定比、定比分点公式
（3）定比、定比分点公式 一、教学内容分析 本节是的第三节课，是学习向量坐标表示及运算、向量的模与平行之后的又一个新的知识点.它既是对前两节内容复习与巩固，又是对向量知识的进一步深化与拓展，如式子 12PP PP λ=中的λ由实数推广到定比.同时，经历定比分点公式的推导过程，让学生领悟定比分点的多元化表示方法. 本节的教学重点是定比分点公式的形成、深化、拓展与应用.难点是定比λ的理解、确定及定比分点公式中分点、始点、终点坐标位置的识别. 根据本节特点，教师采取启发、提问为主的教学方法；学生则进行自主学习.即课前进行主动预习，课中进行讨论与交流，课后进行探索研究. 二、教学目标设计 1理解定比的概念，掌握定比分点公式； 2通过定比分点公式的推导过程，巩固向量的运算方法； 感悟定比分点的几种表达方式； 3通过本节的学习，提升发现能力、推理能力，渗透数形结合 思想. 三、教学重点及难点 定比的概念，定比分点公式的推导和应用. 四、教学流程设计
五、教学过程设计 一、 情景引入 观察思考，引入新课 问题1：设)1,2(A ，)1,2(--B ，)2,4(C 三点共线，可知BA ∥AC ，即存在实数λ，使BA = λAC ??，那么实数λ= . 而若?BC CA λ=，则λ= . [说明]（1）本问题由共线三点坐标求实数λ，它既是对前一节向量平行的复习与巩固，同时又为定比λ的产生作好铺垫（2）通过本题可以看出使两向量平行的实数λ的取值可正可负. 问题2：设1P （1，1），2P (4,4), λ=1.当12PP PP λ=时，你能求出点P 的坐标吗（引出课题） [说明]问题2是由共线三点中的两点坐标和定比λ的值求第三点坐标，本题给出的点具有一定的特殊性，这样便于学生利用数形结合思想猜出结果，尝试成功的快乐. 二、学习新课 1．定比分点公式
不标准温度计的计算
1一支不准的温度计，测0度的液体读数为2度，测100度的液体读数为102度，今用该温度计测一液体读数为40度，问实际温度2，有一刻度均匀但所标读数与实际温度不相等的温度计，用它测冰水混合物的温度时读数为4℃，用它测标准大气压下沸水的温度时读数为96℃，再用它测某液体的温度时，它的读数为27℃，求:(l)液体的实际温度;(2)当液体的实际温度为多少时，用此温度计测出的读数恰好与液体的实际温度相等 3 一只温度计刻度均匀但示数不准。在一个标准大气压下 ,将它放入沸水中 ,示数为 95℃ ;放在冰水混合物中 ,示数为 5℃ ,现把该温度计悬挂在教室墙上 ,其示数为 32℃ ,教室的实际温度是( )A .2 7℃ ; B .30℃ ; C .32℃ ; D .37℃。 4一只温度计刻度均匀,但示数不准,将它放在冰水混合物中,示数为2℃,放在一标准大气压下的沸水中,示数为92℃,现把这只温度计放在某液体中,其示数为38℃,则该液体的实际温度是多少?
