小学奥数平面几何五大定律

小学奥数平面几何五大定律

教学目标：

1． 熟练掌握五大面积模型

2. 掌握五大面积模型的各种变形 知识点拨

一、等积模型

①等底等高的两个三角形面积相等；

②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比； 如右图12::S S a b =

③夹在一组平行线之间的等积变形，如右图ACD

BCD S S =△△；

反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD ．

④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)； ⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；

⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比． 二、鸟头定理

两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形． 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．

如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点如图 ⑴(或D 在BA 的延长线上，E 在AC 上)， 则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =??△△

E

D

C

B

A

E

D

C

B A

图⑴ 图⑵

三、蝴蝶定理

任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：

①1243::S S S S =或者1324S S S S ?=?②()()1243::AO OC S S S S =++ 蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系． 梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)： ①2213::S S a b =

②221324::::::S S S S a b ab ab =； ③S 的对应份数为()2

a b +．

b

a S 2

S 1

D

C B

A

S 4

S 3

S 2

S 1O D

C

B A A B

C

D O b

a

S 3

S 2

S 1S 4

四、相似模型

(一)金字塔模型 (二) 沙漏模型

G

F E A

B

C

D

A

B C

D

E

F G

①

AD AE DE AF

AB AC BC AG

===

； ②2

2

:ADE ABC S S AF AG =△△：．

所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：

⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比； ⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方； ⑶连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．

三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半． 相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具． 在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形． 五、燕尾定理

在三角形ABC 中，AD ，BE ，CF 相交于同一点O ，那么::ABO ACO S S BD DC ??=． 上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，因为ABO ?和ACO ?的形状很象燕子的尾巴，所以这个定理被称为燕尾定理．该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用，它的特殊性在于，它可以存在于任何一个三角形之中，为三角形中的

三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径.

典型例题

【例 1】 如图，正方形ABCD 的边长为6，AE =1.5，CF =2．长方形EFGH 的面积为 ．

【解析】 连接DE ，DF ，则长方形EFGH 的面积是三角形DEF 面积的二倍．

三角形DEF 的面积等于正方形的面积减去三个三角形的面积，

66 1.562262 4.54216.5DEF S =?-?÷-?÷-?÷=△,所以长方形EFGH 面积为33．

_

H

_

G

_F

_

E

_

D

_

C

_

B

_ A _

A

_

B

_

C

_

D

_

E

_F

_ G

_

H

O F

E

D

C

B A

【巩固】如图所示，正方形ABCD 的边长为8厘米，长方形EBGF 的长BG 为10厘米，那么长方形的宽为几厘米？

【解析】 本题主要是让学生会运用等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四

边形)．三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半．

证明：连接AG ．(我们通过ABG △把这两个长方形和正方形联系在一起)． ∵在正方形ABCD 中，G 1

2

AB S AB AB =

??△边上的高， ∴1

2

ABG

ABCD

S S =△(三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半)

同理，1

2

ABG EFGB S S =

△． ∴正方形ABCD 与长方形EFGB 面积相等． 长方形的宽8810 6.4=?÷=(厘米)．

【例 2】 长方形ABCD 的面积为362cm ，E 、F 、G 为各边中点，H 为AD 边上任意一点，问阴影部分面积

是多少？

E

【解析】 解法一：寻找可利用的条件，连接BH 、HC ，如下图：

E

可得：1

2

EHB AHB S S ??=、12FHB CHB S S ??=、12DHG DHC S S ??=，而36ABCD AHB CHB CHD S S S S ???=++=

即11

()361822

EHB

BHF DHG AHB CHB CHD S S S S S S ??????++=++=?=；

而EHB BHF DHG EBF S S S S S ????++=+阴影，11111

()()36 4.522228EBF S BE BF AB BC ?=??=????=?=． 所以阴影部分的面积是：1818 4.513.5EBF

S S ?=-=-=阴影

解法二：特殊点法．找H 的特殊点，把H 点与D 点重合，

那么图形就可变成右图：

G

E (H )

