中考总复习专题：二次函数与相似的结合
二次函数与相似的结合
题型一：动点在线段上
如图，平面直角坐标系xOy 中，已知(1,0)B -，一次函数5y x =-+的图像与x 轴、y 轴
分别交于点A 、C 两点，二次函数2
y x bx c =-++的图像经过点A 、点B ；
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）点P 是该二次函数图像的顶点，求△APC 的面积；
（3）如果点Q 在线段AC 上，且△ABC 与△AOQ 相似，求点Q 的坐标；
如图，抛物线2
2y ax ax c =++(0)a >与x 轴交于(3,0)A -、B 两点（A 在B 的左侧），
与y 轴交于点
(0,3)C -，抛物线的顶点为M ；
（1）求a 、c 的值； （2）求tan MAC ∠的值；
（3）若点P 是线段AC 上一个动点，联结OP ；问是否存在点P ，使得以点O 、C 、P 为
顶点的三角形与△ABC 相似？若存在，求出P 点坐标；若不存在，请说明理由； 如图，已知抛物线2
y ax x c =-+的对称轴为直线x =1，与x 轴的一个交点为A （-1，0），顶点为B . 点C （5，m ）在抛物线上，直线BC 交x 轴于点E . （1） 求抛物线的表达式及点E 的坐标； （2） 联结AB ，求∠B 的正切值；
（3） 点G 为线段AC 上一点，过点G 作CB 的垂线交x 轴于点M （位于点E 右侧），
当△CGM 与△ABE 相似时，求点M 的坐标. 【参考答案】24．（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题3分，第（3）小题5分）
解：（1）∵抛物线2
y ax x c =-+的对称轴为直线x =1，∴1
2
a =
. ∵抛物线与x 轴的一个交点为A （-1，0），∴3
2
c =-
. ∴抛物线的表达式为213
22
y x x =
--.………………………………………………（2分） ∴顶点B （1，-2）.…………………………………………………………………（1分） ∵点C （5，m ）在抛物线上，∴6m =. ∴C 点坐标为（5，6）. 设直线BC 的表达式为y =kx +b （k ≠0），
x
y
A
B E
C O （第24题图）
则652k b k b
=+??
-=+?，∴2,
4.k b =??=-?即BC 的表达式为y =2x -4.
∴E （2，0）.……………………………………………………………………………（1分）
（2）作CH ⊥x 轴，垂足为H ，作BP ⊥x 轴，垂足为P ， ∵C （5，6），A （-1，0），∴CH =6=AH . ∴∠CAH=45°. ∵B （1，-2），A （-1，0），∴BP =2=AP .∴∠BAP=45°. ∴∠CAB=90°. …………………………………………………………………………（1分）
∵CH =6=AH ，CH ⊥x 轴，∴AC =
∵BP =2=AP ，BP ⊥x 轴，∴AB =
∴tan 3.AC
B AB
∠=
=…………………………………………………………………（2分） （3）∵∠CAB=90°，∴∠B +∠ACB =90°. ∵GM ⊥BC ，∴∠CGM +∠ACB =90°.∴∠CGM =∠B . ………………………………（1分） ∵△CGM 与△ABE 相似，∴∠BAE =∠CMG 或∠BAE =∠MCG . 情况1：当∠BAE =∠CMG 时， ∵∠BAE =45°，∴∠CMG =45°. ∵GM ⊥BC ，∴∠MCE =45°.∴∠MCE =∠EAB .
∵∠AEB =∠CEM ，∴△ABE ∽△CME . ……………………………………………（1分）
∴
BE AE
EM CE =.即EM =∴EM =5. ∴M （7，0）. ……………………………（1分） 情况2：当∠BAE =∠MCG 时，
∵∠BAE =∠CAM ，∴∠MCG =∠CAM .∴MC =MA . ………………………………（1分） 设M （x ，0），∵C （5，6），A （-1，0），∴2
2
2
(1)(5)6.x x +=-+∴x=5.
∴M （5，0）. …………………………………………………………………………（1分） 题型二：动点在线段的延长线上
如图7，已知抛物线32
++-=bx x y 与x 轴交于点A 和点B （点A 在点B 的左侧），与y 轴
交于点C ，且OC OB =，点D 是抛物线的顶点，直线AC 和BD 交于点E 。 （1）求点D 的坐标；
（2）联结BC CD 、，求DBC ∠的余切值；
（3）设点M 在线段CA 延长线上，如果EBM △和ABC △相似，求点M 的坐标。
【答案】（1）D 1,4（）（2）3（3）
6
3,)55
-（- 【解析】（1）∵抛物线2
y 3x bx =-++与轴的交于点A 和点B （点A 在点B 的左侧） ， 与y 轴交于点C ，)3,0(C ，且OC OB =，)0,3(B
（2）OB OC =∵45OCB OBC ∴∠=∠=?y=45DC 。
∴∠；
(3)由2
23y x x =-++，可得，在AOC 和BCD 中，
3CO BC
AO CD
==， 又ACO CBD ∴∠=∠；ACB ACO OCB E CBD ∠=∠+=∠+∠ 当EBM ABC ??和相似时，可知E CBA ∠=∠；
又点在线段的延长线上，ACB EBA ∠=∠，可得EMB ACB ∠=∠； 由题意，得直线的表达式为y 33x =+；设(,33)M x x +.