关于不准确温度计的准确示数 ,虽然现行初中教材中没有要求 ,但只要能掌握它的准确示数 ,就能对准确温度计的读数更加深入了解、掌握。不准确温度计 ,一般题目中有两种 :一种是刻度均匀、示数不准 ;另一种是没有刻度的温度计。根据它们的特点 ,同学们可以用以下两种方法计算出它的准确示数。一、每格示数法不准确温度计的每格读数相当于准确温度计的多少摄氏度 ,再乘以不准确温度计的格数。具体做法是 ,把不准确温度计分别放入标准气压下沸水中的温度t沸 ,冰水混合物的温度t冰 ,然后利用下面的公式 :t实 =【1 0 0℃／（t沸 -t冰）】× (t读 -t冰)例 1分析：由：测0度的液体读数为2度，而且100-0=102-2 可知：该温度计与标准温度计相比，每度对应的长度是相等的，只不过是所有刻度上移了两度。 所以：当此温度计读数为40度时，实际温度应为40-2=38度 3分析 :t沸 =95℃t冰 =5℃t读 =32℃则 t实 =【1 0 0℃／（t沸 -t冰）】× (t读 -t冰)
定比、定比分点公式
8.1（3）定比、定比分点公式 一、教学内容分析 本节是8.1的第三节课，是学习向量坐标表示及运算、向量的模与平行之后的又一个新的知识点.它既是对前两节内容复习与巩固，又是对向量知识的进一步深化与拓展，如式子 12PP PP λ=u u u r u u u r 中的λ由实 数推广到定比.同时，经历定比分点公式的推导过程，让学生领悟定比分点的多元化表示方法. 本节的教学重点是定比分点公式的形成、深化、拓展与应用.难点是定比λ的理解、确定及定比分点公式中分点、始点、终点坐标位置的识别. 根据本节特点，教师采取启发、提问为主的教学方法；学生则进行自主学习.即课前进行主动预习，课中进行讨论与交流，课后进行探索研究. 二、教学目标设计 1理解定比的概念，掌握定比分点公式； 2通过定比分点公式的推导过程，巩固向量的运算方法； 感悟定比分点的几种表达方式； 3通过本节的学习，提升发现能力、推理能力，渗透数形结合 思想. 三、教学重点及难点 定比的概念，定比分点公式的推导和应用. 四、教学流程设计
五、教学过程设计 一、 情景引入 观察思考，引入新课 问题1：设)1,2(A ，)1,2(--B ，)2,4(C 三点共线，可知BA u u u r ∥AC u u u r ，即存 在实数λ，使BA u u u r = λAC u u u r ，那么实数λ= . 而若 BC CA λ=u u u r u u u r ，则λ= . [说明]（1）本问题由共线三点坐标求实数λ，它既是对前一节向量平行的复习与巩固，同时又为定比λ的产生作好铺垫（2）通过本题可以看出使两向量平行的实数λ的取值可正可负. 问题2：设1P （1，1），2P (4,4), λ=1.当12PP PP λ=u u u r u u u r 时， 你能求出点P 的坐标吗？（引出课题） [说明]问题2是由共线三点中的两点坐标和定比λ的值求第三点坐
立体几何(向量法)—找点难(定比分点公式)
立体几何（向量法）—找点难（定比分点公式） 例1（2013年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案））如图, 四棱柱 ABCD -A 1B 1C 1D 1中, 侧棱A 1A ⊥底面ABCD , AB (Ⅰ) 证明B 1C 1⊥CE ; (Ⅱ) 求二面角B 1-CE -C 1的正弦值. (Ⅲ) 设点M 在线段C 1E 上, 且直线AM 与平面ADD 1A 1所成角的正弦值为6 , 求线段AM 的长. 【答案】解：方法一：如图，以点A 为原点建立空间直角坐标系，依题意得A (0，0，0)，B (0，0，2)，C (1，0，1)，B 1(0，2，2)，C 1(1，2，1)，E (0，1，0)． (1)证明：易得B 1C 1→＝(1，0，－1)，CE →＝(－1，1，－1)，于是B 1C 1→·CE → ＝0，所以B 1C 1⊥CE . (2)B 1C → ＝(1，－2，－1)， 设平面B 1CE 的法向量＝(x ，y ，z )，
