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三角函数模型的简单应用

三角函数模型的简单应用
三角函数模型的简单应用

三角函数模型的简单应用

主讲:黄冈中学教师汤彩仙

例1、已知电流在一个周期内的图象如图:

(1)根据图中数据求的解析式.

(2)如果t在任意一段秒的时间内,电流都能取得最大值和最小值,那么ω的最小正整数值是多少?

例2、某港口水的深度y(米)是时间,单位:时)的函数,记作,下面是某日水深的数据:

t时0 3 6 9 12 15 18 21 24

y米10.0 13.0 9.9 7.0 10.0 13.0 10.1 7.0 10.0 经长期观察,的曲线可以近似地看成函数的图象.

(1)试根据以上数据,求出函数的近似表达式;

(2)一般情况下船舶航行时,船底离海底的距离为5米或5米以上时认为是安全的(船舶停靠时,船底只需不碰海底即可).某船吃水深度(船底离水面的距离)为6.5米,

如果该船希望在同一天内安全进出港,请问,它至多能在港内停留多长时间(忽略进出港所需时间)?

解:

(1)由已知数据,易知函数的周期T=12,振幅A=3,b=10,

(视频板书中应为f(t)).

(2)由题意,该船进出港时,水深应不小于5+6.5=11.5米,

,解得:

,在同一天内,取.

∴该船可在当日凌晨1时进港,17时出港,在港口内最多停留16个小时.

例3、如图所示,一个摩天轮半径为10米,轮子的底部在地面上2米处,如果此摩天轮按逆时针方向每20秒转一圈,且当摩天轮上某人经过点P处(点P与摩天轮中心O高度相同)时开始计时:

(1)求此人相对于地面的高度关于时间的函数关系式;

(2)在摩天轮转动的一圈内,有多长时间此人相对于地面的高度不超过10米.

解:

(1)以O为坐标原点,以OP所在直线为x轴建立直角坐标系,在t秒内摩天轮转过的角为,∴此人相对于地面的高度为(米).(2)令,则,

,,

故约有8.72秒此人相对于地面的高度不超过10米.

例4、某商品一年内出厂价格在6元的基础上按月份随正弦曲线波动,已知3月份达到最高价格8元,7月份价格最低为4元.该商品在商店内的销售价格在8元基础上按月份随正弦曲线波动,5月份销售价格最高为10元,9月份销售价最低为6元.(1)试建立出厂价格、销售价格的模型,并求出函数解析式;

(2)假设商店每月购进这种商品m件,且当月销完,试写出该商品的月利润函数.

1.6 三角函数模型的简单应用

1.6 三角函数模型的简单应用 课堂训练 一、选择题 1.函数的2cos 3cos 2y x x =-+最小值为( ) A .2 B .0 C .4 1- D .6 2. 2sin 5cos )(+-?=x x x x f ,若a f =)2(,则)2(-f 的值为( ) . A .-a B .2+a C .2-a D .4-a 3.设A 、B 都是锐角,且cosA >sinB 则A+B 的取值是 ( ) A .??? ??ππ,2 B .()π,0 C .?? ? ??2,0π D .?? ? ??2,4ππ 4.若函数 )(x f 是奇函数,且当0x 时,) (x f 的表达式为( ) A .x x 2sin 3cos + B .x x 2sin 3cos +- C .x x 2sin 3cos - D .x x 2sin 3cos -- 5.下列函数中是奇函数的为( ) A .y=x x x x cos cos 22-+ B .y=x x x x cos sin cos sin -+ C .y=2cosx D .y=lg(sinx+x 2sin 1+) 二、填空题 6.在满足 x x 4 πtan 1πsin +=0的x 中,在数轴上求离点6最近的那个整数值是 . 7.已知( )sin 4f x a x =+(其中a 、b 为常数),若()52=f ,则()2f -=__________. 8.若?>30cos cos θ ,则锐角θ的取值范围是_________. 9.由函数??? ??≤≤=656 3sin 2ππx x y 与函数y =2的图象围成一个封闭图形,这个封闭图形 的面积是_________. 10.函数1 sin(2)2 y x θ=+的图象关于y 轴对称的充要条件是_________. 三、解答题 11.如图,表示电流强度I 与时间t 的关系式),0,0)(sin(>>+=ω?ωA t A I 在一个周期 内的图象. ①试根据图象写出)sin(?ω+=t A I 的解析式