2(3)(33)18x x ∴-++=，解得126
,05x x =-=（舍去）
∴点M 的坐标是63
,)55
-（-
题型三：动点在对称轴上
如图，抛物线c bx x y ++-=2
经过点)0,3(B ，)3,0(C ，D 为抛物线的顶点。
（1）求抛物线的解析式及顶点坐标；
（2）点C 关于抛物线c bx x y ++-=2
的对称点为E 点，联结BC ，BE ，求CBE ∠的正
切值；
（3）点M 是抛物线对称轴上一点，且△DMB 和△BCE 相似，求点M 的坐标。 【答案】（1）322
++-=x x y ；)4,1(D （2）
21（3） ()2,1-M 或??
?
??32,1M
【解析】（1）∵抛物线c bx x y ++-=2
经过点)0,3(B ，)3,0(C
∴??
?==++-3
39c c b 可解得
???==3
2
c b ∴ 322
++-=x x y 顶点坐标)4,1(D （2）过点E 作EH 垂直于BC 交于点H ∵点C 与点E 关于对称轴1=x 对称 ∴)3,2(E ，2=CE ，CE 平行于x 轴 在等腰直角三角形ECH 中，2=CE
在直角三角形EHB 中，22=-=CH BC BH ，
2=EH
∴CBE ∠的正切值为
2
1 （3）设抛物线对称轴1=x 交x 轴与点F
∵在直角三角形DFB 中，4=DF ，2=BF ∴点M 在点D 的下方
∴当DMB ?与BCE ?相似时，有下列两种情况：
?当
BE BC
DB DM = 时，即 102352=
DM 可解得6=DM ?当
BC BE DB DM = 时，即 2
31052=
DM 可解得310
=DM 综上所述： ()2,1-M 或???
??32,1M
2）动点在平移后的对称轴上
在平面直角坐标系中，点)0,4(A 是抛物线c x ax y ++=22
上的一点，将此抛物线向下平移
6个单位以后经过点)2,0(B ，平移后的新抛物线的顶点记为C ，新抛物线的对称轴和线段
AB 的交点记为P 。
（1）求平移后得到的新抛物线的表达式，并求出点C 的坐标；
（2）求CAB ∠的正切值；
（3）如果点Q 是新抛物线对称轴上的一点，且BCQ △和ACP △相似，试求点Q 的坐标。 【答案】（1）222
++-=x x y ；)3,1(C （2）1tan 3CAB ∠=
（3）)2
5
,1(1Q 或)1,1(2-Q 【解析】
（1）∵点)0,4(A 是抛物线c x ax y ++=22
上的一点，代入得：0816=++c a ①
又∵抛物线向下平移6个单位以后经过点)2,0(B ，平移后的抛物线解析式为：
622-++=c x ax y 。
代入得：8,26==-c c ②，由①②得：8,1=-=c a
平移后得到的新抛物线的表达式：222
++-=x x y ，顶点)3,1(C
（2）∵)0,4(A 、)2,0(B 、)3,1(C ，易得52,23,2===BA CA CB
由勾股定理逆定理得ABC △是直角三角形，31
tan ==∠CA CB CAB （3）设抛物线对称轴与x 轴相交于点H 易得
45=∠=∠ACP BCP ，2
3,23,2=
==
CP CA CB ∴点Q 只能在对称轴点C 的下方，BCQ △和ACP △相似，有以下两种情况： 综上，)2
5,1(1Q 或)1,1(2-Q 题型四：动点在某直线上
如图，已知抛物线22y ax x c =-+经过ABC ?的三个顶点，其中点(0,1)A ，点(9,10)B ，
AC x ∥轴．
（1）求这条抛物线的解析式； （2）求tan ABC ∠的值；
（3）若点D 为抛物线的顶点，点E 是直线AC 上一点，
当CDE ?与ABC ?相似时，求点E 的坐标．
【参考答案】24．解：（1）∵抛物线2
2y ax x c =-+经过点(0,1)A 和点(9,10)B
∴1811810c a c =??-+=?
……………………………………………………1分
解得131
a c ?=???=?………………………………………………………………2分
∴这条抛物线的解析式为2
1213
y x x =
-+………………………………1分 （2）过点B 作BH AC ⊥，垂足为H
9BH AH ==∴又90BHA ∠=?
HAB ∴△是等腰直角三角形
45HAB ∠=?∴………………………………………………………1分
AC x ∥轴，(0,1)A ，点C 也在该抛物线上
过点C 作CG AB ⊥，垂足为点G
sin 45CG AC =?=∴1分
又∵在Rt △ABH
中，sin 45BH
AB ==?
∴BG ==…………………………………………………1分
（第24题图）
∴在Rt △BCG 中，1
tan 2
CG ABC BG ∠=
=……………………………1分 （3）过点D 作DK AC ⊥，垂足为K ∵点D 是抛物线2
1213
y x x =
-+的顶点∴(3,2)D -………………1分 ∴3CK DK ==又∵90CKD ∠=?∴△CDK 是等腰直角三角形 又∵45BAC ∠=?