则?????·B 1C →＝0，m · CE →＝0，即?????x －2y －z ＝0，－x ＋y －z ＝0，消去x ，得y ＋2z ＝0，不妨令z ＝1，可得一个法向量 为＝(－3，－2，1)． 由(1)，B 1C 1⊥CE ，又CC 1⊥B 1C 1，可得B 1C 1⊥平面CEC 1，故B 1C 1→ ＝(1，0，－1)为平面CEC 1 的一个法向量． 于是cos 〈，B 1C 1→〉＝m ·B 1C 1→ |m |·|B 1C 1→|＝－414×2＝－2 77，从而sin 〈，B 1C 1→ 〉＝217. 所以二面角B 1－CE －C 1的正弦值为217. (3)AE →＝(0，1，0)，EC 1→＝(1，1，1)．设EM →＝λEC 1→＝(λ，λ，λ)，0≤λ≤1，有AM →＝AE →＋EM →＝(λ，λ＋1，λ)．可取AB → ＝(0，0，2)为平面ADD 1A 1的一个法向量． 设θ为直线AM 与平面ADD 1A 1所成的角，则 sin θ＝|cos 〈AM →，AB → 〉|＝|AM →·AB →||AM →|·|AB →|＝ 2λ λ2＋（λ＋1）2＋λ2×2＝λ3λ2＋2λ＋1. 于是 λ3λ2＋2λ＋1＝26 ，解得λ＝1 3(负值舍去)，所以AM ＝ 2. 方法二：(1)证明：因为侧棱CC 1⊥平面A 1B 1C 1D 1， B 1 C 1?平面A 1B 1C 1 D 1，所以CC 1⊥B 1C 1.经计算可得B 1 E ＝5，B 1C 1＝2，EC 1＝3，从而 B 1E 2＝B 1 C 21＋EC 21，所以在△B 1EC 1中，B 1C 1⊥C 1E .又CC 1，C 1E ? 平面CC 1E ，CC 1∩C 1E ＝C 1，所以B 1C 1⊥平面CC 1E ，又CE ?平面CC 1E ，故B 1C 1⊥CE . (2)过B 1 作B 1G ⊥CE 于点G ，联结C 1G .由(1)，B 1C 1⊥CE .故CE ⊥平面B 1C 1G ，得CE ⊥C 1G ，
3平面向量的坐标表示及线段的定比分点公式
5. 3平面向量的坐标表示及线段的定比分点公式要点透视： 1?要清楚向量的坐标与表示该向量的有向线段的起点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关. 2?遇到共线向量与平行有关问题，一般应考虑运用向量平行的充要条件. 3?线段的定比分点公式，要注意求定比分点A的值，以便顺利求出分点坐 标. 活题解析： 例1. (2002年天津卷)平面直角坐标系中, O是坐标原点，已知两点A(3， 1)，B( — 1, 3)，若点 C 满足 OC =aOA+POB，其中 a 氏 R 且 a+3=1，则点 C的 轨迹方程是() 2 2 A. 3x+ 2y— 11 = 0 B. (x— 1) + (y—2)=25 C. 2x— y= 0 T D士+ 2 y— 5=0^ 要点精析：I 设OC =(x, y)，OA = (3, 1)，OB =(— 1,3)， T T T T a OA=(3 a a， 3OB =( — 3, 3 3，又 aOA+ 3OB =(3 a— 3, a+3 3， I X =3*^ — P 二(x, y)= (3a— 3 a+ 33，；$ n , [y =a +3卩 又a+ 3= 1,因此得x+ 2y= 5,所以选D . 思维延伸：本题主要考查向量法和坐标法的相互关系及转换方法. I I 例2. (2003年江苏卷)已知常数a>0,向量c=(0, a),i = (1, 0),经过原点 O以 c+Xi为方向向量的直线与经过定点 A(0, a)以i — 2Xc为方向向量的直线相交于 点P,其中疋R,试问是否存在两个定点E, F，使得|PE| + |PF|为定值？若存在， 求出E, F的坐标；若不存在，说明理由. 要点精析：本题考查平面向量的概念和计算、求轨迹的方法、椭圆的方程和性质、利用方程判定曲线的性质、曲线与方程的关系等解析几何的基本思想和综合解题能力. 解：根据题没条件，首先求出点P满足的方程，据此再判断是否存在两定点，使得P到两定点的距离之和为定值. 因为1=(° 0), c = (0, a), 所以 c + xi =( X, a), i — 2 入c = (1, — 2 Xa). 因此直线OP和AP的方程分别为?y=ax和y— a= — 2 Xx,