三角函数模型的简单应用

课题(章节)1.6 三角函数模型的简单应用(二) 教学目标 能正确分析收集到的数据,选择恰当的三角函数模型刻画数据所蕴含的规律; 能根据问题的实际意义,利用模型解决有关实际问题; 通过三角函数模型的简单应用,培养学生应用数学知识解决问题的能力。 教学重点用三角函数模型解决具有周期变化规律的实际问题 教学难点将某些实际问题抽象为三角函数模型,对实际意义的数学解释 课的类型新授课时间45分钟 教学时数1课时教具几何画板课件,计算器 板书设计 (提纲)三角函数模型的简单应用(二) 将实际问题抽象为三角函数模型:建模的基本思路: 例题:1.根据数据作散点图 2.根据图像进行函数拟合 3.选择恰当的函数模型 本题小结:4.利用函数模型解决实际问题 教学过程: 新课引入: 问题:对于三角函数模型,我们都学习了哪几个方面的应用? 引入:利用三角函数模型我们还可以解决哪些问题呢? 教学情景: 将实际问题抽象为三角函数模型: 例:海水受日月的引力,在一定时候发生涨落的现象叫潮。一般地,早潮叫潮,晚潮叫汐。在通常情况下,船在涨潮时驶进航道,靠近码头;在落潮时返回海洋。下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表: 时刻水深/米时刻水深/米时刻水深/米 0:00 5.0 9:00 2.5 18:00 5.0 3:00 7.5 12:00 5.0 21:00 2.5 6:00 5.0 15:00 7.5 24:00 5.0 选用一个函数来近似描述这个港口的水深与实间的函数关系,给出整点时的水深的近似数值(精确到0.001); 一条货船的吃水深度(船底与水面的距离)为4米,安全条例规定至少要有1.5米的安全间隙(船底与洋底的距离),该船何时能进入港口?在港口能呆多久? 若某船的吃水深度为4米,安全间隙为1.5米,该船在2:00开始卸货,吃水深度以每小时0.3米的速度减少,那么该船在什么时候必须停止卸货,将船驶向较深的水域? 分析:1.观察表格中的数据,你发现了什么规律?(从所给数据中发现周期性变化规律); 2.要求学生根据数据作出散点图,观察徒刑,你认为可以用怎样的函数模型来刻画其中的规律?(引导学生根据散点图的特点选择函数模型); 3.引导学生与“五点法”联系,求出函数模型的解析式; 4.根据所得的函数模型,求出整点时的水深;(利用计算器) 5.引导学生正确理解题意,利用函数模型解决实际问题,求出第(2)问,并对答案进行合理地解释;(利用计算器进行计算) 6.引导学生正确理解第(3)问,用函数模型刻画安全水深,并对答案做出合理地解释 解:(1)以时间为横坐标,水深为纵坐标,在直角坐标系中画出散点图: 根据图像,可以考虑用函数 sin() y A x h ω? =++刻画水深与时间之间的对应关系。从数据和图象可以得出: 2.5,5,12,0 A h T? ====,由 2 12 T π ω == ,得6 π ω= 。所以,这个港口的水深与时间的关系可用 2.5sin5 6 y x π =+ 近似描述。 由上述关系式,易得港口在整点时水深的近似值: 时刻0:00 1:00 2:00 3:00 4:00 5:00 6:00 7:00 水深5.000 6.250 7.165 7.500 7.165 6.250 5.000 3.754 时刻8:00 9:00 10:00 11:00 12:00 13:00 14:00 15:00 水深2.835 2.500 2.835 3.754 5.000 6.250 7.165 7.500 时刻16:00 17:00 18:00 19:00 20:00 21:00 22:00 23:00 水深7.165 6.250 5.000 3.754 2.835 2.500 2.835 3.754 (2)货船需要的安全水深为4+1.5=5.5(米),所以 5.5 y≥时就可以进港。

三角函数实际应用

1.如图,一艘核潜艇在海面下500米A点处测得俯角为30°正前方的海底有黑匣子信号发出,继续在同一深度直线航行3000米后再次在B点处测得俯角为60°正前方的海底有黑匣子信号发出,求海底黑匣子C点处距离海面的深度?(保留根号) 2.如图,甲乙两幢楼之间的距离BD=30m,自甲楼顶端A处测得乙楼顶端C处的仰角为45°,测得乙楼底部D处的俯角为26.6°,求甲、乙楼两幢楼的高度. (参考数据:sin26.6°≈0.45,cos26.6°≈0.89,tan26.6°≈0.50) 3.如图,哨兵在灯塔顶部A处测得遇难船只所在地B处的俯角为60°,然后下到灯塔的C 处,测得B处的俯角为30°.已知AC=40米,若救援船只以5m/s 的速度从灯塔底部D处出发,几秒钟后能到达遇难船只的位置?(结果精确到个位). 4.如图,大楼AB的高为16m,远处有一塔CD,小在楼底A处测得塔顶D处的仰角为 60°,在楼顶B处测得塔顶D处的仰角为45°,其中A、C两点分别位于B、D两点正下方,且A、C两点在同一水平线上,求塔CD的高.(=1.73,结果保留一位小数.)

5.在一次数学活动课上,老师带领学生去测一条南北流向河流的河宽,如图所示,某学生在河东岸点A处观测河对岸水边点C,测得C在A北偏西30°的方向上,沿河岸向北前行20米到达B处,测得C在B北偏西60°的方向上.请你根据以上数据,帮助该同学计算出这条河的宽度.(精确到0.1,参考数据:). 6.校园中的一棵大树PC在下的影长为AC,在树的影长端点A处测得∠PAC=30°,在B点(点B在直线AC上)测得∠PBC=60°,如果AB=12m,求树高PC和树的影长AC. 7.一副直角三角板如图放置,点C在FD的延长线上,AB∥CF,∠F=∠ACB=90°,∠E=30°,∠A=45°,AC=12,试求CD的长. 8.在一个明媚、清风徐徐的周末,小明和小强一起到郊外放风筝.他们把风筝放飞后,两个风筝的引线一端都固定在地面上的C处(如图).现已知风筝A的引线(线段AC)长20m,风筝B的引线(线段BC)长24m,在C处测得风筝A的仰角为60°,风筝B的仰角为45°.(1)试通过计算,比较风筝A与风筝B谁离地面更高? (2)求风筝A与风筝B的水平距离.(结果精确到0.01m,≈1.414,≈1.732)

