第7章 高阶导数
第7章 高阶导数 一、一阶导数和二阶导数
? 函数y=f(x) （一）一阶导数
x
x f x x f dx dy x f x ?-?+=='→?)
()(lim )(0
（二）二阶导数
? 若函数y=f(x)的导数)(x f '仍为可导函数，则称)(x f '的导数为函数y=f(x)的二阶导数，记为)(x f ''，即
dx dx dy
d dx
y
d x x f x x f x f x )
()()(lim )(220==?'-?+'=''→?
【例题】
12
6)(9
123)(496)()1(223-=''+-='∴++-=x x f x x x f x x x x f
【练习】P122的例8.1 （三）高阶导数
? 二阶以上的导数都称为高阶导数。
?
33
22
)(dx
y
d dx dx y d d =
【例】求高阶导数
? )(ln )(x f x x x f ''=，求【x
x f 1
)(=''】
?
)()(2
x f e x f x ''=-，求【)24()(22
-=''-x e x f x 】
【例】求n 阶导数
?
)1ln()(x x f +=【n
n n x n x f )1()!
1()1()(1
)(+--=-】
? x
e
x f =)(【
x n e
x f
=)()
(】
? x x f ln )(=【n n n x n x f
)!1()
1()(1
)
(--=-】
?
)1,0()(≠>=a a a x f x
【x n n a a x f )(ln )()(=】
【例8.4】P130。
二、高阶导数的数学应用——了解函数的性质
（一）单调性
若函数y=f(x)在闭区间【a ，b 】内连续，在开区间（a ，b ）内可导，那么 1. 若x ∈（a ，b ），恒有)(x f '＞0，则f （x ）在【a ，b 】内单调增加； 2. 若x ∈（a ，b ），恒有)(x f '＜0，则f （x ）在【a ，b 】内单调减少； 3. 若x ∈（a ，b ），有)(x f '=0，则称x 为函数f （x ）的驻点。
【例】讨论函数3
1
31)(23+-=
x x x f 的单调性 解：
①已知函数的定义域为（-∞，+∞），且有)2(2)(2
-=-='x x x x x f
②令0)2(2)(2=-=-='x x x x x f ，求得驻点2021==x x ，
③以21,x x 为分点，将定义域分为（-∞，0），（0，2），（2，+∞）三个区间，)(x f '在（-∞，0），（0，2），（2，+∞）内不会变号
④∴函数f （x ）在（-∞，0），（2，+∞）内单调递增；在（0，2）内单调递减。
【练习】讨论函数
1636322
3+--=x x x y 的单调性
【例】讨论函数12353)(3
2
35
+-=x x x f 的单调性
解：
①已知函数的定义域为（-∞，+∞），且有3
3
13
2
1
)(x
x x x x f -=
-='-
②令0)(='x f ，求得驻点11=x 和不可导点02=x
③以21,x x 为分点，将定义域分为（-∞，0），（0，1），（1，+∞）三个区间，)(x f '在（-∞，0），（0，1），（1，+∞）内不会变号
④∴函数f （x ）在（-∞，0），（1，+∞）内单调递增；在（0，1）内单调递减。
396)2(23++-=x x x
y
【总结】判断单调性的步骤
1. 确定函数y=f(x)的定义域，连续区间，可导区间。
2. 求)(x f '=0的根，和)(x f '不存在的点。
3. 用以上得出的点将定义域分成若干区间。
4. 判别)(x f '在每个开区间的符号，从而确定其单调性。 （二）极值 1. 极值的含义
? 设函数f(x)在点0x 的邻域内有定义，对该邻域内的x 恒有)()(0x f x f ≤，则称)
(0x f 为函数的极大值，而点0x 称为极大值点。
? 同理可以定义函数的极小值。极大值和极小值统称为极值。 2. 极值的性质
（1） 局部性——极值是一个局部性的概念：??