定比、定比分点公式讲解学习
定比、定比分点公式
8.1（3）定比、定比分点公式 一、教学内容分析 本节是8.1的第三节课，是学习向量坐标表示及运算、向量的模与平行之后的又一个新的知识点.它既是对前两节内容复习与巩固，又是对向量知识的进一步深化与拓展，如式子 12PP PP λ=u u u r u u u r 中的λ由实数推广到定比.同时，经历定比分点公式的推导过程，让学生领悟定比分点的多元化表示方法. 本节的教学重点是定比分点公式的形成、深化、拓展与应用.难点是定比λ的理解、确定及定比分点公式中分点、始点、终点坐标位置的识别. 根据本节特点，教师采取启发、提问为主的教学方法；学生则进行自主学习.即课前进行主动预习，课中进行讨论与交流，课后进行探索研究. 二、教学目标设计 1理解定比的概念，掌握定比分点公式； 2通过定比分点公式的推导过程，巩固向量的运算方法； 感悟定比分点的几种表达方式； 3通过本节的学习，提升发现能力、推理能力，渗透数形结 合思想. 三、教学重点及难点 定比的概念，定比分点公式的推导和应用. 四、教学流程设计
五、教学过程设计 一、 情景引入 观察思考，引入新课 问题1：设)1,2(A ，)1,2(--B ，)2,4(C 三点共线，可知BA u u u r ∥AC u u u r ，即存在实数λ，使BA u u u r = λAC u u u r ，那么实数λ= . 而若 BC CA λ=u u u r u u u r ，则λ= . [说明]（1）本问题由共线三点坐标求实数λ，它既是对前一节向量平行的复习与巩固，同时又为定比λ的产生作好铺垫（2）通过本题可以看出使两向量平行的实数λ的取值可正可负. 问题2：设1P （1，1），2P (4,4), λ=1.当12PP PP λ=u u u r u u u r 时，你能求出点 P 的坐标吗？（引出课题） [说明]问题2是由共线三点中的两点坐标和定比λ的值求第三点坐标，本题给出的点具有一定的特殊性，这样便于学生利用数形结合思想猜出结果，尝试成功的快乐. 二、学习新课
定比分点的向量公式及应用
定比分点的向量公式及应用 浙江省永康市古山中学（321307） 吴汝龙 定比分点的向量公式：在平面上任取一点O ，设OP =1，OP =2，若21PP P λ=，则b a OP λ λ λ+++= 111。 特别地，当1=λ时，即P 为线段21P P 的中点，则有b a OP 2 1 21+= 。 用定比分点的向量公式，可使有些问题的解决更简洁。下面举几例说明。 一、求定比λ的值： 例1：已知A （1,2），B （1,3-）及直线l ：54-=x y ，直线AB 与l 相交于P 点，求P 点分AB 的比λ。 解：设),(y x P ，则由λ=，得 )11,131()1,3(1)1,2(11),(λ λ λλλλλ+-++=-+++= y x ， 又∵P 点在直线l 上， ∴51)31(411-++=+-λ λλλ， ∴31=λ。 例2：如图所示，在ABC ?中，D 为边BC 上的点，且k =，E 为AD 上的一点，且l =，延长BE 交AC 于F ，求F 分有向线段所成的比λ。 解：∵λ=，∴λλλ+++= 111， 又EA l DE =，∴BA l l BD l BE +++=111， 而BC k k DC k BD +==1， ∴BA l l BC k l k BE ++++= 1)1)(1(， ∵B 、E 、F 共线，∴设BF t BE =，而BA t BC t BF t λ λλ+++=11 ∴ BA t BC t BA l l BC k l k λ λλ+++=++++111)1)(1( F E D C B A
