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平面向量的数量积知识点及归纳总结

知识点精讲

一、平面向量的数量积

(1) 已知两个非零向量a r 和b r ，作OA →＝a r ，OB →＝b r ，∠AOB ＝θ(0≤θ≤π)叫作向量a r 与b r 的夹角．记作,a b r r ，

并规定,a b r r []0,π∈.如果a r 与b r 的夹角是2

，就称a r 与b r 垂直，记为a b ⊥r r .

(2) |a r || b r |cos ,a b r r 叫作a r 与b r 的数量积(或内积)，记作a b ?r r ,即a b ?r r ＝| a r || b r |cos ,a b r r . 规定：零向量与任一向量的数量积为0.两个非零向量a r 与b r 垂直的充要条件是a b ?r r

=0.

两个非零向量a r 与b r 平行的充要条件是a b ?r r ＝±| a r || b r

二、平面向量数量积的几何意义

数量积a b ?r r 等于a r 的长度| a r |与b r 在a r 方向上的射影| b r |cos θ的乘积．即a b ?r r ＝| a r || b r |cos θ.( b r 在a r 方

向上的射影| b r |cos θa b a ?=r r r ;a r 在b r 方向上的射影| a r |cos θa b

?=r r

r ).

三．平面向量数量积的重要性质性质1 ||cos e a a e a θ?=?=. 性质2 .a b a b 0⊥??=

性质3 当a 与b 同向时||||a b a b ?=；当当a 与b 反向时-||||a b a b ?=.

22||a a a a ?==或||a 性质4 cos ().||||

a b

a 0b 0a b 且θ?=

≠≠

性质5 ||||||.a b a b ?≤

注利用向量数量积的性质2可以解决有关垂直问题；利用性质3可以求向量长度；利用性质4可以求两向量夹角；利用性质5可解决不等式问题. 四、平面向量数量积满足的运算律（1）a b=b a ??（交换律）；

（2）()=()(a b a b a b λλλλ??=?为实数）；（3）(+)=a b c a c b c ??+?（分配律）。

数量积运算法则满足交换律、分配律，但不满足结合律()()a b c a b c ??≠?，不可约分

=a b a c b c ???=.

五、平面向量数量积有关性质的坐标表示

设向量11221212=(x ,y ),=(x ,y ),x x +y y a b a b 则?=由此得到

（1）若2

=(,),||+||x y x y a a a a 则或===

（2）设1122(x ,y ),(x ,y ),,A B A B 则两点间距离||AB =u u u r （3）设1122=(x ,y ),=(x ,y ),a b a b 是与θ的夹角，则

cos q =

○1非零向量,,a b a b ⊥的充要条件是12120x x y y +=.

○

2由

|cos |1q =?得22

22212121122()()|()x x y y x y x y +?+.

六、向量中的易错点

（1）平面向量的数量积是一个实数，可正、可负、可为零，且||||||祝

a b a b .

（2）当1a 0时，由0?a b 不能推出b 一定是零向量，这是因为任一与a 垂直的非零向量b 都有0?a b .

当1

a 0时，且??a

b a

c 时，也不能推出一定有=b c ，当b 是与a 垂直的非零向量，c 是另一与a 垂

直的非零向量时，有0??a b a c ，但1b c .

（3）数量积不满足结合律，即坠

?(a b)c (b c)a ，这是因为×(a b)c 是一个与c 共线的向量，而×(b c)a

是一个与a 共线的向量，而a 与c 不一定共线，所以×(a b)c 不一定等于×(b c)a ，即凡有数量积的结合律形式的选项，一般都是错误选项.

（4）非零向量夹角为锐角（或钝角）.当且仅当0?a b 且(0)λλ?a b （或0?a b ，且(0))λλ?a b

题型归纳及思路提示

题型1 平面向量的数量积思路提示

平面向量的数量积的计算有其定义式和坐标式，若告诉坐标或容易建立坐标系利用坐标计算，否则运用定

义式.这里要考虑将向量尽可能转化为共线或垂直. 一、平面向量的数量积

例5.19 （1）在=?==∠?AC AB 则,4,90中，0

AC C ABC Rt （） A ． -16 B. -8 C. 8 D.16

（2）（2012北京理13）已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则

=?CB DE ________;DC DE ?的最大值为___________.

（3）在中ABC ?，M 是BC 的中点AM=1，点P 在AM 上且满足PM 2AP =，则)PB (PA PC +?等于

( ) A ．94-

B. 34-

C. 34

D.9

分析利用向量数量积的几何意义（投影）求解.

解析（1）在2

|AC |cos |AC ||AB |AC AB 则,90中，=?=?=∠?A C ABC Rt =16，故选D. （2）如图5-25所示，1|CB |CB DE 2==?，过点E 作DC EF ⊥

于点F ，=?DC DE

|DC ||DF |cos |DC ||DE |=∠?CDE ，所以1)DC DE (2

max ==?DC

（3）如图5-26所示，因为点M 是BC 的中点，故PM PC 2PB =+，

)1(31322cos ||||22)PB (PA -=-???

=?=?=+?πPM PA PM PA PC .故选A. 变式1 如图5-27所示，在平行四边形ABCD 中，BD AP ⊥

，垂足为P ，且3=AP ，则

AC AP ?=_____________.

变式2 在3,2,1中，===?AC BC AB ABC ，若G 为ABC ?的重心，则AC AG ?=_____________.

例5.20（2012江苏9）如图5-28所示，在矩形ABCD 中，2,2==BC AB ，点E 为BC 的中点，点

F 在边CD 上，若BF AE ?=?则,2AF AB 的值是：_____________.

解析解法1：用AD ,AB 表示BF ,AE 是关键. 设AB DF x =，则AB )1(CF -=x .

,22)AD (AB )AD (AB AF AB 2

==+?=+?=?x AB

x AB x DF 所以2

所以AB CF )12

(

AD BC BF -+=+=， ])12

2(AD [)21AB (])122(

AD [)AB (BF AE AB BC AB BE -+?+=-+?+=? 242

2)122(21)122(22=

?+?-=+-=AD AB .

解法二：向量数量积的坐标运算。以AB 为x 轴，AD 为y 轴，建立平面直角坐标系xAy ，如图5-29所示.

)1,2(),2,0(),0,2(),0,0(E D B A ，设),2,(),0,2(则),2,(x AF AB x F ==

图5-25

图5-26

图5-27

图5-28

D A

D E

由22==?x AF AB ，得x=1.

则),2,21(),1,2(-==BF AE 所以2=

?BF AE .

变式1 如图5-30所示在D AC AB BAC ABC ,1,2,120中，0

===∠?是边BC 上一点，

=?=BC AD BD DC 则,2______________.

变式2 如图5-31

所示，在=?==

⊥?AD AC AD BC AB AD ABC 则,1||,中，____________.

变式3 (2012天津理7)已知ABC ?为等边三角形，AB=2.设点P ，Q 满足

=?∈-==λλλλ则,2

若,,)1(,CP BQ R AC AQ AB AP （）. A ．

B ．221±

C ．2101± D.2223±-

例5.21 已知向量a,b,c

满足,|12|===a+b+c 0a |,|b |,|c 则

???a b b c c a

_____________.

解析由2

2()

,++=a b c 0得2222220+++???a b c a b b c a c ，所以

222222127

222

++++???-=-=-a b c a b b c a c .

变式1在,6||,4||,3||中，若===?AC BC AB ABC 则

CA BC BC AB ?+?AB CA ?+=____________.

变式2 向量a,b,c 满足,++=a b c 0且^

a b,||1||2==a

b ,，

则|=|c ______. 变式3 设向量a,b,c 满足,++=a b c 0且(),-^

^a b c a b,若|1=a |,,则

222|||||++=a b |c _____________.

