函数的定义域和值域-映射
函数定义域、值域、解析式、映射
知识点一:求各种类型函数的定义域
类型一: 含有分母和偶次方根 例1 求下列函数的定义域 1. y=
3
102++x x 2. 232y x x x
=+-
类型二: 偶方根下有二次三项式 例2 求下列函数的定义域 1.. 1
||142-+
-=x x y
2.2
3
568
4x
x x y ---=
类型三:含有零次方和对数式
例3 求下列函数的定义域(用区间表示)
(1)0
2
)23()
12lg(2)(x x x x x f -+--=;
练习:求下列函数的定义域 1. y=
x
x -||1 2.
12
2+--=x x y
3.212()x x f x --=
4.)13(log
2
+=x y
5. 函数y =
1
122---x x 的取定义域是( )
A.[-1,1]
B.(][)+∞-?-∞-,11,
C.[0,1]
D.{-1,1}
6. 求函数的定义域。
知识点二:抽象函数定义域
类型一:“已知f(x),求f(…)”型
例1:已知f(x)的定义域是[0,5],求f(x+1)的定义域。
类型二: “已知f(…) ,求f(x)”型
例2:已知f(x+1) 的定义域是[0,5],求f(x)的定义域。
类型三: “已知f(…),求f(…)”型
例3:已知f(x+2)的定义域为[-2,3),求f(4x-3)的定义域。 练习:
1、函数()f x 的定义域是[0,2],则函数(2)f x +的定义域是 ___________.
2、已知函数()f x 的定义域是[-1,1],则(2)(1)f x f x +++的定义域为 ___________.
3..已知函数f (x )的定义域为[0,1],那么函数f (x 2
-
1)的定义域为( )
A.[0,1]
B.[1,2]
C.[1,2]
D.[-2,-1]∪[1,2]
知识点三: 求函数的值域
方法一:观察法: 例1 求下列函数的值域
(1) y=3x+2 (-1
≤
x
≤
1)
(2)x
x f -+=42)(
方法二: 分离常数法
例2 求函数54
1
x y x +=-的值域。 练习、
1. 求523x y x -=+的值域
2.
求521+-=x x y 值域
方法三: 配方法: 例3 已知函数1
42
+-=x x
y ,分别求它在下列区间上的值
域。
(1)x∈R;(2)[3,4] (3)[0,1] (4)[0,5]
练习:
1.已知函数223
=+-,分别求它在下列区间上的值域。
y x x
(1)x R∈;(2)[0,)
x∈-;(4)
x∈+∞;(3)[2,2]
x∈
[1,2]
方法四: 换元法
例4求函数12
=-
y x x
例5 求函数x
)
(-
+
-
=的值域。
2
3
x
x
13
f4
练习、
1 .求函数x
4
2的值域 2. 求
=1
x
y-
+
函数x
+
2-
=的值域
y2
1
x
方法五: 图像法
例
.求函数 )32(≤<-x 的值域。
练习:
求函数5
222
--=x x
y )32(≤<-x 的值域。
方法六: 判别式法 例5
的值域
求函数3
221
22+-+-=x x x x y
解 由已知得 (2y-1)x 2-(2y-1)x+(3y-1)=0 (*)
2
10
12
3
(*)21012)1(≠
∴≠-==-y y y 式:,代入,则若
(2)若2y-1≠0,则∵x ∈R ∴Δ=(2y-1)2-4(2y-1)(3y-1)≥0 即 (2y-1)(10y-3)≤0 21
1032
1103<
≤∴≤≤∴
y y 值域
练习 1. 求函数2
212+++=x x x y 的值域. 2.求函数y =
2
2
11x x x +++的值域。
知识点四:求函数解析式的几种常用方法
1.换元法:
例1 已知f(x+1)=2x+2x-3,求f(x)
练习:已知函数f(2x+1)=3x+2,求f(x).
2.配凑法:
例2 已知f(x+1)=2x+2x-3,求f(x)
例2 已知f(x+1
x )= 2
2
1
x
x
, 求f(x).
分析:将2
21x
x +
用x+1x
表示出来,但要注意定义域。 练习:
1 已知x ≠0,函数f(x)满足f(x
x 1-)=2
2
1
x x +
,求f(x) . 2
已知1)2f x x x
=+()f x
4.解方程组法:
例1 若3f(x)+f(-x)=22
x –x,求f(x).
解:用-x 替换式中x 得:
3f(-x)+f(x)=22
x +x.