_ A _ B

_ G

_ C _ E _ F

_ D

_ A _ B

_ G

_ C _ E

_ F

_ D

这样阴影部分的面积就是DEF ?的面积，根据鸟头定理，则有：

1111111

3636363613.52222222

ABCD AED BEF CFD

S S S S S ???=---=-??-???-??=阴影．

【巩固】在边长为6厘米的正方形ABCD 内任取一点P ，将正方形的一组对边二等分，另一组对边三等分，分

别与P 点连接,求阴影部分面积．

【解析】 （法1）特殊点法．由于P 是正方形内部任意一点，可采用特殊点法，假设P 点与A 点重合，则阴影部

分变为如上中图所示，图中的两个阴影三角形的面积分别占正方形面积的14和1

6

，所以阴影部分的面

积为211

6()1546

?+=平方厘米．

（法2）连接PA 、PC ．

由于PAD ?与PBC ?的面积之和等于正方形ABCD 面积的一半，所以上、下两个阴影三角形的面积之和

等于正方形ABCD 面积的14，同理可知左、右两个阴影三角形的面积之和等于正方形ABCD 面积的1

6，

所以阴影部分的面积为211

6()1546

?+=平方厘米．

【例 3】 如图所示，长方形ABCD 内的阴影部分的面积之和为70，8AB =，15AD =，四边形EFGO 的面积

为 ．

B

【解析】 利用图形中的包含关系可以先求出三角形AOE 、DOG 和四边形EFGO 的面积之和，以及三角形AOE

和DOG 的面积之和，进而求出四边形EFGO 的面积．

由于长方形ABCD 的面积为158120?=，所以三角形BOC 的面积为1

120304

?

=，所以三角形AOE 和DOG 的面积之和为3

12070204

?-=；

又三角形AOE 、DOG 和四边形EFGO 的面积之和为111203024??

?-= ???

，所以四边形EFGO 的面积为

302010-=．

另解：从整体上来看，四边形EFGO 的面积=三角形AFC 面积+三角形BFD 面积-白色部分的面积，而三角形AFC 面积+三角形BFD 面积为长方形面积的一半，即60，白色部分的面积等于长方形面积减去阴影部分的面积，即1207050-=，所以四边形的面积为605010-=．

【巩固】如图，长方形ABCD 的面积是36，E 是AD 的三等分点，2AE ED =，则阴影部分的面积为 ．

A

B

A

B

【解析】 如图，连接OE ．

根据蝴蝶定理，1

:::1:12

COE CDE CAE CDE ON ND S S S S ????==

=，所以12OEN OED S S ??=；

1

:::1:42

BOE BAE BDE BAE OM MA S S S S ????===，所以15OEM OEA S S ??=．

又11

334OED ABCD S S ?=

?=矩形，26OEA OED S S ??==，所以阴影部分面积为：1136 2.725

?+?=．

【例 4】 已知ABC 为等边三角形，面积为400，D 、E 、F 分别为三边的中点，已知甲、乙、丙面积和为143，

求阴影五边形的面积．(丙是三角形HBC

)

B

【解析】 因为D 、E 、F 分别为三边的中点，所以DE 、DF 、EF 是三角形ABC 的中位线，也就与对应的边平

行，根据面积比例模型，三角形ABN 和三角形AMC 的面积都等于三角形ABC 的一半，即为200． 根据图形的容斥关系，有ABC

ABN AMC AMHN S S S S S ???-=+-丙，

即400 200200AMHN S S -=+-丙，所以AMHN S S =丙

．

又ADF AMHN S S S S S ?+=++乙甲阴影，所以1

143400434

ADF S S S S S ?=++-=-

?=乙甲丙阴影．

【例 5】 如图，已知5CD =，7DE =，15EF =，6FG =，线段AB 将图形分成两部分，左边部分面积是38，

右边部分面积是65，那么三角形ADG 的面积是 ．

G

F

E D

C B

A

A

B

C D

E F

G

【解析】 连接AF ，BD ．

根据题意可知，571527CF =++=；715628DG =++=； 所以，15

27BE CBF F S S ??=

，1227BE CBF C S S ??=，2128

AEG ADG S S ??=，728AED ADG S S ??=，

于是：

2115

652827

ADG CBF S S ??+=；712382827ADG CBF S S ??+=； 可得40ADG S ?=．故三角形ADG 的面积是40．

【例 6】 如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点，且:2:5AD AB =，:4:7AE AC =，16ADE S =△平方厘

米，求ABC △的面积．

E

D

C

B

A

E

D

C

B

A

【解析】 连接BE ，::2:5(24):(54)ADE ABE

S S AD AB ===??△△，

::4:7(45):(75)ABE ABC S S AE AC ===??△△，所以:(24):(75)ADE ABC S S =??△△，设8ADE S =△份，则35ABC S =△份，16ADE S =△平方厘米，所以1份是2平方厘米，35份就是70平方厘米，ABC △的面积是