例5.22 设a,b,c 是单位向量且0?a b ,则-?(a c)(b c)的最小值为（）.

A ．2- B.

22- C. 1- D.21-

图5-30

图5-31

解析由2-?=??+(a c)(b

c)a b c (a b)c 又0?a b ,得

21||||cos (a c)(b c)c c(a b)c a b c,a

b -?=-+=-+?

?1,a

b,c =-??

显然最小值为

1- D.

变式1 已知a,b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足0,(a c)(b c)-?=则||c 的最大值是

（）

A ．1 B. 2

变式2 （2012安徽理14）若平面向量a,b 满足|23a b |-?，则a b ×的最小值是：_____.

例5.23 在ABC D 中，M 是BC 的中点，AM=3，BC=10，则AB AC ×u u u r u u u r

=____________.

解析如图5-32所示，因为M 为BC 的中点，所以()()AB AC AM MB AM MC ?+?u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u u r

2222()()()2

AM MB AM

MB AM MB AM =+?=-=-u u u r

u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r 232516=-=-.

评注利用中线向量求解AB AC ×u u u r u u u r ，可得衍生结论2

CB AB AC

AM ?-u u u r

u u u r u u u r u u u u r ,利用这一结论可求解向量数量积运算中有关中线向量所涉及的最值计算的问题，其变式题如下. 变式1 设ABC D ，0P 是边AB 上一点，满足01

P B AB =

且对于边AB 上任一点P ，恒有00PB PC

P B PC 壮?u u u r u u u r

u u u r u u u r

,则（） A. 090ABC

? B. 090BAC

? C. AB AC = C. AC BC =

变式2 点P 是棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -的底面1111A B C D 上一点，则1PA PC ×u u u r u u u u r

的取值范围是

（）.

1[1,]4--

B. 11[,]24--

C. [1,0]- C. 1

[,0]2

- 二．平面向量的夹角

求夹角，用数量积，由||||cos a b a b q ??

得cos ||||

a b

a b q ×==

×，

进而求得向量a,b 的夹角.

图5-32

例5.24

已知向量(1(2,0),a b ==-则a,b 的夹角是___________. 解析设a,b 的夹角为q ，

则cos q =

又[0,]q p ?，所以23

p q =

. 例5.25 已知a,b 是非零向量且满足(2),(2),a b a b a b -^-^则a,b 的夹角是（）.

A ．6π

B ．3

C ．23π D.56π

分析要求a,b 的夹角q ，即利用公式cos ||||

a b

a b q ×=×求解.因此，应充分利用题设中的两个垂直条件，探

求||||a b ×与a b ×

之间的关系. 解析由已知有2222(2)020(2)020

a a

b a a b a b b b a b a b

ìì??=-??镲揶=眄镲?=-?????，即||||a b =

由公式cos ||||a b a b q ×=×得22

211||1

22cos ||||||2a a a b a q ===×，又[0,]q p ?，所以3

πθ=选B.

评注求两向量的夹角主要是应用公式cos ||||

a b

a b q ×=

×来解决，为此应该求出a b ×的值或与||||a b ×的关

系，或在a,b 坐标已知的情况下直代带入计算.

例5.26 已知向量a,b,c 满足|12,,===+^

a |,|

b |,

c a b c a 则a,b 的夹角为（）

A ．

6π B ．3π C ．23π D.2

解析解法一：因为cos ,,||||

a b

a b c a a b ×狁=^×，又因为2()1,a b

a c a a c

a ??=?=-

所以1

cos ,,2

a b 狁=-

因为00,[0,180]a b 狁

?，所以0,120a b 狁=，故选C. 解法二：如图5-33所示，在平行四边形OABC 中，,1,OA BC ^==a c 2,OB =

90,BCO ?所以0

30BOC

?，故a,b 的夹角为0

120.

图5-33

变式1 已知a,b 是非零向量，且满足||||||a b a b ==-，则a 与a b +的夹角是_________. 变式2 若平面向量α,β满足||1,||1αβ=?，且以向量α,β为邻边的平行四边形的面积为1

，则α,β的夹角q 的取值范围是___________.

例题5.27 已知|||1,a b ==a,b 的夹角为045，求使向量a b l +与a b l +的夹角为锐角的l 的取值

范围.

分析由公式cos ||||

a b

a b q ×=

×可知，夹角q 若为锐角，则cos 0q >，即0a b

?，同时也应注意从以上结

果中排除同向共线这一情形.

解析设a b l +与a b l +的夹角为q ，则()()

cos 0||||

a b a b a b a

b l l q l l +?=>+?且cos 1q 1，因为cos 0q >，所以()()0a b a b l l +?>，展开得222(1)0,a a b b l l l ++?>

由0|||1,||||cos 451a b a b a b =

=??，可将上述不等式化为22(1)0,l l l +++>即

2310,l l ++>解得l >

l <. 由cos 1q 1可知夹角q 不等于00，即两向量不同向共线. 假设向量a 与向量b 同向共线，则()(0)k k a b a b l l +=+>，

则1,k k l l ==，所以.21,1, 1.k k l ===所以当两向量不同向共线时，得 1.l 1

故当l >

l <且1l 1时，满足题意.

即33(,

(,1)(1,)22

l ---+?ト??. 评注注意当()()0a b a b l l +?>时，已包括了向量a b l +与a b l +的夹角为00，即方向相同的情况，

故应排除.本题若改为“a b l +与a b l +的夹角为钝角，求l 的范围”，同样需用()()0a b a b l l +?<且

排除两向量方向相反的情况.

变式1 设两个向量12,e e ，满足1212||2,||1,,e e e e ==的夹角为3

，若向量1227t e e +与12t e e +的夹角为钝角，求实数t 的范围.

变式2 已知a 与b 均为单位向量，其夹角为q ，有下列四个命题：

1222:||1[0,

);:||1(

,];3

p p a b a b p p

q q p +>畚+>畚 32:||1[0,);

:||1(,];3

p p a b a b p

q q p ->畚->畚

其中的真命题是（）

A ．14,p p

B ．13,p p

C ．23,p p D.24,p p

变式3 若向量a 与b 不共线，0,(

)a a

a b

c a b a b

且×坠=-×，则向量a 与c 的夹角为（） A ．0 B ．6π C ．3π D.2

三、平面向量的模长

求模长，用平方，||a =

例5.28 已知||||5a b ==，向量a 与b 的夹角为

，求||,||a b a b +-.

分析关系式22||a a a a ==?可使向量的长度与向量的数量积互相转化，因此欲求||a b +，可求

2||()()a b a b a

b +=+?，将此式展开，由已知||||5a b ==，即2225a b ==，而25

||||cos 2

a b a b q

??，将上面各式的值代入，即可求得被求式的值. 解析因为2222||25,||25a a b b ====，25

||||cos 55cos

a b

a b p q ??创=

，

所以222

||275,||a b a b a b

a b +=++?+=. 同理222||225,||5a b a b a b

a b -=+-?-=.

评注在求解向量的模长时，常用到如下公式来求解. （1）22||a a a a ==?

或||a =；

（2）2

22||2a b a b a b ?+弊；

（3）若(,)x y a =

则||a =

变式1 已知向量,a b 满足||1,||2,a b ==,a b 的夹角为060，则||a b -=________. 变式2 已知向量,a b 满足||1,||2,a b ==||a b -=2,则||a b +等于( ) A ．1 B

变式3在ABC D 中，已知0

||3,||4,60AB BC ABC

u u u r u u u r

==?求||AC uuu r

例5.29已知向量,a b 的夹角为0120

,||3,||a a b =+=,则||b 等于（）

A ．5

B ．4

C ．3

D.1

解析解法一：因为222||2a b a b a b +=++?，所以0213923||cos120||b b =+?，即

21393||||b b =-+，得||1b =-（舍）或||4b =，故选B.