三角函数在实际生活中的应用

三角函数在实际生活中的应用 目录 摘要:1 关键词:3 1引言3 1.1三角函数起源3 2三角函数的基础知识4 2.1下列是关于三角函数的诱导公式5 2.2两角和、差的正弦、余弦、正切公式7 2.3二倍角的正弦、余弦、正切公式7 3.三角函数与生活7 3.1火箭飞升问题7 3.2电缆铺设问题8 3.3救生员营救问题9 3.4足球射门问题10 3.5食品包装问题10 3.6营救区域规划问题11 3.7住宅问题12 3.8最值问题13 4 总结14 Abstract

Trigonometric function in the course of historical development of continuous improvement, has formula, rich thoughts, flexible, permeability is strong and so on。The characteristic is not only an important part of scientific research, or in mathematics learning to key and difficult. In a word it in teaching and other fields has important role. In this paper, we will make a brief discussion about the application of trigonometric functions in solving practical problems. Keywords:mathematics trigonometric function Application of trigonometric function 摘要: 三角函数在历史的发展过程中不断完善,具有公式多、思想丰富、变化灵活、渗透性强等特点,不仅是科学研究的重要组成部分,还是数学学习中得重点难点,

三角函数模型的简单应用教案

三角函数模型的简单应用一、教学目标 1 、基础知识目标: a 通过对三角函数模型的简单应用的学习,使学生初步学会由图象求解析式的方法; b 根据解析式作出图象并研究性质; c 体验实际问题抽象为三角函数模型问题的过程; d 体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型. 2、能力训练目标:让学生体验一些具有周期性变化规律的实际问题的数学“建模”思想从而培养学生的建模、分析问题、数形结合、抽象概括等能力. 3、个性情感目标:让学生切身感受数学建模的过程,体验数学在解决实际问题中的价值和作用,让学生切身感受数学建模的过程,体验数学在解决实际问题中的价值和作用从而激发学生的学习兴趣,培养锲而不舍的钻研精神;培养学生勇于探索、勤于思考的精神。 二、教学重点:精确模型的应用——即由图象求解析式,由解析式研究图象及性质 三、教学难点: a 、分析、整理、利用信息,从实际问题中抽取基本的数学关系来建立数学模型,并调动相关学科的知识来解决问题. b 、由图象求解析式时的确定。 四、教学过程及设计意图 教学过程 设计意图 (一)课题引入 情景展示,引入课题(多媒体显示) 同学们看过海宁潮吗?……?今天我就带大家去看一看天下奇观一一海宁潮. 在潮起潮落中

也蕴含着数学知识. 又如大家熟悉的“物理中单摆对平衡位置的位移与时间的关系”、“交流电的电流与时间的关系”、“声音的传播”等等也都蕴含着三角函数知识。 通过上面的例子引发学生的兴趣,贴近生活,可以告诉学生生活离不开数学,身边充满了数学;同时可以让学生知道数学的重要性,不仅仅是课本上的内容,还有生活都可以用到数学,所以学生更应该努力学习,才能更懂得生活。 这样的例子还有很多,比如: 二.由图象探求三角函数模型的解析式 例1 ?如图,某地一天从6?14时的温度变化曲线近似满足函数. (1 )求这一天6?14时的最大温差; (2 )写出这段曲线的函数解析式. 解:( 1 )由图可知:这段时间的最大温差是; (2)从图可以看出:从6?14 是的 半个周期的图象, 又… - ??? 将点代入得: ??,取,??。 问题的反思】

最全高中数学三角函数公式

定义式 ) ct 函数关系 倒数关系:;; 商数关系:;. 平方关系:;;.诱导公式

公式一:设为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等: 公式二:设为任意角,与的三角函数值之间的关系: 公式三:任意角与的三角函数值之间的关系: 公式四:与的三角函数值之间的关系: 公式五:与的三角函数值之间的关系: 公式六:及与的三角函数值之间的关系:

记背诀窍:奇变偶不变,符号看象限.即形如(2k+1)90°±α,则函数名称变为余名函数,正弦变余弦,余弦变正弦,正切变余切,余切变正切。形如2k×90°±α,则函数名称不变。 诱导公式口诀“奇变偶不变,符号看象限”意义: k×π/2±a(k∈z)的三角函数值.(1)当k为偶数时,等于α的同名三角函数值,前面加上一个把α看作 锐角时原三角函数值的符号; (2)当k为奇数时,等于α的异名三角函数值,前面加上一个把α看作锐角时原三角函数值的符号。 记忆方法一:奇变偶不变,符号看象限:

记忆方法二:无论α是多大的角,都将α看成锐角. 以诱导公式二为例: 若将α看成锐角(终边在第一象限),则π十α是第三象限的角(终边在第三象限),正弦函数的函数值在第三象限是负值,余弦函数的函数值在第三象限是负值,正切函数的函数值在第三象限是正值.这样,就得到了诱导公式二. 以诱导公式四为例: 若将α看成锐角(终边在第一象限),则π-α是第二象限的角(终边在第二象限),正弦函数的三角函数值在第二象限是正值,余弦函数的三角函数值在第二象限是负值,正切函数的三角函数值在第二象限是负值.这样,就得到了诱导公式四. 诱导公式的应用: 运用诱导公式转化三角函数的一般步骤: 特别提醒:三角函数化简与求值时需要的知识储备:①熟记特殊角的三角函数值;②注意诱导公式的灵活运用;③三角函数化简的要求是项数要最少,次数要最低,函数名最少,分母能最简,易求值最好。

