函数的动点最值问题探析

函数的动点最值问题探析

函数和最值问题是初中数学重点内容之一，将函数的动点问题与最值问题相结合更是近年来中考试题的热点，这类题目探索性强、综合性高，对培养学生的思维品质和各种能力有很大的促进作用。它往往能考查学生的数学建模、数形结合、归纳猜想和分类讨论等能力，常常以一道中高档的解答题或者压轴题出现。本文就近两年中考数学压轴题中有关函数的动点最值问题进行剖析，从中寻找解决该类问题的基本方法。

一、运用几何性质解函数的动点最值问题

利用几何性质解函数的动点最值问题，常考虑的性质有：①三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；②两点之间，线段最短；③连结直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短；④定圆的所有弦中，直径最长。

例1．如图，抛物线2

124

y x x =-

-+的顶点为A ，与y 轴交于点B ． （1）求点A 、点B 的坐标．

（2）若点P 是x 轴上任意一点，求证：PA PB AB -≤． （3）当PB PA -最大时，求点P 的坐标． 解：（1）A （—2，3），B （0，2） （2）当点P 是AB 的延长线与x 轴交点时，

AB PB PA =-

当点P 是x 轴上又异于AB 的延长线与x 轴的交点时， 在点P 、A 、B 构成的三角形中，AB PB PA <- 综上所述： PA PB AB -≤

（3）作直线AB 交x 轴于点P ，由（2）可知这时PA-PB 最大，点P 就是所求的点. 作AH⊥OP 于H ∵△BOP∽△AHP ∴AH HP BO OP

= ∴OP=4，故P （4，0）

评注：解决本题的关键是利用三角形任意两边之差小于第三边这一性质，得出PA-PB ＜AB ，结合P 是AB 的延长线与x 轴交点时PA-PB=AB ，从而知道当点P 是AB 的延长线与x 轴交点时，PA-PB 最大，最后利用三角形相似使问题得解。

二、运用代数证法解函数的动点最值问题

一元二次方程根的判别式已不再列入中考考试内容，因此利用代数证法解函数的动点最值问题时，

常考虑的方法有：①02

≥a ，②0≥a ，③0≥a ，④运用配方法求二次三项式的最值。

例2．如图，已知正比例函数和反比例函数的图像都经过点M （－2，1-），且P （1-，－2）为双曲线上的一点，Q 为坐标平面上一动点，PA 垂直于x 轴，QB 垂直于y 轴，垂足分别是A 、B ．

（1）写出正比例函数和反比例函数的关系式；

（2）当点Q 在直线MO 上运动时，直线MO 上是否存在这样的点Q ，使得△OBQ 与△OAP 面积相等？如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由；

（3）如图，当点Q 在第一象限中的双曲线上运动时，作以OP 、OQ 为邻边的平行四边形OPCQ ，求平行四边形OPCQ 周长的最小值．

解：（1）正比例函数解析式为12

y x =

反比例函数解析式为2

y x

=

（2）设1

()2Q m m ，

于是2

41)21(2121m m m BQ OB S OBQ =?=?=?

1212

1

=?=?OAP S

∴2

114

m =，解得2m =± ∴点Q 的坐标为（2，1）或（-2，-1）

（3）因为点P 是定点，所以OP 是定长，所以OQ 最小时平行四边形OPCQ 的周长最小。 设)2,(n

n Q

由勾股定理可得，2

2

2

242()4OQ n n n n

=+=-+ 当22()0n n -=即2

0n n

-=时，2OQ 有最小值4 ∴OQ 的最小值是2 由勾股定理得，OP

∴平行四边形OPCQ 周长的最小值是

2()2)4OP OQ +==

x

评注：本题是以正比例函数和反比例函数为背景的动点最值压轴题，解决本题（3）的关键是把求平行四边形OPCQ 的最小周长转化为求OQ 的最小值，从而利用勾股定理得出22

2

4

n

n OQ +

=，并对224n

n +

配方，利用02

≥a 求得OQ 的最小值使得问题得解。 三、运用函数性质解函数的动点最值问题

利用函数性质解函数动点最值问题很受命题者的青睐，在各地中考试题中屡见不鲜。解答这类题目的关键是分析运动变化过程，用参变量的代数式描述点的运动过程，把动点视为静点参与运算，列出关于参变量的函数关系式，同时考虑自变量的取值范围，再根据函数的性质求出最值问题。

例3．如图，在平面直角坐标系中，顶点为（4，1-）的抛物线交y 轴于A 点，交x 轴于B ，C 两点（点B 在点C 的左侧），已知A 点坐标为（0，3）。

（1）求此抛物线的解析式；

（2）过点B 作线段AB 的垂线交抛物线于点D ， 如果以点C 为圆心的圆与直线BD 相切，请判断抛物线的对称轴l 与⊙C 有怎样的位置关系，并给出证明；

（3）已知点P 是抛物线上的一个动点，且位于A ，C 两点之间，问：当点P 运动到什么位置时，PAC ?的面积最大？并求出此时P 点的坐标和PAC ?的最大面积。

（1）解：抛物线为324

12

+-=

x x y （2）答：l 与⊙C 相交。

(3) 解：如图，过点P 作平行于y 轴的直线交AC 于点Q

可求出AC 的解析式为1

32

y x =-+ 设P 点的坐标为（m ，

21234m m -+）

，则Q 点的坐标为（m ，1

32

m -+） ∴221113

3(23)2442

PQ m m m m m =-+--+=-+

∵22113327

()6(3)24244

PAC PAQ PCQ S S S m m m ???=+=?-+?=--+

∴当3m =时，PAC ?的面积最大为27

4

此时，P 点的坐标为（3，3

4

-）

评注：这是一道以二次函数为背景的动点最值压轴题，它考查了函数、方程、相似三角形、三角形面积、圆等知识，考查了数型结合、待定系数法等数学思想方法。解决本题（3）的关键是利用点的坐标求出PQ 的长，而后利用三角形面积公式建立函数模型，再根据二次函数的增减性求得最值问题。

四、运用对称思想解函数的动点最值问题

初中数学的对称性主要用于图形的变换、折叠以及寻求最短路径等问题上。将对称性与函数动点问题相约于直角坐标系中是近几年中考命题的亮点，这类题能比较全面考查学生的创新能力、几何变换能力、探究问题和解决问题的能力。

例4．已知：抛物线)0(22

≠-+=a bx ax y 的对称轴为1x =-，与x 轴交于A B ，两点，与y 轴交于点C ，其中()30A -，.