解法二：如图5-34所示，设,OA AB a b u u u r u u u r ==，则OB a b u u u r

+=，且060A

?，

由余弦定理得222||||||cos 2||||A a b a b a b +-+=×，所以219||13

223||

b b +-=创，

所以2||3||40b b --=，解得||1b =-（舍）或||4b =，故选B.

变式1已知向量,a b 的夹角为045

,||1,|2|a a b =-=则||b =____.

变式2 已知||||2,(2)()2a b a b a

b ==+?=-，则,a b 的夹角为________.

变式3 设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，216,||||BC AB AC AB AC u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r =+=-,则||AM u u u u r

=（）

A ．8

B ．4

C ．2

D.1

例5.30 已知平面向量(,)α,βα0αβ构，满足||1β=，且αβα与-的夹角0120，则||α的取值范围是

___________.

解析如图5-35所示，在ABC D

中，由正弦定理知：

||||||sin ||=sin 60sin sin 60AB AB ααu u u r u u u r q

q q =?，因为00

(0,120)q ?

，所以||α?.

变式1 若a,b,c 均为单位向量，且0,()()0a b

a c

c |

?-??，则||+-a b c 的最大值为（） A

1 B ．1 C

D.2

变式2 已知,a b 为单位向量，0a b ?，若向量c 满足||--c a b ，则||c 的取值范围是（）

．1] B

．2] C

．1]

D.2]

例5.31 在平面上，121212,||||1,AB AB OB OB AP AB AB u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u u r ^===+，若1

||2

OP u u u r <，则||OA u u u r 的取值范围

是（）.

图5-34

．(0,2

．,22

．(2

D.(2

分析作出示意图，利用矩形12AB PB 的性质求得模长的恒等式，从而求解取值范围，也可建立平面直角坐标系，通过坐标的运算来求解.

解析解法一：依题意，如图5-36（a ）所示，连接12B B 交AP 与点O’,在矩形12AB PB 中，O 为平面上任意

一点，2',OA OP OO OA OP PA u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r +=-=,所以

()()OA OP OA OP u u u r u u u r u u u r u u u r ++- 222

4'2()OO PA OA OP u u u u r u u u r u u u r u u u r =+=+,因此22()2'2

PA OA OP OO u u u r

u u u r u u u r u u u u r +=+, 同理222212

12122',|||2

B B OB OB OO PA B B u u u u r

u u u r u u u u r u u u u r u u u r u u u u r 且|+=+=,因此2222

12OA OP OB OB u u u r u u u r u u u r u u u u r +=+,

所以22222122OA OB OB OP OP u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r =+-=-，又21[0,)4OP u u u r ?，所以27

(,2]4OA u u u r ?,

即||OA u u u u r ?

解法二：因为1212120()(AB AB AB AB OB OA u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u ^圩=??22121

2121

2()0()OB OB OA OB OB OA OB OB OA OB OB OA u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r 圩-?+=圩-?=-

又1212AP AB AB OP OA OB OA OB OA u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r =+?=-+-12OP

OB OB OA u u u r

u u u r u u u u r u u u r ?+-

2222121212222OP OB OB OA OB OB OB OA OB OA u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r ?+++??? 22222221222OP

OB OB OA OA OA

OP u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ?++-?-.

因为1||[0,)2OP u u u r ?，所以27

(,2]4

OA u u u r ?故||2OA u u u u r ?，故选D. 解法三：如图5-36（b ）所示建立平面直角坐标系xAy.

设12(,0),(0,)(,)B a B b P a b O x y ，则（

,)，再设由221222||1()1,||1()1OB x a y OB x y b 得ìì?=-+=?镲眄镲=+-=???

?（*） .因为1||2OP u u u r <,所以221()()4x a y b -+-<. 由（*）得2

()11x a y y 且-=-?，且2

()11y b x x 且-=-?

B P

(a)

(b)

图5-36

故22221()()=24x a y b x y -+---<

，所以227

x y <+?，

因此||2

OA u u u r

。故选D 。评注矩形12AB PB 中O 为平面上任意一点，有222

12OA OP OB OB u u u r u u u r u u u r u u u u r +=+.

变式1 在直角三角形ABC 中，点D 是斜边AB 的中点，点P 为线段CD 的中点，则222||||

PA PB PC u u u r u u u r u u u r +=（） A ．2

B ．4

C ．5

D.10

最有效训练题

1.下列四个命题中真命题的个数为（）

○

1若0?a b ，则^a b ；○2若??a b b c ，且=1b 0a c 则； ○

3()()鬃=鬃a b c a b c ；○4222()??a b a b . A ．1 B ．2C ．3 D.4

2.已知向量(1,1),2(4,2)=+=a a b ，则向量,a b 的夹角为（）.

A ．6π

B ．4

C ．3π D.2π

3.已知向量(1,2),(2,3)==-a b ，若向量c 满足()/

/,()+^+c a b c a b ，则c =（）

A ．77(,)93

B ．77(,)39-

C ．77(,)39 D.77(,)93

4.已知向量,a b 满足0,||1,||2,|2|?==-=a b a b a b 则（）

A ．0

．

C ．4

D.8

5.在直角梯形ABCD 中，已知//,,4,2,4BC

AD AB AD AB BC AD ^===若P 为CD 的中点，则

PA PB u u u r u u u r

g =（）

A ．-5

B ．-4

C ．4

D.5

6.已知点(1,1),(3,0),(2,1)A B C -,若平面区域D 由所有满足AP λAB μAC u u u r u u u r u u u r

1201λμ（，）

＃＃的点P 组成，则D 的面积为___________. 7.已知向量,a b 满足||2,=b a b 与的夹角为0

60，则b 在a 方向上的投影是_______.

8.已知(1,2),(1,1)==a b ，且λ+a a b 与的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是________.

9.已知向量(0,1),(2k ===+a b c a b c 若与垂直，则k =_______.

10.已知两点(1,0),(1,0)M N =-=,且点P 使,,NM NP PM PN MP MN u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u u r

g g g 成公差为非负实数的

等差数列.

（1）求点P 的轨迹方程；

（2）若θ为PM uuu u r 与PN u u u r

的夹角，求θ的取值范围.

11.已知向量2

(2cos ,2sin ),(sin ,cos ),(3),ααααt

==-=+-a b x a b

k t =-+y a b 且0x y g =

（1）求函数()k f t =的表达式；

（2）若[

1,3]t ?，求()f t 的最大值与最小值.