70平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互

补角)两夹边的乘积之比 ．

【巩固】如图，三角形ABC 中，AB 是AD 的5倍，AC 是AE 的3倍，如果三角形ADE 的面积等于1，那么三

角形ABC 的面积是多少？

E

D

C

B

A A

B C

D

E

【解析】 连接BE ．

∵3EC AE = ∴3ABC

ABE

S S =

又∵5AB AD =

∴515ADE

ABE

ABC S

S

S

=÷=÷，∴1515ABC ADE

S

S

==．

【巩固】如图，三角形ABC 被分成了甲(阴影部分)、乙两部分，4BD DC ==，3BE =，6AE =，乙部分面积

是甲部分面积的几倍？

乙

甲

E D

C

B

A

A B

C

D

E

甲

乙

【解析】 连接AD ．

∵3BE =，6AE = ∴3AB BE =，3ABD

BDE

S S

=

又∵4BD DC ==，

∴2ABC

ABD

S

S

=，∴6ABC

BDE

S

S

=，5S S =乙甲．

【例 7】 如图在ABC △中，D 在BA 的延长线上，E 在AC 上，且:5:2AB AD =，

:3:2AE EC =，12ADE S =△平方厘米，求ABC △的面积．

E

D

C

B

A

E

D

C

B A

【解析】 连接BE ，::2:5(23):(53)ADE ABE

S S AD AB ===??△△

[]::3:(32)(35):(32)5ABE ABC S S AE AC ==+=?+?△△，

所以[]:(32):5(32)6:25ADE ABC S S =??+=△△，设6ADE S =△份，则25ABC S =△份，12ADE S =△平方厘米，所以1份是2平方厘米，25份就是50平方厘米，ABC △的面积是50平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比

【例 8】 如图，平行四边形ABCD ，BE AB =，2CF CB =，3GD DC =，4HA AD =，平行四边形ABCD 的面

积是2， 求平行四边形ABCD 与四边形EFGH 的面积比．

H

G

A

B C

D E

F

H

G

A

B C

D E

F

【解析】 连接AC 、BD ．根据共角定理

∵在ABC △和BFE △中，ABC ∠与FBE ∠互补，

∴111133

ABC FBE S AB BC S BE BF ??===??△△． 又1ABC S =△，所以3FBE S =△．

同理可得8GCF S =△，15DHG S =△，8AEH S =△．

所以8815+3+236EFGH AEH CFG DHG BEF ABCD S S S S S S =++++=++=△△△△．

所以213618

ABCD EFGH S S ==．

【例 9】 如图所示的四边形的面积等于多少？

D

C

B

13

13

12

12

【解析】 题目中要求的四边形既不是正方形也不是长方形，难以运用公式直接求面积.

我们可以利用旋转的方法对图形实施变换：

把三角形OAB 绕顶点O 逆时针旋转，使长为13的两条边重合，此时三角形OAB 将旋转到三角形OCD 的位置.这样，通过旋转后所得到的新图形是一个边长为12的正方形，且这个正方形的面积就是原来四边形的面积.

因此，原来四边形的面积为1212144?=.(也可以用勾股定理)

