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北师大版选修导数与函数的单调性_3

北师大版选修导数与函数的单调性_3
北师大版选修导数与函数的单调性_3

大附中张文

俊)

本课例教学

目标定位较准

确,教学方法选

择合理。课例力

求以问题为情

景,引导学生探

索并应用导数与

函数的单调性的

关系求函数的单

调区间;通过利

用导数研究函数

单调性问题的过

程,学会由图形

——性质;从特

殊到一般的,数

形结合的研究方

法。掌握研究函

数单调性的另一

种常用方法——

导数法,教学过

程较为流畅,并

注意在教学过程

中通过力求让学

生多动手、多观察、勤思考、善总结,认识到数学是一个有机整体,这样培养学生的自信心,保持学生的学习热情和培养学生勇于探索善于发现的创新意识。这些设计思想都符合新课程理念,但在具体的实施过程中师生互动体现学生的自主

不够,教师代替较多,没达到设计的预期目的,另外,个别例题解答不够完整,即示范性不够,因为,例题。

1.3.1函数的单调性与导数教案

§1.3.1函数的单调性与导数 【教学目标】 1.正确理解利用导数判断函数的单调性的原理; 2.掌握利用导数判断函数单调性的方法。 【教学重点】利用导数判断函数单调性。 【教学难点】利用导数判断函数单调性。 【内容分析】 以前,我们用定义来判断函数的单调性. 对于任意的两个数x 1,x 2∈I ,且当x 1<x 2时,都有f (x 1)<f (x 2),那么函数f (x )就是区间I 上的增函数. 对于任意的两个数x 1,x 2∈I ,且当x 1<x 2时,都有f (x 1)>f (x 2),那么函数f (x )就是区间I 上的减函数。 在函数y=f(x)比较复杂的情况下,比较f(x 1)与f(x 2)的大小并不很容易. 如果利用导数来判断函数的单调性就比较简单。 【教学过程】 一、复习引入 1. 常见函数的导数公式: 0'=C ;1)'(-=n n nx x ;x x cos )'(sin =;x x sin )'(cos -=. 2.法则1 )()()]()([' ' ' x v x u x v x u ±=±. 法则2 [()()]'()()()'()u x v x u x v x u x v x '=+, [()]'()Cu x Cu x '=. 法则3 ' 2 '' (0)u u v uv v v v -??=≠ ??? . 3.复合函数的导数:设函数u =?(x )在点x 处有导数u ′x =?′(x ),函数y =f (u )在点x 的对应点u 处有导数y ′u =f ′(u ),则复合函数y =f (? (x ))在点x 处也有导数,且x u x u y y '''?= 或f ′x (? (x ))=f ′(u ) ?′(x ). 4.复合函数求导的基本步骤是:分解——求导——相乘——回代. 5.对数函数的导数: x x )'(ln = e x x a a log 1 )'(log =. 6.指数函数的导数:x x e e =)'(; a a a x x ln )'(=. 二、讲解新课 1. 函数的导数与函数的单调性的关系: 我们已经知道,曲线y=f(x)的切线的斜率就是函数y=f(x)的导数.从函数 342+-=x x y 的图像 可以看到: 在区间(2,∞+)内,切线的斜率为正,函数y=f(x) 的 y =f (x )=x 2-4x +3 切线的斜率 f ′(x ) (2,+∞) 增函数 正 >0 (-∞,2) 减函数 负 <0 3 2 1 f x () = x 2-4?x ()+3 x O y B A

1.3.1函数的单调性与导数教案

1.3.1函数的单调性与导数教案 谷城一中杨超 教学目标 1.正确理解利用导数判断函数的单调性的原理; 2.掌握利用导数判断函数单调性的方法 教学重点:探索函数的单调性与导数的关系,求单调区间. 教学难点:利用导数判断函数的单调性 教学过程 一.回顾与思考 1、函数单调性的定义是什么? 2、判断函数的单调性有哪些方法?比如判断y=x2的单调性,如何进行?(分别用定义法、图像法完成) 3、函数x =怎么判断单调性呢?还有其他方法吗? 22+ x y ln 二.新知探究函数的单调性与导数之间的关系 【情景引入】函数是客观描述世界变化规律的重要数学模型,研究函数时,了解函数的增与减、增减的快与慢以及函数的最大值或最小值等性质是非常重要的.通过研究函数的这些性质,我们可以对数量的变化规律有一个Array基本的了解.函数的单调性与函数的导数一样都是反 映函数变化情况的,那么函数的单调性与函数的导数 是否有着某种内在的联系呢? 【思考】如图(1),它表示跳水运动中高度h随 时间t变化的函数2 =-++的图像,图 h t t t () 4.9 6.510 (2)表示高台跳水运动员的速度v随时间t变化的函 数' ==-+的图像.运动员从起跳到最 v t h t t ()()9.8 6.5 高点,以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别? 【引导】随着时间的变化,运动员离水面的高度的变化有什么趋势?是逐渐增大还是逐步减小? 【探究】通过观察图像,我们可以发现: (1)运动员从起点到最高点,离水面的高度h随时间t的增加而增加,即() h t是增函数.相应地,' =>. v t h t ()()0 Array(2)从最高点到入水,运动员离水面的 高h随时间t的增加而减少,即() h t是减函 数.相应地' v t h t ()()0 =<, 【思考】导数的几何意义是函数在该点 处的切线的斜率,函数图象上每个点处的切 线的斜率都是变化的,那么函数的单调性与