平面向量数量积说课稿

《平面向量数量积》说课稿一，说教材：平面向量数量积是人教版高一下册第五章第六节内容，本节课是以解决某些几何问题、物理问题等的重要工具。学习本节要掌握好数量积的定义、公式和性质，它是考查数学能力的一个结合点，可以构建向量模型，解决函数、三角、数列、不等式、解析几何、立体几何中有关长度、角度、垂直、平行等问题，因此是高考命题中“在知识网络处设计命题”的重要载体。二，说学生学生是天祝一中普通班学生，基础较薄弱。在学生已经学习了有关向量的基本概念和基础知识，同时也已经具备一定的自学能力，多数同学对数学的学习有相当的兴趣和积极性。但在探究问题的能力、合作交流的意识等方面发展不够均衡，尚有待加强。三，说教法以数学思维的完善和情感态度的发展为出发点，用多媒体辅助教学，在教师的组织、引导、参与下，以学生的积极动脑、动口为主线来促进学生的有效学习活动。以数学来源于生活，又服务于生活的理念来设计本节课。突出新知识必须在学生自主探索，交流合作的基础上让学生自己去发现和归纳。四，说学法 1、首先，从学生的认知特点出发，通过创设情境，以物理学中的功为主线，把整节课串联起来，在功的概念的复习中，不知不觉来学习新知识。 2、引导学生自主探究、合作交流根据已有的知识经验，归纳、总结新的知识等一系列活动， 3、设计几道技能训练题，激发学生的积极性，让学生主动的参与知识的巩固、深化过程。五，课时安排： 3课时，这是第一课时六，说教学过程一、创设情景引入新课问题1：如图所示，一物体在力F的作用下产生位移S，（1）力F所做的功W= 。（2） W（功）是量， F（力）是量， S（位移）是量， α是。问题1的设计意图在于使学生了解数量积的物理背景，让学生知道，我们研究数量积绝不仅仅是为了数学自身的完善，而是有其客观背景和现实意义的，从而产生了进一步研究这种新运算的愿望。同时，也为抽象数量积的概念做好铺垫。二、探究新知[师生互动]引出两个向量的夹角的定义： 1、定义：向量夹角的定义：设两个非零向量a=OA与b=OB,称∠AOB= 为向量a 与b的夹角，(00≤θ≤1800)，（此概念可由老师用定义的方式向学生直接接示）问题2 当两向量垂直，共线时其夹角是怎样的？注：（1）当非零向量a与b同方向时，θ=00 （2）当a与b反方向时θ=1800 （共线或平行时）

平面向量数量积

第三节平面向量数量积及应用重点： 1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义．了解平面向量的数量积与向量投影的关系． 2.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算． 3.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系． 4.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题．会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题．难点： 1.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算． 2 .会用向量方法解决某些简单的平面几何问题．会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题．教学过程： 1．平面向量的数量积 (1)定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|cos__θ叫作a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos__θ，规定零向量与任一向量的数量积为0，即0·a ＝0. (2)几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积． 2．平面向量数量积的性质及其坐标表示设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角． (1)数量积：a·b＝|a||b|cos θ＝x1x2＋y1y2. (2)模：|a|＝a·a＝x21＋y21.学-科网 (3)夹角：cos θ＝a·b |a||b|＝ x1x2＋y1y2 x21＋y21·x22＋y22 . (4)两非零向量a⊥b的充要条件：a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0. (5)|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立)?|x1x2＋y1y2|≤ x21＋y21·x22＋y22. 3．平面向量数量积的运算律 (1)a·b＝b·a(交换律)． (2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律)． (3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)．

平面向量的数量积与应用举例专题训练

平面向量的数量积与应用举例专题训练 A组基础题组 1.已知向量a=(2,1),b=(1,m),c=(2,4),且(2a-5b)⊥c,则实数m=( ) A.- B.- C. D. 2.已知向量a=(1,0),|b|=,a与b的夹角为45°,若c=a+b,d=a-b,则c在d方向上的投影为( ) A. B.- C.1 D.-1 3.向量a,b满足|a+b|=2|a|,且(a-b)·a=0,则a,b的夹角的余弦值为( ) A.0 B. C. D. 4.如图,已知平面四边形ABCD,AB⊥BC,AB=BC=AD=2,CD=3,AC与BD交于点O.记 I1=·,I2=·,I3=·,则( ) A.I1

10.已知向量a=(cos x,sin x),b=(3,-∈[0,π]. (1)若a∥b,求x的值; (2)记f(x)=a·b,求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值. B组提升题组 1.已知a、b均为单位向量,且a·b=0.若|c-4a|+|c-3b|=5,则|c+a|的取值范围是( ) A.[3,] B.[3,5] C.[3,4] D.[,5] 2.非零向量m,n的夹角为,且满足|n|=λ|m|(λ>0),向量组x1,x2,x3由一个m和两个n排列而成,向量组 y1,y2,y3由两个m和一个n排列而成,若x1·y1+x2·y2+x3·y3的所有可能值中的最小值为4|m|2,则λ = . 3.在平面直角坐标系xOy中,已知点A(-1,-2),B(2,3),C(-2,-1). (1)求以线段AB,AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长; (2)设实数t满足(-t)·=0,求t的值.

平面向量数量积练习题

平面向量数量积练习题一.选择题 1.下列各式中正确的是（）（1）(λ·a ) ·b =λ·(a b )=a · (λb ), （2）|a ·b |= | a |·| b |, （3）(a ·b )· c = a · (b ·c ), （4）(a +b ) · c = a ·c +b ·c A ．（1）（3） B ．（2）（4） C ．（1）（4） D ．以上都不对. 2.在ΔABC 中,若(CA CB)(CA CB)0+?-= ,则ΔABC 为（） A ．正三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．无法确定 3．已知|a |＝6，|b |＝3，a·b ＝－12，则向量a 在向量b 方向上的投影是( ) A ．－4 B ．4 C ．－2 D ．2 4.已知||=1,||=2，且(－)与垂直，则与的夹角为（） A ．60° B ．30° C ．135° D ．45° 5.设||= 4，||= 3，夹角为60°，则|+|等于（） A ．37 B ．13 C ．37 D ．13 6．设x ，y ∈R ，向量a ＝(x,1)，b ＝(1，y )，c ＝(2，－4)，且a ⊥c ，b ∥c ，则|a ＋b |等于( ) A. 5 B.10 C ．2 5 D ．10 7．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－3)．若向量c 满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，则c 等于( ) A.????79，73 B.????－73，－79 C.????73，79 D.????－79，－73 二.填空题 8.已知e 是单位向量，∥e 且18-=?e a ，则向量a =__________. 9．已知向量a ，b 夹角为45°，且|a |＝1，|2a －b |＝10，则|b |＝________. 10．已知a ＝(2，－1)，b ＝(λ，3)，若a 与b 的夹角为钝角，则λ的取值范围是__________．三.解答题 11． (10分)已知a ＝(1,2)，b ＝(－2，n ) (n >1)，a 与b 的夹角是45°. (1)求b ； (2)若c 与b 同向，且a 与c －a 垂直，求c .

平面向量的数量积教案;

§2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义一、教材分析：教科书以物体受力做功为背景，引出向量数量积的概念，功是一个标量，它用力和位移两个向量来定义，反应在数学上就是向量的数量积。向量的数量积是过去学习中没有遇到过的一种新的乘法，与数的乘法既有区别又有联系。教科书通过“探究”，要求学生自己利用向量的数量积定义推导有关结论。这些结论可以看成是定义的直接推论。教材例一是对数量积含义的直接应用。二、学情分析：前面已经学习了向量的概念及向量的线性运算，这里引入一种新的向量运算——向量的数量积，教科书以物体受力做功为背景引入向量数量积的概念，既使向量数量积运算与学生已有知识建立了联系，又使学生看到数量积与向量模的大小有及夹角有关，同时与前面的向量运算不同，其计算结果不是向量而是数量。三、三维目标： (一)知识与技能 1、学生通过物理中“功”等实例，认识理解平面向量数量积的含义及其物理意义，体会平面向量数量积与向量投影的关系。 2、学生通过平面向量数量积的3个重要性质的探究，体会类比与归纳、对比与辨析等数学方法，正确熟练的应用平面向量数量积的

定义、性质进行运算。 (二)过程与方法 1、学生经历由实例到抽象到抽象的的数学定义的形成过程，性质的发现过程，进一步感悟数学的本质。（三）情感态度价值观 1、学生通过本课学习体会特殊到一般，一般到特殊的数学研究思想。 2、通过问题的解决,培养学生观察问题、分析问题和解决问题的实际操作能力;培养学生的交流意识、合作精神;培养学生叙述表达自己解题思路和探索问题的能力. 四、教学重难点： 1、重点：平面向量数量积的概念、性质的发现论证； 2、难点：平面向量数量积、向量投影的理解；五、教具准备：多媒体、三角板六、课时安排：1课时七、教学过程：（一）创设问题情景，引出新课问题：请同学们回顾一下，我们已经研究了向量的哪些运算？这些运算的结果是什么？新课引入：本节课我们来研究学习向量的另外一种运算：平面向量的数量积的物理背景及其含义（二）新课：

