电磁场与电磁波例题详解1
第1章 矢量分析
例1.1 求标量场z y x -+=2)(φ通过点M (1, 0, 1)的等值面方程。
解：点M 的坐标是1,0,1000===z y x ，则该点的标量场值为
0)(0200=-+=z y x φ。其等值面方程为 ：
0)(2=-+=z y x φ 或 2)(y x z += 例1.3 求函数xyz z xy -+=22?在点（1，1，2）处沿方向角
3
,4
,3
π
γπ
βπ
α=
=
=
的方向导数。
解：由于
1)
2,1,1(2)
2,1,1(-=-=??==M M yz
y x
?,
02)
2,1,1()
2,1,1(=-=??==M M xz xy y ?,
32)
2,1,1()2,1,1(=-=??==M M xy
z z
?,
2
1cos ,22cos ,21cos ===
γβα 所以
1cos cos cos =??+??+??=
??γ?
β?α??z
y x l
M
例1.4 求函数xyz =?在点)2,1,5(处沿着点)2,1,5(到点)19,4,9(的方向导数。
解：点)2,1,5(到点)19,4,9(的方向矢量为
1734)219()14()59(z y x z y x a a a a a a l
++=-+-+-=
其单位矢量
314
7
31433144cos cos cos z y x z y x a a a a a a l ++=++=γβα 5,
10,
2)2,1,5()
2,1,5()2,1,5()
2,1,5()2,1,5()
2,1,5(==??==??==??xy z
xz y
yz x
?
??
所求方向导数
314
123
cos cos cos =
??=??+??+??=?? l z y x l
M
?γ?β?α?? 例1.5 已知z y x xy z y x 62332222--++++=?，求在点)0,0,0(和点)1,1,1( 处的梯度。
解：由于)66()24()32(-+-++++=?z a x y a y x a z y x
? 所以 623)
0,0,0(z y x a a a
---=??
，36)
1,1,1(y x a a +=??
例1.6 运用散度定理计算下列积分：
??++-+=S
z y x S d z y xy a z y x a xz a I
)]2()([2322
S 是0=z 和2
2
22y x a z --=所围成的半球区域的外表面。
解：设：)2()(2322z y xy a z y x a xz a A z y x ++-+=
则由散度定理???=??τ
τs
S d A d A
可得
50
420
20
420
20222252sin sin )(a dr
r d d d drd r d r d y x z d A S d A I a
a
s
πθθ??
θθτ
ττπ
π
π
π
τ
ττ====++=??=?=????
??
????
例1.7 试求A ??和A
??:
(1) 22332y x a z x a z xy a A z y x
++= (2) ???sin cos ),,(22r a r a z r A z r
+=
(3) θθθ?θ?θcos 1
sin 1sin ),,(2r
a r a r a r A r ++=
解：
323200)
1(z y z y z
A y A x A A z
y x =++=??+??+??=??
)
23()23()2(32222322
2332xyz z x a xy z xy a x y x a y x z x z xy z y x a a a A A A z y x a a a A z y x z y x z y x z y x -+-+-=??????=
??????=??
?????cos 3)sin (0)cos (11)(1)
2(23r r z r r r z A A r rA r r A z r =??++??=??+??+??=??
]
sin sin 2cos )]sin 0()sin 20()0cos ([1sin 0
cos 11222
2???????
?
??????
?r a r a r a r a r a r r a r r r z r a a r a r A rA A z r a a r a r A z r z r z r z r
z r
+-=++-+-=??????=
??????=
?? θ
θθ?θ
θθθθ?θθθθθ?
θcos 2
sin 3)cos 1
(sin 1)sin 1(sin 1)sin (1sin 1)(sin sin 1)(1)
3(2223222r r
r r r r r r A r A r A r r r A r +=??+??+??=??+
????+??=?? θ
θθθθθθθθθθθ
θ
?θθθθ?θθθ?θ?θ?
θ?
θ
?
θcos cos 1sin 2cos )]cos 0(sin )2sin 210()02cos 1([sin 1cos sin 1
sin sin sin sin 1
sin sin sin 133222
2
a r
a r a r a r r a r r a r r
r r a r a r a r A r rA A r
a r a r a r A r r r r
r
-+=-+++-=
??????=??????=??
例1.8 在球坐标中，已知2
04cos r
p e πεθ
φ=
，其中e p 、0ε为常数，试求此标量场的负梯度构成的矢量场，即φ-?=E
。
解： 在球坐标戏中，?
