1＝－1a 3＝3或?????

a 1＝3

a 3＝－1， ∴a n ＝2n －3或a n ＝－2n ＋5.

[八、九]

1[答案] B

[解析] 由S 偶－S 奇＝10

2d ＝15，得d ＝3.

2[答案] D

[解析] 设公差为d ，由????? a 1＝12S 4＝20??????

a 1＝12

4a 1＋6d ＝20

??????

a 1＝12d ＝3?S 6＝6a 1＋6×5

2

×3＝48.

3[答案] C

[解析] 解法1：将S m ＝30，S 2m ＝100代入S n ＝na 1＋n (n －1)2

d 得

???

ma 1＋m (m －1)2d ＝30，2ma 1

＋2m (2m －1)2

d ＝100.

解之得d ＝

40m 2，a 1＝10m ＋20

m 2

. ∴S 3m ＝3ma 1＋3m (3m －1)

2

d ＝210.

解法2：根据等差数列的性质知：S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 也成等差数列，从而有2(S 2m

－S m )＝S m ＋(S 3m －S 2m )．

∴S 3m ＝3(S 2m －S m )＝210. 解法3：∵S n ＝na 1＋n (n －1)

2

d ，

∴S n n ＝a 1＋n －12d ，∴点(n ，S n n )是直线y ＝(x －1)d 2＋a 1上的一串点，由三点(m ，S m

m )、(2m ，S 2m 2m )、(3m ，S 3m

3m

)共线易知S 3m ＝3(S 2m －S m )＝210. 解法4：令m ＝1得S 1＝30，S 2＝100，从而a 1＝30，a 1＋a 2＝100，得到a 1＝30，a 2＝70，∴a 3＝70＋(70－30)＝110，∴S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝210.

[点评] 对于等差数列{a n }的前m 项、前2m 项、前3m 项的和S m 、S 2m 、S 3m ，有S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 成等差，∴2(S 2m －S m )＝S m ＋S 3m －S 2m ，∴S 3m ＝3(S 2m －S m )＝3(100－30)＝210.要通过本题深刻领会等差数列的性质在解题中的应用，以迅速提升自已的解题能力．

4[答案] B

[解析] 由题设求得：a 3＝35，a 4＝33，∴d ＝－2，a 1＝39，∴a n ＝41－2n ，a 20＝1，a 21

＝－1，所以当n ＝20时S n 最大．故选B.

5[答案] B

[解析] 原式＝12(13－15)＋12(15－17)＋…＋12(113－115)＝12(13－115)＝2

15，故选B.

6[答案] A

[解析] 本小题主要考查等差数列的通项公式和前n 项和公式的运用，以及裂项求和的综合应用．

∵a 5＝5，S 5＝15 ∴

5(a 1＋a 5)

2

＝15，即a 1＝1. ∴d ＝a 5－a 1

5－1＝1，∴a n ＝n .

∴

1a n a n ＋1＝1n (n ＋1)＝1n －1

n ＋1

. 则数列{1a n a n ＋1

}的前100项的和为：T 100＝(1－12)＋(12－13)＋…＋(1100－1101)＝1－1

101＝

100

101

. 故选A.

[点评] 本题亦可利用等差数列的性质，由S 5＝15得5a 3＝15，即a 3＝3，再进一步求解．

7[答案] 25

[解析] 由????? a 1＝1a 4＝7得?????

a 1＝1d ＝2

， ∴S 5＝5a 1＋5×4

2×d ＝25.

8[答案] 0

[解析] ∵{a n }是等差数列，S 3＝S 12， ∴S 12－S 3＝a 4＋a 5＋…＋a 12＝0. 又∵a 4＋a 12＝a 5＋a 11＝…＝2a 8， ∴S 12－S 3＝9a 8＝0，故a 8＝0. 9[答案] 110

[解析] 设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d . a 3＝a 1＋2d ＝16，S 20＝20a 1＋

20×19

2

d ＝20， ∴?

????

a 1＋2d ＝16，2a 1＋19d ＝2，解得d ＝－2，a 1＝20. ∴S 10＝10a 1＋10×92d ＝200－90＝110.

10[解析] 设{a n }的公差为d ，则

?????

(a 1＋2d )(a 1＋6d )＝－16a 1＋3d ＋a 1

＋5d ＝0， 即?

