高等数学复习
一.对积分基本概念及性质的理解二. 定积分的计算
三.积分的应用
一.对积分基本概念及性质的理解
(一)有关不定积分
1.由原函数与不定积分的定义来理解原函数与不定积分的关系:
f (x )在区间I 上的全体原函数称为f (x )在区间I 上的不定积分。
c x F dx x f +=?)()(,c 为任意常数。
2.求不定积分与求导数(求微分)的关系----互为逆运算
dx x f x dF )()(=
微分运算:已知)(x F 求)(x f
积分运算:已知
dx x f )(求)(x F
[]??=='f(x )dx f(x )dx d )()(或x f dx x f
??
+=+='
c f(c)df(x ) )()(或c x f dx x f
注:积分公式从导数公式中得出 例题(1)
若f(x)导函数是sinx ,则f(x)的原函数是_______; 【分析】
)(x f 的导函数是sin (x )
,那么)(x f 应具有形式1cos c x +-,所以)(x f 的原函数应为21sin c x c x ++-,其中21,c c 为任意常数。
(二)有关定积分 1.定积分的定义: 注意:
定积分要求积分区间有限,被积函数有界;
i n
i i b
a x f dx x f ?=∑?=→)(lim )(1
ξλ
? 用定义法求定积分时,也就是求积分和i n
i i x f ?∑
=1
)(ζ的极限。构造积分和形
式是关键;求n 项和式的极限转化为求积分的思想。
? 定积分只是一个数,在定积分存在时,其值只与被积函数及积分区间有关; 例题(2) 求 【分析】将这类问题转化为定积分主要是确定被积函数和积分上下限.常见的情形有:()()n
a b n a b i a f dx x f n
i n b
a
-??????
-+=∑?
=∞→1lim
若对题目中被积函数难以想到,可采取如下方法:先对区间等分[]n 1,0写出积分
和,再与所求极限相比较来找出被积函数与积分上下限。
解将区间[]n 1,0等分,则每个小区间长为n x i 1
=?,然后把n n n
1112
?=的一个因子n
1
乘入和式中各项.于是将所求极限转化为求定积分. 即
2.几何意义:定积分的值为面积的代数和 例题(3) 求_____220
2=-?
dx x x
解法 1 由定积分的几何意义知,
dx
x x ?
-20
22等于上半圆周
()()01122≥=+-y y x 与x 轴所围成的图形的面积.故2
22
02
π
=
-?dx x x
解法2 直接用换元法求解.
令t x sin 1=-(),则
21lim n n
→∞
+++
21
lim n n
→∞+
1lim n n →∞
3
4
=
?
=
=2
2
t ππ
-≤≤
2
cos cos sin 12sin 1220
220
222
2
2
2
π
π
π
π
π=
=-=-==-????-dt t dt
t t dt t dx x x
3.可积的充分或者必要条件: (1)函数)(x f 在区间],[b a 上连续是)(x f 在区间],[b a 上可积的_______条件;
(2)函数
)(x f 在区间],[b a 上有界且只有有限个间断点,)(x f 在区间],[b a 上
可积的________条件; (3)函数
)(x f 在区间],[b a 上有界)(x f 在区间],[b a 上可积的_______条件.
判断定积分是否存在 4.对区间的可加性
???
+=b
c c a b a
dx x f dx x f dx x f )()()(,c 可以在],[b a 内,也可以在之外。
5.估值定理
],[)(M m x f ∈且函数连续,b a <有
)
()()(a b M dx x f a b m b a
-≤≤-? ???<
a
b
a
b
a
dx
x g M dx x g x f dx x g m )()()()(
例题(4) ①证明不等式?<
<40
2
2
32
tan 80
π
πππ
dx x x ;
解注意4
0π
<
? ?? = =<<=40 2 404 2 40232 32 2 1 tan 80 ππ ππ πππ x xdx dx x x dx x ②估计定积分的值. 【分析】要估计定积分的值, 关键在于确定被积函数在积分区间上的最大值与最小值. 2 2 x x e dx -? 解设2 ()x x f x e -=, 因为2 ()(21)x x f x e x -'=-, 令()0f x '=,求得驻点12 x =,而 0(0)1f e ==, 2 (2)f e =, 141 ()2 f e -=, 故 124 (),[0,2]e f x e x -≤≤∈, 从而 2 12 24 22x x e e dx e --≤≤?, 所以 210 2 4 2 22x x e e dx e - --≤≤-?. 5.比较定理 dx x g dx x f b a b a ? ?≤)()( 例题(5) (1)比较()dx x N dx x M ??==2020sin ,sin sin π π,与1的大小; (2)比较dx x x ?π 2sin 与dx x x ?-π π22sin 的大小. 【分析】当两个定积分的积分区间相同且被积函数连续时,只需比较被积函数的大小;而积分区间不同时,通过变量替换转化成积分区间相同的情形再进行比较大小。 解自己动手做一下 6.积分中值定理 如果函数 )(x f 在闭区间],[b a 上连续,则在积分区间],[b a 上至少存在一个点 ξ,使))(()(a b f x f b a -=?ξ)( b a ≤≤ξ 例题(6) 求sin lim n p n n x dx x +→∞? , ,p n 为自然数. 【分析】这类问题如果先求积分然后再求极限往往很困难,解决此类问题的常用方法是利用积分中值定理与夹逼准则. 解法1 利用积分中值定理 设sin ()x f x x = , 显然()f x 在[,]n n p +上连续, 由积分中值定理得 sin sin n p n x dx p x ξ ξ +=??, [,]n n p ξ∈+, 当n →∞时, ξ→∞, 而sin 1ξ≤, 故 sin sin lim lim 0n p n n x dx p x ξξ ξ+→∞→∞=?=? . 解法2 利用积分不等式 因为 sin sin 1ln n p n p n p n n n x x n p dx dx dx x x x n ++++≤≤=? ??, 而limln 0n n p n →∞ +=,所以 sin lim 0n p n n x dx x +→∞=? . 例题(7) 设函数()f x 在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且34 1 4()(0)f x dx f =?.证明在(0,1)内存 在一点c ,使()0f c '=. 【分析】由条件和结论容易想到应用罗尔定理,只需再找出条件()(0)f f ξ=即可. 证明由题设()f x 在[0,1]上连续,由积分中值定理,可得 3413 (0)4()4()(1)()4 f f x dx f f ξξ==-=?, 其中3[,1][0,1]4 ξ∈?.于是由罗尔定理,存在(0,)(0,1)c ξ∈?,使得()0f c '=.证毕. (三)变限定积分 1.如果)(x f 在],[b a 上连续,则变积分上限的函数dt t f x F x a ?=)()(是],[b a 上的 可导函数,且它的导数是[]),(),()()(b a x x f dt t f dx d x F x a ∈=='?。 注意: ? 求导的四则运算,以及复合函数的求导方法对变限定积分的求导同样适用。 ? 讨论变限积分函数的性质。 2.原函数是否存在,如何求原函数。课本P244 11题 3.不定积分与变限定积分的关系 c dt t f dx x f x x +=??0 )()(,c 为任意常数,],[,0b a x x ∈ 例题(8) (1)若2 2 ()x t x f x e dt -=?,则()f x '=___; (2)若0()()x f x xf t dt =?,求()f x '=___. 【分析】这是求变限函数导数的问题,利用下面的公式即可 () ()()[()]()[()]()v x u x d f t dt f v x v x f u x u x dx ''=-?. 解(1) ; (2)由于在被积函数中x 不是积分变量,故可提到积分号外即0()()x f x x f t dt =?,则可得 ()f x '=0()()x f t dt xf x +?. 例题(9) 设函数()f x 连续,1 0()()x f xt dt ?