（1）求这条抛物线的函数表达式．

（2）已知在对称轴上存在一点P ，使得PBC △的周长最小．请求出点P 的坐标．

（3）在（2）条件下,若点D 是线段OC 上的一个动点（不与点O 、点C 重合）．过点D 作DE PC ∥交

x 轴于点E ．连接PD 、PE ．设CD 的长为m ，PDE △的面积为S ．求S 与m 之间的函数关系式．试说

明S 是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由．

解：（1）抛物线的解析式为224

233

y x x =

+- （2）因为BC 的长度一定，所以PBC △周长最小，就是PC PB +要最小.B 点关于对称轴的对称点是A 点，AC 与对称轴1x =-的交点即为所求的点P .

设直线AC 的表达式为y kx b =+

则302k b b -+=??=-?

，

解得2,3

2

-=-=b k ∴2

23y x =-

-． ∴P )3

4

,1(--

（3）存在.

理由：∵OED OAC △∽△． ∴233-

=OE m,2

3

=AE m OAC OED AEP PCD S S S S S =---△△△△

=4

3)1(432+--m ∵3

04

-

<

∴当1m =时，34

S =

最大 评注：这是一道充分利用对称思想和函数性质的函数动点最值问题。运用对称思想和“两点之间，线段最短”这条性质，求得PC PB +最小,从而PBC △的周长最小，这样不但使问题解决简捷明快，受到事半功倍的效果，同时也揭示出数学美的本质，给人以美的享受，令人回味无穷。

综上所述，求函数的动点最值问题，常常考虑利用几何性质、代数证法、函数性质、对称思想等解题方法。当然压轴题所考查的知识点并非孤立，思想方法也并非个别，它是对考生综合能力的全面考查，所涉及的知识面广，所使用的数学思想方法也比较全面。平常训练时，不要一味搞“题海战术”，要善于归纳、总结，掌握基本类型和解题方法，提高复习效果。

一次函数之动点问题(作业及答案)

一次函数之动点问题 （作业） y=x+4与x轴、y轴分别交于点A，B，直线y=-x+b过点x轴交于点C． （1）求直线BC的表达式． （2）动点P从点C出发，沿CA方向以每秒1个单位长度的速度向点A运动（点P不与点A，C重合），动点Q从点A同时出发，沿折线AB-BC以每秒个单位长度的速度向点C运动（点Q不与点A，C重合），当其中一点到达终点时，另一点也随之停止．设△CPQ的面积为S，运动的时间为t 秒，求S与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围． 【思路分析】 1．研究背景图形，如图 （把函数信息转为几何信息） 2．分析运动过程 3．画图，设计方案计算 当时， 当时， 1. 如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形AOBC是正方形，已知 点A的坐标为(0，2)，点D在x轴正半轴上，B是OD的中点，连接 CD．动点P从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿 O→A→C→B的方向匀速运动，动点Q从点O同时出发，以相同 的速度沿O→B→D→B的方向匀速运动．过点P作PE⊥x轴于点 E，设△PEQ的面积为S，点P运动的时间为t秒（）．求S与t之间 的函数关系式．

2. 如图，直线y=-x+与x轴交于点A，与直线y=x交于点B． （1）求点B的坐标． （2）判断△AOB的形状，并说明理由． （3）动点D从原点O出发，以每秒个单位长度的速度沿OA向终点A运动（不与点O，A重合），过点D作DC⊥x轴，交线段OB或线段AB于点C，过点C作CE⊥y轴于点E．设运动的时间为t秒，矩形ODCE与△AOB重叠部分的面积为S，求S与t之间的函数关系式． 3. 如图，直线与x轴、y轴分别交于点A，B，与直线交于点C．动点 E从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿AO向终点O运动，动 点F从原点O同时出发，以相同的速度沿折线OC-CA向终点A运 动，设点F运动时间为t秒． （1）设△EOF的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围．（这里规定线段是面积为0的三角形） （2）当时，是否存在某一时刻，使得△AEF是等腰三角形？若存在，求出相应的t值；若不存在，请说明理由． 【参考答案】 1． 2．（1） （2）△OAB是等腰直角三角形，理由略 （3） 3．（1） （2）存在，t的值为2，或

一次函数动点问题(整理好的)

龙文教育学科教师辅导讲义 学生： 科目： 数学 第 阶段第 次课 教师： 课 题 一次函数的应用——动点问题 教学目标 1．学会结合几何图形的性质，在平面直角坐标系中列函数关系式。 2．通过对几何图形的探究活动和对例题的分析，感悟探究动点问题列函数关系式的方法，提高解决问题的能力。 重点、难点 理解在平面直角坐标系中，动点问题列函数关系式的方法。 教学内容 例题1：已知：在平面直角坐标系中，点Q 的坐标为（4，0），点P 是直线y=-2 1x+3上在第一象限内的一动点，设△OPQ 的面积为s 。 （1）设点P 的坐标为（x ，y ），问s 是y 的什么函数，并求这个函数的定义域。 （2）设点P 的坐标为（x ，y ），问s 是x 的什么函数，并求这个函数的定义域。 （3）当点P 的坐标为何值时，△OPQ 的面积等于直线y=-2 1x+3与坐标轴围成三角形面积的一半。 练习：已知：在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（6，0），另有一动点B 的坐标为（x ，y ），点B 在第一象限，且点B 的横纵坐标之和为8，设△OAB 的面积为s ，求： （1）s 与点B 的横纵坐标x 之间的函数关系式，并写出定义域。 （2）当△OAB 的面积为20时，求B 点的坐标。 例题2：在矩形ABCD 中,AB=6cm,BC=12cm,点P 从点A 开始以1cm/s 的速度沿AB 边向点B 移动,点Q 从点B 开始以2cm/s 的速度沿BC 边向点C 移动, 当点P 运动到点B 时，点Q 也随之停止。如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发，设△PAD 的面积为s ，运动时间为t ，求s 与t 的函数关系式？运动到何时△PBQ 为等腰三角形？ 例题3：如图，直线1l 的解析表达式为33y x =-+，且1l 与x 轴交于点D ，直线2l 经过点A B ，，直线1l ，2l 交于点C ． （1）求点D 的坐标； （2）求直线2l 的解析表达式； （3）求ADC △的面积；

动点问题中的最值、最短路径问题(解析版)