【例 10】 如图所示，ABC ?中，90ABC ∠=?，3AB =，5BC =，以AC 为一边向ABC ?外作正方形ACDE ，

中心为O ，求OBC ?的面积．

【解析】 如图，将OAB ?沿着O 点顺时针旋转90?，到达OCF ?的位置．

由于90ABC ∠=?，90AOC ∠=?，所以180OAB OCB ∠+∠=?．而OCF OAB ∠=∠，

所以180OCF OCB ∠+∠=?，那么B 、C 、F 三点在一条直线上．

由于OB OF =，90BOF AOC ∠=∠=?，所以BOF ?是等腰直角三角形，且斜边BF 为538+=，所以它

的面积为21

8164

?=．

根据面积比例模型，OBC ?的面积为5

16108

?=．

【例 11】 如图，以正方形的边AB 为斜边在正方形内作直角三角形ABE ，90AEB ∠=?，AC 、BD 交于O ．已

知AE 、BE 的长分别为3cm 、5cm ，求三角形OBE 的面积．

D

【解析】 如图，连接DE ，以A 点为中心，将ADE ?顺时针旋转90?到ABF ?的位置．

那么90EAF EAB BAF EAB DAE ∠=∠+∠=∠+∠=?，而AEB ∠也是90?，所以四边形AFBE 是直角梯形，且3AF AE ==，

所以梯形AFBE 的面积为：

()1

353122

+??=(2cm )．

又因为ABE ?是直角三角形，根据勾股定理，222223534AB AE BE =+=+=，所以

21

172

ABD S AB ?=

=(2cm )． 那么()17125BDE ABD ABE ADE ABD AFBE S S S S S S ?????=-+=-=-=(2cm )，

所以1

2.52

OBE BDE S S ??=

=(2cm )．

【例 12】 如下图，六边形ABCDEF 中，AB ED =，AF CD =，BC EF =，且有AB 平行于ED ，AF 平行于CD ，

BC 平行于EF ，对角线FD 垂直于BD ，已知24FD =厘米，18BD =厘米，请问六边形ABCDEF 的面积是多少平方厘米？

F

E

A

B

D

C

G

F

E

A

B

D

C

【解析】 如图，我们将BCD ?平移使得CD 与AF 重合，将DEF ?平移使得ED 与AB 重合，这样EF 、BC 都重

合到图中的AG 了．这样就组成了一个长方形BGFD ，它的面积与原六边形的面积相等，显然长方形

BGFD 的面积为2418432?=平方厘米，所以六边形ABCDEF 的面积为432平方厘米．

【例 13】 如图，三角形ABC 的面积是1，E 是AC 的中点，点D 在BC 上，且:1:2BD DC =，AD 与BE 交于

点F ．则四边形DFEC 的面积等于 ．

F

E

D C

B

A

3332

1F E D

C B

A

A

B

C

D

E

F

【解析】 方法一：连接CF ，根据燕尾定理，

12ABF ACF S BD S DC ==△△，1ABF CBF S AE

S EC

==△△, 设1BDF

S =△份，则2DCF S =△份，3ABF S =△份，3AEF EFC S S ==△△份，如图所标

所以551212

DCEF ABC S S =

=△ 方法二：连接DE ，由题目条件可得到11

33

ABD ABC

S S ==△△， 11212233ADE ADC ABC S S S ==?=△△△，所以1

1ABD ADE

S BF FE S ==△△， 1111111

22323212

DEF

DEB BEC ABC S S S S =?=??=???=△△△△， 而211323CDE ABC S S =??=△△．所以则四边形DFEC 的面积等于512

． 【巩固】如图，长方形ABCD 的面积是2平方厘米，2EC DE =，F 是DG 的中点．阴影部分的面积是多少平方

厘米

?

y B C

D E

G

E D C

B

A

E

D

B A

【解析】 设1DEF

S =△份，则根据燕尾定理其他面积如图所示55

1212

BCD S S =

=△阴影平方厘米.

【例 14】 四边形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O (如图所示)．如果三角形ABD 的面积等于三角形BCD 的面

积的1

3

，且2AO =，3DO =，那么CO 的长度是DO 的长度的_________倍．

A

B C D

O

H G

A B

C D O

【解析】 在本题中，四边形ABCD 为任意四边形，对于这种”不良四边形”，无外乎两种处理方法：⑴利用已知条

件，向已有模型靠拢，从而快速解决；⑵通过画辅助线来改造不良四边形．看到题目中给出条件

:1:3ABD

BCD

S

S

=，这可以向模型一蝴蝶定理靠拢，于是得出一种解法．又观察题目中给出的已知条

件是面积的关系，转化为边的关系，可以得到第二种解法，但是第二种解法需要一个中介来改造这个”不良四边形”，于是可以作AH 垂直BD 于H ，CG 垂直BD 于G ，面积比转化为高之比．再应用结论：三角形高相同，则面积之比等于底边之比，得出结果．请老师注意比较两种解法，使学生体会到蝴蝶定理的优势，从而主观上愿意掌握并使用蝴蝶定理解决问题．

解法一：∵::1:3ABD BDC AO OC S S ??==，∴236OC =?=，∴:6:32:1OC OD ==． 解法二：作AH BD ⊥于H ，CG BD ⊥于G ． ∵13ABD

BCD S S ??=，∴13

AH CG =，∴13AOD

DOC S S ??=， ∴1

3

AO CO =，∴236OC =?=，∴:6:32:1OC OD ==．

【巩固】如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知， 求：⑴三角形BGC 的面积；⑵:AG GC =？