????

a 21＋8da 1＋12d 2

＝－16a 1＝－4d ， 解得????? a 1＝－8d ＝2，或?

????

a 1＝8d ＝－2.

因此S n ＝－8n ＋n (n －1)2×2＝n 2－9n ，或S n ＝8n ＋n (n －1)2×(－2)＝－n 2＋9n .

11[答案] B

[解析] ∵S n 有最大值，∴a 1>0，d <0， ∵

a 11

a 10

<－1， ∴a 11<0，a 10>0，∴a 10＋a 11<0， ∴S 20＝20(a 1＋a 20)

2＝10(a 10＋a 11)<0，

又S 19＝19(a 1＋a 19)

2＝19a 10>0，故选B.

12[答案] D

[解析] S 11＝5×11＝55＝11a 1＋11×10

2d ＝55d －55，

∴d ＝2，S 11－x ＝4×10＝40，∴x ＝15， 又a 1＝－5，由a k ＝－5＋2(k －1)＝15得k ＝11. 13[答案] C

[解析] a n ＝120＋5(n －1)＝5n ＋115， 由a n <180得n <13且n ∈N *， 由n 边形内角和定理得，

(n －2)×180＝n ×120＋n (n －1)

2×5.

解得n ＝16或n ＝9 ∵n <13，∴n ＝9.

[点评] 请思考若最小内角为100°，公差为10°时边数n 是多少？ 14[答案] A

[解析] ∵{a n }是等差数列，且a 1＋a 2＋a 3＝15，∴a 2＝5， 又∵a 1·a 2·a 3＝105，

∴a 1a 3＝21，由?

????

a 1a 3＝21a 1＋a 3＝10及{a n }递减可求得a 1＝7，d ＝－2，∴a n ＝9－2n ，由a n ≥0

得n ≤4，∴选A.

15[答案] 5或6 [解析]

∵a 1＋a 11＝a 3＋a 9＝0， ∴S 11＝11(a 1＋a 11)

2

＝0，

根据二次函数图象的性质，由于n ∈N *，所以当n ＝5或n ＝6时S n 取最大值． 16[答案] 4240

[解析] 公共项构成的新数列{c n }是以c 1＝22为首项d ＝20为公差的等差数列，∴c n ＝20n ＋2，

∵a n ＝4n ＋2，b n ＝5n －3，∴a 100＝402，b 100＝497. ∴20n ＋2 ≤402，∴n ≤20，

∴公共项有20项，它们的和为S 20＝20×22＋20×19

2

×20＝4240.

17[解析] (1)依题意??

?

S 12＝12a 1＋12×11

2

d >0，

S

13＝13a 1

＋13×12

2

d <0，

即?

????

2a 1＋11d >0， ①a 1＋6d <0. ② 由a 3＝12，得a 1＋2d ＝12.

③

将③分别代入②①，得?

????

24＋7d >0，3＋d <0，

解得－24

7

(2)由d <0可知{a n }是递减数列，因此若在1≤n ≤12中，使a n >0且a n ＋1<0，则S n 最大． 由于S 12＝6(a 6＋a 7)>0，S 13＝13a 7<0，可得 a 6>0，a 7<0，

故在S 1，S 2，…，S 12中S 6的值最大．

18[解析] (1)由等差数列的性质得，a 3＋a 4＝a 2＋a 5＝22， 又a 3·a 4＝117，所以a 3，a 4是方程x 2－22x ＋117＝0的解， 又公差大于零，故解得a 3＝9，a 4＝13， 所以公差d ＝a 4－a 3＝13－9＝4，首项a 1＝1.

所以通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d ＝1＋4(n －1)＝4n －3. (2)由(1)知：S n ＝n (1＋4n －3)2＝2n 2－n ，

所以b n ＝S n

n ＋c ＝2n 2－n n ＋c

.

故b 1＝1c ＋1，b 2＝6c ＋2，b 3＝15

c ＋3.

令2b 2＝b 1＋b 3，即12c ＋2＝1c ＋1＋15

c ＋3，

所以2c 2＋c ＝0.

因为c ≠0，故c ＝－1

2，此时b n ＝2n 2－n n －1

2＝2n .