?小点。极小值：在附件没有更
大点。极大值：在附近没有更，函数的
某个极小值可能比极大值还要大。
（2） 非唯一性——函数在定义域区间内的极值和极值点不是唯一的，一个函数
可能存在着多个极值和极值点。 3. 判断极值的方法 （1）用一阶条件判断
? 设函数f(x)在0x 的邻域内连续可导：
? 如果0)(0)(00<'>>' ? 如果0)(0)(00>'><' ? 如果)(x f '在0x 的邻域内不变号，则函数f(x)在0x 点不取极值。 ? 用来寻找曲线的平稳定（驻点）。 【例】求31292)(2 3-+-=x x x x f 的极值 解： ①定义域为（-∞，+∞），且)2)(1(612186)(2--=+-='x x x x x f ②令 0)(='x f ，得驻点2121==x x ， ③∴极大值点为x=1，极大值为f(1)=2；极小值点为x=2，极小值为f(2)=1 【例】求3 4 2)(x x x f -=的极值 解：①定义域为（-∞，+∞），且 )2 3(464)(2 23-=-='x x x x x f ②令0)(='x f ，得驻点 3 021==x x ， ∴函数的极小值点为x=3/2，极小值为f(3/2)=-27/16. 【例8.2】P127 （2）用二阶导数判断——充分条件 ? 设函数f(x)在0x 处有二阶导数，且0)(0='x f ，如果： ? 0)(0<''x f ，则0x 为函数f(x)的极大值点。 ? 0)(0>''x f ，则0x 为函数f(x)的极小值点。 ? 0)(0=''x f ，则暂时不能判断。 【例】求函数55423-+-=x x x y 的极值 解：① 5832+-=x x dx dy ；8622 -=x dx y d ②令 05832 =+-=x x dx dy 解得1,3521==x x ③当351=x 时，有02|3 522 >==x dx y d ∴351=x 为极小值点，极小值为15.32785 -≈- ④当12=x 时，有02|122<-==x dx y d ∴12=x 为极大值点，极大值为-3。 【例】求函数 496)(2 3++-=x x x x f 的极值 解： ①9123)(2 +-='x x x f ； 126)(-=''x x f ②令09123)(2 =+-='x x x f ，解得3,121 ==x x ③∵ 061216)1(<-=-?=''f ∴x=1为极大值点，极大值为8。 ④∵ 061236)3(>=-?=''f ∴x=3为极小值点，极小值为4。 【例8.3】P127. 【习题8.1】P141 （3）用高阶导数来判断 ? 如果第一个非0高阶导数，出现在奇数次微分之后，则是拐点。 ? 偶数次微分之后，为负则为局部极大值点；为正则为局部极小值点。 【例8.4】P130 【习题8.2】P141 4. 总结：求极值的步骤 （1）一阶条件（必要条件） ? 令一阶导数为0，求出所有的平稳点：0)(='x f （2）二阶条件（充分条件） ? 在平稳点处求二阶导数的值： ? 如果0)(0<''x f ，则函数f(x)在0x 点取极大值。 ? 如果 0)(0>''x f ，则函数f(x)在0 x 点取极小值。 （3）高阶条件 ? 如果0)(0=''x f ，则求高阶导数【非零为止】。 ? 出现在偶次微分之后，则?? ? ??<>为局部极大值点，为局部极小值点，0)(0)(0)(0)(x x f x x f n n 。 ? 出现在奇次微分之后，0x 点为拐点。 （4）求出极大值和极小值)(0x f 。 【例8.4】P130. （三）函数的凸凹性 1. 凹凸的定义 ? 函数y=f(x)在区间I 上连续，若对I 上任意两点21,x x ，恒有 2) ()()2( 2121x f x f x x f +<+，则称y=f(x)在区间I 上的图形是凹的；若恒有2 ) ()()2( 2121x f x f x x f +>+，则称y=f(x)在区间I 上的图形是凸的。 ? 也就是说，若曲线弧位于其每一点处切线的上方，则称此曲线是向上凹的；若曲线弧位于其每一点处切线的下方，则称此曲线弧是上凸的。 2. 凸凹性的判断 ? 设函数y=f(x)在区间【a ，b 】上连续，在（a ，b ）内具有二阶导数，则： ? 若在（a ，b ）内0)(>''x f ，则函数y=f(x)在区间【a ，b 】上的图形是凹的。 ? 若在（a ，b ）内0)(<''x f ，则函数y=f(x)在区间【a ，b 】上的图形是凸的。 3. 拐点 ? 若函数y=f(x)的图形在0x 两侧有不同的凸凹性，则称点（0x ，f(0x )）为图形的 拐点。 【例】判断曲线3 x y =的凸凹性 解：①函数的定义域为（-∞，+∞），6x y ,32=''='x y ?? ? ??