小学奥数平面几何五大定律
教学目标:
1. 熟练掌握五大面积模型
2. 掌握五大面积模型的各种变形 知识点拨
一、等积模型
①等底等高的两个三角形面积相等;
②两个三角形高相等,面积比等于它们的底之比; 两个三角形底相等,面积比等于它们的高之比; 如右图12::S S a b =
③夹在一组平行线之间的等积变形,如右图ACD
BCD S S =△△;
反之,如果ACD BCD S S =△△,则可知直线AB 平行于CD .
④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形); ⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半;
⑥两个平行四边形高相等,面积比等于它们的底之比;两个平行四边形底相等,面积比等于它们的高之比. 二、鸟头定理
两个三角形中有一个角相等或互补,这两个三角形叫做共角三角形. 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比.
如图在ABC △中,,D E 分别是,AB AC 上的点如图 ⑴(或D 在BA 的延长线上,E 在AC 上), 则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =??△△
E
D
C
B
A
E
D
C
B A
图⑴ 图⑵
三、蝴蝶定理
任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”):
①1243::S S S S =或者1324S S S S ?=?②()()1243::AO OC S S S S =++ 蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径.通过构造模型,一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系;另一方面,也可以得到与面积对应的对角线的比例关系. 梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”): ①2213::S S a b =
②221324::::::S S S S a b ab ab =; ③S 的对应份数为()2
a b +.
b
a S 2
S 1
D
C B
A
S 4
S 3
S 2
S 1O D
C
B A A B
C
D O b
a
S 3
S 2
S 1S 4
四、相似模型
(一)金字塔模型 (二) 沙漏模型
G
F E A
B
C
D
A
B C
D
E
F G
①
AD AE DE AF
AB AC BC AG
===
; ②2
2
:ADE ABC S S AF AG =△△:.
所谓的相似三角形,就是形状相同,大小不同的三角形(只要其形状不改变,不论大小怎样改变它们都相似),与相似三角形相关的常用的性质及定理如下:
⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例,并且这个比例等于它们的相似比; ⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方; ⑶连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.
三角形中位线定理:三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半. 相似三角形模型,给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具. 在小学奥数里,出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形. 五、燕尾定理
在三角形ABC 中,AD ,BE ,CF 相交于同一点O ,那么::ABO ACO S S BD DC ??=. 上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段,因为ABO ?和ACO ?的形状很象燕子的尾巴,所以这个定理被称为燕尾定理.该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用,它的特殊性在于,它可以存在于任何一个三角形之中,为三角形中的
三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径.
典型例题
【例 1】 如图,正方形ABCD 的边长为6,AE =1.5,CF =2.长方形EFGH 的面积为 .
【解析】 连接DE ,DF ,则长方形EFGH 的面积是三角形DEF 面积的二倍.
三角形DEF 的面积等于正方形的面积减去三个三角形的面积,
66 1.562262 4.54216.5DEF S =?-?÷-?÷-?÷=△,所以长方形EFGH 面积为33.
_
H
_
G
_F
_
E
_
D
_
C
_
B
_ A _
A
_
B
_
C
_
D
_
E
_F
_ G
_
H
O F
E
D
C
B A
【巩固】如图所示,正方形ABCD 的边长为8厘米,长方形EBGF 的长BG 为10厘米,那么长方形的宽为几厘米?
【解析】 本题主要是让学生会运用等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四
边形).三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半.
证明:连接AG .(我们通过ABG △把这两个长方形和正方形联系在一起). ∵在正方形ABCD 中,G 1
2
AB S AB AB =
??△边上的高, ∴1
2
ABG
ABCD
S S =△(三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半)
同理,1
2
ABG EFGB S S =
△. ∴正方形ABCD 与长方形EFGB 面积相等. 长方形的宽8810 6.4=?÷=(厘米).
【例 2】 长方形ABCD 的面积为362cm ,E 、F 、G 为各边中点,H 为AD 边上任意一点,问阴影部分面积
是多少?
E
【解析】 解法一:寻找可利用的条件,连接BH 、HC ,如下图:
E
可得:1
2
EHB AHB S S ??=、12FHB CHB S S ??=、12DHG DHC S S ??=,而36ABCD AHB CHB CHD S S S S ???=++=
即11
()361822
EHB
BHF DHG AHB CHB CHD S S S S S S ??????++=++=?=;
而EHB BHF DHG EBF S S S S S ????++=+阴影,11111
()()36 4.522228EBF S BE BF AB BC ?=??=????=?=. 所以阴影部分的面积是:1818 4.513.5EBF
S S ?=-=-=阴影
解法二:特殊点法.找H 的特殊点,把H 点与D 点重合,
那么图形就可变成右图:
G
E (H )
_ A _ B
_ G
_ C _ E _ F
_ D
_ A _ B
_ G
_ C _ E
_ F
_ D
这样阴影部分的面积就是DEF ?的面积,根据鸟头定理,则有:
1111111
3636363613.52222222
ABCD AED BEF CFD
S S S S S ???=---=-??-???-??=阴影.