B

【解析】 ⑴根据蝴蝶定理，123BGC

S

?=?，那么6BGC

S

=；

⑵根据蝴蝶定理，()():12:361:3AG GC =++=．

【例 15】 如图，平行四边形ABCD 的对角线交于O 点，CEF △、OEF △、ODF △、BOE △的面积依次是2、

4、4和6．求：⑴求OCF △的面积；⑵求GCE △的面积．

O

G

F

E

D

C

B

A

【解析】 ⑴根据题意可知，BCD △的面积为244616+++=，那么BCO △和CDO ?的面积都是1628÷=，所以

OCF △的面积为844-=；

⑵由于BCO △的面积为8，BOE △的面积为6，所以OCE △的面积为862-=，

根据蝴蝶定理，::2:41:2COE COF EG FG S S ??===，所以::1:2GCE GCF S S EG FG ??==， 那么112

21233

GCE CEF S S ??=

=?=+．

【例 16】 如图，长方形ABCD 中，:2:3BE EC =，:1:2DF FC =，三角形DFG 的面积为2平方厘米，求长方

形ABCD 的面积．

A

B

C

D E

F G

A

B

C

D E

F G

【解析】 连接AE ，FE ．

因为:2:3BE EC =，:1:2DF FC =，所以3111

()53210

DEF

ABCD ABCD S S S =??=长方形长方形． 因为12AED ABCD

S

S =长方形，11::5:1210

AG GF ==，所以510A G D G D F S S ==平方厘米，所以12AFD

S

=平方厘米．因为16

AFD ABCD S S =长方形，所以长方形ABCD 的面积是72平方厘米．

【例 17】 如图，正方形ABCD 面积为3平方厘米，M 是AD 边上的中点．求图中阴影部分的面积．

C

B

A

【解析】 因为M 是AD 边上的中点，所以:1:2AM BC =，根据梯形蝴蝶定理可以知道

22:::1:12:12:21:2:2:4AMG ABG MCG BCG S S S S =??=△△△△（）（），设1AGM S =△份，则123MCD S =+=△

份，所以正方形的面积为1224312++++=份，224S =+=阴影份，所以:1:3S S =阴影正方形，所以

1S =阴影平方厘米．

【巩固】在下图的正方形ABCD 中，E 是BC 边的中点，AE 与BD 相交于F 点，三角形BEF 的面积为1平方厘

米，那么正方形ABCD 面积是 平方厘米．

A B

C

D

E

F

【解析】 连接DE ，根据题意可知:1:2BE AD =，根据蝴蝶定理得

2

129S =+=梯形（）(平方厘米)，

3ECD S =△(平方厘米)，那么12ABCD

S

=(平方厘米)．

【例 18】 已知ABCD 是平行四边形，:3:2BC CE =，三角形ODE 的面积为6平方厘米．则阴影部分的面积是

平方厘米．

B

B

【解析】 连接AC ．

由于ABCD 是平行四边形，:3:2BC CE =，所以:2:3CE AD =， 根据梯形蝴蝶定理，22:::2:23:23:34:6:6:9COE

AOC

DOE

AOD

S S

S

S

=??=，所以6AOC

S

=(平

方厘米)，

9AOD

S

=(平方厘米)，又6915A B C

A C D

S

S

==+=(平方厘米)，阴影部分面积为

61521

+=(平方厘米)．

【巩固】右图中ABCD 是梯形，ABED 是平行四边形，已知三角形面积如图所示(单位：平方厘米)，阴影部分

的面积是

平方厘米．

B

B

【分析】 连接AE ．由于AD 与BC 是平行的，所以AECD 也是梯形，那么OCD

OAE S S ??=．

根据蝴蝶定理，4936OCD OAE OCE OAD S S S S ?????=?=?=，故2

36OCD S ?=，

所以6OCD

S ?=(平方厘米)．

【巩固】右图中ABCD 是梯形，ABED 是平行四边形，已知三角形面积如图所示(单位：平方厘米)，阴影部分

的面积是 平方厘米．

B

B

【解析】 连接AE ．由于AD 与BC 是平行的，所以AECD 也是梯形，那么OCD OAE S S ??=．

根据蝴蝶定理，

2816

OCD OAE OCE OAD S S S S ?????=?=?=，故

216OCD S ?=，所以

4OCD S ?=(平方厘米)．

另解：在平行四边形ABED 中，()1

1

168122

2

ADE ABED

S S ?=

=?+=(平方厘米)， 所以1284AOE ADE AOD S S S ???=-=-=(平方厘米)， 根据蝴蝶定理，阴影部分的面积为8244?÷=(平方厘米)．

【例 19】 如图，长方形ABCD 被CE 、DF 分成四块，已知其中3块的面积分别为2、5、8平方厘米，那么余

下的四边形OFBC 的面积为___________平方厘米．

?

8

5

2O A B C D E

F

?

8

5

2O A B

C

D E

F

【解析】 连接DE 、CF ．四边形EDCF 为梯形，所以EOD FOC

S S

?=，又根据蝴蝶定理，EOD FOC EOF COD S S S S ?????=?，

所以2816EOD FOC EOF COD S S S S ?????=?=?=，所以4EOD S ?=(平方厘米)，4812ECD S ?=+=(平方厘米)．那