∴???????+=+++=+l l t k l k t 11) 1)(1(1λλλ，解得k k l )1(+=λ。 二、求直线上点的坐标 例3：已知点)1,1(--A ，)5,2(B ，点C 为直线AB 上一点，且5-=，求C 点的坐标。 分析：先求出C 点分的λ的值，再利用定比分点的向量公式求出点C 的坐标。 解：∵5-=，∴5==CB λ， 利用定比分点的坐标公式有 )4,2 3 ()5,2(65)1,1(616561=+--=+=OB OA OC 。 ∴C 点的坐标为)4,2 3 (。 例4：已知)3,2(A ，)5,1(-B ，且AB AC 3 1 =，3=，求点C ，D 的坐标。 分析：由题设，运用定比分点的向量公式，可以求得点C ，D 的坐标。 解：设),(11y x C ，),(22y x D ， ∵AB AC 31 = ，∴2 11== λ， ∴根据定比分点的向量公式有OB OA OC 2 11111 λλλ+++= ， ∴)311 ,1()5,1(31)3,2(32)5,1(2 1121 )3,2(2111),(11=-?+?=-?++?+=y x 同理由AB AD 3=得2 3 2- == λ， ∴根据定比分点的向量公式有OB OA OC 2 11111 λλλ+++= ， ∴)9,7()5,1(3)3,2(2)5,1(2 3123 )3,2(2311 ),(22-=-?+?-=-?+- +?-=y x
巧用定比分点公式 学法指导
巧用定比分点公式 梁喜涛 陈月双 1、巧求值域 例1. 求函数x cos 23x cos 1y -+=的值域。 分析：观察上式可联想到定比分点公式 ,1x x x 21λ +λ+= 得,x cos 321x cos 322131y ?? ? ??-+??? ??-??? ??-+= 即P （y ，0）分起点为??? ??0,31P 1，终点为?? ? ??-0,21P 2的有向线段21P P 的比为 .32,32x cos 32?? ????-∈-=λ 当3 2-=λ时，,2y max = 当3 2=λ时，,0y min = 故函数x cos 23x cos 1y -+=的值域为［0，2］。 2、巧解数列题 例2. 在8与36之间插入6个数，使它们同这两个数成等差数列，求插入的6个数。 引入命题：设数列}a {n 是等差数列，n m p a ,a ,a 是数列中的三项且有 ,n m m p --= λ 由n m a a m p a a n m m p --=--可得 ).1(1a a a n p m -≠λλ +λ+= 解：设构成的等差数列为}a {n ，则 ,1a a a ,36a ,8a 18n 81λ +λ+=== 其中.1 n n 8--=λ 可得4n 4a n +=，从而知插入的6个数分别为12，16，20，24，28，32。 注意：这里)n (f a n =是n 的一次关系式。 3、巧解不等式 例3. 解不等式 .31 x x 23x 2x 2133<++++< 解：设1 x x 23x 2x ,2133++++，3分别对应数轴上三点P ,P P P 21、、是21P P 的分点，设P 分21P P 、
定比分点公式的三大应用
定比分点公式的应用 线段的定比分点坐标公式：设P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2）是平面内两个定点，点P 0（x 0，y 0）分有向线段12 PP 所成的比为λ，则 有 ??? ??? ?++=++=λλλλ112 10210y y y x x x （λ≠－1） 而 0 101 2020 x x y y x x y y λ--==-- 特别地，当点P 0为内分点或者与点P 1重合时，恒有λ≥0，当点P 为外分点时，恒有λ＜0（λ≠－1）。 定比分点公式揭示了直线上点的位置与数量变化之间的转化关系。灵活应用这个公式，可使解题过程简洁明快，充分展现思维的独创性。下面举例说明它在解题中的应用。 一、用于求解数值的范围 例2.已知,0,1,a b c c <<≠-a+bc x= 且1+c 求证：[,]x a b ?。 证明：设(),(),()A a B b P x 是数轴上的三点，P 是AB 的定比分点，则定比 101a bc a x a c c a bc b x b c λ+--+===<+-- +