=''=>=''><=''<）是曲线的拐点，，故（时，当，曲线是向上凹的 时，当，曲线是向上凸的 时，当0000060060y x x y x x y x 【例】判断 1433 4+-=x x y 的凸凹性 解： ① 数的定义域为（-∞，+∞），x x x f x x x f 2436)(,1212)(2 2 3 -=''-='、 ②令='')(x f 0，得3 2,021= =x x ③判定在3 2 ,021==x x 邻近)(x f ''的符号： （四）全域极值——最大值和最小值 设函数y=f(x)在【a ，b 】上有定义： 1. 求出平稳点：求出方程0)(='x f 的实数根，以及使)(x f '不存在的点。 2. 计算函数值：算出平稳点和区间端点的函数值。 3. 比较函数值：其中最大的一个为最大值点，最小的一个为最小值点。 【例】求593)(2 3+--=x x x x f 在区间【-4，4】上的最值 解：①令0963)(2=--='x x x f ，解得：3,121=-=x x ②10)1(=-f ，22)3(-=f ，15)4(,71)4(-=-=-f f ‘【 ③故在区间【-4，4】上，函数最大值为10，最小值为-71。 【练习】求函数最值 ? ]0)4 5 (,3)1([];45,1[,45==--∈-=f f x x y ? ]7)2(,2)1(,1)0(,10)1([];2,1[,155345-===-=--∈++-=f f f f x x x x y （五）洛比达法则（适用于0 0型不定式和∞ ∞型不定式） 1. 法则 ? 设函数)(),(x g x f 满足在点a 的某去心邻域可导，且0)(≠'x g ，且) () (lim x g x f a x ''→存在，则)()(lim x g x f a x →也存在，且)()(lim x g x f a x →＝) () (lim x g x f a x ''→。 【例】求n x x x ln lim ∞→（n ＞0） ? 01lim 1 lim ln lim 1===∞→-∞→∞→n x n x n x nx nx x x x 【练习】 ? 1 1 ln lim 1 = - →x x x ? )1 2 (ln 4 )0 2( 2 2 lim 2 2 - = > - - →x x x x ? 0 lim 2 = +∞ →x x e x ? 1 1 lim - = - →x x e x （六）泰勒（Taylor）公式 1. 问题的提出：函数化简 ?不论在近似计算或理论分析中，我们都希望能用一个简单的函数来近似地表示一个复杂的函数，这样做将会带来很大的方便。一般来说，最简单的是多项式函数，因为在多项式函数中仅有加减乘三种运算，怎样从一个函数本身，找出我们需要的近似多项式函数？ 2. 泰勒定理 ?若函数)(x f在含有点0x的某开区间（a，b）内有直到n+1阶导数，则当x在 （a ，b ）内时， ? ) ()(! )()(!2)())(()()(00)(2 00000x R x x n x f x x x f x x x f x f x f n n n +-++-''+-'+= ? 式中01 0)1(,)()! 1()()(x x x x n f x R n n n 和在ξξ++-+=之间，称为拉格朗日余项，公式称为泰勒公式。 3. 麦克劳林公式 ? 当00=x 时，得到泰勒公式： )10()! 1()(!)0(!2)0()0()0()(1 )1()(2<<++++''+'+=++θθn n n n x n x f x n f x f x f f x f ? 这个公式称为麦克劳林公式。 【例子】将)1ln()(x x f +=展开为x 的幂式 ? 当1->x 时，x x f 是)(的连续函数，并有连续的高阶导数： n n n x n x f )1()! 1() 1()(1 ) (+--=-（n=1，2，……） ? 因此， )!1()1()0(1 ) (--=-n f n n （n=1，2，……） ? 因此， ) ()1(2)1ln()(12x R n x x x x x f n n n +-++-=+=- ， 0,) 1(1 )1() 1()(1 1 和在x n x R n n n n ξξξ++++-=之间。 【练习】写出 x e x f =)(在x=0的泰勒展开式 ? )10()! 1(!!21)(12<<++++++==+θθx n n x e n x n x x x e x f 【练习】写出 54)(23++=x x x f 在x=1的泰勒展开式 ? 3223)1()1(7)1(111054)(-+-+-+=++=x x x x x x f 三、经济应用——利润最大化 （一）利润最大化原理 1. 利润函数：TC TR q -==）（ππ 2. 