知识讲解_双曲线及其标准方程_基础
双曲线及其标准方程 编稿：张林娟 责编：孙永钊
【学习目标】 1．知识与技能：
从具体情境中抽象出双曲线的模型；掌握双曲线的定义、标准方程及几何图形；能正确推导双曲线的标准方程．
2．过程与方法：
学生亲自动手尝试画图、发现双曲线的形成过程进而归纳出双曲线的定义、图像和标准方程．
3．情感态度与价值观：
了解双曲线的实际背景，感受双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用，进一步感受数形结合的基本思想在解析几何中的作用． 【要点梳理】
要点一：双曲线的定义
把平面内到两定点1F 、2F 的距离之差的绝对值等于常数（大于零且小于12F F ）的点的集合叫作双曲线． 定点1F 、2F 叫双曲线的焦点，两个焦点之间的距离叫作双曲线的焦距． 要点诠释：
1． 双曲线的定义中，常数应当满足的约束条件：常数=1212PF PF F F -<，这可以借助于三角形中边的相关性质“两边之差小于第三边”来理解；
2． 若常数分别满足以下约束条件，则动点的轨迹各不相同：
若 常数=1212PF PF F F -<（常数0>），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点2F 的一支； 若 常数=2112PF PF F F -<（常数0>），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点1F 的一支． 若 常数=1212PF PF F F -=，则动点轨迹是以F 1、F 2为端点的两条射线（包括端点）； 若 常数=1212PF PF F F ->，则动点轨迹不存在；
若 常数=12=0PF PF -，则动点轨迹为线段F 1F 2的垂直平分线．
要点二：双曲线的标准方程 1． 双曲线的标准方程
2． 标准方程的推导
如何建立双曲线的方程根据求曲线方程的一般步骤，可分为4步：建系、设点、列式、化简． （1）建系
取过焦点F 1、F 2的直线为x 轴，线段F 1F 2的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系．
（2）设点
设M (x ，y )为双曲线上任意一点，双曲线的焦距是2c (c ＞0)，那么F 1、F 2的坐标分别是(-c ，0)、(c ，0)． （3）列式
设点M 与F 1、F 2的距离的差的绝对值等于常数2a ．
由定义可知，双曲线就是集合：P ={M ||M F 1|-|M F 2||=2a }={M |M F 1|-|M F 2|=±2a }． ∵222212||(),||(),MF x c y MF x c y ++-+ ∴
2222()()2x c y x c y a ++-+=±
(4)化简
将这个方程移项，得
2222()()2x c y x c y a ++=-+
两边平方得：
2222222()44()()x c y a a x c y x c y ++=±-+-+
化简得：
222()cx a a x c y -=±-+
两边再平方，整理得：
()()
22222222c a x a y a c a --=- ①
（以上推导完全可以仿照椭圆方程的推导） 由于方程①形式较复杂，继续化简．
由双曲线定义，22c a ＞ 即c a ＞，所以220c a -＞
． 令222(0)c a b b -=＞
，
代入上式得：222222b x a y a b -=， 两边同除以22a b ，得：
即22
221x y a b
-=(0,0)a b >>，其中222c a b =+． 这就是焦点在x 轴的双曲线的标准方程．
要点诠释：若在第（1）步中以“过焦点F 1、F 2的直线为y 轴，线段F 1F 2的垂直平分线为x 轴建立平面直
角坐标系”，就可以得到焦点在y 轴的双曲线方程：22
221y x a b
-=(0,0)a b >>，其中222c a b =+．
3． 两种不同双曲线的相同点与不同点
定义
平面内到两定点1F 、2F 的距离之差的绝对值等于常数（大于零
且小于12F F ）的点的集合
不 同 点
图形
标准方程 22
22
1x y a b -=(0,0)a b >> 22
22
1y x a b -=(0,0)a b >> 焦点坐标
()10F c ， ，()20F c ，
()10F c ， ，()20F c ，
相 同 点 a 、b 、c 的关系
222c a b =+
焦点位置的判断
哪项为正，项的未知数就是焦点所在的轴
要点诠释：
1．当且仅当双曲线的对称中心在坐标原点，对称轴是坐标轴，双曲线的方程才是标准方程形式． 此时，双曲线的焦点在坐标轴上．
2．双曲线标准方程中，a 、b 、c 三个量的大小与坐标系无关，是由双曲线本身所确定的，分别表示双曲线的实半轴长、虚半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：c ＞a ，c ＞b ，且c 2=b 2+a 2．
3．双曲线的焦点总在实轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看x 2、y 2的系数，如果x 2
项的系数是正的，那么焦点在x 轴上；如果y 2项的系数是正的，那么焦点在y 轴上．
4．对于双曲线，a 不一定大于b ，因此不能像椭圆那样通过比较分母的大小来判定焦点在哪一条坐标轴上．
要点三：椭圆、双曲线的区别和联系 1． 椭圆、双曲线的标准方程对照表：
椭圆
双曲线
图象
定义 根据|MF 1|+|MF 2|=2a 根据||MF 1|－|MF 2||=2a a 、b 、c 关系
a 2－c 2=
b 2（a 最大） （a ＞
c ＞0，b ＞0）
c 2－a 2=b 2（c 最大） （0＜a ＜c ，b ＞0）
标准方程
22
221x y a b +=，
（焦点在x 轴） 22
22
1y x a b +=，
（焦点在y 轴） 其中a ＞b ＞0
22
221x y a b -=，
（焦点在x 轴） 22
22
1y x a b -=，
（焦点在y 轴） 其中a ＞0，b ＞0，a 不一定大于b ）
标准方程的 统一形式 221x y m n
+= （当0,0,m n m n >>≠时，表示椭圆；当0mn <时，表示双曲线）
2． 方程Ax 2+By 2=C （A 、B 、C 均不为零）表示双曲线的条件
方程
Ax 2+By 2=C
可化为22
1Ax By C C
+=，即221x y C C A B
+
=， 所以只有A 、B 异号，方程表示双曲线． 当0,0C C
A B ><时，双曲线的焦点在x 轴上； 当0,0C C
A B
<>时，双曲线的焦点在y 轴上．
要点四：求双曲线的标准方程
①待定系数法：由题目条件确定焦点的位置，从而确定方程的类型，设出标准方程，再由条件确定方程中的参数a 、b 、c 的值． 其主要步骤是“先定型，再定量”；
②定义法：由题目条件判断出动点的轨迹是什么图形，然后再根据定义确定方程．
要点诠释：若定义中“差的绝对值”中的绝对值去掉，点的集合成为双曲线的一支，先确定方程类型，再确定参数a 、b ，即先定型，再定量． 若两种类型都有可能，则需分类讨论．
【典型例题】
类型一：双曲线的定义
例1．已知点F 1(－4，0)和F 2(4，0)，曲线上的动点P 到F 1、F 2距离之差为6，则曲线方程为( )
A ．22
197x y += B ．22
197x y -=＝1(y >0) C ． 22197x y -=或22
179x y -= D ． 22
197
x y -= (x >0) 【答案】 D 【解析】 由双曲线的定义知，点P 的轨迹是以F 1、F 2为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，其方程为：
22197