【巩固】在边长为6厘米的正方形ABCD 内任取一点P ,将正方形的一组对边二等分,另一组对边三等分,分
别与P 点连接,求阴影部分面积.
【解析】 (法1)特殊点法.由于P 是正方形内部任意一点,可采用特殊点法,假设P 点与A 点重合,则阴影部
分变为如上中图所示,图中的两个阴影三角形的面积分别占正方形面积的14和1
6
,所以阴影部分的面
积为211
6()1546
?+=平方厘米.
(法2)连接PA 、PC .
由于PAD ?与PBC ?的面积之和等于正方形ABCD 面积的一半,所以上、下两个阴影三角形的面积之和
等于正方形ABCD 面积的14,同理可知左、右两个阴影三角形的面积之和等于正方形ABCD 面积的1
6,
所以阴影部分的面积为211
6()1546
?+=平方厘米.
【例 3】 如图所示,长方形ABCD 内的阴影部分的面积之和为70,8AB =,15AD =,四边形EFGO 的面积
为 .
B
【解析】 利用图形中的包含关系可以先求出三角形AOE 、DOG 和四边形EFGO 的面积之和,以及三角形AOE
和DOG 的面积之和,进而求出四边形EFGO 的面积.
由于长方形ABCD 的面积为158120?=,所以三角形BOC 的面积为1
120304
?
=,所以三角形AOE 和DOG 的面积之和为3
12070204
?-=;
又三角形AOE 、DOG 和四边形EFGO 的面积之和为111203024??
?-= ???
,所以四边形EFGO 的面积为
302010-=.
另解:从整体上来看,四边形EFGO 的面积=三角形AFC 面积+三角形BFD 面积-白色部分的面积,而三角形AFC 面积+三角形BFD 面积为长方形面积的一半,即60,白色部分的面积等于长方形面积减去阴影部分的面积,即1207050-=,所以四边形的面积为605010-=.
【巩固】如图,长方形ABCD 的面积是36,E 是AD 的三等分点,2AE ED =,则阴影部分的面积为 .
A
B
A
B
【解析】 如图,连接OE .
根据蝴蝶定理,1
:::1:12
COE CDE CAE CDE ON ND S S S S ????==
=,所以12OEN OED S S ??=;
1
:::1:42
BOE BAE BDE BAE OM MA S S S S ????===,所以15OEM OEA S S ??=.
又11
334OED ABCD S S ?=
?=矩形,26OEA OED S S ??==,所以阴影部分面积为:1136 2.725
?+?=.
【例 4】 已知ABC 为等边三角形,面积为400,D 、E 、F 分别为三边的中点,已知甲、乙、丙面积和为143,
求阴影五边形的面积.(丙是三角形HBC
)
B
【解析】 因为D 、E 、F 分别为三边的中点,所以DE 、DF 、EF 是三角形ABC 的中位线,也就与对应的边平
行,根据面积比例模型,三角形ABN 和三角形AMC 的面积都等于三角形ABC 的一半,即为200. 根据图形的容斥关系,有ABC
ABN AMC AMHN S S S S S ???-=+-丙,
即400 200200AMHN S S -=+-丙,所以AMHN S S =丙
.
又ADF AMHN S S S S S ?+=++乙甲阴影,所以1
143400434
ADF S S S S S ?=++-=-
?=乙甲丙阴影.
【例 5】 如图,已知5CD =,7DE =,15EF =,6FG =,线段AB 将图形分成两部分,左边部分面积是38,
右边部分面积是65,那么三角形ADG 的面积是 .
G
F
E D
C B
A
A
B
C D
E F
G
【解析】 连接AF ,BD .
根据题意可知,571527CF =++=;715628DG =++=; 所以,15
27BE CBF F S S ??=
,1227BE CBF C S S ??=,2128
AEG ADG S S ??=,728AED ADG S S ??=,
于是:
2115
652827
ADG CBF S S ??+=;712382827ADG CBF S S ??+=; 可得40ADG S ?=.故三角形ADG 的面积是40.
【例 6】 如图在ABC △中,,D E 分别是,AB AC 上的点,且:2:5AD AB =,:4:7AE AC =,16ADE S =△平方厘
米,求ABC △的面积.
E
D
C
B
A
E
D
C
B
A
【解析】 连接BE ,::2:5(24):(54)ADE ABE
S S AD AB ===??△△,
::4:7(45):(75)ABE ABC S S AE AC ===??△△,所以:(24):(75)ADE ABC S S =??△△,设8ADE S =△份,则35ABC S =△份,16ADE S =△平方厘米,所以1份是2平方厘米,35份就是70平方厘米,ABC △的面积是
70平方厘米.由此我们得到一个重要的定理,共角定理:共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互
补角)两夹边的乘积之比 .