平面向量数量积运算专题附答案

. 平面向量数量积运算平面向量数量积的基本运算题型一DCBCEFABCDBAD，，＝120°，点的边长为2，∠1 例(1)(2014·天津)已知菱形分别在边→→AFDFAEBCBEDC________. .若λ·上，的值为＝3＝，1＝λ，则→→PBPAPAOPBAB) · (2)已知圆为切点，的半径为1，，那么为该圆的两条切线，的最小值为，( 2 －43＋2 ＋B.A.－2 3＋2C.－4＋D.22 －→→→→→OBOAOAABOA________. ·＝|＝1 变式训练(2015·湖北)已知向量3⊥，则，| 利用平面向量数量积求两向量夹角题型二 22babaababab与＋(|，且2－(1)(2015·重庆例2 )若非零向量，则，)⊥(3满足||)＝|3的夹角为( ) ππ3πA. B. C. D.π424πabababab的夹角2－＋与＝|2，|，则|＝32(2)若平面向量与平面向量，的夹角等于|3的余弦值等于( ) 1111A. B.－ C. D.－262612121→→→→ABCOAOABACAB与)＝(＋，则上的三点，若2 变式训练(2014·课标全国Ⅰ)已知，，为圆2→AC的夹角为________. 教育资料． . 利用数量积求向量的模题型三 baababab等于＋的夹角为|120°，则|＝2，且例3 (1)已知平面向量|2和与，|||＝1，) ( B.4 A.2 D.6 5 C.2ABCDADBCADCADBCPDC上的动点，则是腰＝，∠1＝90°，，＝(2)已知直角梯形2中，，∥→→PAPB|的最小值为________. ＋3|1eeeebbe·.是平面单位向量，且若平面向量·满足变式训练3 (2015·浙江)已知，＝beb|＝，则＝|·________. 112212 ＝12

高中数学必修四之知识讲解_平面向量的数量积_基础

平面向量的数量积【学习目标】 1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义； 2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系； 3.掌握数量积的坐标表示，会进行平面向量数量积的运算； 4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系；【要点梳理】要点一：平面向量的数量积 1. 平面向量数量积(内积)的定义已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角是θ，则数量cos a b θ叫a 与b 的数量积，记作a b ?，即有 ()cos 0a b a b θθπ?=≤≤.并规定0与任何向量的数量积为0. 2.一向量在另一向量方向上的投影：cos b θ叫做向量b 在a 方向上的投影. 要点诠释： 1. 两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别 (1)两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos θ的符号所决定. (2)两个向量的数量积称为内积，写成a b ?；今后要学到两个向量的外积a b ?，而a b ?是两个向量的数量的积，书写时要严格区分.符号“· ”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替. (3)在实数中，若0a ≠，且0a b ?=，则0b =；但是在数量积中，若0a ≠，且0a b ?=，不能推出 0b =.因为其中cos θ有可能为0. 2. 投影也是一个数量，不是向量；当θ为锐角时投影为正值；当θ为钝角时投影为负值；当θ为直角时投影为0；当θ=0?时投影为b ；当θ=180?时投影为b -. 要点二：平面向量数量积的几何意义数量积a b ?表示a 的长度||a 与b 在a 方向上的投影cos b θ的乘积，这是a b ?的几何意义．图（1）（2）（3）所示分别是两向量,a b 夹角为锐角、钝角、直角时向量b 在向量a 方向上的投影的情形，其中 1||cos OB b θ=，它的意义是，向量b 在向量a 方向上的投影是向量1OB 的数量，即11|| a OB OB a =? ．事实上，当θ为锐角时，由于cos 0θ>，所以10OB >；当θ为钝角时，由于cos 0θ<，所以10OB <；当090θ=时，由于cos 0θ=，所以10OB =，此时O 与1B 重合；当0 0θ=时，由于cos 1θ=，所以

平面向量的数量积优秀教案第一课时

2.4《平面向量的数量积》教案（第一课时）教材分析：教材从学生熟知的功的概念出发，引出了平面向量数量积的概念及其几何意义，接着介绍了向量数量积的5个重要性质，运算律。向量的数量积把向量的长度和三角函数联系起来，这样为解决三角形的有关问题提供了方便，特别能有效地解决线段的垂直问题。教学目标： 1.掌握平面向量数量积的定义 2.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律教学重点：平面向量的数量积定义. 教学难点：平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用教学方法： 1. 问题引导法 2. 师生共同探究法教学过程：一．回顾旧知向量的数乘运算定义：一般地，实数λ与向量的积是一个向量，记作λ，它的长度和方向规定如下：（1）= （2）当λ>0时,λ的方向与a 方向相同，当λ<0时, λ的方向与a 方向相反特别地，当0=λ或=时，=λ 向量的数乘运算律：设a ,b 为任意向量，λ,μ为任意实数，则有： ① λ(μ)=()λμ ② (λ+μ)=μλ+ ③ λ(+)=λλ+ 二．情景创设问题1. 我们已经学习了向量的加法，减法和数乘，它们的运算结果都是向量，

那么向量与向量之间有没有“乘法”运算呢？这种新的运算结果又是什么呢？三．学生活动联想：物理中，功就是矢量与矢量“相乘”的结果。问题2. 在物理课中，我们学过功的概念，即如果一个物体在力F 的作用下产生位移s ，那么力F 所做的功为多少？ W 可由下式计算：W ＝｜F ｜·｜s ｜cos θ，其中θ是F 与s 的夹角. 若把功W 看成是两向量F 和S 的某种运算结果，显然这是一种新的运算，我们引入向量数量积的概念. 四．建构数学 1.向量数量积的定义已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角是θ，则数量｜a ｜｜b ｜cos θ叫a 与b 的数量积，记作a ·b ，即有a ·b ＝｜a ｜｜b ｜cos θ 说明：（1）向量的数量积的结果是一个实数，而不是向量，符号由夹角决定（2）θ是a 与b 的夹角；范围是0≤θ≤π，（注意在两向量的夹角定义中，两向量必须是同起点的.）当θ＝0时，a 与b 同向；a ·b ＝｜a ｜｜b ｜cos0＝｜a ｜｜b ｜当θ＝π2 时，a 与b 垂直，记a ⊥b ；a ·b ＝｜a ｜｜b ｜cos 2 π=0 当θ＝π时，a 与b 反向；a ·b ＝｜a ｜｜b ｜cos π=－｜a ｜｜b ｜（3）规定· a ＝0；a 2＝a ·a ＝｜a ｜2或｜a （4）符号“·”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替 2. 向量数量积的运算律已知a ，b ，c 和实数λ，则向量的数量积满足下列运算律： ①a ·b ＝b · a (交换律) ②(λa )· b ＝λ (a ·b )＝a · (λb ) (数乘结合律) ③(a ＋b )·＝a ·＋b · (分配律) ④(a ·b )c ≠a (b · c ) （一般不满足结合律）五．例题剖析加深对数量积定义的理解例1 判断正误，并简要说明理由.