三角函数公式知识点及应用

三角函数公式 ? 三角函数是数学中属于初等函数中的超越函数的一类函数。它们的本质是任何角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的。其定义域为整个实数域。 三角函数看似很多,很复杂,但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在。 基本信息 ?中文名称 三角函数 ?外文名称

相关概念

余切:cotangent(简写cot)['k?u't?nd??nt] 正割:secant(简写sec)['si:k?nt] 余割:cosecant(简写csc)['kau'si:k?nt] 正矢:versine(简写versin)['v?:sain] 余矢:versed cosine(简写vercos)['v?:s?:d][k?usain] 直角三角函数 直角三角函数(∠α是锐角) 三角关系 倒数关系:cotα*tanα=1 商的关系:sinα/cosα=tanα 平方关系:sin2α+cos2α=1 三角规律 三角函数看似很多,很复杂,但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在。 三角函数本质: 根据三角函数定义推导公式根据下图,有sinθ=y/ r;cosθ=x/r; tanθ=y/x; cotθ=x/y 深刻理解了这一点,下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来, 比如以推导 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例: 推导: 首先画单位圆交X轴于C,D,在单位圆上有任意A,B点。角AOD为α,BOD为β,旋转AOB使OB与OD重合,形成新A'OD。

中考数学专题复习——锐角三角函数的实际应用

课题:锐角三角函数的实际应用 【基础知识回顾】 知识点1:锐角三角函数的概念(正弦、余弦、正切、余切) 技巧点拨: ①弦——分母都是斜边 ②正弦——分子是正对的边(谐音“正邪”) ③切——垂直的意思,只与直角边有关 ④正切——分子是正对的边 ⑤余——剩余的意思 余弦——分子是剩下的直角边(即邻边) 余切——分子是剩下的直角边(即邻边) 简记为:正弦——对比斜(或正比斜) 正切——对比邻 余弦——邻比斜 知识点2:常见的锐角三角函数值 三角函数 30° 45° 60° 技巧点拨 sin α 21 22 23 分母都是2,分子分别是 √13 cos α 2 3 22 21 分母都是2,分子分别是 3√1 tan α 33 1 3 分母都是3,分子分别是 3、1、3 【新课知识讲解】 知识点3:解直角三角形 1、解直角三角形的概念

在直角三角形中,除直角外,一共有五个元素,即三条边和两个锐角,由直 角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。 2、解直角三角形的理论依据 在Rt △ABC 中,∠C=90°,∠A ,∠B ,∠C 所对的边分别为a ,b ,c (1)三边之间的关系:222c b a =+(勾股定理) (2)锐角之间的关系:∠A+∠B=90°(三角形角和) (3)边角之间的关系:(锐角三角函数) b a B a b B c a B c b B a b A b a A c b A c a A ========cot ,tan ,cos ,sin ;cot ,tan ,cos ,sin 知识点4:直击中考——解直角三角形的实际应用:测距、测高、测长 等 例1、如图,直升飞机在跨河大桥AB 的上方点P 处,此时飞机离地面的高度PO =450 m ,且A ,B ,O 三点在一条直线上,测得∠α=30°,∠β=45°,求大桥 AB 的长(结果保留根号). 【分析】 第一步:确定相关直角三角形 本题中∠α、∠β分别在Rt ΔAOP 、Rt ΔBOP 中(由平行线错角相等转化已知角) 第二步:分别在直角三角形中列出已知角的锐角三角函数值 第三步:代入已知条件求值,并简答 【答案】 由题意得,ΔAOP 、ΔBOP 均为直角三角形, ∠PAO=∠α=30°,∠PBO=∠β=45°,PO=450m

1.6 三角函数模型简单应用练习题(解析版)

1.6 三角函数模型简单应用 1.函数的2cos 3cos 2y x x =-+最小值为( ) A .2 B .0 C .4 1 - D .6 2.2sin 5cos )(+-?=x x x x f ,若a f =)2(,则)2(-f 的值为( ). A .-a B .2+a C .2-a D .4-a 3.设A 、B 都是锐角,且cosA >sinB 则A+B 的取值是 ( ) A .?? ? ??ππ,2 B .()π,0 C .??? ??2,0π D .?? ? ??2,4ππ 4.若函数)(x f 是奇函数,且当0x 时, )(x f 的表达式为( ) A .x x 2sin 3cos + B .x x 2sin 3cos +- C .x x 2sin 3cos - D .x x 2sin 3cos -- 5.下列函数中是奇函数的为( ) A .y=x x x x cos cos 22-+ B .y= x x x x cos sin cos sin -+ C . y=2cosx D .y=lg(sinx+x 2sin 1+) 6.在满足 x x 4 πtan 1πsin +=0的x 中,在数轴上求离点6最近的那个整数值是 . 7.已知()3s i n 4 f x a x b x = ++(其中a 、b 为常数),若()52=f ,则()2f -=__________. 8.若?>30cos cos θ,则锐角θ的取值范围是_________. 9.由函数?? ? ??≤≤=6563sin 2ππ x x y 与函数y =2的图象围成一个封闭图形, 这个封闭图形的面积是_________.

