其中最频繁使用的是不可约表示的特征标表

群论复习思考题

群论复习思考题 2006.12 1． 写出C 4v 对称性群的类、元素的阶及所有不变子群，并证明下述结论： （1） C 4v 的不变子群H 的不变子群K 不一定是C 4v 的不变子群。 （2） C 4v 的不变子群的交集仍是C 4v 的不变子群。 2． 试由???? ??-0110和??? ? ??00i i 生成一矩阵群。证明此群为8阶群，分五类，但与C 4v 不同构。 （提示：证明该矩阵群中四阶元有6个，而C 4v 中只有2个） 3． 若一群的元素均为2阶，证明它可以是4阶Abel 群。 4． （1）设a 2=b 3=(ab)2=e,由a ，b 生成的群为几阶群？列举两个与其同构的群的例子。 （2）若a ，b 乘积可对易，且a 2=b 3=e,证明a ，b 生成的群定是循环群。 5． 叙述同态核定理，并加以证明。 6． 若G 群是2n 阶的，H 为G 的n 阶子群，则H 必为G 的不变子群。其商群必为二阶循环群。 7． 若群G=H ?K ，试证明（1）商群G/H 与K 同构;（2）群G 的类数等于两因子群类数之积。 8． （1）证明有限群共轭类中所含元素数目也是群阶的因子。 （2）证明置换群S n 中属于同一配分的各种可能置换元素属于同一类。 9．（1）设a,b,c 为群元，试证 abc,bca,cab 同阶。 （2）证明下列循环积恒等式： ()()()()y b X a y Xb a ab = 10．证明在适当的基函数下，群G 可约表示的形式是 ()()()()()()??? ? ??=A D A X O A D A D 21 其中()()A D 1和()()2D A 分别是m 阶和n 阶方阵； ()A X 是n 行m 列的矩阵，而O 是m 行n 列的零矩阵。 （提示：采用行矢量基矢，()00,1,0,0 i i =? ）

特征标表

1若干对称操作对特征标的贡献 对称操作对特征标的贡献对称操作对特征标的贡献 E3i-3 C2-1σ1 C 30S 3-2 C 41S 4-1 2点群特征标表 1.C s 点群 CsE σh A'11x,y,R z x 2 ,y 2,z 2 ,xy A"1-1z,R x ,R y yz,xz 2.C n 点群 C2EC2 A11z,R z x 2 ,y 2,z 2 ,xy B1-1x,y,Rx,Ryyz,xz 2C 65 C 6EC 6C 3C 2C 3 A111111 B1-11-11-1 E 11 ε * -ε 1-ε * ε 1 * ε -ε 1 * -ε ε E21 1 * -ε -ε -ε * -ε 1 1 * -ε -ε -ε * -ε Γφ600000 3.C nv 点群 C2νEC2σν(xz)σν'(yz) 222 A11111zx,y,z A 211-1-1R z xy B 11-11-1x,R y xz B21-1-11y,Rxyz C3νE2C33σν A1111zx 2 +y 2,z 2 A211-1Rz 2 E2-10(x,y)(R x ,R y )(x –y 2 ,xy)(xz,yz) 2 ,xy)(xz,yz )

C4vE2C4C22σν2σd 2 A111111zx 22 +y,z 1

B 11-111-1x 2 –y 2 B 21-11-11xy E20-200(x,y)(Rx,Ry)(xz,yz) 4.C nh 点群 C 2h EC 2i σh Ag1111Rzx 2 ,y 2,z 2 ,xy B g 1-11-1R x ,R y xz,yz A u 11-1-1z Bu1-1-11x,y 5.D n 点群 D 3E2C 33C 2 A 1111x 2 +y 2,z 2 A211-1z,Rz 2 E2-10(x,y)(Rx,Ry)(x –y 2 ,xy)(xz,yz) 2 ,xy)(xz,yz ) 22C 2'2C 2"D 4E2C 4C 2=C 4 A111111x 2 +y 2,z 2 A2111-1-1z,Rz 2 B 11-111-1x 2 –y B 21-11-11xy E20-200(x,y)(Rx,Ry)(xz,yz) 6.D nh 点群 D2hEC2(z)C2(y)C2(x)i σ(xy)σ(xz)σ(yz) A g 11111111x 2 ,y 2,z 2 B 1g 11-1-111-1-1R z xy B 2g 1-11-11-11-1R y xz B3g1-1-111-1-11Rxyz A u 1111-1-1-1-1 B 1u 11-1-1-1-111z B2u1-11-1-11-11y B3u1-1-11-111-1x D 3h E2 C 33C 2σh 2S 33σv