么长方形ABCD 的面积为12224?=平方厘米，四边形OFBC 的面积为245289---=(平方厘米)．

【例 20】 如图，ABC ?是等腰直角三角形，DEFG 是正方形，线段AB 与CD 相交于K 点．已知正方形DEFG 的

面积48，:1:3AK KB =，则BKD ?的面积是多少？

B

B

【解析】 由于DEFG 是正方形，所以DA 与BC 平行，那么四边形ADBC 是梯形．在梯形ADBC 中，BDK ?和

ACK ?的面积是相等的．而:1:3AK KB =，所以ACK ?的面积是ABC ?面积的11

134

=+，那么BDK ?的

面积也是ABC ?面积的1

4

．

由于ABC ?是等腰直角三角形，如果过A 作BC 的垂线，M 为垂足，那么M 是BC 的中点，而且

AM DE =，可见ABM ?和ACM ?的面积都等于正方形DEFG 面积的一半，所以ABC ?的面积与正方形DEFG 的面积相等，为48．

那么BDK ?的面积为1

48124

?=．

【例 21】 下图中，四边形ABCD 都是边长为1的正方形，E 、F 、G 、H 分别是AB ，BC ，CD ，DA 的中

点，如果左图中阴影部分与右图中阴影部分的面积之比是最简分数m

n

，那么，()m n +的值等

于 ．

B

E

E

【解析】 左、右两个图中的阴影部分都是不规则图形，不方便直接求面积，观察发现两个图中的空白部分面积都

比较好求，所以可以先求出空白部分的面积，再求阴影部分的面积． 如下图所示，在左图中连接EG ．设AG 与DE 的交点为M ． 左图中AEGD 为长方形，可知AMD ?的面积为长方形AEGD 面积的

1

4

，所以三角形AMD 的面积为21111248??=．又左图中四个空白三角形的面积是相等的，所以左图中阴影部分的面积为11

1482

-?=．

B

E

E

如上图所示，在右图中连接AC 、EF ．设AF 、EC 的交点为N ． 可知EF ∥AC 且2AC EF =．那么三角形BEF 的面积为三角形ABC 面积的

1

4

，所以三角形BEF 的面积为21111248??=，梯形AEFC 的面积为113

288

-=．

在梯形AEFC 中，由于:1:2EF AC =，根据梯形蝴蝶定理，其四部分的面积比为：

221:12:12:21:2:2:4??=，所以三角形EFN 的面积为311

8122424

?=

+++，那么四边形BENF 的面积为1118246+=．而右图中四个空白四边形的面积是相等的，所以右图中阴影部分的面积为111463

-?=． 那么左图中阴影部分面积与右图中阴影部分面积之比为11:3:223=，即3

2

m n =，

那么325m n +=+=．

【例 22】 如图， ABC △中，DE ，FG ，BC 互相平行，AD DF FB ==，

则::ADE

DEGF FGCB S S S =△四边形四边形 ．

E

G

F A D C

B

【解析】 设1ADE S =△份，根据面积比等于相似比的平方，

所以22::1:4ADE AFG S S AD AF ==△△，22::1:9ADE ABC S S AD AB ==△△， 因此4AFG S =△份，9ABC S =△份，

进而有3DEGF S =四边形份，5FGCB S =四边形份，所以::1:3:5ADE DEGF FGCB S S S =△四边形四边形

【巩固】如图，DE 平行BC ，且2AD =，5AB =，4AE =，求AC 的长．

A E

D C

B

【解析】 由金字塔模型得:::2:5AD AB AE AC DE BC ===，所以42510AC =÷?=

【巩固】如图， ABC △中，DE ，FG ，MN ，PQ ，BC 互相平行，

AD DF FM MP PB ====，则

::::ADE DEGF FGNM MNQP PQCB S S S S S =△四边形四边形四边形四边形

． 【解析】 设

1ADE S =△份，22::1:4ADE AFG S S AD AF ==△△，因此4AFG S =△份，进而有3DEGF S =四边形份，同理有

5FGNM S =四边形份，7MNQP S =四边形份，9PQCB S =四边形份．

所以有

::::1:3:5:7:9ADE DEGF FGNM MNQP PQCB S S S S S =△四边形四边形四边形四边形

【例 23】 如图，已知正方形ABCD 的边长为4，F 是BC 边的中点，E 是DC 边上的点，且:1:3DE EC =，AF

与BE 相交于点G ，求ABG S △

G

F

A

E

D

C B

M G

F

A

E

D

C

B

G

F

A

E

D

C

B

【解析】 方法一：连接AE ，延长AF ，DC 两条线交于点M ，构造出两个沙漏，所以有::1:1AB CM BF FC ==，

因此4CM =，根据题意有3CE =，再根据另一个沙漏有::4:7GB GE AB EM ==，所以

4

432(442)471111

A B G A B E

S S =

=??÷=+△△

． Q E G

N

M

F

P

A D C

B

方法二：连接,AE EF ，分别求4224ABF S =?÷=△，4441232247AEF S =?-?÷-?÷-=△，根据蝴蝶定理::4:7ABF AEF S S BG GE ==△△，所以4432(442)471111

