Hermitian matrix
Hermitian matrix
In mathematics, a Hermitian matrix (or self-adjoint matrix) is a square matrix with complex entries that is equal to its own conjugate transpose – that is, the element in the i-th row and j-th column is equal to the complex conjugate of the element in the j-th row and i-th column, for all indices i and j:
If the conjugate transpose of a matrix is denoted by , then the Hermitian property can be written concisely as
Hermitian matrices can be understood as the complex extension of real symmetric matrices.
Hermitian matrices are named after Charles Hermite, who demonstrated in 1855 that matrices of this form share a property with real symmetric matrices of having eigenvalues always real.
Examples
For example,
Well-known families of Pauli matrices, Gell-Mann matrices and various generalizations are Hermitian. In theoretical physics such Hermitian matrices usually are multiplied by imaginary coefficients,[1][2] which results in skew-Hermitian matrices (see below).
Properties
The entries on the main diagonal (top left to bottom right) of any Hermitian matrix are necessarily real. A matrix that has only real entries is Hermitian if and only if it is a symmetric matrix, i.e., if it is symmetric with respect to the main diagonal. A real and symmetric matrix is simply a special case of a Hermitian matrix.
Every Hermitian matrix is a normal matrix, and the finite-dimensional spectral theorem applies. It says that any Hermitian matrix can be diagonalized by a unitary matrix, and that the resulting diagonal matrix has only real entries. This implies that all eigenvalues of a Hermitian matrix A are real, and that A has n linearly independent eigenvectors. Moreover, it is possible to find an orthonormal basis of C n consisting of n eigenvectors of A.
The sum of any two Hermitian matrices is Hermitian, and the inverse of an invertible Hermitian matrix is Hermitian as well. However, the product of two Hermitian matrices A and B will only be Hermitian if they commute, i.e., if AB = BA. Thus A n is Hermitian if A is Hermitian and n is an integer.
The Hermitian complex n-by-n matrices do not form a vector space over the complex numbers, since the identity matrix is Hermitian, but is not. However the complex Hermitian matrices do form a vector space over the real numbers. In the 2n2R dimensional vector space of complex n×n matrices, the complex Hermitian matrices form
denotes the n-by-n matrix with a 1 in the j,k position and zeros elsewhere, a basis a subspace of dimension n2. If E
jk
can be described as follows:
for (n matrices)
together with the set of matrices of the form
for ((n2?n)/2 matrices)
and the matrices
for ((n2?n)/2 matrices)
where denotes the complex number , known as the imaginary unit.
If n orthonormal eigenvectors of a Hermitian matrix are chosen and written as the columns of the
matrix U, then one eigendecomposition of A is where and therefore
,
where are the eigenvalues on the diagonal of the diagonal matrix .
Additional facts related to Hermitian matrices include:
?The sum of a square matrix and its conjugate transpose is Hermitian.
?The difference of a square matrix and its conjugate transpose is skew-Hermitian (also called
antihermitian).
?This implies that commutator of two Hermitian matrices is skew-Hermitian.
?An arbitrary square matrix C can be written as the sum of a Hermitian matrix A and a skew-Hermitian matrix B:
?The determinant of a Hermitian matrix is real:
Proof:
Therefore if
References
[1]Frankel, Theodore (2004). The geometry of physics: an introduction (http://books.google.ru/books?id=DUnjs6nEn8wC&lpg=PA652&
dq="Lie algebra" physics "skew-Hermitian"&pg=PA652#v=onepage&q&f=false). Cambridge University Press. p. 652. ISBN 0521539277. .
[2]Physics 125 Course Notes (https://www.sodocs.net/doc/c716757074.html,/~fcp/physics/quantumMechanics/angularMomentum/angularMomentum.pdf)
at California Institute of Technology
External links
?Visualizing Hermitian Matrix as An Ellipse with Dr. Geo (https://www.sodocs.net/doc/c716757074.html,/~ckhung/b/la/hermitian.en.
php), by Chao-Kuei Hung from Shu-Te University, gives a more geometric explanation.
?"Hermitian Matrices" (https://www.sodocs.net/doc/c716757074.html,/home/kmath306/kmath306.htm) at https://www.sodocs.net/doc/c716757074.html,.