φθθφφφ?θ??+??+??=?sin 11r a r a r a r
)
sin cos 2(44sin 2cos 04)
sin (1)2(4cos )4cos (sin 1)4cos (1)4cos (3
0303
020302
02020θθπεπεθ
πεθπεθπεθπεθ?θπεθθπεθφθθ
θ
?θa a r p r p a r p a r p r a r p a r p r a r p r a r p r a E r e e e r e e r e e e r
+=
+=-----=??-??-??-=-?=∴
例1.9 在由5=r ，0=z 和4=z 围成的圆柱形区域上，对矢量z a r a A z r 22
+=验证高斯散度定理。
解：因为要求验证高斯散度定理，即需要根据给出条件分别计算???τ
τd A
和
??s
S d A
，得到二者结果相同的结论。
在柱坐标系下，有
23)2(0)(11)(13+=??++??=??+??+??=??r r z
r r r z A A r rA r r A z r ??
在由5=r ，0=z 和4=z 围成的圆柱形区域内取一个小体积元τd ，可知
dz rdrd d ?τ=，其中50≤≤r 、π?20≤≤、40≤≤z ，故
ππ??τππτ
120042150)23()23(4
20
50
5020
40
=??=+=+=?????????dz d rdr r dz rdrd r d A
而5=r ，0=z 和4=z 围成的圆柱形区域的闭合外表面由三部分构成：圆柱
上表面1S （面元矢量?rdrd a S d z
=1，50≤≤r 、π?20≤≤、4=z ）、圆柱下表
面2S （面元矢量?rdrd a S d z
-=2，50≤≤r 、π?20≤≤、0=z ）和圆柱侧表面
3S （面元矢量dz rd a S d r ?
=3，π?20≤≤、40≤≤z 、5=r ）
，故有：
π
ππ?????
ππ
π
π
π
120042125225412508)2()
()2()2(20
4
50
20
5
4
20
20
5
20
24
5
20
23
213
2
1
=??+??=++=?++-?++?+=?+?+?=???
?
?
??
?
?
?
?????===dz
d drd r dz rd a z a r a rdrd a z a r a rdrd a z a r a S d A S d A S d A S d A r r z r z z z r z z z r S S S S
πττ
1200=?=??∴
??s
S d A d A ，即证。
例1.10 现有三个矢量场A 、B
、C ,分别为：
??θ?θ?θsin cos cos cos sin a a a A r
-+=，????sin 2cos sin 22rz a z a z a B z r
++=，
z a x a x y a C z y x 2)23(22
++-=。
哪些矢量可以由一个标量函数的梯度表示？哪些矢量可以由一个矢量的旋度表示？
解：本题考查的是矢量场的场源关系，即：标量函数的梯度是一个有散无旋的场，并根据发散场旋度为零，漩涡场散度为零进行反推。
故先分别求出矢量的散度和旋度：
sin sin cos cos cos sin sin sin 1sin sin sin 10
)sin (sin 1)cos cos (sin sin 1)cos sin (1sin 1)(sin sin 1)(12
2
22
22
=-??????=??????=??=-??+??+??=??+????+??=???
θ?θ?θ?θθθ
θ?θθθ??
θ?θθθθ?θ?θθθθθ?
θ
?
θ
?
θ?
θr r r a r a r a r A r rA A r
a r a r a r A r r r r r A r A r A r r r A r r
r
r
sin 2cos sin 11sin 2)sin 2()cos (1)sin (11)(12222=??????=??????=??=??+??+??=??+
??+??=???
?????
?????????rz rz z z r a a r a r B rB B z r a a r a r B r rz z
z r rz r r z B B r rB r r B z
r z r z r z r
)
62(2230
20222
y x a z
x x y z
y x a a a C C C z y x a a a C z C y C x C C z z
y x z y x z y x z y x -=-??????=??????=??=++-=??+??+??=??
故B
可以由一个标量函数的梯度表示，C 可以由一个矢量的旋度表示。
第2章 静电场与恒定电场
例2.1 已知半径为a 的球内、 外的电场强度为下式所示，求电荷分布。
)
(2325)
(330220a r a r a r E a E a r r
a E a E r r
??
? ??-=>=
解：由高斯定理的微分形式0
ερ=??E ， 得电荷密度为E
??=0ερ
用球坐标中的散度公式φθθθθ?