=?,且0 () lim x f x A x →=(A 为常数) ,求()x ?'并讨论()x ?'在0x =处的连续性. 【分析】求()x ?'不能直接求,因为1 0()f xt dt ?中含有()x ?的自变量x ,需要通过换 元将x 从被积函数中分离出来,然后利用积分上限函数的求导法则,求出()x ?', 42 2x x xe e ---()f x '= = 最后用函数连续的定义来判定()x ?'在0x =处的连续性. 解由0 () lim x f x A x →=知0lim ()0x f x →=,而()f x 连续,所以(0)0f =,(0)0?=. 当0x ≠时,令u xt =,0t =,0u =;1t =,u x =.1 dt du x =,则 ()()x f u du x x ?= ?, 从而 2 ()()()(0)x xf x f u du x x x ?-'= ≠?. 又因为0 2 ()()(0) ()lim lim lim 22x x x x f u du x f x A x x x ??→→→-===-?,即(0)?'=2 A .所以 ()x ?'=02()(),0,02 x xf x f u du x x A x ?-?≠?? ?=???. 由于 02 20 0()()()()lim ()lim lim lim x x x x x x xf x f u du f u du f x x x x x ?→→→→-'==-??=(0)2 A ?'=. 从而知()x ?'在0x =处连续. 注这是一道综合考查定积分换元法、对积分上限函数求导、按定义求导数、讨论函数在一点的连续性等知识点的综合题.而有些读者在做题过程中常会犯如下两种错误: (1)直接求出 2()()()x xf x f u du x x ?-'= ?, 而没有利用定义去求(0)?',就得到结论(0)?'不存在或(0)?'无定义,从而得出()x ?'在0x =处不连续的结论. (2)在求0 lim ()x x ?→'时,不是去拆成两项求极限,而是立即用洛必达法则,从 而导致 ()()()1 lim ()lim ().22x x xf x f x f x x f x x ?→→'+-''= = 又由0 () lim x f x A x →=用洛必达法则得到0lim ()x f x →'=A ,出现该错误的原因是由于使用洛必达法则需要有条件:()f x 在0x =的邻域内可导.但题设中仅有()f x 连续的条件,因此上面出现的0 lim ()x f x →'是否存在是不能确定的. (四)反常积分 1.积分区间不再有界时,为无穷区间上的反常积分 例题(10) 计算2 43 dx x x +∞++? . 【分析】该积分是无穷限的的反常积分,用定义来计算. 解20 43dx x x +∞++? =20lim 43t t dx x x →+∞++?=0111lim ()213 t t dx x x →+∞-++? =011lim [ln ]2 3 t t x x →+∞++=111lim (ln ln )2 3 3 t t t →+∞ +-+ =ln 32 . 2.被积函数不再有界时,为无界函数的反常积分 例题(11) 计算4 2 ?. 【分析】该积分为无界函数的反常积分,且有两个瑕点,于是由定义,当且仅当 3 2 ? 4 3 ?均收敛时,原反常积分才是收敛的. 解由于 3 2 ? 3 2lim a a + →?3 2lim a a + →? =32lim[arcsin(3)]a a x + →-= 2 π . 4 3 ? =3 4 lim b b -→? 3 4lim b b - →? =3 4lim[arcsin(3)]b b x - →-=2 π . 所以4 2 ?2 2 π π π= + =. 注意:按照定义判断反常积分的收敛性或者计算反常积分的值时,实际上就是对变限积分求极限值。 p260 ,1(8) 二.定积分的计算 不定积分的计算为定积分计算的基础,大家对定积分的计算方法能够熟练掌握时,在对定积分计算时自然不会存在问题,在这里只介绍定积分的计算问题。 1.根据定义计算定积分(麻烦) 2.牛顿-莱布尼茨公式: 如果 ) (x F 是连续函数 ) (x f 在区间 ] ,[b a 上的一个原函数,则 例题(12) 以下计算是否正确?为什么? 2 4 4 )1arctan(1arctan 1 arctan )1(arctan 1 1 1 1π π π = + = --==--?x dx x dx d 【分析】利用牛顿-莱布尼茨公式计算定积分dx x f b a ?)(必须满足两个条件:其一 是)(x f 在[a,b]上连续,另一个是)(x F 是)(x f 在[a,b]上的一个原函数。 由 )0(11 )1(111 )1(arctan 2'2≠+-=+=x x x x x dx d 可知积分应该是负值。事实上 2arctan 1)1(arctan 1 11121 1π-=-=+-=---??x dx dx x dx d )()()()(a F b F x F dx x f b a b a -==? 由此可见,本题中的计算是错误的。原因在于x 1 arctan 在x=0不连续,且x=0不是x 1arctan 的可去间断点,从而x 1arctan 不是)1 (arctan x dx d 在区间[-1,1]上的一 个原函数。正确做法是把[-1,1]分成[-1,0]和[0,1]两个小区间,然后用分段积分法进行计算: 2 2 4 4 2 arctan 1arctan )1(arctan )1(arctan )1(arctan 1 0110011 1π π π π π - =- + + - =+=+=---???x x dx d dx x dx d dx x dx d (1)基本积分表:掌握推导过程 通过积分计算法则,把所求积分转化为积分表中的形式 ?+-=C x xdx cos ln tan ?+=C x xdx sin ln cot ?++=C x x xdx )tan ln(sec sec ?+-=C x x xdx )cot ln(csc csc C a x a dx x a +=+?arctan 112 2 C x a x a a dx x a +-+=-?ln 21122 C a x dx x a +=-? arcsin 1 2 2 C a x x dx a x +±+=±? )ln(1222 2 C a x a x a x dx x a ++-=-?arcsin 2222 22 2 . ln 222 22222 2 C a x x a a x x dx a x +±+±±=±? (2)积分计算法则 A.分项积分:积分的计算法则 我们常把一个复杂的函数分解成几个简单的函数之和,若能求出右端几个函数的积分,则应用不定积分的基本性质 dx x g k dx x g k dx x f )()()(2 2 1 1 ???+= 就可以求出函数)(x f 的不定积分dx x f ?)(这就是分项积分法. 例题(13) (1)dx x x ?++2cos 1cos 12 ; (2) dx x x ? +)1(1 2 4. (1)【分析】利用三角函数的倍角公式:x x 2cos 22cos 1=+进行分项 解 c x x dx x dx dx x x dx x x ++=+=+=++????tan 21 21 cos 21cos 2cos 12cos 1cos 12222 (2)【分析】利用加减同一项进行拆项 解????+-+-=+-+=+dx x x x x x dx dx x x x x dx x x )1()1()1()1()1(12 22 24242224 c x x x x dx x dx x dx +++-=++-=???arctan 13113 224 B.分段积分:积分限分界点的选取:瑕点,去绝对值 分段函数的定积分要分段进行计算,这里重要的是弄清楚积分限与分段函数的分界点之间的位置关系,以便对定积分进行正确的分段。 例题(14) (1) dx x x ??????+?- cos ,21 min )1(2 2 π π (2) )0,0(cos sin 0 2 222>>+=? b a x b x a dx I π (3)设函数???≤<-≤≤=2 1,210,)(2x x x x x f ,并记?≤≤=x x dt t f x F 0 )20()()(,试求)(x F 及 ?dx x f )(。 (1)解由于? ?? ???x cos ,21min 为偶函数,在]2,0[π上的分界点为3π,所以 dx x dx x x dx x x ??????+??????=??????+???