专题01 动点问题中的最值、最短路径问题 动点问题是初中数学阶段的难点，它贯穿于整个初中数学，自数轴起始，至几何图形的存在性、几何 图形的长度及面积的最值，函数的综合类题目，无不包含其中. 其中尤以几何图形的长度及面积的最值、最短路径问题的求解最为繁琐且灵活多变，而其中又有一些 技巧性很强的数学思想（转化思想），本专题以几个基本的知识点为经，以历年来中考真题为纬，由浅入深探讨此类题目的求解技巧及方法. 一、基础知识点综述 1. 两点之间，线段最短； 2. 垂线段最短； 3. 若A 、B 是平面直角坐标系内两定点，P 是某直线上一动点，当P 、A 、B 在一条直线上时，PA PB 最大，最大值为线段AB 的长（如下图所示）； （1）单动点模型 作图方法：作已知点关于动点所在直线的对称点，连接成线段与动点所在直线的交点即为所求点的位 置. 如下图所示，P 是x 轴上一动点，求PA +PB 的最小值的作图.

（2）双动点模型 P 是∠AOB 内一点，M 、N 分别是边OA 、OB 上动点，求作△PMN 周长最小值. 作图方法：作已知点P 关于动点所在直线OA 、OB 的对称点P ’、P ’’，连接P ’P ’’与动点所在直线的交点 M 、N 即为所求. O B P P' P''M N 5. 二次函数的最大（小）值 ()2 y a x h k =-+，当a >0时，y 有最小值k ；当a <0时，y 有最大值k . 二、主要思想方法 利用勾股定理、三角函数、相似性质等转化为以上基本图形解答. （详见精品例题解析） 三、精品例题解析 例1. （2019·凉山州）如图，正方形ABCD 中，AB =12，AE =3，点P 在BC 上运动（不与B 、C 重合），过点P 作PQ ⊥EP ，交CD 于点Q ，则CQ 的最大值为 例2. （2019·凉山州）如图，已知A 、B 两点的坐标分别为（8,0），（0,8）. 点C 、F 分别是直线x =－5 和x 轴上的动点，CF =10，点D 是线段CF 的中点，连接AD 交y 轴于点E ，当△ABE 面积取最小值时，tan ∠BAD =（ ）

中考数学动点问题专题练习(含答案)

动点专题 一、应用勾股定理建立函数解析式 例1(2000年2上海)如图1,在半径为6,圆心角为90°的扇形OAB 的弧AB 上,有一个动点P,PH ⊥OA,垂足为H,△OPH 的重心为G. (1)当点P 在弧AB 上运动时,线段GO 、GP 、GH 中,有无长度保持不变的线段?如果有,请指出这样的线段,并求出相应的长度. (2)设PH x =,GP y =,求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域(即自变量x 的取值范围). (3)如果△PGH 是等腰三角形,试求出线段PH 的长. 二、应用比例式建立函数解析式 例2（2006年2山东）如图2,在△ABC 中,AB=AC=1,点D,E 在直线BC 上运动.设BD=,x CE=y . (1)如果∠BAC=30°,∠DAE=105°,试确定y 与x 之间的函数解析式； (2)如果∠BAC 的度数为α,∠DAE 的度数为β,当α,β满足怎样的关系式时,(1)中y 与x 之间的函数解析式还成立?试说明理由. A E D C B 图2 H M N G P O A B 图1 x y

C 三、应用求图形面积的方法建立函数关系式 例4（2004年2上海）如图,在△ABC 中,∠BAC=90°,AB=AC=22,⊙A 的半径为1.若点O 在BC 边上运动(与点B 、C 不重合),设BO=x ,△AOC 的面积为y . (1)求y 关于x 的函数解析式,并写出函数的定义域. (2)以点O 为圆心,BO 长为半径作圆O,求当⊙O 与⊙A 相切时, △AOC 的面积. 一、以动态几何为主线的压轴题 （一）点动问题． 1．（09年徐汇区）如图，ABC ?中，10==AC AB ，12=BC ，点D 在边BC 上，且4=BD ，以点D 为顶点作B EDF ∠=∠，分别交边AB 于点E ，交射线CA 于点F ． （1）当6=AE 时，求AF 的长； （2）当以点C 为圆心CF 长为半径的⊙C 和以点A 为圆心AE 长为半径的⊙A 相切时， 求BE 的长； （3）当以边AC 为直径的⊙O 与线段DE 相切时，求BE 的长． A B C O 图8 H

(完整word版)一次函数的动点问题简单练习题

一次函数动点问题练习题 1、如果一次函数y=-x+1的图象与x 轴、y 轴分别交于点A 点、B 点，点M 在x 轴上，并且使以点A 、B 、M 为顶点的三角形是等腰三角形，那么这样的点M 有（ ）。 A ．3个 B ．4个 C ．5个 D ．7个 2、直线与y=x-1与两坐标轴分别交于A 、B 两点，点C 在坐标轴上，若△ABC 为等腰三角形，则满足条件的点C 最多有（ ）. A ．4个 B ．5个 C ．6个 D ．7个 3、直线64 3+-=x y 与坐标轴分别交于A 、B 两点，动点P 、Q 同时从O 点出发，同时到达A 点，运动停止．点Q 沿线段OA 运动，速度为每秒1个单位长度，点P 沿路线O ?B ?A 运动． （1）直接写出A 、B 两点的坐标； （2）设点Q 的运动时间为t （秒），△ OPQ 的面积为S ，求出S 与t 之间的函数关系式； 4、如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线1y x =+与334 y x =-+交于点A ，分别交x 轴于点B 和点C ，点D 是直线AC 上的一个动点． （1）求点A B C ，，的坐标． （2）当CBD △为等腰三角形时，求点D 的坐标． A y x D C O B

x y O B A 5、如图：直线3+=kx y 与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点， 43=OA OB ，点C(x ,y)是直线y ＝kx ＋3上与A 、B 不重合的动点。 （1）求直线3+=kx y 的解析式； （2）当点C 运动到什么位置时△AOC 的面积是6； （3）过点C 的另一直线CD 与y 轴相交于D 点，是否存 在点C 使△BCD 与△AOB 全等？若存在，请求出点 C 的坐标；若不存在，请说明理由。 6、如图，点A 、B 、C 的坐标分别是（0，4），（2，4），（6，0）.点M 是折线ABC 上一个动点，MN ⊥x 轴于N ，设ON 的长为x ,MN 左侧部分多边形的面积为S. ⑴写出S 与x 的函数关系式； ⑵当x =3时，求S 的值. 7、如图，已知在平面直角坐标系中，直线l ：y =-2 1x +2分别交两坐标轴于A 、B 两点，M 是线段AB 上一个动点，设M 的横坐标为x ,△OMB 的面积为S ； ⑴写出S 与x 的函数关系式； ⑵若△OMB 的面积为3，求点M 的坐标； ⑶当△OMB 是以OB 为底的等腰三角形时,求它的面积； ⑷画出函数s 图象. l M y x O B A