向量数量积专题(总)

平面向量的数量积【知识点精讲】一、平面向量的数量积（1）已知两个非零向量a r 和b r ，记为OA a OB b ==u u u r r u u u r r ，，则)0(πθθ≤≤=∠AOB 叫做向量a r 与b r 的夹角，记作,a b <>r r ，并规定[],0,a b π<>∈r r 。如果a 与b 的夹角是2 π，就称a r 与b r 垂直，记为.a b ⊥r r （2）cos ,a b a b <>r r r r 叫做向量a r 与b r 的数量积（或内积），记作a b ?r r ，即b a ? cos ,a b a b <>r r r r . 规定：零向量与任一向量的数量积为0. 两个非零向量a r 与b r 垂直的充要条件是0.a b ?=r r 两个非零向量a r 与b r 平行的充要条件是.a b a b ?=±r r r r 二、平面向量数量积的几何意义数量积a b ?r r 等于a r 的长度a r 与b r 在a r 方向上的投影cos b θr 的乘积，即cos a b a b θ ?=r r r r （b r 在a r 方向上的投影为cos a b b a θ?=r r r r ）；a r 在b r 方向上的投影为 cos .a b a b θ?=r r r r 三、平面向量数量积的重要性质性质1 cos .e a a e a θ?=?=r r r r r 性质2 0.a b a b ⊥??=r r r r 性质3 当a r 与b r 同向时，a b a b ?=r r r r ；当a r 与b r 反向时，a b a b ?=-r r r r ；22a a a a ?==r r r r 或 a =r 性质4 cos (00)a b a b a b θ?=≠≠r r r r r r r r 且性质5 a b a b ?≤r r r r 注：利用向量数量积的性质2可以解决有关垂直问题；利用性质3可以求向量长度；利用性质4可以求两向量夹角；利用性质5可解决不等式问题。四、平面向量数量积满足的运算律（1）a b b a ?=?r r r r （交换律）；

(完整版)平面向量的数量积练习题.doc

平面向量的数量积一．选择题 1. 已知 a ( 2,3), b ( 1, 1),则 a ?b 等于（） A.1 B.-1 C.5 D.-5 r r r r r r r r 2．向量 a ， b 满足 a 1, b 4, 且 a b 2 ,则 a 与 b 的夹角为（） A ． B ． 4 C ． D ． 2 6 3 r r 60 0 r r ） 3．已知 a, b 均为单位向量，它们的夹角为，那么 a 3b （ A ． 7 B ． 10 C ． 13 D ． 4 4 ．若平面向量与向量的夹角是，且，则 ( ) A ． B ． C ． D ． 5. 下面 4 个有关向量的数量积的关系式① 0 ?0 =0 ②（ a ?b ） ?c = a ?（ b ? c ） ③ a ?b = b ?a ④ | a ?b | ≦ a ?b ⑤ | a ?b | | a | ?| b | 其中正确的是（） A ． ① ② B 。 ① ③ C 。③ ④ D 。③ ⑤ 6. 已知 | a |=8 ， e 为单位向量，当它们的夹角为时， a 在 e 方向上的投影为（） 3 A ． 4 3B.4 C.4 2 3 D.8+ 2 7. 设 a 、 b 是夹角为的单位向量，则 2a b 和 3a 2b 的夹角为（） A ． B ． C ． D ． 8. 已知 a =(2,3) , b =( 4 ,7) , 则 a 在 b 上的投影值为（） A 、 13 B 、 13 C 、 65 D 、 65 5 5 9. 已知 a (1,2), b ( 3,2), ka b 与 a 3b 垂直时 k 值为（） A 、 17 B 、 18 C 、 19 D 、 20

平面向量的数量积及其应用

06—平面向量的数量积及其应用突破点(一) 平面向量的数量积 1．向量的夹角；2平面向量数量积的运算 1.第一步，根据共线、垂直等条件计算出这两个向量的坐标，求解过程要注意方程思想的应用；第二步，根据数量积的坐标公式进行运算即可． 2．根据定义计算数量积的两种思路 (1)若两个向量共起点，则两向量的夹角直接可得，根据定义即可求得数量积；若两向量的起点不同，需要通过平移使它们的起点重合，然后再计算． (2)根据图形之间的关系，用长度和相互之间的夹角都已知的向量分别表示出要求数量积的两个向量，然后再根据平面向量数量积的定义和性质进行计算求解． [典例] (1)设向量a ＝(－1,2)，b ＝(m,1)，如果向量a ＋2b 与2a －b 平行，那么a 与b 的数量积等于( ) A ．－72 B ．－12 (2)在等腰梯形ABCD 中，已知AB ∥DC ，AB ＝2，BC ＝1，∠ABC ＝60°.点E 和F 分别在线段BC 和DC 上，且BE ＝23BC ，DF ＝16 DC ，则AE ·AF 的值为________． [解析] (1)a ＋2b ＝(－1,2)＋2(m,1)＝(－1＋2m,4)，2a －b ＝2(－1,2)－(m,1)＝(－2－m,3)，由题意得3(－1＋2m )－4(－2－m )＝0，则m ＝－12，所以b ＝? ????－12，1，所以a ·b ＝－1×? ?? ??－12＋2×1＝52. (2)取BA ，BC 为一组基底，则AE ＝BE －BA ＝23 BC －BA ，AF ＝AB ＋BC ＋CF ＝－BA ＋BC ＋512BA ＝－712BA ＋BC ，∴AE ·AF ＝? ????23 BC －BA ·? ????－712 BA ＋BC ＝712 |BA |2－2518BA ·BC ＋23|BC |2＝712×4－2518×2×1×12＋23＝2918. [答案] (1)D (2)2918 [易错提醒] (1)解决涉及几何图形的向量数量积运算问题时，一定要注意向量的夹角与已知平面角的关系是相等还是互补．(2)两向量a ，b 的数量积a ·b 与代数中a ，b 的乘积写法不同，不能漏掉其中的“·”．突破点(二) 平面向量数量积的应用的关系平面向量的垂直问题 1.第一，计算出这两个向量的坐标；第二，根据数量积的坐标运算公式，计算出这两个向量的数量积为0即可． 2．已知两个向量的垂直关系，求解相关参数的值根据两个向量垂直的充要条件，列出相应的关系式，进而求解参数． [例1] (1)△ABC 是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足AB ＝2a ，AC ＝2a ＋b ，则下列结论正确的是( ) A ．|b |＝1 B ．a ⊥b C ．a ·b ＝1 D ．(4a ＋b )⊥BC (2)已知向量a ＝(k,3)，b ＝(1,4)，c ＝(2,1)，且(2a －3b )⊥c ，则实数k ＝( ) A ．－92 B ．0 C ．3 [解析] (1)在△ABC 中，由BC ＝AC －AB ＝2a ＋b －2a ＝b ，得|b |＝2，A 错误．又AB ＝2a 且|AB |＝2，所以|a |＝1，所以a ·b ＝|a ||b |cos 120°＝－1，B ，C 错误．所以(4a ＋b )·BC ＝(4a ＋b )·b ＝4a ·b ＋|b |2 ＝4×(－1)＋4＝0，所以(4a ＋b )⊥BC ，D 正确，故选D. (2)∵(2a －3b )⊥c ，∴(2a －3b )·c ＝0.∵a ＝(k,3)，b ＝(1,4)，c ＝(2,1)，∴2a －3b ＝(2k －3，－ 6)．