【巩固】如图,三角形ABC 中,AB 是AD 的5倍,AC 是AE 的3倍,如果三角形ADE 的面积等于1,那么三
角形ABC 的面积是多少?
E
D
C
B
A A
B C
D
E
【解析】 连接BE .
∵3EC AE = ∴3ABC
ABE
S S =
又∵5AB AD =
∴515ADE
ABE
ABC S
S
S
=÷=÷,∴1515ABC ADE
S
S
==.
【巩固】如图,三角形ABC 被分成了甲(阴影部分)、乙两部分,4BD DC ==,3BE =,6AE =,乙部分面积
是甲部分面积的几倍?
乙
甲
E D
C
B
A
A B
C
D
E
甲
乙
【解析】 连接AD .
∵3BE =,6AE = ∴3AB BE =,3ABD
BDE
S S
=
又∵4BD DC ==,
∴2ABC
ABD
S
S
=,∴6ABC
BDE
S
S
=,5S S =乙甲.
【例 7】 如图在ABC △中,D 在BA 的延长线上,E 在AC 上,且:5:2AB AD =,
:3:2AE EC =,12ADE S =△平方厘米,求ABC △的面积.
E
D
C
B
A
E
D
C
B A
【解析】 连接BE ,::2:5(23):(53)ADE ABE
S S AD AB ===??△△
[]::3:(32)(35):(32)5ABE ABC S S AE AC ==+=?+?△△,
所以[]:(32):5(32)6:25ADE ABC S S =??+=△△,设6ADE S =△份,则25ABC S =△份,12ADE S =△平方厘米,所以1份是2平方厘米,25份就是50平方厘米,ABC △的面积是50平方厘米.由此我们得到一个重要的定理,共角定理:共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比
【例 8】 如图,平行四边形ABCD ,BE AB =,2CF CB =,3GD DC =,4HA AD =,平行四边形ABCD 的面
积是2, 求平行四边形ABCD 与四边形EFGH 的面积比.
H
G
A
B C
D E
F
H
G
A
B C
D E
F
【解析】 连接AC 、BD .根据共角定理
∵在ABC △和BFE △中,ABC ∠与FBE ∠互补,
∴111133
ABC FBE S AB BC S BE BF ??===??△△. 又1ABC S =△,所以3FBE S =△.
同理可得8GCF S =△,15DHG S =△,8AEH S =△.
所以8815+3+236EFGH AEH CFG DHG BEF ABCD S S S S S S =++++=++=△△△△.
所以213618
ABCD EFGH S S ==.
【例 9】 如图所示的四边形的面积等于多少?
D
C
B
13
13
12
12
【解析】 题目中要求的四边形既不是正方形也不是长方形,难以运用公式直接求面积.
我们可以利用旋转的方法对图形实施变换:
把三角形OAB 绕顶点O 逆时针旋转,使长为13的两条边重合,此时三角形OAB 将旋转到三角形OCD 的位置.这样,通过旋转后所得到的新图形是一个边长为12的正方形,且这个正方形的面积就是原来四边形的面积.
因此,原来四边形的面积为1212144?=.(也可以用勾股定理)
【例 10】 如图所示,ABC ?中,90ABC ∠=?,3AB =,5BC =,以AC 为一边向ABC ?外作正方形ACDE ,
中心为O ,求OBC ?的面积.
【解析】 如图,将OAB ?沿着O 点顺时针旋转90?,到达OCF ?的位置.
由于90ABC ∠=?,90AOC ∠=?,所以180OAB OCB ∠+∠=?.而OCF OAB ∠=∠,
所以180OCF OCB ∠+∠=?,那么B 、C 、F 三点在一条直线上.
由于OB OF =,90BOF AOC ∠=∠=?,所以BOF ?是等腰直角三角形,且斜边BF 为538+=,所以它
的面积为21
8164
?=.
根据面积比例模型,OBC ?的面积为5
16108
?=.
【例 11】 如图,以正方形的边AB 为斜边在正方形内作直角三角形ABE ,90AEB ∠=?,AC 、BD 交于O .已
知AE 、BE 的长分别为3cm 、5cm ,求三角形OBE 的面积.
D
【解析】 如图,连接DE ,以A 点为中心,将ADE ?顺时针旋转90?到ABF ?的位置.
那么90EAF EAB BAF EAB DAE ∠=∠+∠=∠+∠=?,而AEB ∠也是90?,所以四边形AFBE 是直角梯形,且3AF AE ==,
所以梯形AFBE 的面积为:
()1
353122
+??=(2cm ).
又因为ABE ?是直角三角形,根据勾股定理,222223534AB AE BE =+=+=,所以
21
172
ABD S AB ?=
=(2cm ). 那么()17125BDE ABD ABE ADE ABD AFBE S S S S S S ?????=-+=-=-=(2cm ),
所以1
2.52
OBE BDE S S ??=
=(2cm ).