一次函数及动点问题(有难度)

一次函数及动点问题 1、如图，在长方形ABCD 中，AB=2，BC=1，动点P 从点 B 出发，沿路线 B→C→D 做匀速运动，那么△ABP 的面积S 与点P 运动的路程x 之间的函数图象大致为（ ） A B C D 2、如图，正方形ABCD 在平面直角坐标系中的位置如图所示，点B 与原点重合，点D 的坐标为（4，4），当三角板直角顶点P 坐标为（3，3）时，设一直角边与x 轴交于点E ，另一直角边与y 轴交于点F ．在三角板绕点P 旋转的过程中，使得△POE 成为等腰三角形，请写出满足条件的点E 的坐标为________________

3、已知在矩形ABCD中，AB=4，BC= 25/2，O为BC上一点，BO= 7/2，如图所示，以BC所在直线为x轴，O为坐标原点建立平面直角坐标系，M为线段OC上的一点． （1）若点M的坐标为（1，0），如图①，以OM为一边作等腰△OMP，使点P在矩形ABCD 的一边上，则符合条件的等腰三角形有几个？请直接写出所有符合条件的点P的坐标；（2）若将（1）中的点M的坐标改为（4，0），其它条件不变，如图②，那么符合条件的等腰三角形有几个？求出所有符合条件的点P的坐标； （3）若将（1）中的点M的坐标改为（5，0），其它条件不变，如图③，请直接写出符合条件的等腰三角形有几个．（不必求出点P的坐标）

4、如图①，已知直线y=-2x+4与x轴、y轴分别交于点A、C，以OA、OC为边在第一象限内作长方形OABC． （1）求点A、C的坐标； （2）将△ABC对折，使得点A的与点C重合，折痕交AB于点D，求直线CD的解析式（图②）； （3）在坐标平面内，是否存在点P（除点B外），使得△APC与△ABC全等？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

一次函数动点问题(一)

一次函数动点问题（一） 1.一次函数y=ax+b （a 为整数）的图象过点（98，19），交x 轴于（p,0）,交y 轴于（0，q ）,若p 为质数，q 为正整数，那么满足条件的一次函数的个数为_________个。 2.过点P(-1,3)作直线，使它与两坐标轴围成的三角形面积为5，这样的直线可以作_______条 3、一次函数y=ax+b ，若a+b=1，则它的图象必经过点_______________ 7．当－1≤x ≤2时，函数6+=ax y 满足10

线段AB上（包括端点A、B）横、纵坐标都是整数的点有________________ 10、如图, 直线1 y x =+与x轴、y轴分别交于A、B，以线段AB为直角边在第一象限内作等腰RtΔABC，∠BAC=90°，如果在第二象限内有 一点P（a，1 2），且ΔABP的面积与ΔABC的面积相等，求a的值

初中数学一次函数与动点问题201806

初中八年级数学动点与函数图像问题2018.6 一、单选题（共8题；共16分） 1.如图，将平行四边形ABCD 绕点A 逆时针旋转40°，得到平行四边形AB′C′D′，若点B′恰好落在BC 边上，则∠DC′B′的度数为（ ）A. 60° B. 65° C. 70° D. 75° 1题图2题图4图 2.如图，点E 为菱形ABCD 边上的一个动点，并沿 的路径移动，设点E 经过的路径长为 x ，△ADE 的面积为y ，则下列图象能大致反映y 与x 的函数关系的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图2，在矩形ABCD 中，动点P 从点B 出发，沿BC 、CD 、D 匀速运动至点A 停止，设点P 运动的路程为x ，△ABP 的面积为y ，如果y 关于x 的函数图象如图2所 示，则△ABC 的面积是（ ） A 、10 B 、16 C 、18 D 、20 4.如图，矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，E ，F 分别是边BC ，AD 的中点，AB=2，BC=4，一动点P 从点B 出发，沿着B ﹣A ﹣D ﹣C 在矩形的边上运动，运动到点C 停止，点M 为图1中某一定点，设点P 运动的路程为x ，△BPM 的面积为y ，表示y 与x 的函数关系的图象大致如图2所示．则点M 的位置可能是图1中的（ ）A. 点C B. 点O C. 点E D. 点F 5.如图，点 的坐标为（ ， ），点 是 轴正半轴上的一动点，以 为边作等腰直角 ，使 ，设点 的横坐标为 ，点 的纵坐标为 ，能表示 与 的函数关系的图象大致是 （ ） A. B. C. D. 6.如图，点 、 、 在直线 上，点 ， ， ， 在直线 上，若 ， 从如图 所示的位置出发，沿直线 向右匀速运动，直到 与 重合时停止运动．在运动过程中， 9 4x y O P D C 图2

一次函数之动点问题

一次函数之动点问题（讲义） 一、知识点睛 动点问题的特征是速度已知，主要考查运动的过程． 1. 一次函数背景下研究动点问题的思考方向： ①把函数信息（坐标或表达式）转化为基本图形的信息； ②分析运动过程，注意状态转折，确定对应的时间范围； ③画出符合题意的图形，研究几何特征，设计解决方案． 2. 解决具体问题时会涉及线段长的表达，需要注意两点： ①路程即线段长，可根据s =vt 直接表达已走路程或未走路程； ②根据研究几何特征需求进行表达，既要利用动点的运动情况，又要结合基本图形信息． 二、精讲精练 1. 如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，直线3 34 y x =-+与x 轴、y 轴分别交于A ， B 两点．点P 从点A 出发，以每秒1个单位的速度沿射线AO 匀速运动，设点P 的运动时间为 t 秒． （1）求OA ，OB 的长． （2）过点P 与直线AB 垂直的直线与y 轴交于点E ，在点P 的运动过程中，是否存在这样的点P ，使△EOP ≌△AOB ？若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由． y x O B A