x y -=(x >0) 【总结升华】对于双曲线的定义必须抓住两点：一是平面内到两个定点的距离之差的绝对值是一个常数，二是这个常数要小于12||F F ，若不满足这些条件，则其轨迹不是双曲线，而是双曲线的一支或射线或轨迹不存在．
举一反三：
【变式1】已知定点F 1(－2，0)、F 2(2，0)，平面内满足下列条件的动点P 的轨迹为双曲线的是（ ） A ．|PF 1|－|PF 2|=±3 B ．|PF 1|－|PF 2|=±4 C ．|PF 1|－|PF 2|=±5 D ．|PF 1|2－|PF 2|2=±4 【答案】A
【变式2】已知点F 1(0，－13)、F 2(0，13)，动点P 到F 1与F 2的距离之差的绝对值为26，则动点P 的轨迹方程为（ ）
A ．y =0
B ．y =0（x ≤－13或x ≥13）
C ．x =0（|y |≥13）
D ．以上都不对
【答案】C
【变式3】动圆与圆x 2＋y 2＝1和x 2＋y 2－8x ＋12＝0都相外切，则动圆圆心的轨迹为( ) A ．双曲线的一支 B ．圆
C ．抛物线
D ．双曲线 【答案】A
例2． 已知P 是双曲线
22
16436
x y -=上一点，12,F F 双曲线的两个焦点，且1||17,PF =求2||PF 值 【解析】利用双曲线的定义求解．
【答案】在双曲线
22
1164
x y -=中，8,6,a b ==故10c =．
由P 是双曲线上一点，得12||||||16PF PF -=． ∴2||1,PF =或2||33,PF = 又2||2,PF c a ≥-=得2||33,PF =
【总结升华】本题容易忽略2||2,PF c a ≥-=这一条件，而得出错误的结论2||1,PF =或2||33PF = 举一反三：
【变式1】双曲线
22
1916
x y -=的两个焦点为12,F F ，点P 在双曲线上，若12PF PF ⊥，求1 2 PF F ?的面积S ．
【答案】16
【解析】
22
1916
x y -=中，a 2=9，b 2=16，c 2=9+16=25，所以a =3，b =4，c =5． 设11PF r =，22PF r =，由题意可知，
1122
12-6100.
r r r r ?=??+=??，
所以()2
221112111--=322
r r r r r r ??=
+??， 因为1 2 PF F ?是直角三角形，所以111
==162
S r r ．
【变式2】过双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的左焦点1F 与左支相交的弦AB 的长为m ，另一焦点2F ，
求2ABF ?的周长．
【解析】∵2121||||2,||||2AF AF a BF BF a -=-=，且11||||AF BF m +=，
∴2211||||2||2||4AF BF a AF a BF a m +=+++=+ ∴2ABF ?的周长为：22||||||42AF BF AB a m ++=+．
【变式3】已知点P (x ，y )2222(1)(1)(3)(3)4x y x y -+-+++=，则动点P 的轨迹是（ ）
A ．椭圆
B ．双曲线中的一支
C ．两条射线
D ．以上都不对 【答案】B
类型二：双曲线的标准方程
例3．判断下列方程是否表示双曲线，若是，求出 a ，b ，c ．
22(1)142x y -=； 22(2)4936y x -=； 22(3)638x y -=； 2
2
2
2
(4)(5)(5)8x y x y ++--+=； 22(5)134
x y +=； 22(6)1515x y +=-．
【思路点拨】先看方程能否等价转化为双曲线的标准形式，若不能，则不能表示双曲线；反之，找出相应的a 2，b 2，再利用c 2= a 2+b 2得到c 的值． 【解析】（1）能．
该双曲线焦点在x 轴上，2a =4，2b =2，222=c a b +=6，所以a =2，b =2，c =6． （2）能．
双曲线可化为：22
194
x y -=，它的焦点在x 轴上，2a =9，2b =4，222=c a b +=13． 所以a =3，b =2，c =13．
（3）能．
双曲线可化为：2214833
x y -=，它的焦点在x 轴上，2a =43，2b =83，222=c a b +=4，所以a =263，b =4
33，
c =2．
（4）能． 该方程表示到定点（-5，0）和（5，0）的距离为8，由于8<10，所以表示双曲线，其中a =4，c =5，则222=b c a =9，所以b =3．．
（6）不能表示双曲线，这是椭圆的方程． （7）不能表示双曲线，该曲线不存在．
【总结升华】化双曲线22Ax By C +=为标准方程的步骤为： （1）常数化为1：
两边同除以C ，将双曲线化为 22
1Ax By C C
+=；
（2）分子上22x y ，的系数化为1：
利用1b a b a
?=，将双曲线化为
221x y C C
A B +=； （3）注意符号：
若双曲线的焦点在x 轴，则将双曲线化为
22
1x y C C
A B = ； 若双曲线的焦点在y 轴，则将双曲线化为
22
1y x C C
B A
= ． 举一反三：
【变式1】双曲线方程为x 2－2y 2＝1，则它的右焦点坐标为( )
A ．
，0) B ．
，0) C ．
，0) D ．
0)
【答案】C
【解析】将双曲线方程化为标准方程为2
2
=112y x －，
∴a 2＝1，b 2＝1
2
，∴c =
故右焦点的坐标为
0)．
【变式2】若双曲线8kx 2－ky 2＝8的一个焦距为6，则k ＝______．
【答案】1± 【解析】
当k >0时，双曲线的标准方程为22118x y k k =
，此时221
83a b c k k ==
==，，，解得k =1； 当k <0时，双曲线的标准方程为
22181x y k k
=
，此时22813a b c k k ====，， ，解得k ＝－1．
所以k 的值为1±．
例4．已知双曲线的两个焦点F 1、F 2之间的距离为26，双曲线上一点到两焦点的距离之差的绝对值为24，求双曲线的标准方程．
【解析】由题意得2a =24，2c =26．
∴a =12，c =13，b 2=132－122=25．
当双曲线的焦点在x 轴上时，双曲线的方程为
22
114425x y -=； 当双曲线的焦点在y 轴上时，双曲线的方程为
22
114425
y x -=． 【总结升华】求双曲线的标准方程就是求a 2、b 2的值，同时还要确定焦点所在的坐标轴．双曲线所在的坐标轴，不像椭圆那样看x 2、y 2的分母的大小，而是看x 2、y 2的系数的正负．
举一反三：
【高清课堂：双曲线的方程 357256 例1】 【变式1】求适合下列条件的双曲线的标准方程：
（1）已知两焦点12(5,0),(5,0)F F -，双曲线上的点与两焦点的距离之差的绝对值等于8． （2）双曲线的一个焦点坐标为(0,6)-，经过点(5,6)A -．
【答案】（1）221169x y -=；（2）22
11620
y x -=． 【变式2】求与双曲线
22
1164x y -=
有公共焦点，且过点2)的双曲线的标准方程． 【答案】
22
1128
x y -= 【解析】
解法一：依题意设双曲线方程为22
a x －22b
y =1
由已知得22220a b c +==，
又双曲线过点2)，
∴
2224
a b
-=
∴222222
220
124
81a b a b a b ?+=?=?????=-=???? 故所求双曲线的方程为
22
1128
x y -=． 解法二：依题意设双曲线方程为
22
1164x y k k
-=
-+， 将点2)代入
22
1164x y k k -=-+，解得4k =， 所以双曲线方程为
22
1128
x y -=． 类型三：双曲线与椭圆
例5．讨论22
1259x y k k
+=--表示何种圆锥曲线，它们有何共同特征．
【思路点拨】 观察题目所给方程是关于x ，y 的二次形式，故只可能表示椭圆或双曲线．对于22
1x y m n
+=：
当0,0,.m n m n >??