【例 12】 如下图,六边形ABCDEF 中,AB ED =,AF CD =,BC EF =,且有AB 平行于ED ,AF 平行于CD ,
BC 平行于EF ,对角线FD 垂直于BD ,已知24FD =厘米,18BD =厘米,请问六边形ABCDEF 的面积是多少平方厘米?
F
E
A
B
D
C
G
F
E
A
B
D
C
【解析】 如图,我们将BCD ?平移使得CD 与AF 重合,将DEF ?平移使得ED 与AB 重合,这样EF 、BC 都重
合到图中的AG 了.这样就组成了一个长方形BGFD ,它的面积与原六边形的面积相等,显然长方形
BGFD 的面积为2418432?=平方厘米,所以六边形ABCDEF 的面积为432平方厘米.
【例 13】 如图,三角形ABC 的面积是1,E 是AC 的中点,点D 在BC 上,且:1:2BD DC =,AD 与BE 交于
点F .则四边形DFEC 的面积等于 .
F
E
D C
B
A
3332
1F E D
C B
A
A
B
C
D
E
F
【解析】 方法一:连接CF ,根据燕尾定理,
12ABF ACF S BD S DC ==△△,1ABF CBF S AE
S EC
==△△, 设1BDF
S =△份,则2DCF S =△份,3ABF S =△份,3AEF EFC S S ==△△份,如图所标
所以551212
DCEF ABC S S =
=△ 方法二:连接DE ,由题目条件可得到11
33
ABD ABC
S S ==△△, 11212233ADE ADC ABC S S S ==?=△△△,所以1
1ABD ADE
S BF FE S ==△△, 1111111
22323212
DEF
DEB BEC ABC S S S S =?=??=???=△△△△, 而211323CDE ABC S S =??=△△.所以则四边形DFEC 的面积等于512
. 【巩固】如图,长方形ABCD 的面积是2平方厘米,2EC DE =,F 是DG 的中点.阴影部分的面积是多少平方
厘米
?
y B C
D E
G
E D C
B
A
E
D
B A
【解析】 设1DEF
S =△份,则根据燕尾定理其他面积如图所示55
1212
BCD S S =
=△阴影平方厘米.
【例 14】 四边形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O (如图所示).如果三角形ABD 的面积等于三角形BCD 的面
积的1
3
,且2AO =,3DO =,那么CO 的长度是DO 的长度的_________倍.
A
B C D
O
H G
A B
C D O
【解析】 在本题中,四边形ABCD 为任意四边形,对于这种”不良四边形”,无外乎两种处理方法:⑴利用已知条
件,向已有模型靠拢,从而快速解决;⑵通过画辅助线来改造不良四边形.看到题目中给出条件
:1:3ABD
BCD
S
S
=,这可以向模型一蝴蝶定理靠拢,于是得出一种解法.又观察题目中给出的已知条
件是面积的关系,转化为边的关系,可以得到第二种解法,但是第二种解法需要一个中介来改造这个”不良四边形”,于是可以作AH 垂直BD 于H ,CG 垂直BD 于G ,面积比转化为高之比.再应用结论:三角形高相同,则面积之比等于底边之比,得出结果.请老师注意比较两种解法,使学生体会到蝴蝶定理的优势,从而主观上愿意掌握并使用蝴蝶定理解决问题.
解法一:∵::1:3ABD BDC AO OC S S ??==,∴236OC =?=,∴:6:32:1OC OD ==. 解法二:作AH BD ⊥于H ,CG BD ⊥于G . ∵13ABD
BCD S S ??=,∴13
AH CG =,∴13AOD
DOC S S ??=, ∴1
3
AO CO =,∴236OC =?=,∴:6:32:1OC OD ==.
【巩固】如图,四边形被两条对角线分成4个三角形,其中三个三角形的面积已知, 求:⑴三角形BGC 的面积;⑵:AG GC =?
B
【解析】 ⑴根据蝴蝶定理,123BGC
S
?=?,那么6BGC
S
=;
⑵根据蝴蝶定理,()():12:361:3AG GC =++=.
【例 15】 如图,平行四边形ABCD 的对角线交于O 点,CEF △、OEF △、ODF △、BOE △的面积依次是2、
4、4和6.求:⑴求OCF △的面积;⑵求GCE △的面积.
O
G
F
E
D
C
B
A
【解析】 ⑴根据题意可知,BCD △的面积为244616+++=,那么BCO △和CDO ?的面积都是1628÷=,所以
OCF △的面积为844-=;
⑵由于BCO △的面积为8,BOE △的面积为6,所以OCE △的面积为862-=,
根据蝴蝶定理,::2:41:2COE COF EG FG S S ??===,所以::1:2GCE GCF S S EG FG ??==, 那么112
21233
GCE CEF S S ??=
=?=+.