2. 如图，直线=3+43y x 与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，直线BC 与x 轴交于点C ， ∠ABC =60°． （1）求直线BC 的解析式． （2）若动点P 从点A 出发沿AC 方向向点C 运动（点P 不与点A ，C 重合），同时动点Q 从点C 出发沿折线CB —BA 向点A 运动（点Q 不与点A ，C 重合），动点P 的运动速度是每秒1个单位长度，动点Q 的运动速度是每秒2个单位长度．设△APQ 的面积为S ，运动时间为t 秒，求S 与t 之间的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围． （3）当t =4时，y 轴上是否存在一点M ，使得以A ，Q ，M 为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由． C A B O x y C A B O x y

八年级数学动点问题专项训练(可编辑修改word版)

S S 3 1 O 1 3 x O 3 x O t 动点问题专项训练 1. 如图，在矩形 ABCD 中，AB=2， BC = 1，动点 P 从点 B 出发，沿路线 B → C → D 作匀速运动，那么△ABP 的 面积 S 与点 P 运动的路程 x 之间的函数图象大致是（ ） S S 3 2 D C 1 P 1 A B O 1 3 x A ． B ． O 1 3 x C ． D ． 2. 如图 1，在直角梯形 ABCD 中，动点 P 从点 B 出发，沿 BC ，CD 运动至点 D 停止．设点 P 运动的路程为 x ，△ABP 的 面积为 y ，如果 y 关于 x 的函数图象如图 2 所示，则△BCD 的面积是（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 C P A B O 图 1 2 5 x 图 2 3. 如图，△ABC 和的△DEF 是等腰直角三角形，∠C=∠F=90°，AB=2.DE=4．点 B 与点 D 重合，点 A,B(D),E 在同一条直 线上，将△ABC 沿 D → E 方向平移，至点 A 与点 E 重合时停止．设点 B,D 之间的距离为 x ，△ABC 与△DEF 重叠部分的 面积为 y ，则准确反映 y 与 x 之间对应关系的图象是（ ） 4. 如图，点 G 、D 、C 在直线 a 上，点 E 、F 、A 、B 在直线 b 上，若 a ∥b ，Rt △GEF 从如图所示的位置出发，沿直线 b 向右匀速运动，直到 EG 与 BC 重合．运动过程中△GEF 与矩形 ABCD 重合部分的面积（S ）随时间（t ）变化的图象 大致是（ ） G D C a F A B b （ 第 4 题 A B C D D s O t s O t s O t s E

(完整版)一次函数动点问题

一次函数动点问题 1．模型介绍：古希腊有一个著名的“将军饮马问题”，大致内容如下：古希腊一位将军，每天都要巡查河岸侧的两个军营A、B，他总是先去A营，再到河边饮马，之后再去B营，如图①，他时常想，怎么走才能使每天的路程之和最短呢？ 大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙的解决了这问题 如图②，作B关于直线l的对称点B′，连接AB′与直线l交于点C，点C就是所求的位置． 请你在下列的阅读、应用的过程中，完成解答． （1）理由：如图③，在直线L上另取任一点C′，连接AC′，BC′，B′C′， ∵直线l是点B，B′的对称轴，点C，C′在l上 ∴CB=，C′B= ∴AC+CB=AC+CB′=． 在△AC′B′中，∵AB′＜AC′+C′B′，∴AC+CB＜AC′+C′B′即AC+CB最小 归纳小结： 本问题实际是利用轴对称变换的思想，把A、B在直线的同侧问题转化为在直线的两侧，从而可利用“两点之间线段最短”，即转化为“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决（其中C为AB′与l的交点，即A、C、B′三点共线）．本问题可拓展为“求定直线上一动点与直线外两定点的距离和的最小值”问题的数学模型． （2）模型应用 如图④，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，F是AC上一动点． 求EF+FB的最小值 分析：解决这个问题，可以借助上面的模型，由正方形的对称性可知，B与D关

于直线AC对称，连结ED交AC于F，则EF+FB的最小值就是线段的长度，EF+FB的最小值是． 如图⑥，一次函数y=﹣2x+4的图象与x，y轴分别交于A，B两点，点O为坐标原点，点C与点D分别为线段OA，AB的中点，点P为OB上一动点，求：PC+PD 的最小值，并写出取得最小值时P点坐标．

人教版八年级数学下册一次函数与动点问题提高训练.doc

一次函数与动点问题提高训练 1.已知：在平面直角坐标系中，点Q 的坐标为（4， 0），点 P 是直线 y=- 1 x+3 上在第一象限内的一动2 点，设△OPQ 的面积为s。 （1）设点 P 的坐标为（ x， y），问 s 是 y 的什么函数，并求这个函数的定义域。 （2）设点 P 的坐标为（ x， y），问 s 是 x 的什么函数，并求这个函数的定义域。 1 （ 3）当点 P 的坐标为何值时，△OPQ的面积等于直线y=- x+3 与坐标轴围成三角形面积的一半。 2 2.已知：在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为（ 6， 0），另有一动点 B 的坐标为（ x， y），点 B 在第一象限，且点 B 的横纵坐标之和为 8，设△ OAB 的面积为 s，求： （1） s 与点 B 的横纵坐标 x 之间的函数关系式，并写出定义域。 （2）当△OAB 的面积为 20 时，求 B 点的坐标。 3.在矩形 ABCD 中 ,AB=6cm,BC=12cm,点P从点A开始以1cm/s的速度沿AB 边向点B 移动 ,点 Q 从点 B 开始以2cm/s 的速度沿B C 边向点 C 移动 , 当点 P 运动到点 B 时，点别从 A 、 B 同时出发，设△PAD的面积为s，运动时间为t，求 s 与△PBQ 为等腰三角形？ Q 也随之停止。如果P、 Q 分 t 的函数关系式？运动到何时 4.如图，直线l1的解析表达式为y3x 3 ，且l1与 x 轴交于点 D ，直线 l2经过点A， B ，直线 l1， l 2交 于点 C．

（1）求点D的坐标； （2）求直线l2的解析表达式； （3）求△ADC的面积； （4）在直线l2上存在异于点C的另一点P，使得 △ ADP 与△ ADC 的面积相等，请直接写出点P 的坐标．