>??≠?
时，方程表示椭圆；当0mn <时，方程表示双曲线． 【解析】(1)当k <9时，25－k >0，9－k >0，所给方程表示椭圆，
由于25－k >9－k ，c 2＝a 2－b 2＝16，所以这些椭圆的焦点都在x 轴上，且焦点坐标都为（-4，0）和（4，0）．
(2)当9
所给方程表示双曲线，其标准方程为22
1259
x y k k -=--．
此时，a 2＝25－k ，b 2＝k －9，c 2＝a 2＋b 2＝16，这些双曲线也有共同的焦点(－4，0)，(4，0)． (3)当k >25时，所给方程没有轨迹．
【总结升华】椭圆和双曲线都是二次曲线系，注意它们各自定义在方程中的区别，它们a ，b ，c 的关系区别．
举一反三：
【变式1】设双曲线方程与椭圆
22
12736
x y +=有共同焦点，且与椭圆相交，在第一象限的交点为A ，且A 的纵坐标为4，求双曲线的方程．
【答案】
22
145
y x -= 【变式2】若双曲线
221x y m n -=(M >0，n>0)和椭圆22
1x y a b
+=(a >b >0)有相同的焦点F 1，F 2，M 为两曲线的交点，则|MF 1|·|MF 2|等于________．
【答案】 a －M
【解析】由双曲线及椭圆定义分别可得
|MF 1|－|MF 2|＝± ①
|MF 1|＋|MF 2|＝ ②
②2－①2得，4|MF 1|·|MF 2|＝4a －4M ， ∴|MF 1|·|MF 2|＝a －M ． 类型四：双曲线方程的综合应用
【高清课堂：双曲线的方程 357256例2】
例7． 已知A ，B 两地相距2000 M ，在A 地听到炮弹爆炸声比在B 地晚4 s ，且已知当时的声速是330 M /s ，求炮弹爆炸点所在的曲线方程．
【解析】由题知爆炸点P 应满足||||330413202000PA PB -=?=<， 又||||,PA PB >所以点P 在以AB 为焦点的双曲线的靠近于B 点的那一支上． 以直线AB 为x 轴，线段AB 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系，
21320,22000a c ==得660,1000,a c ==
∴222564400b c a =-=
∴点P 所在曲线的方程是221(0)435600564400
x y x -=>
【总结升华】应用问题，应由题干抽象出数学问题即数学模型，在解决数学问题之后，再回归到实际应用中．
举一反三：
【变式】设声速为a米/秒，在相距10a米的A，B两个观察所听到一声爆破声的时间差为6秒，且记
a 米/秒，声强与距离的平方成反比，试确定爆炸录B处的声强是A处声强的4倍，若已知声速340
点P到AB中点M的距离．
【答案】
双曲线及其标准方程
§9．6 双曲线 1．双曲线的概念 平面内动点P与两个定点F1、F2(|F1F2|＝2c>0)的距离之差的绝对值为常数2a (2a<2c)，则点P的轨迹叫____________．这两个定点叫双曲线的________，两焦点间的距离叫________． 集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a、c为常数且a>0，c>0： (1)当________时，P点的轨迹是双曲线； (2)当a＝c时，P点的轨迹是____________； (3)当________时，P点不存在． 标准方程 x2 a2 － y2 b2 ＝1 (a>0，b>0) y2 a2 － x2 b2 ＝1 (a>0，b>0) 图形 性质 范围x≥a或x≤－a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a 对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点 顶点A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a)渐近线y＝± b a x y＝± a b x 离心率e＝ c a ，e∈(1，＋∞)，其中c＝a2＋b2 实虚轴 线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线 的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的半实轴长，b叫做双曲线的 半虚轴长 a、b、c 的关系 c2＝a2＋b2 (c>a>0，c>b>0) [难点正本疑点清源] 1．双曲线中a，b，c的关系 双曲线中有一个重要的Rt△OAB(如右图)，
它的三边长分别是a 、b 、c ．易见c 2＝a 2＋b 2 ， 若记∠AOB ＝θ，则e ＝c a ＝1 cos θ ． 2．双曲线的定义用代数式表示为||MF 1|－|MF 2||＝2a ，其中2a <|F 1F 2|，这里要注意两点： (1)距离之差的绝对值． (2)2a <|F 1F 2|． 这两点与椭圆的定义有本质的不同： ①当|MF 1|－|MF 2|＝2a 时，曲线仅表示焦点F 2所对应的一支； ②当|MF 1|－|MF 2|＝－2a 时，曲线仅表示焦点F 1所对应的一支； ③当2a ＝|F 1F 2|时，轨迹是一直线上以F 1、F 2为端点向外的两条射线； ④当2a >|F 1F 2|时，动点轨迹不存在． 3．渐近线与离心率 x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)的一条渐近线的斜率为b a ＝ b 2 a 2＝c 2－a 2a 2 ＝e 2 －1．可以看出，双曲线的渐近线和离心率的实质都表示双曲线张口的大小． 1．已知点F 1(－4,0)和F 2(4,0)，一曲线上的动点P 到F 1，F 2距离之差为6，该曲线方程 是 _____________________________________________________________________． 2．双曲线mx 2 ＋y 2 ＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m ＝___________________________． 3．已知以双曲线C 的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中，有一个内角为60°，则双曲线C 的离心率为________． 4．(2011·山东)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)和椭圆x 216＋y 2 9 ＝1有相同的焦点，且 双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为________． 5．若双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1 (a >0，b >0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的 离心率为 ( ) A ． 5 B ．5 C ． 2 D ．2 题型一 双曲线的定义 例1 已知定点A (0,7)、B (0，－7)、C (12,2)，以C 为一个焦点作过A 、B 的椭圆，求另一焦点F 的轨迹方程． 探究提高 双曲线的定义理解到位是解题的关键．应注意定义中的条件“差的绝对值”，弄清所求轨迹是双曲线的两支，还是双曲线的一支．若是一支，是哪一支，以