【例 16】 如图,长方形ABCD 中,:2:3BE EC =,:1:2DF FC =,三角形DFG 的面积为2平方厘米,求长方
形ABCD 的面积.
A
B
C
D E
F G
A
B
C
D E
F G
【解析】 连接AE ,FE .
因为:2:3BE EC =,:1:2DF FC =,所以3111
()53210
DEF
ABCD ABCD S S S =??=长方形长方形. 因为12AED ABCD
S
S =长方形,11::5:1210
AG GF ==,所以510A G D G D F S S ==平方厘米,所以12AFD
S
=平方厘米.因为16
AFD ABCD S S =长方形,所以长方形ABCD 的面积是72平方厘米.
【例 17】 如图,正方形ABCD 面积为3平方厘米,M 是AD 边上的中点.求图中阴影部分的面积.
C
B
A
【解析】 因为M 是AD 边上的中点,所以:1:2AM BC =,根据梯形蝴蝶定理可以知道
22:::1:12:12:21:2:2:4AMG ABG MCG BCG S S S S =??=△△△△()(),设1AGM S =△份,则123MCD S =+=△
份,所以正方形的面积为1224312++++=份,224S =+=阴影份,所以:1:3S S =阴影正方形,所以
1S =阴影平方厘米.
【巩固】在下图的正方形ABCD 中,E 是BC 边的中点,AE 与BD 相交于F 点,三角形BEF 的面积为1平方厘
米,那么正方形ABCD 面积是 平方厘米.
A B
C
D
E
F
【解析】 连接DE ,根据题意可知:1:2BE AD =,根据蝴蝶定理得
2
129S =+=梯形()(平方厘米),
3ECD S =△(平方厘米),那么12ABCD
S
=(平方厘米).
【例 18】 已知ABCD 是平行四边形,:3:2BC CE =,三角形ODE 的面积为6平方厘米.则阴影部分的面积是
平方厘米.
B
B
【解析】 连接AC .
由于ABCD 是平行四边形,:3:2BC CE =,所以:2:3CE AD =, 根据梯形蝴蝶定理,22:::2:23:23:34:6:6:9COE
AOC
DOE
AOD
S S
S
S
=??=,所以6AOC
S
=(平
方厘米),
9AOD
S
=(平方厘米),又6915A B C
A C D
S
S
==+=(平方厘米),阴影部分面积为
61521
+=(平方厘米).
【巩固】右图中ABCD 是梯形,ABED 是平行四边形,已知三角形面积如图所示(单位:平方厘米),阴影部分
的面积是
平方厘米.
B
B
【分析】 连接AE .由于AD 与BC 是平行的,所以AECD 也是梯形,那么OCD
OAE S S ??=.
根据蝴蝶定理,4936OCD OAE OCE OAD S S S S ?????=?=?=,故2
36OCD S ?=,
所以6OCD
S ?=(平方厘米).
【巩固】右图中ABCD 是梯形,ABED 是平行四边形,已知三角形面积如图所示(单位:平方厘米),阴影部分
的面积是 平方厘米.
B
B
【解析】 连接AE .由于AD 与BC 是平行的,所以AECD 也是梯形,那么OCD OAE S S ??=.
根据蝴蝶定理,
2816
OCD OAE OCE OAD S S S S ?????=?=?=,故
216OCD S ?=,所以
4OCD S ?=(平方厘米).
另解:在平行四边形ABED 中,()1
1
168122
2
ADE ABED
S S ?=
=?+=(平方厘米), 所以1284AOE ADE AOD S S S ???=-=-=(平方厘米), 根据蝴蝶定理,阴影部分的面积为8244?÷=(平方厘米).
【例 19】 如图,长方形ABCD 被CE 、DF 分成四块,已知其中3块的面积分别为2、5、8平方厘米,那么余
下的四边形OFBC 的面积为___________平方厘米.
?
8
5
2O A B C D E
F
?
8
5
2O A B
C
D E
F
【解析】 连接DE 、CF .四边形EDCF 为梯形,所以EOD FOC
S S
?=,又根据蝴蝶定理,EOD FOC EOF COD S S S S ?????=?,
所以2816EOD FOC EOF COD S S S S ?????=?=?=,所以4EOD S ?=(平方厘米),4812ECD S ?=+=(平方厘米).那
么长方形ABCD 的面积为12224?=平方厘米,四边形OFBC 的面积为245289---=(平方厘米).
【例 20】 如图,ABC ?是等腰直角三角形,DEFG 是正方形,线段AB 与CD 相交于K 点.已知正方形DEFG 的
面积48,:1:3AK KB =,则BKD ?的面积是多少?
B
B
【解析】 由于DEFG 是正方形,所以DA 与BC 平行,那么四边形ADBC 是梯形.在梯形ADBC 中,BDK ?和
ACK ?的面积是相等的.而:1:3AK KB =,所以ACK ?的面积是ABC ?面积的11
134
=+,那么BDK ?的
面积也是ABC ?面积的1
4
.