一阶条件：MC MR dq dTC dq dTR dq d =?=-=0π 3. 二阶条件：222 222dq TC d dq TR d dq d -=π，即要求边际收益为反方向，边际成本为` 正方向。 4. 最大化的利润：）（*q ππ= 【例】 某工厂生产某产品，其固定成本为200元，每多生产1单位产品，成本增加10元，该产品的需求函数为p q 2500-=，求产量q 为多少时利润最大，并求出最大利润。 解： )(0240)(20 2402 1)(2502 121 250102002 2 <''=+-='∴-+-=∴+-=-=+=q q q q q q q q TR q p q TC πππ且 ∴当产量q 为240个单位时，利润最大，利润为28600。 【例8.7】P135 【习题8.4】P141 【习题8.5】P141 （二）利润与税收：税收中性原则【税收不应影响企业的经济行为】 1. 对利润征税——企业所得税 （1） 固定税：A --==TC TR q ） （ππ，不改变产量和价格 （2） 比例税：)(1TC TR t q --==）（）（ππ ，不改变产量和价格 （3） 总结：利润税不会影响产量和价格。 2. 销售税——对销售量征税 ? sq TC TR q --==）（ππ ? 征收销售税会减少产量提高价格。 3. 收入税——对销售收入征税 ? TC TR t q -+==)1(）（ππ ? 征收收入税会减少产量，提高价格。 【例8.8】P139 k 【习题8.6】P142 2-10高阶导数的概念及常见高阶导数公式 模块基本信息 一级模块名称 微分学 二级模块名称 基础模块 三级模块名称 高阶导数的概念及常见高阶导数 公式 模块编号 2-10 先行知识 导数的概念 模块编号 2-2 知识内容 教学要求 掌握程度 1、高阶导数的概念 1、理解高阶导的概念 一般掌握 2、常见初等函数的高阶导数 2、熟记常见初等函数的高阶导 3、莱布尼兹公式 3、掌握隐函数高阶导的求解（一般 是二阶） 4、隐函数的高阶导数 4、掌握参数方程高阶导的求解（一 般是二阶） 5、参数方程的高阶导数 5、熟记正弦、余弦等常见函数的n 阶导数公式 能力目标 1、提高学生的观察分析能力 2、培养学生的逻辑思维、类比推导能力 时间分配 45分钟 编撰 黄小枚 校对 方玲玲 审核 危子青 修订 肖莉娜 二审 危子青 一、正文编写思路及特点： 思路：本文先借助速度和加速度的概念引出高阶导数的定义， 然后分别介绍常见的初等函数的高阶导数、莱布尼兹公式、隐函数的高阶导数、参数方程的高阶导数。 特点：通过实际问题引出高阶导数的概念，在求解高阶导数时分类进行讲解，层层递进，有助于学生理解和掌握。 二、授课部分 1.引例 （1） 变速直线运动的速度)(t v 是位置函数)(t s 对时间t 的导数，即 )()('t s t v = 或dt ds t v = )( （2） 速度函数)(t v 对时间t 的变化率就是加速度)(t a ，即)(t a 是)(t v 对t 的导数： []' ')(')()(t s t v t a ==或)()(dt ds dt d t a = （3）加速度)(t a 就是位置函数)(t s 对时间t 的导数的导数，称 为)(t s 对t 的二阶导数，记为)(' 't s 或22dt s d 2．高阶导数的定义 设y=f(x)在某区间上可导，即有 ()x f ' 存在，如果()x f '也可导，则称()x f ' 的导数为函数 f(x) 的二阶导数。记 y '', 或 )(x f '', 22dx y d , dx x f d ) (2 根据导数的定义可知：''0()() ()lim x f x x f x f x x →+-''=V V V 类似地, 二阶导数的导数, 叫做三阶导数, 三阶导数的导数叫做四阶导数, 一般地, (n -1)阶导数的导数叫做n 阶导数, 分别记作 y ''', y (4), ? ? ? , y (n ) 或33dx y d , 44dx y d , ? ? ? , n n dx y d . §2-9 高阶导数和高阶微分·泰勒公式 1.高阶导数和高阶微分 在§2-3中，我们讲了函数的二阶导数和二阶微分。一般地，函数 )(x y y =的n 阶导数就是 h x y h x y x y x y n n h n n ) ()(lim ])([)()1()1(0) 1() (--→--+='= (0)()()y x y x =???? 而n 阶微分就是 n n n n n n n n x x y x x x y x x y y y d )(d ]d )([]d )(d[]d[d d )(1)(1)1(1-====--- (x 是自变量；x d 被看成与x 无关的有限量) 因此，按照莱布尼茨的记法，函数)(x y y =的n 阶导数)()(x y n 也可记成 n n x x y d )(d 或简记成 n n x y d d (注意．．