双曲线及其标准方程详解
2．2 双曲线 2．2.1 双曲线及其标准方程 【课标要求】 1．了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程． 2．会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的应用问题． 【核心扫描】 1．用定义法、待定系数法求双曲线的标准方程．(重点) 2．与双曲线定义有关的应用问题．(难点 ) 自学导引 1．双曲线的定义 把平面内与两个定点F 1、F 2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距． 试一试：在双曲线的定义中，必须要求“常数小于|F 1F 2|”，那么“常数等于|F 1F 2|”，“常数大于|F 1F 2|”或“常数为0”时，动点的轨迹是什么？ 提示 (1)若“常数等于|F 1F 2|”时，此时动点的轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线F 1A ，F 2B (包括端点)，如图所示． (2)若“常数大于|F 1F 2|”(3)若“常数为0”，此时动点轨迹为线段F 1F 2的垂直平分线． 想一想：如何判断方程x a 2－y b 2＝1(a >0，b >0)和y a 2－x b 2＝1(a >0，b >0)所表示双曲线的焦点 的位置？ 提示 如果x 2项的系数是正的，那么焦点在x 轴上，如果y 2项的系数是正的，那么焦点在y 轴上．对于双曲线，a 不一定大于b ，因此，不能像椭圆那样比较分母的大小来判定焦点在哪一个坐标轴上． 名师点睛 1．对双曲线定义的理解 (1)把定常数记为2a ，当2a <|F 1F 2|时，其轨迹是双曲线；当2a ＝|F 1F 2|时，其轨迹是以F 1、F 2为端点的两条射线(包括端点)；当2a >|F 1F 2|时，其轨迹不存在． (2)距离的差要加绝对值，否则只为双曲线的一支．若F 1、F 2表示双曲线的左、右焦点，且点P 满足|PF 1|－|PF 2|＝2a ，则点P 在右支上；若点P 满足|PF 2|－|PF 1|＝2a ，则点P 在左支上． (3)双曲线定义的表达式是|||PF 1|－|PF 2|＝2a (0<2a <|F 1F 2|)． (4)理解双曲线的定义要紧扣“到两定点距离之差的绝对值为定值且小于两定点的距离．” 2．双曲线的标准方程 (1)只有当双曲线的两焦点F 1、F 2在坐标轴上，并且线段F 1F 2的垂直平分线也是坐标轴时得到的方程才是双曲线的标准方程． (2)标准方程中的两个参数a 和b ，确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定形条件，
双曲线及其标准方程(1)
双曲线及其标准方程(1) 福建师大附中苏诗圣 教学目标：理解双曲线的定义，明确焦点、焦距的意义；能根据定义，按求曲线方程的步骤导出双曲线的标准方程，并能熟练写出两类标准 方程；培养学生分析问题能力和抽象概括能力。学会用辩证的观 点从椭圆的定义到双曲线定义的“变化”中认识其“不变”性， 并从中发现数学曲线的简洁美和对称美，培养学生学习数学的兴 趣。 教学重点：双曲线的定义和双曲线的标准方程． (解决办法：通过一个简单实验得出双曲线，再通过设问给出 双曲线的定义；对于双曲线的标准方程通过比较加深认识．) 教学难点：双曲线的标准方程的推导 (解决办法：引导学生完成，提醒学生与椭圆标准方程的推导 类比．) 教学方法：启发式 教学过程：复习椭圆的定义及标准方程→新知探索→数学实验→双曲线→展示现实生活中的双曲线→双曲线的定义 →对定义的思考→双曲线标准方程的推导→例与练 →课堂小结→作业→研究性学习 一、复习引入： 前面我们已经学习了椭圆的有关知识，请同学们回忆一下椭圆的定义。 问题1：椭圆的定义是什么？ (板书)平面内与两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距。 二、新知探索 1、思考：把椭圆定义中的“距离的和”改为“距离的差”，那么这样 点是否存在？若存在，轨迹会什么？ 2、实物拉链演示：双曲线的形成(请同学参与协助画图) (取一条拉链，拉开它的一部分，在拉开的两边的长度相等，现将 其中的一边剪掉一段(长为2a)，两端点分别固定在黑板的两个定点 F1、F2上，把粉笔放在拉链关上，随着拉链的逐渐拉开或闭合，粉
求双曲线标准方程的技巧
求双曲线标准方程的技巧 在求双曲线标准方程时,如果能根据已知条件设出方程的合理形式，可以简化运算,优化解题过程。下面结合例题介绍求双曲线标准方程的方法。 一 双曲线的一般方程 例1 求经过点(3,P ,() Q -的双曲线标准方程。 分析 双曲线的标准方程有两种形式:22x a -2 2y b ＝１(a >０,b >０）或22y a -22x b ＝1（a ＞ 0，b >0)，可以讨论解决。也可以应用下面的方法解决。 解 设双曲线方程为2 Ax +2 By =1（AB ＜0）。因为所求双曲线经过点 ( 3,P ,() Q -，所以9281,7249 1. A B A B +=??+=?解得A ＝－175,B ＝125。故所求双曲线 方程为225y －2 75 x ＝1。 说明 求双曲线标准方程一般用待定系数法，当双曲线的焦点位置不确定时,为了避免讨论焦点的位置,一般设双曲线方程为2Ax ＋2 By ＝1(AB <０),这样可以简化运算。 二 等轴双曲线 例２ 等轴双曲线的中心在原点，焦点在x 轴上,与直线x －2y =0交于两点A 、B ， 且AB = 分析 根据等轴双曲线的特点,可以设含有一个参数的方程2 x －2 y =2 a (a >０）,求出 a 即可。 解 设等轴双曲线方程为2 x -2 y =2 a （a ＞０）。由222,20. x y a x y ?-=?-=?解得交点A 、B 的 坐标分别为 、? ? 。因为AB 3=所以a ＝3。故所求双曲线方程为2 x －2 y =9。 说明 等轴双曲线是一类特殊的双曲线,它有一些特殊的性质,比如：离心率e ,渐近线方程为y =x ±且互相垂直等等。 三 共焦点双曲线 例３ 已知过点() 2，且与双曲线216x -2 4 y ＝１有共同焦点的双曲线的标准方程。
双曲线及其标准方程练习题
课时作业(十) [学业水平层次] 一、选择题 1．方程x 22＋m －y 2 2－m ＝1表示双曲线，则m 的取值范围( ) A ．－2＜m ＜2 B ．m ＞0 C ．m ≥0 D ．|m |≥2 【解析】 ∵已知方程表示双曲线，∴(2＋m )(2－m )＞0. ∴－2＜m ＜2. 【答案】 A 2．设动点P 到A (－5,0)的距离与它到B (5,0)距离的差等于6，则P 点的轨迹方程是( ) A.x 29－y 2 16＝1 B.y 29－x 2 16＝1 C.x 29－y 2 16＝1(x ≤－3) D.x 29－y 2 16＝1(x ≥3) 【解析】 由题意知，轨迹应为以A (－5,0)，B (5,0)为焦点的双曲线的右支．由c ＝5，a ＝3，知b 2＝16， ∴P 点的轨迹方程为x 29－y 2 16＝1(x ≥3)． 【答案】 D 3．(2014·福州高级中学期末考试)已知双曲线的中心在原点，两个焦点F 1，F 2分别为(5，0)和(－5，0)，点P 在双曲线上，且PF 1⊥PF 2，△PF 1F 2的面积为1，则双曲线的方程为( )