∴DCK BAC ∠=∠………………………………………………………1分 ∴当△CDE 与△ABC 相似时，存在以下两种情况：
1?
AC EC AB CD ==9232
∴∴EC=2(4,1)E ∴……………1分
2?
AC DC
AB EC =32=92EC
∴∴EC=9(3,1)E -∴…………1分 题型五：动点在x 轴上
如图9，在平面直角坐标系xoy 中，顶点为M 的抛物线2
(0y ax bx a =+>）经过点A 和x 轴正半轴上的点B ，AO OB == 2，0120AOB ∠=． （1）求这条抛物线的表达式； （2）联结OM ，求AOM ∠的大小；
（3）如果点C 在x 轴上，且△ABC 与△AOM 相似，求点C 的坐标．
2019年青浦一模24】已知，如图8，在平面直角坐标系中，抛物线142
+-=ax ax y 与x 轴
正半轴交于点A 和点B ，与y 轴交于点C ，且OC OB 3=，点P 是第一象限内的点，联结
BC ，△PBC 是以BC 为斜边的等腰直角三角形.
（1）求这个抛物线的表达式； （2）求点P 的坐标；
（3）点Q 在x 轴上，若以P O Q 、、为顶点的三角形与以点B A C 、、为顶点的三角形相似，求点Q 的坐标. 【答案】（1）134
312+-=
∴x x y （2）
)2,2(P ∴（3）点Q 坐标为)0,2(-或)0,4(- M
A B O
y
图9
【解析】（1）由题意可得)1,0(C
33==∴OC OB )0,3(B ∴
代入142
+-=ax ax y 得3
1
=
a 13
4
312+-=∴x x y
（2）过点P 作轴轴x PF y PE ⊥⊥, （3）PBC ? 为等腰直角三角形 （4）PB PC =∴
（5）?=∠+∠=∠+∠90CPF FPB CPF EPC
（6）FPB EPC ∠=∠∴)(AAS PFB Rt PCE Rt ??∴≌BF EC =∴ （7）可证四边形PEOF 为正方形BF OB OC EC -=+∴3,1==OB OC
（8）BF EC -=+∴31，解得1==BF EC 2==∴OF OE P 在第一象限内)2,2(P ∴ （9）2,2==
AB AC )0,1(),1,0(A C OA OC =∴，可得AOC ?为等腰直角三角形
?=∠∴45OAC ?=∠∴135CAB ，则点Q 在y 轴左侧
i.CAB OP Q ??∽1
AB
CA OP OQ =1，
2222
2
1=?=?
=AB CA OP OQ )0,2(1-∴Q ii.CAB POQ ??∽2
AB
CA OQ OP =2 42222=?=?
=AC
AB
OP OQ )0,4(2-∴Q
若点Q 在y 轴右侧，不存在
综上所述：点Q 坐标为)0,2(-或)0,4(-
在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2
+c y x bx =-+与x 轴相交点(1,0)A -和点B ，与y 轴
相交于点(0,3)C ，抛物线的顶点为点D ，联结AC ，BC ，DB DC 。
（1） 求这条抛物线的表达式及顶点D 的坐标； （2） 求证：ACO DBC ∽?
（3） 如果点E 在x 轴上，且在点B 的右侧，BCE ACO ∠=∠，求点E 的坐标。 【答案】（1）
；（2）略（3）(6,0)E 【解析】(1)∵抛物线过点A(
)和点
，
∴将两点坐标代入解析式可得:
可解得
根据顶点公式可得
（2）代入0y
到2
1
4y
x 求得11x ，2
3x ，所以有3,0B
可以求得：1OA ，3OC 22
1310AC ， 在ACO 和DBC 中，有
==2CD BC BD
AO OC AC
，
（3）在OC 上取一点F 使得OF=OA ，
由（2）得B(3，0)，C(0，3)，∴OB=OC ，∴∠OBC=45°，∴∠CBE=135°
OA=OF ，∴∠AFO=45°，∴∠AFC=135°，∴∠AFC=∠CBE ，又 ∠BCE=∠ACO ， ∴△AFC ∽△BCE
题型六：动点在抛物线上
如图1，已知抛物线的方程C 1：1
(2)()y x x m m =-+- (m ＞0)与x 轴交于点B 、C ，与y 轴
交于点E ，且点B 在点C 的左侧．
（1）若抛物线C 1过点M (2， 2)，求实数m 的值；
（4）在第四象限内，抛物线C 1上是否存在点F ，使得以点B 、C 、F 为顶点的三角形与△BCE 相似？若存在，求m 的值；若不存在，请说明理由．
图1
【解析】（1）将M (2， 2)代入1(2)()y x x m m =-
+-，得1
24(2)m m
=-?-．解得m ＝4．
（4）①如图3，过点B 作EC 的平行线交抛物线于F ，过点F 作FF ′⊥x 轴于F ′．
由于∠BCE ＝∠FBC ，所以当
CE BC
CB BF
=
，即2BC CE BF =?时，△BCE ∽△FBC ． 设点F 的坐标为1(,(2)())x x x m m -+-，由''FF EO BF CO =，得1
(2)()
2
2x x m m x m
+-=+．
解得x ＝m ＋2．所以F ′(m ＋2， 0)．由
'
CO BF CE BF
=
，
得4
m BF
+=
．所
以BF =
． 由2
BC CE BF =?