知识点一-导数与函数的单调性

1.函数的单调性:在某个区间( a,b )内,如果f (x) . 0 ,那么函数y = f (x)在这个区间内单调递增;如果f (x) :::0,那么函数y = f(x)在这个区间内单调递减?如果f(x)=0,那么函数y = f(x)在这个区间上是常数函数? 注:函数y = f (x)在(a,b )内单调递增,贝U f (x)亠0,f (x) . 0是y = f (x)在(a,b )内单调递增的充分不必要条件? 2.函数的极值:曲线在极值点处切线的斜率为0,并且,曲线在极大值点左侧切线的斜率为正,右侧为 负;曲线在极小值点左侧切线的斜率为负,右侧为正. 一般地,当函数 y = f(x)在点沧处连续时,判断f(X。)是极大(小)值的方法是: (1)如果在X。附近的左侧f ' (x) 0 ,右侧f'(x)::: ,那么f(X0)是极大值. (2)如果在X o附近的左侧f '(X):::0 ,右侧f'(x) 0,那么f(X0)是极小值. 注:导数为0的点不一定是极值点 知识点一:导数与函数的单调性 方法归纳: 在某个区间(a,b )内,如果f (x) ?0,那么函数y = f (x)在这个区间内单调递增;如果「(x) :::0,那 么函数y二f(x)在这个区间内单调递减?如果f (x) =0,那么函数y二f(x)在这个区间上是常数函数?注:函数y = f (x)在(a,b )内单调递增,贝U f (x) _ 0 , f (x) 0是y = f (x)在(a,b )内单调递增的 充分不必要条件? 例1】(B类)已知函数f(x)=x3 bx2 cx d的图象过点P(0, 2),且在点M(-1, f(-1))处的切线方程为6x「y ?7 = 0 ? (I)求函数y = f(x)的解析式;(n)求函数y=f(x)的单调区间? 【解题思路】注意切点既在切线上,又原曲线上?函数f(x)在区间[a,b]上递增可得:f'(x)_0 ;函数 f (x)在区间[a,b]上递减可得:f'(x) E0. 3 【例2】(A类)若f(x)二ax x在区间[—1,1]上单调递增,求a的取值范围? 【解题思路】利用函数 f (x)在区间[a,b]上递增可得:f'(x)_0;函数f(x)在区间[a,b]上递减可得: f '(x)岂0.得出恒成立的条件,再利用处理不等式恒成立的方法获解 a 【例 3 】(B 类)已知函数f(x)=l nx,g(x) (a 0),设F(x^ f (x) - g(x). x (I)求函数F(x)的单调区间;

导数与函数的单调性练习题

2.2.1导数与函数的单调性 基础巩固题: 1.函数f(x)= 21 ++x ax 在区间(-2,+∞)上为增函数,那么实数a 的取值范围为( ) A.021 C.a>2 1 D.a>-2 答案:C 解析:∵f(x)=a+221+-x a 在(-2,+∞)递增,∴1-2a<0,即a>2 1 . 2.已知函数f (x )=x 2+2x +a ln x ,若函数f (x )在(0,1)上单调,则实数a 的取值范围是( ) A .a ≥0 B .a <-4 C .a ≥0或a ≤-4 D .a >0或a <-4 答案:C 解析:∵f ′(x )=2x +2+a x ,f (x )在(0,1)上单调, ∴f ′(x )≥0或f ′(x )≤0在(0,1) 上恒成立,即2x 2+2x +a ≥0或2x 2+2x +a ≤0在(0,1)上恒成立, 所以a ≥-(2x 2+2x )或a ≤-(2x 2+2x )在(0,1)上恒成立.记g (x )=-(2x 2+2x ),02 [解析] 若y ′=x 2+2bx +b +2≥0恒成立,则Δ=4b 2-4(b +