特征标和特征标表

5.04, 无机化学原理 II 麻省理工学院化学系 第4讲 特征标和特征标表 '' v 在前面一讲中，我们构建了一套操作为2 ' 33E C C v v σσσ、 、、、、的特征标表。但因为我们选择的三角形基组是不完全的，所以并没有揭示所有不可约表示Γirr 。可以用一个三角形代表笛卡儿坐标空间（x, y, z ），在该空间中可以确定不可约表示Γirr ，也可以尝试选择其他的基以揭示其他的不可约表示Γirr 。例如，考察绕z 轴的旋转， 在群的操作（因为同一类操作的特征标是相同的，因此对每一类只选择一个操作）下，这个基fn 、Rz 的变换特性如下： ()z z 3z z v z z →'' v E R R C R R xy R R σ→→：：： 注意：这些变换特性产生不包括在三角形基之内的不可约表示。可得到一个新的（1×1）的表示[representation ，原文误为：basis ]Γ3，这个表示描述R z 的变换 特性。由2'33E C C v v σσσ、 、、、、定义的群的Γi 总结如下：

不可约表示及其特征标服从五个重要规则： 规则1： 群的不可约表示Γi的维数（l i）平方和等于群的阶h，即： 由于恒等操作下特征标等于Γi的维数（因为E总是单位矩阵），该规则也可表述如下： 原文误为： 规则2：不可约表示Γi的特征标的平方和等于h 原文误为： 规则3：两个不同不可约表示的特征标作为分量的矢量正交 原文误为：

规则4：对于给定的表示，所有属于同类操作的矩阵的迹（trace ，原文误为character ）相等 。 规则5：群中不可约表示Γi 的数目等于群中类的数目 运用这些规则，我们就可以从代数学角度构建特征标表。下面仍以前面的例子为例来构建缺乏任一基时的特征标表： 规则5：E ，()2C C 、33，() ''' v v v σσσ、、，可分为3类，∴3Γi 规则1：2 2261,l l l l l l 1 231232++=∴===， 规则2：所以特征标表都具有一个全对称表示，这样，其中的一个不可约表示Γi 具有特征标χ1（E ）＝1，χ1＝（C 3，C 32）＝1（原文误为：σ1＝），χ1＝（σv ，σv ′，σv ″）＝1。应用规则2，我们可求得维数为1的其他不可约表示， 因为， ()E χ=21()()()()232v 232v 12C 30C 1,1χχσχχσ+?+?=∴==?， 在Γ3（l 3=2）的情况下，规则2没有唯一解 ()()333v 22C 30χχσ+?+?= 但是，规则2应用于Γ3可以得到一个含有两个未知数的方程。可以有几种选择得到第二个独立的方程：

第1部分第3章 特征标理论(1)

第一部分群论基础第三章群表示特征标理论(1)

(一) 群表示的特征标及其性质 2 一, 特征标的定义 群表示的特征标是群表示矩阵的迹 ( 对角矩阵元之和 ) χ ( R ) = tr D ( R ) = ∑αDαα ( R ) ------------- (1) 二, 特征标的性质 (1) 同类群元的特征标相同 证明: R 和 S 同类, 则有 T 使 S = T-1 R T 因此, χ ( S ) = tr D ( S ) = tr D ( T-1 R T ) = tr [ D ( T-1 ) D ( R ) D ( T ) ] = tr [ D -1( T ) D ( R ) D ( T ) ] = tr D ( R ) = χ ( R ) 即特征标是类的函数 *

(2) [ 提问: 等价表示的特征标是否相同? 为什么? ] 3 [ 答案: 相同, 矩阵作相似变换其迹不变 ] (3) [ 提问: 可约表示与所含不可约表示的特征标有什么关系? ] [答案: 可约表示的特征标是所含不可约表示特征标之和]三, 对特征标的评价 1, 以3 × 3 的表示矩阵为例, 一个特征标比九个矩阵元简单得多, 可使问题大大简化; 2, 特征标保留了群的重要信息. 不少情况下, 利用特征标就能解决问题; 3, 与表示矩阵相比, 特征标丢掉了一些信息. [ 提问: 丢掉了什么信息? ] [ 答案: 丢掉了类里的信息, 即类中群元间关系的信息. ] [ 提问: 为什么 ? ] [ 答案: 同类元的特征标相同, 特征标是类的函数. ] *