，得2
(2)m +=．整理，得0＝16．此方程无
解．
图2 图3 图4
②如图4，作∠CBF ＝45°交抛物线于F ，过点F 作FF ′⊥x 轴于F ′， 由于∠EBC ＝∠CBF ，所以
BE BC
BC BF
=
，即2BC BE BF =?时，△BCE ∽△BFC ． 在Rt △BFF ′中，由FF ′＝BF ′，得
1
(2)()2x x m x m
+-=+． 解得x ＝2m ．所以F ′(2,0)m ．所以BF ′＝2m ＋2
，2)BF m =+． 由2BC BE BF =?
，得2(2)2)m m +=+
．解得2m =± 综合①、②，符合题意的m
为2+ 2）动点在直线下方的抛物线
24. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数2y x bx c =++的图像与x 轴交于A 、B 两点，
B 点的坐标为(3,0)，与y 轴交于点(0,3)
C -，点P 是直线BC 下方抛物线上的任意一
点；
（1）求这个二次函数2y x bx c =++的解析式；
（2）联结PO 、PC ，并将△POC 沿y 轴对折，得到四边形
POP C '，如果四边形POP C '为菱形，求点P 的坐标；
（3）如果点P 在运动过程中，能使得以P 、C 、B 为顶点的 三角形与△AOC 相似，请求出此时点P 的坐标； 【正确答案】
3）动点在直线上方的抛物线
如图11所示，已知抛物线2
1y x =-与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ．
（1）求A 、B 、C 三点的坐标．
（2）过点A 作AP ∥CB 交抛物线于点P ，求四边形ACBP 的面积． （3）在x 轴上方的抛物线上是否存在一点M ，过M 作MG ⊥x 轴
于点G ，使以A 、M 、G 三点为顶点的三角形与?PCA 相似． 若存在，请求出M 点的坐标；否则，请说明理由． 【解析:】（1）令0y =，得2
10x -= 解得1x =±
令0x =，得1y =-
∴ A (1,0)- B (1,0) C (0,1)- ···（2分）
（2）∵O A =O B =O C =1 ∴∠BAC =∠AC O=∠BC O=
45
∵A P ∥CB ， ∴∠P AB =
45
过点P 作P E ⊥x 轴于E ，则?A P E 为等腰直角三角形
令O E =a ，则P E =1a + ∴P (,1)a a +
∵点P 在抛物线2
1y x =-上 ∴2
11a a +=-
解得12a =，21a =-（不合题意，舍去）
∴P E =3··················································································· 4分） ∴四边形ACB P 的面积S =
12AB ?O C +1
2AB ?P E =11
2123422
??+??= ······································ 6分） (3)． 假设存在
∵∠P AB =∠BAC =45 ∴P A ⊥AC
∵MG ⊥x 轴于点G ， ∴∠MG A =∠P AC =90 在Rt △A O C 中，O A =O C =1 ∴AC
在Rt △P AE 中，AE =P E =3 ∴A
P= ················································ 7分） 设M 点的横坐标为m ，则M 2
(,1)m m -
①点M 在y 轴左侧时，则1m <- (ⅰ) 当?A MG ∽?P CA 时，有
AG PA =MG
CA
∵A G=1m --，MG=2
1m -
2= 解得11m =-（舍去） 22
3
m =
（舍去） (ⅱ) 当?M A G ∽?P CA 时有AG CA =MG
PA
即
2=
解得：1m =-（舍去） 22m =-
∴M (2,3)- ·················································
② 点M 在y 轴右侧时，则1m >
(ⅰ) 当?A MG ∽?P CA 时有AG PA =MG
CA
∵A G=1m +，MG=2
1m -
解得11m =-（舍去） 24
3
m =
∴M 47
(,)39
(ⅱ) 当?M A G ∽?P CA 时有AG CA =MG
PA
即 2=
解得：11m =-（舍去） 24m = ∴M (4,15)
∴存在点M ，使以A 、M 、G 三点为顶点的三角形与?P CA 相似
M 点的坐标为(2,3)-，47
(,)39
，(4,15) ·································· （13分）
二次函数与相似三角形问题(含答案)
y x E Q P C B O A 综合题讲解 函数中因动点产生的相似三角形问题 练习1、如图，已知抛物线与x 交于A(－1，0)、E(3，0)两点，与y 轴交于点B(0，3)。 （1） 求抛物线的解析式； （2） 设抛物线顶点为D ，求四边形AEDB 的面积； （3） △AOB 与△DBE 是否相似？如果相似，请给以证明；如果不相似，请说明理由。 练习2、已知抛物线2 y ax bx c =++经过5330P E ? ???? ，， ，及原点(00)O ，． （1）求抛物线的解析式． （2）过P 点作平行于x 轴的直线PC 交y 轴于C 点，在抛物线对称轴右侧且位于直线PC 下方的抛物线上，任取一点Q ，过点Q 作直线QA 平行于y 轴交x 轴于A 点，交直线PC 于B 点，直线QA 与直线PC 及两坐标轴围成矩形OABC ．是否存在点Q ，使得OPC △与PQB △相似？若存在，求出Q 点的坐标；若不存在，说明理由． （3）如果符合（2）中的Q 点在x 轴的上方，连结OQ ，矩形OABC 内的四个三角形 OPC PQB OQP OQA ，，，△△△△之间存在怎样的关系？为什么？