初二数学动点问题-初二数学动点问题分析-初二数学动点问题总结

初二动点问题解题技巧 所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题. 关键:动中求静. 数学思想：分类思想函数思想方程思想数形结合思想转化思想 注重对几何图形运动变化能力的考查。 从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，通过“对称、动点的运动”等研究手段和方法，来探索与发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观念和合情推理。选择基本的几何图形，让学生经历探索的过程，以能力立意，考查学生的自主探究能力，促进培养学生解决问题的能力．图形在动点的运动过程中观察图形的变化情况，需要理解图形在不同位置的情况，才能做好计算推理的过程。在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。 二期课改后数学卷中的数学压轴性题正逐步转向数形结合、动态几何、动手操作、实验探究等方向发展．这些压轴题题型繁多、题意创新，目的是考察学生的分析问题、解决问题的能力，内容包括空间观念、应用意识、推理能力等．从数学思想的层面上讲：（1）运动观点；（2）方程思想；（3）数形结合思想；（4）分类思想；（5）转化思想等．研究历年来各区的压轴性试题，就能找到今年中考数学试题的热点的形成和命题的动向，它有利于我们教师在教学中研究对策，把握

方向．只的这样，才能更好的培养学生解题素养，在素质教育的背景下更明确地体现课程标准的导向．本文拟就压轴题的题型背景和区分度测量点的存在性和区分度小题处理手法提出自己的观点． 专题一：建立动点问题的函数解析式 函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律,是初中数学的重要内容.动点问题反映的是一种函数思想,由于某一个点或某图形的有条件地运动变化,引起未知量与已知量间的一种变化关系,这种变化关系就是动点问题中的函数关系.那么,我们怎样建立这种函数解析式呢?下面结合中考试题举例分析. 一、应用勾股定理建立函数解析式。 二、应用比例式建立函数解析式。 三、应用求图形面积的方法建立函数关系式。 专题二：动态几何型压轴题 动态几何特点 --- 问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。）动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。

最新一次函数动点问题专题练习(含答案)资料

APCD 的面积等于 动点问题专题练习 1、如图，已知在平面直角坐标系中，直线 I : y= X-2分别交两坐标轴于A 、B 两点， M 是线段AB 上一个动点，设M 的横坐标为X ,三角形OMB 的面积为 S; （1） 写出S 与x 的函数关系式，并画出函数图象； （2） 若厶OMB 的面积为3,求点M 的坐标； （3） 当厶OMB 是以OB 为底的等腰三角形时，求它的面积。 2、在边长为2的正方形ABCD 的边BC 上，点P 从B 点运动到C 点，设PB=x 四 边形APCD 的面积为y , （1）写出y 与自变量x 的函数关系式，并画出它的图象。 精品文档 四边形

3、如图，在矩形ABCD中，动点P从点B出发，沿BC CD DA运动至点A停止， 设点P运动的路程为x，A ABP的面积为y，如果y关于x的函数图象如图所示， （1）求厶ABC的面积。 （2）求Y关于x的函数解析式。 D C A B 4、如图①在梯形ABC中，AD// BC / A=60°,动点P从A点出发，以1cm/s的速度沿着LB-C^D的方向不停移动，直到点P到达点D后才停止?已知APAD 的面积S （单位：cm2与点P移动的时间（单位：s）的函数如图②所示，则点P 从开始移动到停止移动一共用了多少秒（结果保留根号）

5、如图，A B分别是x轴上位于原点左右两侧的点，点P（2,p）在第一象限，直线PA交y轴于点C（0,2）,直线PB交y轴于点D, S A A0P=6. （1）求厶COP勺面积 （2）求点A的坐标及P的值 （3）若SAAOP=SBOP求直线BD的函数解析式

八年级数学 利用轴对称解几何动点最值问题分类总结(将军饮马)

利用轴对称解几何动点最值问题分类总结（将军饮马）轴对称的作用是“搬点移线”，可以把图形中比较分散、缺乏联系的元素集中到“新的图形”中，为应用某些基本定理提供方便。比如我们可以利用轴对称性质求几何图形中一些线段和的最大值或最小值问题。 利用轴对称的性质解决几何图形中的最值问题借助的主要基本定理有三个：（1）两点之间线段最短； （2）三角形两边之和大于第三边； （3）垂线段最短。 初中阶段利用轴对称性质求最值的题目可以归结为：两点一线，两点两线，一点两线三类线段和的最值问题。下面对三类线段和的最值问题进行分析、讨论。 （1）两点一线的最值问题:（两个定点+ 一个动点） 问题特征：已知两个定点位于一条直线的同一侧，在直线上求一动点的位置，使动点与定点线段和最短。 核心思路：这类最值问题所求的线段和中只有一个动点，解决这类题目的方法是找出任一定点关于直线的对称点，连结这个对称点与另一定点，交直线于一点，交点即为动点满足最值的位置。 方法：1.定点过动点所在直线做对称。 2.连结对称点与另一个定点，则直线段长度就是我们所求。 变异类型：实际考题中，经常利用本身就具有对称性质的图形，比如等腰三角形，等边三角形、正方形、圆、二次函数、直角梯形等图形，即其中一个定点的对称点就在这个图形上。 1.如图，直线l和l的同侧两点A、B，在直线l上求作一点P，使PA+PB最小。

（2）一点两线的最值问题:（两个动点+一个定点） 问题特征：已知一个定点位于平面内两相交直线之间，分别在两直线上确定两个动点使线段和最短。 核心思路：这类问题实际上是两点两线段最值问题的变式，通过做这一定点关于两条线的对称点，实现“搬点移线”，把线段“移”到同一直线上来解决。 变异类型： 1.如图，点P是∠MON内的一点，分别在OM，ON上作点A，B。使△PAB的周长最小。 2.如图，点A是∠MON外的一点，在射线OM上作点P，使PA与点P到射线ON的距离之和最 小。