函数的单调性与导数教学设计

《函数的单调性与导数》教学设计 教材分析 1、内容分析 导数是微积分的核心概念之一,是高中数学教材新增知识,在研究函数性质时有独到之处,体现了现代数学思想.本节的教学内容属导数的应用,是在学习了导数的概念、运算和几何意义的基础上学习的内容.学好它既可加深对导数的理解,又为研究函数的极值和最值打下了基础. 由于学生在高一已经掌握了函数单调性的定义,并会用定义判定函数在给定区间上的单调性.通过本节课的学习应使学生体验到,用导数判断函数的单调性比用定义要简捷的多(尤其对于三次和三次以上的多项式函数,或图像难以画出的函数而言),充分展示了导数的优越性. 2、学情分析 在必修一中,学生学习了单调函数的定义,并会用定义判断或证明函数在给定区间上的单调性,在前几节,学生学习了导数的概念、几何意义及运算法则,已经掌握了利用导数研究函数单调性的必备知识. 用定义证明函数在给定区间的单调性的方法是作差、变形、判断符号.而对大部分函数而言,变形环节是非常繁琐,甚至是无法做到的,并且不清楚“给定区间”是如何给出的,这就要求同学们积极探索更好的方法来判断函数的单调性和探求函数的单调区间,以此来激发学生的学习兴趣. 教学目标 依据新课标纲要和学生已有的认知基础和本节的知识特点,我制定了以下教学目标: 1、知识与技能目标: 借助于函数的图象了解函数的单调性与导数的关系;培养学生的观察能力、归纳能力,增强数形结合的思维意识.

2、过程与方法目标: 会判断具体函数在给定区间上的单调性;会求具体函数的单调区间. 3、情感、态度与价值观目标: 通过在教学过程中让学生多动手、多观察、勤思考、善总结,引导学生养成自主学习的学习习惯。 教学重点、难点 教学重点:1、利用导数判断函数的单调性. 2、会求不超过三次的多项式的单调区间。 教学难点:1、函数的单调性与导数的关系 2、提高灵活应用导数法解决有关函数单调性问题的能力. 教学重难点的解决方法 通过问题激发学生求知欲,使学生主动参与教学实践活动,在教师的指导下发现、分析和解决问题;通过几何画板的动态演示,使抽象的知识直观化、形象化,以促进学生的理解. 教法设计: 1、自主探究法:让学生自己发现问题,自己归纳总结,自己评析解题对错,从而提高学生的参与意识和数学表达能力. 2、比较法:对同一个问题,采用不同的方法,从中体会导数法的优越性. 教学媒体 根据本节课的教学要求及学生学习的需要,我对本节课的教学媒体设计如下 1:多媒体辅助教学:制作直观,有效地多媒体课件,可以节省课堂时间,也给学生直观认识和感觉; 2:投影仪的辅助教学:利用投影把学生的解题过程及方法及时展示,可以提高学生学习数学的兴趣. 课型:新授课 教学过程 教学过程设计意图

专题一:导数与函数的单调性

专题一:导数与函数的单调性 题型一:求函数的单调区间 1.函数()2 ln f x x x =的减区间为( ) A. ( B. ?+∞???? C. ?-∞ ?? D. ? ?? 2.设()f x '是函数()f x 的导函数,()f x '的图象如图所示,则()y f x =的图象是( ) A B C D 3.设函数f (x )在R 上可导,其导函数为f ′(x ),且函数f (x )在x =-2处取得极小值,则函数y =xf ′(x )的图像可能是( ) A B C D 4. 判断函数2x y x e =-的单调性. 题型二: 含有参数的单调区间 1. 求函数()1x f x e ax =--的单调区

2. 求函数()21ln 2f x x ax =+的单调区间 3.讨论函数()()2112x f x x e ax =--的单调性 题型三:已知单调性求参数取值范围 1. 已知()1x f x e ax =--在区间[]-2,3为减函数,求a 的取值范围。 2. 已知()()3212+33 f x x bx b x =+++在R 上是单调递增函数,求b 的范围。若函数()f x 不是单调函数b 范围又是多少? 3.已知()2 1+x e f x ax =在R 是单调函数,求a 的取值范围 4.若函数()22ln f x x x =-在其定义域内的一个子区间()1,1k k -+内不是单调函数,求实数k 的取值范围 5.()()21ln 202 f x x ax x a =--≠存在单调递减区间,求a 的取值范围。

《函数的单调性与导数》-教学设计

《函数的单调性与导数》-教学设计

《函数的单调性与导数》教学设计 一、设计理念 基于新课标提出的教学要面向全体学生、提倡探究性学习,我倡导“主动参与,乐于探究,交流合作与联系实际”的教学理念,借助多媒体的简洁性、直观性和交互性,注重与现实生活的紧密性,充分调动每位学生的学习热情,建立以“学为主体、教为主导、疑为主轴、动为主线”的教学模式。 二、教学分析 (一)教学内容分析 《函数的单调性与导数》是人教版《普通高中课程标准实验教科书数学》选修2-2第一章《导数及其应用》的内容.本节课主要学习函数的单调性和导数的关系;能利用导数研究函数的单调性;会求函数的单调区间.本节的教学内容属于导数的应用,是在学生学习了导数的概念、计算、几何意义的基础上学习的内容,学好它既可加深对导数的理解,又可为后面研究函数的极值和最值打好基础. (二)教学对象分析 学生在高一时已经掌握了函数单调性的定义,并会用定义、图像的方法解决函数单调性问题。高二的学生对高中的数学体系已经有了一定的认识,具有了较强的分析问题、解决问题的能力. (三)教学环境分析 针对学生面临的问题和本课的重难点,我决定运用文字、视频、几何画板等多媒体资源进行辅助教学,多媒体教学具有信息量大、直

