损伤与断裂力学

中国矿业大学

2011 级硕士研究生课程考试试卷

考试科目损伤与断裂力学

考试时间2011.12

学生姓名韩晓丽

学号ZS10030121

所在院系力建学院

任课教师高峰

中国矿业大学研究生院培养管理处印制

第一部分断裂力学

第一章引言

1.1 影响断裂的两大因素---载荷大小和裂纹长度

考虑含有一条宏观裂纹的构件，随着服役时

间后使用次数的增加，裂纹总是愈来愈长。在工

作载荷较高时，比较短的裂纹就有可能发生断裂；

在工作载荷较低时，比较长的裂纹才会带来危险。

这表明表征裂端区应力变场强度的参量与载荷大

小和裂纹长短有关，甚至可能与构件的几何形状

有关。

1.2 断裂力学研究内容

随时间和裂纹长度的增长，构件强度从设计的最

高强度逐渐地减少。假设在储备强度A点时，只

有服役期间偶而出现一次的最大载荷才能使构件

发生断裂；在储备强度B点时，只要正常载荷就

会发生断裂。因此，从A点到B点这段期间就是

危险期，在危险期中随时可能发生断裂。如果安

排探伤检查的话，检查周期就不能超过危险期。

1.3 脆性断裂和韧性断裂

韧度（toughness）：是指材料在断裂前的弹塑性变形中吸收能量的能力。它是个能量的概念。

脆性（brittle）和韧性（ductile）：一般是相对于韧度低或韧度高而言的，而韧度的高低通常用冲击实验测量。

高韧度材料比较不容易断裂，在断裂前往往有大量的塑性变形。如低强度钢，在断裂前必定伸长并颈缩，是塑性大、韧度高的金属。金、银比低强度钢更容易产生塑性变形，但是因为强度太低，因此吸收能量的能力还是不高的。玻璃和粉笔则是低韧度、低塑性材料，断裂前几乎没有变形。

如图所示的一个带环形尖锐切口的低碳钢圆棒，受到轴向拉伸载荷的作用，在拉断时，没有明显的颈缩塑性变形，断裂面比较平坦，而且基本与轴向垂直，这是典型的脆性断裂。粉笔、玻璃以及环氧树脂、超高强度合金等的断裂都属于脆性断裂这一类。

反过来说，若断裂前的切口根部发生了塑性变形，剩余截面的面积缩小（既发生颈缩），段口可能呈锯齿状，这种断裂一般是韧性断裂。前边提到的低强度钢的断裂就属于韧性断裂。

1.4 韧性断裂与脆性断裂之比较

脆性断裂时的载荷与变形量一般呈线性关系，在接近最大载荷时才有很小一段非线性关系。脆性断裂的发生是比较突然的，裂纹开始扩展的启裂点与裂纹扩展失去控制的失稳断裂点非常接近。裂纹扩展后，载荷即迅速下降，断裂过程很快就结束了。

韧性断裂的载荷与变形量关系如图所示，有较长的非线性阶段，启裂后，裂纹可以缓慢地扩展一段时间，除非变形量增到失稳裂点，否则就不会发生失稳断裂。

第二章 能量守恒与断裂判据

传统强度理论:

在现代断裂力学建立以前，机械零构件是根据传统的强度理论进行设计的，不论在机械零构件的哪一部分，设计应力的水平一般都不大于材料的屈服应力，即

这里 是设计应力； n 是安全系数，其值大于1； 是屈服应力，在等截面物体受到单向拉伸时， 即为单向拉伸的屈服强度。

经典断裂理论:

断裂力学的一大特点是，假定物体已经带有裂纹。现代断裂力学能对此带裂纹物体的裂纹端点区进行应力应变分析，从而得到表征裂端区应力应变场强度的参量。

2.1 Griffith 能量释放观点

Griffith 裂纹

图(2－1)的Griffith 裂纹问题(即无限大平板带有穿透板厚的中心裂纹，且受到无穷远处的单向均匀拉伸的裂纹问题)，以及图(2－2)的矩形平板带有单边裂纹(single edge crack)的问题。设两平板的厚度均为B ，Griffith 裂纹长度为2a ，单边裂纹的长度为a 。

Griffith 能量释放观点:

现在只考虑Griffith 裂纹右端点。在拉伸应力的作用下，此裂纹端点向正前方扩展。根据Griffith 能量释放观点，在裂纹扩展的过程中，能量在裂端区释放出来，此释放出来的能n

ys σσ≤ys σys

σys

σ

量将用来形成新的裂纹面积。

能量释放率:

定义裂纹尖端的能量释放率(energy release rate)如下∶能量释放率是指裂纹由某一端点向前扩展一个单位长度时，平板每单位厚度所释放出来的能量。

表面自由能:

材料本身是具有抵抗裂纹扩展的能力的，因此只有当拉伸应力足够大时，裂纹才有可能扩展。此抵抗裂纹扩展的能力可以用表面自由能(surface free energy)来度量。一般用γs 表示。表面自由能定义为：材料每形成单位裂纹面积所需的能量，其量纲与能量释放率相同。 著名的Griffith 断裂判据:

若只考虑脆性断裂，而裂端区的塑性变形可以忽略不计。则在准静态的情形下，裂纹扩展时，裂端区所释放出来的能量全部用来形成新的裂纹面积。换句话说，根据能量守恒定律，裂纹发生扩展的必要条件是裂端区要释放的能量等于形成裂纹面积所需的能量。

设每个裂端裂纹扩展量为Δa ，则由能量守恒定律有：

这就是著名的Griffith 断裂判据 。

单边裂纹的能量释放率:

假想裂纹发生了准静态扩展，裂端所释放的能量是由总应变能的一部分转化过来的，因此，比较裂纹扩展前后的总应变能就可以得到能量释放率。则根据能量守恒定律和能量释放率的定义，可得 ：

中心裂纹的能量释放率:

由于对称关系，中心裂纹系统所释放的能量将均等地分配到两个裂端，使每个端的裂纹扩展量为Δa 。因此，裂纹两端具有相同的能量释放率，其表达式将为单边裂纹能量释放率表达式的一半。

2-2 能量平衡理论

在Griffith 弹性能释放理论的基础上，Irwin 和Orowan 从热力学的观点重新考虑了断裂问题，提出了能量平衡理论。按照热力学的能量守恒定律，在单位时间内，外界对于系统所做功的改变量，应等于系统储存应变能的改变量，加上动能的改变量，再加上不可恢复消耗能的改变量。

假设W 为外界对系统所做的功，U 为系统储存的应变能，T 为动能，D 为不可恢复的消耗能，则Irwin —Orowan 能量平衡理论可用公式表达如下∶

假定裂纹处于准静态，例如裂纹是静止的或是以稳定速度扩展，则动能不变化，即dT/dt=0。若所有不可恢复的消耗能都是用来制造裂纹新面积，则 ：

At 为裂纹总面积，γ p 为表面能。

2-3 内聚应力理论 )2()(a B a B G s

?=?γs G γ2=a a a a U a a U B G a -?+-?+=→?)()()(1lim 0a

U B G ??=21dt

dD dt dT dt dU dt dW ++=dt dA dt

dA dA dD dt dD t p t t γ==

断裂的结果是造成新的裂纹面积，从原子间距的观点来看，就是把平行且相邻的晶体平面间的原子分离。作为物理模型，可视为把有相互作用力而结合在一起的两平面分离开。设σ为平面间的内聚应力，ε为应变。ε=（δ-δ0)/δ0，这里δ为瞬时平面间的距离。

内聚应力变化曲线:

当ε由零渐渐增加时，起初σ基本上与ε成正比而增加，快接近最高内聚应力时，开始偏离线性关系，过了最高点σc以后，σ开始下降而ε仍然继续增加。如图所示。这种关系是定性的，并未得到实验的支持。其中最大内聚应力σc称为内聚强度。

内聚应力分布:

根据以上模型，在裂纹端点，内聚应力刚好是内聚强度。垂直于裂纹表面的内聚应力分布如图所示。这里x方向为裂纹扩展方向，当外载荷引起的应力在裂端前大于内聚强度时就发生断裂。

第三章应力强度因子

断裂发生时在裂纹端点要释放出多余的能量，因此，裂端区的应力场和应变场必然与此裂端的能量释放率有关。若裂端应力应变场的强度（intensity）足够大，断裂即可发生，反之则不发生。因此，得到裂端区应力应变场的解析解是个关键。