一次函数动点问题_精心总结版

1 1、直线3 64 y x =-+与坐标轴分别交于A B 、两点，动点P Q 、同时从O 点出发，同时到达A 点，运 动停止．点Q 沿线段OA 运动，速度为每秒1个单位长度，点P 沿路线O →B →A 运动． （1）直接写出A B 、两点的坐标； （2）设点Q 的运动时间为t 秒，OPQ △的面积为S ，求出S 与t 之间的函数关系式； （3）当48 5 S =时，求出点P 的坐标，并直接写出以点O P Q 、、为顶点的平行四边形的第四个顶点 M 的坐标． （2）设经过x 秒后点P 与点Q 第一次相遇，由题意，得15 32104 x x =+?， 解得803x =秒．∴点P 共运动了80 3803 ?=厘米．∵ ∴经过80 3秒点P 与8022824=?+，∴点P 、点Q 在AB 边上相遇，点Q 第一次在边AB 上相遇 2解（1）A （8，0）B （0，6）（2）86OA OB == ，10AB ∴= 点Q 由O 到A 的时间是881=（秒）∴点P 的速度是 610 28 +=（单位/秒） 当P 在线段OB 上运动（或03t ≤≤）时，2OQ t OP t ==， 2S t = 当P 在线段BA 上运动（或38t <≤）时，6102162OQ t AP t t ==+-=-，, 如图，作PD OA ⊥于点D ，由PD AP BO AB =，得4865 t PD -=， 21324255S OQ PD t t ∴=?=-+ （3）82455P ?? ???，12382412241224555555I M M 2?????? -- ? ? ??? ????，，，，， 2 如图1，在平面直角坐标系中，点O 是坐标原点，四边形ABCO 是菱形，点A 的坐标为（－3，4）， 点C 在x 轴的正半轴上，直线AC 交y 轴于点M ，AB 边交y 轴于点H ． （1）求直线AC 的解析式； （2）连接BM ，如图2，动点P 从点A 出发，沿折线ABC 方向以2个单位／秒的速度向终点C 匀速运动，设△PMB 的面积为S （S ≠0），点P 的运动时间为t 秒，求S 与t 之间的函数关系式（要求写出自变量t 的取值范围）； （3）在（2）的条件下，当 t 为何值时，∠MPB 与∠BCO 互为余角，并求此时直线OP 与直线AC 所夹锐角的正切值． x A O Q P B y

中考数学一次函数中的动点问题小结精编

动点产生的一次函数关系 题型一：点运动的路程与面积之间的一次函数关系 此类问题的两个难点： 一、分类讨论思想，需要求出动点运动到不同位置时路程与所形成图形的面积之间的关系； 二、用动点运动的路程来表示所需线段的长度． 另外，需要注意自变量的取值范围． 【引例】 如图，在矩形 ABCD 中，AB =2，BC =1，动点P 从点B 出发， 沿路线B C D →→作匀速运动，那么△ABP 的面积S 与点P 运动的路程x 之间的函数图象大致是（ ） D. C. B. A. 【解析】 B 【解析】 P D C B A

【例1】 如图，正方形ABCD 的边长是1，E 是CD 边上的中点，P 为正方形ABCD 边上的一个动 点，动点P 从A 点出发，沿A →B →C →E 运动，到达点E ，若点P 经过的路程为x ， APE △的面积为y ，求y 与x 的关系式；并求当1 3 y =时，x 的值等于多少？ 【例2】 如图，在平面直角坐标系xOy 中，长方形OABC 的顶点，A C 的坐标 分别为()()3005，，，． ⑴ 直接写出点B 的坐标； ⑵ 若过点C 的直线CD 交AB 边于点D ，且把长方形OABC 的周长分为1:3两部分，求直线CD 的解析式； ⑶ 设点P 沿O A B C →→→的方向运动到点C （但不与点，O C 重合），求△OPC 的面积y 与点P 所行路程x 之间的函数关系式及自变量x 的取值范围． 【例3】 如图，M 是边长为4的正方形AD 边的中点，动点P 自A 点起，沿 A → B → C → D 匀速运动，直线MP 扫过正方形所形成的面积为y ，点P 运动的路程为x ，请写出y 与x 之间的函数关系式 ． D

一次函数动点问题

一次函数动点问题 1如图，直线1l 的解析表达式为33y x =-+，且1l 与x 轴交于点D ，直线2l 经过点A B ，，直线1l ，2l 交于点C ． （1）求点D 的坐标； （2）求直线2l 的解析表达式； （3）求ADC △的面积； （4）在直线2l 上存在异于点C 的另一点P ，使得 ADP △与ADC △的面积相等，请直接．． 写出点P 的坐标． 2如图,以等边△OAB 的边OB 所在直线为x 轴,点O 为坐标原点,使点A 在第一象限建立平面直角坐标系，其中△OAB 边长为6个单位，点P 从O 点出发沿折线OAB 向B 点以3单位/秒的速度向B 点运动,点Q 从O 点出发以2单位/秒的速度沿折线OBA 向A 点运动，两点同时出发，运动时间为t （单位：秒），当两点相遇时运动停止. ① 点A 坐标为_____________，P 、Q 两点相遇时交点的坐标为________________; ② 当t =2时，S =△OPQ ____________;当t =3时，OPQ S =△____________; ③ 设△OPQ 的面积为S ，试求S 关于t 的函数关系式; ④ 当△OPQ 的面积最大时，试求在y 轴上能否找一点M ，使得以M 、P 、Q 为顶点的三角形是Rt △，若能找到请求出M 点的坐标，若不能找到请简单说明理由。 3如图，在Rt △AOB 中，∠AOB=90°，OA=3cm ，OB=4cm ，以点O 为坐标原点建立坐标 x y O A B x y O A B x y O A B

系，设P、Q分别为AB、OB边上的动点它们同时分别从点A、O向B点匀速运动，速度均为1cm/秒，设P、Q移动时间为t（0≤t≤4） （1）过点P做PM⊥OA于M，求证：AM：AO=PM：BO=AP：AB，并求出P点的坐标（用t表示） （2）求△OPQ面积S（cm2），与运动时间t（秒）之间的函数关系式，当t为何值时，S有最大值？最大是多少？ （3）当t为何值时，△OPQ为直角三角形？ （4）证明无论t为何值时，△OPQ都不可能为正三角形。若点P运动速度不变改变Q的运动速度，使△OPQ为正三角形，求Q点运动的速度和此时t的值。 4己知，如图在直角坐标系中，矩形OABC的对角线AC 所在直线的解析式为 1 y x =-+。 （1）求线段AC的长和ACO D的度数。 （2）动点P从点C开始在线段CO 单位长度的速度向点O移动，动点Q从点O开始 在线段OA上以每秒1个单位长度的速度向点A （P、Q两点同时开始移动）设P、Q移动的时间为t秒。 ①设BPQ D的面积为S，求S与t之间的函数关系式， 并求出当t为何值时，S有最小值。 ②是否存在这样的时刻t，使得OPQ D与BCP D相似，并说明理由？ （3）在坐标平面内存在这样的点M，使得MAC D为等腰三角形且底角为30°，写出所有符合要求的点M的坐标。（直接写出结果，每漏写或写错一点坐标扣一分，直到扣完为止。） 5如图，在平面直角坐标系内，已知点A（0，6）、点B（8，0），动点P从点A开始 第33题