A.x 22－y 2 3＝1 B.x 23－y 2 2＝1 C.x 24－y 2 ＝1 D ．x 2 －y 2 4＝1 【解析】 由? ?? |PF 1|· |PF 2|＝2，|PF 1|2＋|PF 2|2 ＝(25)2 ， ?(|PF 1|－|PF 2|)2＝16， 即2a ＝4，解得a ＝2，又c ＝5，所以b ＝1，故选C. 【答案】 C 4．已知椭圆方程x 24＋y 2 3＝1，双曲线的焦点是椭圆的顶点，顶点是椭圆的焦点，则双曲线的离心率为( ) A.2 B. 3 C ．2 D ．3 【解析】 椭圆的焦点为(1,0)，顶点为(2,0)，即双曲线中a ＝1，c ＝2，所以双曲线的离心率为e ＝c a ＝2 1＝2. 【答案】 C 二、填空题 5．设点P 是双曲线x 29－y 2 16＝1上任意一点，F 1，F 2分别是其左、右焦点，若|PF 1|＝10，则|PF 2|＝________. 【解析】 由双曲线的标准方程得a ＝3，b ＝4. 于是c ＝ a 2＋ b 2＝5. (1)若点P 在双曲线的左支上，
双曲线及其标准方程练习题一
《双曲线及其标准方程》练习题一 1．设动点P 到A (－5,0)的距离与它到B (5,0)距离的差等于6，则P 点的轨迹方 程是( ) －y 216＝1 －x 216＝1 C.x 29－y 216＝1(x ≤－3) －y 2 16＝1(x ≥3) 2．“ab<0”是“方程c by ax =+22表示双曲线”的（ ） A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件 3．双曲线的两焦点坐标是F 1(3,0)，F 2(－3,0)，2b ＝4，则双曲线的标准方程是( ) －y 24＝1 －x 24＝1 C.x 23－y 22＝1 －y 2 16＝1 4．方程x ＝3y 2－1所表示的曲线是( ) A ．双曲线 B ．椭圆 C ．双曲线的一部分 D ．椭圆的一部分 5．双曲线x 216－y 2 9＝1上一点P 到点(5,0)的距离为15，那么该点到点(－5,0)的距 离为( ) A ．7 B ．23 C ．5或25 D ．7或23 6．圆P 过点 ，且与圆 外切，则动圆圆心P 的轨迹方程（ ）． A ． ； B ． C ． D ． 7．椭圆x 24＋y 2a 2＝1与双曲线x 2a －y 2 2＝1有相同的焦点，则a 的值是( ) B ．1或－2 C ．1或12 D ．1 8. 已知ab<0，方程y= —2x+b 和bx 2+ay 2=ab 表示的曲线只可能是图中的（ ） 9．双曲线m y x =-222的一个焦点是)3,0(，则m 的值是_______。 10．过双曲线)0,0(122 22>>=-b a b y a x 的焦点且垂直于x 轴的弦的长度为_____。
双曲线及其标准方程(一)
双曲线及其标准方程（一） 教学目的： 1．使学生掌握双曲线的定义，熟记双曲线的标准方程，并能初步应用； 2．通过对双曲线标准方程的推导，提升学生求动点轨迹方程的水平； 3．使学生初步会按特定条件求双曲线的标准方程； 4．使学生理解双曲线与椭圆的联系与区别以及特殊情况下的几何图形（射线、线段等）； 5．培养学生发散思维的水平 教学重点：双曲线的定义、标准方程及其简单应用 教学难点： 教 具：多媒体 教学过程： 一、复习引入： 1 椭圆定义： 平面内与两个定点21,F F 的距离之和等于常数（大于||21F F ）的点的轨迹叫作椭圆，这两个定点叫做椭 圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距 2.椭圆标准方程： （1）2222=+b y a x （2）2222=+b x a y 其中22b c a +=二、讲解新课： 1．双曲线的定义：平面内到两定点21,F F 的距离的差的绝对值为常数（小于2 1F F ）的动点的轨迹叫双曲线 即 a MF MF 221=- 这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做焦距 概念中几个容易忽略的地方：“平面内”、“距离的差的绝对值”、“常数小于2 1F F ” 2．双曲线的标准方程： 根据双曲线的定义推导双曲线的标准方程：推导标准方程的过程就是求曲线方程的过程，可根据求动点轨迹方程的步骤，求出双曲线的标准方程 过程如下：（1）建系设点；（2）列式；（3）变换；（4）化简；（5）证 明 12 222=-b y a x ，此即为双曲线的标准方程 它所表示的双曲线的焦点在x 轴上，焦点是)0,(),0,(21c F c F -，其中222 b a c += 若坐标系的选择不同，可得到双曲线的不同的方程，如焦点在 y 轴上，则焦点是),0(),,0(21c F c F -，将y x ,互换，得到122 22=-b x a y ，此也是双曲线的标准方程 3．双曲线的标准方程的特点： （1）双曲线的标准方程有焦点在x 轴上和焦点y 轴上两种： 焦点在x 轴上时双曲线的标准方程为：122 22=-b y a x (0>a ,0>b )； 焦点在y 轴上时双曲线的标准方程为：122 22=-b x a y (0>a ,0>b ) (2)c b a ,,相关系式222 b a c +=成立，且0 ,0,0>>>c b a 其中a 与b 的大小关系有三种情况。 4.焦点的位置：从椭圆的标准方程不难看出椭圆的焦点位置可由方程中含字母2 x 、2 y 项的分母的大小来确定，分母大的项对应的字母所在的轴就是焦点所在的轴而双曲线是根据项的正负来判断焦点所在的位置，即 2x 项的系数是正的，那么焦点在x 轴上；2y 项的系数是正的，那么焦点在y 轴上 5.双曲线与椭圆之间的区别与联系 三、讲解范例： 例1 已知双曲线两个焦点的坐标为)0,5()0,5(21F F -，双曲线上一点P 到)0,5()0,5(21F F ，-的距离之差的绝对值等于6，求双曲线标准方程 变题1：将条件改为双曲线上一点P 到 1F ,2F 的距离的差等于6,如何? 变题2：将条件改为双曲线上一点P 到1F ,2F 的距离的差的绝对值等于10,如何? 例2 四、课堂练习： 五、小结 ： 1、双曲线的两类标准方程是)0,0(12222>>=-b a b y a x 焦点在x 轴上，)0,0(122 22>>=-b a b x a y 焦点 在 y 轴上 c b a ,,相关系式222b a c +=成立，且,0,0>>>c b a 其中a 与b 的大小关系：能够为 a b a b a ><=,,
双曲线及其标准方程(1)