- --cos ,21 min 12cos ,21min cos ,21min )1(2 2 22 22 ππππππ ) cos 21 (202 3 3 ??++=π ππxdx dx (2)【分析】在上面区间上按如下方式用牛顿-莱布利兹公式是错误的。即 00)tan arctan(1)tan (1) tan (cos sin 02 02222==??????+=+=??ππ π x b a ab x b a ab x b a d x b x a dx I 因为)tan arctan(1x b a ab 在2π=x 处无定义,它只是分别在)2,0[π,],2 (ππ 有定义, 因此不能再整个区间上对积分函数应用牛顿-莱布利兹公式,但是,可以采用分段积分的方法计算。 解 ab x b a ab x b a ab x b x a dx x b x a dx I ππππ π ππ =+= +++=??2 202 2 2222 2222)tan arctan(1)tan arctan(1cos sin cos sin (3)解根据牛顿莱布尼茨公式,当有 303)(3 30 2 x x t dt t x F x = ==? 当21≤≤x 时, 1 0≤≤x 22671)22(013)2()(2 231 102 x x x t t t dt t dt t x F x -+-=-+=-+=?? ?+=c x F dx x f )()( C.换元积分:常用的变量替换总结 注意换元之后积分上下限发生变化 ①第一换元积分法(凑微分法) 设c u F du u f +=? )()(,且函数 )(x ?可导,则 [][]c x F c u F du u f x d x f dx x x f +=+==='???))(()()()()()()(????? ②第二换元积分法 利用第一换元法求积分时,需要被积函数看成)]([x f ?与)('x ?的乘积,并映入新变量)(x u ?=。第二换元法与此不同,需要把积分变量x 看成自变量t 的适当的函数)(t ?,即作换元)(t x ?=。 例题(15) 求下列不定积分 (1)?xdx sec ; (2)? +x x dx tan sin 解(1) ????-=-== x x d dx x x x dx xdx 22sin 1) (sin sin 1cos cos sec c x x x d x x +-+=++-= ?sin 1sin 1ln 21)(sin )sin 11sin 11(21 c x x c x x ++=+-+=tan sec ln sin 1)sin 1(ln 2122 (2)???-=+=+dx x x x x x x xdx x x dx 2cos 2sin 4sin cos )cos 1(sin cos tan sin 22 ) 2(tan )2tan 2tan 1(21)2(tan 2tan 22tan 12 x d x x d x ?? -=-= c x x +-= 2tan 412tan ln 212 D.分部积分: 被积函数有不同函数类型 前面所介绍的换元积分法虽然可以解决许多积分的计算问题,但有些积分,如 dx e x x ?,dx x x ?cos 等,利用换元法就无法求解.接下来要介绍另一种基本积分法分 部积分法. 设函数)(x u u =和)(x v v =具有连续导数,则移项得到 vdu uv d udv -=)(所以有 ??-=vdu uv udv 或??'-='vd u uv dx v u 例题(16) (1)??xdx x arccos arcsin ; (2)dx a x ? +22 解(1)??-- --?=?dx x x x x x x x x xdx x )1arcsin 1arccos ( arccos arcsin arccos arcsin 2 2 ?--+?=2 1)arcsin (arccos arccos arcsin x d x x x x x c x x x x x x x ++-?-+?=21)arcsin (arccos arccos arcsin 2 (2)dx a x x x a x x dx a x ??+? -+=+2 2 2222 dx a x a a x a x x ?+- +-+=)(2 2 22 2 2 2 其中 dx a x ? +2 2 1,已在前面三角函数算法处求出,注意到等式右端也包含积分, 因而得到关于的方程,解得: dx a x ?+2 2dx a x ? +22 c a x x a a x x dx a x +++++=+? )ln(2 2222 222 2 对积分计算的思路的总结: 首先利用定积分的几何意义和性质简化被积函数,再灵活运用积分法则。 (1)几何意义 例题2 (2)被积函数的奇偶性 例题(17) 课本P254 ,6题 (3)周期函数(三角函数) .)()(0 ??=+T T a a dx x f dx x f (4)重要积分公式 ,)(sin 2 )(sin 00 ??= π π π dx x f dx x xf (5)轮换对称性 例题(18) 计算0 a ?0a >. 解法1令sin x a t =,则 a ? 2 cos sin cos t dt t t π =+? ()()??-?????=a a a x f x f dx x f dx x f 为奇函数时当为偶函数时 当,0,)(2)(0 ??????????--?-????--?-=n n n n n n n n n n ,3254231,2 214323 1 π??==2 2 00cos sin ππxdx xdx I n n n 21lim n n →∞++ 201(sin cos )(cos sin )2sin cos t t t t dt t t π++-=+? 201(sin cos )[1]2sin cos t t dt t t π' +=++? []201ln |sin cos |2t t t π =++=4 π. 解法2 令sin x a t =,则 a ? =2 0cos sin cos t dt t t π +?. 又令2 t u π = -,则有 . 所以, a ? =22001sin cos []2sin cos sin cos t t dt dt t t t t ππ +++??=2012dt π?=4π. 例题(19)(综合题) 设函数)(x f 在),(+∞-∞内满足x x f x f sin )()(+-=π,且),0[,)(π∈=x x x f ,求 ?π π 3)(dx x f . 【分析】由于题目只给出了)(x f 在区间),0[π上的具体表达式,为计算] 3,[ππ上的积分值,应该通过换元法使其积分区间换到],0[π上。另外,也可以通过x x f x f sin )()(+-=π及)(x f 在),0[π上的表达式, 求出)(x f 在)3,[ππ上的表达式,然后再求积分值。这里采取第一种方法,当然也可以用第二中方法计算。 解dx x f dx x x f dx x f ? ? ?-=+-=π π π π ππ ππ333)(]sin )([)( 令π-=x t dt t f dt t t f tdt dt t f dt t f dt t f dx x f ? ??? ?? ?-+-= +-+=+==-π π ππ π π π ππ π π ππππ22 220 20 3)(22 ]sin )([)()()()( 令π-=t u 20cos sin cos t dt t t π +?2 0sin sin cos u du u u π +?= 2)(22 )(20 2 3-=+-= -??ππππ π π du u f dx x f 三.积分的应用 1.求平面图形的面积, (1)直角坐标系 ?=b a dx x f A )( ? -=b a dx x f x f A )]()([12 (2)参数坐标 ?? ?==) () (t y t x ψ???'==21 )()(t t b a dt t t ydx A ?ψ (3)极坐标 ?= βαθθ?d A 2)]([21?-=βαθθ?θ?d A )]()([2 12 122 2.求体积(旋转体,立体) dx x f V b a 2)]([?=π dy y V d c 2)]([?π?= ?=b a dx x A V )( 3.求弧长 dx y s b a ?'+=21 dt t t s ?'+'=β αψ?)()(22 θ θθβα d r r s ? '+=)()(22 4.求曲率 5.物理应用:求静压力,引力,求功等等 例题(20) 求由曲线12 y x =,3y x =,2y =,1y =所围成的图形的面积. 【分析】若选x 为积分变量,需将图形分割成三部分去求,如上图所示,此做法留给读者去完成.