三角、反三角函数图像
(附:资料全部来自网络,仅对排版做了改动,以方便打印及翻阅,其中可能出现错误,阅者请自行注意。)
1.六个三角函数值在每个象限的符号:
sinα·cscα cosα·secα tanα·cotα
2.三角函数的图像和性质:
1-1y=sinx
-3π2
-5π2
-7π2
7π2
5π
2
3π2
π2
-π2
-4π-3π
-2π4π
3π
2ππ
-π
o
y x
1-1y=cosx
-3π
2
-5π2
-7π
2
7π2
5π2
3π2
π2
-π2
-4π-3π-2π4π
3π
2π
π
-π
o
y
x
y=tanx
3π2
π
π2
-
3π2
-π
-
π2
o
y
x
y=cotx
3π2
π
π2
2π
-π
-
π2
o
y
x
函数 y=sinx y=cosx y=tanx
y=cotx
定义域
R
R
{x |x ∈R 且x≠kπ+
2
π
,k ∈Z } {x |x ∈R 且x≠kπ,k ∈Z }
值域
[-1,1]x=2kπ+
2
π 时y max =1 x=2kπ-2
π
时y min =-1
[-1,1]
x=2kπ时y max =1 x=2kπ+π时y min =-1
R
无最大值 无最小值
R
无最大值 无最小值 周期性 周期为2π 周期为2π 周期为π 周期为π 奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
奇函数
单调性
在[2kπ-
2
π
,2kπ+
2
π
]
上都是增函数;在
[2kπ+
2
π
,2kπ+
3
2
π]上
都是减函数(k∈Z)
在[2kπ-π,2kπ]
上都是增函数;
在[2kπ,2kπ+π]
上都是减函数
(k∈Z)
在(kπ-
2
π
,kπ+
2
π
)
内都是增函数
(k∈Z)
在(kπ,kπ+π)内
都是减函数
(k∈Z)
3.反三角函数的图像和性质:
arcsinx arccosx
arctanx arccotx
名称反正弦函数反余弦函数反正切函数反余切函数
定义
y=sinx(x∈
〔-
2
π
,
2
π
〕的反函
数,叫做反正弦函
数,记作x=arsiny
y=cosx(x∈
〔0,π〕)的反函
数,叫做反余弦
函数,记作
x=arccosy
y=tanx(x∈(-
2
π
,
2
π
)的反函数,叫
做反正切函数,记作
x=arctany
y=cotx(x∈(0,π))
的反函数,叫做
反余切函数,记
作x=arccoty
理解
arcsinx表示属于
[-
2
π
,
2
π
]
且正弦值等于x的
角
arccosx表示属
于[0,π],且
余弦值等于x的
角
arctanx表示属于
(-
2
π
,
2
π
),且正切值
等于x的角
arccotx表示属于
(0,π)且余切值等
于x的角
性
质
定义域[-1,1][-1,1](-∞,+∞)(-∞,+∞)
值域[-
2
π
,
2
π
][0,π](-
2
π
,
2
π
)(0,π)单调性
在〔-1,1〕上是增
函数
在[-1,1]上是
减函数
在(-∞,+∞)上是增
数
在(-∞,+∞)上是
减函数奇偶性
arcsin(-x)=-arcsinx arccos(-x)=π-arcc
osx
arctan(-x)=-arctanx arccot(-x)=π-arcc
otx 周期性都不是周期函数
arcsin(-x)=-arcsinx arccos(-x)=π-arccosx arctan(-x)=-arctanx arccot(-x)=π-arccotx arcsinx+arccosx=arctanx+arccotx=π/2
sin(arcsinx)=cos(arccosx)=tan(arctanx)=cot(arccotx)=x
当x∈[-π/2, π/2] arcsin(sinx)=x
x∈[0,π] arccos(cosx)=x
x∈(-π/2, π/2) arctan(tanx)=x
x∈(0, π) arccot(cotx)=x
三角公式总表
1.正弦定理:
A a sin =
B b sin =C
c sin = 2R (R 为三角形外接圆半径)
2.余弦定理:a 2=b 2+c 2-2bc A cos b 2=a 2+c 2-2ac B cos c 2=a 2+b 2
-2ab C cos
bc
a c
b A 2cos 2
22-+=
⊿
=
21a a h ?=21ab C sin =21bc A sin =21ac B sin =R abc 4=2R 2A sin B sin C sin =A C B a sin 2sin sin 2=B C A b sin 2sin sin 2=C
B A c sin 2sin sin 2=pr=))()((c p b p a p p ---
(其中)(2
1
c b a p ++=, r 为三角形内切圆半径)
4.同角关系:
⑴商的关系:①θtg =θθ
cos sin =θθsec sin ? ②θθθ
θθcsc cos sin cos ?==ctg ③θθθtg ?=cos sin ④θθθθcsc cos 1
sec ?==
tg ⑤θθθctg ?=sin cos ⑥θθθ
θsec sin 1
csc ?==ctg
⑵倒数关系:1sec cos csc sin =?=?=?θθθθθθctg tg
⑶平方关系:1csc sec cos sin 2
22222=-=-=+θθθθθθctg tg
⑷)sin(cos sin 22?θθθ++=
+b a b a (其中辅助角?与点(a,b )在同一象限,且
a
b
tg =
?)
5.和差角公式
①βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=± ②βαβαβαsin sin cos cos )cos(
μ=± ③β
αβ
αβαtg tg tg tg tg ?±=±μ1)( ④)1)((βαβαβαtg tg tg tg tg ?±=±μ
⑤γ
βγαβαγ
βαγβαγβαtg tg tg tg tg tg tg tg tg tg tg tg tg ?-?-?-??-++=++1)( 其中当A+B+C=π时,有:
i).tgC tgB tgA tgC tgB tgA ??=++ ii).12
22222=++C
tg B tg C tg A tg B tg A tg
6.二倍角公式:(含万能公式)
①θ
θ
θθθ212cos sin 22sin tg tg +=
=
②θ
θ
θθθθθ222
2
2
2
11sin 211cos 2sin cos 2cos tg tg +-=-=-=-=
③θθ
θ2
122tg tg tg -= ④22cos 11sin 222
θθθθ-=+=tg tg ⑤2
2cos 1cos 2
θθ+=
7.半角公式:(符号的选择由
2
θ
所在的象限确定) ①2
cos 12sin θθ-±= ②2cos 12sin 2θθ-= ③2
cos 12cos θθ+±= ④2cos 12cos 2θθ+= ⑤2sin 2cos 12θθ=- ⑥2cos 2cos 12θθ=+ ⑦2
sin 2cos )2sin 2(cos sin 12θ
θθθθ±=±=±
⑧θθ
θθθθθsin cos 1cos 1sin cos 1cos 12-=+=+-±=tg
8.积化和差公式:
①[])sin()sin(21
cos sin βαβαβα-++=
②[])sin()sin(21
sin cos βαβαβα--+=
③[])cos()cos(21
cos cos βαβαβα-++= ④()[]βαβαβα--+-=cos )cos(2
1
sin sin
9.和差化积公式:
①2cos
2sin
2sin sin β
αβ
αβα-+=+
②2sin 2cos 2sin sin β
αβαβα-+=- ③2cos 2cos 2cos cos β
αβαβα-+=+ ④2
sin
2sin 2cos cos β
αβαβα-+-=-