双曲线及其标准方程 （1） 理解双曲线的定义，明确焦点、焦距的意义；能根据定义，按求 曲线方程的步骤 导出双曲线的标准方程， 并能熟练写出两类标准 方程； 培养学生分析问题能力和抽象概括能力。 学会用辩证的观 点从椭圆的定义到双曲线定义的“变化”中认识其“不变”性， 并从中发现数学曲线的简洁美和对称美， 培养学生学习数学的兴 趣。 双曲线的定义和双曲线的标准方程． （ 解决办法：通过一个简单实验得出双曲线，再通过设问给出 双曲线的定 义；对于双曲线的标准方程通过比较加深认识． 双曲线的标准方程的推导 （解决办法：引导学生完成，提醒学生与椭圆标准方程 的推导 类比． ） 教学过程：复习椭圆的定义及标准方程 7 新知探索 7 双曲线 7 展示现实生活中的双曲线 7 对定义的思考 7 双曲线标准方程的推导 7 课堂小结 7 作业 7 研究性学习 一、 复习引入： 前面我们已经学习了椭圆的有关知识， 请同学们回忆一下椭圆的定义。 问题 1：椭圆的定义是什么？ （板书）平面内与两定点 F i 、F 2的距离的和等于常数（大于|F I F 2|）的点的 轨迹叫做椭 圆． 这两个定点叫做椭圆的焦点， 两焦点间的距离叫做焦距。 二、新知探索 思考：把椭圆定义中的“距离的和”改为“距离的差”，那么这样 点是否存在？ 若存在，轨迹会什么？ 2、实物拉链演示：双曲线的形成（请同学参与协助画图） （取一条拉链，拉开它的 一部分，在拉开的两边的长度相等，现将 其中的一边剪掉一段（长为2a ），两端点分别固定在黑板的两个定点 F1、F2上，把粉笔放在拉链关上，随着拉链的逐渐拉开或闭合，粉 教学方法： 启发式 福建师大附中 苏诗圣 教学目标： 教学重点： 教学难点： 数学实验 7 双曲线的定义 7 例与练 1、
2.3.1 双曲线及其标准方程
§ 2.3双曲线 2.3.1 双曲线及其标准方程 课时目标 1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程.2.掌握双曲线的标准方程.3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的应用问题． 1．双曲线的有关概念 (1)双曲线的定义 平面内与两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数(小于________)的点的轨迹叫做双曲线． 平面内与两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于|F 1F 2|时的点的轨迹为________________________________________________________________________． 平面内与两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值大于|F 1F 2|时的点的轨迹__________． (2)双曲线的焦点和焦距 双曲线定义中的两个定点F 1、F 2叫做__________________，两焦点间的距离叫做__________________． 2．双曲线的标准方程 (1)焦点在x 轴上的双曲线的标准方程是______________________，焦点F 1__________，F 2__________. (2)焦点在y 轴上的双曲线的标准方程是________________，焦点F 1__________，F 2__________. (3)双曲线中a 、b 、c 的关系是________________． 一、选择题 1．已知平面上定点F 1、F 2及动点M ，命题甲：||MF 1|－|MF 2||＝2a(a 为常数)，命题乙：M 点轨迹是以F 1、F 2为焦点的双曲线，则甲是乙的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 2．若ax 2＋by 2＝b(ab<0)，则这个曲线是( ) A ．双曲线，焦点在x 轴上 B ．双曲线，焦点在y 轴上 C ．椭圆，焦点在x 轴上 D ．椭圆，焦点在y 轴上 3．焦点分别为(－2,0)，(2,0)且经过点(2,3)的双曲线的标准方程为( ) A ．x 2－y 23＝1 B .x 23－y 2＝1 C ．y 2－x 23＝1 D .x 22－y 22＝1 4．双曲线x 2m －y 23＋m ＝1的一个焦点为(2,0)，则m 的值为( ) A .12 B ．1或3 C .1＋22 D .2－12 5．一动圆与两圆：x 2＋y 2＝1和x 2＋y 2－8x ＋12＝0都外切，则动圆圆心的轨迹为( ) A ．抛物线 B ．圆
双曲线的标准方程
双曲线定义、标准方程 一. 教学内容： 双曲线定义、标准方程 （一）双曲线的定义 1. （1）图示：取一拉链，在拉开两边上各选一点，分别固定在F1、F2上，|F1F2|＝2c，即|PF1|－|PF2|＝2a，得到的图形，我们称为双曲线一支（加绝对值两支） 3. 定义：平面内与两定点F1、F2的距离之差的绝对值等于常数c小于|F1F2|的点的轨迹叫双曲线。 （1）焦点：F1、F2，焦距：|F1F2| （2）定义重点： ①绝对值 ②小于|F1F2| 若去掉①则为一支；去掉②，2a＝2c射线，2a＞2c无曲线，2a＝0是F1F2的中垂线。 （二）双曲线的标准方程 （1）推导：①建系；②写出集合；③坐标化；④化简 图象特征： ［注意］ 1. 位于标准位置，才能有标准方程； 3. 判断双曲线焦点的位置由函数的正负决定（不比大小），若x2的函数为正，则焦点在x轴上，反之则在y轴上。 4. 记住a、b、c的关系： 一般地：第二定义：平面内与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数 线叫做双曲线的准线，这个常数e叫做离心率。 理解： ①第二定义的隐含条件：定点在直线外，否则轨迹是除去交点的两条相交直线。 ③双曲线的离心率的定义是：双曲线上一点到焦点的距离与到相应准线的距离的比。（几何意义） 2. 焦半径及焦半径公式 定义：双曲线上一点到焦点的距离叫做双曲线上这点的焦半径。 （4）等轴双曲线： 渐近线：（定义：若曲线上的点到某一直线的距离为d，当点趋向于无穷远时，d能趋近于0，则这条直线称为该曲线的渐近线） 【典型例题】 例1. 一炮弹在某处爆炸，在F1（－5000，0）处听到爆炸声的时间比在F2（5000，0） 么样的曲线上，并求爆炸点所在的曲线方程。 解：6000（米），因此爆炸点在以F1、F2为焦点的双曲线上。
双曲线及其标准方程练习题答案及详解
双曲线及其标准方程练习题 高二一部数学组 刘苏文 2017年5月2日 一、选择题 1．平面内到两定点E 、F 的距离之差的绝对值等于|EF |的点的轨迹是( ) A ．双曲线 B ．一条直线 C ．一条线段 D ．两条射线 2．已知方程x 21＋k －y 2 1－k ＝1表示双曲线，则k 的取值范围是( ) A ．－1
双曲线及其标准方程解答