下面选取以y 为积分变量. 解选取y 为积分变量,其变化范围为[1,2]y ∈,则面积元素为 dA =1|2|3y y dy - =1 (2)3 y y dy -. 于是,所求面积为 211(2)3A y y dy =-?=5 2 例题(21) 抛物线22y x =把圆228x y +=分成两部分,求这两部分面积之比. 解抛物线22y x =与圆228x y +=的交点分别为(2,2)与(2,2)-,如上图所示,抛物线将圆分成两个部分1A ,2A ,记它们的面积分别为1S ,2S ,则有 1S =22 2)2y dy -?=244 88cos 3d π πθθ--?=423π+,218S A π=-=4 63π-, 于是 12 S S =4 23463 ππ+- =3292ππ+-. 例题(22) 求心形线1cos ρθ=+与圆3cos ρθ=所围公共部分的面积. 【分析】心形线1cos ρθ=+与圆3cos ρθ=的图形如上图所示.由图形的对称性,只需计算上半部分的面积即可. 解求得心形线1cos ρθ=+与圆3cos ρθ=的交点为(,)ρθ=3 (,)2 3π ±,由图形的对 称性得心形线1cos ρθ=+与圆3cos ρθ=所围公共部分的面积为 A =2 2320 3112[(1cos )(3cos )]22 d d π π πθθθθ++? ?=54π. 例题(23) 过坐标原点作曲线ln y x =的切线,该切线与曲线ln y x =及x 轴围成平面图形D . (1)求D 的面积A ; (2)求D 绕直线x e =旋转一周所得旋转体的体积V . 2017学年春季学期 《高等数学Ⅰ(二)》期末考试试卷(A ) 注意: 1、本试卷共 3 页; 2、考试时间110分钟; 3、姓名、学号必须写在指定地方 1.已知a 与b 都是非零向量,且满足-=+a b a b ,则必有( ). (A)-=0a b (B)+=0a b (C)0?=a b (D)?=0a b 2.极限2 2 22 00 1 lim()sin x y x y x y →→+=+( ). (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D)不存在 3.下列函数中,d f f =?的是( ). (A )(,)f x y xy = (B )00(,),f x y x y c c =++为实数 (C )(,)f x y = (D )(,)e x y f x y += 4.函数(,)(3)f x y xy x y =--,原点(0,0)是(,)f x y 的( ). (A )驻点与极值点 (B )驻点,非极值点 (C )极值点,非驻点 (D )非驻点,非极值点 5.设平面区域2 2 :(1)(1)2D x y -+-≤,若1d 4D x y I σ+= ??,2D I σ=,3D I σ=,则有( ). (A )123I I I << (B )123I I I >> (C )213I I I << (D )312I I I << 6.设椭圆L : 13 42 2=+y x 的周长为l ,则22(34)d L x y s +=?( ). (A) l (B) l 3 (C) l 4 (D) l 12 7.设级数 ∑∞ =1 n n a 为交错级数,0()n a n →→+∞,则( ). (A)该级数收敛 (B)该级数发散 (C)该级数可能收敛也可能发散 (D)该级数绝对收敛 8.下列四个命题中,正确的命题是( ). (A )若级数 1n n a ∞ =∑发散,则级数 21n n a ∞ =∑也发散 (B )若级数 21 n n a ∞ =∑发散,则级数 1 n n a ∞=∑也发散 (C )若级数 21n n a ∞ =∑收敛,则级数 1 n n a ∞ =∑也收敛 (D )若级数 1 ||n n a ∞=∑收敛,则级数2 1 n n a ∞=∑也收敛 二、填空题(7个小题,每小题2分,共14分). 1.直线3426030x y z x y z a -+-=??+-+=? 与z 轴相交,则常数a 为 . 2.设(,)ln(),y f x y x x =+则(1,0)y f '=______ _____. 3.函数(,)f x y x y =+在(3,4)处沿增加最快的方向的方向导数为 . 三峡大学 试卷纸 教学班号 序号 学号 姓名 …………………….……答 题 不 要 超 过 密 封 线………….……………………………… 高等数学下试题及参考 答案 内部编号:(YUUT-TBBY-MMUT-URRUY-UOOY-DBUYI-0128) 华南农业大学期末考试试卷(A 卷 ) 2016~2017学年第2 学期 考试科目:高等数学A Ⅱ 考试类型:(闭卷)考试 考试时间: 120 分钟 学号 姓名 年级专业 一、填空题(本大题共5小题,每小题3分,共15分) 1.二元函数2ln(21)z y x =-+的定义域为 。 2. 设向量(2,1,2)a =,(4,1,10)b =-,c b a λ=-,且a c ⊥,则λ= 。 3.经过(4,0,2)-和(5,1,7)且平行于x 轴的平面方程为 。 4.设yz u x =,则du = 。 5.级数11 (1)n p n n ∞ =-∑,当p 满足 条件时级数条件收敛。 二、单项选择题(本大题共5小题,每小题3分,共15分) 1.微分方程2()'xy x y y +=的通解是 ( ) A .2x y Ce = B .22x y Ce = C .22y y e Cx = D .2y e Cxy = 2 .求极限(,)(0,0)lim x y →= ( ) A .14 B .12- C .14- D .12 3.直线:3 27 x y z L = =-和平面:32780x y z π-+-=的位置关系是 ( ) A .直线L 平行于平面π B .直线L 在平面π上 C .直线L 垂直于平面π D .直线L 与平面π斜交 4.D 是闭区域2222{(,)|}x y a x y b ≤+≤ ,则D σ= ( ) A .33()2 b a π- B .332()3 b a π- C .334()3 b a π - D . 3 33()2 b a π- 5.下列级数收敛的是 ( ) A .11(1)(4)n n n ∞ =++∑ B .2111n n n ∞=++∑ C .1 1 21n n ∞ =-∑ D .n ∞ = 三、计算题(本大题共7小题,每小题7分,共49分) 1. 求微分方程'x y y e +=满足初始条件0x =,2y =的特 解。 2. 计算二重积分22 D x y dxdy x y ++?? ,其中22 {(,):1,1}D x y x y x y =+≤+≥。 同济大学2009-2010学年第一学期高等数学B(上)期终试卷 一. 填空题(4'416'?=) 1. 设函数()f x 具有二阶导数, 且1'0, 'dx y dy y ≠=, 则223 " 'd x y dy y =- . 2. 设函数()f u 为可导函数, 且'(0)0f ≠, 由参数方程3(sin 2)(1) t x f t y f e π =-?? =-?所确定的函数的 导数 32 t dy dx ==. 3. 极限111lim( )ln 2 12 n n n n n →∞ +++ =+++. 4. 微分方程22"5'6sin x y y y xe x -++=+的特解形式为(不需确定系数) 2()cos2sin 2x x Ax B e C x D x E -++++. 二. 选择题(4'416'?=) 5. 设函数sin ()bx x f x a e =+在(,)-∞+∞内连续, 且lim ()0x f x →-∞=, 则常数,a b 满足: [D ]. ()0,0A a b <>; ()0,0B a b ><; ()0,0C a b ≤>; ()0,0D a b ≥< 6. 曲线 1 ln(1)x y e x -= ++, [D ] ()A 没有水平渐近线但有铅直渐近线; ()B 没有铅直渐近线但有水平渐近线; ()C 没有水平和铅直渐近线; ()D 有水平和铅直渐近线 7. 将0x + →时的无穷小量2 sin ,,(1)x x t tdt tdt e dt αβγ= ==-? ?排列起来, 使 得后面的是前一个的高阶无穷小, 则正确的排列顺序是: [C ] (),,A αβγ; (),,B αγβ; (),,C βαγ; 河北科技大学 高等数学(下)考试试题3 一、 填空题(每题4分,共16分) 1.(4分) 级数1n n u ∞ =∑收敛的必要条件是 . 2. (4分) 交换二次积分的次序100(,)y dy f x y dx ??= . 