n 的位置．．．) 这样，导数与微分之间的那种“乘或除”的转换关系被保留到n 阶导数与n 阶微分的关系中. 例33 因为指数函数e x 的导数(e )e x x '=，所以(e )(e )e x x x '''==. 依次类推，则有 ()()(e )e ,d (e )(e )d e d (1,2,)x n x n x x n n x n x x n ==== 例34 对于函数x y sin =，则 cos sin , sin sin 2,22 2y x x y x x '??πππ?? ???? '''==+=+=?+ ? ? ????? ?????? 一般地， ()sin 2n n y x π??=+ ???； ()d d sin d 2n n n n n y y x x x π??==+ ??? ),2,1( =n . 同理，对于函数cos y x =，有 ()cos 2n n y x π??=+ ???； ()d d cos d 2n n n n n y y x x x π?? ==+ ??? ),2,1( =n . 例35 对于函数ln(1)y x =+，则 2 23 112,,(1),1(1)(1)y y y x x x ''''''= =-=-+++ 一般地， （n 阶导数）() 1 (1)! (1)(1,2,)(1)n n n n y n x --=-=+ （n 阶微分）()1(1)!d d (1)d (1,2,)(1) n n n n n n n y y x x n x --==-=+ 例36 设函数1()e (0),(0)0x f x x f - =≠=.证明：),2,1(0)0()( ==n f n . 证 一方面，函数)(x f 在点0是连续的，因为 模块基本信息 一级模块名称 微分学 二级模块名称 基础模块 三级模块名称 高阶导数的概念及常见高阶导数公式 模块编号 2-10 先行知识 导数的概念 模块编号 2-2 知识内容 教学要求 掌握程度 1、高阶导数的概念 1、理解高阶导的概念 一般掌握 2、常见初等函数的高阶导数 2、熟记常见初等函数的高阶导 3、莱布尼兹公式 3、掌握隐函数高阶导的求解（一般是二阶） 4、隐函数的高阶导数 4、掌握参数方程高阶导的求解（一般是二阶） 5、参数方程的高阶导数 5、熟记正弦、余弦等常见函数的n 阶导数公式 能力目标 1、提高学生的观察分析能力 2、培养学生的逻辑思维、类比推导能力 时间分配 45分钟 编撰 黄小枚 校对 方玲玲 审核 危子青 修订 肖莉娜 二审 危子青 一、正文编写思路及特点： 思路：本文先借助速度和加速度的概念引出高阶导数的定义， 然后分别介绍常见的初等函数的高阶导数、莱布尼兹公式、隐函数的高阶导数、参数方程的高阶导数。 特点：通过实际问题引出高阶导数的概念，在求解高阶导数时分类进行讲解，层层递进，有助于学生理解和掌握。 二、授课部分 1.引例 （1） 变速直线运动的速度)(t v 是位置函数)(t s 对时间t 的导数，即 )()('t s t v = 或dt ds t v =)( （2） 速度函数)(t v 对时间t 的变化率就是加速度)(t a ，即)(t a 是)(t v 对t 的导数： []'')(')()(t s t v t a ==或)()(dt ds dt d t a = （3）加速度)(t a 就是位置函数)(t s 对时间t 的导数的导数，称 为)(t s 对t 的二阶导数，记为)(' 't s 或22dt s d 2．高阶导数的定义 设y=f(x)在某区间上可导，即有 ()x f ' 存在，如果()x f '也可导，则称()x f ' 的导数为函数 f(x) 的二阶导数。记 y '', 或 )(x f '', 22dx y d , dx x f d )(2 根据导数的定义可知：''0()()()lim x f x x f x f x x →+-''= 类似地, 二阶导数的导数, 叫做三阶导数, 三阶导数的导数叫做四阶导数, 一般地, (n -1)阶导数的导数叫做n 阶导数, 分别记作 y ''', y (4), ? ? ? , y (n ) 或33dx y d , 44dx y d , ? ? ? , n n dx y d . 函数f (x )具有n 阶导数, 也常说成函数f (x )为n 阶可导. 注：（1）如果函数f(x)在点x 处具有n 阶导数, 那么函数f(x)在点x 的某一邻域内必定具有一切低于n 阶的导数. （2）二阶及二阶以上的导数y '' y ''' y (4) ?? y (n )统称高阶导数. 3.