【中考数学专题】动点最值问题解法探析

动点最值问题解法探析 一、问题原型： （人教版八年级上册第42页探究）如图1-1，要在燃气管道上修建一个泵站，分别向、 两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？ 这个“确定最短路线”问题，是一个利用轴对称解决极值的经典问题。解这类问题 二、基本解法： 对称共线法。利用轴对称变换，将线路中各线段映射到同一直线上（线路长度不变），确定动点位置，计算线路最短长度。 三、一般结论： (在线段上时取等号)（如图1-2） 线段和最小，常见有三种类型： （一）“|定动|+|定动|”型：两定点到一动点的距离和最小 通过轴对称，将动点所在直线同侧的两个定点中的其中一个，映射到直线的另一侧，当动点在这个定点的对称点及另一定点的线段上时，由“两点之间线段最短”可知线段和的最小值，最小值为定点线段的长。 1.两个定点+一个动点。 如图1-3，作一定点关于动点所在直线的对称点，线段（是另一定点）与的交点即为距离和最小时动点位置，最小距离和。 例1（2006年河南省中考题）如图2，正方形的边长为，是的中点， 是对角线上一动点，则的最小值是。

解析：与关于直线对称，连结，则。 连结,在中，，，则 故的最小值为例2（2009年济南市中考题）如图3，已知：抛物线的对称轴为，与轴交于、两点，与轴交于点，其中，。 （1）求这条抛物线的函数表达式； （2）已知在对称轴上存在一点，使得的周长最小，请求出点的坐标。 解析：（1）对称轴为，，由对称性可知：。根据、、 三点坐标，利用待定系数法，可求得抛物线为： （2）与关于对称轴对称，连结，与对称轴交点即为所求点。 设直线解析式为：。把、代入得，。 当时，，则 2.两个定点+两个动点。

一次函数动点问题整理

一次函数动点问题整理 Company number【1089WT-1898YT-1W8CB-9UUT-92108】

1、(06年树人期末，14分) 如图，在直角坐标系中，四边形OABC为直角 梯形，OA∥BC，BC＝14，A（16，0），C（0，2）。（单位：厘米）若点P、Q分别从C、A同时出发，点P以2cm/s速度由C向B运动，点Q以4cm/s速度由A向O运动，当点Q停止运动时，点P也停止运动。设运动时间为t s(0≤t<≤=4)。(1)求当t为多少时，四边形PQAB为平行四边形； (2)求当t为多少时，直线PQ将梯形OABC分成左右两部分的面积比为1：2， 求出此时直线PQ的解析式； (3)点P、Q为线段BC、AO上任意两点（不与线段BC、AO的端点重合），且 四边形OQPC的面积为102 cm，试说明直线PO一定经过一定点，并求出定点坐标 2、 (07年树人期末，14分) 如图①，在矩形 ABCD中，AB＝10cm，BC＝ 8cm．点P从A出发，沿A、B、C、D路线运动，到D停止；点Q从D出发，沿 D→C→B→A路线运动，到A停止．若点P、点Q同时出发，点P的速度为每秒1cm，点Q的速度为每秒2cm，a秒时点P、点Q同时改变速度，点P 的速度变为每秒bcm，点Q的速度变为每秒dcm．图②是点P出发x秒后上 △APD的面积S 1（2 cm）与x（秒）的函数关系图象；图③是点Q出发x秒后 △AQD的面积S 2（2 cm）与x（秒）的函数关系图象．⑴参照图②，求a、b 及图②中c的值； 3、⑵求d的值；⑶设点P离开点A的路程为y 1 （cm），点Q到点A还需走的 路程为y 2（cm），请分别写出动点P、Q改变速度后y 1 、y 2 与出发后的运动时 间x（秒）的函数关系式，并求出P、Q相遇时x的值． 4、⑷当点Q出发秒时，点P、点Q在运动路线上相距的路程为 25cm．

一次函数中的动点问题

一次函数中的动点问题 一次函数是最基础的函数，也是初中数学中的重要内容之一,是中考中必考内容之一,下面以一次函数动点问题为例进行分析,希望对同学们学习这部分知识有所帮助. 一. 动点与最值问题 例1 如图1，点A 的坐标为(1，0)，点B 在直线y x =-上运动， 当线段AB 最短时，点B 的坐标为 A ．（0，0） B ．（12，－12 ） C ． （2 ，－2） D ．（－12，12 ） 解析:如图2,过点A 向直线y=-x 作垂线段,垂足为点M ，则当点B 运动到点M 的位置时,线段AB 最短.再作MN ⊥OA 于点N,正比例函数y=-x 的图象是二、四 象限的角平分线，∴△OAM 和△OMN 均为等腰直角三角形.∵OA=1, ∴ON=12 ,即M 点的横坐标为12，代入y=-x 中，∴y=-12,∴点M 的坐标为(12,-12 ),∴故选B. 评注：解答本题涉及四个知识点;(1)正比例函数y=-x 的图象是二、四象限夹角平分线；（2）根据“垂线段最短”确定动点B 的位置；（3）利用等腰三角形“三线合一”的性质求得M 点的横坐标；（4）把求得的横坐标代入y=-x 中，求得纵坐标. 二. 动点与图形面积 例2 如图2，在矩形ABCD 中，动点P 从点B 出发，沿BC 、CD 、DA 运动至点A 停止，设点P 运动的路程为x ，△ABP 的面积为y ，如果y 关于x 的函数图象如图2所 示，则△ABC 的面积是（ ） A 、10 B 、16 C 、18 D 、20 解析:动点从点出发,沿边运动到点的过程中，的值逐渐 增大,到达点时,面积最大,当动点在边上由点运动到点时,的值不变,的面积为故选 评注:解决本题的关键是找出图象与题中运动过程相对应的阶段,分析对应部分的变化情况,找到解题突破口.同学们在解决此类题中，应培养自己通过特殊点分析函数图象与题中情境的关系的能力. 三. 动点与函数图象 例3在平面直角坐标系中，一动点P （x ，y ）从M （1，0）出发，沿由A （-1，1），B （-1，-1），C （1，-1），D （1，1）四点组成的正方形边线（如图①）按一定方向运动。图②是P 点运动的路程s （个单位）与运动时间t （秒）之间的函数图象，图③是P 点的纵坐标y 与P 点运动的路程s 之间的函数图象的一部分 . 图1 94x y O P D 图2