观性强的特点,能提高教学效率,取得更好的教学效果,因此在多媒体教室授课. 三、教学目标 根据新课标要求和对教材的分析,并结合学生的认知特点,确定如下几个方面为本课的教学目标: (一)知识与技能 1.探索函数的单调性与导数的关系; 2.会利用导数判断函数的单调性并会求函数的单调区间; 3.探索三次函数的单调性与系数之间的关系. (二)过程与方法 1.通过对函数单调性与导数关系的探究,让学生经历从具体到抽象,从感性到理性,从特殊到一般的认知过程; 2.培养学生观察、分析、归纳、抽象的能力和语言的表达能力,领会由特殊到一般,一般到特殊的数学方法,渗透数形结合思想和化归的思想. (三)情感态度价值观 1.通过创设情境,激发学生学习数学的情感,培养其严谨治学的态度; 2.通过在教学过程中让学生多动手、细观察、勤思考、善总结,培养学生的探究精神. 四、教学重难点 对于函数的单调性与导数的关系,学生的认知困难主要体现在:

导数与函数的单调性(word解析版)

导数与函数的单调性 【考纲要求】 (1)了解函数单调性和导数的关系;能利用导数研究函数的单调性,会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次). (2)了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件;会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次);会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次). 【命题规律】 利用导数研究函数的单调性是高考的热点问题,常常会考查利用导数研究含参函数的单调性,极值. 预计2018年的高考将会在大题中考查利用导数研究函数单调性的问题,命题形式会更加灵活、新颖. 【典型高考试题变式】 (一)原函数与其导函数的图像问题 例1.【2017浙江高考】函数()y f x =的导函数()y f x '=的图像如图所示,则函数()y f x =的图像可能是( ). 【答案】 D C.

【解析】导数大于零,原函数递增,导数小于零,原函数递减,对照导函数图像和原函数图像.故选D . 【方法技巧归纳】在(,)a b 内可导函数()f x ,'()f x 在(,)a b 任意子区间内都不恒等于0. '()0()f x f x ≥?在(,)a b 上为增函数.'()0()f x f x ≤?在(,)a b 上为减函数.且 导函数单调性可以判原函数图像的凹凸性:若)('x f 大于0且递增,则原函数)(x f 图像递增且下凹;若大于0且递减,则原函数)(x f 图像递增且上凸. 【变式1】【2018河北内丘中学8月月考(理)】设函数()f x 的导函数为()f x ', 若()f x 为偶函数,且在()0,1上存在极大值,则()f x '的图象可能为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】根据题意,若f (x )为偶函数,则其导数f ′(x )为奇函数,结合函数图象可以排除B . D ,又由函数f (x )在(0,1)上存在极大值,则其导数图象在(0,1)上存在零点,且零点左侧导数值符号为正,右侧导数值符号为负, 结合选项可以排除A ,只有C 选项符合题意;本题选择C 选项.

导数与函数的单调性练习题

导数练习(三)导数与函数的单调性 基础巩固题: 1.函数f(x)= 2 1 ++x ax 在区间(-2,+∞)上为增函数,那么实数a 的取值范围为( ) 21 >2 1 >-2 2.已知函数f (x )=x 2 +2x +a ln x ,若函数f (x )在(0,1)上单调,则实数a 的取值范围是( ) A .a ≥0 B.a <-4 C .a ≥0或a ≤-4 D .a >0或a <-4 3.函数f (x )=x +9 x 的单调区间为________. 4 函数3 2x x y -=的单调增区间为 ,单调减区间为___________________ 5.确定下列函数的单调区间:(1)y =x 3-9x 2+24x (2)y =3x -x 3 6.函数y =ln(x 2 -x -2)的单调递减区间为__________. 7.已知y =13x 3+bx 2 +(b +2)x +3在R 上不是单调增函数,则b 的范围为________. 8.已知x ∈R ,求证:e x ≥x +1. 9.已知函数32 ()f x x bx cx d =+++的图象过点P (0,2),且在点M (-1,f (-1))处的切线方程为076=+-y x .(Ⅰ)求函数y=f(x)的解析式;(Ⅱ)求函数y=f(x)的单调区间. 11.已知函数f(x)=x 3-2 1x 2 +bx+c.(1)若f(x)在(-∞,+∞)上是增函数,求b 的取值范围; 12.已知函数f(x)=x(x-1)(x-a)在(2,+∞)上是增函数,试确定实数a 的取值范围.