3. (4分) 微分方程2442x y y y xe '''-+=的一个特解形式可以设为 . 4. (4分) 在极坐标系下的面积元素d σ= . 二、 选择题(每题4分,共16分) 1. (4分) 已知曲面22 4z x y =--上点P 处的切平面平行于平面 2210x y z ++-=,则点P 的坐标是 ( ). A. (1,-1,2); B. (-1,1,2); C. (1,1,2); D. (-1,-1,2). 2. (4分) 级数1 312 1(1) n n n ∞ -=-∑为( ). A.绝对收敛; B. 条件收敛; C.发散; D. 收敛性不确定. 3. (4分) 若∑是锥面222 x y z +=被平面0z =与1z =所截下的部分,则曲面积分2 2 ()x y dS ∑ +=??( ). A. 1200d r rdr πθ???; B. 21 2 00d r rdr πθ???; C. 1200 d r rdr π θ??; D. 21200 d r rdr π θ??. 4. (4分) 幂级数1(1)n n n n ∞ -=-∑的收敛半径为( ). A. 2;R = B.1;2R = C.3;R = D.1 .3 R = 三、 解答题(每题7分,共63分) 1.(7分) 设sin(),xy z x y e =++求dz . 2. (7分) 计算三重积分,I xdxdydz Ω =???其中Ω为三个坐标面及平面 21x y z ++=所围成的闭区域. 3. (7分) 求(1)I y z dS ∑ =++??,其中∑是平面5y z +=被圆柱面 2225x y +=截出的有限部分. 4. (7分) 求幂级数1 (1)(1)n n n x n ∞ =--∑的收敛域. 5. (7分) 将2 1 ()2f x x x = --展开为麦克劳林级数. 6. (7分) 求曲线积分(sin )(cos 1)x x L I e y y dx e y dy =-+-?,其中L 为 22x y ax +=上从(,0)A a 到(0,0)O 的上半圆周. 7. (7分) 求微分方程24y xy x '+=在初始条件03x y ==下的特解. 8. (7分) 求曲面积分(1)(22)(33)I x dydz y dzdx z dxdy ∑ =+++++?? , 其中∑为曲面222 4x y z ++=的内侧. 9.(7分) 计算曲线积分()L I x y ds =+?,其中L 是以(0,0)O ,(1,0),(0,1) A B 为顶点的三角形折线. 四、(5分) 试确定参数t 的值,使得在不含直线0y =上点的区域上,曲线积分 222222 ()()t t C x x y x x y I dx dy y y ++=-?与路径无关,其中C 是该区域上一条光滑曲线,并求出当C 从(1,1)A 到(0,2)B 时I 的值. 高等数学(下册)试卷(一) 一、填空题(每小题3分,共计24分) 1、 z =)0()(log 2 2>+a y x a 的定义域为D= 。 2、二重积分 ?? ≤++1 ||||22)ln(y x dxdy y x 的符号为 。 3、由曲线x y ln =及直线1+=+e y x ,1=y 所围图形的面积用二重积分表示 为 ,其值为 。 4、设曲线L 的参数方程表示为),() () (βαψ?≤≤?? ?==x t y t x 则弧长元素=ds 。 5、设曲面∑为92 2 =+y x 介于0=z 及3=z 间的部分的外侧,则 =++?? ∑ ds y x )122 ( 。 6、微分方程x y x y dx dy tan +=的通解为 。 7、方程04) 4(=-y y 的通解为 。 8、级数 ∑∞ =+1) 1(1 n n n 的和为 。 二、选择题(每小题2分,共计16分) 1、二元函数),(y x f z =在),(00y x 处可微的充分条件是( ) (A )),(y x f 在),(00y x 处连续; (B )),(y x f x ',),(y x f y '在),(00y x 的某邻域内存在; (C ) y y x f x y x f z y x ?'-?'-?),(),(0000当0)()(2 2→?+?y x 时,是无穷小; (D )0) ()(),(),(lim 2 2 00000 =?+??'-?'-?→?→?y x y y x f x y x f z y x y x 。 2、设),()(x y xf y x yf u +=其中f 具有二阶连续导数,则2222y u y x u x ??+??等于( ) (A )y x +; (B )x ; (C)y ; (D)0 。 3、设Ω:,0,12 2 2 ≥≤++z z y x 则三重积分???Ω = zdV I 等于( ) (A )4 ? ??20 20 1 3cos sin π π ???θdr r d d ; 同济大学2009-2010学年第一学期高等数学B(上)期终试卷 一. 填空题(4'416'?=) 1. 设函数()f x 具有二阶导数, 且1'0, 'dx y dy y ≠=, 则223 " 'd x y dy y =- . 2. 设函数()f u 为可导函数, 且'(0)0f ≠, 由参数方程3(sin 2)(1) t x f t y f e π =-?? =-?所确定的函数的 导数 32 t dy dx ==. 3. 极限111lim( )ln 212n n n n n →∞ +++=+++L . 4. 微分方程22"5'6sin x y y y xe x -++=+的特解形式为(不需确定系数) 2()cos2sin 2x x Ax B e C x D x E -++++. 二. 选择题(4'416'?=) 5. 设函数sin ()bx x f x a e = +在(,)-∞+∞内连续, 且lim ()0x f x →-∞=, 则常数,a b 满足: [D ]. ()0,0A a b <>; ()0,0B a b ><; ()0,0C a b ≤>; ()0,0D a b ≥< 6. 曲线1 ln(1)x y e x -= ++, [D ] ()A 没有水平渐近线但有铅直渐近线; ()B 没有铅直渐近线但有水平渐近线; ()C 没有水平和铅直渐近线; ()D 有水平和铅直渐近线 7. 将0x + → 时的无穷小量2 sin ,,(1)x x t tdt tdt e dt αβγ= ==-? ?排列起来, 使 得后面的是前一个的高阶无穷小, 则正确的排列顺序是: [C ] (),,A αβγ; (),,B αγβ; (),,C βαγ; (),,D γβα 8. 设函数()f x 在点0x =的某个邻域内有定义, 且20 () (0)0,lim 2x f x f x →==-, 则在该点处 ()f x : [C ] ()A 不可导; ()B 可导且'(0)0f ≠; ()C 取得极大值; ()D 取得极小值. 高等数学A(下册)期末考试试题 一、填空题:(本题共5小题,每小题4分,满分20分,把答案直接填在题中横线上) 1、已知向量a 、b 满足0a b +=,2a =,2b =,则a b ?= . 2、设ln()z x xy =,则32 z x y ?=?? . 3、曲面2 2 9x y z ++=在点(1,2,4)处的切平面方程为 . 4、设()f x 是周期为2π的周期函数,它在[,)ππ-上的表达式为()f x x =,则()f x 的傅里叶级数 在3x =处收敛于 ,在x π=处收敛于 . 5、设L 为连接(1,0)与(0,1)两点的直线段,则 ()L x y ds +=? . ※以下各题在答题纸上作答,答题时必须写出详细的解答过程,并在每张答题纸写上:姓名、学号、班级. 二、解下列各题:(本题共5小题,每小题7分,满分35分) 1、求曲线222 222 239 3x y z z x y ?++=??=+??在点0M (1,1,2)-处的切线及法平面方程. 2、求由曲面2222z x y =+及22 6z x y =--所围成的立体体积. 3、判定级数 1 1 (1)ln n n n n ∞ =+-∑是否收敛?如果是收敛的,是绝对收敛还是条件收敛? 4、设(,)sin x z f xy y y =+,其中f 具有二阶连续偏导数,求2, z z x x y ?????. 5、计算曲面积分 ,dS z ∑ ??其中∑是球面2222x y z a ++=被平面(0)z h h a =<<截出的顶部. 三、(本题满分9分) 抛物面22z x y =+被平面1x y z ++=截成一椭圆,求这椭圆上的点到原点的距离 的最大值与最小值. (本题满分10分) 计算曲线积分 (sin )(cos )x x L e y m dx e y mx dy -+-? , 其中m 为常数,L 为由点(,0)A a 至原点(0,0)O 的上半圆周2 2 (0)x y ax a +=>. 