当n ≥2时，b n －b n －1＝2n －2(n －1)＝2.

所以当c ＝－1

2

时，{b n }为等差数列．

[十、十一]

1[答案] B

[解析] 98·(23)n －1＝13，∴(23)n －1＝827＝(2

3)3∴n ＝4.

2[答案] A

[解析] ∵{a n }是等比数列，a 1＋a 2＝3，a 2＋a 3＝6， ∴设等比数列的公比为q ，

则a 2＋a 3＝(a 1＋a 2)q ＝3q ＝6，∴q ＝2. ∴a 1＋a 2＝a 1＋a 1q ＝3a 1＝3，∴a 1＝1， ∴a 7＝a 1q 6＝26＝64. 3[答案] A

[解析] a 4＝a 1q 3＝q 3＝8，∴q ＝2，∴a 5＝a 4q ＝16. 4[答案] C

[解析] m －k ＝(a 5＋a 6)－(a 4＋a 7) ＝(a 5－a 4)－(a 7－a 6)

＝a 4(q －1)－a 6(q －1)＝(q －1)(a 4－a 6) ＝(q －1)·a 4·(1－q 2)

＝－a 4(1＋q )(1－q )2<0(∵a n >0，q ≠1)． 5[答案] B

[解析] 设公比为q ，由已知得a 1q 2·a 1q 8＝2(a 1q 4)2，即q 2＝2， 因为等比数列{a n }的公比为正数，所以q ＝2， 故a 1＝a 2q ＝12＝2

2，故选B.

6[答案] B

[解析] 由条件知?????

a 2

＝－b b 2

＝ac ＝9

c 2＝－9b

，

∵?

????

a 2

≥0，a ≠0，∴a 2>0，∴b <0，∴b ＝－3，故选B. 7[答案] 3·2n －

3

[解析] ∵????? a 3＝3a 10＝384，∴?????

a 1q 2

＝3

a 1q 9＝384

∴q 7＝128，∴q ＝2，∴a 1＝34，∴a n ＝a 1q n －1＝3·2n －

3.

8[答案] 648

[解析] 设公比为q ，则8q 6＝5 832，∴q 6＝729， ∴q 2＝9，∴a 5＝8q 4＝648. 9[答案] a n ＝2n

－1

或a n ＝(－2)n －

1

[解析] 设等比数列{a n }的公比为q ，则 20＝a 3＋a 5＝q 2(a 1＋a 3)＝5q 2， ∴q 2＝4，∴q ＝±2，

代入a 1＋a 3＝5中，得a 1＝1， 当q ＝2时，a n ＝2n －

1；

当q ＝－2时，a n ＝(－2)n －

1.

10[解析] (1)设{a n }的公比为q ， 由已知得16＝2q 3，解得q ＝2， ∴a n ＝a 1q n －

1＝2n .

(2)由(1)得a 3＝8，a 5＝32，则b 3＝8，b 5＝32， 设{b n }的公差为d ，则有

????? b 1＋2d ＝8，b 1＋4d ＝32，解得?????

b 1＝－16，d ＝12.

从而b n ＝－16＋12(n －1)＝12n －28， ∴数列{b n }的前n 项和S n ＝n (－16＋12n －28)

2

＝6n 2－22n .

11[答案] C

[解析] ∵a 2，1

2a 3，a 1成等差数列，∴a 3＝a 2＋a 1，

∵{a n }是公比为q 的等比数列，∴a 1q 2＝a 1q ＋a 1， ∴q 2－q －1＝0，∵q >0，∴q ＝5＋1

2

. ∴

a 3＋a 4a 4＋a 5＝a 3＋a 4(a 3＋a 4)q ＝1

q

＝5－12.

12[答案] C

[解析] ∵a 1、a 3、a 7为等比数列{b n }中的连续三项， ∴a 23＝a 1·a 7，设{a n }的公差为d ，则d ≠0， ∴(a 1＋2d )2＝a 1(a 1＋6d )，∴a 1＝2d ， ∴公比q ＝a 3a 1＝4d

2d

＝2，故选C.

13[答案] C

[解析] ∵a ，b ，c 成等比数列， ∴b 2＝ac >0.