Article Sources and Contributors3
Article Sources and Contributors
Hermitian matrix Source: https://www.sodocs.net/doc/c716757074.html,/w/index.php?oldid=461372150 Contributors: 3mta3, Arlia101, AxelBoldt, Banus, BenFrantzDale, Bruguiea, Caesura, Chutzpan, Connelly, Dan Granahan, Drevicko, Dudegalea, Evanpw, Fropuff, Gene.arboit, Giftlite, Haseldon, Incnis Mrsi, Isnow, Janm67, Jasonevans, Jitse Niesen, Looxix, Lzur, Magister Mathematicae, Marra,
MaxEnt, Mct mht, Mhss, Michael Hardy, Milez, Mmakin, Myasuda, Nappyrash, Neparis, Obersachse, Octahedron80, Oleg Alexandrov, Oliphaunt, Oyz, Pupdike, Qjqflash3, Qutezuce, RDBury, Randomblue, RexNL, Rschwieb, Scot.parker, Simonjwright, Smmurphy, Sofeshue, Soumya m, Stpasha, Tbsmith, TedPavlic, Tercer, Ugha, 48 ,?????? ???? anonymous edits
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矩阵的正定性及其应用论文
矩阵的正定性及其应用 摘 要：矩阵的正定性是矩阵论中的一个重要概念,本文主要讨论主要阐述的是实矩阵的正定性以及应用.本文在介绍实矩阵的正定性的定义及其判别方法后，简单的举了一些实例来阐述实矩阵正定性的应用.全文分两章,在第一章,矩阵的正定性的定义．在第二章,正定性矩阵的判别方法,在本文的最后给出了几个正定性矩阵的应用实例． 一、二次型有定性的概念 定义1 具有对称矩阵A 之二次型,AX X f T = (1) 如果对任何非零向量X , 都有0>AX X T （或0
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旋转变换(一)旋转矩阵
旋转变换（一）旋转矩阵 1. 简介 计算机图形学中的应用非常广泛的变换是一种称为仿射变换的特殊变换，在仿射变换中的基本变换包括平移、旋转、缩放、剪切这几种。本文以及接下来的几篇文章重点介绍一下关于旋转的变换，包括二维旋转变换、三维旋转变换以及它的一些表达方式（旋转矩阵、四元数、欧拉角等）。 2. 绕原点二维旋转 首先要明确旋转在二维中是绕着某一个点进行旋转，三维中是绕着某一个轴进行旋转。二维旋转中最简单的场景是绕着坐标原点进行的旋转，如下图所示： 如图所示点v 绕原点旋转θ角，得到点v’，假设v点的坐标是(x, y) ，那么可以推导得到v’点的坐标（x’, y’)(设原点到v的距离是r，原点到v点的向量与x轴的夹角是? ) x=rcos?y=rsin? x′=rcos(θ+?)y′=rsin(θ+?) 通过三角函数展开得到 x′=rcosθcos??rsinθsin? y′=rsinθcos?+rcosθsin? 带入x和y表达式得到 x′=xcosθ?ysinθ y′=xsinθ+ycosθ 写成矩阵的形式是： 尽管图示中仅仅表示的是旋转一个锐角θ的情形，但是我们推导中使用的是三角函数的基本定义来计算坐标的，因此当旋转的角度是任意角度（例如大于180度，导致v’点进入到第四象限）结论仍然是成立的。 3. 绕任意点的二维旋转 绕原点的旋转是二维旋转最基本的情况，当我们需要进行绕任意点旋转时，我们可以把这种情况转换到绕原点的旋转，思路如下： 1. 首先将旋转点移动到原点处 2. 执行如2所描述的绕原点的旋转 3. 再将旋转点移回到原来的位置
也就是说在处理绕任意点旋转的情况下需要执行两次平移的操作。假设平移的矩阵是T(x,y)，也就是说我们需要得到的坐标v’=T(x,y)*R*T(-x,-y)（我们使用的是列坐标描述点的坐标，因此是左乘，首先执行T(-x,-y)） 在计算机图形学中，为了统一将平移、旋转、缩放等用矩阵表示，需要引入齐次坐标。（假设使用2x2的矩阵，是没有办法描述平移操作的，只有引入3x3矩阵形式，才能统一描述二维中的平移、旋转、缩放操作。同理必须使用4x4的矩阵才能统一描述三维的变换）。 对于二维平移，如下图所示，P点经过x和y方向的平移到P’点，可以得到： x′=x+tx y′=y+ty 由于引入了齐次坐标，在描述二维坐标的时候，使用（x，y，w）的方式（一般w=1），于是可以写成下面矩阵的形式 按矩阵乘法展开，正好得到上面的表达式。也就是说平移矩阵是 如果平移值是（-tx，-ty）那么很明显平移矩阵式 我们可以把2中描述的旋转矩阵也扩展到3x3的方式，变为：
正定矩阵