消去f(-x) 得: f(x)=22
x -2x
例2 设f(x)满足f(x)+2f(1x
)=x (x ≠0 ),求f(x). 分析:要求f(x)需要消去f(1x ),根据条件再找一个关于f(x)与f(1x
) 的等式通过解方程组达到目的。 解:将f(x)+2f(
1
x
)=x 中的x 用
1x
代替得
f(1x )+2f(x)= 1
x
. 消去f(1x
) 得 : 2()33x f x x =-
练习、1 若2()()1f x f x x --=+,求()f x . 2 若()f x 满足1()2(),f x f ax x +=求()f x
函数与映射的关系与区别
相同点:(1)函数与映射都是两个非空集合中元素的对应关系;
(2)函数与映射的对应都具有方向性;
(3)A 中元素具有任意性,B 中元素具有唯一性;
区别:函数是一种特殊的映射,它要求两个集合中的元素必须是数,而映射中两个集合的元素是任意的数学对象。 映射
一般地,设A 、B 是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应法则f ,使对于集合A 中的任意一个元素x ,在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应,那么就称对应:f A B →为从集合A 到集合B 的一个映射(mapping ).记作“:f A B →”
1 下列是映射的是( )
a b c e a b c e f a b c e
f g
a b c e f
a b e f g
(A)1、2、3 (B)1、2、5 (C)1、3、5 (D)1、2、3、5 例2
已知映射:B A f →:,其中集合A={-3,-2,-1,1,2,
3,4},集合B 中的元素都是A 中元素在映射f 下的象,且对任意的a ∈A ,在B 中和它对应的元素是|a|,则集合B 中元素的个数是( )
A .4
B .5
C .6
D .7
例3 ,(1)设A={x|0≤x ≤2},B={y|1≤y ≤2},如下图,能表示从集合A 到集合B 的映射是 练习;
1.设?:A →B 是从A 到B 的一个映射,其中
A=B={(x,y)|x,y ∈R},?:(x,y)→(x+y,xy).则A 中元素(1,-2)的像是 ,B 中元素(1,-2)的原像是 .
1 2 1 2 A
1 2
1
2
B 1 2
1
2 C 1 2
1
2 D
2.设M={a,b,c},N={-1,0,1}.
①求从M到N的映射的个数;
②从M到N的映射满足?(a)-?(b)=?(c),试确定这样的映射?的个数.
解:求函数的定义域的常用方法 函数的定义域是高考的必考内容,高考对函数的定义域常常是通过函数性质或函数的应用来考查的,具有隐蔽性,所以在研究函数问题时必须树立“函数的定义域优先”的观念。因此掌握函数的定义域的基本求解方法是十分重要的。下面通过例题来谈谈函数的定义域的常见题型和常用方法。 一,已知函数解析式求函数的定义域 如果只给出函数解析式(不注明定义域),其定义域是指使函数解析式有意义的自变量的取值范围(称为自然定义域),这时常通过解不等式或不等式组求得函数的定义域。主要依据是:(1)分式的分母不为零,(2)偶次根式的被开方数为非负数,(3)零次幂的底数不为零,(4)对数的真数大于零,(5)指数函数和对数函数的底数大于零且不等于1,(6)三角函数中的正切函数y=tanx ,{x ︱x ∈R 且 x ≠2 k π π+ , k ∈z }和余切函数y=cotx ,{x ︱x ∈R 且 x ≠k π,k ∈z }等。 例题一 求下列函数的定义域: (1) y=2)0+㏒(x —2)x 2 (2) 解:(1)欲使函数有意义,须满足 2≠0 x —1≥0 x —2>0 解得:x >2 且 x ≠3 ,x ≠5 x —2≠1 ∴ 函数的定义域为(2,3)∪(3,5)∪(5,+∞) x ≠0 (2) 由已知须满足 tanx ﹥0 解得: k π ﹤x ﹤2 k π π+ (k ∈z ) x ≠2 k π π+ -4﹤x ﹤4 16—x 2 ﹥0 ∴ 函数的定义域为(-π,2 π - )∪(0, 2 π )∪(π,4) 二,复合函数求定义域 求复合函数定义域应按从外向内逐层求解的方法。最外层的函数的定义域为次外层函数的值域,依次求,直到最内层函数定义域为止。多个复合函数的求和问题,是将每个复合函数定义域求出后取其交集。 例题二(1)已知函数f (x )的定义域为〔-2,2〕,求函数y=f (x 2-1)的定义域。 (2)已知函数y=f (2x+4)的定义域为〔0,1〕,求函数f (x )的定义域。 (3)已知函数f (x )的定义域为〔-1,2〕,求函数y=f (x+1)—f (x 2-1)的定义域。 (4)已知函数y=f (tan2x )的定义域为〔0, 8 π 〕,求函数f (x )的定义域。 分析:(1)是已知f (x )的定义域,求f 〔g (x )〕的定义域。其解法是:已知f