13.已知函数 2 3 2()4()3 f x x ax x x R =+-∈在区间[]1,1-上是增函数,求实数a 的取值范围. 14.已知函数d ax bx x x f +++=2 3 )(的图象过点P (0,2),且在点M (-1,)1(-f )处的切线方程076=+-y x ,(1)求函数)(x f y =的解析式;(2)求函数)(x f y =的单调区间。 15.已知函数f (x )=2x -b (x -1) 2,求导函数f ′(x ),并确定f (x )的单调区间. 强化提高题: 16.设f (x )、g (x )是R 上的可导函数,f ′(x ),g ′(x )分别为f (x )、g (x )的导函数,且满足f ′(x )g (x )+f (x )g ′(x )<0,则当a f (b )g (x ) B .f (x )g (a )>f (a )g (x ) C .f (x )g (x )>f (b )g (b ) D .f (x )g (x )>f (b )g (a ) 17.若函数y =x 3-ax 2 +4在(0,2)内单调递减,则实数a 的取值范围是____________. 18.已知函数f (x )=ax -ln x ,若f (x )>1在区间(1,+∞)内恒成立,实数a 的取值范围为________. . 19.函数y =x 2e -x 的单调递增区间是________. 20 若32 ()(0)f x ax bx cx d a =+++>在R 增函数,则,,a b c 的关系式为是 _______________ 21.若函数y =- 3 4x 3 +bx 有三个单调区间,则b 的取值范围是________.

1.3.1 函数的单调性与导数

1.3.1 函数的单调性与导数 知识要点 1,函数的单调性与其导函数的关系:在某个区间(),a b内,如果,那么函数() =在这个区间内单 y f x y f x =在这个区间内单调递增;如果,那么函数() f x在这个区间内为常函数。 调递减;如果恒有,那么函数() 内,这时,函数的图像就比较;反之,函数的图像就比较。 教材拓展 求函数单调区间的步骤与方法: (1) (2) (3) (4) 典型例题

知识点一,求函数的单调区间 例1,求下列函数的单调区间 (1)()3f x x x =- (2)1x y e x =-+ (3)ln y x x =- (4) 12y x = 变式训练1,求函数)0y a =>的单调区间 知识点二,判断函数的单调性 例2,已知a R ∈,讨论函数()2ax f x x e =?的单调区间 变式训练2,已知()()10,11 x x a f x a a a -=>≠+,讨论()f x 的单调性 知识点三,求参数的取值范围 例3,已知函数()()()()3212,f x x a x a a x b a b R =+--++∈ (1)若函数()f x 的图像过原点,且在原点处的切线斜率是3-,求,a b 的值; (2)若函数()f x 在区间()1,1-上不单调,求a 的取值范围。 变式训练3,若函数()325f x ax x x =-+-在R 山单调递增,求a 的取值范围 作业练习

水平基础题 1.函数y =x sin x +cos x ,x ∈(-π,π)的单调增区间是( ) A.? ???-π,-π2和????0,π2 B.????-π2,0和??? ?0,π2 C.? ???-π,-π2和????π2,π D.????-π2,0和??? ?π2,π 2.下列命题成立的是( ) A .若f (x )在(a ,b )内是增函数,则对任何x ∈(a ,b ),都有f ′(x )>0 B .若在(a ,b )内对任何x 都有f ′(x )>0,则f (x )在(a ,b )上是增函数 C .若f (x )在(a ,b )内是单调函数,则f ′(x )必存有 D .若f ′(x )在(a ,b )上都存有,则f (x )必为单调函数 3.(2007·福建理,11)已知对任意实数x ,有f (-x )=-f (x ),g (-x )=g (x ),且x >0时,f ′(x )>0,g ′(x )>0,则x <0时( ) A .f ′(x )>0,g ′(x )>0 B .f ′(x )>0,g ′(x )<0 C .f ′(x )<0,g ′(x )>0 D .f ′(x )<0,g ′(x )<0 4.已知函数f (x )=ax -ln x ,若f (x )>1在区间(1,+∞)内恒成立,实数a 的取值范围为________. 5.设函数f (x )=x 3-3ax 2+3bx 的图象与直线12x +y -1=0相切于点(1,-11). (1)求a 、b 的值; (2)讨论函数f (x )的单调性. 水平提升题 6.f (x )是定义在(0,+∞)上的非负可导函数,且满足xf ′(x )+f (x )≤0,对任意正数a 、b ,若a 2f (1) 8.(2010·江西理,12)如图,一个正五角星薄片(其对称轴与水面垂直)匀速地升出水面,记t 时刻五角星露出水面部分的图形面积为S (t )(S (0)=0),则导函数y =S ′(t )的图像大致为 ( ) 9.函数 y =ln(x 2-x -2)的单调递减区间为__________. 10.若函数y =x 3-ax 2+4在(0,2)内单调递减,则实数a 的取值范围是____________. 11.求证:方程x -12 sin x =0只有一个根x =0. 12.已知函数y =ax 与y =-b x 在(0,+∞)上都是减函数,试确定函数y =ax 3+bx 2+5的单调区间.