练习3 、如图所示，已知抛物线2 1y x =-与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ． （1）求A 、B 、C 三点的坐标． （2）过点A 作AP∥CB 交抛物线于点P ，求四边形ACBP 的面积． （3）在x 轴上方的抛物线上是否存在一点M ，过M 作MG ⊥x 轴于点G ，使以A 、M 、G 三点为顶点的三角形与?PCA 相似．若存在，请求出M 点的坐标；否则，请说明理由． 练习4、在平面直角坐标系xOy 中，已知二次函数2 (0)y ax bx c a =++≠的图象与x 轴交于A B ，两点（点 A 在点 B 的左边） ，与y 轴交于点C ，其顶点的横坐标为1，且过点(23)，和(312)--，． （1）求此二次函数的表达式；（由一般式．．． 得抛物线的解析式为2 23y x x =-++） （2）若直线:(0)l y kx k =≠与线段BC 交于点D （不与点B C ，重合），则是否存在这样的直线l ，使得以B O D ，，为顶点的三角形与BAC △相似？若存在，求出该直线的函数表达式及点D 的坐标；若不存在，请说明理由；(10)(30),(03)A B C -，，，， （3）若点P 是位于该二次函数对称轴右边图象上不与顶点重合的任意一点，试比较锐角PCO ∠与ACO ∠的大小（不必证明），并写出此时点P 的横坐标p x 的取值范围．
二次函数专项复习经典试题集锦(含答案)
二次函数专项复习经典试题集锦（含答案） 一、选择题： 1. 抛物线3)2(2+-=x y 的对称轴是（ ） A. 直线3-=x B. 直线3=x C. 直线2-=x D. 直线2=x 2. 二次函数c bx ax y ++=2的图象如右图，则点 ),(a c b M 在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知二次函数c bx ax y ++=2，且0+-c b a ，则一定有（ ） A. 042>-ac b B. 042=-ac b C. 042<-ac b D. ac b 42-≤0 4. 把抛物线c bx x y ++=2向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式 是532+-=x x y ，则有（ ） A. 3=b ，7=c B. 9-=b ，15-=c C. 3=b ，3=c D. 9-=b ，21=c 5. 下面所示各图是在同一直角坐标系，二次函数c x c a ax y +++=)(2与一次函数 c ax y +=的大致图象，有且只有一个是正确的，正确的是（ ） B D 6. 抛物线322+-=x x y 的对称轴是直线（ ） A. 2-=x B. 2=x C. 1-=x D. 1=x
7. 二次函数2)1(2+-=x y 的最小值是（ ） A. 2- B. 2 C. 1- D. 1 8. 二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，若 c b a M ++=24c b a N +-=，b a P -=4，则（ ） A. 0>M ，0>N ，0>P B. 0 x 时，求使y ≥2的x 的取值围. 二次函数的定义专项练习30题（有答案） 1．下列函数中，是二次函数的有（） 2y=③y=x（1﹣x）④y=﹣x（②1﹣2x）（1+2x）①y=1 A．1个B．2 个C．3个D．4 个 2．下列结论正确的是（） 2．A是二次函数y=ax B．二次函数自变量的取值范围是所有实数C．二次方程是二次函数的特例 D．二次函数自变量的取值范围是非零实数 3．下列具有二次函数关系的是（） A．正方形的周长y与边长x B．速度一定时，路程s与时间t C．三角形的高一定时，面积y与底边长x D．正方形的面积y与边长x ）是二次函数，则m等于（）4．若y=（2﹣m ±2 B．2 C．﹣2 D．不A．能确定 2）是二次函数，则m的值是（（m+m）5．若y= B．m =2 C．m=﹣A．1或m=3 D．m =3 ±2m=1 222中，二次函数的个数为（x），y=（x﹣1）6．，下列函数y=3x﹣x，，y=x（﹣2）5个4个D．．A．2个B．3个 C ）7．下列结论正确的是（ 二次函数中两个变量的值是非零实数A． xB．二次函数中变量的值是所有实数 2． C +bx+cy=ax的函数叫二次函数形如2 D ．c的值均不能为零二次函数y=axa+bx+c中，b， ）8．下列说法中一定正确的是（ 2．A c为常数）一定是二次函数，函数y=ax（其中+bx+ca，b B．圆的面积是关于圆的半径的二次函数路程一定时，速度是关于时间的二次函数． C 圆的周长是关于圆的半径的二次函数．D 2）是二次函数的条件是（m﹣n）x+mx+n．函数9y=（n ≠n是常数，且m≠0 B．m、A．m、n是常数，且m 可以为任何常数m、nn≠0 D．C．m、n是常数，且 ）．下列两个量之间的关系不属于二次函数的是（10 ．