P ∴是AB 的外分点，则 [,]x a b ?。 二、用于解决不等式问题 例1.已知1,1a b <<，求证： 11a b ab +<+。 证明：设(1),(1),()1a b A B P ab +-+是数轴上的三点，P λ分AB 的比是，则 111a b ab λ λ+-+= ++ (1) 1(1)(1) 11(1)(1)11a b a b ab a b ab a b ab a b a b ab λ+--++++++∴=== +--+--- + 1,10,a b P λ<<∴>是AB 的内分点， 1a b ab +∴ +在-1与1之间，即 11a b ab +<+。 定比分点公式的类比推理 从定比分点公式的结构形式来看，它与平面几何中的平行于梯形、三角形底边的截线问题，立体几何中的平行于柱、锥、台底面的截面问题以及数列中的通项公式、前n 项和与项数n 的关系等问题，具有很明显的相似之处。 1．平面几何中的定比分点： 命题1：设梯形ABCD 的上、下底边长分别为l 1、l 2 若平行于底边的截线EF 把梯形的腰（高）分成上、下两部分之比为λ（λ≠-1），则EF 的长l= λ λ++12 1l l (λ≥0)。 特别地，（1）当l 1=l 2时，条件为一平行四边形，结论仍成立； （2）当l 1=0时，条件为一三角形，结论仍成立； （3）当λ＝1时，即可得到梯形的中位线公式。 证明：设BA 的延长线与CD 的延长线交于O ，由三角形相似可得
定比分点公式的三大应用
定比分点公式的应用 线段的定比分点坐标公式：设P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2）是平面内两个定点，点P 0（x 0，y 0）分有向线段12PP 所成的比为λ，则 有??? ???? +=++=λλλ12 10210y y y x x x （λ≠－1）而01012020 x x y y x x y y λ--==-- λ＜0（λ≠－1）。 可使解例2.已知P ∴是例1.已知证明：设1,a b 分成上、下两部分之比为λ（λ≠-1），则EF 的长l= λ λ++12 1l l (λ≥0)。 特别地，（1）当l 1=l 2时，条件为一平行四边形，结论仍成立； （2）当l 1=0时，条件为一三角形，结论仍成立； （3）当λ＝1时，即可得到梯形的中位线公式。 证明：设BA 的延长线与CD 的延长线交于O ，由三角形相似可得 由（1）（2）可得λ λ++= 12 1l l l 。 。 h 和h ，依照公式2的推导方法，不难证明出以下两公式： 命题2’:设棱台的上、下底面积分别为S 1、S 2，平行于底面的截面的面积为S 0，若此截面将棱台的侧面分成的上、下两部分的面积之比为λ，则有λ λ++= 1)()()(2 22120S S S 命题2”:设棱台的上、下底面积分别是S 1、S 2，平行于底面的面积为S 0．若此截面将棱台分成的上、下两部分的体积比为λ，则有λ λ++=1)()()(3 2313 0S S S
定比分点公式专题讲座
线段的定比分点 南宁二中 陈芬 教学重点：1、准确理解和掌握定比分点的有关概念； 2、掌握定比分点坐标公式及其推导方法与应用。 教学难点：1、定比分点的有关概念及定比分点坐标公式的推导方法； 2、暴露公式推导中所蕴涵的数学思想与方法。 教学目标 ⑴掌握定比分点的有关概念、定比分点坐标公式及公式的推导方法和应用。 ⑵领悟到公式推导中蕴涵的数学思想，并在推导过程中培养学生的思维能力 和创新能力，以及对知识的应用能力。 ⑶感悟如何去分析问题、提出问题并解决问题的思维过程，学会自主学习。 ⑷培养学生勇于探究、善于探究的精神，从而养成学生良好的数学学习品质。 教学方式：启发式、探究式 教具使用：多媒体 教学过程： 一、设置情景 中国驻南极的科考站派出的科考车在科考站附近的两个地点1P 、2P 之间进行实地考察（如图），1P 在科考站北偏西距离10公里的地方，2P 在科考站北偏东距离20公里的地方。科考车按一定速度从1P 到2P 直线行驶需3个小时。一天，科考站收到消息，科考车从1P 出发2小时到P 处时出现故障，现从科考站派出的救援车若按一定速度行驶，则应朝哪个方向行驶可最快赶往出事点P 处？ 西南