幂函数及其性质专题 一、幂函数的定义 一般地,形如y x α=(x ∈R )的函数称为幂孙函数,其中x 是自变量,α是常数.如 112 3 4 ,,y x y x y x - ===等都是幂函数,幂函数与指数函数,对数函数一样,都是基本初等函数. 二、函数的图像和性质 (1)y x = (2)12 y x = (3)2y x = (4)1y x -= (5)3y x = 用描点法在同一坐标系内画出以上五个函数图像,通过观察图像,可以看出: 3.幂函数性质 (1)所有的幂函数在(0,+∞)都有定义,并且图象都过点(1,1); (2)x >0时,幂函数的图象都通过原点,并且在[0,+∞]上,是增函数 (3)α<0时,幂函数的图象在区间(0,+∞)上是减函数. 三.两类基本函数的归纳比较: ① 定义 对数函数的定义:一般地,我们把函数log a y x =(a >0且a ≠1)叫做对数函数,其中x 是自变量,函数的定义域是(0,+∞). 幂函数的定义:一般地,形如y x α=(x ∈R )的函数称为幂孙函数,其中x 是自变量,α是常数. ②性质 对数函数的性质:定义域:(0,+∞);值域:R ;
过点(1,0),即当x =1,y =0; 在(0,+∞)上是增函数;在(0,+∞)是上减函数 幂函数的性质:所有的幂函数在(0,+∞)都有定义, 图象都过点(1,1)x >0时,幂函数的图象都通过原点, 在[0,+∞]上,y x =、2y x =、3 y x =、1 2 y x =是增函数, 在(0,+∞)上, 1y x -=是减函数。 【例题选讲】 例1.已知函数()() 2 53 1m f x m m x --=--,当 m 为何值时,()f x : (1)是幂函数;(2)是幂函数,且是()0,+∞上的增函数;(3)是正比例函数;(4)是反比例函数;(5)是二次函数; 简解:(1)2m =或1m =-(2)1m =-(3)45m =- (4)2 5 m =-(5)1m =- 变式训练:已知函数()()2 223 m m f x m m x --=+,当 m 为何值时,()f x 在第一象限内它的图像是上升曲 线。 简解:2 20230 m m m m ?+>??-->??解得:()(),13,m ∈-∞-+∞ 例2.比较大小: (1)1122 ,1.7 (2)33 ( 1.2),( 1.25)--(3)1125.25,5.26,5.26---(4)30.5 30.5,3,log 0.5 例3.已知幂函数223 m m y x --=(m Z ∈)的图象与x 轴、y 轴都无交点,且关于原点对称,求m 的值. 解:∵幂函数223 m m y x --=(m Z ∈)的图象与x 轴、y 轴都无交点, ∴2 230m m --≤,∴13m -≤≤; ∵m Z ∈,∴2 (23)m m Z --∈,又函数图象关于原点对称, ∴2 23m m --是奇数,∴0m =或2m =. 例4、设函数f (x )=x 3, (1)求它的反函数; (2)分别求出f - 1(x )=f (x ),f - 1(x )>f (x ),f - 1(x )<f (x )的实数x 的范围. 解析:(1)由y =x 3两边同时开三次方得x =3y ,∴f - 1(x )=x 3 1 . (2)∵函数f (x )=x 3和f -1 (x )=x 3 1 的图象都经过点(0,0)和(1,1).
函数的定义域、值域 一、知识回顾 第一部分:函数的定义域 1.函数的概念: 设集合A 是一个非空的数集,对于A 中的任意一个数x ,按照确定的法则f ,都有唯一的确定的数y 与它对应,则这种关系叫做集合A 上的一个函数,记作()x f y =,(A x ∈)其中x 叫做自变量,自变量的取值范围(数集A )叫做这个函数的定义域. 如果自变量取值a ,则由法则f 确定的值y 称为函数在a 处的函数值,记作)(a f y =或 a x y =,所有的函数值所构成的集合{} A x x f y y ∈=),(叫做这个函数的值域. 2.定义域的理解: 使得函数有意义的自变量取值范围,实际问题还需要结合实际意义在确定自变量的范围,注意:定义域是个集合,所以在解答时要 用集合来表示. 3.区间表示法:设a ,R b ∈,且b a <. 满足b x a ≤≤的全体实数x 的集合,叫做闭区间,记作[]b a ,. 满足b x a <<的全体实数x 的集合,叫做开区间,记作()b a ,. 满足b x a ≤<或b x a <≤的全体实数x 的集合,都叫做半开半闭区间,记作 (][)b a b a ,,或.b a 与叫做区间的端点,在数轴上表示时,包括端点时,用实心的点,不包括 时用空心点表示. 4.基本思想:使函数解析式有意义的x 的所有条件化为不等式,或不等式组的解集. 5.定义域的确定方法:保证函数有意义,或者符合规定,或满足实际意义. (1)分式的分母不为零. (2)偶次方根式的大于等于零. (3)对数数函数的真数大于零. (4)指数函数与对数函数的底大于零且不等于1. (5)正切函数的角的终边不能在y 轴上. (6)零次幂的底数不能为零.