速度一定时，汽车行使的路程与时间的关系 A ．质量一定时，物体具有的动能和速度的关系 B ．质量一定时，运动的物体所受到的阻力与运动速度的关系 C ．从高空自由降落的物体，下降的高度与下降的时间的关系D ）11．下列函数中，y是x二次函数的是（22 DC．．A．y=x﹣1 B．1 y﹣=x+2x =xy210 y=x+﹣ 个函数：12．下面给出了6 222 y=y=；﹣②y=xy=x﹣3x；③；y=④（x⑥+x+1）；⑤①y=3x．﹣1；）其中是二次函数的有（个D．4 C2A．1个B．个．3个 2）之间的关系是（t（g为常量），h13．自由落体公式与h=gt 以上答案都不对D．一次函数C．二次函数A．正比例函数 B． 的值一定是_________+kx+1是二次函数，那么k．﹣14．如果函数y=（k3 ） 1.如图，抛物线y=x 2+bx+c 与直线y=x ﹣3交于A 、B 两点，其中点A 在y 轴上，点B 坐标为（﹣4，﹣5），点P 为y 轴左侧的抛物线上一动点，过点P 作PC ⊥x 轴于点C ，交AB 于点D ．（1）求抛物线的解析式；（2）以O ，A ，P ，D 为顶点的平行四边形是否存在？如存在，求点P 的坐标；若不存在，说明理由．（3）当点P 运动到直线AB 下方某一处时，过点P 作PM ⊥AB ，垂足为M ，连接PA 使△PAM 为等腰直角三角形，请直接写出此时点P 的坐标． 2. 在直角坐标系xoy 中，(0,2)A 、(1,0)B -，将ABO ?经过旋转、平移变化后得到如图15.1所示的BCD ?. （1）求经过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式；（2）连结AC ，点P 是位于线段BC 上方的抛物线上一动点，若直线PC 将ABC ?的面积分成1:3两部分，求此时点P 的坐标；（3）现将ABO ?、BCD ?分别向下、向左以1:2的速度同时平移，求出在此运动过程中ABO ?与BCD ?重叠部分面积的最大值. 3. 如图，已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的对称轴为直线x ＝－1，且经过A （1，0），C （0，3）两点，与x 图15.1 C D O B A x y 轴的另一个交点为B .⑴若直线y ＝mx ＋n 经过B ，C 两点，求直线BC 和抛物线的解析式；⑵在抛物线的对称轴x ＝－1上找一点M ，使点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小，求点M 的坐标；⑶设点P 为抛物线的对称轴x ＝－1上的一个动点，求使△BPC 为直角三角形的点P 的坐标． 4. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线8y 2-+=bx ax 与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，直线l 经 第25题图 综合题讲解 函数中因动点产生的相似三角形问题 例题 如图1，已知抛物线的顶点为A （2，1），且经过原点O ，与x 轴的另一个交点为B 。 ⑴求抛物线的解析式；（用顶点式．．． 求得抛物线的解析式为x x 4 1y 2 +-=） ⑵若点C 在抛物线的对称轴上，点D 在抛物线上，且以O 、C 、D 、B 四点为顶点的四边形为平行四边形，求D 点的坐标； ⑶连接OA 、AB ，如图2，在x 轴下方的抛物线上是否存在点P ，使得△OBP 与△OAB 相似若存在，求出P 点的坐标；若不存在，说明理由。 分析:1.当给出四边形的两个顶点时应以两个顶点的连线．．．．．．． 为四边形的边和对角线来考虑问题以O 、C 、D 、B 四点为顶点的四边形为平行四边形要分类讨论:按OB 为边和对角线两种情况 2. 函数中因动点产生的相似三角形问题一般有三个解题途径 ① 求相似三角形的第三个顶点时，先要分析已知三角形的边．和角．的特点，进而得出已知三角形是否为特殊三角形。根据未知三角形中已知边与已知三角形的可能对应边分类讨论。 ②或利用已知三角形中对应角，在未知三角形中利用勾股定理、三角函数、对称、旋转等知识来推导边的大小。 ③若两个三角形的各边均未给出，则应先设所求点的坐标进而用函数解析式来表示各边的长度，之后利用相似来列方程求解。 y x E Q P C B O A 例题2：如图，已知抛物线y=ax 2+4ax+t （a ＞0）交x 轴于A 、 B 两点，交y 轴于点 C ，抛物线的对称轴交x 轴于点E ，点B 的坐标为（-1，0）． （1）求抛物线的对称轴及点A 的坐标； （2）过点C 作x 轴的平行线交抛物线的对称轴于点P ，你能判断四边形ABCP 是什么四边形并证明你的结论； （3）连接CA 与抛物线的对称轴交于点D ，当∠APD=∠ACP 时，求抛物线的解析式． 练习1、已知抛物线2 y ax bx c =++经过5330P E ? ???? ，， ，及原点(00)O ，． （1）求抛物线的解析式．（由一般式．．． 得抛物线的解析式为2253 33 y x x =-+） （2）过P 点作平行于x 轴的直线PC 交y 轴于C 点，在抛物线对称轴右侧且位于直线PC 下方的抛物线上，任取一点Q ，过点Q 作直线QA 平行于y 轴交x 轴于A 点，交直线PC 于B 点，直线QA 与直线PC 及两坐标轴围成矩形OABC ．