《三角函数模型的简单应用》练习

《三角函数模型的简单应用》练习 一、选择题 1.函数f(x)的部分图象如图所示,则f(x)的解析式可以是( ) (x)=x+sinx (x)= (x)=xcosx (x)=x·· 2.如图,某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=3sin+k,据此函数可知, 这段时间水深(单位:m)的最大值为( ) B.6 3.如图,小明利用有一个锐角是30°的三角板测量一棵树的高度,已知他与树之间的水平距离BE为5m, AB为1.5m(即小明的眼睛距地面的距离),那么这棵树高是( ) 4.电流强度I(安)随时间t(秒)变化的函数I=Asin(ωt+φ)的图 象如图所示,则当t=秒时,电流强度是( ) 安安 安安 5.已知函数y=f(x)的图象如图所示,则函数y=f(-x)sinx的大致图象是( )

二、填空题 6.某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y=a+Acos(x=1,2, 3,…,12)来表示,已知6月份的平均气温最高,为28℃,12月份的平均气温最低,为18℃,则10月份的平均气温值为________℃. 7.某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5cm,秒针均匀地绕点O旋转,当时间t=0时,点A与钟面上 标12的点B重合,将A,B两点的距离d(cm)表示成t(s)的函数,则d=________,其中t∈[0,60]. 8.国际油价在某一时间内呈现出正弦波动规律:P=Asin+60(美元)(t(天),A>0,ω>0),现 采集到下列信息:最高油价80美元,当t=150(天) 时达到最低油价,则ω的最小值为__________. 三、解答题 9.某实验室一天的温度(单位:℃)随时间t(单位:h)的变化近似满足函数关系: f(t)=10-cos t-sin t,t∈[0,24).(1)求实验室这一天上午8时的温度; (2)求实验室这一天的最大温差. 10.如图,某动物种群数量1月1日低至700,7月1日高至900,其总量在此两值之间依正弦型曲线变化. (1)求出种群数量y关于时间t的函数表达式(其中t以年初以来的月为计量单位,如t=1表示2月1日). (2)估计当年3月1日动物种群数量. 《三角函数模型的简单应用》巩固练习 一、选择题 1.如图,为了研究钟表与三角函数的关系,建立如图所示的坐标系,设秒针

三角函数公式应用及原理解说

三角函数是数学中常见的一类关于 角度的函数。三角函数将 直角三角形 的内角和它的两个边 的比值相关联,也可以等价地用与单位圆有关的各种线段的长度来定义。三角函数在研究三 角形和圆等几何形状的性质时有重要作用,也是研究 周期性现象的基础数学工具 ⑴。在数学 分析中,三角函数也被定义为 无穷级数 或特定微分方程的解,允许它们的取值扩展到任意实 数值,甚至是复数值。 常见的三角函数包括正弦函数(sin )、余弦函数(cos )和正切函数(tan 或者tg )。在航 海学、测绘学、工程学等其他学科中,还会用到如 余切函数、正割函数、余割函数、正矢 函数、半正矢函数 等其他的三角函数。 不同的三角函数之间的关系可以通过几何直观或者计 算得出,称为三角恒等式。 三角函数一般用于计算三角形中未知长度的边和未知的角度,在导航、工程学以及物理学方 面都有广泛的用途。另外,以三角函数为模版,可以定义一类相似的函数, 叫做双曲函数[2] 。 常见的双曲函数也被称为双曲 正弦函数、双曲余弦函数等等。 直角三角形中的定义 右直供二闻张中仅苕期 伙水左画90至力间的录)二角藝的宦义[叩?络匡F 锐甬机可 以滋出一牛直集二角形,庚再其申的一个内芻是和设連个三甬殛孔9旳对匹需也和得世长度 g afliSE 是更迎弓痔辺的毗面冋百?: &抽余弦是澤边与斜辺的乂道;| ft H 制正切灵对迥与糾盅柏"■宜 伽 e ¥ b &的余切是嘟边2舛边的比■包co tfi = - q &闌正甥足斜辺弓押辺的比朗 ; &的余割是斜边与对边的比值!宀诃二2 a 标系中的奩义【姗< iftH 吟F 】是平面直角H 标菇咕的一牛知声是欖轴正向程时计疑術I 励 方向驱aeiJS, F = C +扌A 礎序 順点涮柜离?刚砒林三 JB 曲隸定 义 为【口 12#可?帅7血划腹圧駆定三三角血也雪主意知:也LL 却宦汩頤左定>朮 自盍買的时僕成立-比如逋当■ = &的时僂.世和二自漲由盍乩 遞说朗对丹幢 正花;B 口 0—1.正切; -■耀h

高考冲刺 三角函数公式及应用(提高)