5.4 正定矩阵 5.4.1 正定矩阵 [1] 二次型的分类 n 个变数的二次型∑=== n j i T j i ij n x A x x x a x x q 1 ,1),,( ，其实就是定义在n R 的一个二次齐次函数，对n R 的每个特定向量q x ,0 对应一个函数值)(0 x q ，依据)(x q 值的符号，在教 材184页上给出了二次型的分类定义： 1．正定二次型。若对一切n R x ∈，当0)(0>=?≠Ax x x q x T 称二次型)(x q 正定。 显然，正定二次型也就是函数值定正的二次型（当然有唯一的例外，0=x 时，0=q ）。 2．正半定（或半正定）二次型。若对一切n R x ∈，皆有0)(≥=Ax x x q T ，且至少有一 00 ≠x 能使0)(0 =x q . 3．负定。对二次型Ax x x q T =)(，当(-q )为正定时，称q 为负定二次型。 4．负半定（或半负定）。对二次型Ax x x q T =)(，当(-q )为正半定时，称q 为负半定二次型。 5．不定二次型。若二次型Ax x q T =既能取正值，又能取负值，称为不定二次型。 容易明白，对标准形的二次型（以下给出的均为充要条件）。 若系数全正为正定二次型； 若系数全为非负，且至少有一为0，则为正半定二次型； 若系数全负为负定二次型； 若系数全为非正，且至少有一为0，则为负半定二次型； 若系数有正、有负，则为不定二次型。 对于不是标准形的二次型，为确定其类型，可通过化成标准形，并依据惯性律而作出判断。 例19 设n a a a ,,,21 是n 个实数，问它们满足什么条件时，二次型 2 12322221121)()()(),,,(x a x x a x x a x x x x q n n n ++++++= 是正定二次型。 解 乍一看，这是n 个带正系数1的平方项之和，应明显是正定的。但与定义一对照，发现这并非是二次型的标准形，每一项都是线性型而非单独变换的平方。 在这样考虑下，可对其作线性变换 n n n x x a y x a x y x a x y +=+= +=1 3 2222 111 而将q 化成标准形，2 2221n y y y q +++= 这样不就可断定q 必是正定二次型了吗？但又发现这样的问题：这个线性变换是否是满秩线性变换呢？若是，则可肯定q 为正定，若否，则还是无法肯定q 为正定二次型。 现从定义出发考察此二次型，显然0),,(1≥n x x q , 只要有字距？ 0021====?=n x x x q ，就能说明q 是正定二次型了。 若q =0, 则必有
正定矩阵的判定方法及正定矩阵在三个不等式证明中的应用汇编
正定矩阵的判定方法及正定矩阵 在三个不等式证明中的应用 作者：袁亮（西安财经大学） 摘要: 本文从正定矩阵的的定义出发，给出了正定矩阵的若干判定定理及推论，并给出了正定矩阵在柯西、Holder、Minkowski三个不等式证明中的应用. 关键词: 正定矩阵，判定，不等式，应用 Abstract: In this paper, we mainly introduce some decision theorem and inference based on the definition of positive definite matrices and give the application of positive definite matrices in the proving on Cauchy、Holder、and Minkowski inequality. Keywords: positive definite matrix,determine,inequality,application
目录 1 引言 (4) 2 正定矩阵的判定方法 (4) 2.1 定义判定 (5) 2.2 定理判定 (6) 2.3 正定矩阵的一些重要推论 (11) 3 正定矩阵在三个不等式证明中的应用 (15) 3.1 证明柯西不等式 (15) 3.2 证明Holder不等式 (16) 3.3 证明Minkowski不等式 (18) 结束语 (21) 参考文献 (22)
1 引言 代数学是数学中的一个重要的分支，而正定矩阵又是高等代数中的重要部分．特别是正定矩阵部分的应用很广泛， n阶实对称正定矩阵在矩阵理论中，占有十分重要的地位．它在物理学、概率论以及优化控制理论[]2中都得到了重要的应用，而本文只提供解决正定矩阵判定问题的方法，并阐明它在数学分析中三个重要不等式证明中的应用. 正定矩阵的一般形式是,设A是n阶实对称矩阵，若对任意n x∈，且0 R x， ≠ 都有0 Mx x T成立[]2.本文从正定矩阵的定义，给出正定矩阵的判定定理，并给> 出正定矩阵的重要推论，这些重要推论对计算数学中的优化问题有着重要的作用，并在矩阵对策，经济均衡，障碍问题[]3的研究中具有很实用的价值.同时还介绍正定矩阵在三个不等式证明中的应用，其一是用正定矩阵证明著名的柯西不等式，其二是用正定矩阵的性质给出Holder不等式的一个新的证明，其三是运用正定矩阵的两个引理证明Minkowski不等式，这三个应用说明正定矩阵运用的广泛性和有效性.以上这些正定矩阵的研究只局限在正定矩阵的理论分析方面，它的一些实际方面的应用还有待笔者和一些学者去探索挖掘. 2 正定矩阵的判定方法 2.1 定义判定 设A=()ij a,(其中ij a∈C,i,j=1,2,…，n),A的共轭转置记为*A=()ji a 定义1[]1对于实对称矩阵A=()ij a,（其中ij a∈R,i,j=1,2,…，n）若对于任意非零列向量X，都有T X A X>0,则称A是正定矩阵. 定义2[]1对于复对称矩阵A=()ij a,（其中ij a∈C,i,j=1,2,…，n）若对于任意非零列向量X，都有* X A X>0,则称A是正定矩阵． 例1设A为m阶实对称矩阵且正定，B为m×n实矩阵，T B为B的转置矩阵，试证AB B T为正定矩阵的充要条件是B的秩r（B）=n. 证 [必要性] 设AB B T为正定矩阵，则对任意的实n维列向量0 x， ≠
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三维旋转矩阵的计算 旋转矩阵（Rotation matrix）是在乘以一个向量的时候有改变向量的方向但不改变大小的效果的矩阵。旋转矩阵不包括反演，它可以把右手坐标系改变成左手坐标系或反之。所有旋转加上反演形成了正交矩阵的集合。 在三维空间中，旋转变换是最基本的变换类型之一，有多种描述方式，如Euler 角、旋转矩阵、旋转轴/旋转角度、四元数等。本文将介绍各种描述方式以及它们之间的转换。 1. 旋转矩阵 用一个3阶正交矩阵来表示旋转变换，是一种最常用的表示方法。容易证明，3阶正交阵的自由度为3。注意，它的行列式必须等于1，当等于-1的时候相当于还做了一个镜像变换。 2. Euler角 根据Euler定理，在三维空间中，任意一种旋转变换都可以归结为若干个沿着坐标轴旋转的组合，组合的个数不超过三个并且两个相邻的旋转必须沿着不同的坐标轴。因此，可以用三个沿着坐标轴旋转的角度来表示一个变换，称为Euler角。旋转变换是不可交换的，根据旋转顺序的不同，有12种表示方式，分别为：XYZ、XZY、XYX、XZX、YXZ、YZX、YXY、YZY、ZXY、ZYX、ZXZ、ZYZ，可以自由选择其中的一种。对于同一个变换，旋转顺序不同，Euler角也不同，在指定Euler角时应当首先约定旋转顺序。 2.1 Euler角转化为旋转矩阵 不妨设先绕Z轴旋转γ，再绕Y轴旋转β，最后绕X轴旋转α，即旋转顺序为XYZ，旋转矩阵