常见初等函数的高阶导数 例1 已知3y x = 求()n y （一级） 解: ()()423;6;6;0;,0.n y x y x y y y ''''''===== 课堂练习：已知y =e x 求它的n 阶导数. 例2 已知sin y x =求它的n 阶导数. （一级） 解:)2 sin(cos π+=='x x y , )2 2sin()2 2 sin()2 cos(ππππ?+=++=+=''x x x y , 高阶导数 一般来讲，首先看它是不是常见的那几个函数（指数函数，三角函数）什么的，如果是，直接套公式； 其次：如果不是，则看能不能写成上面几个函数的和式或者乘积表达式，如果是和式，直接用求导法则，如果是乘积，用莱布尼兹法则写出通项后求和即可 再次：观察可不可以对函数求出几阶导数之后变成上面的两种情况； 最后，实在不行，看看能不能用数学归纳法求解。 上面的方法没有前后顺序，呵呵，关键看你的数学感觉。 1、一般来说，当然就是一次一次地求导，要几次导数给几次； 2、上面的方法比较沉闷，而且容易出错，通常根据被求导的函数，求几次导数后， 根据结果，找到规律，然后用归纳法，证明结果正确； 3、在解答麦克劳林级数、泰勒级数时，经常要求高阶导数，找规律是非常需要技巧的，很多情况下，递推公式(Redunction)是很难找到。 实在找不到时，只能写一个抽象的表达式。 步骤： 第一步：确定函数的定义域．如本题函数的定义域为R. 第二步：求f(x)的导数f′(x). 第三步：求方程f′(x)＝0的根. 第四步：利用f′(x)＝0的根和不可导点的x的值从小到大顺次将定义域分成若干个小开区间，并列出表格. 第五步：由f′(x)在小开区间内的正、负值判断f(x)在小开区间内的单调性. 第六步：明确规范地表述结论. 第七步：反思回顾．查看关键点、易错点及解题规范． 这个公式是说，对y(x)=u(x)v(x)求n阶导数时候，可以表示为u(x)的n-i阶导数乘v(x)的i阶导数的积的叠加，其系数是C(i,n)。 那个C是组合符号， C(i,n)=n!/(i!(n-i)!) 莱布尼兹公式好比二项式定理，它是用来求f(x)*g(x)的高阶导数的。展开的形式我就不多说了。 一般来说，f(x)和g(x)中有一个是多项式，因为n次多项式求n+1次导数就变成0了，可以给计算带来方便。 就本题： y的100阶导数=（x的0阶导数*shx的100阶导数）+100（x的1阶导数*shx的99阶导数）+99*100/2(x的2阶导数*shx的98阶导数)+...... 如前所说，x的2阶以上导数都是0,所以上式只有前两项， 所以：y的100阶导数=xshx+100chx 1.把常用初等函数的导数公式记清楚； 2.求导时要小心谨慎，尤其是关于复合函数的导数。 第十二讲 高阶导数习题 一、选择题 1. 设x e x f 2)(=，则(0)f '''=【 】 A. 8 B. 2 C. 0 D. 1 2. 设x x x f cos )(=，则()f x ''=【 】 A. x x sin cos + B. x x x sin cos - C. x x x sin 2cos -- D. x x x sin 2cos + 3. 设y=sinx ，则y (10)|x=0=【 】 A. 1 B. -1 C. 0 D. 2n 4. 已知ln ,=y x x 则()6y =【 】 A. 5 1x - B. 51x C. 54!x D. 54!x - 二、填空题 1. 设函数)(x f 有任意阶导数且)()('2 x f x f =，则()f x '''= 。 2. 已知函数2x y e =，则y '''=_____________. 3. 设函数)(x f 在2=x 的某邻域内可导，且)()(x f e x f ='，1)2(=f ，则=''')2(f _____________. 4. 设函数)(y f x =的反函数)(1x f y -=及)]([1x f f -'、)]([1x f f -''均存在，且 0)]([1≠'-x f f ，则=-212dx )x (f d _____________. 5. 设x x x f +-=11)(，则=)x (f )n (_____________. 6. 设x x y 44cos sin -=，则=) n (y ____________. 7. 184、设x x x y cos sin sin 3+=，则=) n (y ____________. 求函数的高阶导数常用方法 （一）逐阶整理法 例1、 求()sin x f x e x =的n 阶导数（解略） （二）将函数分解为若干个简单函数的和，再利用已知的常见的函数的高阶导数公式 （1）()()(1)(1)n n x n x ααααα?=??+" （2）()()(ln )x n x n a a a =， ()(e )e x n x = （3）()(sin())sin ()2n n ax b a ax b n π??