高考冲刺 三角函数公式及应用 编稿:孙永钊 审稿:张林娟 【高考展望】 高考对三角恒等式部分的考查仍会是中低档题,无论是小题还是大题中出现都是较容易的.主要有三种可能: (1)以小题形式直接考查:利用两角和与差以及二倍角公式求值、化简; (2)以小题形式与三角函数、向量、解三角形等知识相综合考查两角和与差以及二倍角等公式; (3)以解答题形式与三角函数、向量、解三角形、函数等知识相综合考查,对三角恒等变换的综合应用也可能与解三角形一起用于分析解决实际问题的应用问题,主要考查综合运用数学知识分析问题和解决问题的能力 复习时,要注重对问题中角、函数名及其整体结构的分析,提高公式选择的恰当性,还要重视相关的思想方法,如数形结合思想、特值法、构造法、等价转换法等的总结和应用,这有利于缩短运算程序,提高解题效率 【知识升华】 1.三角函数的化简与求值、证明的难点在于众多三角公式的灵活运用和解题突破口的合理选择,要认真分析所给式子的整体结构,分析各个三角函数及角的相互关系是灵活选用公式的基础,是恰当寻找解题思维起点的关键所在 (1)化简,要求使三角函数式成为最简:项数尽量少,名称尽量少,次数尽量底,分母尽量不含三角函数,根号内尽量不含三角函数,能求值的求出值来; (2)求值,要注意象限角的范围、三角函数值的符号之间联系与影响,较难的问题需要根据上三角函数值进一步缩小角的范围 (3)证明是利用恒等变换公式将等式的左边变同于右边,或右边变同于,或都将左右进行变换使其左右相等 2.对于三角变换公式务必要知道其推导思路,从而清晰地“看出”它们之间的联系,它们的变化形式.如 tan()(1tan tan )tan tan αβαβαβ+-=+, 2 21cos 1cos cos ,sin 2 222 α ααα +-= = 等.从而可做到:正用、逆用、变形用自如使用各公式;三角变换公式除用来化简三角函数式外,还为研究三角函数图象及性质做准备。 3.三角函数恒等变形的基本策。 ①常值代换:特别是用“1”的代换,如1=cos 2 θ+sin 2 θ=tanx 2cotx=tan45°等。 ②项的分拆与角的配凑。如分拆项:222222sin 2cos (sin cos )cos 1cos x x x x x x +=++=+;

三角函数在实际中的应用

专题3 锐角三角函数在实际中的应用 解题技巧: 1.如果图形不是直角三角形,一定要考虑添加适当的辅助线(作平行线或作垂线),构造直角三角形,然后选择恰当的三角函数(正弦、余弦或正切); 2.在求线段长度的时候,如果不能直接求出长度,可以考虑列方程求值。 一仰角、俯角问题 1.某数学兴趣小组在活动课上测量学校旗杆的高度.已知小亮站着测量,眼睛与地面的距离(AB)是1.7米,看旗杆顶部E的仰角为30°;小敏蹲着测量,眼睛与地面的距离(CD)是0.7米,看旗杆顶部E的仰角为45°.两人相距5米且位于旗杆同侧(点B、D、F在同一直线上). (1)求小敏到旗杆的距离DF.(结果保留根号) (2)求旗杆EF的高度.(结果保留整数,参考数据:≈1.4,≈1.7) 2.如图所示,某古代文物被探明埋于地下的A处,由于点A上方有一些管道,考古人员不能垂直向下挖掘,他们被允许从B处或C处挖掘,从B处挖掘时,最短路线BA与地面所成的锐角是56°,从C处挖掘时,最短路线CA与地面所成的锐角是30°,且BC=20m,若考古人员最终从B处挖掘,求挖掘的最短距离.(参考数据:sin56°=0.83,tan56°≈1.48,≈1.73,结果保留整数)

3.(2014潍坊)如图,某海域有两个海拔均为200米的海岛A和海岛B,一勘测飞机在距离海平面垂直高度为1100米的空中飞行,飞行到点C处时测得正前方一海岛顶端A的俯角是45°,然后沿平行于AB的方向水平飞行1.99×104米到达点D处,在D处测得正前方另一海岛顶端B的俯角是60°,求两海岛间的距离AB. 4.一电线杆PQ立在山坡上,从地面的点A看,测得杆顶端点A的仰角为45°,向前走6m 到达点B,又测得杆顶端点P和杆底端点Q的仰角分别为60°和30°, (1)求∠BPQ的度数; (2)求该电线杆PQ的高度.(结果精确到1m) 5.如图,为了开发利用海洋资源,某勘测飞机测量一岛屿两端A、B的距离,飞机以距海平面垂直同一高度飞行,在点C处测得端点A的俯角为60°,然后沿着平行于AB的方向水平飞行了500米,在点D测得端点B的俯角为45°,已知岛屿两端A、B的距离541.91米,求飞机飞行的高度.(结果精确到1米,参考数据:≈1.73,≈1.41)

三角函数的图像及模型的简单应用

参数A ,ω,φ对函数图象变化的影响. 2.了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型,会用三角函数解决一些简单实际问题. 学习过程: 一. 知识梳理: 3.函数y =sin x 的图象经变换得到y =A sin(ωx +φ)的图象的步骤 注意:细细体会上述两种变换的区别。 二. 问题探究: 1.画出下列函数在长度为一个周期的闭区间上的简图: )3 sin( )2( sin )1(π - ==x y x y 3. 经过怎样的变化得到(注意定义域): ),0[),7 3sin(3 1)2( );,0[),8 4sin( 8)1(+∞∈+ =+∞∈-=x x y x x y π π