由于ABC ?是等腰直角三角形,如果过A 作BC 的垂线,M 为垂足,那么M 是BC 的中点,而且
AM DE =,可见ABM ?和ACM ?的面积都等于正方形DEFG 面积的一半,所以ABC ?的面积与正方形DEFG 的面积相等,为48.
那么BDK ?的面积为1
48124
?=.
【例 21】 下图中,四边形ABCD 都是边长为1的正方形,E 、F 、G 、H 分别是AB ,BC ,CD ,DA 的中
点,如果左图中阴影部分与右图中阴影部分的面积之比是最简分数m
n
,那么,()m n +的值等
于 .
B
E
E
【解析】 左、右两个图中的阴影部分都是不规则图形,不方便直接求面积,观察发现两个图中的空白部分面积都
比较好求,所以可以先求出空白部分的面积,再求阴影部分的面积. 如下图所示,在左图中连接EG .设AG 与DE 的交点为M . 左图中AEGD 为长方形,可知AMD ?的面积为长方形AEGD 面积的
1
4
,所以三角形AMD 的面积为21111248??=.又左图中四个空白三角形的面积是相等的,所以左图中阴影部分的面积为11
1482
-?=.
B
E
E
如上图所示,在右图中连接AC 、EF .设AF 、EC 的交点为N . 可知EF ∥AC 且2AC EF =.那么三角形BEF 的面积为三角形ABC 面积的
1
4
,所以三角形BEF 的面积为21111248??=,梯形AEFC 的面积为113
288
-=.
在梯形AEFC 中,由于:1:2EF AC =,根据梯形蝴蝶定理,其四部分的面积比为:
221:12:12:21:2:2:4??=,所以三角形EFN 的面积为311
8122424
?=
+++,那么四边形BENF 的面积为1118246+=.而右图中四个空白四边形的面积是相等的,所以右图中阴影部分的面积为111463
-?=. 那么左图中阴影部分面积与右图中阴影部分面积之比为11:3:223=,即3
2
m n =,
那么325m n +=+=.
【例 22】 如图, ABC △中,DE ,FG ,BC 互相平行,AD DF FB ==,
则::ADE
DEGF FGCB S S S =△四边形四边形 .
E
G
F A D C
B
【解析】 设1ADE S =△份,根据面积比等于相似比的平方,
所以22::1:4ADE AFG S S AD AF ==△△,22::1:9ADE ABC S S AD AB ==△△, 因此4AFG S =△份,9ABC S =△份,
进而有3DEGF S =四边形份,5FGCB S =四边形份,所以::1:3:5ADE DEGF FGCB S S S =△四边形四边形
【巩固】如图,DE 平行BC ,且2AD =,5AB =,4AE =,求AC 的长.
A E
D C
B
【解析】 由金字塔模型得:::2:5AD AB AE AC DE BC ===,所以42510AC =÷?=
【巩固】如图, ABC △中,DE ,FG ,MN ,PQ ,BC 互相平行,
AD DF FM MP PB ====,则
::::ADE DEGF FGNM MNQP PQCB S S S S S =△四边形四边形四边形四边形
. 【解析】 设
1ADE S =△份,22::1:4ADE AFG S S AD AF ==△△,因此4AFG S =△份,进而有3DEGF S =四边形份,同理有
5FGNM S =四边形份,7MNQP S =四边形份,9PQCB S =四边形份.
所以有
::::1:3:5:7:9ADE DEGF FGNM MNQP PQCB S S S S S =△四边形四边形四边形四边形
【例 23】 如图,已知正方形ABCD 的边长为4,F 是BC 边的中点,E 是DC 边上的点,且:1:3DE EC =,AF
与BE 相交于点G ,求ABG S △
G
F
A
E
D
C B
M G
F
A
E
D
C
B
G
F
A
E
D
C
B
【解析】 方法一:连接AE ,延长AF ,DC 两条线交于点M ,构造出两个沙漏,所以有::1:1AB CM BF FC ==,
因此4CM =,根据题意有3CE =,再根据另一个沙漏有::4:7GB GE AB EM ==,所以
4
432(442)471111
A B G A B E
S S =
=??÷=+△△
. Q E G
N
M
F
P
A D C
B
方法二:连接,AE EF ,分别求4224ABF S =?÷=△,4441232247AEF S =?-?÷-?÷-=△,根据蝴蝶定理::4:7ABF AEF S S BG GE ==△△,所以4432(442)471111
ABG ABE S S =
=??÷=+△△.
【例 24】 如图所示,已知平行四边形ABCD 的面积是1,E 、F 是AB 、AD 的中点, BF 交EC 于M ,求BMG
?的面积.