3. 旋转轴/旋转角度 用旋转轴的方向向量n和旋转角度θ来表示一个旋转，其中 θ>0表示逆时针旋转。 3.1 旋转轴/旋转角度转化为旋转矩阵 设v是任意一个向量，定义
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Switches&Relays BUT BUTTON 【实验原理图】 【实验源程序】 #include
for(;time<0;time--) for(k=200;k>0;k--) for(j=500;j<0;j--); } void init() { P0=buf[x1]; delay(10); P2=buf[x2]; delay(10); } void main() { init(); while(1) { x1=count/10; x2=count%10; P0=buf[x1]; delay(10);
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三维旋转矩阵 三维旋转特性 给定单位向量u和旋转角度φ，则R(φ,u)表示绕单位向量u旋转φ角度。 R(0,u)表示旋转零度。 R(φ,u)= R(?φ,?u)。 R(π+φ,u)= R(π?φ,?u)。 如果φ=0，则u为任意值。 如果0<φ<π,则u唯一确定。 如果φ= π，则符号不是很重要。因为- π和π是一致的，结果相同，动作不同。 由旋转矩阵求旋转角和旋转轴 每一个三维旋转都能有旋转轴和旋转角唯一确定，好多方法都可以从旋转矩阵求出旋转轴和旋转角，下面简单介绍用特征值和特征向量确定旋转轴和旋转角的方法。 将旋转矩阵作用在旋转轴上，则旋转轴还是原来的旋转轴，公式表示如下： Ru=u 转化得： Ru=Iu =>(R?I)u=0 可以确定的是u在R-I的零空间中，角度可有下面的公式求得，Tr表示矩阵的迹： Tr(R)=1+2cosθ 从旋转轴和旋转角求旋转矩阵 假设给定单位向量u=(u x，u y， u z) T ，并且u为单位向量即： u x2+u y2+u z2=1，给定绕u旋转的角度θ，可以得出旋转矩阵R： R=[cosθ+u x2(1?cosθ)u x u y(1?cosθ)?u z sinθu x u z(1?cosθ)+u y sinθ u y u x(1?cosθ)+u z sinθcosθ+u y2(1?cosθ)u y u z(1?cosθ)?u x sinθ u z u x(1?cosθ)?u y sinθu z u y(1?cosθ)+u x sinθcosθ+u z2(1?cosθ) ] 上面的公式等价于： R=cosθI+sinθ[u]×+(1?cosθ)u?u 其中[u]×是单位向量u的叉乘矩阵，?表示张量积，I是单位向量. 这是罗德里格斯旋转方程的矩阵表示。下面给出叉乘和张量积的公式：
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计算机组成原理与汇编 实验报告 Company Document number：WUUT-WUUY-WBBGB-BWYTT-1982GT
计算机组成原理与汇编课程设计 实验报告 目录 一、课程设计目标 (3) 二、课程设计基本要求 (3) 三、课程设计的内容 (3) 四、课程设计的要求 (5) 五、实验详细设计 (5) 1.统计文件中各字母出现的频率 (5) 2.用递归计算50以内Fibonacci 数, 以十进制数输出 (9) 3.虚拟平台模拟机实验 (11) 六、使用说明 (19) 七、总结与心得体会 (19) 八、参考文献 (20) 九、附录 (20) 1.字符统计.asm (20) 2.斐波那契数（小于50）.asm (29) 一、课程设计目标 通过课程设计使学生综合运用所学过的计算机原理与汇编知识，增强解决实际问题的能力，加深对所学知识的理解与掌握，提高软硬件开发水平，为今后打下基础。 课程设计的目的和要求： 1、使学生巩固和加强《计算机原理与汇编语言》课程的基本理论知识。
2、使学生掌握汇编语言程序设计的方法及编程技巧，正确编写程序。 3、使学生养成良好的编程习惯并掌握调试程序的基本方法。 4、使学生养成规范书写报告文档的能力，撰写课程设计总结报告。 5、通过查阅手册和文献资料，培养学生独立分析问题和解决问题的能力。 二、课程设计的基本要求 1、认真查阅资料，独立完成设计任务，每道题都必须上机通过。 2、编写预习报告，写好代码，上机调试。 3、独立思考，培养综合分析问题解决问题和调试程序的能力。 4、按时完成课程设计，写出课程设计报告。 三、课程设计的内容 1、给定一个英文ASCII码文件，统计文件中英文字母的频率，以十进制形式输出。 2、用递归计算50以内Fibonacci 数, 以十进制数输出. 3、虚拟平台的模型机实验，具体要求如下： 1)选择实验设备，将所需要的组件从组件列表中拖到实验设计流程栏中 2)搭建实验流程：根据原理图1和电路图（见附件）,将已选择的组件进行连线。 3)输入机器指令:选择菜单中的“工具”，再选择“模型机调试”，在指令输入窗 口中输入如下指令： 00000000 00010000 00001001 00100000 00001011 00110000 00001011 01000000 00000000 00000001 本实验设计机器指令程序如下：
正定矩阵的性质和判定方法及应用
内蒙古财经大学本科毕业论文正定矩阵的性质及应用 作者郝芸芸 系别统计与数学学院 专业信息与计算科学 年级10级 学号102093113 指导教师高菲菲 导师职称讲师 答辩日期 成绩