四、(本题满分10分) 求幂级数1 3n n n x n ∞ =?∑的收敛域及和函数. 《高等数学A 》(下)期末试卷A 答案及评分标准 一、选择题(本大题分5小题,每题3分,共15分) 1、交换二次积分 ? ? x e dy y x f dx ln 0 1 ),(的积分次序为 ( c ) (A ) ? ? x e dx y x f dy ln 0 1 ),( (B ) ?? 1 ),(dx y x f dy e e y (C ) ? ? e e y dx y x f dy ),(10 (D ) ?? e x dx y x f dy 1 ln 0 ),( 2、锥面22y x z +=在柱面x y x 22 2≤+内的那部分面 积为 (D ) (A ) ? ? - θπ π ρρθcos 20 22 d d (B ) ? ? - θπ π ρ ρθcos 20 222 d d (C ) ? ? - θπ π ρρθcos 20 2 22 2d d (D ) ? ? - θπ π ρρθcos 20 22 2d d 3、若级数∑∞ =-1 )2(n n n x a 在2-=x 处收敛,则级数 ∑∞ =--1 1 )2(n n n x na 在5=x (B ) (A ) 条件收敛 (B ) 绝对收敛 (C ) 发散(D ) 收敛性不确定 4、下列级数中收敛的级数为 ( A ) (A ) ∑∞ =-1 )13(n n n n (B ) ∑∞ =+1 21n n n (C ) ∑∞ =+1 11 sin n n (D ) ∑∞ =1 3!n n n 5、若函数 )()2()(2 222x axy y i xy y x z f -+++-=在复平面上处处解析,则实常数a 的值 为 ( c ) (A ) 0 (B ) 1 (C ) 2 (D ) -2 同济大学版高等数学期 末考试试卷 Company number:【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】 《高数》试卷1(上) 一.选择题(将答案代号填入括号内,每题3分,共30分). 1.下列各组函数中,是相同的函数的是( ). (A )()()2ln 2ln f x x g x x == 和 (B )()||f x x = 和 ( )g x =(C )()f x x = 和 ( )2 g x = (D )()|| x f x x = 和 ()g x =1 2.函数() 00x f x a x ≠=?? =? 在0x =处连续,则a =( ). (A )0 (B )1 4 (C )1 (D )2 3.曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为( ). (A )1y x =- (B )(1)y x =-+ (C )()()ln 11y x x =-- (D )y x = 4.设函数()||f x x =,则函数在点0x =处( ). (A )连续且可导 (B )连续且可微 (C )连续不可导 (D )不连续不可微 5.点0x =是函数4y x =的( ). (A )驻点但非极值点 (B )拐点 (C )驻点且是拐点 (D )驻点且是极值点 6.曲线1 || y x = 的渐近线情况是( ). (A )只有水平渐近线 (B )只有垂直渐近线 (C )既有水平渐近线又有垂直渐近线 (D )既无水平渐近线又无垂直渐近线 7.211 f dx x x ??' ????的结果是( ). (A )1f C x ?? -+ ??? (B )1f C x ?? --+ ??? (C )1f C x ??+ ??? (D )1f C x ?? -+ ??? 《高等数学》试卷1(下) 一.选择题(3分?10) 1.点1M ()1,3,2到点()4,7,22M 的距离=21M M ( ). A.3 B.4 C.5 D.6 2.向量j i b k j i a +=++-=2,2,则有( ). A.a ∥b B.a ⊥b C.3,π=b a D.4 ,π=b a 3.函数11 22222-++--=y x y x y 的定义域是( ). A.(){ }21,22≤+≤y x y x B.(){}21,22<+ A.x -11 B.x -22 C.x -12 D.x -21 10.微分方程0ln =-'y y y x 的通解为( ). A.x ce y = B.x e y = C.x cxe y = D.cx e y = 二.填空题(4分?5) 1.一平面过点()3,0,0A 且垂直于直线AB ,其中点()1,1,2-B ,则此平面方程为______________________. 2.函数()xy z sin =的全微分是______________________________. 3.设133 23+--=xy xy y x z ,则=???y x z 2_____________________________. 4. x +21的麦克劳林级数是___________________________. 三.计算题(5分?6) 1.设v e z u sin =,而y x v xy u +==,,求.,y z x z ???? 2.已知隐函数()y x z z ,=由方程05242222=-+-+-z x z y x 确定,求.,y z x z ???? 3.计算σd y x D ??+22sin ,其中22224:ππ≤+≤y x D . 4.求两个半径相等的直交圆柱面所围成的立体的体积(R 为半径). 四.应用题(10分?2) 1.要用铁板做一个体积为23 m 的有盖长方体水箱,问长、宽、高各取怎样的尺寸时,才能使用料最省? . 试卷1参考答案 一.选择题 CBCAD ACCBD 二.填空题 1.0622=+--z y x . 2.()()xdy ydx xy +cos . 3.1962 2--y y x . 4. ()n n n n x ∑∞=+-01 21. 高等数学上(1) 一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )( 0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f . (A )(0)2f '= (B )(0)1f '=(C )(0)0f '= (D )()f x 不可导. 2. ) 时( ,则当,设133)(11)(3→-=+-=x x x x x x βα. (A )()()x x αβ与是同阶无穷小,但不是等价无穷小; (B )()()x x αβ与是等价无穷小; (C )()x α是比()x β高阶的无穷小; (D )()x β是比()x α高阶的无穷小. 3. 若 ()()()0 2x F x t x f t dt =-?,其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且 '>()0f x ,则( ). (A )函数()F x 必在0x =处取得极大值; (B )函数()F x 必在0x =处取得极小值; (C )函数()F x 在0x =处没有极值,但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点; (D )函数()F x 在0x =处没有极值,点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。 4. ) ( )( , )(2)( )(1 =+=?x f dt t f x x f x f 则是连续函数,且设 (A )22x (B )2 2 2x +(C )1x - (D )2x +. 二、填空题(本大题有4小题,每小题4分,共16分) 5. = +→x x x sin 2 ) 31(l i m . 6. ,)(cos 的一个原函数是已知 x f x x =? ?x x x x f d cos )(则 . 7. lim (cos cos cos )→∞-+++=2 2 221 n n n n n n π π ππ . 8. = -+? 2 12 1 2 211 arcsin - dx x x x . 三、解答题(本大题有5小题,每小题8分,共40分) 9. 设函数=()y y x 由方程 sin()1x y e xy ++=确定,求'()y x 以及'(0)y . 10. .d )1(17 7 x x x x ?+-求 11. . 求,, 设?--?????