ABG ABE S S =

=??÷=+△△．

【例 24】 如图所示，已知平行四边形ABCD 的面积是1，E 、F 是AB 、AD 的中点， BF 交EC 于M ，求BMG

?的面积．

M

H

G

F E D C

B

A

A

【解析】 解法一：由题意可得，E 、F 是AB 、AD 的中点，得//EF BD ，而::1:2FD BC FH HC ==，

::1:2EB CD BG GD ==所以::2:3CH CF GH EF ==，

并得G 、H 是BD 的三等分点，所以BG GH =，所以

::2:3BG EF BM MF ==，所以2

5

BM BF =，1111

222

4

BFD

ABD ABCD

S S S ??==?=

； 又因为1

3

BG BD =，所以1212113535430BMG BFD S S ??=??=??=．

解法二：延长CE 交DA 于I ，如右图，

可得，::1:1AI BC AE EB ==，从而可以确定M 的点的位置，

::2:3BM MF BC IF ==，25BM BF =，1

3BG BD =(鸟头定理)，

可得21211

1

53534

30

BMG BDF ABCD

S S S ??=?=??=

【例 25】 如图，ABCD 为正方形，1cm AM NB DE FC ====且2cm MN =，请问四边形

PQRS 的面积为多少？

C

A

C

A

【解析】 (法1)由//AB CD ，有

MP PC

MN DC

=

，所以2PC PM =，又MQ MB QC EC =，所以 12MQ QC MC ==，所以111236PQ MC MC MC =-=，所以SPQR S 占AMCF S 的1

6，

所以12

1(112)63

SPQR S =??++=2(cm )．

(法2)如图，连结AE ，则1

4482

ABE S ?=??=(2cm )，

而

RB ER AB EF =，所以2RB AB EF EF ==，2216

8333

ABR ABE S S ??==?=(2cm )．

而1134322MBQ ANS S S ??==???=(2cm )，因为MN MP

DC PC =

， 所以13MP MC =，则114

24233

MNP S ?=???=(2cm )，阴影部分面积等于

1642

33333ABR ANS MBQ MNP S S S S ????--+=--+=(2cm )．

【例 26】 如右图，三角形ABC 中，:4:9BD DC =，:4:3CE EA =，求:AF FB ．

O F E

D

C

B

A

【解析】 根据燕尾定理得::4:912:27AOB AOC S S BD CD ===△△ ::3:412:16AOB BOC S S AE CE ===△△

（都有AOB △的面积要统一，所以找最小公倍数） 所以:27:16:AOC BOC S S AF FB ==△△

【点评】本题关键是把AOB △的面积统一，这种找最小公倍数的方法，在我们用比例解题中屡见不鲜，如果能

掌握它的转化本质，我们就能达到解奥数题四两拨千斤的巨大力量！

【巩固】如右图，三角形ABC 中，:3:4BD DC =，:5:6AE CE =，求:AF FB .

O F E

D

C

B

A

【解析】 根据燕尾定理得::3:415:20AOB AOC S S BD CD ===△△ ::5:615:18AOB BOC S S AE CE ===△△

（都有AOB △的面积要统一，所以找最小公倍数） 所以:20:1810:9:AOC BOC S S AF FB ===△△

【巩固】如右图，三角形ABC 中，:2:3BD DC =，:5:4EA CE =，求:AF FB .

O F E

D

C

B

A

【解析】 根据燕尾定理得::2:310:15AOB AOC S S BD CD ===△△ ::5:410:8AOB BOC S S AE CE ===△△

（都有AOB △的面积要统一，所以找最小公倍数） 所以:15:8:AOC BOC S S AF FB ==△△

【点评】本题关键是把AOB △的面积统一，这种找最小公倍数的方法，在我们用比例解题中屡见不鲜，如果能

掌握它的转化本质，我们就能达到解奥数题四两拨千斤的巨大力量！

【例 27】 如右图，三角形ABC 中，:::3:2AF FB BD DC CE AE ===，且三角形ABC 的面积是1，则三角形ABE

的面积为______，三角形AGE 的面积为________，三角形GHI 的面积为______．

I H

G

F

E

D

C B

A

I H

G F

E

D

C

B

A

【分析】 连接AH 、BI 、CG ．

由于:3:2CE AE =，所以25AE AC =

，故22

55

ABE ABC S S ??==； 根据燕尾定理，::2:3ACG ABG S S CD BD ??==，::3:2BCG ABG S S CE EA ??==，所以