内容提要 矩阵是数学中的一个重要基本概念，也是一个主要研究对象，同时矩阵论又是研究线性代数的一个有力工具．而矩阵的正定性是矩阵论中的一个重要概念．正定矩阵是一种特殊的矩阵，其等价定理在解题过程中可以灵活使用．且正定矩阵具有一般矩阵不具有的特殊性质，尤其是这些性质广泛地应用于各个领域．本文在第一部分介绍了实矩阵的正定性的相关定义以及其等价条件．在第二部分列举了正定矩阵的一系列性质，主要介绍了正定矩阵的关联矩阵的正定性．本文在第三部分介绍了正定矩阵的相关定理．本文在第四部分介绍了矩阵正定性的判定方法：定义法、主子式法、特征值法、与单位矩阵合同法．且简单地举了一些实例来阐述实矩阵正定性的判定．最后本文分别从不等式的证明和多元函数的极值两个方面介绍了正定矩阵的实际应用． 关键词：二次型正定矩阵判定方法应用 Abstract Matrix is an important basic concepts in mathematics, but also a main research object, at the same time matrix theory is a powerful tool for the study of linear algebra. At the same time, the positive definiteness of matrix is an important concept in the matrix theory. The positive definite matrix is a special matrix, the equivalence theorem in the problem solving process can be used flexibly. And the positive definite matrix with special properties of general matrix does not have these properties, especially widely used in various fields. In the first part of this thesis introduces the related definition of positive definite real matrix and its equivalent conditions. In the second part are held a series of properties of positive definite matrix, mainly introduced the positive definiteness correlation matrix is positive definite matrix. This paper introduces the related theorem of positive definite matrix in the third part. This paper introduces the method to judge the positive definiteness matrix in fourth parts: the definition, the master method, the eigenvalue method. Determination and simply cited a number of examples of real positive definite matrices. Two aspects of extreme finally this paper from the proof of inequality and multiple function describes the practical application of positive definite matrices. Key words:Quadratic form Positive definite matrix Determination method Application
研究生数字图像处理实验内容及要求(新)
《数字图像处理》实验内容及要求 实验内容 一、灰度图像的快速傅立叶变换 1、 实验任务 对一幅灰度图像实现快速傅立叶变换（DFT ），得到并显示出其频谱图，观察图像傅立叶变换的一些重要性质。 2、 实验条件 微机一台、vc++6.0集成开发环境。 3、实验原理 傅立叶变换是一种常见的图像正交变换，通过变换可以减少图像数据的相关性，获取图像的整体特点，有利于用较少的数据量表示原始图像。 二维离散傅立叶变换的定义如下： 11 2( )00 (,)(,)ux vy M N j M N x y F u v f x y e π---+=== ∑∑ 傅立叶反变换为： 112( )00 1 (,)(,)ux vy M N j M N u v f x y F u v e MN π--+=== ∑∑ 式中变量u 、v 称为傅立叶变换的空间频率。图像大小为M ×N 。随着计算机技术和数字电路的迅速发展，离散傅立叶变换已经成为数字信号处理和
图像处理的一种重要手段。但是，离散傅立叶变换需要的计算量太大，运算时间长。库里和图基提出的快速傅立叶变换大大减少了计算量和存储空间，因此本实验利用快速傅立叶变换来得到一幅灰度图像的频谱图。 快速傅立叶变换的基本思路是把序列分解成若干短序列，并与系数矩阵元素巧妙结合起来计算离散傅立叶变换。若按照奇偶序列将X(n)进行划分，设： ()(2) ()(21)g n x n h n x n =??=+? （n=0,1,2,…,12N -） 则一维傅立叶变换可以改写成下面的形式： 1 0()()N mn N n X m x n W -==∑ 11220 ()()N N mn mn N N n n g n W h n W --===+∑∑ 1122(2)(21) (2)(21)N N m n m n N N n n x n W x n W --+===++∑∑
正定矩阵的性质及应用