函数的单调性与导数(获奖教案

3.3.1函数的单调性与导数 教材分析 “函数单调性与导数”是高中数学(选修1-1)第三章导数及其应用的第三节,本节的教学内容属导数的应用,是在学生学习了导数的概念、计算、几何意义的基础上学习的内容,学好它既可加深对导数的理解,又可为后面研究函数的极值和最值打好基础. 由于学生在高一已经掌握了单调性的定义,并能用定义判定在给定区间上函数的单调性.通过本节课的学习,应使学生体验到,用导数判断单调性要比用定义判断简捷得多(尤其对于三次和三次以上的多项式函数,或图象难以画出的函数而言),充分展示了导数解决问题的优越性. 课时分配 本节内容用1课时完成,主要经历从生活中的变化率问题抽象概括出函数平均变化率概念的过程,体会从特殊到一般的数学思想,体现了数学知识来源于生活,又服务于生活. 教学目标 重点:利用导数研究函数的单调性,会求函数的单调区间. 难点:⒈探究函数的单调性与导数的关系; ⒉如何用导数判断函数的单调性. 知识点:1.探索函数的单调性与导数的关系; 2.会利用导数判断函数的单调性并求函数的单调区间. 能力点:1.通过本节的学习,掌握用导数研究单调性的方法. 2.在探索过程中培养学生的观察、分析、概括的能力渗透数形结合思想、转化思想.教育点:通过在教学过程中让学生多动手、多观察、勤思考、善总结,培养学生的探索精神,引导学生养成自主学习的学习习惯. 自主探究点:通过问题的探究,体会知识的类比迁移.以已知探求未知,从特殊到一般的数学思想方法. 考试点:利用导数判断函数的单调性并求函数的单调区间. 易错易混点:导数的正负决定函数的单调性,而不是导数的单调性决定函数的单调性. 教具准备:多媒体课件,三角板 课堂模式:学案导学 一.引入新课 y 的单调性,如何进行? 师:判断函数的单调性有哪些方法?比如判断2x 生:用定义法、图像法. 师:因为二次函数的图像我们非常熟悉,可以画出其图像,指出其单调区间,再想一下,有

函数的单调性与导数(作业)

函数的单调性与导数 一、选择题 1.函数f(x)=(x-3)e x的单调递增区间是() A.(-∞,2)B.(0,3) C.(1,4) D.(2,+∞) 2.设y=x-ln x,则此函数在区间(0,1)内为() A.单调递增 B.有增有减 C.单调递减 D.不确定 3.若函数f(x)=x3-ax2-x+6在(0,1)内单调递减,则实数a的取值范围是() A.[1,+∞) B.[0,1] C.(-∞,1] D.(0,1) 4.已知函数f(x),g(x)满足当x∈R时,f′(x)g(x)+f(x)g′(x)>0,若a>b,则有() A.f(a)·g(a)=f(b)g(b) B.f(a)g(a)>f(b)g(b) C.f(a)g(a)2.则f(x)>2x+4的解集为() A.(-1,1) B.(-1,+∞) C.(-∞,-1) D.(-∞,+∞)

二、填空题 6.当x>1时,ln x+1 x 与1的大小关系为ln x+ 1 x ________1(填“>”或“<”). 7.若函数y=-4 3 x3+bx在定义域内不单调,则b的取值范围是________. 8.(2013·广州高二检测)已知函数f(x)=ax+1 x+2 在(-2,+∞)内单调递减, 则实数a的取值范围为________. 三、解答题 9.(2013·广东高考改编)设函数f(x)=(x-1)e x-x2.求函数f(x)的单调区间.

高中数学函数的单调性与导数综合测试题(含答案)

高中数学函数的单调性与导数综合测试题(含答案) 选修2-2 1.3.1 函数的单调性与导数 一、选择题 1.设f(x)=ax3+bx2+cx+d(a0),则f(x)为R上增函数的充要条件是() A.b2-4ac0 B.b0,c0 C.b=0,c D.b2-3ac0 [答案] D [解析] ∵a0,f(x)为增函数, f(x)=3ax2+2bx+c0恒成立, =(2b)2-43ac=4b2-12ac0,b2-3ac0. 2.(2009广东文,8)函数f(x)=(x-3)ex的单调递增区间是() A.(-,2) B.(0,3) C.(1,4) D.(2,+) [答案] D [解析] 考查导数的简单应用. f(x)=(x-3)ex+(x-3)(ex)=(x-2)ex, 令f(x)0,解得x2,故选D. 3.已知函数y=f(x)(xR)上任一点(x0,f(x0))处的切线斜

率k=(x0-2)(x0+1)2,则该函数的单调递减区间为() 页 1 第 A.[-1,+) B.(-,2] C.(-,-1)和(1,2) D.[2,+) [答案] B [解析] 令k0得x02,由导数的几何意义可知,函数的单调 减区间为(-,2]. 4.已知函数y=xf(x)的图象如图(1)所示(其中f(x)是函数f(x)的导函数),下面四个图象中,y=f(x)的图象大致是() [答案] C [解析] 当01时xf(x)0 f(x)0,故y=f(x)在(0,1)上为减函数 当x1时xf(x)0,f(x)0,故y=f(x)在(1,+)上为增函数,因此否定A、B、D故选C. 5.函数y=xsinx+cosx,x(-)的单调增区间是() A.-,-2和0,2 B.-2,0和0,2 C.-,-2, D.-2,0和 [答案] A [解析] y=xcosx,当-x2时, cosx0,y=xcosx0,