专题:对数函数知识点总结 1.对数函数的定义: 一般地,函数 x y a log =( )叫做对数函数 .定义域是 2. 对数函数的性质为 思考:函数log a y x =与函数x y a =)10(≠>a a 且的定义域、值域之间有什么关系? ___________________________________________________________________________ 对数函数的图象与指数函数的图象关于_______________对称。 一般的,函数y=a x 与y=log a x (a>0且a ≠1)互称相对应的反函数,它们的图象关于直线y=x 对称 y=f(x)存在反函数,一般将反函数记作y=f -1 (x) 如:f(x)=2x ,则f -1 (x)=log 2x,二者的定义域与值域对调,且图象关 于直线y=x 对称 函数与其反函数的定义域与值域对调,且它们的图象关于直线y=x 对称 专题应用练习 一、求下列函数的定义域
(1)0.2log (4);y x =-; (2)log 1a y x =- (0,1).a a >≠; (3)2(21)log (23)x y x x -=-++ (4)2log (43)y x =- (5) y=lg 1 1 -x (6) y=x 3log =log(5x-1)(7x-2)的定义域是________________ = )8lg(2x - 的定义域是_______________ 3.求函数2log (21)y x =+的定义域___________ 4.函数y=13 log (21)x -的定义域是 5.函数y =log 2(32-4x )的定义域是 ,值域是 . 6.函数5log (23)x y x -=-的定义域____________ 7.求函数2 log ()(0,1)a y x x a a =->≠的定义域和值域。 8.求下列函数的定义域、值域: (1)2log (3)y x =+; (2)2 2log (3)y x =-; (3)2log (47)a y x x =-+(0a >且1a ≠). 9.函数f (x )=x 1 ln (432322+--++-x x x x )定义域 10.设f(x)=lg x x -+22,则f )2 ()2(x f x +的定义域为 11.函数f(x)=)1(lo g 1 |2|2---x x 的定义域为 12.函数f(x)= 2 29)2(1x x x g --的定义域为 ; 13.函数f (x )= x 1 ln (432322+--++-x x x x )的定义域为 14 2 2 2 log log log y x =的定义域是 1. 设f (x )=lg(ax 2 -2x +a ), (1) 如果f (x )的定义域是(-∞, +∞),求a 的取值围; (2) 如果f (x )的值域是(-∞, +∞),求a 的取值围. 15.已知函数)32(log )(22 1+-=ax x x f (1)若函数的定义域为R ,数a 的取值围 (2)若函数的值域为R ,数a 的取值围
函数定义域、值域求法总结 一.求函数的定义域需要从这几个方面入手: (1)分母不为零 (2)偶次根式的被开方数非负。 (3)对数中的真数部分大于0。 (4)指数、对数的底数大于0,且不等于1 (5)y=tanx 中x ≠k π+π/2;y=cotx 中x ≠k π等等。 ( 6 )0x 中x 0≠ 二、值域是函数y=f(x)中y 的取值范围。 常用的求值域的方法: (1)直接法 (2)图象法(数形结合) (3)函数单调性法 (4)配方法 (5)换元法 (包括三角换元)(6)反函数法(逆求法) (7)分离常数法 (8)判别式法 (9)复合函数法 (10)不等式法 (11)平方法等等 这些解题思想与方法贯穿了高中数学的始终。 定义域的求法 1、直接定义域问题 例1 求下列函数的定义域: ① 2 1 )(-=x x f ;② 23)(+=x x f ;③ x x x f -+ +=211)( 解:①∵x-2=0,即x=2时,分式 2 1 -x 无意义, 而2≠x 时,分式 21 -x 有意义,∴这个函数的定义域是{}2|≠x x . ②∵3x+2<0,即x<-32 时,根式23+x 无意义, 而023≥+x ,即3 2 -≥x 时,根式23+x 才有意义, ∴这个函数的定义域是{x |3 2 -≥x }.
③∵当0201≠-≥+x x 且,即1-≥x 且2≠x 时,根式1+x 和分式x -21 同时有意义, ∴这个函数的定义域是{x |1-≥x 且2≠x } 另解:要使函数有意义,必须: ? ??≠-≥+0201x x ? ???≠-≥21 x x 例2 求下列函数的定义域: ①14)(2 --= x x f ②2 14 3)(2-+--= x x x x f ③= )(x f x 11111++ ④x x x x f -+= 0)1()( ⑤3 7 3132+++-=x x y 解:①要使函数有意义,必须:142 ≥-x 即: 33≤≤-x ∴函数14)(2--= x x f 的定义域为: [3,3-] ②要使函数有意义,必须:???≠-≠-≤≥?? ??≠-+≥--131 40210432x x x x x x x 且或 4133≥-≤<--