是否存在点Q ，使得OPC △与PQB △相似若存在，求出Q 点的坐标；若不存在，说明理由． （3）如果符合（2）中的Q 点在x 轴的上方，连结OQ ，矩形OABC 内的四个三角形 OPC PQB OQP OQA ，，，△△△△之间存在怎样的关系为什么 二次函数的定义专项练习 30 题（有答案） 1．下列函数中，是二次函数的有（ ） ① y=1﹣ x 2② y= ③ y=x （1﹣x ）④ y= （ 1﹣ 2x ）（ 1+2x ） A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 5．若 y=（m 2+m ） 是二次函数，则 m 的值是（ ） A m=1 ±2 B m=2 C m= ﹣ 1 或 D m=3 ． ． ． m=3 ． 6．下列函数 ，y=3x 2， ，y=x （x ﹣2），y=（x ﹣ 1）2﹣ x 2 中，二次函数的个数 为 （ 7．下列结论正确的是（ ） 二次函数中两个变量的值是非零实数 二次函数中变量 x 的值是所有实数 2 形如 y=ax +bx+c 的函数叫二次函数 2 二次函数 y=ax +bx+c 中 a ，b ，c 的值均不能为零 8．下列说法中一定正确的是（ ） A ． y=ax 2 是二次函数 B ． 二次函数自变量的取值范围是所有实数 C ． 二次方程是二次函数的特例 D ． 二次函数自变量的取值范围是非零实数 3．下列具有二次函数关系的是（ ） A ． 正方形的周长 y 与边长 x B ． 速度一定时，路程 s 与时间 t C ． 三角形的高一定时，面积 y 与底边长 x D ． 正方形的面积 y 与边长 x 4．若 y= （ 2﹣ m ) 是二次函数，则 m 等于（ ） 2．下列结论正确的是 （ ） D 不能确定 A C ﹣ 2 ±2 B 2 A ． B ． C ． D ． 2 A ． 函数 y=ax 2+bx+c （其中 a ，b ， c 为常数）一定是二次函数 B ． 圆的面积是关于圆的半径的二次函数 C ． 路程一定时，速度是关于时间的二次函数 D ． 圆的周长是关于圆的半径的二次函数 2 9．函数 y=（ m ﹣ n ）x 2+mx+n 是二次函数的条件是（ ） A ． m 、n 是常数，且 m ≠0 B ． m 、 n 是常数，且 m ≠n C ． m 、n 是常数，且 n ≠0 D ． m 、 n 可以为任何常数 10．下列两个量之间的关系不属于二次函数的是（ ） A ． 速度一定时，汽车行使的路程与时间的关系 B ． 质量一定时，物体具有的动能和速度的关系 C ． 质量一定时，运动的物体所受到的阻力与运动速度的关系 D ． 从高空自由降落的物体，下降的高度与下降的时间的关系 11．下列函数中， y 是 x 二次函数的是（ ） A y=x ﹣1 B y=x 2+ ﹣ 10 C 2 y=x +2x D 2 y =x ﹣ 1 ． ． ． ． 12．下面给出了 6 个函数： 其中是二次函数的有（ ） A 1 个 B 2个 C 3 个 2 13．自由落体公式 h= gt 2（g 为常量），h 与 t 之间的关系是（ ） A 正比例函数 B 一次函数 C 二次函数 D 以上答案都不对 14．如果函数 y= （ k ﹣ 3） +kx+1 是二次函数，那么 k 的值一定是 ___________ ． 15．二次函数 y= （ x ﹣2） 2﹣ 3 中，二次项系数为 __________ ，一次项系数为 ___________ 为 _________ ． 16．已知函数 y=（k+2） 是关于 x 的二次函数，则 k= __________ ． 17．已知二次函数 的图象是开口向下的抛物线， m= ___________ ． 22 18．当 m __________ 时，关于 x 的函数 y= （m 2﹣1）x 2+（m ﹣1） x+3 是二次函数． 2 2 2 19． y=（m 2﹣ 2m ﹣3）x 2+（m ﹣1）x+m 2是关于 x 的二次函数要满足的条件是 ___________ ． ① y=3x 2﹣1；② y=﹣ x 2 ﹣3x ； ③ y= ； 2 ④ y=x （x +x+1 ）；⑤ y= ⑥ y= ，常数项 1.如图，抛物线 y=x2+bx+c 与直线 y=x﹣3 交于 A、B 两点，其中点 A 在 y 轴上，点 B 坐标为（﹣4，﹣5），点 P 为 y 轴左侧的抛物线上一动点，过点 P 作 PC⊥x 轴于点 C，交 AB 于点 D．（1）求抛物线的解析式；（2）以 O， A，P，D 为顶点的平行四边形是否存在？如存在，求点 P 的坐标；若不存在，说明理由．（3）当点 P 运动到 直线 AB 下方某一处时，过点 P 作 PM⊥AB，垂足为 M，连接 PA 使△PAM 为等腰直角三角形，请直接写出此 时点 P 的坐标． 若直线 PC 将 ABC 的面积分成1: 3 两部分，求此时点 P 的坐标；（3）现将 ABO 、BCD 分别向下、向左 以1: 2 的速度同时平移，求出在此运动过程中 ABO 与 BCD 重叠部分面积的最大值. 二次函数压轴题（相似类） 1.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+x+c（a≠0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y 轴交于点C，点A的坐标为（4，0），抛物线的对称轴是直线x=． （1）求抛物线的解析式； （2）M为第一象限内的抛物线上的一个点，过点M作MG⊥x轴于点G，交AC于点H，当线段CM=CH时，求点M的坐标； （3）在（2）的条件下，将线段MG绕点G顺时针旋转一个角α（0°＜α＜90°），在旋转过程中，设线段MG与抛物线交于点N，在线段GA上是否存在点P，使得以P、N、G为顶点的三角形与△ABC相似？