M
H
G
F E D C
B
A
A
【解析】 解法一:由题意可得,E 、F 是AB 、AD 的中点,得//EF BD ,而::1:2FD BC FH HC ==,
::1:2EB CD BG GD ==所以::2:3CH CF GH EF ==,
并得G 、H 是BD 的三等分点,所以BG GH =,所以
::2:3BG EF BM MF ==,所以2
5
BM BF =,1111
222
4
BFD
ABD ABCD
S S S ??==?=
; 又因为1
3
BG BD =,所以1212113535430BMG BFD S S ??=??=??=.
解法二:延长CE 交DA 于I ,如右图,
可得,::1:1AI BC AE EB ==,从而可以确定M 的点的位置,
::2:3BM MF BC IF ==,25BM BF =,1
3BG BD =(鸟头定理),
可得21211
1
53534
30
BMG BDF ABCD
S S S ??=?=??=
【例 25】 如图,ABCD 为正方形,1cm AM NB DE FC ====且2cm MN =,请问四边形
PQRS 的面积为多少?
C
A
C
A
【解析】 (法1)由//AB CD ,有
MP PC
MN DC
=
,所以2PC PM =,又MQ MB QC EC =,所以 12MQ QC MC ==,所以111236PQ MC MC MC =-=,所以SPQR S 占AMCF S 的1
6,
所以12
1(112)63
SPQR S =??++=2(cm ).
(法2)如图,连结AE ,则1
4482
ABE S ?=??=(2cm ),
而
RB ER AB EF =,所以2RB AB EF EF ==,2216
8333
ABR ABE S S ??==?=(2cm ).
而1134322MBQ ANS S S ??==???=(2cm ),因为MN MP
DC PC =
, 所以13MP MC =,则114
24233
MNP S ?=???=(2cm ),阴影部分面积等于
1642
33333ABR ANS MBQ MNP S S S S ????--+=--+=(2cm ).
【例 26】 如右图,三角形ABC 中,:4:9BD DC =,:4:3CE EA =,求:AF FB .
O F E
D
C
B
A
【解析】 根据燕尾定理得::4:912:27AOB AOC S S BD CD ===△△ ::3:412:16AOB BOC S S AE CE ===△△
(都有AOB △的面积要统一,所以找最小公倍数) 所以:27:16:AOC BOC S S AF FB ==△△
【点评】本题关键是把AOB △的面积统一,这种找最小公倍数的方法,在我们用比例解题中屡见不鲜,如果能
掌握它的转化本质,我们就能达到解奥数题四两拨千斤的巨大力量!
【巩固】如右图,三角形ABC 中,:3:4BD DC =,:5:6AE CE =,求:AF FB .
O F E
D
C
B
A
【解析】 根据燕尾定理得::3:415:20AOB AOC S S BD CD ===△△ ::5:615:18AOB BOC S S AE CE ===△△
(都有AOB △的面积要统一,所以找最小公倍数) 所以:20:1810:9:AOC BOC S S AF FB ===△△
【巩固】如右图,三角形ABC 中,:2:3BD DC =,:5:4EA CE =,求:AF FB .
O F E
D
C
B
A
【解析】 根据燕尾定理得::2:310:15AOB AOC S S BD CD ===△△ ::5:410:8AOB BOC S S AE CE ===△△
(都有AOB △的面积要统一,所以找最小公倍数) 所以:15:8:AOC BOC S S AF FB ==△△
【点评】本题关键是把AOB △的面积统一,这种找最小公倍数的方法,在我们用比例解题中屡见不鲜,如果能
掌握它的转化本质,我们就能达到解奥数题四两拨千斤的巨大力量!
【例 27】 如右图,三角形ABC 中,:::3:2AF FB BD DC CE AE ===,且三角形ABC 的面积是1,则三角形ABE
的面积为______,三角形AGE 的面积为________,三角形GHI 的面积为______.
I H
G
F
E
D
C B
A
I H
G F
E
D
C
B
A
【分析】 连接AH 、BI 、CG .
由于:3:2CE AE =,所以25AE AC =
,故22
55
ABE ABC S S ??==; 根据燕尾定理,::2:3ACG ABG S S CD BD ??==,::3:2BCG ABG S S CE EA ??==,所以
::4:6:9ACG ABG BCG S S S ???=,则419ACG S ?=,9
19
BCG S ?=;
那么2248
551995
AGE AGC S S ??==?=;
同样分析可得9
19
ACH S ?=,则::4:9
A C G A C H E G E H S S ??==,::4:19ACG AC
B EG EB S S ??==,所以::4:5:10E G GH HB =,同样分析可得::10:5:4AG GI ID =,
所以5521101055BIE BAE S S ??==?=,5511
1919519
GHI BIE S S ??==?=.
【巩固】 如右图,三角形ABC 中,:::3:2AF FB BD DC CE AE ===,且三角形GHI 的面积是1,求三角形ABC
的面积.