又∵Δ＝b 2－4ac ＝－3ac <0， ∴方程无实数根． 14[答案] C [解析]

1log a x ＋1log c x

＝log x a ＋log x c ＝log x (ac )＝log x b 2 ＝2log x b ＝2

log b x

∴

1log a x ，1log b x ，1log c x

成等差数列． 15[答案] 15.5

[解析] 每次剩下原来的1920，∴逐次剩下的酒精量就构成以19为首项，以19

20为公比的

等比数列{a n }，

∴a n ＝19·(1920

)n －

1

∴a 5＝19·(19

20)4＝19×0.954≈15.5 (L)，

故倒5次后容器中剩下纯酒精15.5L. 16[答案] x ＋y －7＝0

[解析] 由条件得x 1＝3，x 2＝5，y 1＝2，y 2＝4，

∴MN 的中点(4,3)，k MN ＝1，∴MN 的中垂线方程为y －3＝－(x －4)，即x ＋y －7＝0. 17[证明] 当n ＝1时，a 1＝S 1＝21－1＝1. 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n －1)－(2n －

1－1)

＝2n －2n －

1＝2n －

1.

又当n ＝1时，2n －

1＝21－

1＝1＝a 1，

∴a n ＝2n －

1.

∴a n ＋1a n ＝2(n ＋

1)－

12

n －1＝2(常数)， ∴{a n }是等比数列．

18[解析] 设这个城市平均每年要新增住房x 万m 2，据题意20×8＋4x ＝20(1＋1%)4·10 ∴x ＝50×1.014－40≈12.

答：这个城市平均每年至少需新增住房12万m 2

.

[十二、十三]

1[答案] B

[解析] ∵q 2＝a 3＋a 4

a 2＋a 1＝9，∴q ＝±3，

因此a 4＋a 5＝(a 3＋a 4)q ＝27或－27.故选B. 2[答案] B

[解析] 设A ＝a 1a 4a 7…a 28，B ＝a 2a 5a 8…a 29， C ＝a 3a 6a 9…a 30，则A 、B 、C 成等比数列， 公比为q 10＝210，由条件得A ·B ·C ＝230，∴B ＝210， ∴C ＝B ·210＝220. 3[答案] A [解析] 设

b n ＝a 2

n ，则b n ＋1b n ＝a 2n ＋1a 2n ＝(a n ＋1a n

)2＝q 2，

∴{b n }成等比数列；2a n ＋1

2a n ＝2a n ＋1－a n ≠常数；

当a n <0时lg a n 无意义；设c n ＝na n ， 则

c n ＋1c n ＝(n ＋1)a n ＋1na n ＝(n ＋1)q

n

≠常数． 4[答案] D

[解析] a 2a 10＝a 5a 7＝6.

由????? a 2a 10＝6a 2＋a 10

＝5，得????? a 2＝2a 10＝3或?????

a 2＝3a 10＝2. ∴

a 18a 10＝a 10a 2＝32或2

3

.故选D. 5[答案] D

[解析] ????

?

2b ＝a ＋c a 2＝bc

消去a 得：4b 2－5bc ＋c 2＝0，

∵b ≠c ，∴c ＝4b ，∴a ＝－2b ，代入a ＋3b ＋c ＝10中得b ＝2，∴a ＝－4. 6[答案] B

[解析] 设前三项分别为a 1，a 1q ，a 1q 2，后三项分别为a 1q n －

3，a 1q n －

2，a 1q n －

1.

所以前三项之积a 31q 3＝2，后三项之积a 31q

3n －

6

＝4. 两式相乘得，a 61q

3(n －1)

＝8，即a 21q

n －

1

＝2. 又a 1·a 1q ·a 1q 2·…·a 1q n －

1＝a n 1q

n (n －1)

2

＝64， 即(a 21q n －

1)n ＝642，即2n ＝642.所以n ＝12.

[点评] 运用性质a 1a n ＝a 2a n －1＝a 3a n －2，有(a 1a n )3＝2×4＝8，∴a 1a n ＝2，

∴a 1a 2…a n ＝(2)n ＝2n

2＝64，∴n ＝12.