θ??+
??+??=??A r A r r A r r
A r sin 1)(sin sin 1)(122 可得： ???????<-=-??>=??=??)
()(215)]2325([1)(0)(1223033
02222
022a r r a a E a r a r E r r
r a r r a E r r r A o ε
例2.2 一个半径为a 的均匀极化介质球，极化强度是0P z a
，求极化电荷分布。
解：建立球坐标系，让球心位于坐标原点。
极化电荷体密度为00=?-?=?-?=P a P z p
ρ
极化电荷面密度为θρcos 00P a P a n P r z ps =?=?=
例2.3 一个半径为a 的导体球，带电量为Q ，在导体球外套有外半径为b 的同
心介质球壳， 壳外是空气，如图2.1所示。求空间任一点的P E D
、、以及束缚电荷密度。
图 2.1 解：由介质中的高斯定律可知，
在a r ≥区域内：Q r D S d D r s
=?=??2
4π ，故2
4r Q
a D r
π = 由本构方程E E P E D r
εεεε==+=00得：
介质内(a 0241,41r Q a E D P r Q a D E r r r r πεεεεπεε -=-=== 介质外(b 00 ===P r Q a D E r πεε 介质内表面束缚电荷面密度分别为： 2 41a Q a P n P r r r a r ps πεερ--=?-=?== ，2 41b Q a P n P r r r b r ps πεερ--=?=?== 例2.4 若真空中电荷q 均匀分布在半径为a 的球体内，计算球内，外的电场强度以及电场能量。 解：由电荷分布可知，电场强度是球对称的，在距离球心为r 的球面上，电场强度大小相等，方向沿半径方向。 在球外)(a r >，取半径为r 的球面作为高斯面，利用高斯定理计算： q r D S d D r s =?=??2 4π 故有24r q D r π= ，2 0041r q D E r r πεε== 对球内)(a r <，也取球面作为高斯面，同样利用高斯定理计算： 33332 3 4344a q r a q r r D S d D r s ==?=??πππ 故有34a rq D r π= ，3 0041a rq D E r r πεε== a q dr r r dr r a r q d E W a a V e 022422 302 002020341442121πεπππεετε=??? ?????+??? ??????? ??==??∞电场能量例2.6 半径分别为)(,b a b a >，球心距为)(b a c c -<的两球面之间有密度为ρ的均匀体电荷分布，如图2.3所示，求半径为b 的球面内任一点的电场强度。 图2.3 解：为了使用高斯定理，在半径为b 的空腔内分别加上密度为+ρ和ρ-的体电荷，这样，任一点的电场就相当于带正电的大球体和一个带负电的小球体共同产生，正负带电体所产生的场分别由高斯定理计算。 正电荷在空腔内产生的电场为10 113r a r E ερ=， 负电荷在空腔内产生的电场为20 223r a r E ερ-=， 其中单位向量1 r a ，2r a 分别以大、小球体的球心为球面坐标的原点。 考虑到x r r a c a r a r =-2211，最后得到空腔内的电场为： x a c E 0 3ερ= 例2.7 一个半径为a 的均匀带电圆柱体（无限长）的电荷密度是ρ，求圆柱体内、 外的电场强度。 解：因为电荷分布是柱对称的，因而选取圆柱坐标系求解。在半径为r 的柱面上，电场强度大小相等，方向沿半径方向。计算柱内电场时，取半径为r ，高度为1的圆柱面为高斯面。在此柱面上，使用高斯定理，有 202,,2ερ ρππεr E l r q q rl E S d D r r s ====?? 计算柱外电场时，取通过柱外待计算点的半径为r ，高度为1的圆柱面为高斯面。对此柱面使用高斯定理，有 22 02,,2ερρππεr a E l a q q rl E S d D r r s ====?? 例2.8 一个半径为a 的均匀带电圆盘，电荷面密度是0s ρ，如图2.4所示。求轴线上任一点的电场强度。 图2.4 解：由电荷的电荷强度计算公式 dS r r r r r r E s s ? --= 30' ) ')((41)( ρπε 及其电荷的对称关系，可知电场仅有z 的分量。 代入场点源点 x a z r = ??sin 'cos ''r a r a r y x += ?d dr r dS ''= 电场的z 向分量为 ??????+-=+=??2/12200200 2/32200)(12)'(''4z a z s r z dr zr d s E a z ερ?περπ 上述结果适用于场点位于z>0时。