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由． 2.如图，顶点为C（﹣1，1）的抛物线经过点D（﹣5，﹣3），且与x轴交于点A、B两点（点B在点A的右侧）．（1）求抛物线的解析式； （2）抛物线上存在点Q，使得S△OAQ=，求点Q的坐标； （3）点M在抛物线上，点N在x轴上，且∠MNA=∠OCD，是否存在点M，使得△AMN与△OCD相似？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，说明理由． 3.如图，在平面直角坐标系中，顶点为A（1，﹣1）的抛物线经过点B（5，3），且与x轴交于C，D两点（点C 在点D的左侧）． （1）求抛物线的解析式；（2）求点O到直线AB的距离； （3）点M在第二象限内的抛物线上，点N在x轴上，且∠MND=∠OAB，当△DMN与△OAB相似时，请你直接写出点M的坐标． 4.如图，直线y=﹣x+c与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A，B，M（m，0）为x轴上一动点，点M在线段OA上运动且不与O，A重合，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P，N． （1）求点B的坐标和抛物线的解析式； （2）在运动过程中，若点P为线段MN的中点，求m的值； （3）在运动过程中，若以B，P，N为顶点的三角形与△APM相似，求点M的坐标； 5. 如图，已知抛物线y=﹣+bx+4与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，若已知B点的坐标为B（8，0）． （1）求抛物线的解析式及其对称轴方程； （2）连接AC、BC，试判断△AOC与△COB是否相似？并说明理由； （3）M为抛物线上BC之间的一点，N为线段BC上的一点，若MN∥y轴，求MN的最大值； （4）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ACQ为等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由． 初中二次函数计算题专项训练及答案 ：___________班级：________考号：_______ 1、如下图，已知二次函数图象的顶点坐标为C(1,0)，直线与该二次函数的图象交于A、B两点，其中A点 的坐标为(3,4)，B点在轴上. （1）求的值及这个二次函数的关系式； （2）P为线段AB上的一个动点（点P与A、B不重合），过P作轴的垂线与这个二次函数的图象交于点E点，设线段PE的长为，点P的横坐标为，求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值围； （3）D为直线AB与这个二次函数图象对称轴的交点，在线段AB上是否存在一点P，使得四边形DCEP是平行四边形？若存在，请求出此时P点的坐标；若不存在，请说明理由. 2、如图，在平面直角坐标系中，坐标原点为O，A点坐标为（4，0），B点坐标为（－1，0），以AB的中点P为圆 心，AB为直径作⊙P与轴的正半轴交于点C。 （1）求经过A、B、C三点的抛物线对应的函数表达式。 （2）设M为（1）中抛物线的顶点，求直线MC对应的函数表达式。 （3）试说明直线MC与⊙P的位置关系，并证明你的结论。 3、已知；函数是关于的二次函数，求： (1)满足条件m的值。 (2)m为何值时，抛物线有最底点?求出这个最底点的坐标，这时为何值时y随的增大而增大? (3)m为何值时，抛物线有最大值?最大值是多少?这时为何值时，y随的增大而减小． 4、如图所示，在梯形ABCD中，已知AB∥CD，AD⊥DB，AD=DC=CB，AB=4．以AB所在直线为轴，过D且垂直于AB 的直线为轴建立平面直角坐标系． （1）求∠DAB的度数及A、D、C三点的坐标； （2）求过A、D、C三点的抛物线的解析式及其对称轴L．二次函数的定义专项练习30题有答案
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2. 在直角坐标系 xoy 中， A(0, 2) 、 B(1, 0) ，将 ABO 经过旋转、平移变化后得到如图15.1所示的 BCD . （1）求经过 A 、B 、C 三点的抛物线的解析式；（2）连结 AC ，点 P 是位于线段 BC 上方的抛物线上一动点，
y A
C
BO D
x
图15.1
3. 如图，已知抛物线 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为直线 x＝－1，且经过 A（1，0），C（0，3）两点，与 x 轴 的另一个交点为 B.⑴若直线 y＝mx＋n 经过 B，C 两点，求直线 BC 和抛物线的解析式；⑵在抛物线的对称轴 x＝－1 上找一点 M，使点 M 到点 A 的距离与到点 C 的距离之和最小，求点 M 的坐标；⑶设点 P 为抛物线的(完整版)二次函数压轴题(相似类)
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