《平面向量数量积》说课稿

《平面向量数量积》说课稿一：说教材平面向量的数量积是两向量之间的乘法，而平面向量的坐标表示把向量之间的运算转化为数之间的运算。本节内容是在平面向量的坐标表示以及平面向量的数量积及其运算律的基础上，介绍了平面向量数量积的坐标表示，平面两点间的距离公式，和向量垂直的坐标表示的充要条件。为解决直线垂直问题，三角形边角的有关问题提供了很好的办法。本节内容也是全章重要内容之一。二：说学习目标和要求通过本节的学习，要让学生掌握（1）：平面向量数量积的坐标表示。（2）：平面两点间的距离公式。（3）：向量垂直的坐标表示的充要条件。以及它们的一些简单应用，以上三点也是本节课的重点，本节课的难点是向量垂直的坐标表示的充要条件以及它的灵活应用。三：说教法在教学过程中，我主要采用了以下几种教学方法：（1）启发式教学法因为本节课重点的坐标表示公式的推导相对比较容易，所以这节课我准备让学生自行推导出两个向量数量积的坐标表示公式，然后引导学生发现几个重要的结论：如模的计算公式，平面两点间的距离公式，向量垂直的坐标表示的充要条件。（2）讲解式教学法主要是讲清概念，解除学生在概念理解上的疑惑感；例题讲解时，演示解题过程！主要辅助教学的手段（powerpoint）（3）讨论式教学法

主要是通过学生之间的相互交流来加深对较难问题的理解，提高学生的自学能力和发现、分析、解决问题以及创新能力。四：说学法学生是课堂的主体，一切教学活动都要围绕学生展开，借以诱发学生的学习兴趣，增强课堂上和学生的交流，从而达到及时发现问题，解决问题的目的。通过精讲多练，充分调动学生自主学习的积极性。如让学生自己动手推导两个向量数量积的坐标公式，引导学生推导4个重要的结论！并在具体的问题中，让学生建立方程的思想，更好的解决问题！五：说教学过程这节课我准备这样进行：首先提出问题：要算出两个非零向量的数量积，我们需要知道哪些量？继续提出问题：假如知道两个非零向量的坐标，是不是可以用这两个向量的坐标来表示这两个向量的数量积呢？引导学生自己推导平面向量数量积的坐标表示公式，在此公式基础上还可以引导学生得到以下几个重要结论：（1）模的计算公式（2）平面两点间的距离公式。（3）两向量夹角的余弦的坐标表示（4）两个向量垂直的标表示的充要条件第二部分是例题讲解，通过例题讲解，使学生更加熟悉公式并会加以应用。例题1是书上122页例1，此题是直接用平面向量数量积的坐标公式的题，目的是让学生熟悉这个公式，并在此题基础上，求这两个向量的夹角？目的是让学生熟悉两向量夹角的余弦的坐标表示公式例题2是直接证明直线垂直的题，虽然比较简单，但体现了一种重要的证明方法，这种方法要让学生掌握，其实这一例题也是两个向量垂直坐标表示的充要条件的一个应用：即两个向量的数量积是否为零是判断相应的两条直线是否垂直的重要方法之一。例题3是在例2的基础上稍微作了一下改变，目的是让学生会应用公式来解决问题，并让学生在这要有建立方程的思想。再配以练习，让学生能熟练的应用公式，掌握今天所学内容。

专题二培优点9 平面向量数量积的最值问题

培优点9 平面向量数量积的最值问题平面向量部分，数量积是最重要的概念，求解平面向量数量积的最值、范围问题要深刻理解数量积的意义，从不同角度对数量积进行转化．例 (1)已知AB →⊥AC →，|AB →|＝1t ，|AC →|＝t ，若点P 是△ABC 所在平面内的一点，且AP →＝AB →|AB →|＋4AC → |AC →|，则PB →·PC → 的最大值等于( ) A ．13 B ．15 C ．19 D ．21 答案 A 解析建立如图所示的平面直角坐标系，则B ????1t ，0，C (0，t )，AB →＝????1t ，0，AC →＝(0，t )， AP →＝AB →|AB →|＋4AC →| AC →|＝t ????1t ，0＋4t (0，t )＝(1,4)，∴P (1,4)， PB →·PC →＝????1t －1，－4· (－1，t －4) ＝17－????1t ＋4t ≤17－21t ·4t ＝13，当且仅当t ＝12 时等号成立． ∴PB →·PC →的最大值等于13. (2)如图，已知P 是半径为2，圆心角为π3 的一段圆弧AB 上的一点，若AB →＝2BC →，则PC →·P A →的最小值为________．答案 5－213 解析以圆心为坐标原点，平行于AB 的直径所在直线为x 轴，AB 的垂直平分线所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系(图略)，则A (－1，3)，C (2，3)，

设P (2cos θ，2sin θ)????π3≤θ≤2π3，则PC →·P A →＝(2－2cos θ，3－2sin θ)·(－1－2cos θ，3－2sin θ)＝5－2cos θ－43sin θ＝5－213sin(θ＋φ)，其中0

《平面向量的数量积的复习课》说课稿#(精选.)

《平面向量的数量积》复习课说课稿黄州区一中李世品尊敬的各位评委、各位老师：大家好！今天我说课的题目是《平面向量的数量积》—复习课。下面我将从一下几个方面阐述我对本节课的分析和设计。一、教材分析：向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一，它是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景。将平面向量引入高中课程，是现行数学教材的重要特色之一。由于向量既能体现“形”的直观位置特征，又具有“数”的良好运算性质，是数形结合和转换的桥梁。而这一切之所以能够实现，平面向量的数量积功不可没。《平面向量的数量积》是数学必修4第二章第四节的内容。平面向量的数量积是继向量的线性运算之后，且已具备了一定的对向量的理解和应用能力的基础上进行的又一个重要运算，同时为探索空间向量的研究奠定了理论基础，也是高中数学的一个重要概念，在数学、物理等学科中应用十分广泛。本节内容教材共安排两课时，其中第一课时主要研究数量积的概念，第二课时主要研究数量积的坐标运算，本节复习课是把这两节并一节来复习的。本节课数量积的概念既是对物理背景的抽象，又是研究性质和运算律的基础。同时也因为在这个概念中，既有长度又有角度，既有形又有数，是代数、几何与三角的最佳结合点，不仅应用广泛，高考中也经常考察的内容，而且很好的体现了数形结合的数学思想和类比思想，使得数量积的概念成为本节课的核心概念，自然也是本节课教学的重点之一。二、教学目标的设计： 1、知识与技能： (1)理解平面向量的数量积的含义及物理意义。 (2)了解平面向量的数量积与向量投影的关系。 (3)掌握平面向量的数量积的坐标表达式，会进行平面向量的数量积的运算。 (4)能运用平面向量的数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。 2、过程与方法： (1)通过本节课的复习培养学生应用平面向量的数量积解决相关问题的能力。 (2)通过师生共同探讨培养“数形结合思想”与“分类讨论思想”的能力。 3、情感态度与价值观：培养学生发现问题的意识和运用知识的意识，让学生参与解决相关问题的全过程，享受成功的喜悦，感受数学的魅力，激发学生学习数学的兴趣。三、重、难点分析： 1、重点：理解平面向量的数量积及其几何意义；掌握平面向量的数量积的坐标表运算；用平面向量的数量积解决夹角、长度及垂直等问题。 2、难点：平面向量的数量积的综合应用。四、教学方法与学法分析： 1、教学方法：本节课是高三第一轮复习中的《平面向量数量积的复习课》，重点理解平面向量的数量积及其几何意义，掌握平面向量数量积的坐标运算。用数量积求夹角、距离、判断垂直等问题及平面向量数量积的。培养学生类比思想以及数形结合思想。