但场点位于z<0时，电场的z 向量为 ])(1[22 /12200 z a z s E z +--=ερ 例2.9 已知半径为a 的球内,外电场分布为 ??????? ? ??>??? ??=a r a a r E a r a r a E E r r 2 020 求电荷密度。 解：从电场分布计算计算电荷分布,应使用高斯定理的微分形式: ρ=??D 用球坐标中的散度公式,并注意电场仅仅有半径方向的分量,得出 () () 0r r 1 : a E 3r r 1: r 2 2 00r 2 20 =E ??=>=E ??= a r r a r ερερ时时 例 2.11 真空中有两个点电荷，一个电荷q -位于原点，另一个电荷2/q 位于 )0,0,(a 处，求电位为零的等位面方程。 解：由点电荷产生的电位公式得电位为零的等位面为 04241 00=+-r q r q πεπε 其中 2 12 22)(z y x r ++=， 2 122 21])[(z y a x r ++-= 等位面方程简化为 r r =12 即 222222])[(4z y x z y a x ++=++- 此方程可以改写为 2 2 223234?? ? ??=++??? ??-a z y a x 这是球心在)0,0,34( a ,半径为3 2a 的球面。 例2.12 如图2.6所示，一个圆柱形极化介质的极化强度沿其轴方向，介质柱的高度为L ，半径为a ，且均匀极化，求束缚体电荷分布及束缚面电荷分布。 图2.6 解：选取圆柱坐标系计算，并假设极化强度沿其轴向方向，x a P P 0=如图 示，由于均匀极化，束缚体电荷为 0=?-?=P ρ。 在圆柱的侧面，注意介质的外法向沿半径方向r a n =，极化强度在z 方向，故 0=?=r a P ρ 在顶面，外法向为x a n =，故 0P a P x sp =?= ρ 在底面，外法向为x a n -=，故 0)(P a P x sp -=-?= ρ 例2.13 假设x<0的区域为空气，x>0的区域为电解质，电解质的介电常数为03ε， 如果空气中的电场强度z y x a a a E 541++=（V/m ），求电介质中的电场强度2E 。 解：在电介质与空气的界面上没有自由电荷，因而电场强度的切向分量连 续，电位移矢量的法向分量连续。在空气中，由电场强度的切向分量x y t a a E 541+=，可以得出介质中电场强度的切向分量x y t a a E 542+=；对于法向分 量，用n D D n 21=，即 x x E E 210εε=，并注意013,3εε==x E ，得出12=x E 。将所得到的切向分量相叠加，得介质中的电场为 )/(542m V a a a E z y x ++= 例2.14 一个半径为a 的导体球面套一层厚度为b-a 的电解质，电解质的介电常数为ε，假设导体球带电q ，求任意点的电位。 解：在导体球的内部，电场强度为0。对于电介质和空气中的电场分布，用高斯定理计算。在电介质或空气中的电场取球面为高斯面，由 ? ==?s r q D r S d D 24π 得出2 4r q D r π= 电场为：2 4r q E r πε= 在介质中（a E r πε= 在空气中（r>b ）。 电位为 )11(44440220b r q b q dr r q dr r q Edr r b b r -+=+==?? ? ∞ ∞ πεπεπεπε? （a ??∞∞===r r r q dr r q Edr 02044πεπε? (r>b) 例2.15 真空中有两个导体球的半径都为a ，两球心之间距离为d ，且d>>a,试计算两个导体之间的电容。 解：因为球心间距远大于导体的球的半径，球面的电荷可以看作是均匀分布。由电位系数的定义，可得 a p p 0221241πε= =， d p p 0211241πε= = 让第一个导体带电q, 第二个导体带电-q ，则 d q a q q p q p 001211144πεπε?- = -=， a q d q q p q p 002221244πεπε?- = -= 由2 1??-== q U q C 化简得a d ad C -= 02πε 例2.16 球形电容器内，外极板的半径分别为a,b ，其间媒质的电导率为σ，当外加电压为0U 时，计算功率损耗并求电阻。 解：设内,外极板之间的总电流为0I ，由对称性，可以得到极板间的电流密度为 r a r I J π2= r a r I E 2 4πσ= 0U =a b Edr ?= 114I a b πσ??- ??? 从而 I =0 411 U a b πσ- ，r a r b a U J 20)11(-= σ 单位体积内功率损耗为 p =2J σ=2 211U r a b σ????? ?????- ??????? 