4.若函数f(x)=sin(2x +φ)的图象关于y 轴对称,则φ值是________. 5.画出函数x y sin =的图像并观察期周期和奇偶性: 三. 拓展升华: 1. 由函数的图像的图像要得到 )sin(sin ?ω+==x A y x y 经过怎样的变化可以得到? 2. 在直角坐标系中?? ?+=+=θ θsin cos r b y r a x 表示什么曲线?(其中a,b,r 是常数,且r 为正数,θ在)2,0[π内变化) 3.函数f(x)=3sin(2x -π 3)的图象为C ,下列结论中正确的是( ) A .图象C 关于直线x =π6对称 B 由y =3sin2x 向右平移π 3个单位长度可得到图象C C .图象C 关于点(-π6,0)对称 D .函数f(x)在区间(-π12,5π 12 )内是增函数 4.已知函数f (x )=A sin(ωx +φ)+b (ω>0,|φ|<π 2 )的图象 的一部分如图所示: (1)求f (x )的表达式; (2)试写出f (x )的对称轴方程. 5.已知函数f(x)=sin 2 ωx +3sin ωxsin(ωx + π2 )+2cos 2 ωx ,x∈R (ω>0),在y 轴右侧的第一个最高点的横坐标为π 6 . (1)求f(x)的对称轴方程; (2)求f(x)的单调递增区间. 四. 规律总结:

中考数学 全面突破:第十二讲 锐角三角函数及其实际应用

第十二讲 锐角三角函数及其实际应用 命题点分类集训 命题点1 特殊角的三角函数值 【命题规律】1.考查内容:主要考查 30°,45°,60°角的正弦,余弦,正切值的识记、正余弦的转换及由三角函数值求出角度. 2.考查形式:①三类特殊角的三角函数值识记;②与非负性结合,通过三角函数值求角度;③正弦余弦、正切余切之间的相互转化,判断关系式是否成立;④在实数运算中涉及三类特殊角的三角函数值运算(具体试题见实数的运算部分). 【命题预测】特殊角的三角函数值作为识记内容在实数运算中考查的可能性比较大,而单独考查也会出现. 1. sin 60°的值等于( ) A . 12 B . 22 C . 3 2 D . 3 1. C 2. 下列式子错误.. 的是( ) A . cos 40°=sin 50° B . tan 15°·tan 75°=1 C . sin 225°+cos 225°=1 D . sin 60°=2sin 30° 2. D 选项 逐项分析 正误 A cos40°=sin(90°-40°)=sin50° √ B tan15°·tan75°=1 tan75° ×tan75°=1 √ C sin 2A +cos 2A =1 √ D ∵sin60°= 32,2sin30°=2×1 2 =1,∴sin60°≠2sin30° × 3. 已知α,β均为锐角,且满足|sin α-12 |+(tan β-1)2 =0,则α+β=________. 3. 75° 【解析】由于绝对值和算术平方根都是非负数,而这两个数的和又为零,于是它们都为零.根据题意,得|sin α-12|=0,(tan β-1)2=0,则sin α =1 2,tan β =1,又因为α、β均为锐角,则α=30°, β=45°,所以α+β=30°+45°=75°. 命题点2 直角三角形的边角关系 【命题规律】1.考查内容:在直角三角形中,三边与两个锐角之间关系的互化.2.考查形式:已知一边 及某锐角的三角函数值,求其他量,或结合直角坐标系求锐角三角函数值. 【命题预测】直角三角形的边角关系是解直角三角形实际应用问题的基础,值得关注. 4. 如图,在平面直角坐标系中,点A 的坐标为(4,3),那么cos α的值是( ) A . 34 B . 43 C . 35 D . 45

三角函数模型简单练习(含答案)

三角函数模型简单应用练习题 1.你能利用函数sin y x =的奇偶性画出图象吗?它与函数sin y x =的图象有什么联系? 2.已知:1sin 2α=-,若(1),22ππα∈-?? ??? ; (2)(0,2)απ∈; (3)α是第三象限角;(4)α∈R .分别求角α。 3.已知[]0,2θπ∈, sin ,cos θθ分别是方程2 10x kx k -++=的两个根,求角θ. 4.设A 、B 、C 、D 是圆内接四边形ABCD 的四个内角,求证: (1)sin A =sin C ; (2)cos (A +B )=cos (C +D ); (3)tan (A +B +C )=-tan D . 5.某商品一年内出厂价格在6元的基础上按月份随正弦曲线波动,已知3月份达到最高价格8元,7月份价格最低为4元,该商品在商店内的销售价格在8元基础上按月份随正弦曲线波动,5月份销售价格最高为10元,9月份销售价最低为6元,假设商店每月购进这种商品m 件,且当月销完,你估计哪个月份盈利最大? 6.把一张纸卷到圆柱形的纸筒面上,卷上几圈.用剪刀斜着..将纸筒剪断,再把卷着的纸展开,你就会看到:纸的边缘线是一条波浪形的曲线,试一试动手操作一下.它是正弦曲线吗? 7.如图,铁匠师傅在打制烟筒弯脖 时,为确保对接成直角,在铁板上的下 剪线正好是余弦曲线:cos x y a a =的一 个周期的图象,问弯脖的直径为12 cm 时,a 应是多少cm ? 8.已知函数f (x )=x 2cos 12-,试作出该函数的图象,并讨论它的奇偶性、周期性以及区间[0, 2 π ]上的单调性。

专题一 三角函数的实际应用

专题一三角函数的实际应用 1.(2005?深圳)大楼AD的高为10米,不远处有一塔BC,某人在楼底A处测得塔顶B处的仰角为60°,爬到楼顶D点测得塔顶B点的仰角为30°,求塔BC的高度. 2.(2007?深圳)如图,某货船以24海里/时的速度将一批重要物资从A处运往正东方向的M处,在点A 处测得某岛C在北偏东60°的方向上.该货船航行30分钟后到达B处,此时再测得该岛在北偏东30°的方向上,已知在C岛周围9海里的区域内有暗礁.若继续向正东方向航行,该货船有无触礁危险?试说明理由. 3.(2008?深圳)某兴趣小组借助无人飞机航拍校园.如图,无人飞机从A处水平飞行至B处需8秒,在 地面C处同一方向上分别测得A处的仰角为75°,B处的仰角为30°.已知无人飞机的飞行速度为4米/ 秒,求这架无人飞机的飞行高度.(结果保留根号)