二、探究引入与揭示课题 问题一： 针对以上实际问题，请同学们提炼出一个数学模型。（展示学生的成果） ①已知点),(111y x P 、),(222y x P ，有一点P 使 k PP P P =2 1，求P 点坐标 ②已知点),(111y x P 、),(222y x P ，直线21P P 上有一点P 使 k PP P P =21，求P 点坐标 ③已知点),(111y x P 、),(222y x P ，线段21P P 上有一点P 使k PP P P =2 1，求P 点坐标 问题二： 哪几个表述是可以解决的？ （通过分析，学生会发现只有③可以确定解决，①解决不了，而②包含有两种情况，其中一种就是③，那另一种情况呢？引导学生对②进行分类，得出以下两种表述） ④已知点),(111y x P 、),(222y x P ，线段21P P 延长线上有一点P 使k PP P P =2 1，求P 点 坐标 ⑤已知点),(111y x P 、),(222y x P ，线段21P P 反向延长线上有一点P 使 k PP P P =2 1，求P 点坐标 问题三： ③④⑤的表述有哪些异同？可以用什么更简洁的表述形式来代替这些表述？ （引导学生归纳出：③④⑤的表述都可用下面的形式代替就） 21PP P P λ= 问题四： λ取何值时分别代表③④⑤的意义？ 点P 在线段21P P 上?0>λ； 点P 在线段21P P 延长线上?1-<λ； 点P 在线段21P P 反向延长线上?01<<-λ
人教版高中数学定比分点公式的向量形式及应用
定比分点公式的向量形式及应用 众所周知,向量法是解决平面几何问题的重要方法之一,而定比分点公式是解析几何中应用非常广泛的重要公式之一;本文介绍定比分点公式的向量形式及其在解决平面几何问题中的应用;供大家参考. 1 定理及其推论 定理 设点P 分21P P 的比为λ(即21PP P P λ=,1-≠λ),Q 为平面上的任意一点,则21 111QP QP QP λ λ λ+++= .(定比分点公式的向量形式) 证明: ∵21PP P P λ=,∴)(21QP QP QP QP -=-λ 即21)1(QP QP QP λλ+=+,即21 111QP QP QP λ λ λ+++= . 推论1设点P 为OAB ?的边AB 上的点,且 ,,n PB m AP ==则OB n m m OA n m n OP +++=. 推论2设点P 为OAB ?的边AB 的中点,则)(2 1 OB OA OP +=. 推论3 OAB ?中，点P 在直线AB 上的充要条件是：存在实数t ，使 OB t OA t OP )1(-+=成立 证明：（充分性）∵OB t OA t OP )1(-+=， ∴)(OB OA t OB OP -=-，即BA t BP =， 故P B A ,,三点共线，即点P 在直线AB 上. (必要性)(1)当点P 不与B 重合时，可设P 分AB 的比为λ,则由定理可知 OB OA OP λλλ+++= 111,取λ +=11 t 得OB t OA t OP )1(-+=.
(2) 当点P 与B 重合时,可取0=t ,显然有OB t OA t OP )1(-+=成立. 推论4在直角坐标平面中,设()111,y x P ,()222,y x P ,()y x P ,,且点P 分21P P 的比为λ(其中1-≠λ),则λλ++= 121x x x ,λ λ++=12 1y y y (定比分点公式) 证明:取Q 为原点()0,0O ,由定理可得()()),(1,11 ,2211y x y x y x λ λλ+++=, 即λλ++=121x x x ,λ λ++=12 1y y y 2 应用举例 (1)证明比例线段关系 例1 如图，在ABC ?中,E D ,是BC 边的三等分点，D 在B 和E 这之间， F 是AC 的中点， G 是AB 的中点，设 H 是线段DF 与EG 的交点，求比值HG EH :. 分析:要求比值HG EH :的大小,只须得到向量与向量之间的线性关系,由平面向量基本定理可知,可选择一组合适的基底, 则向量EH 、向量都可用这组基底的线性组合表示之,一旦表示成功,则结论也唾手可得了. 证明:设=, =,连结CG 、CH ，由于EC BE 2=, 由推论1可知：=+= 3132)(3 132-+ CG CB -=31)(2131CA CB CB +-==b a 2 161-- 即2 1 61+=；∵D 、H 、F 三点共线，∴t t )1(-+= ))(1(t t --+=== --+)3121)(1(3a b t a t b t a t 2 1312-+-， ∵与EH 是共线向量，∴0312212161=-?--? t t ，即5 3 =t ， E