+=?++???? ?， ()(cos())cos ()2n n ax b a ax b n π??+=?++???? ? （4）()11(1)!n n n n x x +???=????， ()1 1(1)!()n n n n n a ax b ax b +????=??++?? （5）1()(1)(1)!(ln )n n n n x x ???=， 1()(1)(1)!(ln())()n n n n n a ax b ax b ????+=+ 例2、求下列函数的n 阶导数 （1）1()(1) f x x x =? （2）()1n x f x x =? （3）2221()f x a b x =? （4）()cos cos2f x x x =? （三）利用莱布尼茨公式 例3、求函数ln ()x f x x =的n 阶导数 例4、求函数2()(1)n f x x =?的n 阶导数 （提示：()(1)(1)n n f x x x =??+） （四）先求一阶或二阶导数，变成乘积形式，再利用莱布尼茨公式，得到高阶导数的递推公式 例5 、设arctan y x =，求() 0n x y = 解：由211y x ′=+， 得 2(1)1y x ′?+= 对上式两边求n 阶导数（左边利用莱布尼茨公式），得 (1)2()(1)(1)(1)2202 n n n n n y x n y x y +???++??+ ??= 即 2(1)()(1)(1)2(1)0n n n x y nxy n n y +?+?++?= （高阶导数的递推公式） 令0x =，得 (1) (1)00(1)n n x x y n n y +?===?? 又由(0)0y =，(0)1y ′=，故 () 0 0 , 2(1)(2)!, 21n k x n k y k n k ==?=???=+?当当 例6 、设arcsin y x =，求() 0n x y = 解：由y ′= ，32221(1)x x y y x x ′??′′′===???，则 2(1)y x y x ′′′??=? 对上式两边求n 阶导数（两边利用莱布尼茨公式），得 (2)2(1)()(1)()(1)(1)(2)(2)12 n n n n n n n y x n y x y y x n y +++???+???+ ???=?+?? 整理，得 2(2)(1)2()(1)(21)0n n n x y n xy n y ++??+?= 令0x =，得 (2)2()n n y n y += （高阶导数的递推公式） 高阶导数的计算 一、 高阶导数定义 定义（二阶导数） 若函数f 的导函数'f 在点0x 可导，则称'f 在点0x 的导数为f 在点0x 的二阶导数，记作)(''0x f ，即 )('') (')('lim 00 00 x f x x x f x f x x =--→， 此时称f 在点0x 二阶可导。 如果f 在区间I 上每一点都二阶可导，则得到一个定义在I 上的二阶可导函数，记作)(''x f ， I x ∈，或记作''f ，''y ，2 2dx y d 。 函数)(x f y =的二阶导数)(''x f 一般仍旧是x 的函数。如果对它再求导数，如果导数存在的话， 称之为函数)(x f y =的三阶导数，记为'''y ，)('''x f ，或33dx y d 。 函数)(x f y =的1-n 阶导数的导数称为函数)(x f y =的n 阶导数，记为) (n y ，) (n f ，或n n dx y d 。 相应地，)(x f y =在0x 的n 阶导数记为： 0 ) (x x n y =，)(0) (x f n ，0 x x n n dx y d =。 二阶及二阶以上的导数都称为高阶导数。 1． )()() (] [n n n v u v u ±=±。 2． +++=--)2()2(2)1()1(1)0()()()(v u C v u C v u uv n n n n n n )()() 1()1(1)()(n o n n n k k n k n v u v u C v u C ++++--- ∑=-= N K k k n k n v u C )()(， （Leibniz 公式） 其中u u =) 0(，v v =)0(。 注 将Leibniz 公式与二项式展开作一比较可见： n o k k n k n n n n n v u v u C v u C v u v u ++++=+-- 1110)(。 （这里 100==v u ），在形式上二者有相似之处。2-10高阶导数的概念及常见高阶导数公式
高阶导数和高阶微分 泰勒公式
2-10高阶导数的概念及常见高阶导数公式
求高阶导数
第十二讲高阶导数习题
求高阶导数常见方法
高阶导数的计算