正定矩阵的性质及应用 摘要：正定矩阵是线性代数中一个极其重要的应用广泛的概念，深入探讨其基本性质对于其他科研领域的研究有着重要的意义。基于此，本文首先对正定矩阵的定义进行了描述，其次研究了正定矩阵的性质与判定方法，最后简单介绍了其具体应用。 关键词：正定矩阵；基本性质；推论；判定；应用 前言：矩阵是线性代数中一个极其重要的应用广泛的概念，如线性方程组的一些重要性质反映在它的系数矩阵和增广矩阵的性质上，并且解方程组的过程也表现为变换这些矩阵的过程，二次型的正定性与它的矩阵的正定性相对应，甚至有些性质完全不同的表面上完全没有联系的问题，归结成矩阵问题后却是相同的。这就使矩阵成为代数特别是线性代数的一个主要研究对象。作为矩阵的一种特殊类型，正定矩阵有很多特殊性质，是研究二次型，线性空间和线性变换问题的有利工具。本文就此浅谈一下正定矩阵的各种性质和应用。 1.正定矩阵的基本性质 1.1 正定矩阵的定义 设M是n阶实系数对称矩阵，如果对任何非零向量X=(x1，……，xn) 都有X′MX＞0，就称M正定(Positive Definite)。正定矩阵在相合变换下可化为标准型，即单位矩阵。所有特征值大于零的对称矩阵（或厄米矩阵）也是正定矩阵。 另一种定义：一种实对称矩阵，正定二次型f(x1,x2,…,xn)=X′AX的矩阵A(A′)称为正定矩阵。 1.2 正定矩阵的性质 当矩阵A为正定矩阵的时候，则必有以下几个性质，即： （1）aii＞0，i=1，2，……，n； （2）A的元素的绝对值最大者，必定为主对角元； （3）≤annAn-1 ，其中，An-1是A的n-1阶主子式； （4）≤a11a22……ann，当且仅当A为对角阵的时候成立； 而除了以上这几个性质外，还有若干个推论也是比较重要的，在很多应用中
单片机串行通信实验报告(实验要求、原理、仿真图及例程)
《嵌入式系统原理与实验》实验指导 实验三调度器设计基础 一、实验目的和要求 1.熟练使用Keil C51 IDE集成开发环境，熟练使用Proteus软件。 2.掌握Keil与Proteus的联调技巧。 3.掌握串行通信在单片机系统中的使用。 4.掌握调度器设计的基础知识：函数指针。 二、实验设备 1.PC机一套 2.Keil C51开发系统一套 3.Proteus 仿真系统一套 三、实验内容 1.甲机通过串口控制乙机LED闪烁 （1）要求 a.甲单片机的K1按键可通过串口分别控制乙单片机的LED1闪烁，LED2闪烁，LED1和LED2同时 闪烁，关闭所有的LED。 b.两片8051的串口都工作在模式1，甲机对乙机完成以下4项控制。 i.甲机发送“A”，控制乙机LED1闪烁。 ii.甲机发送“B”，控制乙机LED2闪烁。 iii.甲机发送“C”，控制乙机LED1，LED2闪烁。 iv.甲机发送“C”，控制乙机LED1，LED2停止闪烁。 c.甲机负责发送和停止控制命令，乙机负责接收控制命令并完成控制LED的动作。两机的程序要 分别编写。 d.两个单片机都工作在串口模式1下，程序要先进行初始化，具体步骤如下： i.设置串口模式（SCON） ii.设置定时器1的工作模式（TMOD） iii.计算定时器1的初值 iv.启动定时器 v.如果串口工作在中断方式，还必须设置IE和ES，并编写中断服务程序。
（2）电路原理图 Figure 1 甲机通过串口控制乙机LED闪烁的原理图 （3）程序设计提示 a.模式1下波特率由定时器控制，波特率计算公式参考： b.可以不用使用中断方式，使用查询方式实现发送与接收，通过查询TI和RI标志位完成。 2.单片机与PC串口通讯及函数指针的使用 （1）要求： a.编写用单片机求取整数平方的函数。 b.单片机把计算结果向PC机发送字符串。 c.PC机接收计算结果并显示出来。 d.可以调用Keil C51 中的printf来实现字符串的发送。 e.单片机的数码港显示发送的次数，每9次清零。
实验报告(原理图库的建立)
物理与电子科学学院PCB 实验 —原理图库的设计 教 案 姓名：刘斌 班级：物电 1105 班 学号： 2011112030560 指导老师：曹老师
实验三原理图库的设计教案 （物理与电子科学学院1105班刘斌2011112030560） 一、实验目的： 1.熟悉原理图工作环境，图形工具中各种命令的使用。 2.熟悉原理图符号的编辑，原理图库的建立。 二、实验内容 在protel DXP中完成，完成下列原理图符号的制作。 1.AT89c51单片机原理图符号制作 2.74LS00芯片的原理图制作
二、AT89c51单片机原理图符号制作实验步骤 第一步：新建工程；“打开软件—文件—新建—PCBproject”,步骤如图 第二步：保存工程；快捷保存方式：可以直接点击菜单栏中的保存按钮即可进行保存操作，或者”File—Save Project”,接着选择保存路径即可，步骤如图： 第三步：新建原理图文件；“在Project命令栏中，PCB Project右击，选择Add New to Project ——Schematic”,步骤如图 第四步：新建原件库文件；“Project—Add New to Project—Schematic Library”,步骤如图
第五步：绘制元器件；可以直接在工具栏选择想要的图形,步骤如图： 第六步：绘制元器件引脚；步骤如图： 第七步：绘制元器件；结构如图： 第八步：在原理图中查看绘制好的元器件图形；形状如图： 第九步：对绘制好的元件原理图，进行适当的调整和修改，使其形状尽量的合理美观。
三、74LS00芯片的原理图制作实验步骤 第一、二、三、四步重复：二、A T89c51单片机原理图符号制作实验步骤 第五步：在这里74LS00芯片原理图通过“分部分”来完成绘制；步骤如图： 第五步：添加五个Part,分别为（PartA、B、C、D、E），然后在Part BCDE绘制如下图形；步骤如图： 第六步：在Part A中绘制如下图形；步骤如图：
正定矩阵及其应用
正定矩阵及其应用
本科毕业论文(设计) 正定矩阵及其应用 学生姓名：学号： 专业：指导老师： 答辩时间：装订时间：
A Graduation Thesis (Project) Submitted to School of Science，Hubei University for Nationalities In Partial Fulfillment of the Requiring for BS Degree In the Year of 2016 Positive definite matrices and their applications Student Name: Student No.: Specialty:s Supervisor: Date of Thesis Defense: Date of Bookbinding:
摘要 矩阵是高等代数里的一个基本概念，是代数知识的基础，是矩阵代数的一个主要研究对象. 它不仅是数学的一个重要分支，而且已经成为现在科技领域处理有限维空间形式与数量关系的强有力的工具. 而正定矩阵是从矩阵延伸出来的具有特殊性质的矩阵，是研究二次型的基础，在函数、不等式中都有应用，因此正定矩阵的特殊性质和广泛应用得到了许多学者关注，进而对此进行了大量的研究. 本文从矩阵最基本的概念和性质出发，由浅入深，层层递进. 从矩阵的性质出发，给出了正定矩阵定义及其等价定义，归纳整理了正定矩阵的性质及其部分证明，总结了正定矩阵的判定定理，最后研究正定矩阵在理论证明和在函数极值中的应用. 关键词：矩阵正定二次型正定矩阵极值
旋转矩阵公式表
S=10—13的旋转矩阵公式一览 选10个号码，出7中6型旋转矩阵 A，B，C，D，E，F，G A，B，C，D，H，I，J A，B，C，E，F，H，J A，B，C，E，F，I，J A，B，D，E，F，H，J A，B，D，E，F，I，J A，B，E，F，G，H，I A，C，E，G，H，I，J B，D，F，G，H，I，J C，D，E，F，G，H，I C，D，E，F，G，H，J C，D，E，F，G，I，J 一、10个号码（选6中5 - 12注） 2 3 5 6 7 9 ，1 2 4 7 9 10， 3 4 6 7 8 10 3 4 5 6 9 10 ，1 3 5 6 7 10， 1 2 4 5 6 8 1 2 3 4 8 9 ，1 4 5 7 8 9， 2 3 5 7 8 10 1 2 6 8 9 10 ，1 2 3 4 5 10， 1 3 6 7 8 9 二、11个号码（选6中5 – 19注） 2 3 7 9 10 11，2 4 7 8 10 11，1 3 4 6 7 10
2 3 4 6 8 9，1 4 5 7 8 9，3 5 7 8 9 10 1 2 6 8 9 10，1 2 3 4 5 10，1 2 3 7 8 11 1 2 4 6 7 11，2 4 5 8 9 11，3 4 5 6 7 11 1 2 3 5 6 9，2 5 6 7 8 10，1 3 4 8 9 11 1 6 7 8 9 11， 三、12个号码（选6中5 – 33注） 2 3 9 10 11 12， 4 7 8 10 11 12，1 3 6 7 10 12 1 2 5 8 10 12， 1 5 7 9 11 12，3 5 6 8 11 12 2 3 4 6 8 10， 2 6 7 8 9 12，3 5 8 9 10 12 4 5 6 9 10 12， 1 3 4 5 10 11，2 3 7 8 10 11 1 2 4 7 9 10， 2 4 5 8 9 11，3 4 6 7 9 11 1 2 3 5 6 9， 2 5 6 7 10 11，1 3 4 8 9 12 1 6 8 9 10 11， 1 4 5 6 7 8，1 4 5 6 10 11 2 3 4 5 7 12， 1 3 4 8 11 12，1 2 3 5 7 11 1 3 7 8 9 11， 1 2 4 6 9 12，1 2 4 10 11 12 1 2 6 8 11 12， 1 2 3 4 7 8，2 4 6 7 11 12 1 2 3 6 9 11， 5 6 7 8 9 10，3 4 5 7 9 10 四、13个号码（选6中5 - 56注） 3 9 10 11 12 13， 4 7 8 10 12 13，1 3 6 7 12 13 1 2 5 6 7 10，1 2 5 7 12 13，5 6 8 11 12 13
20个号码中6保5旋转矩阵
20个号码中6保5旋转矩阵 共计：1073注(金额：￥2146元) 01,06,08,10,11,12 01,02,03,04,05,06 02,07,08,11,15,17 04,06,09,11,12,19 01,06,08,10,14,17 01,02,03,04,05,07 02,07,08,11,16,18 04,06,09,14,17,19 01,06,08,12,13,15 01,02,03,04,09,14 02,07,08,13,14,15 04,06,09,15,19,20 01,06,08,15,16,18 01,02,03,04,18,20 02,07,08,16,19,20 04,06,09,16,18,20 01,06,09,10,11,17 01,02,03,05,08,15 02,07,09,10,11,14 04,06,10,11,13,19 01,06,09,10,12,19 01,02,03,05,10,19 02,07,09,10,19,20 04,06,10,11,14,19 01,06,09,12,16,17 01,02,03,05,12,17 02,07,09,12,13,18 04,06,11,12,16,20 01,06,09,13,14,18 01,02,03,06,09,10 02,07,09,12,15,16 04,06,11,12,19,20 01,06,09,15,17,18 01,02,03,06,15,17 02,07,09,17,18,19 04,06,11,13,16,17 01,06,10,14,15,17 01,02,03,07,08,09 02,07,10,11,19,20 04,06,11,14,15,17 01,06,10,17,19,20 01,02,03,07,16,19 02,07,10,14,16,19 04,06,13,15,16,18 01,06,11,12,14,16 01,02,03,07,17,18 02,07,10,15,18,20 04,07,08,09,10,14 01,06,11,13,17,20 01,02,03,08,12,16 02,07,11,12,14,20 04,07,08,09,12,18 01,06,11,15,18,19 