I
H G F
E
D
C
B
A
I
H G F
E
D
C
B
A
【解析】 连接BG ,AGC S △=6份
根据燕尾定理,::3:26:4AGC BGC S S AF FB ===△△,::3:29:6ABG AGC S S BD DC ===△△
得4BGC S =△(份),9ABG S =△(份),则19ABC S =△(份),因此6
19
AGC ABC S S =△△,
同理连接AI 、CH 得619ABH ABC S S =△△,619BIC ABC S S =△△,所以196661
1919GHI ABC S S ---==
△△ 三角形GHI 的面积是1,所以三角形ABC 的面积是19
【巩固】如图,ABC ?中2BD DA =,2CE EB =,2AF FC =,那么ABC ?的面积是阴影三角形面积的 倍.
B
C
C
B
【分析】 如图,连接AI .
根据燕尾定理,::2:1BCI ACI S S BD AD ??==,::1:2BCI ABI S S CF AF ??==,
所以,::1:2:4ACI BCI ABI S S S ???=,那么,22
1247
BCI ABC ABC S S S ???==++.
同理可知ACG ?和ABH ?的面积也都等于ABC ?面积的2
7
,所以阴影三角形的面积等于ABC ?面积的
21
1377
-?=,所以ABC ?的面积是阴影三角形面积的7倍.
【巩固】如图在ABC △中,
1
2
DC EA FB DB EC FA ===,求
GHI ABC △的面积△的面积的值. I
H
G F
E
D
C
B
A
I
H G F
E
D
C
B A
【解析】 连接BG ,设BGC S △=1份,根据燕尾定理::2:1AGC BGC S S AF FB ==△△,::2:1ABG AGC S S BD DC ==△△,得
2AGC S =△(份),4ABG S =△(份),则7ABC S =△(份),因此2
7
AGC ABC S S =△△,同理连接AI 、CH 得
27ABH ABC S S =△△,27BIC ABC S S =△△,所以72221
77GHI ABC S S ---==△△ 【点评】如果任意一个三角形各边被分成的比是相同的,那么在同样的位置上的图形,虽然形状千变万化,但面
积是相等的,这在这讲里面很多题目都是用“同理得到”的,即再重复一次解题思路,因此我们有对称法作辅助线.
【例 28】 如图,三角形ABC 的面积是1,BD DE EC ==,CF FG GA ==,三角形ABC 被分成9部分,请写出
这9部分的面积各是多少?
G
F
E D C
B
A
N M
Q
P
G
F E
D
C
B
A
【解析】 设BG 与AD 交于点P ,BG 与AE 交于点Q ,BF 与AD 交于点M ,BF 与AE 交于点N .连接CP ,CQ ,
CM ,CN .
根据燕尾定理,::1:2A B P C B P S S AG GC ==△△,::1:2ABP ACP S S BD CD ==△△,设1ABP S =△(份),则
1225ABC S =++=△(份),所以1
5
ABP S =△
同理可得,27ABQ S =△,12ABN S =△,而13ABG S =△,所以2137535APQ S =-=△,121
3721AQG S =-=△.
同理,335BPM S =△121BDM S =△,所以1239
273570PQMN S =--=
四边形,139********MNED S =--=四边形,1151321426NFCE S =--=四边形,1115
321642
GFNQ S =--=四边形
【巩固】如图,ABC ?的面积为1,点D 、E 是BC 边的三等分点,点F 、G 是AC 边的三等分点,那么四边形
JKIH 的面积是多少?
K J I
H
A
B
C D E
F G
K
J I
H
A
B
C
D E F
G
【解析】 连接CK 、CI 、CJ .
根据燕尾定理,::1:2ACK ABK S S CD BD ??==,::1:2ABK CBK S S AG CG ??==,
所以::1:2:4ACK ABK CBK S S S ???=,那么111247ACK S ?==++,11
321
AGK ACK S S ??==.
类似分析可得2
15
AGI S ?=.
又::2:1ABJ CBJ S S AF CF ??==,::2:1ABJ ACJ S S BD CD ??==,可得1
4
ACJ S ?=.
那么,1117
42184
CGKJ S =-=.
根据对称性,可知四边形CEHJ 的面积也为17
84
,那么四边形JKIH 周围的图形的面积之和为
172161228415370CGKJ AGI ABE S S S ???++=?++=,所以四边形JKIH 的面积为619
17070
-=.
【例 29】 右图,ABC △中,G 是AC 的中点,D 、E 、F 是BC 边上的四等分点,AD 与BG 交于M ,AF 与
BG 交于N ,已知ABM △的面积比四边形FCGN 的面积大7.2平方厘米,则ABC △的面积是多少平方厘米?
N M G
A B
C
D E F
N
M
G
A B
C
D E
F
【解析】 连接CM 、CN .
根据燕尾定理,::1:1ABM CBM S S AG GC ==△△,::1:3ABM ACM S S BD CD ==△△,所以1
5
ABM ABC S S =△△;