北师大版数学高一-2.4素材 巧用定比分点公式解题
c+c 2-ab a c-c 2-ab b x B X 巧用定比分点公式解题 定比分点公式是平面解析几何中的重要公式，在解析几何中应用非常广泛。在平面直角坐标系中分点的坐标是以二维变量),(y x 形式出现的，在数轴上定比及定比分点公式显得更简洁和新颖，分点的坐标是以一维变量x 的形式出现。所以在高中数学的其他章节内容中，若能灵活运用定比及定比分点公式求解，能拓展学生的解题思路，开拓视野，培养学生创造性思维。 例1、设1,0,1-≠<<++= c c b a c bc a x 且，求证：[] b a x ,? 证明：如右图在数轴上取点A ，B ；坐标分别为b a , 点X 分有向线段AB 所成的定比 c =λ，即XB AX λ=，由定比分点公式得c bc a b a x ++=++= 11λλ 00<<λ即c 所以点X 为线段的外分点，即[]b a x ,? 例2、已知,1||,1||<--++=++- --++=b a b a ab b a ab b a λ，因此P 是有向线段2 1P P 的内分点，从而111<++<-ab b a ，即以上结论成立。 例3、已知,02><+a c b a 且求证：ab c c a ab c c -+<<--22 分析：该题与例2证明方法相同，如右图P 分有向线段所成的定比 () [] )(2) () ()()()(2 2 22 22 b a c a c a ab c c a ab c c a ab c a ab c c ab c c a +--+-= ----+-= --+---= λ>0 所以P 是有向线段的内分点，即结论成立。 评注：以上三题都是巧妙地构造数轴上的定比分点，运用定比的概念及定比分点公式进行运算，利用定比λ值的符号以及内分点，外分点的概念巧妙地证明了以上不等式。
(整理)定比分点坐标公式在解题中的应用.
定比分点坐标公式在解题中的应用 河北 陈庆新 许多同学可能已经能够熟练地应用有向线段的定比分点坐标公式 ??? ????++=++=λ λλ λ112 12 1y y y x x x 及定比的坐标公式λ＝x －x 1x 2－x ，求解有向线段的定比分点坐标及定点 分有向线段所成的比了．事实上用这两个公式，还可巧妙地用于解决其它一些问题．如用得好，会使解题过程显得别具一格，简捷明快，充分展现我们思维的独创性．下面举例说明其解题中的应用． 一、在几何问题中的应用 （一）关于公式的正用 例1． 证明：三角形内角平分线分其对边之比等于夹这个角的两边长度之比． 证明：以ΔOAB 的顶点O 为原点，∠AOB 的平分线OC 所以直线为x 轴，建立平面直角坐标系如图所示，设|OA|＝m ，|OB|＝n ，∠AOC ＝∠COB ＝θ，则A(m cos θ，m sin θ)，B(n cos θ，－nsin θ)，设C 点分?→ ?AB 的所成的比为λ，由定比分点的坐标公式：m sin θ－λn sin θ1＋λ ＝0，解之得，λ＝m n ，即|AC||CB|＝|OA||OB|． 点评：本例的结论在解题中有着很多的应用。请看下面的例子。 例2．已知△ABC 三个顶点的坐标分别为A(－1，1)，B(3，1)，C(2，5)，角A 的内角平分线交对边于D ，则向量AD ??→ 的坐标为 ． 解析：容易计算|AB ??→ |＝4，|AC ??→ |＝5。根据三角形内角平分线的性质知：AB AC ＝BD DC ，于是可知点D 分有向线段BC ??→所成的比为4 5，从而由定比分点坐标公式可 求得点D 的坐标（239，259），于是AD ??→＝（329，16 9）． 例3．已知三点A(1，2)、B(4，1)、C(3，4)，在线段AB 上取一点P ，使过P 且平行于BC 的直线把△ABC 的面积分成4∶5两部分，求点P 的坐标． A C O B x y