≤<-≤=1 32 )(1020 )(dx x f x x x x xe x f x 《高等数学(二)》期末复习题 一、选择题 1、若向量b 与向量)2,1,2(-=a 平行,且满足18-=?b a ,则=b ( ) (A ) )4,2,4(-- (B )(24,4)--, (C ) (4,2,4)- (D )(4,4,2)--. 2、在空间直角坐标系中,方程组2201x y z z ?+-=?=? 代表的图形为 ( ) (A )直线 (B) 抛物线 (C ) 圆 (D)圆柱面 3、设22 ()D I x y dxdy =+?? ,其中区域D 由222x y a +=所围成,则I =( ) (A) 2240 a d a rdr a π θπ=? ? (B) 2240 2a d a adr a π θπ=? ? (C) 2230 02 3 a d r dr a π θπ=? ? (D) 2240 01 2 a d r rdr a π θπ=? ? 4、 设的弧段为:2 3 0,1≤ ≤=y x L ,则=? L ds 6 ( ) (A )9 (B) 6 (C )3 (D) 2 3 5、级数 ∑∞ =-1 1 ) 1(n n n 的敛散性为 ( ) (A ) 发散 (B) 条件收敛 (C) 绝对收敛 (D) 敛散性不确定 6、二重积分定义式∑??=→?=n i i i i D f d y x f 1 0),(lim ),(σηξσλ中的λ代表的是( ) (A )小区间的长度 (B)小区域的面积 (C)小区域的半径 (D)以上结果都不对 7、设),(y x f 为连续函数,则二次积分??-1 010 d ),(d x y y x f x 等于 ( ) (A )??-1010 d ),(d x x y x f y (B) ??-1010d ),(d y x y x f y (C) ? ?-x x y x f y 10 1 0d ),(d (D) ?? 1 010 d ),(d x y x f y 8、方程2 2 2z x y =+表示的二次曲面是 ( ) (A )抛物面 (B )柱面 (C )圆锥面 (D ) 椭球面 高等数学 一、填空 、选择题(每题3分,共30分) 1.曲面z xy =上点(1,2,2)处的法线方程为 . 2.已知D 是由直线1,1x y x y +=-=及0x =所围,则D yd σ=?? . 3.若曲线L 是2 2 1x y +=在第一象限的部分,则L xds =? . 4.设(,)ln()2y f x y x x =+ ,则(1,0)xx f = . 5.若级数 1 (2)n n u ∞ =+∑收敛,则lim n n u →∞ = . 6.函数3 2 2 (,)42f x y x x xy y =-+-,下列说法正确的是( ). (A)点(2,2)是(,)f x y 的极小值点; (B) 点(0,0)是(,)f x y 的极大值点; (C) 点(2,2)不是(,)f x y 的驻点; (D)(0,0)f 不是(,)f x y 的极值. 7.函数2 2 (,)f x y x y =+在点(1,1)处沿着那个方向的方向导数最大?( ) (A) (1,1); (B) (2,2); (C) (0,1); (D) (1,0). 8.曲线L 为沿2 24x y +=顺时针一周,则 1 2 L xdy ydx -=??( ). (A)2π- (B) 4π; (C) 4π-; (D)0. 9. 累次积分1 (,)y dy f x y dx ? 改变积分次序后等于( ). (A) 2 1 0(,)x x dx f x y dy ? ? ; (B) 21 (,)x x dx f x y dy ? ?; (C) 1 (,)x dx f x y dy ? ; (D) 21 (,)x dx f x y dy ?. 10. 下列各级数中条件收敛的是( ) (A) 1 1 (1) n n ∞ +=-∑; (B) 1 2 11 (1)n n n ∞ +=-∑; (C) 1 1 (1) 1 n n n n ∞ +=-+∑; (D) 1 1 1 (1)(1) n n n n ∞ +=-+∑; 二解答题(6*4) 1.设函数22 ln()y x z x y e =++,求(1,0) dz . 2.设sin ,,2u z e v u xy v x y ===-,求 ,z z x y ????. 《高等数学b-1》(A 卷) 1、=+→x x x 20 )31(lim . 2、当=k 时,???>+≤=0 )(2x k x x e x f x 在0=x 处连续. 3、设x x y ln +=,则 =dy dx . 4、曲线x e y x -=在点)1,0(处的切线方程是 . 5.设两辆汽车从静止开始沿直线路径前进,下图中给出的两条曲线)(1t a a =和)(2t a a =分别是两车的速度曲线.那么位于这两条曲线和直线)0(>=T T t 之间的图形的面积A 所表示的物理意义是 . 1、若函数x x x f = )(,则=→)(lim 0 x f x ( ). A 、0 B 、1- C 、1 D 、不存在 2、下列变量中,是无穷小量的为( ). A 、x 1ln (当+ →0x ) B 、x ln (当1→x ) C 、x cos (当0→x ) D 、 4 2 2 --x x (当2→x ) 3、满足关系式0)(='x f 的x 是函数)(x f y =的( ). A 、极大值点 B 、极小值点 C 、驻点 D 、间断点 4、下列函数)(x f 在[]1,1-上适合罗尔中值定理条件的是( ). A 、32)(x x f = B 、x x x f 2 )(= C 、32)(+=x x f D 、x x f sin )(= 5、下列无穷积分收敛的是( ). A 、 ? +∞0 sin xdx B 、 ? +∞0 1dx x C 、 ? +∞-0 2dx e x D 、? ∞+0 1dx x 一、填空题(每小题4分,本题共20分) 二、单项选择题(每小题4分, 本题共20分) 一.选择题(3分?10) 1.点1M ()1,3,2到点()4,7,22M 的距离=21M M ( ). A.3 B.4 C.5 D.6 2.向量j i b k j i a ρρρ ρρ??+=++-=2,2,则有( ). A.a ρ∥b ρ B.a ρ⊥b ρ C.3,π=b a ρρ D.4 ,π=b a ρρ 3.函数1 122 2 22-++ --= y x y x y 的定义域是( ). A.(){ }21,22≤+≤y x y x B.( ){} 21,22<+ 10.微分方程0ln =-'y y y x 的通解为( ). A.x ce y = B.x e y = C.x cxe y = D.cx e y = 二.填空题(4分?5) 1.一平面过点()3,0,0A 且垂直于直线AB ,其中点()1,1,2-B ,则此平面方程为______________________. 2.函数()xy z sin =的全微分是______________________________. 3.设133 2 3 +--=xy xy y x z ,则 =???y x z 2_____________________________. 4. x +21 的麦克劳林级数是___________________________. 5.微分方程044=+'+''y y y 的通解为_________________________________. 三.计算题(5分?6) 1.设v e z u sin =,而y x v xy u +==,,求 .,y z x z ???? 2.已知隐函数()y x z z ,=由方程052422 2 2 =-+-+-z x z y x 确定,求 .,y z x z ???? 3.计算 σd y x D ?? +2 2sin ,其中22224:ππ≤+≤y x D . 4.如图,求两个半径相等的直交圆柱面所围成的立体的体积(R 为半径). 5.求微分方程x e y y 23=-'在00 ==x y 条件下的特解. 四.应用题(10分?2) 《高等数学》试题30 考试日期:2004年7月14日 星期三 考试时间:120 分钟 一.选择题 1. 当0→x 时,)1ln(x y +=与下列那个函数不是等价的 ( ) A)、x y = B)、x y sin = C)、x y cos 1-= D)、1-=x e y 2. 函数f(x)在点x 0极限存在是函数在该点连续的( ) A )、必要条件 B )、充分条件 C )、充要条件 D )、无关条件 3. 