总功率耗损为 P=2 4b a p r dr π?= 2 02 2411b a U dr r a b πσ?? -???? ? =2 0411U a b πσ- 由P=2 0U R ，得 R= 114I a b πσ??- ??? 例2.21 电场中一半径为a 的介质球，已知球内、外的电位函数分布为： a r r E a r E ≥+-+-=,cos 2cos 2030001θ εεεεθ? a r r E ≤+-= , cos 2300 2θεεε? 验证球表面的边界条件，并计算球表面的束缚电荷密度。 解：题目给出的边界面，是介于介质和空气之间的球面，其法向为球的径向 r a ，切向则为θa 和?a 方向。要验证分界面上的边界条件，可以从电场矢量方面入手，根据题目给出电位分布，求出电场强度的分布，得到在边界面a r =上 t t E E 21 =； 也可以直接根据电位的边界条件，在a r =的分界面上，得到21??=的结论。而要计算球面的束缚电荷密度，可根据n P ps ?=ρ来计算。 1）验证边界条件： 方法一：直接利用电位的边界条件，有： a r =时，200 00001cos 23cos 2cos ?θεεεθεεεεθ?=+-=+-+ -=r E aE a E 21??=∴，边界条件成立。 方法二：?-?=E a r r E a E a r E a E a E r ≥+-+-++-+=-?=∴),sin 2sin ()cos 22cos (3030003030001 1θεεεεθθεεεεθ?θ a r E a E a E r ≤-+= -?=),sin cos (23000 022θθεεε?θ 分界面a r =上，r a n = t t E E a E E a E 200 000001sin 23)sin 2sin ( =+-=+-+-=∴θεεεθεεεεθθθ t t E E 21 =∴，边界条件成立。 2）计算球表面的束缚电荷密度： 由上面可得 a r r E a E a r E a E a E r ≥+-+-++-+=),sin 2sin ()cos 22cos (303000 3030001θεεεεθθεεεεθθ a r E a E a E r ≤-+= ), sin cos (23000 02θθεεεθ E P E D εε=+=0 E P )(0εε-=∴ a r E r a a E r a a E P r ≥+-+-++-+ -=-=],sin )21(cos )221()[()(03 300033000101θεεεεθεεεεεεεεθ a r E P ≤=-=, 0)(2002 εε 例2.22 有一半径为a ，带电荷量为q 的导体球，其球心位于两种介质的分界面上，此两种介质的介电常数分别为1ε和2ε，分界面可视为无限大的平面，求： (1)球的电容量；(2)储存的总静电能。 解：此导体球为单导体系统，选无穷远点为零电位点，球的电容量可由Φ = Q C 求出，其中Q 为导体球所带电荷量，即q ；Φ为导体球表面电位与零电位点的电位差。故求球的电容量，就需求导体球外电场强度的分布。同样，静电场的能量也可由电场强度求出，故本题的核心在于求电场强度的空间分布。 图2.8 由图2.8所示，以导体球的球心为坐标原点建立球坐标系，电荷和电场分布具有球对称特性。 在a r >处做同心的高斯闭合球面，有 q r D r D S d D r r S =?+?=?? 222122ππ 在1ε和2ε的介质分界面上，有t t E E 21 =，即r r r E E E ==21， 故有 r r r E E D 1111εε==，r r r E E D 2222εε==， q r E E r D r D r r r r =?+=?+?∴22122212)(22πεεππ 2 21)(2r q E r εεπ+= ∴ (1) ) (2)(2)(22121221εεπεεπεεπ+= +- =+=?=Φ∞ ++∞ +∞ ?? a q r q r qdr dr E a a a r )(2) (22121εεπεεπ+=+=Φ = ∴a a q q q C (2))(421212 εεπ+=Φ=a q q W e （注：也可计算为： ) (4sin 21sin 2 121 212 2/202222/0 20 2 212εεπ?θθε?θθετ επππππ τ+= +==?????? ?∞+∞+a q d drd r E d drd r E d E W a a e ） 第4章 恒定磁场 例4.2 内、外半径分别为a 、b 的无限长空心圆柱中均匀分布着轴向电流I ，求柱内、外的磁感应强度。 解：使用圆柱坐标系。电流密度沿轴线方向为 ??? ????><<-<=b r b r a a b I a a r J z ,0,)(,02