3-1 裂纹的基本型

一般将裂纹问题分为三种基本型，如图所示

张开型滑移型撕裂型

第一种称为张开型（opening mode ）或拉伸型（tension mode ），简称I 型。其裂纹面的位移方向是在使裂纹张开的裂纹面法线方向(y 方向)。它通常发生在载荷和几何形状对称于裂纹平面的情形，例如Griffith 裂纹是I 型裂纹，其裂纹的扩展方向是正前方（x 方向）。若物体是均匀厚度的平板，裂纹贯穿板厚，则问题是二维的（平面问题）；若物体不是平板或者裂纹没有贯穿板厚，则是三维问题。许多工程上常见的断裂都是I 型裂纹的断裂，这也是最危险的裂纹类型。

第二种裂纹型称为同平面剪切型（in —plane shear mode ）或者滑移型（sliding mode ），简称II 型。裂纹上下表面的位移方向刚好相反，一个向正x 方向，另一个向负x 方向。在板厚均匀和裂纹贯穿板厚的情况下，此裂纹问题也是二维的，属弹性力学平面问题。 第三种裂纹型称为反平面剪切型（anti —plane shear mode ），简称III 型。裂纹面上下表面的位移方向也是刚好相反，但一个向正z 方向，另一个向负z 方向。这里的z 方向是板厚方向，属弹性力学空间问题。

除了这三种基本型外，尚有复合型裂纹（mixed mode crack ），它是两种以上基本型的组合。

3-2 裂端的应力场和位移场

I 型裂纹的应力场

由弹性力学（椭圆孔口问题）的解析解，得裂端的应力场恒为

＋高次项

在裂端区，即r 足够小的情形下，式中r 的高次项比首项小得多，因而可以忽略 。 I 型裂纹的应变场:

从上式可见，裂端区应力场的形式恒定，其强度完全由KI 值的大小来决定，因此就称KI 为I 型裂纹的应力强度因子。裂端区的应变场可以由弹性力学公式求得为：

I 型裂纹的位移场:

通过应变一位移关系，经过复杂的计算，可以得到裂端区的位移场为：

23cos 2cos 2sin 223sin 2sin 12cos 223sin 2sin 12cos 2θθθπτθθθπσθθθπσr K r K r K I xy I y I x =??????+=??????-=y x j i f r K ij I ij ,,),(2==θπε2

sin 2cos 2)1(222cos 2sin 2)1(2222/122/1θθκπμθθκπμ??????-+??? ??=??????+-??? ??=r K v r K u I I

这里u 和v 分别为x 和y 方向的位移分量，μ是剪切模量，κ与泊松比ν的关系为：

3-3 应力奇异性和应力强度因子

三种基本裂纹型的裂端区应力场给出的裂端区应力场有一个共同的特点，即r →0时，即在裂纹端点，应力分量均趋于无限大。这种特性称为应力奇异性（stress singularity ）。 应力奇异性

图示带有圆孔、椭圆孔和裂纹的无限大平板。它们分别受到无穷远处y 方向的均匀拉应力的作用。对于圆孔，此时A 和B 两点有应力集中现象，其应力集中系数(stress concentration factor)已广为人知。对于椭圆孔，应力集中仍发生A 点和B 点，其应力集中系数为：

a 为椭圆的长半轴，ρ为椭圆长轴端点的曲率半径。

三种基本裂纹型裂端区某点的应力值、应变值、位移值和应变能密度值都由应力强度因子及其位置来决定。因此，只要知道应力强度因子，裂端区的应力、应变、位移和应变能密度就都能求得。由于有这一特点，应力强度因子可以作为表征裂端应力应变场强度的参量。近代断裂力学，就是Irwin 在五十年代中期提出了应力强度因子的概念，认识到它的意义后才开始发展起来的。

3-4 常见裂纹的应力强度因子

Griffith 裂纹的应力强度因子:

无限大平板有中心裂纹，裂纹表面受到均匀拉伸应力作用的应力强度因子

无限大平板有中心裂纹，裂纹表面某处受到一对集中拉力P （单位厚度集中力）作用 的应?????+--=νννκ1343ρa K t 21+=