7[答案] 0

[解析] ∵??? a 2>a 1a 3>a 2∴?????

a 1q >a 1

a 1q ＜a 1q

2∴0＜q ＜1. 8[答案]

13

16

[解析] ∵a 1，a 3，a 9成等比∴a 2

3＝a 1a 9，即(a 1＋2d )2＝a 1(a 1＋8d )，∴d ＝a 1，∴a n ＝a 1

＋(n －1)d ＝nd ，

∴

a 1＋a 3＋a 9a 2＋a 4＋a 10＝13 d 16 d ＝13

16

.

9[答案] 3或27

[解析] 设此三数为3、a 、b ，则?????

2a ＝3＋b

(a －6)2

＝3b ， 解得????? a ＝3b ＝3或?????

a ＝15

b ＝27

， ∴这个未知数为3或27.

10[解析] 由题意设此四个数为b

q ，b ，bq ，a ，

则有????

?

b 3

＝－8，2bq ＝a ＋b ，

ab 2q ＝－80，

解得????

?

a ＝10，

b ＝－2，

q ＝－2

或???

??

a ＝－8，

b ＝－2，q ＝52.

所以这四个数为1，－2,4,10或－4

5，－2，－5，－8.

11[答案] A

[解析] 解法1：a ＝log 23，b ＝log 26＝log 2 3＋1， c ＝log 2 12＝log 2 3＋2. ∴b －a ＝c －b .

解法2：∵2a ·2c ＝36＝(2b )2，∴a ＋c ＝2b ，∴选A. 12[答案] C

[解析] 依题意，a 1，a 3，a 5，a 7，a 9，a 11构成以2为首项，2为公比的等比数列，故a 11＝a 1×25＝64，a 12＝a 11＋2＝66.故选C.

[点评] 本题容易出现由a n ＋1＝a n ＋2得出{a n }成等差数列的错误． 13[答案] A

[解析] 设等差数列首项为a 1，公差为d ，则

q ＝a n a k ＝a p a n ＝a p －a n a n －a k ＝

[a 1＋(p －1)d ]－[a 1＋(n －1)d ][a 1＋(n －1)d ]－[a 1＋(k －1)d ]＝p －n n －k ＝n －p

k －n

.

故选A. 14[答案] D

[解析] 由题意可知1是方程之一根，若1是方程x 2－5x ＋m ＝0的根则m ＝4，另一根为4，设x 3，x 4是方程x 2－10x ＋n ＝0的根，则x 3＋x 4＝10，这四个数的排列顺序只能为1、x 3、4、x 4，公比为2、x 3＝2、x 4＝8、n ＝16、m n ＝1

4；若1是方程x 2－10x ＋n ＝0的根，另一

根为9，则n ＝9，设x 2－5x ＋m ＝0之两根为x 1、x 2则x 1＋x 2＝5，无论什么顺序均不合题意．

15[答案] 4,12,36

[解析] ∵a 、b 、c 成等比数列，公比q ＝3，∴b ＝3a ，c ＝9a ，又a ，b ＋8，c 成等差数列，∴2b ＋16＝a ＋c ，

即6a ＋16＝a ＋9a ，∴a ＝4，∴三数为4,12,36. 16[答案] 3

5

[解析] 本题考查等比数列及古典概型的知识．

等比数列的通项公式为a n ＝(－3)n －

1.所以此数列中偶数项都为负值，奇数项全为正值．

若a n ≥8，则n 为奇数且(－3)n －

1＝3n －

1≥8，则n －1≥2，∴n ≥3，∴n ＝3,5,7,9共四项

满足要求．∴p ＝1－410＝3

5

.

[点评] 本题可以直接列举出这10个数找出小于8(或大于等于8)的数即可，直接考虑情况较多时，也可以从其对立面来考虑问题．

17[解析] 原计划三年产值成等差数列，设为a －d ，a ，a ＋d ，d >0，由三年总产值为300万元，得a ＝100万元，又a ＋10－d ，a ＋10，a ＋11＋d 成等比数列，得(a ＋10)2＝(a ＋10－d )(a ＋11＋d )，∴(110－d )(111＋d )＝1102?d 2＋d －110＝0?d ＝10，或d ＝－11(舍)．∴原计划三年的产值依次为90万元，100万元，110万元．

18[解析] (1)依题意：S n ＝2n －1(n ∈N *)， ∴当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －2n －

1＝2n －

1.