求解平面向量数量积的三种方法

龙源期刊网 https://www.sodocs.net/doc/c4781310.html, 求解平面向量数量积的三种方法作者：谢伟杰来源：《读写算》2018年第34期摘要梅州市高一数学质量抽测题第11题是一道关于平面向量数量积的考题，这道考题引起了笔者的注意。此题很好地考察了学生对数量积概念的理解，也能很好地考察学生对求解平面向量数量积的方法是否掌握到位。关键词平面向量数量积；解法中图分类号：O241.7 文献标识码：A 文章编号：1002-7661（2018） 34-0211-01 做题中的“少运算”是建立在对基本概念理解的基础之上的，学生只有对相关的概念、性质有深刻的理解，而不是纯粹的记公式或套方法，才能在做题中真正实现“多思考，少运算”。教师在教学中，要帮助学生去认识相关知识点的核心及实质，而不是认为学生只要能记住相关的公式或会套用某类方法解题就行，否则，在具体的问题情境中，学生极容易在公式与计算中迷失，从而找不到解决问题的有效途径。一、原题呈现已知是边长为的等边三角形，点，分别是边，的中点，连接并延长到点，使得，则的值为（）二、解法展示与对比解法一：如图1，解法二：如图2，以点为坐标原点，为轴正方向，建立如图所示的直角坐标系。则，，解法三：如图3，点在上的投影为点，作點在上的投影，则在是的投影为，由向量数量积的含义可知，易得与相似，所以，又，所以，即 . 故作为选择题，解法三有明显的优点，即我们只需将在上的投影作出，对图中线段的长度作大致估计，就可迅速判断只有选项才是合理的。笔者认为这样并不是投机取巧，恰恰相反，在考场上会做这样的思考，并采取此策略的学生，说明该生对数量积的概念有更深刻的理解，并有更好的思维能力。这与高考命题中所提倡的“多思考，少运算”的理念也是一致的。

专题03 “三法”解决平面向量数量积问题(第二篇)-2019年高考数学压轴题命题区间探究与突破(解析

一．方法综述平面向量的数量积是高考考查的重点、热点，往往以选择题或填空题的形式出现.常常以平面图形为载体，借助于向量的坐标形式等考查数量积、夹角、垂直的条件等问题；也易同三角函数、解析几何等知识相结合，以工具的形式出现．由于命题方式灵活多样，试题内容活泼、新颖，因此，在高考试卷中备受青睐，是一个稳定的高频考点．解决这类问题有三种基本方法：投影法、基底法和坐标法．“三法”的准确定位应是并举！即不应人为地、凭主观划分它们的优劣，而应具体问题具体分析．本专题举例说明解答解决平面向量数量积问题的方法、技巧. 二．解题策略类型一投影定义法【例1】【2018届河南省中原名校高三上第一次考评】已知P是边长为2的正△ABC边BC上的动点，则·（＋）＝_________．【答案】6 【解析】设BC的中点为D，则AD⊥BC，【指点迷津】

1、数量积与投影的关系（数量积的几何定义）：向量,a b 数量积公式为cos a b a b θ?=，可变形为()cos a b a b θ?=?或() cos a b b a θ?=?，进而与向量投影找到联系（1）数量积的投影定义：向量,a b 的数量积等于其中一个向量的模长乘以另一个向量在该向量上的投影，即a b a b b λ→?=?（记a b λ→为a 在b 上的投影）（2）投影的计算公式：由数量积的投影定义出发可知投影也可利用数量积和模长进行求解： a b a b b λ→?= 即数量积除以被投影向量的模长 2、数量积投影定义的适用范围：作为数量积的几何定义，通常适用于处理几何图形中的向量问题（1）图形中出现与所求数量积相关的垂直条件，尤其是垂足确定的情况下（此时便于确定投影），例如：直角三角形，菱形对角线，三角形的外心（外心到三边投影为三边中点）学科&网（2）从模长角度出发，在求数量积的范围中，如果所求数量积中的向量中有一个模长是定值，则可以考虑利用投影，从而将问题转化为寻找投影最大最小的问题【举一反三】已知圆M 为直角三角形ABC 的外接圆，OB 是斜边AC 上的高，且6,22AC OB ==，AO OC <，点P 为线段OA 的中点，若DE 是 M 中绕圆心M 运动的一条直径，则PD PE ?=_________ M C A O B P D E Q 【答案】-5 【解析】思路：本题的难点在于DE 是一条运动的直径，所以很难直接用定义求解.考虑到DE 为直径，所以延长EP 交圆M 于Q ，即可得DQ QE ⊥，则PD 在PE 上的投影向量为PQ .所求 PD PE PE PQ ?=-?，而由PE PQ ?联想到相交弦定理，从而PE PQ AP PC ?=?.考虑与已知条件联系求出直径AC 上的各段线段长度.由射影定理可得：2 8AO CO OB ?==，且

(完整版)平面向量的数量积练习题(含答案)

平面向量的数量积 A 组专项基础训练一、选择题(每小题5分，共20分) 1． (2012·辽宁)已知向量a ＝(1，－1)，b ＝(2，x )，若a ·b ＝1，则x 等于 ( ) A ．－1 B ．－12 C.12 D ．1 2． (2012·重庆)设x ，y ∈R ，向量a ＝(x,1)，b ＝(1，y )，c ＝(2，－4)，且a ⊥c ，b ∥c ，则|a ＋b |等于( ) A. 5 B.10 C ．2 5 D ．10 3．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－3)．若向量c 满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，则c 等于( ) A.? ????79，73 B.? ????－73，－79 C.? ????73，79 D.? ?? ??－79，－73 4．在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，BC ＝10，则AB →·AC →等于 ( ) A ．－32 B ．－23 C.23 D.32 二、填空题(每小题5分，共15分) 5．已知向量a ，b 夹角为45°，且|a |＝1，|2a －b |＝10，则|b |＝________. 6．在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝3，BC ＝10，则AB →·AC →＝________. 7．已知a ＝(2，－1)，b ＝(λ，3)，若a 与b 的夹角为钝角，则λ的取值范围是__________．三、解答题(共22分) 8． (10分)已知a ＝(1,2)，b ＝(－2，n ) (n >1)，a 与b 的夹角是45°. (1)求b ； (2)若c 与b 同向，且a 与c －a 垂直，求c . 9． (12分)设两个向量e 1、e 2满足|e 1|＝2，|e 2|＝1，e 1、e 2的夹角为60°，若向量2t e 1＋7e 2与向量e 1＋t e 2的夹角为钝角，求实数t 的取值范围．

平面向量的数量积习题(精品绝对好)

平面向量的数量积(20131119)作业姓名成绩 A 组专项基础训练一、选择题(每小题5分，共20分) 1． (2012·辽宁)已知向量a ＝(1，－1)，b ＝(2，x )，若a ·b ＝1，则x 等于 ( ) A ．－1 B ．－1 2 C.12 D ．1 2． (2012·重庆)设x ，y ∈R ，向量a ＝(x,1)，b ＝(1，y )，c ＝(2，－4)，且a ⊥c ，b ∥c ，则|a ＋b |等于( ) A. 5 B.10 C ．2 5 D ．10 3．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－3)．若向量c 满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，则c 等于( ) A.???? 79，73 B.????－73，－79 C.????73，79 D.????－79 ，－7 3 4．在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，BC ＝10，则AB →·AC → 等于 ( ) A ．－3 2 B ．－23 C.23 D.3 2 二、填空题(每小题5分，共15分) 5．已知向量a ，b 夹角为45°，且|a |＝1，|2a －b |＝10，则|b |＝________. 6．在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝3，BC ＝10，则AB →·AC →＝________. 7．已知a ＝(2，－1)，b ＝(λ，3)，若a 与b 的夹角为钝角，则λ的取值范围是__________．三、解答题(共22分) 8． (10分)已知a ＝(1,2)，b ＝(－2，n ) (n >1)，a 与b 的夹角是45°. (1)求b ； (2)若c 与b 同向，且a 与c －a 垂直，求c . 9． (12分)设两个向量e 1、e 2满足|e 1|＝2，|e 2|＝1，e 1、e 2的夹角为60°，若向量2t e 1＋7e 2与向量e 1＋t e 2的夹角为钝角，求实数t 的取值范围．

平面向量的数量积知识点及归纳总结

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