2. 2 双曲线 2. 2.1 双曲线及其标准方程 【课标要求】 1. 了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程. 2 ?会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的应用问题. 【核心扫描】 1?用定义法、待定系数法求双曲线的标准方程. (重点) 2 ?与双曲线定义有关的应用问题. (难点) 01二课前探翌学 挑醪盘落实 自学导引 1.双曲线的定义 把平面内与两个定点 F 1、F 2的距离的差的绝对值等于常数 (小于IF 1F 2I)的点的轨迹叫做 双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距. 试一试：在双曲线的定义中，必须要求 “常数小于IF 1F 2I”，那么“常数等于IF 1F 2I” , “常数大于IF 1F 2I”或“常数为0”时，动点的轨迹是什么？ 提示 (1) 若“常数等于IF 1F 2I”时，此时动点的轨迹是以 F 1， F 2为端点的两条射线 F 1A ，F 2B(包括端点)，如图所示. ~A~~P__B~ 想一想:如何判断方程 予—泊=1(a>0，b>0)和* —詁=1(a>0，b>0)所表示双曲线的焦点 的位置？ 提示 如果x 2 项的系数是正的，那么焦点在 x 轴上，如果y 2 项的系数是正的，那么焦点 在y 轴上.对于双曲线，a 不一定大于b ，因此，不能像椭圆那样比较分母的大小来判定焦点 在哪一个坐标轴上. 名师点睛 1.对双曲线定义的理解 (1) 把定常数记为 2a ，当2a<|F 1F 2|时，其轨迹是双曲线；当 2a = IF 1F 2I 时，其轨迹是以 F 1、F 2为端点的两条射线(包括端点)；当2a>|F 1F 2|时，其轨迹不存在. (2) 距离的差要加绝对值，否则只为双曲线的一支.若 F 1、F 2表示双曲线的左、右焦 点，且点P 满足|PF 1|— |PF 2|= 2a ，则点P 在右支上；若点P 满足|PF 2|—|PF 1|= 2a ，则点P 在 左支上. (3) 双曲线定义的表达式是 ||PF 1|— |PF 2|| = 2a(0<2a<|F 1F 2|). (4) 理解双曲线的定义要紧扣“到两定点距离之差的绝对值为定值且小于两定点的距 离.” (2)若“常数大于IF 1F 2I”，此时动点轨迹不存在. ⑶若“常数为0”，此时动点轨迹为线段 F 1F 2的垂直平分线. 2.双曲线的标准方程
双曲线标准方程的推导
双曲线标准方程的推导 把平面内与两个定点1F ，2F 的距离的差的绝对值等于常数（小于 12F F ）的点的轨迹叫做双曲线．其中这两个定点叫做双曲线的焦点， 两定点间的距离叫做双曲线的焦距．即当动点设为M 时，双曲线即为点集 P ={}122M MF MF a -= 分析：当│M F 1│>│M F 2│时，│M F 1│-│M F 2│=2a (M 在双曲线右支上) 当│M F 1│<│M F 2│时，│M F 1│-│M F 2│= -2a (M 在双曲线左支上) 设动点M 的坐标为（x,y ） 双曲线标准方程的推导： 当│M F 1│-│M F 2│=2a 时，有： (x +c )2+y 2- (x ?c )2+y 2=2a (移项) ? (x +c )2+y 2=2a+ (x ?c )2+y 2（两边平方）
?(x+c)2+y2=4a2+4a(x?c)2+y2+(x?c)2+y2(展开) ?x2+2cx+c2+y2=4a2+4a(x?c)2+y2+x2-2cx+c2+y2(移项) ?x2?x2+2cx+2cx +c2?c2+y2-y2=4a2+4a(x?c)2+y2（合并同类项） ?4cx=4a2+4a(x?c)2+y2（两边除以4） ?cx=a2+a(x?c)2+y2（移项） ?cx-a2=a(x?c)2+y2（两边平方） ?c2x2-2a2cx+a4=a2[(x?c)2+y2](展开) ?c2x2-2a2cx+a4=a2[x2-2 cx+c2+y2](展开) ?c2x2-2a2cx+a4=a2x2-2a2 cx+a2c2+a2y2（移项） ?-2a2cx+2a2cx+c2x2-a2x2-a2y2=a2c2-a4（合并同类项） ?c2x2-a2x2-a2y2=a2c2-a4（按x,y顺序提取公因式） ?（c2-a2)x2-a2y2=a2(c2-a2)（c2=a2+b2，等量代替） ?b2x2-a2y2=a2b2（两边除以a2b2） ?x 2 a2-y 2 b2 =1(a>0,b>0)
双曲线及其标准方程习题
双曲线及其标准方程习 题 LG GROUP system office room 【LGA16H-LGYY-LGUA8Q8-LGA162】
[学业水平训练] 1．动点P到点M(1,0)及点N(3,0)的距离之差为2，则点P的轨迹是( ) A．双曲线B．双曲线的一支 C．两条射线D．一条射线 解析：选D.依题意|PM|－|PN|＝2＝|MN|， 所以点P的轨迹不是双曲线，而是一条射线． 2．若方程x2 10－k ＋ y2 5－k ＝1表示双曲线，则k的取值范围是( ) A．(5,10) B．(－∞，5) C．(10，＋∞) D．(－∞，5)∪(10，＋∞)解析：选A.由题意得(10－k)(5－k)<0，解得5 双曲线及其标准方程（第一课时） 教学目标： 1．掌握双曲线的定义，能说出其焦点、焦距的意义； 2．能根据定义，按照求曲线方程的步骤推导出双曲线的标准方程，熟练掌握两类标 准方程； 3．能解决较简单的求双曲线标准方程的问题； 4．培养学生观察、分析、归纳和逻辑推理能力。 教学重点：双曲线的定义和标准方程。 教学难点：双曲线标准方程的推导过程。 教学过程： 一、创设情景，引入新课： 师：我们先来思考这样一个问题：（打开几何画板）已知定点)0,1(1-F 和)0,1(2F ，定圆1C 的圆心为1F ，且半径为r ，动圆2C 过定点2F ，且与定圆相切。 （1）若4=r ，试求动圆圆心的轨迹；（2）若1=r ，试求动圆圆心的轨迹。 （教师结合几何画板演示分析）： 师：当4=r 时，我们得到的轨迹是什么？ 生：是椭圆。 是：为什么？ 生：因为当4=r 时动圆2C 内切于定圆1C ，所以两个圆的圆心距1MF 满足 214MF MF -=，移项后可以得到：421=+MF MF 满足椭圆的定义，所以得到的轨迹是一个 以1F 、2F 为定点，4为定长的椭圆。 师：很好。那么，当1=r 呢，此时动圆2C 与定圆1C 相切有几种情况？ 生：有两种情况：内切和外切。 师：我们先来考察两圆外切时的情况（演示），我们得到的轨迹满足什么条件？ 生（同时教师板书）：由于两圆外切，所以两个圆的圆心距1MF 满足 211MF MF +=，移项后可以得到：121=-MF MF 。(教师演示轨迹) 师：我们再来考察两圆内切时的情况（演示），我们得到的轨迹又满足什么条件？ 生（同时教师板书）：由于两圆内切，所以两个圆的圆心距1MF 满足 121-=MF MF ，移项后可以得到：121-=-MF MF 。(教师演示轨迹) 师（同时演示两种情况下的轨迹）：我们可以得到与定圆相切且过定点的动圆的圆心满足 121±=-MF MF 即121=-MF MF ，圆心的轨迹我们称之为双曲线。 二、新课讲解： 1、定义给出 师：今天我们来学习双曲线。同学们能否结合刚才的问题给双曲线下个一般定义？ 生：双曲线是到平面上两个定点1F 、2F 的距离的差的绝对值等于常数的点的轨迹。这两个定点叫 做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做双曲线的焦距。 师：由椭圆的定义，一般情况下，我们设该常数为2a 。那么什么情况下表示的是双曲线的右支，什么情况下表示的是双曲线的左支？ 生：当a MF MF 221=-时，表示的是双曲线的右支，当a MF MF 221-=-时，表示的是双曲线的左支。 2、定义探究 （教师引导学生分情况讨论）： 师：这个常数2a 有没有限制条件？ 生：有。这个常数2a 要比焦距21F F 小。 