知识点一导数与函数的单调性.docx

1.函数的单调性:在某个区间(a,b)内,如果广⑴>0,那么函数y = /(x)在这个区间内单调递增;如果f\x) <0,那么函数y = /(x)在这个区间内单调递减.如果f\x) = 0,那么函数y = f(x)在这个区间上是常数函数. 注:函数y = /(x)在(a,b)内单调递增,贝iJ/z(x)>0, f\x)>0是)y/(x)在(a,b)内单调递增的充分不必要条件. 2.函数的极值:曲线在极值点处切线的斜率为0,并且,曲线在极大值点左侧切线的斜率为正,右侧为负;Illi线在极小值点左侧切线的斜率为负,右侧为正. 一般地,当函数》= /(兀)在点兀。处连续时,判断/(兀。)是极人(小)值的方法是: (1)如果在兀0附近的左侧厂(力〉° ,右侧厂(x)V°,那么/(兀0)是极大值. (2)如果在兀。附近的左侧厂(兀)<° ,右侧厂(兀)>°,那么/(兀。)是极小值. 注:导数为0的点不一定是极值点 知识点一:导数与函数的单调性 方法归纳: 在某个区间(a,b)内,如果广(%) > 0 ,那么函数y = /(x)在这个区间内单调递增;如果广(兀)<0,那么函数y = f(x)在这个区间内单调递减.如果广(兀)=0 ,那么函数y = /(X)在这个区间上是常数函数. 注:函数y = /(X)在(a,b)内单调递增,贝IJ广⑴》0, f\x)> 0是y =/(x)在(a?b)内单调递增的充分不必要条件. 例]】(B类)已知函数f(x) = x3+bx2^cx + d的图象过点P(0, 2),且在点M(—1, /(-I))处的切线方程为6x— y + 7 = 0. (I )求函数y = f(x)的解析式:(II)求函数y = f(x)的单调区间. 【解题思路】注意切点既在切线上,又原曲线上.函数门对在区间[a9b]±递增可得:/*(x)>0;函数/(兀)在区间[a,h]_L递减可得:八兀)50. 【例2】(A类)若f(x) = ax3+x在区间[一1,1]上单调递增,求d的取值范围. 【解题思路】利用函数/(兀)在区间[。,切上递增可得:厂⑴no;函数/(兀)在区间[a,切上递减可得:f V) < 0 .得出恒成立的条件,再利用处理不等式恒成立的方法获解 【例3】(B 类)已知函数/(x) = Inx, g(x) = - (a > 0),? F(x) = f(x) + g(x). (I)求函数FCx)的单调区间; (II)若以函数y = F(x)(x e (0,3])图像上任意一点P(x09y0)为切点的切线的斜率£ 5丄恒成立,

知识点一-导数与函数的单调性

1.函数的单调性:在某个区间(a,b )内,如果()0f x '>,那么函数()y f x =在这个区间内单调递增;如果()0f x '<,那么函数()y f x =在这个区间内单调递减.如果()0f x '=,那么函数()y f x =在这个区间上是常数函数. 注:函数()y f x =在(a,b )内单调递增,则()0f x '≥,()0f x '>是()y f x =在(a,b )内单调递增的充分不必要条件. 2.函数的极值:曲线在极值点处切线的斜率为0,并且,曲线在极大值点左侧切线的斜率为正,右侧为负;曲线在极小值点左侧切线的斜率为负,右侧为正. 一般地,当函数 ()y f x = 在点0x 处连续时,判断0() f x 是极大(小)值的方法是: (1)如果在0x 附近的左侧'()0f x > ,右侧'()0f x <,那么0() f x 是极大值. (2)如果在 x 附近的左侧'()0f x < ,右侧'()0f x >,那么0()f x 是极小值. 注:导数为0的点不一定是极值点 知识点一:导数与函数的单调性 方法归纳: 在某个区间(a,b )内,如果()0f x '>,那么函数()y f x =在这个区间内单调递增;如果()0f x '<,那么函数()y f x =在这个区间内单调递减.如果()0f x '=,那么函数()y f x =在这个区间上是常数函数. 注:函数()y f x =在(a,b )内单调递增,则()0f x '≥,()0f x '>是()y f x =在(a,b )内单调递增的充分不必要条件. 例1】(B 类)已知函数3 2 ()f x x bx cx d =+++的图象过点(0, 2)P ,且在点(1, (1))M f --处的切线方程为076=+-y x . (Ⅰ)求函数)(x f y =的解析式; (Ⅱ)求函数)(x f y =的单调区间. 【解题思路】注意切点既在切线上,又原曲线上.函数()f x 在区间[,]a b 上递增可得:'()0f x ≥;函数 ()f x 在区间[,]a b 上递减可得:'()0f x ≤. 【例2】(A 类)若3 ()f x ax x =+在区间[-1,1]上单调递增,求a 的取值范围. 【解题思路】利用函数()f x 在区间[,]a b 上递增可得:'()0f x ≥;函数()f x 在区间[,]a b 上递减可得: '()0f x ≤.得出恒成立的条件,再利用处理不等式恒成立的方法获解 【例3】(B 类)已知函数()ln f x x =,()(0)a g x a x = >,设()()()F x f x g x =+. (Ⅰ)求函数()F x 的单调区间; (Ⅱ)若以函数()((0,3])y F x x =∈图像上任意一点00(,)P x y 为切点的切线的斜率1 2 k ≤ 恒成立,