01,02,03,08,16,19 02,07,12,13,16,19 04,07,08,11,15,19 01,06,12,13,14,16 01,02,03,09,13,18 02,07,12,13,17,18 04,07,08,12,13,18 01,06,12,14,15,20 01,02,03,09,19,20 02,07,13,14,16,17 04,07,08,13,17,19 01,06,14,16,19,20 01,02,03,10,11,12 02,07,13,15,18,19 04,07,08,14,18,19 01,07,08,09,11,18 01,02,03,10,13,17 02,07,13,16,18,20 04,07,09,10,11,12 01,07,08,10,11,20 01,02,03,11,12,13 02,08,09,10,11,15 04,07,09,11,19,20 01,07,08,10,12,19 01,02,03,13,14,15 02,08,09,10,11,19 04,07,09,13,17,18 01,07,08,10,18,20 01,02,03,15,18,19 02,08,09,10,13,18 04,07,09,15,18,19 01,07,08,13,15,16 01,02,03,16,17,18 02,08,09,11,12,20 04,07,10,11,12,15 01,07,08,14,16,17 01,02,03,17,18,20 02,08,09,12,14,16 04,07,10,11,14,16 01,07,09,10,13,14 01,02,04,05,12,19 02,08,09,15,16,18 04,07,10,12,14,17 01,07,09,10,15,17 01,02,04,06,07,14 02,08,09,15,17,19 04,07,10,13,19,20 01,07,09,10,17,19 01,02,04,06,11,20 02,08,09,16,17,18 04,07,10,14,16,18 01,07,09,10,18,19 01,02,04,06,15,18 02,08,10,12,16,19 04,07,10,17,18,19 01,07,09,11,12,13 01,02,04,07,08,17 02,08,10,13,14,20 04,07,11,12,13,17 01,07,09,11,15,17 01,02,04,07,09,17 02,08,10,15,16,20 04,07,11,13,16,18 01,07,09,12,14,19 01,02,04,07,10,13 02,08,11,12,13,19 04,07,11,15,17,18 01,07,09,13,15,20 01,02,04,07,11,18 02,08,11,13,18,19 04,07,12,13,16,20 01,07,09,13,17,20 01,02,04,07,13,16 02,08,12,18,19,20 04,07,14,15,16,19 01,07,09,14,15,17 01,02,04,07,17,19 02,08,13,16,17,20 04,07,15,16,17,18 01,07,09,14,16,18 01,02,04,08,09,14 02,09,10,15,17,20 04,08,09,10,14,16 01,07,10,15,16,20 01,02,04,08,11,14 02,09,10,16,19,20 04,08,09,11,17,20 01,07,11,13,14,19 01,02,04,08,12,13 02,09,11,13,15,18 04,08,09,12,15,17 01,07,11,13,15,19 01,02,04,09,12,15 02,09,11,13,15,19 04,08,09,13,19,20 01,07,11,13,17,19 01,02,04,10,16,17 02,09,11,14,17,20 04,08,10,11,12,16 01,07,11,14,15,20 01,02,04,13,14,17 02,09,12,14,17,20 04,08,10,11,13,18 01,07,11,16,17,19 01,02,04,13,15,17 02,09,13,14,15,20 04,08,10,11,18,20 01,07,12,14,16,20 01,02,04,16,18,19 02,09,14,16,18,19 04,08,10,12,17,19 01,07,13,14,18,20 01,02,04,16,19,20 02,09,15,16,17,19 04,08,10,15,17,18 01,08,09,10,13,19 01,02,05,06,07,16 02,10,13,14,16,19 04,08,11,12,16,17 01,08,09,10,15,19 01,02,05,06,09,20 02,10,14,15,17,19 04,08,11,17,19,20 01,08,09,11,12,15 01,02,05,06,10,14 02,11,12,13,15,20 04,08,12,14,19,20 01,08,09,11,13,15 01,02,05,07,11,15 02,11,12,14,15,19 04,08,13,14,15,18 01,08,09,12,14,20 01,02,05,07,12,20 02,11,12,15,16,18 04,08,14,15,17,20 01,08,09,12,17,18 01,02,05,07,15,19 02,11,12,16,17,19 04,09,10,13,14,17 01,08,09,14,15,19 01,02,05,08,09,10 02,11,13,14,17,18 04,09,10,13,15,16 01,08,10,12,14,15 01,02,05,08,09,19 02,12,13,15,17,18 04,09,10,18,19,20