::4:6:9ACG ABG BCG S S S ???=，则419ACG S ?=，9

19

BCG S ?=；

那么2248

551995

AGE AGC S S ??==?=；

同样分析可得9

19

ACH S ?=，则::4:9

A C G A C H E G E H S S ??==，::4:19ACG AC

B EG EB S S ??==，所以::4:5:10E G GH HB =，同样分析可得::10:5:4AG GI ID =，

所以5521101055BIE BAE S S ??==?=，5511

1919519

GHI BIE S S ??==?=．

【巩固】 如右图，三角形ABC 中，:::3:2AF FB BD DC CE AE ===，且三角形GHI 的面积是1，求三角形ABC

的面积．

I

H G F

E

D

C

B

A

I

H G F

E

D

C

B

A

【解析】 连接BG ，AGC S △=6份

根据燕尾定理，::3:26:4AGC BGC S S AF FB ===△△，::3:29:6ABG AGC S S BD DC ===△△

得4BGC S =△(份)，9ABG S =△(份)，则19ABC S =△(份)，因此6

19

AGC ABC S S =△△,

同理连接AI 、CH 得619ABH ABC S S =△△,619BIC ABC S S =△△,所以196661

1919GHI ABC S S ---==

△△ 三角形GHI 的面积是1，所以三角形ABC 的面积是19

【巩固】如图，ABC ?中2BD DA =，2CE EB =，2AF FC =，那么ABC ?的面积是阴影三角形面积的 倍．

B

C

C

B

【分析】 如图，连接AI ．

根据燕尾定理，::2:1BCI ACI S S BD AD ??==，::1:2BCI ABI S S CF AF ??==，

所以，::1:2:4ACI BCI ABI S S S ???=，那么，22

1247

BCI ABC ABC S S S ???==++．

同理可知ACG ?和ABH ?的面积也都等于ABC ?面积的2

7

，所以阴影三角形的面积等于ABC ?面积的

21

1377

-?=，所以ABC ?的面积是阴影三角形面积的7倍．

【巩固】如图在ABC △中，

1

2

DC EA FB DB EC FA ===,求

GHI ABC △的面积△的面积的值． I

H

G F

E

D

C

B

A

I

H G F

E

D

C

B A

【解析】 连接BG ,设BGC S △=1份，根据燕尾定理::2:1AGC BGC S S AF FB ==△△,::2:1ABG AGC S S BD DC ==△△,得

2AGC S =△(份)，4ABG S =△(份),则7ABC S =△(份)，因此2

7

AGC ABC S S =△△,同理连接AI 、CH 得

27ABH ABC S S =△△,27BIC ABC S S =△△,所以72221

77GHI ABC S S ---==△△ 【点评】如果任意一个三角形各边被分成的比是相同的，那么在同样的位置上的图形，虽然形状千变万化，但面

积是相等的，这在这讲里面很多题目都是用“同理得到”的，即再重复一次解题思路，因此我们有对称法作辅助线.

【例 28】 如图，三角形ABC 的面积是1，BD DE EC ==，CF FG GA ==，三角形ABC 被分成9部分，请写出

这9部分的面积各是多少?

G

F

E D C

B

A

N M

Q

P

G

F E

D

C

B

A

【解析】 设BG 与AD 交于点P ，BG 与AE 交于点Q ，BF 与AD 交于点M ，BF 与AE 交于点N ．连接CP ，CQ ，

CM ，CN ．

根据燕尾定理，::1:2A B P C B P S S AG GC ==△△，::1:2ABP ACP S S BD CD ==△△，设1ABP S =△(份)，则

1225ABC S =++=△(份)，所以1

5

ABP S =△

同理可得，27ABQ S =△,12ABN S =△,而13ABG S =△，所以2137535APQ S =-=△，121

3721AQG S =-=△．

同理，335BPM S =△121BDM S =△,所以1239

273570PQMN S =--=

四边形，139********MNED S =--=四边形,1151321426NFCE S =--=四边形,1115

321642

GFNQ S =--=四边形

【巩固】如图，ABC ?的面积为1，点D 、E 是BC 边的三等分点，点F 、G 是AC 边的三等分点，那么四边形

JKIH 的面积是多少？

K J I

H

A

B

C D E

F G

K

J I

H

A

B

C

D E F

G

【解析】 连接CK 、CI 、CJ ．

根据燕尾定理，::1:2ACK ABK S S CD BD ??==，::1:2ABK CBK S S AG CG ??==，

所以::1:2:4ACK ABK CBK S S S ???=，那么111247ACK S ?==++，11

321

AGK ACK S S ??==．

类似分析可得2

15

AGI S ?=．

又::2:1ABJ CBJ S S AF CF ??==，::2:1ABJ ACJ S S BD CD ??==，可得1

4

ACJ S ?=．

那么，1117

42184

CGKJ S =-=．

根据对称性，可知四边形CEHJ 的面积也为17

84

，那么四边形JKIH 周围的图形的面积之和为

172161228415370CGKJ AGI ABE S S S ???++=?++=，所以四边形JKIH 的面积为619

17070

-=．

【例 29】 右图，ABC △中，G 是AC 的中点，D 、E 、F 是BC 边上的四等分点，AD 与BG 交于M ，AF 与

BG 交于N ，已知ABM △的面积比四边形FCGN 的面积大7.2平方厘米，则ABC △的面积是多少平方厘米？

N M G

A B

C

D E F

N

M

G

A B

C

D E

F

【解析】 连接CM 、CN ．

根据燕尾定理，::1:1ABM CBM S S AG GC ==△△，::1:3ABM ACM S S BD CD ==△△，所以1

5

ABM ABC S S =△△；