函数的单调性与导数(教案)

函数的单调性与导数(教案) 广东省阳春市第一中学陈清 人教版《普通高中课程标准实验教科书数学》选修1-1 P 97—101 (1)知识目标:能探索并应用函数的单调性与导数的关系求单调区间,能由导数信息绘制函数大致图象。 (2)能力目标:培养学生的观察能力、归纳能力,增强数形结合的思维意识。 (3)情感目标:通过在教学过程中让学生多动手、多观察、勤思考、善总结,引导学生养成自主学习的学习习惯。 探索并应用函数单调性与导数的关系求单调区间。 利用导数信息绘制函数的大致图象。 发现式、启发式 多媒体课件等辅助手段 CAI课件一套、学生每人一份实验表格及一支牙签 教学环节师生活动设计意图 一、回顾与思考 1.判断函数的单调性有哪些方法? (引导学生回答“定义法”,“图象法”。)以问题形式复习相关 2 2.比如,要判断 y=x的单调性,如的旧知识,同时引出新问 何进行?(引导学生回顾分别用定义法、题:三次函数判断单调性, 提图象法完成。)定义法、图象法很不方便, 3.还有没有其它方法?如果遇到函数:有没有捷径?通过创设问 3 y=x-3x判断单调性呢?(让学生短时题情境,使学生产生强烈 问间内尝试完成,结果发现:用“定义法”,的问题意识,积极主动地 作差后判断差的符号麻烦;用“图象法”,参与到学习中来。

图象很难画出来。) 4.有没有捷径?(学生疑惑,由此引出课 题)这就要用到咱们今天要学的导数法。二、观察与表达问:函数的单调性和导数有何关系呢? 2 教师仍以y=x为例,借助几何画板动态演示, 让学生记录结果在课前发的表格第二行中: 1.这一部分是后面利用导(探索函数的数求函数单调区间的理论单切线导数单调性和导数依据,重要性不言而喻,函数及图象调斜率的正的关系)而学生又只学习了导数的性 k的负意义和一些基本运算,要正负 想得到严格的证明是不现 y 2实的,因此,只要求学生y = x 能借助几何直观得出结 论,这与新课标中的要求 o x 是相吻合的。 y y = f(x) 2.教师对具体例子进行动 态演示,学生对一般情况o a b x 进行实验验证。由观察、 猜想到归纳、总结,让学 y y = f(x) 生体验知识的发现、发生 过程,变灌注知识为学生 主动获取知识,从而使之 成为课堂教学活动的主 o a b x 体。 问:有何发现?(学生回答) 问:这个结果是否具有一般性呢? 我们来考察两个一般性的例子:

导数与函数的单调性练习含答案

第2讲导数在研究函数中的应用 第1课时导数与函数的单调性 一、选择题 1.函数f(x)=x-ln x的单调递减区间为 () A.(0,1) B.(0,+∞) C.(1,+∞) D.(-∞,0)∪(1,+∞) 解析函数的定义域是(0,+∞),且f′(x)=1-1 x= x-1 x,令f′(x)<0,解得 0

A .f (b )>f (c )>f (d ) B .f (b )>f (a )>f (e ) C .f (c )>f (b )>f (a ) D .f (c )>f (e )>f (d ) 解析 依题意得,当x ∈(-∞,c )时,f ′(x )>0,因此,函数f (x )在(-∞,c )上是增函数,由a f (b )>f (a ). 答案 C 4.若函数f (x )=2x 3-3mx 2+6x 在区间(2,+∞)上为增函数,则实数m 的取值范围为 ( ) A .(-∞,2) B .(-∞,2] C.? ? ? ??-∞,52 D.? ? ? ??-∞,52 解析 ∵f ′(x )=6x 2-6mx +6, 当x ∈(2,+∞)时,f ′(x )≥0恒成立, 即x 2-mx +1≥0恒成立,∴m ≤x +1 x 恒成立. 令g (x )=x +1x ,g ′(x )=1-1 x 2, ∴当x >2时,g ′(x )>0,即g (x )在(2,+∞)上单调递增, ∴m ≤2+12=5 2. 答案 D 5.(2017·上饶模拟)函数f (x )的定义域为R ,f (-1)=2,对任意x ∈R ,f ′(x )>2,则f (x )>2x +4的解集为 ( ) A .(-1,1) B .(-1,+∞) C .(-∞,-1) D .(-∞,+∞) 解析 由f (x )>2x +4,得f (x )-2x -4>0,设F (x )=f (x )-2x -4,则F ′(x )=f ′(x )