4.(2010?深圳)科技改变生活,手机导航极大方便了人们的出行,如图35-17,小明一家自驾到古镇C 游玩,到达A地后,导航显示车辆应沿北偏西60°方向行驶4 km至B地,再沿北偏东45°方向行驶一段距离到达古镇C,小明发现古镇C恰好在A地的正北方向,求B,C两地的距离. 5.(2012?深圳)如图,某数学兴趣小组要测量一栋五层居民楼CD的高度.该楼底层为车库,高2.5 m,上面五层居住,每层高度相等.测角仪支架离地1.5 m,在A处测得五楼顶部点D的仰角为60°,在B处测得四楼顶部点E的仰角为30°,AB=14 m.求居民楼高度(精确到0.1 m,参考数据:3≈1.73). 6.(2015?深圳)如图,从地面上的点A看一山坡上的电线杆PQ,测得杆顶端点P的仰角是45°,向前走6 m到达B点,测得杆顶端点P和杆底端点Q的仰角分别是60°和30°. (1)求∠BPQ的度数; (2)求该电线杆PQ的高度(结果精确到1 m,备用数据:3≈1.7,2≈1.4).

三角函数公式应用大全

三角函数定义 把角度θ作为自变量,在直角坐标系里画个半径为1的圆(单位圆),然后角的一边与X轴重合,顶点放在圆心,另一边作为一个射线,肯定与单位圆相交于一点。这点的坐标为(x,y)。 sin(θ)=y; cos(θ)=x; tan(θ)=y/x; 三角函数公式大全 两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA) cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) 倍角公式 tan2A = 2tanA/(1-tan2 A) Sin2A=2SinA?CosA Cos2A = Cos2 A--Sin2 A=2Cos2A—1 =1—2sin^2 A 三倍角公式 sin3A = 3sinA-4(sinA)3;

cos3A = 4(cosA)3 -3cosA tan3a = tan a ? tan(π/3+a)? tan(π/3-a) 半角公式 sin(A/2) = √{(1--cosA)/2} cos(A/2) = √{(1+cosA)/2} tan(A/2) = √{(1--cosA)/(1+cosA)} cot(A/2) = √{(1+cosA)/(1-cosA)} ? tan(A/2) = (1--cosA)/sinA=sinA/(1+cosA) 和差化积 sin(a)+sin(b) = 2sin[(a+b)/2]cos[(a-b)/2] sin(a)-sin(b) = 2cos[(a+b)/2]sin[(a-b)/2] cos(a)+cos(b) = 2cos[(a+b)/2]cos[(a-b)/2] cos(a)-cos(b) = -2sin[(a+b)/2]sin[(a-b)/2] tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB 积化和差 sin(a)sin(b) = -1/2*[cos(a+b)-cos(a-b)] cos(a)cos(b) = 1/2*[cos(a+b)+cos(a-b)] sin(a)cos(b) = 1/2*[sin(a+b)+sin(a-b)] cos(a)sin(b) = 1/2*[sin(a+b)-sin(a-b)] 诱导公式 sin(-a) = -sin(a) cos(-a) = cos(a) sin(π/2-a) = cos(a) cos(π/2-a) = sin(a) sin(π/2+a) = cos(a) cos(π/2+a) = -sin(a) sin(π-a) = sin(a) cos(π-a) = -cos(a) sin(π+a) = -sin(a) cos(π+a) = -cos(a) tgA=tanA = sinA/cosA

三角函数模型的简单应用试题(含答案)6

一、选择题 1.函数的2cos 3cos 2y x x =-+最小值为( ) A .2 B .0 C .4 1 - D .6 2.2sin 5cos )(+-?=x x x x f ,若a f =)2(,则)2(-f 的值为( ). A .-a B .2+a C .2-a D .4 -a 3.设A 、B 都是锐角,且cosA >sinB 则A+B 的取值是 ( ) A .?? ? ??ππ,2 B .()π,0 C .?? ? ? ?2,0π D .?? ? ??2,4ππ 4.若函数)(x f 是奇函数,且当0x 时,)(x f 的表达式为( ) A .x x 2sin 3cos + B .x x 2sin 3cos +- C .x x 2sin 3cos - D .x x 2sin 3cos -- 5.下列函数中是奇函数的为( )

A .y=x x x x cos cos 22-+ B .y= x x x x cos sin cos sin -+ C .y=2cosx D .y=lg(sinx+x 2sin 1+) 二、填空题 6.在满足 x x 4 πtan 1πsin +=0的x 中,在数轴上求离点6最近的那个整数值是 . 7.已知( )sin 4f x a x =+(其中a 、b 为常数),若()52=f ,则 ()2f -=__________. 8.若?>30cos cos θ,则锐角θ的取值范围是_________. 9.由函数?? ? ??≤ ≤=656 3sin 2ππ x x y 与函数y =2的图象围成一个封闭图形,这个封闭图形的面积是_________. 10.函数1sin(2)2 y x θ=+的图象关于y 轴对称的充要条件是 三、解答题 11.如图,表示电流强度I 与时间t 的关系式

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