（二）可约表示的约化 ( 简捷有效的约化途径 ) 4 1, 群的不可约表示的（矩阵）形式一般说来不是唯一的。通过相似变换, 可以得到许多不同的彼此等价的不可约表示，但它们的特征标相同，是确定的。 2, 群的任何一个可约表示都可以通过相似变换将其（准）对角化,这就是可约表示约化的过程。如果该表示不能再进一步对角化, 则该表示就可写成其对角线上的不可约表示的直和。 3, 因此，群的可约表示可以由不可约表示线性组合（直和）而成 D ( R ) = ∑i D i ( R ) a i ( i = 1 ------ r ) ------ (2) 并有χ ( C ) = ∑i χi ( C ) a i ( i = 1 ------ r ) ------ (3) 其中 a i 为约化系数，即第 i 个不可约表示出现的次数。 可约表示的约化就是求约化系数a i ，这可通过公式 (3) 获得。4, 由公式 (3)可知，如某群表示与其某不可约表示的特征标完全相同，则该群表示为不可约表示；否则，为可约表示。 *

广义四元数群和同阶二面体群的常特征标表

2008年第29卷第1期中北大学学报(自然科学版)V o l.29　N o.1　2008 (总第117期)JOURNAL OF NORTH UN IVERSIT Y OF CH INA(NATURAL SC IENCE ED ITI ON)(Sum N o.117) 文章编号:167323193(2008)0120001203 广义四元数群和同阶二面体群的常特征标表Ξ 闫春苗1,李丽萍2,姬小龙3 (1.中北大学理学院,山西太原030051;2.太原科技大学数学系,山西太原030026; 3.济源职业技术学院基础部,河南济源454650) 摘　要:　考虑到四元数群Q8和同阶的二面体群D8有许多相似的结构性质,对广义四元数群Q4m和同阶的 二面体群D2n做了相应的推广.在分析群结构的基础上,主要讨论了广义四元数群和同阶的二面体群的常特 征标表,指出满足一定条件的广义四元数群和同阶的二面体群有相同的特征标表. 关键词:　有限群;特征标;不可约特征标;群作用 中图分类号:　O152 文献标识码:A Character Tables of Generalized Quatern ion Group and Sam e-Order D ihedral Group YAN Chun2m iao1,L I L i2p ing2,J I X iao2long3 (1.Schoo l of Science,N o rth U n iversity of Ch ina,T aiyuan030051,Ch ina; 2.D ep t.of M athem atics,T aiyuan U n iversity of Science and T echno logy,T aiyuan030026,Ch ina; 3.Fundam en tal D epartm en t,J iyuan V ocati onal and T echn ical Co llege,J iyuan454650,Ch ina) Abstract:Con sidering m any si m ilar p rop erties in the quatern i on group Q8and the dihedral group D8, the generalized quatern i on group Q4m and sam e2o rder dihedral group D2n are ex tended acco rdingly.A f2 ter analyzing the structu re of the fin ite group,the character tab les of generalized quatern i on group and sam e2o rder dihedral group are discu ssed,w h ich have the sam e tab le under certain conditi on s. Key words:fin ite group;character;irreducib le character;acti on of group 0　引　言 四元数群Q8=〈x,y x4=y4=1,x2=y2,y-1xy=x-1〉和与其同阶的二面体群D8=〈x,y x4=y2=1, y-1xy=x-1〉有许多相似的性质[1],比如有相同的阶,相同的特征标表等.本文将在此基础上进一步讨论推广了的四元数群(即广义四元素群Q4m)和与其同阶的二面体群之间的区别和联系.注意到一个简单的事实:对于二面体群G=D2n=〈x,y x n=y2=1,y-1xy=x-1〉,当n是奇数时,没有同阶的广义四元数群,此时它是一个F roben iu s群,核为〈x〉,补是〈y〉.根据文献[2]中定理6.34,可以求出它的特征标表.给定一个有限群,如何求出它的特征标表,在特征标理论中是一个基本而重要的问题,文献[3]就此给出了许多相关结论,提供了一些一般性的方法.本文将具体地讨论n=2m是偶数时,广义四元数群Q4m和二面体群D4m之间的关系,尤其是两者常特征标表之间的关系. Ξ收稿日期:2007206216 　作者简介:闫春苗(19802),女,助教,硕士.主要从事基础数学研究.