下列各组函数中,)(x f 和)(x g 不是同一函数的原函数的有( ). A)、()()() 222 1 ,21)(x x x x e e x g e e x f ---=-= B) 、(( )) ()ln ,ln f x x g x x ==- C)、()()x x g x x f --=-=1arcsin 23,12arcsin )( D)、()2 tan ,sec csc )(x x g x x x f =+= 4. 下列各式正确的是( ) A )、2ln 2x x x dx C =+? B )、sin cos tdt t C =-+? C )、 2arctan 1dx dx x x =+? D )、2 11 ()dx C x x -=-+? 5. 下列等式不正确的是( ). A )、 ()()x f dx x f dx d b a =??????? B )、()()()[]()x b x b f dt x f dx d x b a '=??????? C )、()()x f dx x f dx d x a =??????? D )、()()x F dt t F dx d x a '=???? ??'? 6. 0 ln(1)lim x x t dt x →+=?( ) A )、0 B )、1 C )、2 D )、4 7. 设bx x f sin )(=,则=''?dx x f x )(( ) A )、 C bx bx b x +-sin cos B ) 、C bx bx b x +-cos cos C )、C bx bx bx +-sin cos D )、C bx b bx bx +-cos sin 大一上学期高数期末考试 一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1.. (A)(B)(C)(D)不可导. 2.. (A)是同阶无穷小,但不是等价无穷小;(B)是等价无穷小; (C)是比高阶的无穷小;(D)是比高阶的无穷小. 3.若,其中在区间上二阶可导且,则(). (A)函数必在处取得极大值; (B)函数必在处取得极小值; (C)函数在处没有极值,但点为曲线的拐点; (D)函数在处没有极值,点也不是曲线的拐点。 4. (A)(B)(C)(D). 二、填空题(本大题有4小题,每小题4分,共16分) 5. . 6. . 7. . 8. . 三、解答题(本大题有5小题,每小题8分,共40分) 9.设函数由方程确定,求以及. 10. 11. 12.设函数连续,,且,为常数. 求并讨论在处的连续性. 13.求微分方程满足的解. 四、解答题(本大题10分) 14.已知上半平面内一曲线,过点,且曲线上任一点处切线斜率数值上等于此 曲线与轴、轴、直线所围成面积的2倍与该点纵坐标之和,求此曲线方程. 五、解答题(本大题10分) 15.过坐标原点作曲线的切线,该切线与曲线及x轴围成平面图形D. (1)求D的面积A;(2) 求D绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积 V. 六、证明题(本大题有2小题,每小题4分,共8分) 16.设函数在上连续且单调递减,证明对任意的,. 17.设函数在上连续,且,.证明:在内至少存在两个不同的点,使(提示: 设) 解答 一、单项选择题(本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1、D 2、A 3、C 4、C 二、填空题(本大题有4小题,每小题4分,共16分) 5. . 6.. 7. . 8.. 三、解答题(本大题有5小题,每小题8分,共40分) 9.解:方程两边求导 , 10.解: 11.解: 12.解:由,知。 ,在处连续。 13.解: , 四、解答题(本大题10分) 14.解:由已知且, 将此方程关于求导得 特征方程:解出特征根: 其通解为 代入初始条件,得 故所求曲线方程为: 五、解答题(本大题10分) 15.解:(1)根据题意,先设切点为,切线方程: 由于切线过原点,解出,从而切线方程为: 则平面图形面积 (2)三角形绕直线x = e一周所得圆锥体体积记为V1,则 曲线与x轴及直线x = e所围成的图形绕直线x = e一周所得旋转体体积为V2 D绕直线x = e旋转一周所得旋转体的体积 六、证明题(本大题有2小题,每小题4分,共12分) 16.证明: 故有: 证毕。 第二学期期末考试试卷 一、 填空题(每空 3 分,共 15 分) 1. 已知向量()1,1,4r a =-,()3,4,0r b =,则以r a ,r b 为边的平行四边形的面积等于. 2. 曲面sin cos z x y =在点1,,442ππ?? ??? 处 的切平面方程是. 3. 交换积分次序()22 0,x dx f x y dy = ??. 4. 对于级数11 n n a ∞ =∑(a >0),当a 满足条件 时收敛. 5. 函数1 2y x =-展开成x 的幂级数为 . 二、 单项选择题 (每小题3分,共15分) 1. 平面20x z -=的位置是 ( ) (A )通过y 轴 (B )通过x 轴 (C )垂直于y 轴 (D )平行于xoz 平面 2. 函数(),z f x y =在点()00,x y 处具有偏导数 ()00,x f x y ',()00,y f x y ',是函数在该点可微分的 ( ) (A )充要条件 (B )充分但非必要条件 (C )必要但非充分条件 (D )既非充分又非必要条件 3. 设()cos sin x z e y x y =+,则10 x y dz ===( ) (A )e (B )()e dx dy + (C )1()e dx dy -+ (D )()x e dx dy + 4. 若级数()11n n n a x ∞ =-∑在1x =-处收敛, 则此级数在2x =处( ) (A )敛散性不确定 (B )发散 (C )条件收敛 (D )绝对收敛 5. 微分方程y xy x '-=的通解是( ) (A )212 1x y e =- (B )212 1x y e -=- (C )212 x y Ce -= (D )212 1x y Ce =- 三、(本题满分8分) 设平面通过点()3,1,2-,而且通过直线43521 x y z -+==, 求该平面方程. 四、(本题满分8分) 设(),z f xy x y =+,其中(),f u v 具有二阶连续偏导数, 试求z x ??和2z x y ???. 五、(本题满分8分) 计算三重积分y zdxdydz Ω =???, 其中 (){},,01,11,12x y z x y z ≤≤-≤≤≤≤. 六、(本题满分8分) 计算对弧长的曲线积分L ?, 高等数学下册试题 一、选择题(每题4分,共20分) 1. 已知A (1,0,2), B (1,2,1)是空间两点,向量 AB 的模是:( A ) A )5 B ) 3 C ) 6 D )9 解 ={1-1,2-0,1-2}={0,2,-1}, |AB |= 5)1(20222=-++. 2. 设a ={1,-1,3}, b ={2,-1,2},求c =3a -2b 是:( B ) A ){-1,1,5}. B ) {-1,-1,5}. C ) {1,-1,5}. D ){-1,-1,6}. 解 (1) c =3a -2b =3{1,-1,3}-2{2,-1,2}={3-4,-3+2,9-4}={-1,-1,5}. 3. 设a ={1,-1,3}, b ={2, 1, -2},求用标准基i , j , k 表示向量c=a-b ; ( A ) A )-i -2j +5k B )-i -j +3k C )-i -j +5k D )-2i -j +5k 解c ={-1,-2,5}=-i -2j +5k . 4. 求两平面032=--+z y x 和052=+++z y x 的夹角是:(C ) A )2π B )4π C )3 π D )π 解 由公式(6-21)有 2 1112)1(211)1(1221cos 2222222 121= ++?-++?-+?+?= ??= n n n n α, 因此,所求夹角 32 1 arccos π α= =. 5. 求平行于z 轴,且过点)1,0,1(1M 和)1,1,2(2-M 的平面方程.是:(D ) A )2x+3y=5=0 B )x-y+1=0 C )x+y+1=0 D )01=-+y x . 解 由于平面平行于z 轴,因此可设这平面的方程为 0=++D By Ax 因为平面过1M 、2M 两点,所以有 ?? ?=+-=+020D B A D A 解得D B D A -=-=,,以此代入所设方程并约去)0(≠D D ,便得到所求的 平面方程 01=-+y x 6.微分方程()043 ='-'+''y y y x y xy 的阶数是( D )。高数 下 期末考试试卷及答案
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