当n ＝1，S 1＝a 1＝1，∴a n ＝2n －

1(n ∈N *)．

(2)因为b n ＝log 2a n －12＝n －13，所以数列{b n }是等差数列． ∴T n ＝n 2－25n 2＝12(n －252)2－6258

.

故当n ＝12或13时，数列{b n }的前n 项和最小． (3)∵T n －b n ＝n 2－25n 2－(n －13)＝n 2－27n ＋26

2

＝

(n －1)(n －26)

2

<0，

∴1

所以不等式的解集为{n |1

}．

[十四、十五]

1[答案] C

[解析] S 4＝1，S 8＝S 4＋q 4·S 4＝1＋q 4＝17∴q ＝±2. 2[答案] B

[解析] 由a 4(q －1)＝576，a 1(q －1)＝9， ∴a 4

a 1

＝q 3＝64，∴q ＝4，∴a 1＝3， ∴a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝3×(45－1)

4－1＝1 023.

3[答案] B

[解析] 本题考查了等比数列的通项公式及等比数列的性质． ∵a 3a 11＝16，∴a 27＝16，∵a n >0，∴a 7＝4， ∴a 10＝a 7q 3＝4×23＝25，∴log 2a 10＝5，故选B.

[点评] 利用等比数列的性质求得a 7的值，进而求出结果． 4[答案] B

[解析] {a n }是正数组成的等比数列，∴a 3＝a 2a 4＝1，又S 3＝7，∴?????

a 1

q 2

＝1a 1(1－q 3)1－q ＝7，

消去a 1得，q 2

＋q ＋1q 2

＝7，解之得q ＝1

2，∴a 1＝4，∴S 5＝4×????1－1

251－12

＝314

. 5[答案] C

[解析] ∵a n ＋1＝1－23S n ，∵n ≥2时，a n ＝1－2

3S n －1

相减得：a n ＋1－a n ＝－2

3a n ，∴a n ＋1a n ＝13.

6[答案] D

[解析] ∵a 1＋a 2＋a 3＝21，∴a 1(1＋q ＋q 2)＝21， 又∵a 1＝3，∴1＋q ＋q 2＝7， ∵a n >0，∴q >0，∴q ＝2，

∴a 3＋a 4＋a 5＝q 2(a 1＋a 2＋a 3)＝22×21＝84. 7[答案] －1

[解析] a 10＋a 11＋…＋a 99＝S 99－S 9 ＝log 0.1100－log 0.110＝－2－(－1)＝－1. 8[答案] 3

[解析] 若q ＝1时，S 3＝3a 1，S 6＝6a 1，显然S 6≠4S 3，故q ≠1， ∴a 1(1－q 6)1－q ＝4·a 1(1－q 3)1－q ，∴1＋q 3＝4，∴q 3＝3.

∴a 4＝a 1q 3＝3. 9[答案] 15

[解析] 设数列{a n }的首项为a 1，则S 4＝a 1(1－1

24)

1－12＝158a 1，a 4＝a 1·(12)3＝1

8a 1，

∴S 4a 4＝158a 11

8a 1

＝15. 10[解析] ∵a 1a n ＝a 2a n －1＝128，又a 1＋a n ＝66，∴a 1、a n 是方程x 2－66x ＋128＝0的两根，解方程得x 1＝2，x 2＝64，∴a 1＝2，a n ＝64或a 1＝64，a n ＝2，显然q ≠1.

若a 1＝2，a n ＝64，由a 1－a n q 1－q ＝126得2－64q ＝126－126q ，∴q ＝2，由a n ＝a 1q n －

1得

2n －

1＝32，∴n ＝6.

若a 1＝64，a n ＝2，同理可求得q ＝1

2，n ＝6.

综上所述，n 的值为6，公比q ＝2或1

2.

11[答案] B

[解析] ∵S 6

S 3＝3，∴S 6＝3S 3，∴S 6－S 3S 3＝2，

∵S 3，S 6－S 3，S 9－S 6成等比，∴S 9－S 6S 3＝22

，

∴S 9＝4S 3＋S 6＝7S 3， ∴S 9S 6＝7S 33S 3＝7

3，∴选B. 12[答案] B

[解析] S 2010＝1＋(－2)＋3＋(－4)＋…＋2009＋(－2010)＝(－1)·2010

2＝－1005.

13[答案] D