双曲线标准方程的推导Prepared on 21 November 2021 双曲线标准方程的推导 把平面内与两个定点1F ，2F 的距离的差的绝对值等于常数（小于12F F ）的点的轨迹叫做双曲线．其中这两个定点叫做双曲线的焦 点，两定点间的距离叫做双曲线的焦距．即当动点设为M 时，双曲线即为点集P ={}122M MF MF a -= 分析：当│M F 1│>│M F 2│时，│M F 1│-│M F 2│=2a (M 在双曲线右支上) 当│M F 1│<│M F 2│时，│M F 1│-│M F 2│= -2a (M 在双曲线左支上) 设动点M 的坐标为（x,y ） 双曲线标准方程的推导： 当│M F 1│-│M F 2│=2a 时，有： √(x +c)2+y 2-√(x ?c)2+y 2=2a (移项) √(x +c)2+y 2=2a+√(x ?c)2+y 2 （两边平方） (x +c)2+y 2=4a 2+4a √(x ?c)2+y 2+(x ?c)2+y 2 (展开) x 2+2cx+c 2+y 2=4a 2+4a √(x ?c)2+y 2+x 2-2cx+c 2+y 2(移项) x 2?x 2+2cx+2cx +c 2?c 2+y 2-y 2=4a 2+4a √(x ?c)2+y 2（合并同类项） 4cx=4a 2+4a √(x ?c)2+y 2（两边除以4） cx=a 2+a √(x ?c)2+y 2（移项） cx-a 2=a√(x ?c)2+y 2（两边平方） c 2x 2-2a 2cx +a 4=a 2[(x ?c)2+y 2](展开) 课 题：8．3双曲线及其标准方程（一） 教学目的： 1．使学生掌握双曲线的定义，熟记双曲线的标准方程，并能初步应用； 2．通过对双曲线标准方程的推导，提高学生求动点轨迹方程的能力； 3．使学生初步会按特定条件求双曲线的标准方程； 4．使学生理解双曲线与椭圆的联系与区别以及特殊情况下的几何图形（射线、线段等）； 5．培养学生发散思维的能力 教学重点：双曲线的定义、标准方程及其简单应用 教学难点：双曲线标准方程的推导及待定系数法解二元二次方程组 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教 具：多媒体、实物投影仪 内容分析： “双曲线及其标准方程”是在讲完了“圆的方程”、“椭圆及其标准方程”之后，学习又一类圆锥曲线知识，也是中学解析几何中学习的重要的内容之一，它在社会生产、日常生活和科学技术止有着广泛的应用，大纲明确要求学生必须熟练掌握 本节教材仍是继续训练学生用坐标法解决方程与曲线有关问题的重要内容，对它的教学将帮助学生进一步熟悉和掌握求曲线方程的一般方法 双曲线的定义和标准方程是本节的基本知识，所以必须掌握 而掌握好双 应用双曲线的有关知识解决数学问题和实际应用问题是培养学生基本技能和基本能力的必要环 坐标法是中学数学学习中必须掌握的一个重要方法，它充分体现了化归思想、数形结合思想，是用以解决实际问题的一个重要的数学工具 犹如前面学 双曲线和其方程分属于几何和代数这两个分立的体系，但是通过直角坐标系人们又将它们很好地结合在一起 因此我们要充分利用这节教材对学生进行好思想教育 双曲线的标准方程，内容可分为二个课时，第一课时内容主要是双曲线的定义和标准方程以及课本中的例1；第二课时主要是课本中的例2、例3及几个变式例题 教学过程： 一、复习引入： 1 椭圆定义： 平面内与两个定点21,F F 的距离之和等于常数（大于||21F F ）的点的轨迹叫作椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距 在同样的绳长下，两定点间距离较长，则所画出的椭圆较扁（ 线段）两定 双曲线及其标准方程练习题答案及详解 Document serial number【KK89K-LLS98YT-SS8CB-SSUT-SST108】 练习题 高二一部数学组刘苏文2017年5月2日 一、选择题 1．平面内到两定点E、F的距离之差的绝对值等于|EF|的点的轨迹是() A．双曲线 B．一条直线C．一条线段D．两条射线 2．已知方程－＝1表示双曲线，则k的取值范围是( ) A．－1 《双曲线及其标准方程》 [教案] 常德市一中王第教学目标： 1.通过教学，使学生熟记双曲线的定义及其标准方程，理解双曲线的定义，体会双曲线标准方程的探索推导过程. 2. 使学生在学会知识的过程中，进一步熟练用坐标法建立曲线方程，培养学生等价转化、数形结合等数学思想，提高学生分析问题、解决问题的能力. 3. 通过对定义与方程的探索、评价，优化学生的思维品质，培养学生运动变化、辨证统一的思想. 教学重点与难点 双曲线的定义和标准方程及其探索推导过程是本课的重点. 定义中“差的绝对值”、a与c的大小关系的理解与标准方程的建立是难点. 教学方法：实验发现法、电化教学法、启导法、类比教学法 教学用具：CAI课件、演示教具 课时安排：一课时 教学过程： 一、课题导入 师：椭圆的定义是什么? (学生口述椭圆的定义，教师利用CAI课件把椭圆的定义和图象放出来.) 师：椭圆定义是由轨迹的问题引出来的，我们把满足几何条件｜PF1｜+｜PF2｜=2a(常数)（2a>｜F1F2｜）的动点P的轨迹叫椭圆.下面，我们来做这样一个实验： （同学分组实验：利用拉链演示双曲线的生成过程，导入课题） 师：通过这个实验，我们发现笔尖画出了这样两条特殊的曲线，这是一类什么曲线呢？这就是我们今天要研究的“双曲线及其标准方程”（板书课题） 二、定义探究 师：我们知道满足几何条件｜PF1｜+｜PF2｜=2a(常数)的动点P的轨迹是椭圆，那双曲线应该是点P满足什么几何条件的轨迹呢？ （引导学生从刚才的演示实验中寻找答案： ｜PF 1｜-｜PF 2｜=2a 或｜PF 2｜-｜PF 1｜=2a ） 师：是不是有以上规律呢？为了更直观的体现我们刚才的实验过程，下面我们来验证一下. (播放双曲线flash 生成动画，验证几何条件) 师：实验证明当点P 满足以上几何条件时，我们得到的轨迹确实是双曲线，如果 ｜PF 1｜＞｜PF 2｜,则得到曲线的右支，如果｜PF 2｜＞｜PF 1｜则得到曲线的左支， 能否用一个等式将两几何条件统一起来呢？ （引导学生思考，此时只需在｜PF 1｜-｜PF 2｜=2a 左边加上绝对值） 师：作为此时差的绝对值2a 与｜F 1F 2｜大小关系怎样？ （结合图象，学生分析：应该有2a 〈｜F 1F 2｜） （在上述讨论的基础上引导学生类比椭圆定义概括出双曲线的定义，教师板书） 三、方程推导 师：平面解析几何的基本思想是利用代数的方法来研究几何问题，借助于曲线的方程来揭示曲线的性质.下面我们来探究双曲线的方程.首先请回忆椭圆的标准方程是什么？ （学生口述教师板书椭圆的标准方程） 师：椭圆的标准方程我们是借助于椭圆的定义用坐标法建立起来的，在此我们完全可以仿效求椭圆标准方程的方法探求双曲线方程. (学生在草稿纸上试着完成，教师板书方程的推导过程) 建立直角坐标系，设双曲线上任意一点的坐标为P(x 、y),｜F 1F 2｜=2c ，并设F 1(-c,0),F 2(c,0). 由两点间距离公式，得 ｜PF 1｜=22)(y c x ++,｜PF 2｜=22)(y c x +- 由双曲线定义，得 ｜PF 1｜-｜PF 2｜=±2a 即双曲线及其标准方程教案
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